A continuidade da função imposto de renda: desfazendo mitos
From theory to practice: an experience of use of tics in graduation and its application in
Leonardo Gonçalves Rimsa Mestre em Matemática, Professor CEFET-MG - Contagem [email protected]
RESUMO
Este artigo analisa aspectos matemáticos do imposto de renda. Através da investigação da chamada “parcela a deduzir”, presente na tabela do imposto, divulgada pela receita federal, chega-se à conclusão da continuidade da função imposto de renda e desfazem-se mitos sobre ele, como a ideia que pessoas têm sobre a diminuição do salário quando se passa a uma outra faixa de cálculo, de alíquota diferente.
Palavras-Chave: Imposto de renda. Funções afins. Continuidade. Crescimento.
ABSTRACT
This article examines mathematical aspects of income tax. Through the investigation of the “amount to be deducted”, present in the table released by the federal income tax, comes to the conclusion of the continuity of income tax function and fall apart myths about it, like the idea that people have about the decrease salary when switching to another range of calculation different rate.
Keywords: Information and communication technologies. Pedagogical practices. Geography.
INTRODUÇÃO
O imposto de renda é um dos principais do país. Como o próprio nome diz, é um imposto cobrado sobre a renda (salário)1 do cidadão. Neste artigo, mostraremos que a função imposto de renda é contínua e que a função que nos dá o salário sem o imposto é uma função crescente. A linguagem é acessível a estudantes do ensino médio.
Um dos objetivos deste artigo é mostrar ao professor de educação básica que a abordagem do imposto de renda, em suas aulas do ensino médio, é uma excelente oportunidade para contextualizar e ilustrar diversos assuntos estudados em sala de aula: funções afins, funções de várias sentenças, continuidade de funções reais e resultados importantes sobre continuidade, funções crescentes e decrescentes, cálculo de porcentagens.
Além disso, mostrar a continuidade da função imposto de renda é uma forma de desfazer alguns mitos sobre ele, principalmente aquele que se refere à passagem de uma faixa a outra de cálculo, devido a um aumento de salário. Muitas pessoas acreditam que o salário real (descontado o imposto) pode chegar a
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A Tabela do Imposto de Renda
A tabela de valores e de alíquotas para o imposto de renda 2015, divulgada pela Receita Federal do Brasil, está colocada a seguir (TAB. 1):
Tabela 1 – Tabela do imposto de Renda
Base de Cálculo (R$) Alíquota Parcela a Deduzir (R$)
Até 1868,22 - -De 1868,23 até 2799,86 7,5% 140,12 De 2799,87 até 3733,19 15% 350,11 De 3733,20 até 4664,68 22,5% 630,10 Acima de 4664,68 27,5% 863,33 Site: www.receita.fazenda.gov.br
O valor do imposto é calculado aplicando-se a devida alíquota ao salário e subtraindo-se a parcela a deduzir. Por exemplo, se um cidadão tem salário de R$3500,00; ele situar-se-á na terceira faixa (alíquota de 15%). O valor do imposto será:
E o salário real, ou seja, o salário com o desconto do imposto será:
A finalidade da “Parcela a Deduzir”
Muitas pessoas têm dúvidas sobre qual a finalidade da chamada “Parcela a Deduzir” na tabela do imposto de renda e, mais do que isto, têm dúvidas sobre a forma como ela é calculada.
Para entendê-la, vamos supor, primeiramente, que ela não existe. Se chamássemos de
x
o salário do indivíduo e deI
o imposto que ele deve pagar, temos que a função que nos dariaI
em função dex
seria uma função I:ℜ+ →ℜ definida por várias sentenças. A expressão matemática dela seria:E seu gráfico seria:
Na verdade, o imposto de renda está definido apenas para valores monetários, ou seja, números racionais com até duas casas decimais. Para definir uma função imposto de renda, com domínio ℜ+, e podermos falar sobre continuidade dessa função, devemos fazer esta “abstração”, ou seja, considerar que ele pode ser calculado para qualquer número real não negativo.
Este é um exemplo de função que chamamos de DESCONTÍNUA. Abaixo, está o conceito matemático de função contínua:
Dada uma função f :X ⊂ℜ→ℜ, dizemos que ela é CONTÍNUA em a ∈X quando limf(x) f(a) a
x→ = .
Temos que o limite deve existir, o ponto deve pertencer ao domínio da função (deve existir f(a)) e devemos ter a igualdade do limite e da imagem da função no ponto. Dizemos simplesmente que a função é CONTÍNUA se, assim, o for em todos os pontos de seu domínio.
Um resultado conhecido da análise matemática e que toda função polinomial é contínua. Como a função dada é uma função de várias sentenças (todas polinomiais), concluímos que ela é contínua, nos pontos dos intervalos abertos, (0; 1868,22), (1868,22; 2799,86), (2799,86; 3733,19) , (3733,19; 4664,68) , e (4664,68; +∞). Devemos, então, verificar a continuidade apenas nos pontos em que passamos de um intervalo a outro. Por exemplo, verifiquemos a continuidade em x = 1868,22:
61 x = 1868,22 é responsável pela descontinuidade aí. Assim como os “saltos” existentes em x = 2799,86; x = 3733,19 e x = 4664,68. Para resolver o problema, vamos “eliminar” as descontinuidades, acrescentando constantes às fórmulas que constituem a função. Ela seria escrita assim:
Desse modo, teríamos:
e
Assim, para conseguir a continuidade no ponto, devemos ter:
Informalmente, a constante tem a função de “puxar” o ramo de reta para que ele encontre com o anterior, ou seja, eliminar o “salto” da função.
Analisando a função em , temos:
A continuidade ocorrerá se, e somente se, .
Raciocínio totalmente análogo nos faz ver que a continuidade em ocorre se, e somente se,
E em ocorre se, e somente se,
Desse modo, concluímos que, para que a função seja contínua em seu domínio, sua fórmula deve ser:
Passaremos, a partir de agora, a chamá-la de FUNÇÃO IMPOSTO DE RENDA, e denotá-la-emos por
IR
. Assim, a função IR :ℜ+ →ℜ tem por fórmula:E seu gráfico é:
Deu para observar que os valores encontrados para as constantes a,b,c,d são, exatamente, as “parcelas a deduzir” que se encontram na tabela oficial do imposto de renda? Concluímos, então, que o objetivo destas parcelas é, exatamente, este: GARANTIR A CONTINUIDADE DA FUNÇÃO IMPOSTO DE RENDA! Logo, a função imposto de renda não dá “saltos”. É contínua!
A Função “Salário sem Imposto”
O imposto de renda suscita muitas dúvidas. Entre as principais queixas, está o “desconforto” que certas pessoas sentem quando um aumento de seu salário faz com que ela passe a outra faixa de cálculo, de alíquota diferente. Alguns acham que isto pode chegar a diminuir seu salário líquido. Não é difícil ouvir comentários do tipo: “Tive aumento de salário e passei da faixa dos 15% para a faixa dos 22,5% do imposto de renda. O que eu ganhei a mais não compensou o que tive que pagar de imposto extra. Não valeu a pena !”.
63 Chamando o salário do indivíduo de
x
, a função SSI:ℜ+ →ℜ (função salário sem imposto) é obtida “retirando-se” o imposto de renda do salário, ou seja: SSI(x)= x−IR (x).Assim, se 0≤x≤1868,22, temos SSI(x)=x−0=x.
Se , temos
.
Se , temos .
Se , temos .
Se , temos .
Assim, a função SSI:ℜ+ →ℜ é dada por:
Sabemos, da matemática básica, que uma função afim (f(x) = ax + b) é CRESCENTE quando
a
>
0
. Logo, em todos os subintervalos em que se divide o domínio da função, ela é sempre crescente, pois, em todos eles, temos função afim coma
>
0
. A única possibilidade de “decrescimento” do salário sem imposto seria nas transições de um intervalo para outro, se ocorressem, nesta função, descontinuidades do tipo:Mas, sabemos (da análise matemática) que, se f,g:X ⊂ℜ→ℜ, são funções contínuas, então
ℜ
→
ℜ
⊂
X
h :
, dada por h(x)= f(x)−g(x),∀
x ∈
X
, também é contínua.A função f :ℜ+ →ℜ, dada por f(x)= x, é contínua (função polinomial) e, na seção anterior, mostramos que IR :ℜ+ →ℜ é contínua. Logo, a função SSI é contínua. Portanto, esta função é, realmente, CRESCENTE em todo seu domínio!
Observemos o gráfico dela:
Isso nos mostra, definitivamente, que não é possível que o salário real de uma pessoa (salário sem imposto) diminua, devido ao imposto de renda, mesmo que ela passe de uma faixa de cálculo a outra. O salário real (salário sem imposto) sempre cresce!
Vejamos um exemplo. Se João tem salário de R$3700,00 e passa ao salário de R$3800,00; então o salário, sem imposto inicial e final, é:
Observemos que, com o aumento de salário, João passou da faixa dos 15% para os 22,5% de imposto, mas seu salário líquido (salário sem imposto) subiu.
CONCLUSÃO
A abordagem do imposto de renda mostra-se como excelente aplicação de vários conceitos matemáticos aprendidos no ensino médio. O conhecimento de seu mecanismo de cálculo, com certeza, ajudará os estudantes a se familiarizarem melhor com tópicos matemáticos importantes. Além disso, desfazer mitos sobre salário e imposto é de suma importância para o entendimento do que se paga e para o exercício pleno da cidadania.
REFERÊNCIAS
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: HARBRA, [s.d.].
