1 p103-p164 : Generalidades sobre funções reais de variável real.
► Ler com atenção. ► Dominar os conceitos. ► Fazer exercícios. Conceito de
► Função (Aplicação). ► Correspondência Unívoca.
► Domínio e Contradomínio de uma função. ► Função Sobrejectiva, Injectiva e Bijectiva. ► Identidade, Restrição, e Extensão de uma função. ► Função Composta.
► Função Inversa.
► Operações com funções.
2 Conceito de
► Monotonia de uma função ► Função Par e Função Impar. ► Função Periódica. ► Função Limitada.
► Classificação de funções reais de variável real.
3 Função (Aplicação)
Sejam A e B conjuntos quaisquer e seja f uma relação binária de A
para B. Diz-se que f é uma aplicação de A em B ou uma função definida em A com valores em B se
) ( : , 1y B y fx A x∈ ∃ ∈ = ∀
Note-se que se trata de uma correspondência unívoca definida de A para B, ou seja, qualquer elemento de A tem correspondente em Be o correspondente é único.
Os elementos de A designam-se por objectos.
Os elementos de B designam-se por imagens ou transformados. O conjunto A designa-se por conjunto de partida ou domínio. O conjunto B designa-se por conjunto de chegada.
4 Domínio
O domínio de uma função f:A→Bé o conjunto dos objectos x ∈A
tais que existe y ∈B correspondente a cada um deles, e representa-se por f D ) ( : , 1y B y fx A x∈ ∃ ∈ = ∀ Contradomínio
O contradomínio de uma função f:A→Bé o subconjunto de B cujos elementos são as imagens por meio de f dos elementos do domínio, e representa-se por CDf
5 Função Sobrejectiva
A função f:A→Bdiz-se sobrejectiva se o contradomínio de f coincide com o conjunto de chegada, CDf =B, isto é
) ( : , x A y fx B y∈ ∃ ∈ = ∀ Função Injectiva
A função f:A→Bdiz-se injectiva se a objectos diferentes correspondem imagens diferentes ) ( ) ( , , 2 1 2 1 2 1x D x x fx fx x ∈ f ≠ ⇒ ≠ ∀ Função Bijectiva
A função f:A→Bdiz-se bijectiva se for sobrejectiva e injectiva.
) ( : , 1x A y fx B y∈ ∃ ∈ = ∀ 6 Identidade de funções
Diz-se que duas funções f e g são idênticas se - Têm o mesmo domínio
- Têm o mesmo conjunto de chegada - f(x)=g(x),∀x∈Df
Restrição de uma função
Seja f:A→B e C, um subconjunto de A, C ⊂A. Chama-se restrição de f a C à função g:C→B tal que
) ( ) ( ,gx fx C x∈ = ∀
Extensão de uma função
Se g:C→B é uma restrição de uma função f:A→B onde C ⊂A, então f diz-se uma extensão, ou prolongamento, de g a A
7 Função Composta
Dadas duas funções quaisquer f e g, chama-se g composta com f, e representa-se por g of, ou g(f) à função assim caracterizada - O domínio de g of é o subconjunto do domínio de f
constituído pelos elementos cujas imagens pertencem ao domínio de g.
{
f g}
f g x x D fx D Do = : ∈ ∧ ( )∈ - O conjunto de chegada de g of é o de g. - (gof)(x)=g[ ]
f(x),∀x∈Dgof 8 Exemplo: B A f: → com A={ }
1,2,3 , B={
1,3,5,7}
e f(x)= x2 +1 D C g: → com C={
−1,1,3,5}
, D={
−4,4,20,27}
e g(x)= x2−5 1 3 2 -1 3 1 5 7 f -4 20 4 27 g A B C D{ }
1,2 = f g Do O conjunto de chegada é D CDgof={ }
4,20[ ]
() =(2 +1)2−5=4 2+4 −4 =gfx x x x f g o9 Função Inversa
Seja f:A→B uma função injectiva. Chama-se função inversa de f, e representa-se por f−1, a função tal que
- Tem por domínio o contradomínio de f, Df−1 =CDf
- Tem por contradomínio o domínio de f, CDf−1=Df
- y=f−1(x)⇔x=f(y) Só as funções injectivas têm função inversa Função Identidade
Chama-se função identidade num conjunto A, e representa-se por IA, a função que a qualquer elemento de A faz corresponder o próprio elemento, ∀x∈A,IA(x)=x.
10 Propriedades da composição e da inversão de funções
1. A composição de funções é associativa
Para quaisquer funções f, g, h tem-se:
(
fog)
oh=fo(
goh)
2. A composição de funções não é comutativa
Para quaisquer funções f e g, tem-se em geral que: fo ≠g gof
Se fo =g gof, então f e g dizem-se permutáveis. 3. A aplicação identidade é elemento neutro para a composição de
aplicações, foIA=IAof=f.
4. A composição entre uma função e a sua inversa é a aplicação identidade. Sendo f:A→B, entãofof−1=IB e f−1of=IA.
5. A inversa da composta de duas funções é igual à composta das inversas dessas funções, em ordem inversa,
(
gof)
−1=f−1og−1.11 Função Real de Variável Real
Chama-se função real de variável real a qualquer função dum subconjunto de ℜ em ℜ, f:A⊂ℜ→ℜ,x→y=f(x)
É usual usar a variável x para indicar qualquer objecto, e a variável y para indicar a correspondente imagem. Diz-se que x é a variável independente e y a variável dependente.
12 Domínio
É usual indicar uma função real de variável só pela sua expressão analítica, neste casos convenciona-se que o domínio da função é o maior subconjunto de ℜ para o qual a expressão analítica é possível (em ℜ). Sendo A(x) e B(x) quaisquer expressões analíticas, indicam-se na tabela as condições a impor para a determinação do domínio
Expressão Condição ) ( ) ( x B x A B( ≠x) 0 par com , ) (x n A n A( ≥x) 0
(
())
,( 0, 1) logaAx a> a≠ A( >x) 0 ) ( ) (xBx A A( >x) 013 Exemplo:
Domínio da função real de variável real ( )=(3− )100+1
x x x f ? -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Im(f(x)) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 Re(f(x)) 3 3 0 3−x> ⇔− <x<
{
∈ℜ:−3< <3}
= x x DPor definição de potência de expoente real, a base tem de ser positiva.
14 Contradomínio
No caso geral a determinação do contradomínio de uma função real de variável real implica o
- Estudo da função: continuidade; assimptotas; monotonia; extremos locais; etc.
Nos casos mais simples o contradomínio pode ser determinado - A partir da definição.
- A partir do domínio da relação binária inversa.
15 Exemplo:
Determine o contradomínio da função g(x)=3−52x−x2.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2 5 2 2 3 5 log(3 ) 2 5 3 2 y 2 y x x y= − x−x ⇔ − = x−x ⇔ − = − 2 ) 3 ( log 4 4 2 5 y x= ± − − ⇔ ≥ < ⇒ yy 23
[
−2,3[
= g CD 16 Operações com funçõesAdição ) ( ) ( ) )( (f+g x =fx +gx, Df+g =Df∩Dg Subtracção ) ( ) ( ) )( (f−g x =fx −gx , Df−g =Df ∩Dg Multiplicação ) ( ) ( ) )( (f×g x =fx×gx , Df×g =Df∩Dg Divisão ) ( ) ( ) )( (f÷g x =fx ÷gx , Df÷g =Df∩Dg∩
{
x∈ℜ:g(x)≠0}
Composição )) ( ( ) )( (fog x =fgx , Dfog ={
x∈ℜ:x∈Dg∧g(x)∈Df}
Inversão ) ( ) ( 1x x fy f y= − ⇔ = , D =CD , CD =D17 Exemplo:
Considerando as funções reais de variável real
≥ − < − = se 1 2 11 se 1 ) ( x x x x x f > − < = se 0 4 1 se 0 ) ( 2 x x x x x g caracterize (f ÷g)(x) ℜ = ÷g f D \
{ }
0,2 ≥ + < < + − − < − = 1 se 2 1 0 se 4 4 0 se 1 ) ( 3 2 x x x x x x x x x x g f 18 Monotonia de uma funçãoUma função r.v.r. diz-se monótona num subconjunto A do seu domínio se é crescente ou decrescente em A.
Função crescente. f(x) é crescente em A se
) ( ) ( : , 2 2 1 2 1 1x A x x fx fx x ∈ > ⇒ ≥ ∀
Função estritamente crescente. f(x) é estritamente crescente em A se
) ( ) ( : , 2 2 1 2 1 1x A x x fx fx x ∈ > ⇒ > ∀
Função decrescente. f(x) é decrescente em A se
) ( ) ( : , 2 2 1 2 1 1x A x x fx fx x ∈ > ⇒ ≤ ∀
Função estritamente decrescente. f(x) é estritamente decrescente em A
se ) ( ) ( : , 2 2 1 2 1 1x A x x fx fx x ∈ > ⇒ < ∀ 19 Função Par e Função Impar
Uma função r.v.r. diz-se uma função par se
) ( ) ( :fx f x D x∈ f = − ∀
Uma função par é simétrica em relação ao eixo das ordenadas. Uma função r.v.r. diz-se uma função impar se
) ( ) ( :fx f x D x∈ f =− − ∀
Uma função impar é anti-simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
Função Periódica
Uma função r.v.r. diz-se periódica se existir um T∈ℜ\
{ }
0 tal que) ( ) ( :fx T fx D x∈ f + = ∀
O menor valor positivo de T diz-se o período fundamental da função.
20 Função Limitada
Seja f(x) uma função r.v.r. e A um subconjunto do seu domínio.
) (x
f diz-se uma função minorada em A se o conjunto f(A) for minorado.
) (x
f diz-se uma função majorada em A se o conjunto f(A) for majorado.
) (x
f diz-se uma função limitada em A se o conjunto f(A) for limitado.
Chama-se supremo, ínfimo, máximo, e mínimo de f(x) em A, ao supremo, ínfimo, máximo e mínimo do conjunto f(A), se existirem. Se f(x) for limitada em A, chama-se oscilação de f(x)em a A
)) ( ( inf )) ( sup(fx − fx .
21 Classificação de funções reais de variável real
1 Funções Polinomiais
Uma função r.v.r. diz-se polinomial se a sua expressão analítica é da forma
n n n n n ax ax a x a x a x f( )= 0 + 1 −1+ 2 −2+...+ −1 +
em que a0,a1,...,an são números reais, ditos os coeficientes do
polinómio, e n, −n 1,...,1,0 são inteiros não negativos, sendo n o grau do polinómio. 1.1 Função Afim ℜ ∈ + =mx b ab x f() , , 1 x x2 2 y 1 y b x
y
1 2 1 2 x x y y m − − = 1 1 mx y b= − 22 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 1.2 Função Quadrática ℜ ∈ ≠ + + =ax bx c a bc x f( ) 2 , 0, , 0 > a a<0 a b x 2 − = − a b f 2 23 2 Funções RacionaisUma função r.v.r. diz-se uma função racional se a sua expressão analítica é da forma m m m m m n n n n n x Qx P b x b x b x b x b a x a x a x a x a x f + + + + + + + + + + = = − − − − − − 1 2 2 1 1 0 1 2 2 1 1 0 ) () ( ... ... ) ( 2.1 Função Homográfica
Uma função r.v.r. diz-se uma função homográfica se a sua expressão analítica é da forma ℜ ∈ ≠ + + = abc d d cx b ax x f() , , , 0,
A representação geométrica duma função homográfica é uma Hipérbole Equilátera com as assimptotas paralelas aos eixos coordenados
24 Exemplo: 1 2 ) ( + = x x x f 2 1 1 2 lim ) ( lim = + = ±∞ → ±∞ → x x f x x −∞ = − = +∞ = − = + − → − − → + − 0 2 ) ( lim 0 2 ) ( lim 1 1 x f x f x x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
25 3 Funções Irracionais
Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional se na sua expressão analítica existem operações sobre a variável independente não redutíveis à adição, subtracção, multiplicação e divisão em número finito.
3.1 Irracionais algébricas
Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional algébrica se na sua expressão analítica as operações sobre a variável independente são apenas as de adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação de expoente inteiro e radiciação em número finito.
Exemplo: f(x)=x+5 2x +1
3.1 Irracionais transcendentes
Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional transcendente se não é algébrica.