limitada por γ, listados com multiplicidade. Denotamos por O Cn,p a C-álgebra de germes em p C n de funções analíticas e seja O n := O Cn,0.

(1)

1. Teoremas de prepara¸c˜ao e de divis˜ao de Weierstraß

1.1. Lema. Sejam C ⊃ U ⊃ γ um conjunto aberto e um caminho simples fechado (parametrizado no sentido anti-horário) contrátil em U e seja f : U→ C uma fun¸cão anal´ıtica tal que fp ̸= 0 para todo p∈ γ. Então _2πi1 ∫_γ f_{f z}′zzkd z = qk₁+· · · + qk_m, onde q1, . . . , qmsão todos os zeros da fun¸cão f na região

limitada por γ, listados com multiplicidade.

Denotamos por O_Cn_,p a C-´algebra de germes em p ∈ Cn de fun¸c˜oes anal´ıticas e seja O_n :=O_Cn_,0.

Denotamos tamb´emRn_>0 :={(r1, . . . , rn)∈ Rn | r1, . . . , rn > 0

}

. Para r∈ Rn_>0 e c := (c1, . . . , cn)∈ Cn,

denotamos por ∆(c, r) :={(z1, . . . , zn)∈ Cn | |z − c| < r

}

o polidisco centrado em c de poliraio r, onde |z − c| < r significa que |zi− ci| < ri para todo 1⩽ i ⩽ n.

1.2. Observa¸c˜ao. Seja 0̸= f ∈ On. Ent˜ao existe m∈ N tal que a s´erie f(tz) = ∞

∑

i=m

fi(z)ticonverge

para todos t ∈ C e z ∈ Cn _{suficiente pequenos, onde f}

i(z) é um polinômio homogêneo de grau i em

z = (z1, . . . , zn) e fm̸≡ 0. Em particular, existe um conjunto de mudan¸cas C-lineares de coordenadas

emCn_{, aberto e denso por Zariski, ap´}_{os as quais f}

m(0, . . . , 0, 1)̸= 0 _■

O n´umero m∈ N na Observa¸c˜ao 1.2 ´e a ordem de f em 0.

1.3. Defini¸c˜ao. Um polinˆomio mˆonico p(u, zn)∈ On−1[zn] ´e dito um polinˆomio de Weierstraß em

zn se p(0, zn) = zmn para algum m∈ N.

1.4. Teorema (Weierstraß). Seja f uma fun¸c˜ao anal´ıtica definida em uma vizinhan¸ca aberta de 0 ∈ Cn _{tal que lim}

zn→0 f (0,zn)

zm

n ̸= 0. Ent˜ao existem um germe invers´ıvel α ∈ On e um polinˆomio de

Weierstraß p(u, zn) = znm+ c1(u)zmn−1+· · · + cm(u) ∈ On₋₁[zn] tais que f (u, zn) = α(u, zn)p(u, zn).

Tais α e p são únicos. Além disto, ci(u) = O|u|i para todo 1⩽ i ⩽ m se m é a ordem de f em 0.

Para qualquer g∈ On, existem ´unicos q∈ On e r∈ On₋₁[zn]<m tais que g = pq + r.

Suponha que os coeficientes de p(u, zn) s˜ao anal´ıticos em uma vizinhan¸ca de ∆(0, r), que, para cada

u∈ ∆(0, r), o polinômio p(u, zn) não possui ra´ızes com|zn| ⩾ rn− ε e que a fun¸cão g é limitada sobre

o polidisco ∆ := ∆(0, r)× ∆(0, rn), onde r∈ Rn>0−1 e rn > ε > 0. Então as fun¸cões q e r são holomorfas

sobre ∆ e existe uma constante c > 0 que independe de g tal que sup_∆|q|, sup_∆|r| ⩽ c · sup_∆|g|. Demonstra¸c˜ao. Caso s = 0, n˜ao h´a nada para demonstrar. Suponha s > 0.

Sendo os zeros de f (0, zn) isolados, encontramos um n´umero rn> 0 tal que f (0, 0) = 0 e f (0, zn)̸= 0

para todo zn com 0 < |zn| ⩽ rn. Sendo f cont´ınua e

{

zn ∈ C | |zn| = rn

}

um compacto, existem um poliraio r ∈ Rn_>0−1 e um n´umero 0 < ε < rn tais que f (u, zn) ̸= 0 para todos u ∈ ∆(0, r) e

rn− ε ⩽ |zn| ⩽ rn+ ε. A fun¸c˜ao pku := 1 2πi ∫ |z|=rn+δ (_{∂f (u, z}_n₎ ∂zn / f (u, zn) ) z_nkd zn ´

e anal´ıtica em u∈ ∆(0, r) e independe de δ para −ε < δ < ε. Em particular, pelo Lema 1.1, o n´umero de zeros de f (u, zn) no disco ∆(0, rn+ δ) para ∆(0, r)∋ u fixo ´e igual a m (contando com multiplicidade),

pois p00 = m uma vez que lim zn→0

f (0,zn) zm

(2)

vemos que pku = m

∑

i=1

(qiu)k pelo Lema 1.1. Assim, obtemos um polinˆomio p(u, zn) := m

∏

i=1

(zn− qiu) =

znm+ c1(u)znm−1+· · · + cm(u) ∈ On−1[zn] cujos coeficientes s˜ao anal´ıticos em u ∈ ∆(0, r), pois s˜ao

polinˆomios nos pku’s pelo teorema conhecido sobre polinˆomios sim´etricos. De q10 = · · · = qm0 = 0

segue que p(u, zn) ´e um polinˆomio de Weierstraß.

Para qualquer ∆(0, r)∋ u fixo, a fun¸c˜ao α(u, zn) :=f (u,z_p(u,zn)

n) ´e anal´ıtica em zn ∈ ∆(0, rn+ δ) e nunca

nula. Por outro lado, α(u, zn) ´e anal´ıtica na regi˜ao dada por u ∈ ∆(0, r) e rn− ε < |zn| < rn + ε,

pois f e, portanto, p, n˜ao possuem zeros nesta regi˜ao. Pela f´ormula de Cauchy, temos α(u, zn) = 1

2πi

∫

|z|=rn+δ α(u,z)

z−zn d z para qualquer (u, zn)∈ ∆ := ∆(0, r) × ∆(0, rn), onde 0 < δ < ε. Da´ı conclu´ımos

que α ´e anal´ıtica e invers´ıvel sobre ∆.

A unicidade segue da rigidez de fun¸c˜oes anal´ıticas: um polinˆomio de Weierstraß p(u, zn) ´e

univoca-mente determinado por suas ra´ızes em ∆(0, rn), onde u percorre ∆(0, r), tomando r e rnarbitrariamente

pequenos. As cotas ci(u) = O|u|i s˜ao imediatas.

Para a unicidade na segunda parte do teorema, basta observar que, caso p(u, zn)q(u, zn) = r(u, zn)∈

On₋₁[zn]<m, para cada u fixo, as ra´ızes de p(u, zn) s˜ao ra´ızes de r(u, zn), contando com multiplicidade.

Para a existˆencia, podemos supor que os coeficientes de p(u, zn) s˜ao anal´ıticos em uma vizinhan¸ca

de ∆(0, r), que, para cada u∈ ∆(0, r), o polinˆomio p(u, zn) n˜ao possui ra´ızes com|zn| ⩾ rn− ε e que a

fun¸c˜ao g ´e limitada sobre o polidisco ∆ := ∆(0, r)× ∆(0, rn), onde r∈ Rn>0−1 e rn> ε > 0.

Fa¸camos q(u, zn) := lim δ→0+ 1 2πi ∫ |z|=rn−δ g(u, z) p(u, z)(z− zn) d z

para qualquer (u, zn)∈ ∆ := ∆(0, r)×∆(0, rn). (Note que o limite se atinge se δ < rn−|zn|.) ´E imediato

que q ´e anal´ıtica sobre ∆. Logo, a fun¸c˜ao r := g− pq ´e anal´ıtica sobre ∆. Pela f´ormula de Cauchy, r(u, zn) = lim δ→0+ 1 2πi ∫ |z|=rn−δ (_{p(u, z)} z− zn −p(u, zn) z− zn )_{g(u, z)} p(u, z)d z

para qualquer (u, zn)∈ ∆. Observando que p(u,z) z−zn −

p(u,zn)

z−zn ´e um polinˆomio em z, zn de grau < m com

coeficientes holomorfos em u∈ ∆(0, r), obtemos a existˆencia desejada. Pelo princ´ıpio do m´aximo, m := inf

u∈∆(0,r) |z|=rn

p(u, z) = inf

|u|=r |z|=rn

p(u, z) > 0. Portanto, sup∆|r| ⩽

c0m−1sup∆|g| para uma constante c0 > 0. Aplicando este princ´ıpio para q = g−r_p , obtemos |q| ⩽

m−1(sup_∆|g| + sup_∆|r|)_■

2. ´Algebra de On

2.1. Corol´ario. On ´e noetheriano.

Demonstra¸c˜ao. Seja 0 ̸= p ∈ I ◁ On. Pela Observa¸c˜ao 1.2 e pelo Teorema 1.4, podemos supor

que p ´e um polinˆomio de Weierstraß em zn. Pela divis˜ao no Teorema 1.4,On/Onp ´e umOn−1-m´odulo

finitamente gerado. Resta proceder por indu¸c˜ao sobre n_■

2.2. Observa¸c˜ao. Sejam 0̸= f1, . . . , fk ∈ On. Ent˜ao existe um conjunto de mudan¸cas C-lineares

de coordenadas em Cn_{, aberto e denso por Zariski, que providenciam as decomposi¸c˜}_{oes f}

i = αipi,

1⩽ i ⩽ k, onde αi∈ On são invers´ıveis e pi∈ On₋₁[zn] são polinômios de Weiersttraß em zn.

Demonstra¸c˜ao. Fazendo fi(tz) = ∞

∑

j=mi

fi,j(z)tj com fi,mi(z)̸≡ 0 como na Observa¸c˜ao 1.2, basta

mandar um ponto p∈ Cn satisfazendo f p̸= 0 para p 7→ (0, . . . , 0, 1), onde f :=

k

∏

i=1

(3)

2.3. Observa¸c˜ao. Seja f ∈ On₋₁[zn] um polinˆomio e seja p∈ On₋₁[zn] um polinˆomio de Weierstraß.

Se f = ph com h∈ On, ent˜ao h∈ On₋₁[zn].

Demonstra¸c˜ao. O polinˆomio p ´e mˆonico. Portanto, f = pq +r, onde q, r∈ On−1[zn] e deg r < deg p.

Por outro lado, f = ph. Pela unicidade da divis˜ao no Teorema 1.4, h = q e r = 0_■

2.4. Observa¸c˜ao. Seja p∈ On₋₁[zn] um polinômio de Weierstraß. Então p é irredut´ıvel emOn se

e s´o se p ´e irredut´ıvelOn₋₁[zn].

Demonstra¸c˜ao. Se p = p1p2 com p1, p2 ∈ On−1[zn], ent˜ao p(0, zn) = znm implica que, a menos de

multiplica¸c˜ao por uma constante n˜ao-nula, temos pi(0, zn) = znmi com m1+ m2= m. Reciprocamente,

seja p = f1f2 uma decomposi¸c˜ao n˜ao-trivial em On. Ent˜ao p(0, zn) = znm implica que fi(0, zn) =

si(zn)zmni com m1+ m2= m, onde s1(zn)s2(zn) = 1 e mi> 0. Pelo Teorema 1.4, fi = αipi, onde pi´e

um polinˆomio de Weierstraß de grau mi em zn e αi´e invers´ıvel emOn. Pela Observa¸c˜ao 2.3, pi divide

p emOn−1[zn]■

2.5. Corol´ario. On ´e fatorial.

Demonstra¸c˜ao. SendoOn noetheriano, basta mostrar a implica¸c˜ao

• p divide fg em On implica que p divide f emOn ou p divide g emOn

para f, g, p∈ Oncom p irredut´ıvel emOn. Pela Observa¸c˜ao 2.2, podemos supor que f, g, p s˜ao polinˆomios

de Weierstraß. Pela Observa¸c˜ao 2.3, p divide f g emOn−1[zn] e, pela Observa¸c˜ao 2.4, p ´e irredut´ıvel em

On−1[zn]. Por indu¸c˜ao sobre n e pelo teorema de Gauß,On−1[zn] ´e fatorial_■

2.6. Observa¸c˜ao. Seja f (zn) ∈ On−1[zn] um polinômio mônico. Então existem um polinômio

mônico α(zn) ∈ On−1[zn] e um polinômio de Weierstraß p(zn) ∈ On−1[zn] em zn tais que α(0) é

invers´ıvel emOn₋₁ e f (zn) = α(zn)p(zn).

Demonstra¸c˜ao. Para algum m∈ N, lim

zn→0 f (0,zn)

zm

n ̸= 0. Pelo Teorema 1.4, encontramos um polinˆomio

de Weierstraß p∈ On−1[zn] em zn e um elemento invers´ıvel α∈ On tais que f = αp. Por outro lado,

sendo p mˆonico podemos dividir f por p com resto: f = pq + r, onde q, r ∈ On−1[zn] e deg r < deg p.

Pela unicidade da divis˜ao no Teorema 1.4, α = q e r = 0_■

Sejam v0, . . . , vm, w0, . . . , wn, x vari´aveis. Consideramos polinˆomios

f (x) := v0xm+ v1xm−1+· · · + vm, g(x) := w0xn+ w1xn−1+· · · + wn. As linhas da matriz M :=           v0 v1 ... vm 0 0 ... 0 v0 ... vm−1vm 0 ... .. . . .. . .. 0 ... 0 v0 v1 ... vm w0w1 w2 ... wn 0 ... 0 w0 w1 w2 ... wn ... .. . . .. . .. 0 ... 0 w0 ... wn−1 wn          

podem ser lidas como os polinˆomios xn−1f (x), xn−2f (x), . . . , f (x), xm−1g(x), xm−2g(x), . . . , g(x). Seja L := [c0c1... cn−1d0d1... dm−1] a ´ultima linha da matriz adjunta adj M . Ent˜ao a igualdade LM =

[0 ... 0 det M] se lˆe como

(2.7) g0(x)f (x) + f0(x)g(x) = r(f, g),

onde g0(x) := c0xn−1+ c1xn−2+· · · + cn−1, f0(x) := d0xm−1+ d2xm−2+· · · + dm−1 e r(f, g) := det M .

Note que r(f, g), chamado de resultante dos polinômios f e g, ´e um polinômio bihomogêneo de bigrau (n, m) em coeficientes (v, w) dos polinˆomios.

(4)

Sejam v0, q1, . . . , qm, w0, r1, . . . , rn vari´aveis. Para 1⩽ i ⩽ m e 1 ⩽ j ⩽ n, fazemos vi := v0si(q) e wj:= w0sj(r), isto ´e, f (x) = v0 m ∏ i=1 (x− qi) e g(x) = w0 n ∏ j=1 (x− rj). Sabendo que s1(q), . . . , sm(q), s1(r),

. . . , sn(r) s˜ao algebricamente independentes, conclu´ımos que v0, v1, . . . , vm, w0, w1, . . . , wn s˜ao

algebri-camente independentes. 2.8. Teorema. r(f, g) = vn 0w0m ∏ 1⩽i⩽m 1⩽j⩽n (qi− rj).

Demonstra¸c˜ao. O fato que vn

0wm0 divide r(f, g) ´e imediato.

Substituindo rj := qi, deduzimos de (2.7) que r(f, g)|rj:=qi = 0, ou seja, que qi− rj divide r(f, g).

Conclu´ımos que a parte direita da igualdade no teorema, denotada por p, divide r(f, g). Note que p = vn 0 m ∏ i=1 g(qi) = (−1)mnwm0 n ∏ j=1

f (rj). Portanto, em termos das vari´aveis independentes

(v, w), o polinˆomio p ´e homogˆeneo de grau m em w e ´e homogˆeneo de grau n em v. Logo, r(f, g) = qp com q∈ Q. O coeficiente do monˆomio vn

0wnmem r(f, g), tal como em p, ´e 1■

2.9. Corol´ario. Seja D um dom´ınio fatorial e sejam f, g ∈ D[x] polinômios mônicos. Então f e g são coprimos em D[x] se e só se r(f, g)̸= 0.

Demonstra¸c˜ao. Se r(f, g)̸= 0, então, pela fórmula (2.7), os polinômios f e g não possuem uma raiz comum no fecho alg´ebrico K do corpo de fra¸c˜oes K := K D de D e, portanto, são coprimos em D[x]. Se r(f, g) = 0, então, pelo Teorema 2.8, f (r) = g(r) = 0 para algum r ∈ K. Denotamos por p ∈ K[x] o polinˆomio minimal de r sobre K. Existe um polinômio p0∈ D[x] com o conteúdo (= o maior divisor

comum dos coeficientes) igual a 1 tal que p = kp0 com k∈ K. Sabemos que p0 divide f e g em K[x],

isto ´e, df = f0p0 e dg = g0p0 para alguns f0, g0 ∈ D[x] e 0 ̸= d ∈ D. Pelo lema de Gauß, ambos os

conte´udos de f0e de g0 s˜ao iguais a d. Em outras palavras, p0 divide f e g em D[x]■

2.10. Corol´ario. Sejam f e g fun¸cões anal´ıticas definidas em uma vizinhan¸ca aberta de 0 ∈ Cn. Suponha que os germes f0e g0são coprimos emOCn_,0. Então os germes f_pe g_psão coprimos emO_Cn_,p,

onde p percorre uma vizinhan¸ca aberta de 0.

Demonstra¸c˜ao. Podemos supor que f e g s˜ao polinˆomios de Weierstraß em zn, f, g∈ On−1[zn]. ■

3. Teorema de Oka

3.1. Teorema (Oka). Seja M uma variedade anal´ıtica. Ent˜ao o feixe OM de fun¸c˜oes anal´ıticas sobre

M ´e coerente.

Demonstra¸c˜ao. _■

Dizemos que um subespa¸co S⊂ T em um espa¸co topol´ogico T ´e relativamente compacto se o fecho S ´e compacto.

3.2. Teorema (propriedade noetheriana forte). Seja M uma variedade anal´ıtica, seja F um feixe coerente sobre M , sejam Fm⩽ Fm+1⩽ F , m ∈ N, subfeixes coerentes e seja M ⊃ U um conjunto

aberto relativamente compacto. Ent˜ao existe m0∈ N tal que Fm|U = Fm+1|U para todos m⩾ m0.

Demonstra¸c˜ao. Escolhendo uma cobertura aberta de U por polidiscos relativamente compactos em M , podemos supor que U e M s˜ao polidiscos em Cn centrados na origem, U ⊂ M ⊂ Cn, e que temos um epimorfismo π :O_Mk+1 → F . Considerando O_Mk+1 no lugar de F e π−1Fm no lugar de Fm,

podemos supor que F =Ok+1_M . Usando as sequˆencias exatas 0→ Ok M → O

k+1

M → OM → 0, reduzimos

(5)

Podemos tamb´em supor que F0M ∋ p(zn), um polinˆomio de Weierstraß em zn cujos coeficiente s˜ao

definidos,

■

4. Espa¸cos anal´ıticos

4.1. Defini¸c˜ao. Seja M uma variedade anal´ıtica. Um subconjunto fechado A⊂ M é um conjunto anal´ıtico em M se, para todo p ∈ A, existem uma vizinhan¸ca aberta p ∈ U ⊂ M e fun¸cões anal´ıticas f1, . . . , fm∈ OMU tais que A∩ U = {q ∈ U | f1q =· · · = fmq = 0}. As fun¸cões f1, . . . , fms˜ao equa¸cões

locais de A sobre U . ´

E fácil ver que uniões e interse¸cões finitas de conjuntos anal´ıticos são conjuntos anal´ıticos. Seja M ⊃ U um conjunto aberto e seja M ⊃ A um conjunto anal´ıtico em M. É imediato que A ∩ U é um conjunto anal´ıtico em U .

Em seguida, vamos precisar do seguinte fato.

4.2. Observa¸c˜ao. Seja M uma variedade anal´ıtica conexa e seja M ⊋ A um conjunto anal´ıtico próprio. Então M\ A é conexo e denso em M. Qualquer fun¸cão anal´ıtica f ∈ OM(M \ A) limitada

em cada U\ A, onde U percorre uma cobertura aberta de A, se estende univocamente a uma fun¸c˜ao ˆ

f ∈ OMM .

4.3. Defini¸c˜ao. Seja M uma variedade anal´ıtica e seja M ∋ p um ponto. Dados conjuntos A, A′∋ p anal´ıticos em algumas vizinhan¸cas abertas de p, introduzimos uma rela¸c˜ao de equivalˆencia: A∼pA′se e

só se existe uma vizinha¸ca aberta p∈ U ⊂ M de p tal que A ∩ U = A′∩ U. As classes desta equivalência s˜ao ditas germes anal´ıticos em p e são denotados por (A, p), onde A é um representante da classe.

Uniões e interse¸cões finitas no n´ıvel de representantes definem corretamente uniões e interse¸cões finitas de germes anal´ıticos em p. De modo semelhante, podemos tratar a inclusão de germes anal´ıticos em p. 4.4. Defini¸c˜ao. Dizemos que um germe anal´ıtico (A, p) ´e irredut´ıvel se (A, p) = (A1, p)∪ (A2, p)

implica (A, p) = (A1, p) ou (A, p) = (A2, p).

4.5. Defini¸c˜ao. Seja (A, p) um germe anal´ıtico em p. Denotamos por

I(A, p) :={f ∈ OM,p| f(A ∩ U) = 0 para alguma vizinhan¸ca aberta p ∈ U ⊂ M

} o ideal do germe, I(A, p) ◁OM,p.

SejaOM,p▷ I um ideal. Pelo Corol´ario 2.1, I admite um n´umero finito de geradores g1, . . . , gm∈ I

e os gi’s possuem representantes g1, . . . , gm ∈ OMU , onde M ⊃ U ∋ p ´e uma vizinhan¸ca aberta de p

em M . Definindo A :={q ∈ U | g1q =· · · = gmq = 0}, obtemos um conjunto anal´ıtico em U. ´E f´acil

verificar que o germe anal´ıtico V I := (A, p) independe da escolha de geradores gi’s e da escolha de U .

4.6. Observa¸c˜ao. Sejam (A, p) e (A′, p) germes anal´ıticos em p e sejamOM,p▷ I, I′ ideais. Ent˜ao

(A, p) ⊃ (A′, p) implica I(A, p) ⊂ I(A′, p) e I ⊂ I′ implica V I ⊃ V I′. Al´em disto, I ⊂ I(V I) e V(I(A, p))= (A, p).

Demonstra¸cão. A inclus˜ao V(I(A, p)) ⊃ (A, p) é óbvia. Por outro lado, se (A, p) é dado por equa¸c˜oes locais f1, . . . fm ∈ OM,p, ent˜ao f1, . . . fm ∈ I(A, p), implicando V

(

I(A, p)) ⊂ (A, p). As afirma¸cões restantes são óbvias_■

4.7. Observa¸c˜ao. Um germe anal´ıtico (A, p) ´e irredut´ıvel se e s´o se o ideal I(A, p) ´e primo emOM,p.

Demonstra¸c˜ao. Se f1f2 ∈ I(A, p), ent˜ao (A, p) = (A1, p)∪ (A2, p), onde (Ai, p) := V

(

I(A, p) + OM,pfi

)

(6)

(A1, p)∪ (A2, p) com (A, p)̸= (Ai, p), ent˜ao existem germes de fun¸c˜oes fi⊂ OM,p\ I(A, p), i = 1, 2, tais

que fiAi= 0. Portanto, f1f2∈ I(A, p) e I(A, p) n˜ao ´e primo_■

4.8. Observa¸c˜ao. Sejam (Am, p)⊃ (Am+1, p), m∈ N, germes anal´ıticos em p. Ent˜ao existe m0∈ N

tal que (Am, p) = (Am+1, p) para todo m⩾ m0.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Corol´ario 2.1 e pela Observa¸c˜ao 4.6, podemos supor que I(Am, p) = I(Am+1, p)

para todo m∈ N. Pela Observa¸c˜ao 4.6, (Am, p) = (Am+1, p)_■

4.9. Observa¸c˜ao. Cada germe anal´ıtico (A, p) em p admite uma ´unica decomposi¸c˜ao na uni˜ao finita de subgermes anal´ıticos irredut´ıveis maximais, chamados componentes irredut´ıveis de (A, p).

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente mostraremos que (A, p) se decomp˜oe na uni˜ao finita de subgermes irredut´ıveis. Sen˜ao, (A, p) ´e redut´ıvel e (A, p) = (A1, p)∪ (B1, p), onde um dos subgermes, digamos,

(B1, p), não admite uma decomposi¸cão na uni˜ao finita de subgermes irredut´ıveis. Logo, (B1, p) é

redu-t´ıvel, (B1, p) = (A2, p)∪ (B2, p) e assim por diante. Obtemos (Bm, p) ⊋ (Bm+1, p) para todo m∈ N,

contradizendo a Observa¸c˜ao 4.8.

Tendo uma decomposi¸c˜ao (A, p) = (A1, p)∪ · · · ∪ (Am, p) na uni˜ao de germes irredut´ıveis, podemos

supor que (Ai, p)̸⊂ (Aj, p) para todos i̸= j.

Note que (B, p)⊂ (B1, p)∪ (B2, p) implica (B, p)⊂ (B1, p) ou (B, p)⊂ (B2, p) se o germe anal´ıtico

(B, p) ´e irredut´ıvel. Portanto, qualquer subgerme irredut´ıvel de (A, p) est´a contido em um dos (Ai, p)’s.

Em particular, os (Ai, p)’s formam uma lista completa de subgermes irredut´ıveis maximais_■

4.10. Estrutura de germes anal´ıticos. Seja (A, 0) := V I um germe anal´ıtico na origem 0∈ Cn_,

onde I ◁O_Cn,0=On.

4.10.1. Observa¸c˜ao. Existe um n´umero 0 ⩽ d ⩽ n e um conjunto de mudan¸cas C-lineares de coordenadas emCn, aberto e denso por Zariski, ap´os as quais I∩ Od = 0 e, para cada d + 1⩽ i ⩽ n,

existe pi = zmi i+ ci,1zimi−1+· · · + ci,mi ∈ I ∩ Oi−1[zi], um polinˆomio de Weierstraß em zi, tal que

ci,j = O|z|j.

Demonstra¸c˜ao. Se I = 0, n˜ao há nada para fazer al´em de indicar d := n. Caso contr´ario, esco-lhemos 0 ̸= pn ∈ I de ordem mn > 0 em 0. Pela Observa¸cão 1.2 e pelo Teorema 1.4, após uma

mudan¸caC-linear de coordenadas em Cn_{, podemos supor que p}

n´e um polinˆomio de Weierstraß em zn,

pn= zmnn+ cn,1znmn−1+· · · + cn,mn∈ I ∩ On−1[zn], com cn,j= O|z|

j_{. Resta considerar I}_{∩ O}

n₋₁◁On₋₁

e proceder por indu¸c˜ao sobre n_■

Em seguida, atuamos na situa¸cão após a mudan¸ca de coordenadas descrita na Observa¸cão 4.10.1. Denotamos u := (z1, . . . , zd) e w := (zd+1, . . . , zn).

4.10.2. Observa¸c˜ao. Se rm+ c1rm−1+· · ·+cm= 0 com c1, . . . , cm, r∈ C, ent˜ao |r| ⩽ 2 max 1⩽j⩽m|cj|

1

j_.

Demonstra¸c˜ao. Caso contr´ario, temos |r|j _{> 2}j_|c

j| para todos j, isto ´e, |c_|r|jj| < 2−j. Segue de

−1 = c1 r + c2 r2+· · ·+ cm rm que 1 =| c1 r + c2 r2+· · ·+ cm rm| ⩽ | c1 r|+| c2 r2|+· · ·+| cm rm| ⩽ 2−1+2−2+· · ·+2−m< 1■

4.10.3. Lema. Existem r0∈ Rd>0, s0∈ Rn>0−de uma constante c > 0 tais que A ´e dado por equa¸c˜oes

locais em ∆(0, r0)× ∆(0, s0), A⊂

{

(u, w)∈ ∆(0, r0)× ∆(0, s0)| c|u| ⩾ |w|

}

e a proje¸cão Cn → Cd, (u, w)7→ u, induz uma fun¸cão própria A ∩(∆(0, r)× ∆(0, s))−→ ∆(0, r) para quaisquer rπ 0⩾ r ∈ Rd>0

e s0⩾ s ∈ Rn>0−dsujeitos `a desigualdade cr⩽ s.

Demonstra¸c˜ao. Pelas Observa¸c˜oes 4.10.1 e 4.10.2, existem constantes cd+1, . . . , cn > 0 tais que,

para todo d + 1⩽ i ⩽ n e qualquer (z1, . . . , zn)∈ A, valem as desigualdades |zi| ⩽ ci

(

|z1| + · · · + |zi−1|

) . Isto implica a existˆencia de uma constante c > 0 tal que A⊂{(u, w)∈ ∆(0, r0)× ∆(0, s0)| c|u| ⩾ |w|

} .

(7)

Para mostrar que π ´e pr´opria, basta verificar que π−1∆(0, r′) ´e um compacto para qualquer r > r′ ∈ Rd

>0. Se (u, w) ∈ A e |u| ⩽ r′ < r, ent˜ao |w| ⩽ c|u| ⩽ cr′ < cr ⩽ s. Em outras palavras,

π−1∆(0, r′) = A∩(∆(0, r′)× ∆(0, cr′))⊂ ∆(0, r) × ∆(0, s)_■

4.10.4. Corol´ario. A extens˜ao Od,→ On/I ´e inteira e gerada por zd+1, . . . , zn.

Demonstra¸cão. Utilizando apenas a Observa¸cão 4.10.1, por indu¸c˜ao sobre n, conclu´ımos que a extensão Od ,→ On₋₁/(I∩ On₋₁) ´e inteira e gerada por zd+1, . . . , zn₋₁. Pela divisão no Teorema 1.4,

On/Onpn ´e umaOn−1-´algebra gerada pelo elemento zn inteiro sobreOn−1 ■

Assumimos agora que I ´e primo. Denotamos por K := KOd o corpo de fra¸c˜oes de Od e por

F := K(On/I), o corpo de fra¸c˜oes deOn/I.

Vamos precisar do seguinte fato.

4.10.5. Lema (sobre elemento primitivo). Seja K⊂ F = K[g1, . . . , gm] uma extens˜ao alg´ebrica

separ´avel de corpos e seja K ⊃ k um subcorpo infinito. Ent˜ao, para alguns c1, . . . , cm ∈ k, temos

F = K[g], onde g :=

m

∑

i=1

cigi, e existe um conjunto aberto e denso por Zariski de tais (c1, . . . , cm).

Aplicando o Lema 4.10.5 para k :=C e fazendo uma mudan¸ca de coordenadas, podemos supor que F = K[zd+1].

4.10.6. Observa¸c˜ao. Seja D um dom´ınio fatorial e seja K∋ r um elemento inteiro sobre D, onde K denota o fecho algébrico do corpo de fra¸cões K := K D de D. Então o polinômio minimal p(x) de r sobre K pertence a D[x].

Demonstra¸c˜ao. Seja f (x)∈ D[x] um polinômio mônico tal que f(r) = 0. Claramente, p(x) divide f (x) em K[x]. Portanto, todas as ra´ızes de p(x) em K são inteiras sobre D, implicando que os coeficientes de p(x) são inteiros sobre D. Resta observar que, em K, apenas os elementos de D são inteiros sobre D. Com efeito, se (a

d) m_{+ c}

1(a_d)m−1+· · · + cm= 0, onde a, d, c1, . . . , cm ∈ D com a e d coprimos em D,

ent˜ao am_{+ c}

1am−1d +· · · + cmdm = 0 e qualquer divisor irredut´ıvel de d deve dividir a. Logo, d ´e

invers´ıvel em D e a_d ∈ D _■

4.10.7. Observa¸c˜ao. Seja f ∈ On. Ent˜ao o polinˆomio minimal p(x)∈ K[x] de f ∈ On/I sobre K

´

e um polinˆomio de Weierstraß em x, p(x)∈ Od[x].

Demonstra¸cão. Pelo Corol´ario 4.10.4, f ´e inteiro sobreOd. Pelos Corolário 2.5 e Observa¸cão 4.10.6,

p(x)∈ Od[x]. Pela Observa¸c˜ao 2.6, p(x) = α(x)q(x), onde α(x)∈ Od[x] ´e um polinˆomio mˆonico tal que

α(0) ´e invers´ıvel em Od e q(x)∈ Od[x] ´e um polinˆomio de Weierstraß em x. J´a que p(x) ´e irredut´ıvel

em K[x], conclu´ımos que α(x) = 1_■

Denotamos por p(x)∈ Od[x] o polinˆomio minimal de zd+1∈ On/I sobre K. Sejam r1, . . . , rmtodas

as ra´ızes de p(x) no fecho alg´ebrico K de K. O discriminante δ := ∏

1⩽i<j⩽m

(rj− ri)2∈ Od de p(x) n˜ao

´

e nulo, pois p(x) ´e irredut´ıvel sobre o corpo K de caracter´ıstica 0. Note que as regras σj : zd+17→ rj,

1⩽ j ⩽ m, definem todos os K-homomorfismos de F := K[zd+1] para K.

4.10.8. Lema. Se f∈ F = K[zd+1] ´e inteiro sobre Od, ent˜ao δf ∈ Od[zd+1].

Demonstra¸c˜ao. Para alguns xi∈ K, 0 ⩽ i ⩽ m − 1, temos f = m∑₋₁ i=0 xizid+1. Da´ı, σjf = m∑₋₁ i=0 xirij. A matriz M :=       1 1 ... 1 r1 r2 ... rm r2 1 r22 ... r2m .. . ... . .. ... rm−1₁ rm−1₂ ... rm−1_m      

(8)

tem determinante det M = ∏

1⩽i<j⩽m

(rj− ri). Realmente, considerando os rj’s como vari´aveis, vemos

que det M tem grau (m−1)m₂ nos rj’s e ´e divis´ıvel por rj− ri para quaisquer 1⩽ i < j ⩽ m. Ambos os

lados da igualdade det M = ∏

1⩽i<j⩽m

(rj− ri) cont´em o monˆomio r2r23. . . rmm−1 com coeficiente 1.

Levando em conta que δ = (det M )2 _{e que det M , os coeficientes da matriz adjunta adj M e os σ} jf

s˜ao inteiros sobreOd. De [x0... xm−1] det M = [σ1f ... σmf] adj M , deduzimos que xiδ ´e inteiro sobreOd,

implicando que xiδ∈ Od _■

Para cada d + 2⩽ i ⩽ n, denotamos por p(x), qi(x)∈ Od[x] os polinˆomios minimais de zd+1 e de zi

sobre K (vide a Observa¸c˜ao 4.10.7). Seja m := deg p(x). Pelo Lema 4.10.8, para cada d + 2⩽ i ⩽ n, existe um ´unico polinˆomio gi(x)∈ Od[x]<mtal que δzi− gi(zd+1)∈ I. Para d + 1 ⩽ k ⩽ n, denotamos

por Jk◁Ok o ideal gerado por p(zd+1) e por δzi− gi(zd+1), d + 2⩽ i ⩽ k. Obviamente, Jk−1⊂ Jk.

4.10.9. Lema. Para todo d + 1⩽ k ⩽ n, temos δmk_O

k ⊂ Jk+Od[zd+1]<m.

Demonstra¸c˜ao. Pela Observa¸c˜ao 4.10.7, p(zd+1)∈ Od[zd+1] ´e um polinˆomio de Weierstraß em zd+1.

A afirma¸cão é v´alida para k = d + 1 pela divis˜ao no Teorema 1.4. Procedemos por indu¸c˜ao sobre k. Seja f ∈ Ok. Pela Observa¸c˜ao 4.10.7, qk(zk) ∈ Od[zk] ⊂ Ok−1[zk] é um polinômio de Weierstraß

em zk. Pela divis˜ao no Teorema 1.4, existem q∈ Ok e r(zk)∈ Ok−1[zk]⩽m tais que f = qk(zk)q + r(zk),

pois deg qk(x)⩽ m. Por indu¸c˜ao sobre k e por p(zd+1), δzk− gk(zd+1)∈ Jk, obtemos δm(k−1)δmr(zk)∈

Jk+Od[zd+1]<m. Resta demonstrar que δmkqk(zk)∈ Jk.

Basta observar que δmqk

(

δ−1gk(zd+1)

)

∈ Jd+1 levando em conta que deg qk(x)⩽ m. Sendo p(x) o

polinˆomio minimal de zd+1 sobre K, deduzimos das igualdades zk = δ−1gk(zd+1) e qk(zk) = 0, v´alidas

em F , que p(x) divide qk ( δ−1gk(x) ) em K[x]. Portanto, p(x) divide δm_q k ( δ−1gk(x) ) ∈ Od[x] emOd[x]■

4.10.10. Corol´ario. SejaOn▷ J o ideal emOn gerado por p(zd+1) e δzi− gi(zd+1), d + 2⩽ i ⩽ n.

Ent˜ao δmn_I_{⊂ J ⊂ I.}

Demonstra¸cão. A inclus˜ao J ⊂ I é óbvia. Levando em conta que I ∩ Od[zd+1]<m= 0, conclu´ımos

pelo Lema 4.10.9 que δmn_I_{⊂ J} ■

4.10.11. Lema. Seja p : Y → X uma fun¸cão étale própria entre espa¸cos topológicos Hausdorff. Se Y ´

e localmente compacto, ent˜ao p ´e um recobrimento finito.

Demonstra¸c˜ao. Tomamos x∈ X. Sendo p étale, a imagem inversa p−1x é discreta. Sendo p própria, p−1x é um compacto. Logo, p−1x é finita, p−1x = {y1, . . . , ym}. Escolhemos vizinhan¸cas abertas

disjuntas yi∈ Vi ⊂ Y , 1 ⩽ i ⩽ m, tais que Vi→ pVi ´e um homeomorfismo com uma vizinhan¸ca aberta

pVi de x para todo i. Seja x∈ W ⊂ X uma vizinhan¸ca aberta tal que W ´e um compacto e W ⊂ pVi

para todo i. Definimos U := W \ p ( p−1W \ m ⊔ i=1 Vi )

. Ent˜ao U ´e aberto, pois p−1W ´e um compacto,

e x∈ U, pois x /∈ p ( p−1W \ m ⊔ i=1 Vi ) devido a p−1x⊂ m ⊔ i=1 Vi. Se y /∈ m ⊔ i=1 Vi e py ∈ U, ent˜ao py ∈ W e y∈ p−1W\ m ⊔ i=1 Vi contradizendo py∈ U. Logo, p−1U ⊂ m ⊔ i=1 Vi, implicando p−1U = m ⊔ i=1 (p−1U∩ Vi)■

4.10.12. Observa¸c˜ao. Sejam h(x) := xm+ c1xm−1+· · · + cm∈ C[x] e hi(x) := xm+ ci,1xm−1+

· · · + ci,m ∈ C[x], i ∈ N, polinˆomios mˆonicos tais que lim

i→∞ci,k= ck para todo 1⩽ k ⩽ m e seja h(r) = 0,

r∈ C. Ent˜ao existem ri∈ C, i ∈ N, tais que hi(ri) = 0 para todo i e lim i→∞ri= r.

Demonstra¸c˜ao. Trocando x por x+r, podemos supor que r = 0, implicando lim

i_→∞ci,m = 0. Se todas

as ra´ızes r dos polinˆomios hin(x), n ∈ N, satisfazem a desigualdade |r| ⩾ ε > 0, ent˜ao |cin,m| ⩾ ε m_.

(9)

4.10.13. Teorema (de parametriza¸c˜ao local). SejaOn p▷ I um ideal primo e seja (A, 0) := V I

o correspondente germe anal´ıtico. Ent˜ao I(A, 0) = I e existe um conjunto de mudan¸cas C-lineares de coordenadas em Cn_{, aberto e denso por Zariski, ap´}_{os as quais, para alguns 0} _{⩽ d ⩽ n, r}

0 ∈ Rd>0,

s0∈ Rn>0−d, m∈ N, 0 ̸= δ ∈ O∆(0, r0) e uma constante c > 0, valem as seguintes afirma¸c˜oes:

• Od,→ On/I ´e uma extens˜ao inteira finita de posto m;

• A ⊂{(u, w)∈ ∆(0, r0)× ∆(0, s0)| c|u| ⩾ |w|

} ;

• para quaisquer r0 ⩾ r ∈ Rd>0 e s0 ⩾ s ∈ Rn>0−d sujeitos a desigualdade cr⩽ s, a proje¸c˜ao C

n _{→ C}d_,

(u, w)7→ u, induz uma fun¸c˜ao pr´opria A ∩(∆(0, r)× ∆(0, s))−→ ∆(0, r) tal que |ππ −1u| ⩽ m para todo u∈ ∆(0, r);

• a restri¸c˜ao de π providencia um recobrimento AD p −→ ∆(0, r)\D de grau m, onde D :={u∈ ∆(0, r) | δu = 0}e AD:= A∩ (( ∆(0, r)\ D)× ∆(0, s) ) ´

e uma variedade anal´ıtica conexa de dimens˜ao d, densa em A∩(∆(0, r)× ∆(0, s)).

Demonstra¸cão. Al´em da desigualdade |π−1u| ⩽ m e da igualdade I(A, 0) = I, as primeiras três afirma¸cões foram demonstradas nos Corolário 4.10.4 e Lema 4.10.3.

Seja (u0, w0)∈ AD, w0= (zd+1,0, . . . , zn,0). Segue de δu0̸= 0 que_∂z∂p

d+1(u0, zd+1,0)̸= 0. Pelo teorema

da fun¸c˜ao impl´ıcita, existem uma vizinhan¸ca aberta u0∈ U ⊂ ∆(0, r) e uma fun¸c˜ao anal´ıtica f : U → C

tais que f u0 = zd+1,0 e p(u, f u) = 0 para todo u∈ U. Levando em conta que, pelo Corol´ario 4.10.10,

zi=

gi(u,zd+1)

δu para todo d + 2⩽ i ⩽ n em pontos de AD, obtemos uma parametriza¸c˜ao anal´ıtica local

de AD. Em outras palavras, AD´e uma variedade anal´ıtica de dimens˜ao d. Pelo Lema 4.10.11, p ´e um

recobrimento finito.

Escolhendo r0suficientemente pequeno, podemos supor que os coeficientes dos polinˆomios de

Weier-straß p(x), qd+2(x), . . . , qn(x)∈ Od[x] s˜ao limitados sobre ∆(0, r0).

Pela Observa¸c˜ao 4.10.2, para u∈ ∆(0, r) \ D com |u| suficiente pequeno, os zd+1, zd+2, . . . , zn dados

por p(u, zd+1) = 0 e zi =gi(u,zd+1)_δu , d + 2⩽ i ⩽ n, tˆem m´odulos arbitrariamente pequenos, pois tais zi’s

satisfazem as equa¸c˜oes qi(u, zi) = 0, d + 2⩽ i ⩽ n, pelo Corol´ario 4.10.10. Sendo ∆(0, r) \ D conexo

pela Observa¸c˜ao 4.2, p ´e um recobrimento de grau m.

Obviamente, I(A, 0)⊃ I. Seja f ∈ I(A, 0) \ I. Pela Observa¸cão 4.10.7, existe um polinômio mônico q(x) := xk_{+ c}

1xk−1+· · · + ck ∈ Od[x] irredut´ıvel em K[x] tal que u := fk+ c1fk−1+· · · + ck ∈ I.

Os coeficientes cj’s, u e f s˜ao definidos e limitados sobre ∆(0, r)× ∆(0, s) para r e s suficientemente

pequenos. Podemos escolher r e s de modo que u e f são nulos sobre A∩(∆(0, r)×∆(0, s))e cr⩽ s. Neste caso, p é um recobrimento de grau m, implicando que ck´e nulo sobre ∆(0, r)\ D. Pela Observa¸cão 4.2,

ck = 0. Sendo q(x) irredut´ıvel, obtemos k = 1, ou seja, f ∈ I. Portanto, I(A, 0) = I.

Seja AD = C1⊔ · · · ⊔ Ck a decomposi¸c˜ao de AD em componentes conexas. Para cada j, temos um

recobrimento Cj→ ∆(0, r) \ D de grau mj> 0 e m1+· · · + mk= m.

Fixamos 1⩽ j ⩽ k e escolhemos φ ∈ Cn∨ tal que φCd_{= 0; em outras palavras, φ ´}_{e uma forma linear}

em zd+1, . . . , zn. Para todo ponto u∈ ∆(0, r) \ D, existem uma vizinhan¸ca aberta u ∈ Uu⊂ ∆(0, r) \ D

e fun¸c˜oes holomorfas g1, . . . , gmj : U → Cj tais que p−1U ∩ Cj = m⊔j i=1

giU . Compondo φ com gi,

obtemos uma fun¸c˜ao anal´ıtica fi := φ◦ gi : Uu → C; tal fun¸cão é limitada pela Observa¸cão 4.10.2,

pois os coeficientes dos polinˆomios p(x), qd+2(x), . . . , qn(x) s˜ao limitados sobre ∆(0, r0). Montamos um

polinˆomio mˆonico hφ,j(x) := m∏j i=1

(x− fi) de grau mj cujos coeficientes pertencem a O∆(0,r)Uu e s˜ao

limitados. Considerando um outro ponto e sua vizinhan¸ca u′ ∈ Uu′ ⊂ ∆(0, r) \ D, ´e f´acil ver que os

correspondentes coeficientes dos polinˆomios sobre Uue sobre Uu′ se colam. Assim, obtemos um polinˆomio

hφ,j(x)∈ O∆(0,r)

(

∆(0, r)\D)[x]. Pela Observa¸c˜ao 4.2, obtemos hφ,j(u, x)∈ O∆(0,r)∆(0, r)[x]. Por

cons-tru¸c˜ao, hφ,j

(

(10)

Seja hφ(x) := hφ,1(x) . . . hφ,k(x). Ent˜ao (δu)hφ

(

u, φ(u, w))= 0 para todo (u, w)∈ A ∩(∆(0, r)× ∆(0, s)). Sendo I(A, 0) = I primo e δ /∈ I, obtemos hφ

(

u, φ(u, w)) = 0 para todo (u, w) ∈ A ∩ (

∆(0, r)× ∆(0, s)) com deg hφ(x) = m. Assim, hφ

(

u, φ(u, w))∈ I. Por constru¸c˜ao, se hφ(u, r) = 0 e

u∈ ∆(0, r) \ D, ent˜ao r = φ(u, w) para algum (u, w) ∈ AD.

Escolhendo φ := zd+1, vemos que hφ(zd+1) ∈ I. Logo, hφ(x) = p(x). Da´ı, k = 1, pois p(x) ´e

irredut´ıvel em K[x]. Em outras palavras, AD´e conexo.

Se |π−1u| > m para algum u ∈ ∆(0, r), podemos escolher φ de modo que os valores φw sejam distintos por pares para (u, w) ∈ π−1u. Neste caso, o polinˆomio hφ(u, x) teria > m ra´ızes φw, onde

(u, w)∈ π−1u, pois hφ

(

u, φ(u, w))∈ I. Conclu´ımos que |π−1u| ⩽ m para todo u ∈ ∆(0, r). Seja (u, w)∈

(

A∩(∆(0, r)× ∆(0, s)))\ AD. Ent˜ao u∈ D, (u, w) /∈ AD∩ π−1u e existe um funcional

φ∈ Cn∨_{tal que φ}_Cd_{= 0 e φ(u, w) /}_{∈ φ(A}

D∩ π−1u). Temos hφ

(

u, φ(u, w))= 0. Pela Observa¸c˜ao 4.2, encontramos uma sequˆencia ui ∈ ∆(0, r) \ D que converge a u. Pela Observa¸c˜ao 4.10.12, existem

ri∈ C tais que hφ(ui, ri) = 0 para todo i e lim

i→∞ri = φ(u, w). Sabemos que ri = φ(ui, wi) para alguns

(ui, wi)∈ AD. A sequˆencia convergente ui, i∈ N, junto com seu limite u, ´e um compacto e os pontos

(ui, wi), i∈ N, estão na π-pré-imagem deste compacto. Sendo π própria, podemos supor que a sequência

(ui, wi), i∈ N, converge. Seu limite est´a obviamente em AD∩ π−1u. Logo, φ(u, w) = lim

i→∞φ(ui, vi) =

φ( lim

i_→∞(ui, wi)

)

∈ φ(AD∩ π−1u). Uma contradi¸c˜ao_■

4.10.14. Nullstellensatz (D. Hilbert). SejaOn▷ I um ideal. Ent˜ao

√

I = I(V I).

Demonstra¸c˜ao. Sendo I(V I) um ideal radical, a inclus˜ao √I ⊂ I(V I) segue da Observa¸c˜ao 4.6. Se I ⊂ p ◁pOn, ent˜ao V I ⊃ V p e I(V I) ⊂ I(V p) = p pela Observa¸c˜ao 4.6 e pelo Teorema 4.10.13.

Resta lembrar que√I = ∩

I⊂p◁pOn

p_■

4.11. Defini¸c˜ao. Seja M ⊃ A um conjunto anal´ıtico em uma variedade anal´ıtica M. Denotamos por IA o ideal de I, isto ´e, o feixe de todas as fun¸c˜oes anal´ıticas que anulam-se em A. Este feixe ´e dado

por IAU :={f ∈ OMU | fp = 0 para todo p ∈ A ∩ U} para todo conjunto aberto U ⊂ M.

´

E claro que IA,p = I(A, p) para todo p ∈ M. Isto inclui as igualdades IA,p = OM,p para todo

p∈ M \ A. Se M ⊃ A, A′ s˜ao conjuntos anal´ıticos, ent˜ao obviamente IA∪A′ = IA∩ IA′.

4.12. Teorema (H. Cartan). Seja M ⊃ A um conjunto anal´ıtico em uma variedade anal´ıtica M. Ent˜ao o feixe IA´e coerente.

Demonstra¸c˜ao. Podemos supor M um polidisco arbitrariamente pequeno centrado na origem 0∈ Cn_{. Pela Observa¸}_c˜_{ao 4.9, A = A}

1∪ · · · ∪ Ak, onde os (Ai, 0), 1⩽ i ⩽ k, s˜ao germes anal´ıticos

irre-dut´ıveis. Sabendo que IA= k

∩

i=1

IAi, podemos supor pelo [Gal, Corol´ario 3.19.6] que (A, 0) ´e irredut´ıvel.

Denotamos I := I(A, 0) ◁pOn.

Vamos atuar como na demonstra¸c˜ao do Teorema 4.10.13, mas, nesta vez, variando zd+1. Isto significa

que, no lugar de zd+1, consideramos cz := cd+1zd+1+· · · + cnzn, onde c := (cd+1, . . . , cn)∈ Cn−d ´e

gen´erico. Isto quer dizer que On/I ∋ cz ´e primitivo em F := K(On/I) sobre K := K Od, ou seja,

F = K[cz] (vide o Lema 4.10.5).

Como na demonstra¸c˜ao do Teorema 4.10.13, seja δ(c, u) := ∏

1⩽i<j⩽m

(σjcz− σicz)2 ∈ Od[c](m−1)m

o discriminante do polinˆomio minimal p(c, u, x) := ∏

1_⩽i⩽m

(x− σicz) ∈ Od[c][x]m de cz sobre K, seja

qi(u, x)∈ Od[x]⩽m, d + 2⩽ i ⩽ n, o polinˆomio minimal de zi sobre K; de novo, p(c, u, x), qd+2(u, x),

. . . , qn(u, x) s˜ao polinˆomios de Weierstraß em x. Pelo Lema 4.10.8 aplicado a cz no lugar de zd+1,

(11)

gi´e um polinˆomio em c pode ser visto da demonstra¸c˜ao do Lema 4.10.8. Com efeito, ri:= σicz ´e linear

em c. Logo, os coeficientes da matriz adjunta adj M s˜ao polinomiais em c e det M ∈ Od[c](m−1)m

2

. Escolhemos poliraios r ∈ Rd

>0 e s ∈ R n−d

>0 sujeitos a cr ⩽ s, onde 0 < c ´e a constante do

Teorema 4.10.13, t˜ao pequenos que todos os coeficientes dos polinˆomios δ(c), p(c, u, x), qd+2(u, x), . . . ,

qn(u, x), gd+2(c, u, x), . . . , gn(c, u, x) pertencentes aOd est˜ao emO∆(0, r).

Seja p∈ M, onde M := ∆(0, r) × ∆(0, s). Escolhemos c ∈ Cn−r_{, que podemos interpretar como um}

funcional c∈ Cn∨ tal que cCd_{= 0, de modo que c ´}_{e injetivo sobre π}−1_(πp) ■