Livro Variáveis Complexas

(1)

Aula 1: Álgebra dos Números Complexos 13 1.1 Introdução . . . 14 1.2 Um Pouquinho de História . . . 14 1.3 Números Complexos . . . 15 1.4 Conclusão . . . 20 RESUMO . . . 20 PRÓXIMA AULA . . . 23 ATIVIDADES . . . 23 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 24

Aula 2: Limites de Funções de Variáveis Complexas 25 2.1 Introdução . . . 26

2.2 Topologia do Plano Complexo . . . 26

2.3 Funções de Variáveis Complexas . . . 28

2.4 Limites de Funções de Variáveis Complexas . . . 29

2.5 Continuidade de Funções complexas. . . 32

2.6 Conclusão . . . 34

RESUMO . . . 34

PRÓXIMA AULA . . . 37

ATIVIDADES . . . 37

LEITURA COMPLEMENTAR . . . 38

Aula 3: Derivação Complexa 39 3.1 Introdução . . . 40

3.2 Derivação Complexa . . . 40

(2)

3.5 Conclusão . . . 50

RESUMO . . . 50

ATIVIDADES . . . 52

Aula 4: Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa 53 4.1 Introdução . . . 54

4.2 Funções Holomorfas . . . 54

4.3 Forma Polar das Equações de Cauchy-Riemann . . 58

4.4 Funções Harmônicas . . . 61 4.5 Conclusão . . . 64 RESUMO . . . 64 PRÓXIMA AULA . . . 65 ATIVIDADES . . . 66 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 66

Aula 5: Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 69 5.1 Introdução . . . 70

5.2 Função Exponencial . . . 70

5.3 Propriedades da Função Exponencial . . . 71

5.4 Derivada da Função Exponencial . . . 74

5.5 Função Logaritmo . . . 74

5.6 Propriedades da Função Logaritmo . . . 75

5.7 Derivada da Função Logaritmo . . . 76

(3)

ATIVIDADES . . . 80

Aula 6: Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 83 6.1 Introdução . . . 84

6.2 Funções Trigonométricas . . . 84

6.3 Propriedades das Funções Trigonométricas . . . 86

6.4 Funções Trigonométricas Inversas . . . 88

6.5 Derivada das Funções Trigonométricas . . . 90

6.6 Funções Hiperbólicas . . . 91

6.7 Propriedades das Funções Hiperbólicas . . . 93

6.8 Funções Hiperbólicas Inversas . . . 94

6.9 Derivada das Funções Hiperbólicas . . . 96

6.10 Conclusão . . . 97

RESUMO . . . 98

ATIVIDADES . . . 101

Aula 7: Integração Complexa 103 7.1 Introdução . . . 104

7.2 Integração Complexa . . . 104

7.3 Integrais de Linha Reais . . . 105

7.4 Relação entre Integrais de Linha Complexa e Real . 106 7.5 Integral Indefinida . . . 109

(4)

Aula 8: Teoremas de Cauchy 113 8.1 Introdução . . . 114

8.2 Preliminares . . . 114

8.3 Teoria de Cauchy . . . 115

8.4 Fórmula Integral de Cauchy . . . 123

8.5 Conclusão . . . 129

RESUMO . . . 129

Aula 9: Convergência de Séries de Números Complexos 133 9.1 Introdução . . . 134

9.2 Seqüências de Números Complexos . . . 134

9.3 Alguns Teoremas . . . 135

9.4 Séries de Números Complexos . . . 138

9.5 Séries de Potência . . . 141 9.6 Conclusão . . . 145 RESUMO . . . 145 PRÓXIMA AULA . . . 148 ATIVIDADES . . . 148 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 149

(5)

10.2 Séries de Laurent . . . 152 10.3 Conclusão . . . 160 RESUMO . . . 160 PRÓXIMA AULA . . . 160 ATIVIDADES . . . 161 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 161

Aula 11: Singularidades de Funções de Variáveis Complexas 163 11.1 Introdução . . . 164

11.2 Pontos Singulares de Funções Complexas . . . 164

11.3 Classificação de Pontos Singulares Isolados . . . 164

11.4 Conclusão . . . 169

RESUMO . . . 170

Aula 12: Cálculo de Resíduos 173 12.1 Introdução . . . 174 12.2 Resíduos . . . 174 12.3 Conclusão . . . 180 RESUMO . . . 180 PRÓXIMA AULA . . . 182 ATIVIDADES . . . 182 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 182

(6)

13.1 Introdução . . . 184

13.2 Algumas Aplicações do Teorema dos Resíduos . . . 184

13.3 Conclusão . . . 190

RESUMO . . . 190

Aula 14: Transformações Conformes 193 14.1 Introdução . . . 194

14.2 Transformações Conformes . . . 194

14.3 Exemplos de Algumas Transformações Conformes . 197 14.3.1 Transformações de Möbius . . . 198

14.3.2 Pontos fixos de uma Aplicação . . . 199

14.4 Conclusão . . . 201

RESUMO . . . 201

Aula 15: Transformações Conformes: Aplicações 205 15.1 Introdução . . . 206

15.2 Problemas de Dirichlet e de Neumann . . . 206

15.2.1 Problemas de Dirichlet . . . 210

15.2.2 Problemas de Neumann . . . 210

15.2.3 Aplicações ao Escoamento de Fluidos . . . . 211

15.2.4 Escoamento em Torno de Obstáculos . . . . 213

(7)

ATIVIDADES . . . 217 LEITURA COMPLEMENTAR . . . 217

(8)

(9)

1

Álgebra dos Números

Complexos

META:

Apresentar a álgebra dos números complexos. OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir e efetuar as operações algébricas no corpo C. Calcular raízes e potências em C.

PRÉ-REQUISITOS

(10)

1.1 Introdução

Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Variáveis Com-plexas com o tema “Álgebra dos Números Complexos”. Vamos aqui estabelecer as bases algébricas dos números complexos como um corpo não ordenado i.e. as operações de soma e produto definidas para os números complexos têm as mesmas propriedades que as da soma e produto de números reais.

1.2 Um Pouquinho de História

É interessante notar que a descoberta dos números complexos não foi devida a solução de equações do segundo grau x2+ ax + b = 0, a, b ∈ R e sim devido a descoberta da solução para a equação cúbica em sua forma geral x3+ax2+bx+c = 0, a, b, c ∈ R. Histori-camente a idéia de números complexos apareceu com o Matemático italiano Gerolamo Cardano, que os chamou de fictícius. Scip-ione del Ferro, Matemático italiano, por volta de 1510, encon-trou uma forma geral para a solução da equação cúbica incom-pleta da forma x3 + px + q = 0 porém, morreu sem publica-la. Seu aluno Antonio Maria Fior. conhecendo a solução, propõe um desafio a outro Matemático italiano Nicoló Fontana, apelidado de Tartaglia. Tartaglia, muito embora não conhecesse a solução dos problemas, conseguiu deduzir a fórmula para equações cúbi-cas da forma x3 + px + q = 0 quanto para x3 + px2 + q = 0 e venceu a disputa. Tartaglia, com a mudança de variáveis y = x −a

3 reduziu a equação geral da cúbica x

3_{+ ax}2 _{+ bx + c = 0}

(11)

1

x = 3 s −q 2− r q 2 2 + p 3 3 + 3 s −q 2+ r q 2 2 + p 3 3 . Foi Rafael

Bombelli, engenheiro hidráulico nascido em Bolonha, Itália, em 1530, quem conseguiu atravessar a barreira e chegar aos novos números. Bombelli, estudando a equação x3− 15x − 4 = 0 por in-speção verificou que x = 4 era solução. Dividindo x3− 15x − 4 por x−4 encontrou x2+4x+1 = 0 cujas soluções são reais porém, sub-stituindo na fórmula de Tartaglia encontramos x =p3 2 +√−121+

3

p

2 −√−121. Por um lado a fórmula de Tartaglia estava correta por outro√−121 era, até então, visto com impossível. A idéia de Bombelli foi a de que p3 2 +√−121 e p3

2 −√−121 deveriam ser números da forma a +√−b e a −√−b respectivamente. Após, um bocado de conta (vale a pena refaze-las) encontrou a = 2 e b = 1 e estavam descoberto os números complexos.

1.3 Números Complexos

Vamos agora por a mão na massa começando pela início. Isto é, definindo o que vem a ser números complexos.

Definição 1.1. Um número complexo z = (x, y) é um par or-denado onde x, y ∈ R com soma e produto dados por: ∀z1, z1,

z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2).    z1+ z2 def= (x1+ x2, y1+ y2) z1.z1 def = (x1x2− y1y2, x1y2+ x2y1)

OBS 1.1. Denotamos C o conjunto de todos os números com-plexos munido das estruturas aditiva e multiplicativa dadas acima.

(12)

A igualdade de números complexos é derivada da igualdade de pares ordenados i.e.

Definição 1.2. Seja z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) dois números

complexos. z₁= z2 se, somente se x1= x2 e y1 = y2.

OBS 1.2. Apesar de ser definido como par ordenado de números complexos, os números complexos não tem paralelo com R2 pois, em R2 não existe estrutura multiplicativa como nos complexos. Os números complexos possuem, entre outras, as seguintes pro-priedades:

∀z1, z2, z3 ∈ C

i) z1+ z2 = z2+ z1 simetria da soma

ii) z1.z2= z2.z1 simetria da multiplicação

iii) (z₁+ z2) + z3 = z1+ (z2 + z3) associatividade da soma

iv) (z1.z2).z3= z1.(z2.z3) associatividade da multiplicação

v) (0, 0) é o neutro aditivo

vi) (1, 0) é o neutro multiplicativo

vii) se z = (x, y) então −z = (−x, −y) é o simétrico aditivo.

viii) se z = (x, y) 6= (0, 0) então z−1 = x x2_{+ y}2, −y x2_{+ y}2 é o simétrico multiplicativo

ix) z1.(z2+ z3) = z1.z2+ z1.z3 distributividade da multiplicação

sobre a soma

OBS 1.3. Fazendo as seguintes identificações: 1 = (1, 0) e ııı = (0, 1) podemos escrever um número complexo z = (x, y) como

(13)

1

z = x + yııı, que é uma forma mais simples de se manipular desde que ponhamos ııı2 = −1. Nesta forma a soma e a multiplicação ficam dadas por: se ∀z₁, z2∈ C, z1 = x1+ y1ııı e z2 = x2+ y2ııı então

z1+ z2 = (x1+ x2) + (y1+ y2)ııı

z1.z2 = (x1x2− y1y2) + (x1y2− x2y1)ııı

Definição 1.3. Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo. Defi-nimos as partes reais e partes imaginária de z, denotadas Re(z) e Im(z) respectivamente, por:

Re(z) = x e Im(z) = y

OBS 1.4. Dado um número complexo z = x + yııı ∈ C, podemos representa-lo graficamente como um ponto do plano xy. Desta forma dando sentido à próxima definição.

Definição 1.4. Dado um número complexo z = x + yııı ∈ C, defi-nimos o módulo de z, denotado |z|, por:

|z|def= px2_{+ y}2 _(1.1)

Um conceito importante a ser em seguida definido é o de conjugado. A saber:

Definição 1.5. Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo. Defi-nimos o conjugado de z, denotado ¯z por:

¯

zdef= x − yııı

OBS 1.5. O módulo e o conjugado estão relacionados por: |z|2 = z.¯z.

Algumas propriedades do módulo: ∀z₁, z2 ∈ C

(14)

x y

z

¯ z

Figura 1.1: Conjugado de um número complexo

i) z₁| ≥ 0

ii) |z1.z2| = |z1|.|z2|

iii) |z₁+ z2| ≤ |z1| + |z2|

iv) se z = x + yııı então |z| ≥ |x| e |z| ≥ |y|

Algumas propriedades do conjugado: ∀z₁, z2, z ∈ C i) z1+ z2 = z1+ z2 ii) z₁.z2= z1.z2 iii) x = Re(z) = z + ¯z 2 iv) y = Im(z) = z − ¯z 2ııı

Como podemos associar um número complexo z = x + yııı ∈ C a um ponto do plano xy, podemos usar coordenadas polares e definir uma nova forma de representação d números complexos. A saber:

(15)

1

x y z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı r θ

Figura 1.2: Forma polar de um número complexo

Definição 1.6. Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo. Fazendo x = r cos(θ) e y = r sin(θ) a representação:

z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı

é dita representação polar do número z.

OBS 1.6. O módulo de z é dado por:

|z| =p(r cos(θ))2_{+ (r sin(θ))}2 = q r2_cos2_{(θ) + r}2_sin2_(θ) = q r2_(cos2_{(θ) + sin}2_(θ)) = √ r2 = r

Definição 1.7. Dado um número complexo z ∈ C em sua forma polar z = r cos(θ)+r sin(θ)ııı definimos o argumento de z, denotado arg(z) por: arg(z) = θ.

OBS 1.7. O argumento de um número complexo tem uma in-finidade de valores já que cos(θ + 2kπ) = cos(θ), ∀k ∈ Z e sin(θ + 2kπ) = sin(θ), ∀k ∈ Z. qualquer dos θ + 2kπ pode ser um argu-mento.

(16)

Fazendo o produto z.w temos:

z.w = (r cos(θ) + r sin(θ)ııı).(% cos(φ) + % sin(φ)ııı)

= r%(cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ))

+ r%(cos(θ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ))ııı

= r% cos(θ + φ) + r% sin(θ + φ)

OBS 1.9. Da observação acima tiramos: Se z = r cos(θ)+r sin(θ)ııı e w = % cos(φ) + % sin(φ)ııı então

arg(z.w) = arg(z) + arg(w)

a fórmula acima pode ser interpretada assim: se arg(z) é um argu-mento de z e arg(w) é um arguargu-mento de w então arg(z)+arg(w) é um argumento de z.w e um argumento de z.w pode ser decomposto na soma de um argumento de z mais um argumento de w.

1.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que embora definidos inicialmente como pares ordenados de R2, os números complexos possuem um estru-tura multiplicativa que torna C diferente de R2.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:

Álgebra dos Números Complexos Definição

(17)

1

com soma e produto dados por: ∀z₁, z1, z1 = (x1, y1) e z2 =

(x2, y2).    z1+ z2 def = (x1+ x2, y1+ y2) z1.z1 def = (x1x2− y1y2, x1y2+ x2y1) Algumas Propriedades

Os números complexos possuem, entre outras, as seguintes pro-priedades:

∀z1, z2, z3 ∈ C

i) z₁+ z2 = z2+ z1 simetria da soma

ii) z1.z2= z2.z1 simetria da multiplicação

iii) (z₁+ z2) + z3 = z1+ (z2 + z3) associatividade da soma

iv) (z1.z2).z3= z1.(z2.z3) associatividade da multiplicação

v) (0, 0) é o neutro aditivo

vi) (1, 0) é o neutro multiplicativo

vii) se z = (x, y) então −z = (−x, −y) é o simétrico aditivo.

viii) se z = (x, y) 6= (0, 0) então z−1 = x x2_{+ y}2, −y x2_{+ y}2 é o simétrico multiplicativo

ix) z1.(z2+ z3) = z1.z2+ z1.z3 distributividade da multiplicação

sobre a soma

Definição

Fazendo as seguintes identificações: 1 = (1, 0) e ııı = (0, 1) podemos escrever um número complexo z = (x, y) como z = x + yııı

(18)

reais e partes imaginária de z, denotadas Re(z) e Im(z) respecti-vamente, por: Re(z) = x e Im(z) = y.

Definição

Dado um número complexo z = x + yııı ∈ C, definimos o módulo de z, denotado |z|, por: |z|def= px2_{+ y}2_.

Definição

Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo. Definimos o conjugado de z, denotado ¯z por: ¯zdef= x − yııı.

Algumas Propriedades do Módulo Algumas propriedades do módulo: ∀z1, z2 ∈ C

i) z₁| ≥ 0

ii) |z1.z2| = |z1|.|z2|

iii) |z1+ z2| ≤ |z1| + |z2|

iv) se z = x + yııı então |z| ≥ |x| e |z| ≥ |y|

Algumas Propriedades do Conjugado Algumas propriedades do conjugado: ∀z₁, z2, z ∈ C i) z1+ z2 = z1+ z2 ii) z₁.z2= z1.z2 iii) x = Re(z) = z + ¯z 2 iv) y = Im(z) = z − ¯z 2ııı Definição

(19)

1

e y = r sin(θ) a representação: z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı é dita representação polar do número z.

Produto na Forma Polar

Se z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı e w = % cos(φ) + % sin(φ)ııı. Fazendo o produto z.w temos:

z.w = r% cos(θ + φ) + r% sin(θ + φ)

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula introduziremos o conceito de funções de variáveis complexas e o conceito de limites no corpo dos números complexos. Veremos também, algumas propriedades dos limites de funções complexas.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões:

ATIV. 1.1. Sejam z₁ e z₂ dois números complexos. Mostre que z1.z2 = z2.z1.

Comentário: Use as propriedades comutativas dos números reais.

ATIV. 1.2. Sejam z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı. Mostre que:

zn= rncos(nθ) + rnsin(nθ)ııı

(20)

LEITURA COMPLEMENTAR

SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Ed-itora McGraw-Hill do Brasil, 1973.

SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009.

BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Vari-ables and Applications Editora McGraw Hill, 2008

FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006. CERI, Cristina e MONTEIRO, Marta S. A História dos Números Complexos. http://www.ime.usp.br/ martha/caem/complexos.pdf. Acessado em 02/06/2011.

(21)

2

Limites de Funções

de Variáveis Complexas

META:

Introduzir o conceito de limite de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir limites de funções de variáveis complexas e

determinar o limite de algumas funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS

Aula01 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da dis-ciplina Cálculo II.

(22)

2.1 Introdução

Caros alunos o tema de nossa aula de hoje é “Limites de Funções de Variáveis Complexas”. Antes de entrarmos no tema central no entanto, faremos um pequeno passeio pela topologia do plano complexo. A rigor, as noções topológicas aqui expostas não se restringem ao plano complexo. Estes conceitos, em especial o de bola aberta serão usados nas definições de limite e continuidade de funções complexas.

2.2 Topologia do Plano Complexo

Vamos iniciar nossa aula com as definições, com alguns pequenos comentários, de alguns conceitos topológicos. Começando por:

Definição 2.1. Sejam z0∈ C um ponto do plano complexo e r > 0

um real positivo. definimos a bola aberta de centro em z0 e raio r

por:

Br(z0) = {z ∈ C||z − z0| < r}

OBS 2.1. Apesar do nome bola aberta, a representação geométrica de uma bola aberta de centro em z0 ∈ C e raio r > 0 é (ver figura

2.1), no plano complexo C, é o interior um disco cujo centro é z0

e cujo raio é r.

Podemos definir também, a bola fechada incluindo as bordas i.e.

Definição 2.2. Sejam z₀_{∈ C um ponto do plano complexo e r > 0} um real positivo. definimos a bola fechada de centro em z0 e raio

r por:

(23)

2

x y z0 r1 Br(z0)

Figura 2.1: Bola Aberta no Plano Complexo

Definição 2.3. Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D é um conjunto aberto se, somente se: Para todo z ∈ D, existe ε > 0 tal que Bε(z) ⊂ D.

OBS 2.2. Em un conjunto aberto cada ponto é centro de alguma bola aberta inteiramente contida no conjunto. Em particular cada bola aberta em C é por sua vez um conjunto aberto. Também é aberto o plano complexo C. E o conjunto vazio ∅ é aberto, pois satisfaz a definição de conjunto vazio.

Definição 2.4. Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D é um conjunto fechado se, somente se se comple-mentar_{_C_{(D) em relação a C for aberto.}

OBS 2.3. Bolas fechadas são conjuntos fechados. Também é fechado o plano complexo C, visto que seu complementar, o con-junto vazio ∅, é um concon-junto aberto.

Definição 2.5. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ D. Dizemos que z é um ponto interior de D se, somente se existe ε > 0 tal que Bε(z) ⊂ D.

(24)

OBS 2.4. Todos os pontos de um conjunto D aberto são pontos interiores de D.

Definição 2.6. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto exterior de D se, somente se existe ε > 0 tal que B_ε_{(z) ⊂ {}_C(D).

Definição 2.7. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto de fronteira de D se, somente se para todo ε > 0, Bε(z) ∩ D 6= ∅ e Bε(z) ∩ {C(D) 6= ∅.

Definição 2.8. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto de acumulação de D se, somente se para todo ε > 0 tal que B_ε(z) ∩ D 6= ∅.

OBS 2.5. Todos os pontos de um conjunto D aberto são pontos de acumulação. Todos os pontos de fronteira de um conjunto D são pontos de acumulação.

2.3 Funções de Variáveis Complexas

Consideraremos aqui funções de variáveis complexas, que questão de economia serão chamadas simplesmente funções complexas. Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Uma função complexa f é uma regra que associa cada ponto z de D a um número complexo denotado w. O número w é chamado de o valor de f no ponto z ou imagem de z por f e denotado f (z) i.e.

w = f (z)

OBS 2.6. Adotaremos também, a notação usual de funções i.e. para indicar uma função f de domínio D ⊂ C em C usamos f : D ⊂ C 7→ C.

(25)

2

Também, com o objetivo de simplificação e a menos que seja indi-cado o contrário, o domínio de D de f será um conjunto aberto.

OBS 2.7. Desde que a imagem de uma função complexa é um número complexo, podemos ter uma forma alternativa de repre-sentar funções complexas pondo z = x + yııı e

f (z) = f (x + yııı) = u(x, y) + v(x, y)ııı

onde as funções u : D ⊂ C 7→ R e v : D ⊂ C 7→ R são ditas componentes real e imaginária de f respectivamente.

Exemplo 2.1. Para a função f : C 7→ C dada por f (z) = z3 suas componentes são u(x, y) = x3 − 3xy2 _{e v(x, y) = 3x}2_{y − y}3 _i.e.

f (•) pode ser escrita como:

f (z) = f (x + yııı) = (x + yııı)3

= (x + yııı).(x + yııı).(x + yııı)

= ((x2− y2) + 2xyııı).(x + yııı)

= (x3− 3xy2) + (3x2y − y3)ııı

2.4 Limites de Funções de Variáveis Complexas

Começaremos diretamente pela definição de limite.

Definição 2.9. Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de domínio D aberto e z0 ∈ D. Dizemos que L ∈ C é o limite de f(z)

quando z tende a z₀, denotado lim

z→z0

f (z) = L se, somente se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo z ∈ Bδ(z0) − {z0} temos

f (z) ∈ Bε(L)

OBS 2.8. A definição acima, traduzindo em palavras, quer dizer que se L é o limite de f (z) quando z se aproxima de z₀ a imagem

(26)

a imagem f (z) está em uma bola arbitrariamente pequena B_ε(L) de centro em L.

Para ilustrar o cálculo de limites usando a definição, veremos o seguinte exemplo:

Exemplo 2.2. Seja f : C 7→ C dada por: f (z) =    z3 , z 6= ııı 0 , z = ııı .

Determinar o limite de f (z) quando z tende a ııı. SOLUÇÃO: Como ııı3 = −ııı suspeitamos que lim

z→ıııf (z) = −ııı.

Va-mos comprovar, usando a definição de limite.

Para cada real positivo ε > 0, existe um real positivo δ > 0 tal que:

∀z ∈ B_δ(ııı) − {ııı} temos: f (z) ∈ Bε(−ııı).

Podemos, de forma mais conveniente, descrever a situação acima em termos de módulo da seguinte forma:

∀z|0 < |z − ııı| < δ temos: |z3_{+ ııı| < ε.}

Para ter isso escrevermos:

|z3+ ııı| = |z3− ııı3|

= |(z − ııı)(z2+ zııı + ııı2)|

≤ |z − ııı|.|z2+ zııı + ııı2| < ε

(2.2)

Se, temporariamente, limitarmos z de modo que |z−ııı| < 1 teremos:

|z| − |ııı| ≤ |z − ııı| < 1

|z| − 1 < 1

|z| < 2

(27)

2

Daí, teremos a seguinte limitação:

|z2+ zııı + ııı2| < |z2+ |zııı| + |ııı2|

< |z|2+ |z||ııı| + |ııı|2

< 7

(2.4)

Bom, agora podemos provar o limite:

∀ε >, ∃δ > 0, δ = min{1, ε/7}|∀z, 0 < |z − ııı| < δ.

Como |z − ııı| < δ e δ = min{1, ε/7} temos que valem ao mesmo tempo as seguintes desigualdades:

|z − ııı| < 1 e |z − ııı| < ε/7.

Da primeira desigualdade garantimos a desigualdade eqn 2.3.3 que por sua vez garante a desigualdade eqn 2.4.3.

Por outro lado, da segunda desigualdade temos:

|z − ııı| < ε 7 |z − ııı|.7 < ε

(2.5)

Das desigualdades eqn 2.5 e eqn 2.4.3 temos:

|z − ııı|.|z2+ zııı + ııı2| < ε |(z − ııı).(z2+ zııı + ııı2)| < ε |z3− ııı3| < ε (2.6) Daí, temos: ∀ε >, ∃δ > 0, δ = min{1, ε/7}|∀z, 0 < |z − ııı| < δ → |z3+ ııı| < ε

Que podemos sintetizar como:

lim

z→ıııf (z) = −ııı

Teorema 2.1. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. Se lim

z→z0

f (z) = w0 e lim z→z0

f (z) = w1

(28)

OBS 2.9. O teorema acima garante que se existe o limite de f (•) em um ponto z0 então este limite é único.

Teorema 2.2. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de componentes f (z) = f (x + yııı) = u(x, y) + v(x, y)ııı, z0 = x0+y0ııı ∈ D e w0 = u0+v0ııı ∈ C. Então lim

z→z0

f (z) = w0 se, somente se: lim_x→x0

y→y0

u(x, y) = u0 e lim_x→x0

y→y0

v(x, y) = v0.

Temos também o seguinte teorema que sintetiza algumas das pro-priedades referentes a operações com limites.

Teorema 2.3. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas e z0 ∈ D tais que lim

z→z0 f (z) = f0 e lim z→z0 g(z) = g0 então: i) lim z→z0 (f + g)(z) = lim z→z0 f (z) + lim z→z0 g(z) = f0+ g0 ii) lim z→z0 (f − g)(z) = lim z→z0 f (z) − lim z→z0 g(z) = f0− g0 iii) lim z→z0 (f.g)(z) = lim z→z0 f (z). lim z→z0 g(z) = f0.g0 iv) lim z→z0 f g (z) = lim z→z0 f (z) lim z→z0 g(z) = f0 g0 se g0 6= 0

OBS 2.10. As propriedades dos limites de funções complexas re-sumida no teorema 2.3 nostra basicamente que limites de funções complexas têm as mesmas propriedades que funções de valores reais quanto a operações com limites.

2.5 Continuidade de Funções complexas

(29)

2

Definição 2.10. Sejam D ⊂ C um aberto de C, F : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. Dizemos que f (•) é contínua se,

somente se:

lim

z→z)

f (z) = f (z0)

OBS 2.11. A equação da definição acima sintetiza três requisitos para a continuidade de uma função em um ponto. Primeiro a função tem que ser definida no ponto. Segundo o limite lim

z→z)

f (z) existe. E terceiro é requerida a igualdade lim

z→z)

f (z) = f (z0).

OBS 2.12. Se a função f (•) é contínua em todos os pontos de seu domínio D dizemos simplesmente que f (•) é uma função contínua.

O seguinte teorema caracteriza algumas das propriedades referen-tes a funções contínuas.

Teorema 2.4. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C e duas funções complexas contínuas em D e z₀ ∈ D então:

i) (f + g)(z) é contínua em z₀

ii) (f − g)(z) é contínua em z₀

iii) (f.g)(z) é contínua em z₀

iv) f

g(z) é contínua em z0 se g(z) 6= 0, ∀z ∈ D

OBS 2.13. As propriedades acima decorrem imediatamente das propriedades das operações com limites.

Teorema 2.5. Sejam D1, D2 ⊂ C, abertos de C, f : D2 ⊂ C 7→ C

e g : D₁_{⊂ C 7→ D}₂ _{⊂ C duas funções complexas contínuas em D}₂ e D1 respectivamente e z0∈ D1 então:

lim

z→z0

(30)

OBS 2.14. O teorema acima diz em outras palavras que a com-posta de funções contínua é também uma função contínua.

2.6 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que as mesmas noções topológicas de R2 podem ser estendidas ao plano complexo e que limites de funções de valores complexos comportam-se tal e qual limites de funções de valores reais, possuindo basicamente as mesmas propriedades no que se refere às operações com limites.

RESUMO

Topologia do Plano Complexo

Definimos os seguintes conceitos topológicos no plano complexo: Bola Aberta

Sejam z₀ _{∈ C um ponto do plano complexo e r > 0 um real} posi-tivo. definimos a bola aberta de centro em z0 e raio r por:

Br(z0) = {z ∈ C||z − z0| < r}

Bola Fechada

Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0 um real

positivo. definimos a bola fechada de centro em z₀ e raio r por:

Br(z0) = {z ∈ C||z − z0| ≤ r}

Conjunto Aberto

(31)

2

um conjunto aberto se, somente se: Para todo z ∈ D, existe ε > 0 tal que Bε(z) ⊂ D.

Conjunto Fechado

Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D é um conjunto fechado se, somente se se complementar_{_C(D) em relação a C for aberto.

Ponto Interior

Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ D. Dize-mos que z é um ponto interior de D se, somente se existe ε > 0 tal que Bε(z) ⊂ D.

Ponto Exterior

Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dize-mos que z é um ponto exterior de D se, somente se existe ε > 0 tal que B_ε_{(z) ⊂ {}_C(D).

Ponto de Fronteira

Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dize-mos que z é um ponto de fronteira de D se, somente se para todo ε > 0, Bε(z) ∩ D 6= ∅ e Bε(z) ∩ {C(D) 6= ∅.

Ponto de Acumulação

Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dize-mos que z é um ponto de acumulação de D se, somente se para todo ε > 0 tal que B_ε(z) ∩ D 6= ∅.

Funções Complexas

Podemos representar funções complexas de diversas formas como: Para f : D ⊂ C 7→ C podemos escrever:

w = f (z) ou

Se z = x+yııı podemos escrever f (z) = f (x+yııı) = u(x, y)+v(x, y)ııı onde u(x, y) e v(x, y) são ditas componentes de f (•).

(32)

Limites de Funções Complexas

Quanto a limites de funções complexas destacamos os seguintes tópicos:

Definição

Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de domínio D aberto e z0 ∈ D. Dizemos que L ∈ C é o limite de f(z) quando z tende a

z0, denotado lim z→z0

f (z) = L se, somente se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo z ∈ Bδ(z0) − {z0} temos f (z) ∈ Bε(L)

Teorema 1

Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. Se lim z→z0 f (z) = w0 e lim z→z0 f (z) = w1 então w0 = w1. Teorema 2

Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de componentes f (z) = f (x + yııı) = u(x, y) + v(x, y)ııı, z0 = x0+ y0ııı ∈ D e w0= u0+ v0ııı ∈ C. Então lim

z→z0

f (z) = w0 se,

somente se: lim

x→x0 y→y0 u(x, y) = u0 e lim x→x0 y→y0 v(x, y) = v0.

Teorema 3 (Operações com Limites)

Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas e z0 ∈ D tais que lim

z→z0 f (z) = f0 e lim z→z0 g(z) = g0então: i) lim z→z0 (f + g)(z) = lim z→z0 f (z) + lim z→z0 g(z) = f0+ g0 ii) lim z→z0 (f − g)(z) = lim z→z0 f (z) − lim z→z0 g(z) = f0− g0 iii) lim z→z0 (f.g)(z) = lim z→z0 f (z). lim z→z0 g(z) = f0.g0 iv) lim z→z0 f g (z) = lim z→z0 f (z) lim z→z0 g(z) = f0 g0 se g0 6= 0 Definição

(33)

2

complexa e z₀∈ D. Dizemos que f (•) é contínua se, somente se:

lim

z→z)

f (z) = f (z0)

Propriedades da Funções Contínuas

Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas e z0 ∈ D tais que lim

z→z0 f (z) = f0 e lim z→z0 g(z) = g0então: i) lim z→z0 (f + g)(z) = lim z→z0 f (z) + lim z→z0 g(z) = f0+ g0 ii) lim z→z0 (f − g)(z) = lim z→z0 f (z) − lim z→z0 g(z) = f0− g0 iii) lim z→z0 (f.g)(z) = lim z→z0 f (z). lim z→z0 g(z) = f0.g0 iv) lim z→z0 f g (z) = lim z→z0 f (z) lim z→z0 g(z) = f0 g0 se g0 6= 0

PRÓXIMA AULA

A nossa próxima aula será dedicada à ”Derivação de Funções Complexas´´ onde veremos que a estrutura multiplicativa do corpo dos números complexos faz com que a derivação no plano complexo seja significativamente diferente da derivação em R2.

ATIVIDADES

ATIV. 2.1. Seja f : C 7→ C dada por: f (z) =    z2 , z 6= ııı 0 , z = ııı .

Mostrar que o limite de f (z) quando z tende a ııı é −1.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o exemplo, ele lhe servirá de guia.

(34)

ATIV. 2.2. Seja f : C 7→ C dada por: f (z) = az2+ bz + c, onde a, b, c ∈ C. Mostrar que f (•) é contínua em z0.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o exemplo, ele lhe servirá de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Vari-ables and Applications Editora McGraw Hill, 2008.

FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.

(35)

3

Derivação Complexa

META:

Introduzir o conceito de derivada de funções de variáveis com-plexas.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir derivada de funções de variáveis complexas e

determinar a derivada de algumas funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS

(36)

3.1 Introdução

Caros alunos em nossa aula de hoje veremos a Derivação Com-plexa. Em muitos aspectos a derivação complexa tem as mesmas propriedades da derivação real. Em outros porém a derivação com-plexa é peculiar e estas peculiaridades serão parte do tema de nossa aula.

3.2 Derivação Complexa

Iniciaremos pela definição de derivada de uma função complexa.

Definição 3.1. Sejam D ⊂ C aberto, z0 ∈ D e f : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa. Definimos a derivada de f (•) no ponto z₀, denotada f0(z0), por: f0(z0)def= lim z→z0 f (z) − f (z0) z − z0 (3.7)

OBS 3.1. Está implícito na definição acima que a derivada de f (•) é dada pela expressão à direita se, somente se o limite existe. Podemos expressar também o limite usando uma nova variável ∆z = z − z0, z = z0 + ∆z, onde ∆z é escolhido de modo que

tenhamos z ∈ D. f0(z0) def = lim z→z0 f (z0+ ∆z) − f (z0) ∆z (3.8)

OBS 3.2. Para que a derivada de f (•) exista em um ponto z0 ∈ D

é necessário que o limite da definição seja independente da maneira como z se aproxima de z0.

(37)

3

Exemplo 3.1. Seja f : C 7→ C dada por f (z) = z3. Calculemos sua derivada.

SOLUÇÃO: Seja z₀ _{∈ C temos:} f (z0+ ∆z) − f (z0) ∆z = (z0+ ∆z)3− z03 ∆z = z 3 0 + 3z02∆z + 3z0(∆z)2+ (∆z)3− z03 ∆z = 3z 2 0∆z + 3z0(∆z)2+ (∆z)3 ∆z = 3z₀2+ 3z0∆z + (∆z)2

Passando o limite ∆z → 0 e usando a definição de derivada eqn 3.8 temos: lim ∆z→0 f (z0+ ∆z) − f (z0) ∆z = lim∆z→0(3z 2 0 + 3z0∆z + (∆z)2) f0(z0) = 3z02

Vamos ao segundo exemplo:

Exemplo 3.2. Seja f : C 7→ C dada por f (z) = |z|2. Calculemos sua derivada.

SOLUÇÃO: Seja z₀ _{∈ C temos:} f (z0+ ∆z) − f (z0) ∆z = |z0+ ∆z|2− |z0|2 ∆z = (z0+ ∆z)(z0+ ∆z) − z0z¯0 ∆z = z0z¯0+ ¯z0∆z + z0∆z + ∆z∆z − z0z¯0 ∆z = z¯0∆z + z0∆z + ∆z∆z ∆z = ¯z0+ z0 ∆z ∆z + ∆z

Vamos passar o limite ∆z → 0 por dois caminhos distintos. Caminho 1: Vamos fazer ∆z → 0 seguindo um caminho paralelo ao eixo real. Neste caso ∆z = ∆x + 0ııı = ∆x, ∆z = ∆x − 0ııı = ∆x.

(38)

Daí, ∆z

∆z = 1. E passando o limite ∆z → 0 que é equivalente, neste caso a ∆x → 0 temos:

f0(z0) = ¯z0+ z0

Caminho 2: Vamos fazer ∆z → 0 seguindo um caminho paralelo ao eixo imaginário. Neste caso ∆z = 0 + ∆yııı = ııı∆y, ∆z = 0 − ∆yııı = −ııı∆y. Daí, ∆z

∆z = −1. E passando o limite ∆z → 0 que é equivalente, neste caso a ∆y → 0 temos:

f0(z0) = ¯z0− z0

Daí, f (z) = |z|2 não é derivável em ponto nenhum do plano com-plexo, exceto em z0 = 0.

3.3 Regras de Derivação Complexa

Se f (•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto z₀ _{∈ C então} valem as seguintes regras de derivação:

1. (f + g)0(z0) = f0(z0) + g0(z0) 2. (f − g)0(z0) = f0(z0) − g0(z0) 3. (f.g)0(z0) = f (z0).g0(z0) + g(z0).f0(z0) 4. f g 0 (z0) = f (z0).g0(z0) − g(z0).f0(z0) g2_(z 0) se g(z0) 6= 0

Demonstraremos, agora, uma das regras de derivação complexa. A saber.

Se f (•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto z0 ∈ C então

vale a seguinte regra de derivação: f g 0 (z0) = f (z0).g0(z0) − g(z0).f0(z0) g2_(z 0) se g(z0) 6= 0.

(39)

3

PROVA: Para simplificar trocaremos ∆z por λ. Usando a definição de derivada complexa temos:

f g 0 (z0) = lim λ→0 f g (z0+ λ) − f g (z0) λ = lim λ→0 f (z0+ λ) g(z0+ λ) −f (z0) g(z0) λ = lim λ→0 f (z0+ λ)g(z0) − f (z0)g(z0+ λ) g(z0+ λ)g(z0) λ = lim λ→0 f (z0+ λ)g(z0) − f (z0)g(z0+ λ) g(z0+ λ)g(z0)λ (3.9)

Adicionando o termo nulo −f (z₀)g(z0) + f (z0)g(z0) ao

denomi-nador da equação eqn 3.9.4 acima temos:

f g 0 (z0) = lim λ→0 f (z0+ λ)g(z0) − f (z0)g(z0) g(z0+ λ)g(z0)λ − lim λ→0 f (z0)g(z0+ λ) − f (z0)g(z0) g(z0+ λ)g(z0)λ = lim λ→0 g(z0) g(z0+ λ)g(z0) f (z0+ λ) − f (z0) λ − lim λ→0 f (z0) g(z0+ λ)g(z0) g(z0+ λ) − g(z0) λ = lim λ→0 g(z0) g(z0+ λ)g(z0) lim λ→0 f (z0+ λ) − f (z0) λ − lim λ→0 f (z0) g(z0+ λ)g(z0) lim λ→0 g(z0+ λ) − g(z0) λ (3.10)

Como as funções f (•) e g(•) são deriváveis, são também contínuas e da definição de derivada complexa temos:

(40)

lim λ→0 g(z0) g(z0+ λ)g(z0) = g(z0) gr(z0) lim λ→0 f (z0) g(z0+ λ)g(z0) = f (z0) g2_(z 0) f0(z0) = lim λ→0 f (z0+ λ) − f (z0) λ g0(z0) = lim λ→0 g(z0+ λ) − g(z0) λ Logo a última equação eqn 3.10.3 passa a:

f g 0 (z0) = g(z0) g2_(z 0) f0(z0) − f (z0) g2_(z 0) g0(z0) = g(z0)f 0_(z 0) − f (z0)g0(z0) g2_(z 0)

3.4 Equações de Cauchy-Riemann

Nesta seção estabeleceremos condições necessárias e suficiente para garantir a existência da derivada de uma função de variáveis com-plexas em um ponto do plano complexo.

Teorema 3.1. Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C, f (z) = u(x, y) + v(x, y)ııı e f0(z) existam na vizinhança de um ponto z0 = x0+ y0ııı ∈ C. Então as derivadas parciais de primeira

ordem de u e v com relação a x e a y existem e satisfazem:

∂u ∂x(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) ∂v ∂x(x0, y0) = − ∂u ∂y(x0, y0) (3.11)

PROVA: Da hipótese do teorema f (z) = u(x, y)+v(x, y)ııı e f0(z) estão definidas em uma vizinhança do ponto z0 = x0 + y0ııı ∈ C.

Da definição de derivada temos:

f0(z0) def = lim z→z0 f (z) − f (z0) z − z0 (3.12)

(41)

3

Podemos tomar dois casos (caminhos):

Caso 1 podemos fazer z → z0 seguindo o caminho z = x + y0ııı,

z − z0 = x + y0ııı − (x0+ y0ııı) = x − x0 que é equivalente a x → x0 e temos: f (z) − f (z0) z − z0 = u(x, y0) + v(x, y0)ııı − u(x0+, y0) − v(x0, y0)ııı x − x0 = u(x, y0) − u(x0, y0) x − x0 + ıııv(x, y0) − v(x0, y0) x − x0

Passando o limite z → z0 (de forma equivalente) x → x0 temos:

lim z→z0 f (z) − f (z0) z − z0 = lim x→x0 u(x, y0) − u(x0, y0) x − x0 f0(z0) = ∂u ∂x(x0, y0) + ∂v ∂x(x0, y0)ııı (3.13)

Caso 2 podemos fazer z → z₀ seguindo o caminho z = x₀+ yııı, z − z0 = x0+ yııı − (x0+ y0ııı) = (y − y0)ııı que é equivalente a y → y0

e temos:

f (z) − f (z0)

z − z0

= u(x0, y) + v(x0, y)ııı − u(x0+, y0) − v(x0, y0)ııı x − x0 = u(x0, y) − u(x0, y0) (y − y0)ııı + ıııv(x0, y) − v(x0, y0) (y − y0)ııı = −ıııu(x0, y) − u(x0, y0) (y − y0) +v(x0, y) − v(x0, y0) (y − y0)

Passando o limite z → z₀ (de forma equivalente) x → x₀ temos:

lim z→z0 f (z) − f (z0) z − z0 = lim y→y0 −ıııu(x0, y) − u(x0, y0) (y − y0) f0(z0) = −ııı ∂u ∂y(x0, y0) + ∂v ∂y(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) − ∂u ∂y(x0, y0)ııı (3.14)

Comparando as equações eqn 3.13.3 e eqn 3.14.3 temos:

∂u ∂x(x0, y0) + ∂v ∂x(x0, y0)ııı = ∂v ∂y(x0, y0) − ∂u ∂y(x0, y0)ııı

(42)

Da igualdade de números complexos temos: ∂u ∂x(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) ∂v ∂x(x0, y0) = − ∂u ∂y(x0, y0)

Antes de provar a suficiência, provaremos um lema que será muito útil.

Lema 3.1. Sejam D ⊂ R2 um aberto e f : D ⊂ R2 7→ R uma função com derivadas parciais e D, contínuas em (x₀, y0) ∈ D.

Então: f (x0+ λ, y0+ η) − f (x0, y0) = ∂f ∂x(x0, y0)λ + ∂f ∂y(x0, y0)η + ξλ + ζη onde ξ → 0 e ζ → 0 quando λ → 0 e η → 0.

PROVA: Começamos por escrever a diferença f (x₀+ λ, y0+ η) −

f (x0, y0) como:

f (x0+ λ, y0+ η) − f (x0, y0) = f (x0+ λ, y0+ η) − f (x0, y0+ η)

+ f (x0, y0+ η) − f (x0, y0)

(3.15)

Do teorema do valor médio para funções de uma variável real existe t ∈ (0, 1) tal que: f (x0+ λ, y0+ η) − f (x0, y0+ η) = ∂f ∂x(x0+ tλ, y0+ η)λ Como ∂f ∂x é contínua em D a diferença: ξ(λ, η) = ∂f ∂x(x0+ tλ, y0+ η) − ∂f ∂x(x0, y0)

tende a zero quando λ → 0 e η → 0. Daí, temos:

f (x0+ λ, y0+ η) − f (x0, y0+ η) =

∂f

∂x(x0, y0) + ξ

(43)

3

Do mesmo modo temos:

f (x0, y0+ η) − f (x0, y0) =

∂f

∂y(x0, y0) + ζ

η (3.17)

portanto das equações eqn 3.15, eqn 3.16 e eqn 3.17 temos

f (x0+ λ, y0+ η) − f (x0, y0) =

∂f

∂x(x0, y0)λ + ∂f

∂y(x0, y0)η + ξλ + ζη

e fica provado o lema.

Vamos, agora, provar a suficiência.

Teorema 3.2. Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C seja uma função complexa tal que as derivadas parciais ∂u

∂x, ∂v ∂x, ∂u ∂y e ∂v

∂y existam em D e são contínuas em z0 = x0+ y0ııı. Se as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas em z0,

∂u ∂x(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) ∂v ∂x(x0, y0) = − ∂u ∂y(x0, y0) então f é derivável em z₀.

PROVA: Como, da hipótese, ∂u ∂x e

∂u

∂y são contínuas, aplicando o lema a u(x, y), temos:

∆u = u(x0+ λ, y0+ η) − u(x0, y0)

= ∂u ∂x(x0, y0)λ + ∂u ∂y(x0, y0)η + ξ1λ + ζ1η (3.18) onde ξ₁→ 0 e ζ₁→ 0 quando λ → 0 e η → 0. Do mesmo modo, Como, da hipótese, ∂v

∂x e ∂v

∂y são contínuas, aplicando o lema a v(x, y), temos:

∆v = v(x0+ λ, y0+ η) − v(x0, y0) = ∂v ∂x(x0, y0)λ + ∂v ∂y(x0, y0)η + ξ2λ + ζ2η (3.19)

(44)

onde ξ₂ → 0 e ζ₂ → 0 quando λ → 0 e η → 0. Das equações eqn 3.18 e eqn 3.19 temos: ∆w = ∆u + ∆vııı = ∂u ∂x+ ∂v ∂xııı λ + ∂u ∂y + ∂v ∂yııı η + ξλ + ζη (3.20)

onde omitimos o argumento (x₀, y0) das derivadas parciais e ξ =

ξ1+ ξ2 e ζ = ζ1+ ζ2.

Das equações de Cauchy-Riemann podemos reescrever a equação eqn 3.20 como: ∆w = ∂u ∂x + ∂v ∂xııı λ + −∂v ∂x+ ∂u ∂xııı η + ξλ + ζη = ∂u ∂x + ∂v ∂xııı (λ + ηııı) + ξλ + ζη (3.21)

Dividindo a equação eqn 3.21 por ∆z = λ + ηııı temos:

∆w ∆z = ∂u ∂x+ ∂v ∂xııı +ξλ + ζη λ + ηııı (3.22)

Antes de fazer ∆z → 0 em eqn 3.22 temos que mostrar que lim

∆z→0

ξλ + ζη

λ + ηııı = 0. Para isto tomando o módulo da expressão e usando a desigualdade triangular temos:

ξλ + ζη λ + ηııı ≤ |ξ| λ λ + ηııı + |ζ| η λ + ηııı (3.23) Como λ λ + ηııı = p |λ| λ2_{+ η}2 ≤ 1 e η λ + ηııı = p |η| λ2_{+ η}2 ≤ 1

podemos reescrever eqn 3.23 como:

0 ≤ ξλ + ζη λ + ηııı ≤ |ξ| + |ζ| (3.24)

Passando o limite ∆z → 0 em eqn 3.24 lembrando que ξ → 0 e ζ → 0 quando ∆z → 0 temos: 0 ≤ ξλ + ζη λ + ηııı ≤ 0

(45)

3

e portanto lim

∆z→0

ξλ + ζη

λ + ηııı = 0 e passando o limite ∆z → 0 em eqn 3.22 temos: f0(z0) = lim ∆z→0 ∆w ∆z = ∂u ∂x+ ∂v ∂xııı

Portanto a derivada f0(z0) existe e é única.

Agora um exemplo de aplicação das equações de Cauchy-Riemann. Em seção anterior vimos que a função f (z) = z3 era derivável usando para isso a definição de derivada complexa. Por outro lado podemos expressar a função em suas componentes reais e imaginárias da seguinte forma:

f (z) = z3 = f (x + yııı) = (x + yııı)3

= (x + yııı)2(x + yııı)

= (x2− y2 + 2xyııı)(x + yııı)

= x3− 3xy2+ (3x2y − y3)ııı

Temos então u(x, y) = x3− 3xy3 _{e v(x, y) = 3x}2_{− y}3_{. Derivando}

com relação a x e a y temos:

∂u ∂x = 3x 2_{− 3y}2 ∂u ∂y = −6xy ∂v ∂x = 6xy ∂v ∂y = 3x 2_{− 3y}2

Vemos pois, que as equações de Cauchy-Riemann:

∂u ∂x = ∂v ∂y ∂u ∂y = − ∂v ∂x

(46)

3.5 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que derivação de funções complexas em alguns aspectos é semelhante à derivação de funções reais enquanto que em outros aspectos diferem sensivelmente.

RESUMO

Derivação Complexa

Definição da derivação complexa:

DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto, z0 ∈ D e f : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa. Definimos a derivada de f (•) no ponto z₀, denotada f0(z0), por: f0(z0) def = lim z→z0 f (z) − f (z0) z − z0

Regras de Derivação Complexa

Para a derivação complexa temos, entre outras, as seguintes regras:

1. (f + g)0(z0) = f0(z0) + g0(z0) 2. (f − g)0(z0) = f0(z0) − g0(z0) 3. (f.g)0(z0) = f (z0).g0(z0) + g(z0).f0(z0) 4. f g 0 (z0) = f (z0).g0(z0) − g(z0).f0(z0) g2_(z 0) se g(z₀) 6= 0 Equações de Cauchy-Riemann

Os seguintes teoremas constituem condições necessária e suficiente (respectivamente) para a derivabilidade de uma função complexa:

(47)

3

TEOREMA: (condição necessária)

Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C, f (z) = u(x, y) + v(x, y)ııı e f0(z) existam na vizinhança de um ponto z0 =

x0+ y0ııı ∈ C. Então as derivadas parciais de primeira ordem de u

e v com relação a x e a y existem e satisfazem:

∂u ∂x(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) ∂v ∂x(x0, y0) = − ∂u ∂y(x0, y0)

TEOREMA: (condição suficiente)

Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C seja uma função complexa tal que as derivadas parciais ∂u

∂x, ∂v ∂x, ∂u ∂y e ∂v ∂y existam em D e são contínuas em z0 = x0+ y0ııı. Se as condições

de Cauchy-Riemann são satisfeitas em z0,

∂u ∂x(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) ∂v ∂x(x0, y0) = − ∂u ∂y(x0, y0)

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos mais alguns aspectos da derivação de funções complexas. Em particular funções holomorfas e a lig-ação de funções harmonicas com a derivlig-ação complexa.

(48)

ATIVIDADES

Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais du-plas.

ATIV. 3.1. Se f (•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto z0 ∈ C então vale a seguinte regra de derivação:

(f.g)0(z0) = f (z0).g0(z0) + g(z0).f0(z0).

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção a demonstração de uma das regras de derivação complexa, ela lhe servirá de guia.

ATIV. 3.2. Mostre que as componentes da função complexa f (x+ yııı) = sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y)ııı satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.

Comentário: Reveja as derivadas das funções trigonométricas e das funções hiperbólicas.

LEITURA COMPLEMENTAR

(49)

4

Mais Alguns Aspectos da

Derivação Complexa

META:

Introduzir o conceito de funções holomorfas. OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir funções holomorfas e

determinar se uma dada função de variáveis complexas é holo-morfa.

PRÉ-REQUISITOS

(50)

4.1 Introdução

Caros alunos em nossa aula de hoje veremos mais alguns as-pectos da derivação de funções complexas. Em particular funções holomorfas e mostraremos algumas funções holomorfas. Veremos também, a ligação de funções harmônicas com a derivação com-plexa. Para concluir veremos a forma polar das equações de Cauchy-Riemann.

4.2 Funções Holomorfas

Iniciaremos pela definição de função holomorfa.

Definição 4.1. Sejam D ⊂ C aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função e z0 ∈ D. Dizemos que f (•) é holomorfa em z0 ∈ D se, somente

se existe δ > 0 tal que f0(z) existe para todo z ∈ Bδ(z0).

e também,

Definição 4.2. Sejam D ⊂ C aberto e f : D ⊂ C 7→ C uma função. Dizemos que f (•) é holomorfa em D se, somente se f0(z) existe para todo z ∈ D.

OBS 4.1. Para que uma função seja holomorfa em um ponto não é suficiente que seja derivável neste ponto. É necessário que seja derivável em uma vizinhança do ponto em questão.

OBS 4.2. Dada uma função complexa f : D ⊂ C 7→ C, z = x+yııı, f (z) = u(x, y) + v(x, y)ııı. Como ¯z = x − yııı podemos escrever: x = z + ¯z

2 e y = z − ¯z

2ııı . Dai, para f (z) temos:

f (z) = u z + ¯z 2 , z − ¯z 2ııı + v z + ¯z 2 , z − ¯z 2ııı ııı (4.25)

(51)

4

por outro lado, derivando as expressões para x e y em função de z e ¯z temos: ∂x ∂z = 1/2 ∂x ∂ ¯z = 1/2ııı ∂y ∂z = 1/2 ∂i ∂ ¯z = −1/2ııı (4.26)

Derivando a equação 4.25 com relação a ¯z, usando a regra da cadeia, as equações 4.26 e levando em conta que 1

ııı = −ııı temos: ∂ ∂ ¯zf (z) = ∂u ∂x ∂x ∂ ¯z + ∂u ∂y ∂y ∂ ¯z + ∂v ∂x ∂x ∂ ¯z + ∂v ∂y ∂y ∂ ¯z ııı = 1 2 ∂u ∂x − 1 2ııı ∂u ∂y + 1 2 ∂v ∂x − 1 2ııı ∂v ∂y ııı = 1 2 ∂u ∂x + 1 2 ∂u ∂yııı + 1 2 ∂v ∂xııı − 1 2 ∂v ∂y = 1 2 ∂u ∂x− ∂v ∂y +1 2 ∂u ∂y + ∂v ∂x ııı (4.27)

Se f (•) for holomorfa satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos de D i.e. ∂u

∂x − ∂v ∂y = 0 e ∂u ∂y + ∂v ∂x = 0. Dai, da equação 4.27 concluímos que: se f (•) for holomorfa então

∂

∂ ¯zf (z) = 0 em todo z ∈ D. Em outras palavras uma função é holomorfa quando não depende de ¯z.

OBS 4.3. As equações de Cauchy-Riemann oferecem uma condição suficiente pa identificação de funções holomorfas i.e. se em f (z) = u(x, y) + v(x, y)ııı, u(•, •), v(•, •) e suas derivadas são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann então f (•) é uma função holomorfa.

Exemplo 4.1. A função f : C 7→ C dada por f (z) = zn, n ∈ N é uma função holomorfa. Senão vejamos:

(52)

É fácil verificar que: zn− z₀n= (z − z0)(zn−1+ zn−2z0+ · · · + zzn−2₀ + zn−1₀ ) Dai, temos: zn− zn 0 z − z0 = zn−1+ zn−2z0+ · · · + zzn−20 + zn−10

Passando o limite z → z₀ e usando a definição de derivada temos:

f0(z0) = lim z→z0 zn− zn 0 z − z0 = lim z→z0 (zn−1+ zn−2z0+ · · · + zz₀n−2+ z₀n−1) = zn−1₀ + zn−2₀ z0+ · · · + z0z0n−2+ z n−1 0 = zn−1₀ + zn−1₀ + · · · + zn−1₀ + zn−1₀ | {z } n vezes = nz₀n−1

Daí, f (z) = zn _{é uma função holomorfa em C i.e. f}0(z) existe em todo o plano complexo.

Por outro lado.

Exemplo 4.2. A função f : C 7→ C dada por f (z) =      ¯ z2 z , z 6= 0 0 , z = 0 não é holomorfa em ponto nenhum de C. Pois, da observação acima temos: ∂f ∂ ¯z = 2 ¯ z z 6= 0, z 6= 0 Por outro lado no ponto z = 0 temos:

f0(0) = lim z→0 f (z) − f (0) z − 0 = limz→0 f (z) z = limz→0 ¯ z2 z2

Se a derivada existe em z = 0 ela terá que ser independente do caminho com que z → 0. Vamos escolher três caminhos distintos:

(53)

4

Caminho 1: ao longo do eixo real x. Daí, z = x + 0ııı, ¯z = x − 0ııı e z → 0 equivale a x → 0. f0(0) = lim z→0 ¯ z2 z2 = lim_x→0 (x − 0ııı)2 (x + 0ııı)2 = lim_x→0 x2 x2 = 1

Caminho 2: ao longo do eixo imaginário y. Daí, z = 0 + yııı, ¯ z = 0 − yııı e z → 0 equivale a y → 0. f0(0) = lim z→0 ¯ z2 z2 = lim_y→0 (0 − yııı)2 (0 + yııı)2 = lim_x→0 −y2 −y2 = 1

Como a avaliação da derivada de f (•) no ponto zero seguindo os caminhos 1 e 3 são iguais temos que as equações de Riemann são satisfeitas em z = 0 pois, as equações de Cauchy-Riemann são obtidas de derivações seguindo os eixos real e imag-inário. No entanto para o caminho 3 temos:

Caminho 3: ao longo da reta y = x. Daí, z = x + xııı, ¯z = x − xııı e z → 0 equivale a x → 0. f0(0) = lim z→0 ¯ z2 z2 = lim_x→0 (x − xııı)2 (x + xııı)2 = lim_x→0 x(1 − ııı)2 x(1 + ııı)2 = (1 − ııı)2 (1 + ııı)2 = −1

Vemos daí, que f (•) também não é derivável em z = 0.

Vamos agora a mais uma definição.

Definição 4.3. Seja f : C 7→ C uma função complexa. Dizemos que f é uma função inteira se holomorfa em todo C.

OBS 4.4. A função f (z) = zn_{, n ∈ N, conforme o exemplo acima} é uma função inteira.

Vamos encerrar esta seção com um teorema que será usado mais tarde.

Teorema 4.1. Seja D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa em D e z0 ∈ D então:

(54)

onde lim

z→z0

η = 0.

PROVA: Definindo η por:

η = f (z) − f (z0) z − z0

− f0(z − 0)

temos que:

f (z) = f0(z0)(z − z0) + η(z − z0)

Por outro lado, como f (•) é holomorfa em D é , em particular, holomorfa em z0 e: lim z→z0 η = lim z→z0 f (z) − f (z0) z − z0 − f0(z − 0) = f0(z0) − f0(z0) = 0

4.3 Forma Polar das Equações de

Cauchy-Rie-mann

Podemos expressar as equações de Cauchy-Riemann usando coor-denadas polares (forma polar de números complexos). A saber:

Teorema 4.2. As equações de Cauchy-Riemann, em coordenadas polares, são dadas por:

∂u ∂r = 1 r ∂v ∂θ ∂v ∂r = − 1 r ∂u ∂θ (4.28)

PROVA: Em coordenadas polares temos: x = r cos(θ) e y = r sin(θ) e suas inversas: r =px2_{+ y}2_{e θ = tan}−1_{(y/x). derivando}

(55)

4

temos: ∂r ∂x = x p x2_{+ y}2 = r cos(θ) r = cos(θ) ∂r ∂y = y p x2_{+ y}2 = r sin(θ) r = sin(θ) ∂θ ∂x = x x2_{+ y}2 = r cos(θ) r2 = cos(θ) r ∂θ ∂y = − y x2_{+ y}2 = − r sin(θ) r2 = − sin(θ) r (4.29)

Usando a regra da cadeia para funções de duas variáveis reais e as equações eqn 4.29 para a função u(•, •) temos:

∂u ∂x = ∂u ∂r ∂r ∂x+ ∂u ∂θ ∂θ ∂x = ∂u ∂r cos(θ) + 1 r ∂u ∂θ sin(θ) ∂u ∂y = ∂u ∂r ∂r ∂y + ∂u ∂θ ∂θ ∂y = ∂u ∂r sin(θ) + 1 r ∂u ∂θ cos(θ) (4.30)

Do mesmo modo para a função v(•, •) temos: ∂v ∂x = ∂v ∂r ∂r ∂x+ ∂v ∂θ ∂θ ∂x = ∂v ∂rcos(θ) − 1 r ∂v ∂θ sin(θ) ∂v ∂y = ∂v ∂r ∂r ∂y + ∂v ∂θ ∂θ ∂y = ∂v ∂rsin(θ) + 1 r ∂v ∂θcos(θ) (4.31)

Da equação de Cauchy-Riemann ∂u ∂x =

∂v

∂y, usando as equações eqn 4.30.1 e eqn 4.31.2 temos:

∂u ∂r − 1 r ∂v ∂θ cos(θ) − ∂v ∂r + 1 r ∂u ∂θ sin(θ) = 0 (4.32)

Da mesma forma, da equação de Cauchy-Riemann ∂u ∂y = −

∂v ∂x, usando as equações eqn 4.30.2 e eqn 4.31.1 temos:

∂u ∂r − 1 r ∂v ∂θ sin(θ) + ∂v ∂r + 1 r ∂u ∂θ cos(θ) = 0 (4.33)

(56)

Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por cos(θ) e da equação eqn 4.33 por sin(θ) e somando temos:

∂u ∂r − 1 r ∂v ∂θ = 0 (4.34)

Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por sin(θ) e da equação eqn 4.33 por cos(θ) e subtraindo temos:

∂v ∂r + 1 r ∂u ∂θ = 0 (4.35)

As equações eqn 4.34 e eqn 4.35 constituem-se a forma polar das equações de Cauchy-Riemann.

OBS 4.5. Veremos aqui como derivar uma função complexa dada na forma polar.

Seja f : D ⊂ C 7→ C dada na forma polar:

f (z) = f (r(cos(θ) + sin(θ)ııı)) = u(r, θ) + v(r, θ)ııı (4.36)

Derivando a equação eqn 4.36 com relação a r e usando em f (•) a regra da cadeia lembrando que ∂

∂r(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)) = cos(θ) + sin(θ)ııı temos:

f0(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)).(cos(θ) + sin(θ)ııı) = ∂u ∂r(θ) +

∂v ∂r(r, θ)ııı Fazendo o produto da equação acima por cos(θ) − sin(θ)ııı e lem-brando que (cos(θ) + sin(θ)ııı).(cos(θ) − sin(θ)ııı) = 1 e cos(θ) − sin(θ)ııı = cos(−θ) + sin(−θ)ııı temos:

f0(z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ııı). ∂u

∂r(r, θ) + ∂v ∂r(r, θ)ııı

(4.37)

Por outro lado, derivando a equação eqn 4.36 com relação a θ e usando em f (•) a regra da cadeia lembrando que ∂

∂θ(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)) = r(− sin(θ) + cos(θ)ııı) temos:

f0(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)).(r(− sin(θ) + cos(θ)ııı)) = ∂u ∂θ(r, θ) +

∂v ∂θ(r, θ)ııı

(57)

4

Levando em conta que 1

ııı = −ııı temos: r(− sin(θ) + cos(θ)ııı) = r(cos(θ) + sin(θ)ııı).ııı e a equação acima pode ser reescrita como:

f0(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)).(r(cos(θ) + sin(θ)ııı))ııı = ∂u

∂θ(r, θ) + ∂v ∂θ(r, θ)ııı

Fazendo o produto da equação acima por 1

rııı(cos(θ) − sin(θ)ııı) e lembrando que (cos(θ) + sin(θ)ııı).(cos(θ) − sin(θ)ııı) = 1 e cos(θ) − sin(θ)ııı = cos(−θ) + sin(−θ)ııı temos:

f0(z) = 1 rııı(cos(−θ) + sin(−θ)ııı). ∂u ∂θ(θ) + ∂v ∂θ(r, θ)ııı (4.38)

4.4 Funções Harmônicas

Nesta seção veremos que as componentes de uma função complexa holomorfa são funções harmônicas. Começando pela definição

Definição 4.4. Seja u : D ⊂ R2 7→ R uma função real. Dizemos que u(•, •) é harmônica em D se, somente se suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em D e satisfazem:

∂2u ∂x2 +

∂2u

∂y2 = 0 (4.39)

OBS 4.6. A equação eqn 4.39 é conhecida com equação de Laplace no plano.

Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa holomorfa em D. Veremos em uma aula mais adiante que neste caso tanto f (z) = u(x, y) + v(x, y)ııı quanto suas componentes u(x, y) e v(x, y) pos-suem derivadas contínuas de qualquer ordem em D. Além de que satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. A saber:

∂u ∂x = ∂v ∂y ∂u ∂y = − ∂v ∂x (4.40)

(58)

Daí, derivando eqn 4.40.1 com relação a x e eqn 4.40.2 com relação a y temos: ∂2u ∂x2 = ∂2v ∂x∂y ∂2u ∂y2 = − ∂2v ∂y∂x (4.41)

Levando em conta que as derivadas parciais de u(•, •) e v(•, •) são contínuas temos que ∂

2_v

∂x∂y = ∂2v

∂y∂x. Daí, somando as equações eqn 4.41.1 e eqn 4.41.2 temos:

∂2u ∂x2 +

∂2u

∂y2 = 0 (4.42)

Do mesmo modo podemos mostrar que:

∂2v ∂x2 +

∂2v

∂y2 = 0 (4.43)

E portanto, u(•, •) e v(•, •) são funções harmônicas.

OBS 4.7. Se u(x, y) e v(x, y) são componentes de uma função f (z) = u(x, y) + v(x, y)ııı holomorfa em algum domínio D ⊂ C dizemos que u e v são funções harmônicas conjugadas.

Veremos agora um exemplo, de como partindo de uma função har-mônica u(x, y) determinar sua harhar-mônica conjugada v(x, y) e re-construir a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y).

Exemplo 4.3. Dada u(x, y) = 2x(1 − y). Mostre que u(x, y) é harmônica, determine sua harmônica conjugada v(x, y) e a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y).

(59)

4

y duas vezes temos:

∂u ∂x = 2(1 − y) ∂2u ∂x2 = 0 ∂u ∂y = −2x ∂2u ∂y2 = 0 (4.44)

Somando as equações eqn 4.44.2 e eqn 4.44.4 temos:

∂2u ∂x2 +

∂2u ∂y2 = 0

Logo u(x, y) é uma função harmônica.

Vejamos agora como utilizar as equações de Cauchy-Riemann para determinar a harmônica conjugada de u(x, y). As equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são:

∂u ∂x = ∂v ∂y ∂u ∂y = − ∂v ∂x (4.45)

Das equações eqn 4.45.1 e eqn 4.44.1 e integrando temos:

∂v ∂y = 2(1 − y) v(x, y) = Z 2(1 − y)dy = 2y − y2+ h(x) (4.46)

onde h(x) é uma função a ser determinada.

Derivando a equação eqn 4.46.3 com relação a x temos:

∂v ∂x = h

0_(x) _(4.47)

(60)

e integrando temos: h0(x) = 2x h(x) = Z 2xdx = x2 (4.48)

Substituindo a equação eqn 4.48.3 em eqn 4.46.3 temos:

v(x, y) = 2y + x2− y2 (4.49)

A equação eqn 4.49 é a harmônica conjugada de u(x, y). a função f (z) = u(x, y) + v(x, y)ııı é portanto holomorfa e é dada por:

f (z) = f (x + yııı) = 2x(1 − y) + (2y + x2− y2_)ııı _(4.50)

Fazendo em eqn 4.49 y = 0 temos:

f (x + 0ııı) = f (x) = 2x + x2ııı

Logo temos:

f (z) = 2z + ııız2

4.5 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que derivação de funções complexas em alguns aspectos é semelhante à derivação de funções reais enquanto que em outros aspectos diferem sensivelmente.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 04 constam os seguintes tópicos: Funções Holomorfas

(61)

4

Definição de Função Holomorfa em um ponto.

DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função e z₀∈ D. Dizemos que f (•) é holomorfa em z₀ ∈ D se,somente se existe δ > 0 tal que f0(z) existe para todo z ∈ Bδ(z0).

Definição de função holomorfa.

DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto e f : D ⊂ C 7→ C uma função. Dizemos que f (•) é holomorfa em D se,somente se f0(z) existe para todo z ∈ D.

Definição de função inteira.

DEFINIÇÃO: Seja f : C 7→ C uma função complexa. Dizemos que f é uma função inteira se holomorfa em todo C.

Forma Polar das Equações de Cauchy-Riemann

As equações de Cauchy-Riemann, em coordenadas polares, são dadas por: ∂u ∂r = 1 r ∂v ∂θ ∂v ∂r = − 1 r ∂u ∂θ (4.51)

Derivação de Funções Complexas na Forma Polar Derivação com relação a r:

f0(z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ııı). ∂u

∂r(r, θ) + ∂v ∂r(r, θ)ııı

Derivação com relação a θ:

f0(z) = 1 rııı(cos(−θ) + sin(−θ)ııı). ∂u ∂θ(θ) + ∂v ∂θ(r, θ)ııı

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula vamos começar o estudo da extensão da definição de algumas funções do campo real para o campo

(62)

com-plexo. Em particular as funções exponencial e sua inversa a função logaritmo.

ATIVIDADES

ATIV. 4.1. Dada u(x, y) = y3 − 3x2_y. _{Mostre que u(x, y) é}

harmônica, determine sua harmônica conjugada v(x, y) e a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y).

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos eles lhes servirão de guia.

ATIV. 4.2. Seja f : C 7→ C dada por f (z) = anzn+ an−1zn−1+

· · · + a1+ a0, onde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ C. Mostre que f(•) é uma

função holomorfa

Comentário: Use o fato de que f (z) = zn_{, ∀n ∈ N é uma função} holomorfa.

LEITURA COMPLEMENTAR

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Funções Elementares

do Cálculo Complexos 1

META:

Definir algumas funções elementares no campo dos complexos. OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:

Definir algumas funções elementares no campo dos complexos e provar algumas de suas propriedades.

PRÉ-REQUISITOS

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5.1 Introdução

Caros alunos iniciaremos o estudo de algumas funções de va-riáveis complexas. Estenderemos, nesta aula, as definições das funções exponencial e logaritmo ao domínio dos números com-plexos e estudaremos algumas de suas propriedades.

5.2 Função Exponencial

Se uma função f (•) de variável complexa z = x+uııı se reduzirá, no campo dos reais, a velha e conhecida função exponencial devemos exigir que:

f (x + 0ııı) = ex

para todo real x. Com isto em mente vamos à definição.

Definição 5.1. Para todo z ∈ C a função exponencial calculada no ponto z = x + yııı, denotada exp(z) é definida por:

exp(z)def= ex(cos(y) + sin(y)ııı) (5.52)

OBS 5.1. Claramente a definição acima concorda com o que es-peramos inicialmente da função exponencial pois,

exp(x + 0ııı)def= ex(cos(0) + sin(0)ııı) = ex.

As partes real e imaginária da função exponencial são:

u(x, y) = excos(y) v(x, y) = exsin(y)

(5.53)

(67)

5

relação a y temos: ∂u ∂x = e x_cos(y) ∂u ∂y = −e x_sin(y) ∂v ∂x = e x_sin(y) ∂v ∂y = e x_cos(y) (5.54)

Das equações eqn 6.65 podemos verificar facilmente que:

∂u ∂x = ∂v ∂y ∂u ∂y = − ∂v ∂x (5.55)

Logo as equações de Cauchy-Riemman são satisfeitas. E da con-tinuidade das derivadas das equações eqn 6.65 temos que a função exponencial exp(•) é holomorfa.

OBS 5.2. Como ex _{esta definida ∀x ∈ R e cos(y) e sin(y)} es-tão definidas ∀y ∈ R temos que exp(z) está definida ∀z ∈ C i.e. Dom(exp) = C.

Por outro lado, como Img(ex_{cos(y)) = R e Img(e}x_{sin(y)) = R} poderíamos pensar que a imagem da função exponencial seria todo o plano complexo. Porém, como ex_{> 0, ∀x ∈ R e as funções cos(y)} e sin(y) não se anulam ao mesmo tempo em nenhum y ∈ R temos que exp(z) 6= 0, ∀z ∈ C. Daí, Img(exp) = C∗.

5.3 Propriedades da Função Exponencial

Listaremos, aqui, algumas das propriedades da função exponencial no campo dos complexos. Algumas das propriedades da função ex-ponencial no campo dos reais valem para o campo dos complexos. Adicionalmente, teremos algumas outras propriedades da função