PAU XUÑO 2016 FÍSICA OPCIÓN A

PAU

XUÑO 2016

Código: 25

FÍSICA

Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución ás cuestións; han de ser razoadas.

Pódese usar calculadora sempre que non sexa programable nin memorice texto. O alumno elixirá unha das dúas opcións.

OPCIÓN A

C.1.- Supoñamos que a masa da Lúa diminuíse á metade do seu valor real. Xustifque se a frecuencia con que ve-riamos a Lúa chea sería: A) Maior que agora. B) Menor que agora. C) Igual que agora.

C.2.- No efecto fotoeléctrico, a representación gráfca da enerxía cinética máxima dos electróns emitidos en fun-ción da frecuencia da luz incidente é: A) Unha parábola. B) Unha liña recta. C) Ningunha das respostas anterio-res é correcta.

C.3.- Qeremos ver unha imaxe da nosa cara para afeitarnos ou maquillarnos. A imaxe debe ser virtual, dereita e ampliada 1,5 veces. Se colocamos a cara a 25 cm do espello. Qe tipo de espello debemos empregar?: A) Con-vexo. B) Cóncavo. C) Plano.

C.4.- Se temos un resorte de constante elástica coñecida, como podemos saber o valor dunha masa descoñecida? Describe as experiencias que debemos realizar para logralo.

P.1.

- Unha onda cuxa amplitude é 0,3 m percorre 300 m en 20 s. Calcula: a) A máxima velocidade dun punto que vibra coa onda se a frecuencia é 2 Hz. b) A lonxitude de onda. c) Constrúe a ecuación de onda, tendo en conta que o seu avance é no sentido negativo do eixo X.

P.2.- Tres cargas de -2, 1 e 1 µC están situadas nos vértices dun triángulo equilátero e distan 1 m do centro do mesmo. a) Calcula o traballo necesario para levar outra carga de 1 µC desde o infnito ao centro do triángulo. b) Qe forza sufrirá a carga unha vez que estea situada no centro do triángulo? c) Razoa se nalgún punto dos lados do triángulo pode existir un campo electrostático nulo. (Dato: K = 9·10⁹ N·m²·C²)

OPCIÓN B

C.1.- Un condutor macizo en forma de esfera recibe unha carga eléctrica Cal das seguintes afrmacións é verda-deira?: A) O potencial electrostático é o mesmo en todos os puntos do condutor. B) A carga distribúese por todo o condutor. C) No interior do condutor o campo electrostático varía de forma lineal, aumentando ao achegarnos á superfcie do condutor.

C.2.- Unha masa de 600 g oscila no extremo dun resorte vertical con frecuencia 1 Hz e amplitude 5 cm. Se enga-dimos unha masa de 300 g sen variar a amplitude, a nova frecuencia será: A) 0,82 Hz. B) 1,00 Hz. C) 1,63 Hz.

C.3.- Cando unha partícula cargada se move dentro dun campo magnético, a forza magnética que actúa sobre ela realiza un traballo que sempre é: A) Positivo, se a carga é positiva. B) Positivo, sexa como sexa a carga. C) Cero.

C.4.

- Explica como se pode determinar a aceleración da gravidade utilizando un péndulo simple, e indica o tipo de precaucións que debes tomar á hora de realizar a experiencia.

P.1.- A nave espacial Discovery, lanzada en outubro de 1998, describía arredor da Terra unha órbita circular cunha velocidade de 7,62 km·s⁻¹: a) A que altura sobre a superfcie da Terra se atopaba? b) Canto tempo tardaba en dar unha volta completa? c) Cantos amenceres vían cada 24 horas os astronautas que ían no interior da nave? (Datos: G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²; RT = 6370 km; MT = 5,93·10²⁴ kg)

P.2.- O Cobalto 60 é un elemento radioactivo utilizado en radioterapia. A actividade dunha mostra redúcese á milésima parte en 52,34 anos. Calcula: a) O período de semidesintegración. b) A cantidade de mostra necesaria para que a actividade sexa de 5·10⁶ desintegracións/segundo. c) A cantidade de mostra que queda ao cabo de 2 anos. (Datos: NA = 6,02·10²³ mol⁻¹; masa atómica do ⁶⁰Co = 60 g·mol⁻¹; 1 ano = 3,16·10⁷ s)

Solucións

OPCIÓN A

1. C.1.- Supoñamos que a masa da Lúa diminuíse á metade do seu valor real. Xustifica se a frecuencia con que veriamos a Lúa chea sería:

A) Maior que agora. B) Menor que agora. C) Igual que agora.

Solución: C

A forza gravitacional FG que exerce o astro de masa M sobre un satélite de masa m que xira arredor del nunha órbita de raio r está dirixida cara ao astro, é unha forza central, e réxese pola lei de Newton da gra-vitación universal:

⃗FG=−G

M · m r2 ⃗ur

En moitos casos a traxectoria do satélite é practicamente circular arredor do centro do astro. Como a forza gravitacional é unha forza central, a aceleración só ten compoñente normal. Ao non ter aceleración tan-xencial, o módulo da velocidade é constante e o movemento é circular uniforme.

O valor da aceleración normal nun movemento circular uniforme obtense da expresión

a_N=v 2

r

A 2ª lei de Newton di que a forza resultante sobre un obxecto produce unha aceleración directamente pro-porcional á forza.

∑F = m · a

Como a forza gravitacional que exerce o astro sobre o satélite é moito maior que calquera outra se pode considerar que é a única forza que actúa. A 2ª lei de Newton, expresada para os módulos, queda

|

∑

_|

v2

r

A expresión do módulo |FG| da forza gravitacional, queda

GM ·m r2 =m

v2 r

Despexando a velocidade orbital do satélite, queda

v=

√

r

A velocidade é independente da masa do satélite (a Lúa) xa que só depende da masa do astro (a Terra) e do raio da órbita.

Se a velocidade e o raio son os mesmos, o período orbital tamén será igual.

T=2π · r_v

2. C.2.- No efecto fotoeléctrico, a representación gráfica da enerxía cinética máxima dos electróns emiti-dos en función da frecuencia da luz incidente é:

A) Unha parábola. B) Unha liña recta.

C) Ningunha das respostas anteriores é correcta.

Solución: B

Cando a luz interacciona co metal da célula fotoeléctrica faino coma se fose un chorro de partículas chama-das fotóns (paquetes de enerxía).

Cada fotón choca cun electrón e transmítelle toda a súa enerxía.

Para que ocorra efecto fotoeléctrico, os electróns emitidos deben ter enerxía sufciente para chegar ao anti-cátodo, o que ocorre cando a enerxía do fotón é maior que o traballo de extracción, que é unha característi-ca do metal.

A ecuación de Einstein do efecto fotoeléctrico pode escribirse:

E = Wₑ + E

Na ecuación, E representa a enerxía do fotón incidente, Wₑ o traballo de extracción do metal e E  a enerxía cinética máxima dos electróns (fotoelectróns) emitidos.

A enerxía que leva un fotón de frecuencia f é:

E = h · f

En esta ecuación, h é a constante de Planck e ten un valor moi pequeno: h = 6,63·10⁻³⁴ J·s A enerxía cinética máxima

dos electróns emitidos será:

E = E – Wₑ = h · f – Wₑ

A representación gráfca da enerxía cinética fronte á fre-cuencia da radiación inciden-te é unha liña recta cuxa pen-dente é a constante de Planck. Tendo en conta que para enerxías inferiores ao traballo de extracción non se produce efecto fotoeléctrico, a enerxía cinética vale cero ata que a enerxía do fotón é maior que o traballo de extracción. A re-presentación sería parecida á da fgura.

3. C.3.- Qeremos ver unha

imaxe da nosa cara para afeitarnos ou maquillarnos. A imaxe debe ser virtual, dereita e ampliada 1,5 veces. Se colocamos a cara a 25 cm do espello. Qe tipo de espello debemos empregar?:

A) Convexo B) Cóncavo C) Plano.

Datos (convenio de signos DIN) Cifras signifcativas: 2

Posición do obxecto s = -25 cm = -0,25 m

Aumento lateral AL = 1,5

Incógnitas

Distancia focal do espello f

Outros símbolos

Posición da imaxe sʹ

Tamaño do obxecto y

Tamaño da imaxe yʹ

Ecuacións

Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nos espellos 1

sʹ+

1

s=

1

f

Aumento lateral nos espellos AL=yʹ_y =−sʹ_s

Solución: B 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0 1 2 3 4 5 6 7

Efecto fotoeléctrico

No debuxo represéntase o obxecto O antes do es-pello e desde o seu punto superior debúxanse dous raios:

- Un horizontal cara ao espello que se reficte de maneira que o raio refectido pasa polo foco F (que se atopa á metade da distancia entre o espe-llo e o seu centro C).

- Outro cara ao espello, que se reficte sen dviarse pasando polo centro C de curvatura do es-pello.

Como os raios non se cortan, prolónganse alén do espello ata que as súas prolongacións córtanse. O punto de corte é o correspondente á imaxe I.

a) Para calcular a posición da imaxe úsase a expresión do aumento lateral

AL = 1,5 = –sʹ / s

sʹ = -1,5 s = - 1,5 · (-25 cm) = +37,5 cm = +0,375 m

A imaxe atópase a 37,5 cm á dereita do espello.

Análise: Nun espello, a imaxe é virtual se se forma á dereita do espello, xa que os raios que saen refectidos só se cortan á esquerda.

b) Úsase a ecuación dos espellos:

1 sʹ+ 1 s= 1 f Substitúense os datos: 1 0,375 [m]+ 1 −0,25 [m]= 1 f

E calcúlase a distancia focal:

f = -0,75 m = –75 cm

Análise: O signo negativo indica que o espello é cóncavo, xa que o seu foco e o seu centro de curvatura atópanse á esquerda do espello. O espello ten que ser cóncavo, xa que os espellos convexos dan unha imaxe virtual pero menor que o obxecto. Os resultados de sʹ e f están de acordo co debuxo.

4. C.4.- Se temos un resorte de constante elástica coñecida, como podemos saber o valor dunha masa descoñecida? Describe as experiencias que debemos realizar para logralo.

Solución:

Colgaríase o resorte cun prato de balanza e anotaríase a posición do prato, medida cunha regra vertical: y₁ Sen mover a regra, colocaríase a masa no prato e mediríase e anotaríase a nova posición do prato: y₂ Calcularíase o alongamento ∆y = y₂ – y₁.

Coñecido o valor da constante podería calcularse a forza de recuperación elástica pola ecuación de Hooke

F = - k · ∆y

Como no equilibrio estático entre a forza elástica e o peso do obxecto son iguais:

k · ∆y = m · g

A masa calcúlase despexándoa na ecuación anterior.

m=k ·_gΔ y

5. P.1.- Unha onda cuxa amplitude é 0,3 m percorre 300 m en 20 s. Calcula:

C F O I sʹ s f R

a) A máxima velocidade dun punto que vibra coa onda se a frecuencia é 2 Hz. b) A lonxitude de onda.

c) Constrúe a ecuación de onda, tendo en conta que o seu avance é no sentido negativo do eixo X. Rta.: a) vₘ = 3,77 m/s; b) λ = 7,50 m; c) y(x, t) = 0,300 · sen(12,6 · t + 0,838 · x) [m]

Datos Cifras signifcativas: 3

Amplitude A = 0,03000 m

Distancia percorrida pola onda en 20 s ∆x = 300 m Tempo que tarda en percorrer 300 m ∆t = 20,0 s

Frecuencia f = 2,00 Hz = 2,00 s⁻¹

Velocidade de propagación vₚ = 20,0 m/s Incógnitas

Máxima velocidade dun punto que vibra coa onda vₘ

Lonxitude de onda λ

Ecuación da onda (frecuencia angular e número de onda) ω, k Outros símbolos

Posición do punto (distancia ao foco) x

Período T

Ecuacións

Ecuación dunha onda harmónica unidimensional y = A · sen(ω · t ± k · x)

Número de onda k = 2 π / λ

Frecuencia angular ω = 2 π · f

Relación entre a lonxitude de onda e a velocidade de propagación vₚ = λ · f

Velocidade de propagación vₚ = ∆x / ∆t Solución:

b) Calcúlase a velocidade de propagación a partir da distancia percorrida e o tempo empregado;

vp= Δ

x

Δt =

300 [m]

20,0[s]=15,0 m /s

Calcúlase a lonxitude de onda a partir da velocidade de propagación da onda e da frecuencia:

vₚ = λ · f ⇒ λ=vp

f =

15,0[ m/s]

2,00[s−1_] =7,50 m c) Tómase a ecuación dunha onda harmónica en sentido negativo do eixe X:

y = A · sen(ω · t + k · x)

Calcúlase a frecuencia angular a partir da frecuencia:

ω = 2 π · f = 2 · 3,14 · 2,00 [s⁻¹] = 4,00 · π [rad·s⁻¹] = 12,6 rad·s⁻¹

Calcúlase o número de onda a partir da lonxitude de onda:

k=2_λπ=2·3,14 [rad]

7,50[m] =0,838 rad /m A ecuación de onda queda:

y(x, t) = 0,300 · sen(12,6 · t + 0,838 · x) [m]

a ) A velocidade obtense derivando a ecuación de movemento con respecto ao tempo :

v=d y d t=

d

{

}

dt =0,300· 12,6cos(12,6· t +0,838· x ) [m/ s]

v = 3,77 · cos(628 · t – 1,90 · x) [m/s]

A velocidade é máxima cando cos(φ) = 1

6. P.2.- Tres cargas de -2, 1 e 1 µC están situadas nos vértices dun triángulo equilátero e distan 1 m do centro do mesmo.

a) Calcula o traballo necesario para levar outra carga de 1 µC desde o infinito ao centro do triángulo. b) Qe forza sufrirá a carga unha vez que estea situada no centro do triángulo?

c) Razoa se nalgún punto dos lados do triángulo pode existir un campo electrostático nulo. Dato: K = 9·10⁹ N·m²·C⁻²

Rta.: a) W = 0; b) F = 0,0270 N cara á carga negativa

Datos Cifras signifcativas: 3

Valor da carga situada no punto A Q₁ = -2,00 µC = -2,00·10⁻⁶ C

Valor da carga situada no punto B Q₂ = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ C

Valor da carga situada no punto C Q₃ = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ C

Distancia das cargas ao centro do triángulo r = 1,00 m

Valor da carga que se traslada q = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ C

Constante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻² Incógnitas

Traballo para levar unha carga de 1 µC do infnito ao centro do triángulo. W∞→O Forza sobre a carga no centro do triángulo F Outros símbolos

Distancia entre dous puntos A e B rAB

Ecuacións

Lei de Coulomb (aplicada a dúas cargas puntuais separadas unha distancia r) ⃗F=KQ⋅q

r2 ⃗ur

Principio de superposición ⃗FA=

∑

Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada

a unha distancia r V=K

Q r

Potencial electrostático de varias cargas V = ∑ V

Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un

punto A ata outro punto B WA→B = q (VA – VB)

Solución:

a) O traballo W da forza do campo cando se leva unha carga q desde o infnito ata o centro O do triángulo é:

W∞→O = q (V∞ – VO)

Para calcular o potencial electrostático no centro O do triángulo, calcúlanse cada un dos potenciais creados nese punto por cada carga situada nos vértices e de seguido súmanse.

A ecuación do potencial V electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha dis-tancia r é:

V=K Q_r

O potencial electrostático no centro O do triángulo debido a a carga de -2 µC situada no punto A a 1 m de distancia vale:

V_A→O=9,00·109_{[ N·m}2_·C−2_{] −}2,00 ·10−6[C]

(1,00 [m]) =−1,80·10 4 _V

Os potenciais electrostáticos no centro O do triángulo debidos ás cargas de 1 µC situadas nos puntos B e C son iguais porque tanto as cargas como as distancias ao centro son iguais. Valen:

V_B→O=V_C→O=9,00·109_{[ N·m}2_·C−2_]1,00·10−6[ C]

(1,00 [ m]) =9,00·10 3_V

O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga.

VO = VA→O + VB→O + VC→O = -1,80·10⁴ [V] + 9,00·10³ [V] + 9,00·10³ [V] = 0 O potencial electrostático no infnito é nulo por defnición.

O traballo que fai a forza do campo cando se leva unha carga de 1µC desde o infnito ata o centro O do triángulo é:

W∞→O = q (V∞ – VO) = 1,00·10⁻⁶ [C] · (0 – 0) [V] = 0

Supoñendo que a carga salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é:

W(exterior) = -W(campo) = 0

b) Faise un esquema no que se debuxan os vectores forza electrostática exercida so-bre a carga que está no centro.

Debúxase un vector por cada carga, tendo en conta o sentido. As forzas exercida po-las cargas nos puntos B e C son de repulsión (porque as cargas son do mesmo signo) pero a forza realizada pola carga en A é de atracción e vale o dobre que unha das outras.

Debúxase o vector suma vectorial que é o vector forza F resultante. Como os vectores forza creados polas cargas en B e C son do mesmo valor, as súas compoñentes verticais anúlanse e a re-sultante estará dirixida cara ao vértice A.

Calcúlanse cada unha das forzas entre as cargas situadas nos vértices e a carga situada no centro coa lei de Coulomb.

⃗

F=KQ⋅q

r2 ⃗ur

A forza electrostática sobre a carga de 1 μC situada no centro O do triángulo, debida á carga de- 2 μC situa-da no punto A é:

⃗F_A→O=9,00· 109_{[ N·m}2_·C−2_{] −}2,00 ·10−6[C]·1,00· 10−6[C]

(1,00 [ m])2 (−⃗i)=0,01800 ⃗i N

(O vector unitario u é un vector cuxa dirección é a da liña A → O e o sentido é desde a carga que exerce a forza (A) cara a carga que a sofre (O): neste caso é o vector unitario horizontal en sentido negativo –i) A forza electrostática sobre a carga de 1 μC situada no centro O do triángulo, debida á carga de 1 μC situa-da no punto B é:

⃗FB→ O=9,00·109[ N·m2· C−2]1,00·10

−6_{[C]· 1,00·10}−6_{[ C]}

(1,00 [m])2 (cos(−60 °)⃗i+sen(−60°)⃗j)=(4,50·10

−3_{⃗i−7,79 ·10}−3_{⃗j) N}

(Cando se coñece o ángulo α que forma o vector u co eixe X horizontal, o vector unitario calcúlase coa ex-presión: u = cos α i + sen α j)

A forza electrostática sobre a carga de 1 μC situada no centro O do triángulo, debida á carga de 1 μC situa-da no punto C é simétrica á exercisitua-da pola carga que se atopa no punto B:

FC→O = 4,50·10⁻³ i + 7,79·10⁻³ j N

(O vector ten a mesma compoñente horizontal, e a compoñente vertical é do mesmo valor pero de signo contrario).

Polo principio de superposición, a forza electrostática resultante sobre a carga de 1 μC situada no centro O do triángulo é a suma vectorial das forzas exercidas por cada carga:

F = FA→O + FB→O + FC→O = (18,0·10⁻³ i) + (4,5·10⁻³ i – 7,8·10⁻³ j) + (4,5·10⁻³ i + 7,8·10⁻³ j) = 0,02700 i N

Análise: Coincide co debuxo pois as compoñentes verticais anúlanse e só queda a compoñente horizontal en sentido positivo.

c) Non. En ningún punto dos lados do triángulo pode existir un campo electrostático nulo.

No centro do lado BC anúlanse as forzas debidas ás cargas situadas nos vértices B e C, pero a forza da car-ga de -2 µC situada en A queda sen contrarrestar.

Calquera outro punto dese lado estaría máis cerca dunha das cargas verti-cais, e nese caso, a compoñente vertical dunha delas sería maior que a ou-tra e non se anularían.

Nos outros lados as forzas da carga situada en A e a do outro vértice sem-pre sumarían e tampouco se anularían. O debuxo resem-presenta forza no cen-tro do lado BA.

A B C O A B C O _-60° A B C O

OPCIÓN B

1. C.1.- Un condutor macizo en forma de esfera recibe unha carga eléctrica. Cal das seguintes afirma-cións é verdadeira?:

A) O potencial electrostático é o mesmo en todos os puntos do condutor. B) A carga distribúese por todo o condutor.

C) No interior do condutor o campo electrostático varía de forma lineal, aumentando ao achegarnos á superficie do condutor.

Solución: A

A intensidade E de campo electrostático no interior dun condutor metálico en equilibrio é nula .Se non fose así, as cargas desprazaríanse debido á forza do campo.

A diferenza de potencial entre dous puntos V₁ – V₂ é:

V1−V2=

∫

r1 r2

⃗E d⃗r

Ao ser nula a intensidade do campo, tamén o será a diferenza de potencial entre dous puntos,

V₁ – V₂ = 0

Ou sexa, o potencial será constante.

V₁ = V₂

2. C.2.- Unha masa de 600 g oscila no extremo dun resorte vertical con frecuencia 1 Hz e amplitude 5 cm. Se engadimos unha masa de 300 g sen variar a amplitude, a nova frecuencia será:

A) 0,82 Hz. B) 1,00 Hz. C) 1,63 Hz.

Datos Cifras signifcativas: 3

Frecuencia inicial f₀ = 1,00 Hz = 1,00 s⁻¹

Masa inicial que colga m₀ = 600 g = 0,600 kg

Amplitude A = 5,00 cm = 0,05000 m

Masa engadida ∆m = 300 g = 0,300 kg

Incógnitas

Nova frecuencia f′

Ecuacións

Relación entre l a frecuencia angular e a frecuencia ω = 2 π · f

Relación entre l a frecuencia angular e a constante elástica k = m · ω² Solución: A

A frecuencia angular calcúlase a partir da frecuencia.

ω = 2 π · f = 2 · 3,14 [rad] · 1 [s⁻¹] = 6,28 rad/s

A constante elástica do resorte calcúlase a partir da frecuencia angular e da masa oscilante. k=m ·ω2_{= 0,600 [kg] · (6,28 [rad/s])² = 23,7 N/m}

Para calcular a nova frecuencia, despexamos primeiro a nova frecuencia angular coa nova masa:

m′ = m + ∆m = 0,600 [kg] + 0,300 [kg] = 0,900 kg ω'=

√

√

f '=ω' 2π=

5,13[rad /s]

2· 3,14[rad]=0,817 s −1

3. C.3.- Cando unha partícula cargada se move dentro dun campo magnético, a forza magnética que ac-túa sobre ela realiza un traballo que sempre é:

A) Positivo, se a carga é positiva. B) Positivo, sexa como sexa a carga. C) Cero.

Solución: C

A forza magnética é perpendicular á traxectoria en todos os puntos e, por tanto, non realiza traballo 4. C.4.- Explica como se pode determinar a aceleración da gravidade utilizando un péndulo simple, e

in-dica o tipo de precaucións que debes tomar á hora de realizar a experiencia.

Solución:

Cólgase unha esfera maciza dun fío duns 2,00 m, facendo pasar o outro extremo por unha pinza no extre-mo dun brazo horizontal, suxeito a unha vareta vertical encaixada nunha base plana.

Axústase a lonxitude do fío a un 60 cm e mídese a súa lonxitude desde o punto de suspensión ata o centro da esfera. Apártase lixeiramente da posición de equilibrio e sóltase. Compróbase que oscila nun plano e a partir da 2ª ou 3ª oscilación mídese o tempo de 10 oscilacións. Calcúlase o período dividindo o tempo entre 10. Repítese a experiencia para comprobar que o tempo é practicamente o mesmo. Áchase o valor medio do período.

Axústase sucesivamente a lonxitude a 80, 100, 120, 150, 180 e 200 cm e repítese a experiencia para cada unha delas.

Unha vez obtidos os valores dos períodos T para cada lonxitude L do péndulo, pódese usar a ecuación do período do péndulo simple para calcular g, a aceleración da gravidade.

T=2 π

√

Dos valores obtidos (que deben ser moi parecidos) áchase o valor medio.

A amplitude das oscilacións debe ser pequena. En teoría unha aproximación aceptable é que sexan menores de 15º. Como non usamos un transportador de ángulos, separaremos o menos posible o fío da vertical, espe-cialmente cando a lonxitude do péndulo sexa pequena.

Adóitanse medir 10 ou 20 oscilacións para aumentar a precisión do período, e diminuír o erro relativo que daría a medida dunha soa oscilación.

Un número demasiado grande de oscilacións pode dar lugar a que cometamos erros ao contalas.

5. P.1.- A nave espacial Discovery, lanzada en outubro de 1998, describía arredor da Terra unha órbita circular cunha velocidade de 7,62 km·s⁻¹:

a) A que altura sobre a superficie da Terra se atopaba? b) Canto tempo tardaba en dar unha volta completa?

c) Cantos amenceres vían cada 24 horas os astronautas que ían no interior da nave? Datos: G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²; RT = 6370 km; MT = 5,93·10²⁴ kg

Rta.: a) h = 500 km; b) T = 1 h 34 min; c) n = 15

Datos Cifras signifcativas: 3

Velocidade do satélite na súa órbita arredor da Terra. v = 7,62 km/s = 7,62·10³ m/s

Raio da Terra R = 6370 km = 6,37·10⁶ m

Masa da Terra M = 5,93·10²⁴ kg

Constante da gravitación universal G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² Incógnitas Altura da órbita h

Incógnitas

Tempo dunha volta completa T

Número de voltas en 24 horas n

Outros símbolos

Masa do satélite m

Raio da órbita r

Ecuacións

Velocidade dun satélite a unha distancia r do centro dun astro de masa M v=

√

T Solución:

a) A velocidade dun satélite que xira a unha distancia r arredor do centro dun astro de masa M é:

v=

√

r=G · M v2 = 6,67·10−11[ m/s2_{] ·5,98·10}24_{[ m]} (7,62·103 [m /s])2 =6,87 ·10 6_m

Calcúlase a altura a partir do raio da órbita e o raio da Terra:

h = r – R = 6,87·10⁶ [m] – 6,37·10⁶ [m] = 5,0·10⁵ m = 500 km

Análise: Espérase que a altura dun satélite en órbita baixa arredor da Terra sexa arredor de 400 km. O resulta-do de 500 km está de acorresulta-do con esta suposición.

b) O período calcúlase a partir da expresión da velocidade no movemento circular uniforme:

T=2π · r_v =2 ·3,14 ·6,87·10 6_{[m ]}

7,62·103[m/ s] =5,67·10 3

s=1 h 34 min c) O número de amenceres que ven os astronautas en 24 h é

n= 24 h 1,57 h=15

6. P.2.- O Cobalto 60 é un elemento radioactivo utilizado en radioterapia. A actividade dunha mostra re-dúcese á milésima parte en 52,34 anos. Calcula:

a) O período de semidesintegración.

b) A cantidade de mostra necesaria para que a actividade sexa de 5·10⁶ desintegracións/segundo. c) A cantidade de mostra que queda ao cabo de 2 anos.

Datos NA = 6,02·10²³ mol⁻¹; masa atómica do ⁶⁰Co = 60 g·mol⁻¹; 1 ano = 3,16·10⁷ s Rta.: a) T₁₂ = 5,25 anos; b) m = 0,12 µg; c) m₂ = 0,091 µg

Datos Cifras signifcativas: 3

Actividade ao cabo de 52,34 anos A = 0,001000 A₀

Tempo transcorrido t = 52,34 anos = 1,65·10⁹ s

Actividade para o cálculo da cantidade do apartado b A  = 5·10⁶ Bq

Tempo para o cálculo da cantidade do apartado c t = 2,00 anos = 6,32·10⁷ s Incógnitas

Período de semidesintegración T½ Cantidade de mostra para que a actividade sexa de 5·10⁶ Bq m

Cantidade de mostra que queda ao cabo de 2 anos m₂ Outros símbolos

Constante de desintegración radioactiva λ

Ecuacións

Lei da desintegración radioactiva N=N0⋅e−λ ·t

λ = ln (N₀ / N) / t

Cando t = T½, N = N₀ / 2 T½ = ln 2 / λ

Actividade radioactiva A = –d N / d t = λ · N Solución:

a) Calcúlase a constante de desintegración radioactiva λ na ecuación de desintegración radioactiva

N=N0⋅e−λ ·t

É máis fácil usar a expresión anterior en forma logarítmica.

-ln (N / N₀) = ln (N₀ / N) = λ · t λ=ln(N ₀/ N ) t = ln(λ· N ₀/λ· N) t = ln(A ₀/ A) t = ln(1000) 1,65· 109 _[s]=4,18·10 −9_{[ s}−1_]

Calcúlase o período de semidesintegración a partir da constante de desintegración radioactiva:

T1/2=ln 2_λ = 0,693

4,18 ·10−9_[s−1_]=1,653·10 9

s = 5,25 anos b) Calcúlase o número de átomos a partir da actividade

N=A_λ= 5,00·10 6_Bq

4,18·10−9 [s−1_]=1,20·10

15_átomos

Co número de Avogadro e a masa atómica calcúlase a masa de cobalto-60

m=1,20 ·1015 _{átomos Co}60 _· 1 mol 6,02·1023 _átomos ·

60 g Co60

1 mol Co60 =1,19·10

−7_{g=0,119 μ g}

c) Calcúlase a masa que queda coa ecuación de desintegración radioactiva

N=N0⋅e−λ ·t ⇒ N NA · M=N0 NA · M⋅e−λ·t ⇒ m=m0⋅e −λ· t m₂=1,19 ·10−7_[g]⋅e−4,18·10−9_[s−1_{]·6,32 ·10}7_[s] =9,15·10−8_{g=0,09105 μg}

Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia.

Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán.

Algúns cálculos fxéronse cunha folla de cálculo OpenOfce (ou LibreOfce) do mesmo autor.

Algunhas ecuacións e as fórmulas orgánicas construíronse coa extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou. A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López.