Estudo do Plano em R3

(1)

O PLANO em R3

1.1.

1.1. EEQ U A Ç Ã O G E R A L D O P L A N OQ U A Ç Ã O G E R A L D O P L A N O

Seja A(x

Seja A(x11,y,y11,z,z11) um ponto pertencente a um plano) um ponto pertencente a um plano ππee

)) 00 ,, 00 ,, 00 (( ,, ≠≠ + + + + = = →→ →→ →→ →→ → → n n k k cc j j b b ii a a n

n um vetor normal (ortogonal) ao plano. O planoum vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano ππpode ser pode ser

definido como sendo o conjunto de todos

definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor o vetor →

→

AP

AP é ortogonal aé ortogonal a

→ →

n

n. O ponto P pertence a. O ponto P pertence a ππse, se, e e somente somente se se : : .. == 00

→ → → → AP AP n n

Tendo em vista que: Tendo em vista que:

00 )) ,, ,, ).( ).( ,, ,, (( :: ), ), ,, ,, (( )) ,, ,, (( == −− ₁₁ −− ₁₁ −− ₁₁ −− ₁₁ −− ₁₁ −− ₁₁ == = = →→ → → z z z z y y y y x x x x cc b b a a fica fica equação equação a a z z z z y y y y x x x x AP AP ee cc b b a a n n ou: 0

ou: _a_a((_x_x−−_x_x₁₁))++_b_b((_y_y−−_y_y₁₁))++_cc((_z_z−−_z_z₁₁)) == 0 ou,

ou, ainda: ainda: _ax_ax++_by_by++_cz_cz−−_ax_ax₁₁ −−_by_by₁₁ −−_cz_cz₁₁ == 00 Fazendo:

Fazendo: −−axax₁₁ −−byby₁₁ −−cz cz ₁₁ == d d ,,vemvem :: axax ++ byby ++ cz cz ++ d d == 00. Esta. Esta é a equaçãoé a equação geral ou cartesiana do plano

geral ou cartesiana do plano π π πππ π π π . .

♦

♦ _{Observações:}_{Observações: a) Da forma com que definimos o plano}_{a) Da forma com que definimos o plano}ππ_{, vimos que ele fica}_{, vimos que ele fica} perfeitamente identificado por um de seus pontos A

perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor e por um vetor normalnormal

cc b b a a com com a a cc b b a a n n == (( ,, ,, )) π π ,, ,, ,, → →

não simultaneamente nulos. Qualquer vetor não simultaneamente nulos. Qualquer vetor ,, 00 ,, ≠≠ → → k k n n k

k é também vetor normal ao plano.é também vetor normal ao plano.

b) Sendo

b) Sendo →→nn um vetor ortogonal ao planoum vetor ortogonal ao plano ππ, ele será ortogonal a, ele será ortogonal a

A

(2)

c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação

geral 0

geral _ax_ax ++ _by_by ++ _cz_cz++ _d_d== 0 _{representam as componentes de um vetor normal ao}_{representam as componentes de um vetor normal ao plano.}_plano. Por exemplo, se um plano

Por exemplo, se um plano ππ_é_{é dado}_{dado por:}_por:π π _::₃₃_x_x++₂₂_y_y−−₄₄_z_z++₅₅ ==₀₀_,,um de seus vetoresum de seus vetores normais

normais é: é: →→_n_n == ((33,,22,,−−44).). _{Este mesmo vetor}_{Este mesmo vetor}→→_n_n _{é também normal a}_{é também normal a qualquer plano}_{qualquer plano} paralelo a

paralelo a ππ_..

Assim, todos os infinitos planos paralelos a

Assim, todos os infinitos planos paralelos a ππ_{têm equação geral do tipo:}_{têm equação geral do tipo:} ,,

00 44

22

33_x_x++ _y_y−− _z_z++_d_d== _{na qual}_{na qual} _d_d_{é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor}_{é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor} de

ded d está identificado quando se conhece um ponto do plano.está identificado quando se conhece um ponto do plano.

⇒

⇒_Exemplos:_{Exemplos: 1º)}_{1º) Determinar a}_{Determinar a equação g}_{equação geral do}_{eral do plano}_plano π π que passa pelo pontoque passa pelo ponto

A(2,-1,3),

A(2,-1,3), sendo sendo _n_n→→ == ((33,,22,,−−44)) _{um vetor normal a}_{um vetor normal a} π π ..

2º) Escrever a equação cartesiana do plano

2º) Escrever a equação cartesiana do plano π π que passa pelo pontoque passa pelo ponto

A(3,1,-4)

A(3,1,-4) e e é é paralelo paralelo ao ao plano: plano: π π ₁₁::22_x_x−−33_y_y++_z_z−−66 == 00.. 3º) Estabelecer a equação geral do

3º) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB,plano mediador do segmento AB, dados A(2,-1,4) e B(4,-3,-2).

dados A(2,-1,4) e B(4,-3,-2).

4º) Determinar a equação geral do

4º) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2)plano que passa pelo ponto A(2,1,-2) e é perpendicular à reta e é perpendicular à reta      = = + + = = + + − − = = t t z z t t y y t t x x r r 11 22 33 44 :: .. 1.2. 1.2. DDE T E R M I N A Ç Ã O D E U M P L A N OE T E R M I N A Ç Ã O D E U M P L A N O

Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor

Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele.normal a ele. Existem outras formas de determinação de um

Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementosplano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal)

(ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir apresentadas.

apresentadas.

Assim, existe apenas um plano que: Assim, existe apenas um plano que: 1.)

1.) passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores vv→→₁₁eevv→→₂₂ não colineares.não colineares.

Neste caso:

Neste caso: →→_n_n == _vv→→₁₁_x_x_vv→→₂₂ _..

2.)

2.) passa por dois pontos A e B e é passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor paralelo a um vetor →→vv não colinear ao vetor não colinear ao vetor

→ →

AB AB..

(3)

Neste

Neste caso: caso: →→_n_n ==→→_vv_x_x_AB_AB→→ ;;

3.)

3.) passa por três pontos A, B e C não em passa por três pontos A, B e C não em linha reta.linha reta. Neste caso:

Neste caso:→→_n_n ==_AB_AB→→ _x_x_AC_AC→→

4.)

4.) contém duas retas r contém duas retas r 11 e r e r 22concorrentes.concorrentes.

Neste caso:

Neste caso: →→_n_n == _vv→→₁₁_x_x_vv→→₂₂ _{, sendo}_{, sendo} _vv→→₁₁_ee_vv→→₂₂ _{vetores diretores de r}_{vetores diretores de r}₁₁_{e r}_{e r}₂₂ _;;

5.)

5.) contém duas retas r contém duas retas r 11 e r e r 22 paralelas. paralelas.

Neste

(4)

6.)

6.) contém uma reta r e um pontocontém uma reta r e um ponto B B∉∉r r .. Neste caso:

Neste caso:→→_n_n == →→_vv_x_x_AB_AB→→ _,,_sen_sen_do_do→→_vv _uum_{m vveettoor}_{r ddiirreettoor}_{r dde}_{e r}_{r e}_{e A}_A∈∈ _r._r.



 Observação:Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor

normal

normal →→nn sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados nosempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no

plano. Estes dois vetores são chamados

plano. Estes dois vetores são chamadosvetores-basevetores-basedo plano.do plano.

⇒

⇒_Exemplos_{Exemplos: 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto}_{: 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto} )) 44 ,, 33 ,, 11 (( −− A

A e e é é paralelo paralelo aos aos vetores vetores ₁₁ ==((33,,11,,−−22)) ₂₂ ==((11,,−−11,,11).).

→ → → → vv ee vv

2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos 2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos

)) 11 ,, 22 ,, 11 (( )) 11 ,, 11 ,, 00 (( ); ); 11 ,, 11 ,, 22 (( B B eeC C A A −− −− ..

3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta 3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta

)) 11 ,, 22 ,, 33 (( 33 44 :: −−    = = = = B B ponto ponto o o ee y y x x r r .. 1.3. 1.3. PPL A N O SL A N O S PPA R A L E L O S A O SA R A L E L O S A O S EEI X O S E A O SI X O S E A O S PPL A N O SL A N O S CCO O R D E N A D O SO O R D E N A D O S Casos Particulares Casos Particulares A

A equação equação _ax_ax++_by_by++_cz_cz++_d_d== 00 _{na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um}_{na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um} plano

plano π π ,,sensendodonn ==((aa,,bb,,cc))umumvetor vetor normal normal aaπ π

→ →

. Quando uma ou duas das componentes . Quando uma ou duas das componentes de

de →→nn são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares.são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares.

1.3.1. Plano que passa pela origem

Se

Se o o plano plano _ax_ax++_by_by++_cz_cz++_d_d==00 _passa_{passa pela}_{pela origem:}_origem:_a_a_..₀₀++_b_b_..₀₀++_cc_..₀₀++ _d_d== ₀₀_,,_isto_isto_é_é_d_d== ₀₀ Assim

Assim a a equação: equação: _ax_ax++_by_by++_cz_cz== 00_{representa a equação de um plano que passa pela}_{representa a equação de um plano que passa pela} origem.

origem.

1.3.2. Planos Paralelos aos

1.3.2. Planos Paralelos aos Eixos CoordenadosEixos Coordenados

Se

Se apenas apenas uma uma das das componentes componentes do do vetor vetor nn == ((aa,,bb,,cc)) →

→

é nula, o vetor é ortogonal a é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano

um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano π π é paralelo ao mesmo eixo:é paralelo ao mesmo eixo:

I)

I) sese aa == 00,,nn == ((00,,bb,,cc))⊥⊥00 x x∴∴π π ////00 x x

→ →

e a equação geral dos planos paralelos ao eixo e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x

(5)

A

A figura figura mostra mostra o o plano plano de de equação: equação: 22_y_y++33_z_z−−66 == 00..

Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A

Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A11 (0,3,0) e A(0,3,0) e A22(0,0,2),(0,0,2),

respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor normal

normal ao ao plano plano é é →→_n_n == ((00,,22,,33),),_{pois a equação de}_{pois a equação de}π π pode ser escrita na forma:pode ser escrita na forma:

.. 00 66 33 22 00_x_x++ _y_y++ _z_z−− ==

Com raciocínio análogo, vamos concluir que: Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II)

II) os os planos planos paralelos paralelos ao ao eixo eixo 0y 0y têm têm equação equação da da forma: forma: _ax_ax++_cz_cz++ _d_d== 00;; III)

III) os os planos planos paralelos paralelos ao ao eixo eixo Oz Oz têm têm equação equação da da forma: forma: _ax_ax++_by_by ++_d_d== 00.. Da análise feita sobre este caso particular, conclui-se que a variável ausente na Da análise feita sobre este caso particular, conclui-se que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável.

equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável. As figuras seguintes mostram os planos

As figuras seguintes mostram os planos π π ₁₁::_x_x++_z_z−−33 == 00_eeπ π ₂₂ ::_x_x++22_y_y−−44 == 00,,

♦

♦ _{Observações: a)}_{Observações:} _{a) A}_{A equação}_equação_x_x++₂₂_y_y−−₄₄== ₀₀_{, como vimos, representa no espaço}_{, como vimos, representa no espaço} _ℜ_ℜ33

um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano

22

ℜ

ℜ _{, representa uma reta.}_{, representa uma reta.}

b)

b) Se Se na _ax_axna equação ++equação _by_by++_d_d== 00_fizemos_fizemos_d_d== 00,,_a_a_equação_equação_ax_ax++_by_by == 00 representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.

(6)

1.3.3. Planos Paralelos aos Planos Coordenados

Se

Se duas duas das das componentes componentes do do vetor vetor normal normal nn == ((aa,,bb,,cc)) →

→

são nulas,

são nulas, →→nn é colinear a umé colinear a um

dos

dos vetores vetores →→_ii == ((11,,00,,00))_ou_ou_j_j→→ == ((00,,11,,00))_ou_ou→→_k_k== ((00,,00,,11))_{,e, portanto, o plano}_{,e, portanto, o plano} π π é paralelo aoé paralelo ao

plano dos outros dois vetores: plano dos outros dois vetores:

I) I) sese aa == bb == 00,,nn == ((00,,00,,cc))== cc((00,,00,,11)) == cck k ∴∴π π //// x x00 y y → → → →

e a equação geral dos planos e a equação geral dos planos paralelos ao plano x0y é:

paralelos ao plano x0y é: 00,, 00,, :: ..

cc d d z z vem vem cc como como d d cz cz ++ == ≠≠ == −−

Os planos cujas equações são da forma z

Os planos cujas equações são da forma z = k são p= k são paralelos ao plano x0y.aralelos ao plano x0y. A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.

A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.

A

A equação equação z z = = 4 4 pode pode também também ser ser apresentadapresentada a sob sob a a forma forma 00_x_x++00_y_y++_z_z−−44 ==00 _na_na qual

qual vemos vemos que que qualquer qualquer ponto ponto do do tipo tipo A A (x,y,4) (x,y,4) satisfaz satisfaz esta esta equação equação e e _k→→_k== ((00,,00,,11)) _éé um vetor normal ao plano.

um vetor normal ao plano.

Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x

Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x11,y,y11,z,z11) tem) tem

por equação: z = z por equação: z = z11..

Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e é paralelo ao plano x0y tem Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e é paralelo ao plano x0y tem por equação: z = -3.

por equação: z = -3.

Com raciocínio análogo, vamos concluir que: Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II)

II) os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k;os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k; III)

III) os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k.os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k. As figuras abaixo mostram os

(7)

⇒

⇒_Exemplos_{Exemplos: : 1º) Determinar a equaçã}_{1º) Determinar a equação cartesiana do p}_{o cartesiana do plano que co}_{lano que contém o ponto}_{ntém o ponto} A(2,2,-1) e a reta A(2,2,-1) e a reta    = = = = 33 44 :: y y x x r r ..

2º) Determinar a equação geral do plano que passa por A(2,3,4) e é 2º) Determinar a equação geral do plano que passa por A(2,3,4) e é paralelo aos vetores

paralelo aos vetores _vv→→₁₁ ==_j_j→→++_k→→_k _ee _vv→→₂₂ ==_j→→_j−−_k_k→→_.. 1.4. 1.4.ÂÂN G U L O E N T R E D O I S P L A N O SN G U L O E N T R E D O I S P L A N O S Sejam os planos Sejam os planos 0 0 d d z z c c y y b b x x a a e e 0 0 d d z z c c y y b b x x a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = + + + + + + π π = = + + + + + + π π :: :: Então,

Então, nn₁₁ == ( ( aa₁₁,,bb₁₁,,c c ₁₁)) ee nn₂₂ == ( ( aa₂₂,,bb₂₂,,c c ₂₂)) são vetores normais asão vetores normais a ππ₁₁ ee ππ₂₂,,

respectivamente (figura abaixo) respectivamente (figura abaixo)

Chama-se

Chama-seângulo de dois planosângulo de dois planos ππ11 ee ππ2 2 o menor ângulo que um vetor normalo menor ângulo que um vetor normal

de

de ππ11 forma com um vetor normal deforma com um vetor normal de ππ2 2 . Sendo. Sendo θθeste ângulo, tem-se:este ângulo, tem-se: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 c c b b a a c c b b a a c c c c b b b b a a a a + + + + ⋅⋅ + + + + + + + + = = θ θ cos cos Exemplo:

Exemplo: Determinar o ângulo entre os Determinar o ângulo entre os planos:planos:

0 0 4 4 z z 5 5 y y 2 2 x x 3 3 e e 0 0 8 8 z z 5 5 y y 3 3 x x 2 2 2 2 1 1 = = − − + + + + π π = = − − + + − − π π :: :: R: 48º51’ R: 48º51’ 1.5. 1.5.PPO S I Ç Õ E S D EO S I Ç Õ E S D E PPA R A L E L I S M O EA R A L E L I S M O E PPE R P E N D I C U L A R I S M O D E D O I SE R P E N D I C U L A R I S M O D E D O I S P L A N O S P L A N O S

(8)

Então,

Então, nn₁₁ == ( ( aa₁₁,,bb₁₁,,c c ₁₁))⊥⊥ ππ₁₁ ee nn₂₂ == ( ( aa₂₂,,bb₂₂,,c c ₂₂))⊥⊥ ππ₂₂

As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois

As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são asplanos são as mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é:

mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é: I) I) SeSe 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 c c c c b b b b a a a a n n n n ∴∴ == == π π π π //// ,, //// Obs.: Obs.: a)

a) Se além das igualdades anteriores se tiver Se além das igualdades anteriores se tiver tambémtambém

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 d d d d c c c c b b b b a a a a ₌₌ ₌₌ ₌₌ os planos

os planos ππ11 ee ππ2 2 serão coincidentes porque, nesse caso, a equação deserão coincidentes porque, nesse caso, a equação de ππ2 2 é obtida deé obtida de

1 1

π

π _{mediante a multiplicação por um número, o que não altera a equação de}_{mediante a multiplicação por um número, o que não altera a equação de} ππ₁₁_..

b)

b) Em particular, seEm particular, se aa₁₁ == aa₂₂,,bb₁₁ == bb₂₂,,c c ₁₁ == c c ₂₂ ee d d ₁₁ ≠≠ d d ₂₂, os planos, os planos ππ₁₁ ee ππ₂₂ tambémtambém

são paralelos. são paralelos. II) II) SeSe ππ₁₁ ⊥⊥ ππ₂₂,,nn₁₁ ⊥⊥ nn₂₂∴∴aa₁₁aa₂₂ == bb₁₁bb₂₂ == c c ₁₁c c ₂₂ == 0 0 Exemplos: Exemplos: 1)

1) Calcular os valores deCalcular os valores de mm eenn para que o planopara que o plano ππ₁₁::

( (

22mm−−11

))

x x−−22 y y++nz nz −−33 == 00 sejaseja

paralelo

paralelo ao ao plano plano ππ₂₂ :: 44_x_x++ 44_y_y−−_z_z== _.. 00 2)

2) Calcular os valores deCalcular os valores de mm eenn para que o planopara que o plano ππ₁₁::

( (

22mm−−11

))

x x−−22 y y++nz nz −−33 == 00 sejaseja

perpendicular

(9)

1.6.

1.6. PPOSIÇÕES DEOSIÇÕES DE PPARALELISMO EARALELISMO E PPERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANOERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO

Para a reta

Para a reta r r e o planoe o plano ππanteriores, temos:anteriores, temos:

I.

I. SeSe r r ////ππ,, vv⊥⊥nn

O paralelismo de

O paralelismo de r r ee ππimplica aimplica a

ortogonalidade dos vetores

ortogonalidade dos vetores vv ee nn

II.

II. SeSe r r //⊥⊥ππ,, vv////nn

O perpendicularismo de

O perpendicularismo de r r ee ππimplica oimplica o

paralelismo dos vetores

paralelismo dos vetores vv ee nn..

Exemplo:

Exemplo: Verificar se a retaVerificar se a reta

11 22 11 33 22 :: − − = = − − + + = = − − _y_y _z_z x x r

r é perpendicular ao planoé perpendicular ao plano

00 55 33 66 99 :: −− −− ++ == π π _x_x _y_y _z_z _.. 1.7. 1.7. CCO N D I Ç Õ E S P A R A Q U E U M A R E T A E S T E J A C O N T I D A N U M P L A N OO N D I Ç Õ E S P A R A Q U E U M A R E T A E S T E J A C O N T I D A N U M P L A N O Uma reta

Uma reta r r esta contida num planoesta contida num plano ππse:se:

I.

I. O vetor diretor O vetor diretor vv deder r é ortogonal ao vetor é ortogonal ao vetor nn, normal ao plano, normal ao plano ππ;;

II.

II. Um ponto A pertencente aUm ponto A pertencente a r r pertence também ao plano.pertence também ao plano.

Obs.:

Obs.: uma uma retareta r r está também contida num planoestá também contida num plano ππππππππse dois pontos A e Bse dois pontos A e B

pertencentes a

(10)

( ( ))

00 00 00 11 66 11 66 00 11 33 .. 22 11 22 .. 33 00 11 22 33 = = = = − − − − + + = = − − − − + + + + = = − − + + + +_y_y _z_z x x Logo A (2, 1, -3) também

Logo A (2, 1, -3) também pertence ao planopertence ao plano ππ_.. Mas só essa condição não é

Mas só essa condição não é suficiente para garantir quesuficiente para garantir que r r ∈∈ππ.. (b)

(b) Verificar se oVerificar se o ==

( (

11,,11,,−−22

))

r r

vv é ortogonal aé ortogonal a nn ==

( (

33,,11,,22

))

(vetor normal ao(vetor normal ao

plano plano ππ_)._).

(

11,,11,,−−22

) (

)

( ))

33,,11,,22 ==33++11−−44 ==00 = = oo o onn

vv_r_r . Logo,. Logo, vv_r_r é ortogonal aé ortogonal a nn;;

Conclusão:

Conclusão: ComoComo A A∈∈r r ee A A∈∈ππ, e, e vv_r_r é ortogonal aé ortogonal a nn, então podemos afirmar que, então podemos afirmar que

a reta

a retar r pertence ao planopertence ao plano ππ..

Exemplo 2:

Exemplo 2: Determinar os valores deDeterminar os valores de mm eenn para que a retapara que a reta

     − − − − = = + + = = + + = = t t z z t t y y t t x x r r 22 33 11 22 :: Esteja

Esteja contida contida no no plano plano ππ::_mx_mx++_ny_ny++ 22_z_z−−11== 00_.. 1.8.

1.8. IIN T E R S E C Ç Ã O D E D O I SN T E R S E C Ç Ã O D E D O I S PPL A N O SL A N O S

A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta.

determinar a equação que define esta reta. Sejam

Sejam ππ₁₁ _ee ππ₂₂ _{planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de}_{planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de} ππ₁₁ _ee

22

π

π _{resolveremos o sistema composto por}_{resolveremos o sistema composto por suas equações.}_{suas equações.} Exemplo:

Exemplo: Determinar Determinar a a equação equação da da reta reta intersecção intersecção dos dos planosplanos 00 77 22 55 :: 11 −− ++ ++ == π

π _x_x _y_y _z_z _e_eππ₂₂ _::₃₃_x_x−−₃₃_y_y++_z_z++₄₄ ==₀₀_.. Solução:

Solução: Montamos o seguinte sistema:Montamos o seguinte sistema:

   = = + + + + − − = = + + + + − − 00 44 33 33 00 77 22 55 z z y y x x z z y y x x

O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecçã

entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta o de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos.e esta tem infinitos pontos. Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção

intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função deentre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de

uma 3ª variável, que chamamos de variável livre.variável livre. Como fazer então:

(11)

( ( ))

        = = + + + + − − = = + + + + − − ambos. ambos. de de soma soma a a efetuamos efetuamos seguida seguida em em ee 1 1 -- por por equações equações das das uma uma ndo ndo multiplica multiplica z z variável variável a a os os eliminarem eliminarem z z y y x x z z y y x x 00 44 33 33 00 77 22 55 y) y) caso caso (no (no variáveis variáveis das das uma uma isolamos isolamos y y x x z z y y x x z z y y x x → → = = − − − − − −    = = + + + + − − = = − − − − + + − − + + 00 33 22 00 44 33 33 00 77 22 55 33 22 −− − − = = _x_x y y Agora

Agora substituímos substituímos _y_y ==−−22_x_x−−33 _{na primeira ou na segunda equação do primeiro}_{na primeira ou na segunda equação do primeiro} sistema.

sistema.

Substituindo 3

Substituindo _y_y == −−22_x_x−−3 _na_{na equação}_equação₅₅_x_x−−₂₂_y_y++_z_z++₇₇ ==₀₀_{, teremos:}_{, teremos:}

( (

))

00 77 66 44 55 00 77 33 22 22 55 = = + + + + + + + + = = + + + + − − − − ⋅⋅ − − x x x x z z x x x x Agora isolando

Agora isolando z z , teremos:, teremos:

13 13 99 −− − − = = _x_x z z

As equações reduzidas da reta

As equações reduzidas da reta r r intersecção dos planosintersecção dos planos ππ₁₁ ee ππ₂₂ serão:serão:

   − − − − = = − − − − = = 13 13 99 33 22 :: x x z z x x y y r r 1.9. 1.9. IIN T E R S E Ç Ã O D E R E T A E P L A N ON T E R S E Ç Ã O D E R E T A E P L A N O

A intersecção entre uma reta

A intersecção entre uma reta r r e um planoe um plano ππ é um ponto, que chamaremos de I.é um ponto, que chamaremos de I.

Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações REDUZIDAS da reta

equações REDUZIDAS da reta r r e pela equação do planoe pela equação do plano ππ..

Exemplo:

Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da retaDeterminar o ponto de intersecção da reta

33 44 22 33 ::_x_x == y y−− == z z −− r r com ocom o plano 0

ππ::33_x_x++55_y_y−−22_z_zplano −−99== _.. 0 1º passo:

1º passo: obter as equações reduzidas da retaobter as equações reduzidas da reta r r ..

Neste exemplo faremos y e z em função de x. Neste exemplo faremos y e z em função de x.

33 22 22 33 + + = = = = − − x x y y x x y y ee 44 33 33 44 − − = = = = + + x x x x z z

(12)

     = = − − − − + + − − = = + + = = 00 99 22 55 33 44 33 33 22 z z y y x x x x z z x x y y Resolve-se

Resolve-se este este sistema sistema substituindo substituindo _y_y == 22_x_x++33 _e_e _z_z==₃₃_x_x−−₄₄ _{na equação}_{na equação} 00 99 22 55 33_x_x++ _y_y−− _z_z−− == _..

(

( )

) (

( ))

00 14 14 77 00 99 88 66 15 15 10 10 33 00 99 44 33 .. 22 33 22 .. 55 .. 33 = = + + = = − − + + − − + + + + = = − − − − − − + + + + x x x x x x x x x x x x x x 22 − − = = x x Para 2

Para _x_x== −−2 _y_y == ₂₂_..

_{( ( ))}

−−₂₂ ++₃₃ _ee _z_z==₃₃_..

_{( ( ))}

−−₂₂ −−₄₄ 11 − − = = y y z z == −−1010 Logo I (-2, -1, -10) Logo I (-2, -1, -10) 1.9.1.

1.9.1. Interseção de Plano com os eixos e Interseção de Plano com os eixos e Planos CoordenadosPlanos Coordenados

(a)

(a) Seja Seja o o plano plano ππ::22_x_x++33_y_y++_z_z−−66 == 00

Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer na equação do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim na equação do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim obter as interseções com os eixos.

obter as interseções com os eixos. Assim:Assim: I)

I) SeSe y = z = 0 y = z = 0, , 22 x x−−66 == 00∴∴ x x == 33 ee A A₁₁

( (

33,,00,,00

))

é a interseção do planoé a interseção do plano ππ com ocom o

eixo dos eixo dos x x..

II)

II) SeSe x = z = 0 x = z = 0, , 33 y y−−66 == 00∴∴ y y == 22 ee A A₁₁

( (

00,,22,,00

))

é a interseção do planoé a interseção do plano ππ com ocom o

eixo dos eixo dos y y..

III)

III) SeSe x = y = 0 x = y = 0, , z z −−66 == 00∴∴ z z == 66 ee A A₁₁

( (

00,,00,,66

))

é a interseção do planoé a interseção do plano ππ com o eixocom o eixo

dos dos z z ..

(b)

(b) Como as equações dos planos coordenados sãoComo as equações dos planos coordenados são x = 0, y= 0 x = 0, y= 0 ee z = 0 z = 0, basta fazer, na, basta fazer, na

equação do plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas equação do plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas

z z y y x x

( (

00,,22,,00

))

22 A A

( (

00,,00,,66

))

33 A A

( (

33,,00,,00

))

11 A A

(13)

outras duas variáveis e, assim, obter as interseções com os planos coordenados. outras duas variáveis e, assim, obter as interseções com os planos coordenados. Então:

Então: I)

I) Se Se _x_x== 00,, 33_y_y++_z_z−−66 ==00_{, a reta}_{, a reta}

   + + − − = = = = 66 33 00 :: 11 y y z z x x r

r é a interseção deé a interseção de ππ com o planocom o plano

yOz. yOz. II)

II) Se Se _y_y == 00,, 22_x_x++_z_z−−66 == 00_{, a reta}_{, a reta}

   + + − − = = = = 66 22 00 :: 11 x x z z y y r

r é a interseção deé a interseção de ππ com ocom o

plano xOz. plano xOz. III)

III) Se Se _z_z== 00,, 22_x_x++33_y_y−−66 == 00_{, a reta}_{, a reta}

    + + − − = = = = 22 33 22 00 :: 11 _y_y _x_x z z r

r é a interseção deé a interseção de ππ com ocom o

plano xOy. plano xOy.