GABARITO Prova Bimestral de Matemática 3º Bimestre de 2016

COLÉGIO MILITAR DOM PEDRO II

GABARITO Prova Bimestral de Matemática

3º Bimestre de 2016

Nome dos Professores: Rafael e Sergio

Aluno:______________________________________________________ Série/Ano 9º Turma_________Data : 22 /09 /2016

Leia atentamente os seguintes comandos para a realização da prova: 01- Esta prova é um documento oficial do CMDPII.

02- Preencha imediatamente o cabeçalho(s) da prova e da folha de respostas (caso exista). 03- Confira a prova juntamente com o fiscal.

04- Observe atentamente o enunciado das questões.

05- Provas e folhas de respostas deverão ser respondidas a caneta azul ou preta.

06- Durante o horário de prova os únicos materiais que o aluno pode ter em sua carteira são: lápis, caneta e borracha. Não é permitido o empréstimo de tais materiais e é vedado o uso de corretores, estojos e similares.

07- O fardamento deve estar de acordo com as normas vigentes da escola. Não é permitido manter japona ou agasalho sobre mesa, carteira, cadeira ou sobre as pernas.

08- Questões rasuradas serão anuladas e sem cálculos serão desconsideradas. 09- A prova será recolhida e receberá nota ZERO no caso de:

O aluno usar cadernos, livros ou anotações em qualquer meio para auxiliá-lo a responder a prova ou ter consigo quaisquer desses materiais (essas situações podem ser confirmadas pelo fiscal no momento ou posteriormente pelo sistema de monitoramento);

O aluno PORTAR qualquer aparelho eletrônico durante o horário de prova (esse aparelho deve ficar desligado dentro da mochila escolar do aluno);

O aluno danificar, adulterar ou rasgar a prova, antes, durante ou depois de sua aplicação;

O aluno usar termos ofensivos, palavras de baixo calão, desenhos, escritas e marcações não solicitadas;

O aluno for flagrado trocando informações de qualquer tipo com outro aluno durante a aplicação da prova (essa situação pode ser confirmada pelo fiscal ou posteriormente pelo sistema de monitoramento);

10- São permitidas garrafas de água de uso INDIVIDUAL. 11- Não é permitido o consumo de lanches durante a prova. 12- Não é permitida a circulação dos alunos dentro da sala.

13- Todos esses itens se aplicam durante o horário da prova, inclusive nas saídas dos alunos para beber água ou para utilizar o banheiro.

14- Atenção redobrada e tranquilidade são fortes aliadas para realização de uma boa prova. 15- O interessado terá 48 horas após a divulgação do resultado para entrar com recurso

junto a Coordenação Pedagógica.

NOTA

1ª Questão (0,4 ponto) – Mateus possui um terreno retangular como o descrito na figura

abaixo, cujas dimensões estão na razão

3 2

. Sabendo que o perímetro desse terreno mede 1500 metros, responda:

a) Quais são as medidas desse terreno?

Pelo perímetro dado, temos:

(

)

Daí, pela figura, temos que a medida y é menor que a medida x, logo: y está para x

assim como 2 está para 3. Com a razão entre as medidas e pela propriedade da adição,

teremos: . 300 5 1500 1500 5 2 5 750 2 3 2 3 2 m y y y y x y x y = = = = + = + =

Portanto, para o valor de x, teremos:

m x x x y 450 300 750 750 = − = = +

b) Qual é a área desse terreno?

O terreno tem o formato retangular, para determinar a área, basta determinar o produto entre as medidas encontradas no item a:

2ª Questão (0,4 ponto) – O Half pipe é uma estrutura em forma de U destinada a prática

de desportos radicais, como o skate, snowboarding, patins em linha ou BMX. É uma estrutura côncava, que pode ser feita de madeira, ferro e outros materiais, como também pode ser esculpido em áreas de neve e terra.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Halfpipe

Murilo é skatista e vai descer no Half da figura abaixo. Calcule a altura desse Half pipe.

Por semelhança de triângulos temos:

. 5 5 25 25 5 5 , 2 10 5 m x x x x = = = =

RESPOSTA: A altura do half pipe é igual a 5 metros.

3ª Questão (0,4 ponto) – Pokémon go é um jogo de realidade aumentada desenvolvido para

smartphones pela empresa Nintendo. Esse jogo consiste em caçar e capturar pokémons pela cidade por meio do sistema de posicionamento global (GPS) e, com eles, buscar o mais alto nível na conquista de ginásios pokémons. Suponha que um jogador esteja localizado no ponto U(0,-6) e identifique pokémons nos pontos C(8,0) , D(8,4) e M(12,7) conforme o sistema cartesiano da ilustração abaixo:

Considere que o caminho percorrido pelo jogador seja dado pela união dos segmentos UC, CD e DM . Determine quantos metros de caminhada foram necessários para capturar os pokémons.

De acordo com as coordenadas dos pontos U, C, D e M dadas no enunciado, temos no plano cartesiano as seguintes informações:

Daí percebe-se que as medidas dos segmentos UC e DM são hipotenusas dos triângulos retângulos. E, para determinar a distância percorrida pelo jogador para capturar os pokémons, devemos primeiramente calcular essas medidas pelo Teorema de Pitágoras e depois soma-las ao comprimento da ponte:

- No triângulo UOC, considere UC= x:

. 10 100 100 ² 64 36 ² ² 8 ² 6 ² m x x x x x = = = + = + =

- No outro triângulo, considere DM = y:

. 5 25 25 ² 16 9 ² ² 4 ² 3 ² m y y y x y = = = + = + =

Como a ponte CD mede 4 metros, o caminho percorrido pelo jogador será dado pela soma:

metros CD

DM

UC+ + =10+5+4=19

4ª Questão (0,3 ponto) – Em certo momento do dia, um poste

projetava sobe a calçada uma sombra de 4 metros. Nesse mesmo momento, um homem de 1,80 metros de altura, que estava ao lado do poste, projetava uma sombra de 1,20 metros.

Calcule a altura do poste.

Relacionando a altura do poste e a sombra do poste com altura do menino e a sombra do menino, serão formados dois triângulos retângulos semelhantes:

Daí, por semelhança obtemos:

metros x x x x 6 2 , 1 2 , 7 2 , 7 2 , 1 4 20 , 1 80 , 1 = = = =

5ª Questão (0,2 ponto) – A figura abaixo indica o terreno que Lucas comprou para fazer um

pomar. Ele irá cercar o terreno com 06 voltas de arame.

a) Quantos metros serão necessários para cercar esse terreno?

Para determinar quantos metros de arame são necessários para cercar o terreno, devemos primeiramente calcular o perímetro do terreno. Porém, falta a medida de um lado desse terreno (chamaremos de x).

Perceba que essa medida que falta, coincide com a altura do triângulo retângulo formado paralelamente a ela, conforme a figura abaixo:

Com isso, pelo Teorema de Pitágoras, teremos:

. 6 36 36 ² 64 100 ² 64 ² 100 ² 8 ² ² 10 m x x x x x x = = = − = + = + =

Logo, o perímetro (que corresponde a uma volta de arame) será de: 6 + 12 + 10 + 20 = 48 metros.

RESPOSTA: Portanto, para as seis voltas no terreno serão utilizados: 48 x 6 = 288 metros de arame.

b) Sabendo que o metro linear do arame custa R$ 1,35, qual que Lucas irá arcar para cercar seu terreno?

288 x 1,35 = R$ 388, 80

RESPOSTA: Para cercar o terreno serão gastos R$ 388,80.

6ª Questão (0,4 ponto)- Polígonos são regiões planas fechadas, constituídas de lados,

vértices e ângulos. Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando eles possuem o mesmo número de lados e se adequam às seguintes condições:

• Ângulos iguais.

• Possuem razão de semelhança igual entre dois lados correspondentes.

Os polígonos a seguir são semelhantes. Determine o valor de x nas figuras abaixo.

OBSERVAÇÃO: NESSA QUESTÃO PODERIAM SER UTILIZADAS DIVERSAS PROPORÇÕES USANDO OS CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA COM AS MEDIDAS DADAS. POR CONVENIÊNCIA, MOSTRAREMOS APENAS UMA FORMA DE RESOLUÇÃO. a) 6 60 10 12 5 10 = = = x x x b) 2 , 1 4 , 2 2 2 3 8 , 0 = = = x x x 10 12 8 6 3 5 4 x x 3 6 9 0,8 4 2 6 • • • •

7ª Questão (0,3 ponto)- Utilizando os conhecimentos estudados em sala de aula acerca de Relações métricas no Triângulo Retângulo, calcule o valor de a, b e n nas figuras abaixo.

Para determinar a medida do cateto b no triângulo ABC, utilizaremos o Teorema de Pitágoras: 10 100 100 ² 64 36 ² ² 8 ² 6 ² = = = + = + = b b b b b

Com a altura e uma das projeções, podemos determinar a projeção de medida n:

5 , 4 8 36 8 36 8 ² 6 ² = = = = ⋅ = n n n n n m h

Com as medidas das duas projeções, podemos determinar a medida da hipotenusa a:

5 , 12 5 , 4 8 = + = + = a a n m a

8ª Questão (0,4 ponto)- (Ceeteps-SP) A informação pode evitar doenças:

"Para evitar a contaminação da água pela fossa, deve-se construí-la distante, no mínimo, 20 m do poço de água."

Considere: sen 30° = 0,5 cos 30° = 0,8 tg 30° = 0,6

d = distância do poço à fossa.

De acordo com as informações acima responda:

a) Qual é a distancia entre a fossa e o poço?

Para determinar a distância d, devemos observar que com relação ao ângulo de 30° temos:

cateto oposto = 15 e cateto adjacente = d.

Logo, a relação a ser utilizada será a tangente de 30° :

. 25 15 6 , 0 15 6 , 0 . . . . 30 m d d d adj c op c tg o = = = =

b) Qual é a distancia entre a fossa e a casa?

Para determinar a distância x da fossa até a casa, podemos utilizar o teorema de Pitágoras, utilizar o seno do ângulo de 30° ou utilizar o cosseno do ângulo de 30°:

Por Pitágoras: metros x x x x x 15 , 29 850 850 ² 625 225 ² ² 25 ² 15 ² ≈ = = + = + =

Usando o seno de 30°: . 30 15 5 , 0 15 5 , 0 . . . 30 metros d x x hip op c sen o ≈ = = = Usando o cosseno de 30°: . 25 , 31 25 8 , 0 25 8 , 0 . . . 30 cos metros d x x hip adj c o ≈ = = =

OBSERVAÇÃO: Perceba que os valores encontrados no item b são bem próximos. A diferença entre eles ocorre devido a aproximação de uma casa decimal utilizada pelo autor da questão (quanto menor a aproximação, mais imprecisa será a resposta) para os valores de seno e cosseno. Porém, quaisquer das três respostas serão consideradas corretas na correção.

9ª Questão (0,2 ponto)- Quando o navio está no ponto B, é possível observar um farol

situado no ponto C de tal forma que o ângulo ACB mede 60°. Sabendo que o ângulo CÂB é reto e

que a distância entre os pontos A e B é 9 milhas, calcule, nessa mesma medida, a distância:

Faça: 3 = 1,73

a) Do ponto A ao farol.

. 2 , 5 2 4 , 10 4 , 10 2 4 , 10 2 1 . . . 60 cos metros x y y y hip adj c o = = = = = b) Do ponto B ao farol.

Para calcular a distância do ponto B ao farol, utilizaremos a medida do seno de 60°:

. 4 , 10 73 , 1 18 18 73 , 1 18 3 9 2 3 . . . 60 metros x x x x x hip op c sen o = = = = = =

"Não tente ser uma pessoa de sucesso. Em vez disso, seja uma pessoa de valor". Albert Einstein