Estatística. Autoria: Oderson Dias de Mello. Tema 02 Análise Combinatória e Probabilidade

Estatística

Autoria: Oderson Dias de Mello

Tema 02

Tema 02

Análise Combinatória e Probabilidade

Autoria: Oderson Dias de Mello

Como citar esse documento:

MELLO, Oderson Dias de. Estatística: Análise Combinatória e Probabilidade. Caderno de Atividades. Anhnaguera Publicações: Valinhos, 2014.

Índice

© 2014 Anhanguera Educacional. Proibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua portuguesa ou qualquer outro idioma.

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Análise combinatória: arranjo, permutação, combinação simples e com repetição

A análise combinatória é a área da matemática responsável pela análise das possibilidades ou combinações. Por exemplo, se você quer saber quantas combinações de roupas são possíveis com um sapato, duas camisas e três calças; ou quantas senhas diferentes você pode fazer com quatro dígitos numéricos, ou ainda quantos números de telefone diferentes você pode ter com números de nove algarismos, você vai precisar da análise combinatória.

Neste tema você irá aprender sobre uma área da matemática que trata da análise combinatória, ou seja, a área capaz de contar as possibilidades ou número de combinações. Para isso será necessário conhecer importantes definições, como as de arranjo, permutação, combinação simples e combinação com repetição.

O Princípio Multiplicativo e a função fatorial serão de grande utilidade para nossos cálculos. Você aprenderá, por exemplo, a calcular os anagramas de determinada palavra.

Mas afinal, o que é um arranjo? E uma permutação? Vamos descobrir.

A seguir entraremos no mundo das probabilidades. Após estudarmos seu conceito, vamos dedicar especial atenção à probabilidade conjunta e a probabilidade condicional.

No campo das probabilidades serão muito úteis termos boas noções do que são experimentos aleatórios, o que são eventos independentes e o que são eventos mutuamente exclusivos. Felizmente temos um ferramental gráfico que muito nos ajuda: os diagramas de Venn.

Vamos começar?

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Vamos começar resolvendo o primeiro exemplo: quantas combinações de roupas são possíveis com um sapato, duas camisas e três calças? Considere que você não pode deixar de vestir nenhuma peça, certo? Sem saber nenhuma técnica de contagem, o jeito é listar as opções: {(sapato, camisa A, calça A), (sapato, camisa A, calça B), (sapato, camisa A, calça C), (sapato, camisa B, calça A), (sapato, camisa B, calça B), (sapato, camisa B, calça C)}. Temos então um total de seis possibilidades. E se fossem cinco sapatos, dez camisas e cinco calças, você tentaria listar todas as possibilidades? Não é necessário! Para isso existe a análise combinatória, para nos auxiliar a contar indiretamente, isto é, sem precisar enumerar todos os casos. Veja:

1º item: sapato – uma possibilidade.

2º item: camisa A ou camisa B – duas possibilidades. 3º item: calça A, calça B ou calça C – três possibilidades.

Concorda que para cada sapato (um no caso), podemos escolher entre duas camisas? E para cada uma dessas camisas temos três opções de escolha para calças? Assim, o número total de combinações é 1.2.3 = 6. No segundo caso (cinco sapatos, dez camisas e cinco calças), basta então calcular 5.10.5 = 250 possibilidades.

Esse é o Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo: se determinado acontecimento ocorre em

k etapas diferentes e a primeira etapa pode ocorrer de n₁ maneiras diferentes e, para cada uma dessas maneiras, há

n₂ maneiras diferentes de ocorrer a segunda etapa e assim sucessivamente, então, o número total , de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por n= n₁.n₂... n_k (NUMEROFILIA, 2011; LARSON; FARBER, 2010).

Fatorial

Em análise combinatória utilizamos muito a função fatorial que tem o símbolo “!”. Fatorial do número não negativo inteiro

n, ou ainda n! é definido como: n.(n-1).(n-2).... .1. Assim, o fatorial de 4 (4!) é 4.3.2.1 = 24. Já o fatorial de cinco, 5! É

igual a 5.4.3.2.1 = 120. Zero fatorial ou 0! é definido como sendo igual a 1. Note que o fatorial de n, n! é igual a n x (n-1)!. As principais ferramentas da Análise Combinatória são a Permutação, o Arranjo e a Combinação. Vamos ver as características de cada uma e quando devem ser utilizadas.

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Permutação

Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. Pode ser calculada pela fórmula P(n) = n!. Essa fórmula é utilizada quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se organizar um número de objetos de formas distintas. Por exemplo: o número de anagramas da palavra “vidro” é uma permutação de 5 elementos, calculada através de 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 anagramas, pois para a primeira posição você pode escolher entre qualquer das cinco letras: “v”, “i”, “d”, “r”, “o”; para a segunda posição restam quatro letras, pois uma já foi escolhida para a primeira posição; para a terceira posição três letras e assim por diante. Outro exemplo: o número de filas diferentes que podem ser formadas com 20 pessoas é 20!,pois para o primeiro lugar da fila temos 20 possibilidades, para o segundo lugar 19 e assim por diante.

Arranjo

Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p elementos entre esses n objetos na qual a ordem importa. Sua fórmula é dada por: . Um exemplo clássico de arranjo é o do

pódio: em uma competição de 10 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que neste problema queremos dispor 10 jogadores em três lugares, onde a ordem importa, afinal o pódio formado por Tiago em primeiro lugar, por Saulo no segundo e por João no terceiro não é o mesmo formado por João no primeiro lugar, por Saulo no segundo e Tiago no terceiro. Neste caso tempos que: . Outro exemplo de arranjo é o número de possibilidades de se tirar uma foto com n pessoas.

Veja que as permutações nada mais são do que casos particulares de arranjos onde n = p.

Combinação Simples

As combinações de n elementos tomados p a p são escolhas não ordenadas desses elementos, calculadas como:

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Quando precisamos formar uma comissão de três pessoas escolhidas entre dez pessoas, a ordem dessas três pessoas não importa. Diferentemente do exemplo do pódio, uma comissão formada por Tiago, Saulo e João é a mesma comissão formada por João, Saulo e Tiago. Temos então que: (MACHADO, 2011).

Combinação com repetição

Suponha que o mercadinho perto da sua casa venda seis marcas diferentes de tabletes de chocolate amargo. De quantas formas uma compra de oito tabletes de chocolate amargo pode ser feita?

Para resolver esta questão, vamos representar os oito tabletes de chocolate amargo com palitinhos: | | | | | | | |

Agora, como temos seis marcas diferentes de tabletes de chocolate amargo, uma forma de comprarmos oito tabletes pode ser:

Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 4 Marca 5 Marca 6 | + || + + ||| + | + |

Note que nesta disposição foi escolhido um tablete da marca 1, dois tabletes da marca 2, nenhum tablete da marca 3, três tabletes da marca 4, um tablete da marca 5 e um tablete da marca 6. Outra possibilidade de compra poderia ser: Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 4 Marca 5 Marca 6

+ ||||| + + + ||| +

Esta disposição representa uma compra de cinco tabletes da marca 2 e três tabletes da marca 5 e nenhum tablete das outras marcas.

Veja que o que estamos fazendo é intercalar cinco sinais de soma no meio dos oito pauzinhos que representam os tabletes de chocolate, portanto, podemos pensar que temos na verdade 13 elementos para permutar (oito tabletes mais cinco sinais de soma), assim, podemos ver o número total de compras que podemos fazer.

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Estes são os elementos que queremos permutar: | | | | | | | | + + + + +

Inclusive, esta disposição é uma possível compra dos tabletes, oito tabletes da marca 1 e nenhum tablete das demais marcas.

Agora, para calcular o número de permutações destes elementos, devemos utilizar a fórmula da permutação de 13 elementos com repetição de oito elementos e cinco elementos, já que não há diferença dentro do grupo dos pauzinhos e do grupo dos sinais. Fica assim:

Veja que podemos generalizar esse exemplo para combinações com repetições:

o número de combinações com repetições a k elementos em um conjunto com p elementos é: . Em nosso exemplo dos tabletes temos que k = 8 (oito tabletes de chocolate) e p = 6 (seis marcas diferentes).

Probabilidade conjunta e probabilidade condicional

A palavra “probabilidade” indica algo que é provável, portanto refere-se a eventos incertos. A história da teoria das probabilidades originou-se com os jogos de azar, como jogos de cartas (baralho), dados e de roleta. Vem desse fato que até hoje se estuda probabilidade citando-se exemplos de jogos de azar.

O desenvolvimento da probabilidade pode ser atribuído a vários matemáticos. Pacioli, Cardano e Tartaglia no século XVI nos deram as primeiras considerações matemáticas acerca dos jogos e das apostas. Outros matemáticos que contribuíram para o estudo da probabilidade foram: Blaise Pascal (1623 – 1662), Pierre de Fermat (1601 – 1655), Jacob Bernoulli (1654 – 1705), Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), Lenis Poisson (1781 – 1840) e o russo Pafnuti Tchebychev (1821 – 1894). A base da teoria do cálculo das probabilidades e da análise combinatória foram estabelecidos por Blaise Pascal e Pierre de Fermat (NOÉ, 2013).

A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência em um experimento aleatório (SÓ MATEMÁ-TICA, 2013).

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Outro conceito muito importante é o de espaço amostral. Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, ao jogar uma moeda para o chão e olhar a face que ficou para cima temos como espaço amostral o conjunto {cara, coroa}. Já o experimento aleatório de jogar um dado tem como espaço amostral o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Podemos dizer que o experimento de medir a temperatura local em alguma estação meteorológica da Terra tem o espaço amostral no intervalo ]-90ºC; 60ºC[, já que não temos registros de temperaturas menores que -90ºC e nem maiores que 60ºC em qualquer continente.

A maneira clássica de definirmos probabilidade de um evento E quando todos os resultados de um experimento têm a mesma possibilidade de ocorrer é:

Assim, a probabilidade de tirar cara em um lançamento de uma moeda é:

A probabilidade de tirar dois ou seis em um lançamento de dados é:

Isso ocorre, pois temos ao lançar um dado, seis possíveis ocorrências {1, 2, 3, 4, 5, 6} e quisemos calcular a probabilidade de apenas duas ocorrências ({2, 6}) das seis possíveis.

Veja que a probabilidade de obter no lançamento de um dado outro número não pertencente ao conjunto de eventos possíveis, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, é igual a zero. Por exemplo, a probabilidade de tirar 8 no lançamento de um dado de seis faces é zero. Já a probabilidade de tirar qualquer número entre um e seis no lançamento do dado é igual a um (se preferir, 100%). Podemos concluir que a probabilidade de qualquer evento está entre zero e um. Ou seja, 0 ≤ P (E) ≤ 1.

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Probabilidade conjunta

A probabilidade P(A ∩ B) é chamada de probabilidade conjunta para dois eventos A e B. Ou seja, P(A ∩ B) é a probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B. Veja o diagrama de Venn (2.1) para os eventos A e B:

2.1: Diagrama de Venn

Com o uso do diagrama de Venn vemos que:

Note também que para eventos mutuamente exclusivos temos que P(A ∩ B)=0 e neste caso P(A)+P(B)= P(A U B). Veja a representação do diagrama de Venn (2.2) para o espaço amostral E com eventos A e B mutuamente exclusivos.

2.2: Diagrama de Venn

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Como exemplo, vamos supor que o evento A seja obter seis no lançamento do dado, ou seja, A = {6}. Vamos supor também que o evento B seja obter um número par no lançamento do dado, portanto, B = {2, 4, 6}. Qual a probabilidade de ocorrência de A ou B?

Veja que . Temos então que:

. Alternativamente poderíamos ter verificado que:

AUB = {6}+{2,4,6} = {2,4,6}.

E portanto poderíamos sem maiores cálculos concluir que

.

Probabilidade Condicional

Dado um evento B com probabilidade não nula, define-se a probabilidade condicional de um evento A, dado B, como: .

A probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já tenha ocorrido (LARSON; FARBER, 2010).

No caso de que dois eventos A e B sejam independentes, ou seja, a ocorrência de um deles não muda a probabilidade de ocorrência do outro evento, temos que:

Se essa relação não é verdadeira então temos que os eventos A e B são dependentes.

Por exemplo, o evento de jogar um dado e tirar o número dois e, lançar uma moeda e obter cara, são claramente eventos independentes. A probabilidade de obter cara na moeda independe de ter obtido no dado o número dois ou não.

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POR

DENTRO

DO

TEMA

Já os eventos

A = {dirigir alcoolizado} e

B = {se envolver em um acidentes}

são eventos dependentes pois se você dirigir alcoolizado as chances de se envolver em um acidente aumentam bastante. Veja que da definição de probabilidade condicional temos que:

Se os eventos A e B forem independentes, P(A | B) = P(A) e concluímos que P(A ∩ B) = P(A).P(B).

Como vimos, um exemplo de eventos claramente independentes são o lançamento de uma moeda honesta e o lançamento de um dado de seis faces. Um evento não tem qualquer relação de dependência com o outro. Assim, se quisermos calcular a probabilidade de se obter uma coroa e jogar o dado e obter o número um teremos:

Suponha que você tenha lido na internet que a cirurgia de colocação de prótese de silicone nos seios tenha uma probabilidade de sucesso total de 0,8 (80%). Qual seria a probabilidade de dez cirurgias terem sucesso total? Observe que a chance de sucesso de uma cirurgia independe das chances de sucesso das outras cirurgias. Temos então P(sucesso em dez cirurgias) = 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 = 0,810 _{= 0,11. Ou seja, a probabilidade de}

sucesso total em dez cirurgias de colocação de prótese de silicone nos seios é de 0,11 (11%). Interessante que embora a probabilidade de sucesso em uma cirurgia ser alta (80%) em dez cirurgias a probabilidade se reduz para apenas 11%. Vejamos outro exemplo de probabilidade condicional. Em uma pesquisa entre estudantes sobre a legalização da prostituição obteve-se o seguinte resultado:

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Homens Mulheres Total

A favor 55 48 103

Contra 45 61 106

Total 100 109 209

Tabela 2.1

Sejam os eventos H = {o estudante é do sexo masculino} e C = {o estudante é contra a legalização da prostituição}. Vamos calcular a probabilidade de ser homem dado que o estudante é contra a legalização da prostituição.

Agora vamos lançar uma moeda honesta duas vezes. Qual seria a probabilidade de ambos os resultados serem coroa, dado que o primeiro lançamento deu coroa?

Para resolvermos a questão, o primeiro passo a ser feito é identificarmos os eventos. São eles: A = {o primeiro lançamento dá coroa} e

B = {o segunda lançamento dá coroa}. O que buscamos é:

POR

DENTRO

DO

TEMA

.

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Chances de ganhar na Mega Sena

• O sítio mostra os cálculos de probabilidade de ser sorteado na Mega Sena com apenas uma aposta simples.

Link para acesso: <http://www.brasilescola.com/matematica/chances-ganhar-na-mega-sena.htm> Acesso em 01 de abril de 2014.

Curso introdutório de Probabilidade

• O capítulo 1 do livro “Probabilidade: um curso introdutório” de Carlos Alberto Barbosa Dantas apresenta várias definições e propriedades de probabilidade.

Link para acesso: <http://books.google.com.br/books?id=jWXgniqYngMC&printsec=frontcover&dq=proba- bilidade&hl=ptBR&sa=X&ei=Sa6kUswPx_SRB_bAgMAD&ved=0CDEQ6AEwAA#v=onepage&q=probabili-dade&f=false>. Acesso em 01 de Abril de 2014.

Combinação, permutação e arranjo

• O vídeo “Análise combinatória: combinação, permutação e arranjo” apresenta uma pequena e interessante história preparada pela UNICAMP ensinando os conceitos de combinação, permutação e arranjo.

Link: <http://www.youtube.com/watch?v=16XpBZKuLyY> Acesso em 01 de abril de 2014. Tempo: 10:00

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Probabilidade Condicional

• O vídeo “Probabilidade Condicional” parte de um exemplo até chegar na fórmula de probabilidade condicional.

Link: <http://www.youtube.com/watch?v=d2w5bx43fCU> Acesso em 01 de abril de 2014. Tempo: 4:06

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Instruções:

Agora, chegou a sua vez de exercitar seu aprendizado. A seguir, você encontrará algumas questões de múltipla escolha e dissertativas. Leia cuidadosamente os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido.

AGORA

É

A

SUA

VEZ

Questão 1

Se você jogar uma moeda honesta para cima 1000 vezes e olhar se deu cara ou coroa ao cair, qual a porcentagem dos 1000 lançamentos que é esperada que dê coroa?

Questão 2

As pesquisas indicam que a probabilidade do candidato A vencer as eleições de amanhã é de 50%. A previsão do tempo é que a probabilidade de chuva amanhã é também de 50%. Qual a probabilidade de amanhã não chover e o candidato A ganhar as eleições?

a) 25%.

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AGORA

É

A

SUA

VEZ

c) 50%.

d) 100%.

e) 12,5%.

Questão 3

Qual a probabilidade de ao lançar um dado, ser obtido o número 1 ou um número ímpar?

a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3 d) 2/3 e) 5/6

Questão 4

Um computador apresenta aleatoriamente um número inteiro entre 1 e 100. Qual a probabilidade de ele apresentar um número menor ou igual a 20?

Questão 5

Trabalhar em um processo Seis Sigma significa que esse processo produz 3,4 erros a cada um milhão de vezes que é feito. Qual a probabilidade de, ao executar novamente esse processo, haver a produção de um erro?

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Nesse tema você estudou sobre uma importante parte da Matemática: a Análise Combinatória. Você viu como usar a função fatorial e o Princípio Multiplicativo para resolver problemas envolvendo arranjos, permutações e combinações. Você também aprendeu o que são eventos aleatórios, eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes; e a utilizar o diagrama de Venn para visualizar melhor os eventos.

FINALIZANDO

DANTAS, Carlos A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 2ª ed. São Paulo: EDUSP, 2014. Disponível em: <http://books. google.com.br/books?id=jWXgniqYngMC&printsec=frontcover&dq=probabilidade&hl=pt-BR&sa=X&ei=Sa6kUswPx_SRB_

bAgMAD&ved=0CDEQ6AEwAA#v=onepage&q=probabilidade&f=false>. Acesso em: 01 abr. 2014.

LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística Aplicada. 4ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

MACHADO, André. Entenda a diferença entre Permutação, Arranjo e Combinação. Set. 2011. Disponível em: <http://www.

andremachado.org/artigos/440/entenda-a-diferenca-entre-permutacao-arranjo-e-combinacao.html>. Acesso em: 4 abr. 2014.

NOÉ, Marcos. História da Probabilidade. Brasil Escola. Disponível em

<http://www.brasilescola.com/matematica/historia-probabilidade.htm>. Acesso em: 1 abr. 2014.

__________. Chances de ganhar na Mega Sena. Brasil Escola. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/

chances-ganhar-na-mega-sena.htm>. Acesso em: 1 abr. 2014.

NUMEROFILIA. Analisando a Análise Combinatória. Jun. 2011. Disponível em

<http://www.numerofilia.com.br/2011/06/analise-combinatoria-contagem.html>. Acesso em: 1 abr. 2014.

O Kuadro. Probabilidade Condicional. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=d2w5bx43fCU>. Acesso em: 1 abr. 2014.

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Portal Action. Exposição dos Dados. Disponível em: <http://www.portalaction.com.br/content/13-exposição-dos-dados>. Acesso em: 1 abr. 2014.

Só Matemática. Probabilidade. 2013. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php>. Acesso em: 1 abr. 2014.

VideosEducativos. Análise combinatória: combinação, permutação e arranjo. Disponível em: <http://www.youtube.com/

watch?v=16XpBZKuLyY>. Acesso em: 14 mar. 2014.

REFERÊNCIAS

Anagrama: é o resultado do rearranjo das letras de uma palavra para produzir outras palavras utilizando-se de todas as letras da palavra original exatamente o mesmo número de vezes que aparecem no original.

Contagem: enumeração.

Diagrama de Venn: os diagramas desenvolvidos por John Venn no século XIX são utilizados na matemática para sim-bolizar graficamente propriedades e problemas envolvendo conjuntos.

Distintos: diferentes, diversos.

Experimento Aleatório: é o experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferen-tes, ou seja, resultados explicados ao acaso.

Jogos de azar: são jogos que dependem em sua maior parte do acaso e não da habilidade do jogador.

Moeda honesta: moeda que quando é lançada, tem a mesma probabilidade de dar cara ou coroa.

Mutuamente exclusivos: diz-se de eventos cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro.

Pódio: plataforma com três degraus destinada aos melhores atletas de uma competição.

Princípio Fundamental: conjunto de regras fundamentais admitidas como base.

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GABARITO