Unidade VI -
Estabilidade de Sistemas
de Controle com Retroação
Conceito de Estabilidade;
Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz;
A Estabilidade Relativa de Sistemas de Controle com
Retroação;
A Estabilidade de Sistemas com Variáveis de Estado;
Estabilidade de Sistema usando MATLAB.
Conceito de Estabilidade
Um Sistema Estável é um sistema dinâmico com uma resposta limita
Um Sistema Estável é um sistema dinâmico com uma resposta limitada a
da a
uma entrada limitada
uma entrada limitada
Se um sistema é dito ser estável ou não estável esta caracterização é referida como Estabilidade Absoluta
Um sistema estável pode ser caracterizado por um grau de estabilidade, que é referido como Estabilidade Relativa
Estabilidade no plano s
Ponte sobre o Desfiladeiro de Tacoma
Tacoma Narrows em Puget Sound, Washington
Em termos de sistemas lineares, reconhece-se que o requisito de estabilidade pode ser definido em termos da localização dos pólos da FT a MF.
1 2 2 2 1 1
(
)
( )
( )
( )
(
)
2
(
)
M i i Q R N k m m m k mK
s
z
p s
T s
q s
s
s
σ
s
α
s
α
ω
= = =+
=
=
+
+
+
+
∏
∏
∏
Resposta ao impulso (quando N=0) será
1 1
1
( )
k m(
)
Q R t t k m m m k m my t
A e
σB
e
αsen
ω
t
θ
ω
− − = =
=
+
+
∑
∑
Uma condição Necessária e Suficiente para um sistema com retroaç
Uma condição Necessária e Suficiente para um sistema com retroação
ão
ser estável é que todos os pólos da FT tenham parte negativa.
ser estável é que todos os pólos da FT tenham parte negativa.
Portanto, um sistema é estável se todos os pólos da FT estiverem no semiplano
Se a EC possuir raízes simples sobre o eixo imaginário (j
) com todas as outras raízes no semiplano esquerdo de s, a saída em RP terá oscilações mantidas para uma entrada limitada, a menos que a entrada seja uma senoide (que é limitada) cuja freqüência é mantida igual à magnitude das raízes no eixo (j
). Neste caso a saída ser;a ilimitada.
Este sistema é dito marginalmente estável.marginalmente estável
Para um sistema instável, a EC possui pelo menos uma raiz no semiplano s da direita ou raízes (j
) repetidas, assim, a saída se tornará ilimitada para qualquer tipo de entrada.
Um exemplo, se EC de um sistema a MF for 2
(
s
+
10)(
s
+
16)
=
0
Então o sistema é dito marginalmente estável. Se este sistema for excitado por uma senoide de freqüência
=4, a saída se tornará ilimitada.
Para responder se o sistema é estável, tem-se 3 abordagens: 1. A abordagem no plano s;
2. A abordagem no plano da freqüência (j
); 3. A abordagem no domínio do tempo.
O Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
No final de 1800, A. Hurwitz e E.J. Routh publicaram independentemente um método de investigar a estabilidade de um sistema linear.
Considere a EC do sistema sendo:
∆
( )
s
=
q s
( )
=
a s
n n+
a s
n−1 n−1+ +
L
a s
1+ =
a
00
Para assegurar a estabilidade é necessário determinar se alguma das raízes deq(s) se situa no semiplano direito. Reescrevendo na forma fatorada
1 2
(
)(
)
(
)
0
n n
a s
−
r s
−
r
L
s
−
r
=
Onde ri=i-ésima raiz da EC. Multiplicando os fatores, tem-se
1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 3 1 2 3 1 2 4 1 2 3
( )
(
)
(
)
(
)
( 1)
0
n n n n n n n n n n nq s
a s
a r
r
s
a r r
r r
r r
s
a r r r
r r r
s
a
r r r
r
− − −=
−
+ +
+
+
+
+
−
+
+
+ +
−
=
L
L
L
L
L
Assim, para uma equação de grau n, obtém-se
1 2 3
( )
(
)
(
2
2)
(
3
3)
( 1) (
)
0
n n n n n n n n nq s
a s
a soma de todas as raízes s
a soma dos produtos de raízes tomadas
a
s
a soma dos produtos de raízes tomadas
a
s
a
produto detodas as n raízes
− − −
=
−
+
−
+ +
L
−
=
Observando a equação, verifica-se que todos os coeficientes do polinômio devem ter o mesmo sinal se todas as raízes estiverem no semiplano esquerdo.
Também é necessário para um sistema estável que todos os coeficientes sejam não-nulos. Estes requisitos são necessários mas não suficientes.
Se ela não for atendida sabe-se imediatamente que o sistema é instável. Contudo, se forem satisfeitas, deve-se prosseguir a analise.
Por exemplo, se EC for
2 3 2
( )
(
2)(
4)
2
8
q s
= +
s
s
− + = + + +
s
s
s
s
O sistema é instável, mesmo possuindo todos os coeficientes positivos.
O Critério de Critério de RouthRouth--Hurwitz é um critério necessário e suficiente para a analise Hurwitz de estabilidade de sistemas lineares
O método foi originalmente desenvolvidos em termos de determinantes, mas se utilizará a formulação mais conveniente de um arranjo em forma de tabela.
O critério de Routh-Hurwitz é baseado na ordenação dos coeficientes da EC 1 2 1 2 1 0
0
n n n n n na s
+
a s
− −+
a
−s
−+ +
L
a s
+ =
a
Em um arranjo ou tabela 2 4 1 1 3 5 2 1 3 5 3 1 3 5 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n ns
a
a
a
s
a
a
a
b
b
b
s
c
c
c
s
h
s
− − − − − − − − − − − − − − − −M
M
M
M
onde 1 2 3 2 1 1 3 1 1 4 3 1 5 1 3 1 ( )( ) ( ) 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a b a a a a a a b a a a a a c − − − − − − − − − − − − − − − − − − = = − = − =O critério de
O critério de Routh-Routh-HurwitzHurwitz estabelece que o numero de raízes de estabelece que o numero de raízes de q(s)q(s) com com parte real positiva é igual ao numero de vezes de trocas de sina
parte real positiva é igual ao numero de vezes de trocas de sinais da 1is da 1aa. .
Coluna da tabela de
Coluna da tabela de RouthRouth..
4 casos distintos de configuração da 1a. Coluna podem ser considerados:
(1). Nenhum elemento da 1a. Coluna é zero;
(2). Há um zero na 1a. Coluna;mas os outros elementos são diferentes de zero;
(3). Há um zero na 1a. Coluna, e os outros elementos são também zeros.
Caso 1
Caso 1.. Nenhum elemento nulo na 1a. ColunaNenhum elemento nulo na 1a. Coluna
Exemplo de um sistema de 2a. Ordem
q s
( )
=
a s
2 2+
a s
1+
a
02 2 0 1 1 0 1
0
0
s a
a
s a
s b
2 0 1 0 2 1 0 1 1 1 ( )( ) (0) 1 0 a a a a a b a a a a − − = = =O arranjo será onde
Portanto, o requisito para um sistema de 2a. Ordem ser estável é simplesmente que
todos
Exemplo de um sistema de 3a. Ordem 3 2 3 2 1 0
( )
q s
=
a s
+
a s
+
a s
+
a
3 3 1 2 2 0 1 1 0 1a
a
s
a
a
s
b
s
c
s
2 1 0 3 1 2 a a a a b a − = O arranjo será ondePortanto, o requisito para um sistema de 3a. Ordem ser estável é necessário e
suficiente que os coeficientes sejam positivos e a2a1>a0a3.
A condição quando a2a1=a0a3 resulta em estabilidade marginal, sendo que um par de raízes se localiza sobre o eixo imaginário do plano s
1 0 1 0 1 b a c a b = =
Agora, sendo o Exemplo
q s
( )
= + + +
s
3s
22
s
24
O Polinômio satisfaz todas as condições necessárias pois todos os coeficientes existem e são positivos. Por Routh, tem-se 3
2 1 0
