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Monotonia de uma função Dominar os conceitos. Função Par e Função Impar. Fazer exercícios.

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Academic year: 2021

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(1)

1 p103-p164 : Generalidades sobre funções reais de variável real.

► Ler com atenção. ► Dominar os conceitos. ► Fazer exercícios. Conceito de

► Função (Aplicação). ► Correspondência Unívoca.

► Domínio e Contradomínio de uma função. ► Função Sobrejectiva, Injectiva e Bijectiva. ► Identidade, Restrição, e Extensão de uma função. ► Função Composta.

► Função Inversa.

► Operações com funções.

2 Conceito de

► Monotonia de uma função ► Função Par e Função Impar. ► Função Periódica. ► Função Limitada.

► Classificação de funções reais de variável real.

3 Função (Aplicação)

Sejam A e B conjuntos quaisquer e seja f uma relação binária de A

para B. Diz-se que f é uma aplicação de A em B ou uma função definida em A com valores em B se

) ( : , 1y B y fx A x∈ ∃ ∈ = ∀

Note-se que se trata de uma correspondência unívoca definida de A para B, ou seja, qualquer elemento de A tem correspondente em Be o correspondente é único.

Os elementos de A designam-se por objectos.

Os elementos de B designam-se por imagens ou transformados. O conjunto A designa-se por conjunto de partida ou domínio. O conjunto B designa-se por conjunto de chegada.

4 Domínio

O domínio de uma função f:A→Bé o conjunto dos objectos x ∈A

tais que existe y ∈B correspondente a cada um deles, e representa-se por f D ) ( : , 1y B y fx A x∈ ∃ ∈ = ∀ Contradomínio

O contradomínio de uma função f:A→Bé o subconjunto de B cujos elementos são as imagens por meio de f dos elementos do domínio, e representa-se por CDf

(2)

5 Função Sobrejectiva

A função f:A→Bdiz-se sobrejectiva se o contradomínio de f coincide com o conjunto de chegada, CDf =B, isto é

) ( : , x A y fx B y∈ ∃ ∈ = ∀ Função Injectiva

A função f:A→Bdiz-se injectiva se a objectos diferentes correspondem imagens diferentes ) ( ) ( , , 2 1 2 1 2 1x D x x fx fx x ∈ f ≠ ⇒ ≠ ∀ Função Bijectiva

A função f:A→Bdiz-se bijectiva se for sobrejectiva e injectiva.

) ( : , 1x A y fx B y∈ ∃ ∈ = ∀ 6 Identidade de funções

Diz-se que duas funções f e g são idênticas se - Têm o mesmo domínio

- Têm o mesmo conjunto de chegada - f(x)=g(x),∀x∈Df

Restrição de uma função

Seja f:A→B e C, um subconjunto de A, C ⊂A. Chama-se restrição de f a C à função g:C→B tal que

) ( ) ( ,gx fx C x∈ = ∀

Extensão de uma função

Se g:C→B é uma restrição de uma função f:A→B onde C ⊂A, então f diz-se uma extensão, ou prolongamento, de g a A

7 Função Composta

Dadas duas funções quaisquer f e g, chama-se g composta com f, e representa-se por g of, ou g(f) à função assim caracterizada - O domínio de g of é o subconjunto do domínio de f

constituído pelos elementos cujas imagens pertencem ao domínio de g.

{

f g

}

f g x x D fx D Do = : ∈ ∧ ( )∈ - O conjunto de chegada de g of é o de g. - (gof)(x)=g

[ ]

f(x),∀x∈Dgof 8 Exemplo: B A f: com A=

{ }

1,2,3 , B=

{

1,3,5,7

}

e f(x)= x2 +1 D C g: com C=

{

−1,1,3,5

}

, D=

{

−4,4,20,27

}

e g(x)= x2−5 1 3 2 -1 3 1 5 7 f -4 20 4 27 g A B C D

{ }

1,2 = f g Do O conjunto de chegada é D CDgof=

{ }

4,20

[ ]

() =(2 +1)2−5=4 2+4 −4 =gfx x x x f g o

(3)

9 Função Inversa

Seja f:AB uma função injectiva. Chama-se função inversa de f, e representa-se por f−1, a função tal que

- Tem por domínio o contradomínio de f, Df−1 =CDf

- Tem por contradomínio o domínio de f, CDf−1=Df

- y=f−1(x)⇔x=f(y) Só as funções injectivas têm função inversa Função Identidade

Chama-se função identidade num conjunto A, e representa-se por IA, a função que a qualquer elemento de A faz corresponder o próprio elemento, ∀x∈A,IA(x)=x.

10 Propriedades da composição e da inversão de funções

1. A composição de funções é associativa

Para quaisquer funções f, g, h tem-se:

(

fog

)

oh=fo

(

goh

)

2. A composição de funções não é comutativa

Para quaisquer funções f e g, tem-se em geral que: fo ≠g gof

Se fo =g gof, então f e g dizem-se permutáveis. 3. A aplicação identidade é elemento neutro para a composição de

aplicações, foIA=IAof=f.

4. A composição entre uma função e a sua inversa é a aplicação identidade. Sendo f:AB, entãofof−1=IB e f−1of=IA.

5. A inversa da composta de duas funções é igual à composta das inversas dessas funções, em ordem inversa,

(

gof

)

−1=f−1og−1.

11 Função Real de Variável Real

Chama-se função real de variável real a qualquer função dum subconjunto de em ℜ, f:A⊂ℜ→ℜ,x→y=f(x)

É usual usar a variável x para indicar qualquer objecto, e a variável y para indicar a correspondente imagem. Diz-se que x é a variável independente e y a variável dependente.

12 Domínio

É usual indicar uma função real de variável só pela sua expressão analítica, neste casos convenciona-se que o domínio da função é o maior subconjunto de ℜ para o qual a expressão analítica é possível (em ℜ). Sendo A(x) e B(x) quaisquer expressões analíticas, indicam-se na tabela as condições a impor para a determinação do domínio

Expressão Condição ) ( ) ( x B x A B( ≠x) 0 par com , ) (x n A n A( ≥x) 0

(

()

)

,( 0, 1) logaAx a> a≠ A( >x) 0 ) ( ) (xBx A A( >x) 0

(4)

13 Exemplo:

Domínio da função real de variável real ( )=(3 )100+1

x x x f ? -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Im(f(x)) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 Re(f(x)) 3 3 0 3−x> ⇔− <x<

{

∈ℜ:−3< <3

}

= x x D

Por definição de potência de expoente real, a base tem de ser positiva.

14 Contradomínio

No caso geral a determinação do contradomínio de uma função real de variável real implica o

- Estudo da função: continuidade; assimptotas; monotonia; extremos locais; etc.

Nos casos mais simples o contradomínio pode ser determinado - A partir da definição.

- A partir do domínio da relação binária inversa.

15 Exemplo:

Determine o contradomínio da função g(x)=352xx2.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2 5 2 2 3 5 log(3 ) 2 5 3 2 y 2 y x x y= − x−x ⇔ − = x−x ⇔ − = − 2 ) 3 ( log 4 4 2 5 y x= ± − − ⇔    ≥ < ⇒ yy 23

[

−2,3

[

= g CD 16 Operações com funções

Adição ) ( ) ( ) )( (f+g x =fx +gx, Df+g =Df∩Dg Subtracção ) ( ) ( ) )( (f−g x =fx −gx , Df−g =Df ∩Dg Multiplicação ) ( ) ( ) )( (f×g x =fx×gx , Df×g =Df∩Dg Divisão ) ( ) ( ) )( (f÷g x =fx ÷gx , Df÷g =Df∩Dg∩

{

x∈ℜ:g(x)≠0

}

Composição )) ( ( ) )( (fog x =fgx , Dfog =

{

x∈ℜ:x∈Dg∧g(x)∈Df

}

Inversão ) ( ) ( 1x x fy f y= ⇔ = , D =CD , CD =D

(5)

17 Exemplo:

Considerando as funções reais de variável real

    ≥ − < − = se 1 2 11 se 1 ) ( x x x x x f     > − < = se 0 4 1 se 0 ) ( 2 x x x x x g caracterize (f ÷g)(x) ℜ = ÷g f D \

{ }

0,2        ≥ + < < + − − < − = 1 se 2 1 0 se 4 4 0 se 1 ) ( 3 2 x x x x x x x x x x g f 18 Monotonia de uma função

Uma função r.v.r. diz-se monótona num subconjunto A do seu domínio se é crescente ou decrescente em A.

Função crescente. f(x) é crescente em A se

) ( ) ( : , 2 2 1 2 1 1x A x x fx fx x ∈ > ⇒ ≥ ∀

Função estritamente crescente. f(x) é estritamente crescente em A se

) ( ) ( : , 2 2 1 2 1 1x A x x fx fx x ∈ > ⇒ > ∀

Função decrescente. f(x) é decrescente em A se

) ( ) ( : , 2 2 1 2 1 1x A x x fx fx x ∈ > ⇒ ≤ ∀

Função estritamente decrescente. f(x) é estritamente decrescente em A

se ) ( ) ( : , 2 2 1 2 1 1x A x x fx fx x ∈ > ⇒ < ∀ 19 Função Par e Função Impar

Uma função r.v.r. diz-se uma função par se

) ( ) ( :fx f x D x∈ f = − ∀

Uma função par é simétrica em relação ao eixo das ordenadas. Uma função r.v.r. diz-se uma função impar se

) ( ) ( :fx f x D x∈ f =− − ∀

Uma função impar é anti-simétrica em relação ao eixo das ordenadas.

Função Periódica

Uma função r.v.r. diz-se periódica se existir um T∈ℜ\

{ }

0 tal que

) ( ) ( :fx T fx D x∈ f + = ∀

O menor valor positivo de T diz-se o período fundamental da função.

20 Função Limitada

Seja f(x) uma função r.v.r. e A um subconjunto do seu domínio.

) (x

f diz-se uma função minorada em A se o conjunto f(A) for minorado.

) (x

f diz-se uma função majorada em A se o conjunto f(A) for majorado.

) (x

f diz-se uma função limitada em A se o conjunto f(A) for limitado.

Chama-se supremo, ínfimo, máximo, e mínimo de f(x) em A, ao supremo, ínfimo, máximo e mínimo do conjunto f(A), se existirem. Se f(x) for limitada em A, chama-se oscilação de f(x)em a A

)) ( ( inf )) ( sup(fx fx .

(6)

21 Classificação de funções reais de variável real

1 Funções Polinomiais

Uma função r.v.r. diz-se polinomial se a sua expressão analítica é da forma

n n n n n ax ax a x a x a x f( )= 0 + 1 −1+ 2 −2+...+ −1 +

em que a0,a1,...,an são números reais, ditos os coeficientes do

polinómio, e n, −n 1,...,1,0 são inteiros não negativos, sendo n o grau do polinómio. 1.1 Função Afim ℜ ∈ + =mx b ab x f() , , 1 x x2 2 y 1 y b x

y

1 2 1 2 x x y y m − − = 1 1 mx y b= − 22 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 1.2 Função Quadrática ℜ ∈ ≠ + + =ax bx c a bc x f( ) 2 , 0, , 0 > a a<0 a b x 2 − =      − a b f 2 23 2 Funções Racionais

Uma função r.v.r. diz-se uma função racional se a sua expressão analítica é da forma m m m m m n n n n n x Qx P b x b x b x b x b a x a x a x a x a x f + + + + + + + + + + = = − − − − − − 1 2 2 1 1 0 1 2 2 1 1 0 ) () ( ... ... ) ( 2.1 Função Homográfica

Uma função r.v.r. diz-se uma função homográfica se a sua expressão analítica é da forma ℜ ∈ ≠ + + = abc d d cx b ax x f() , , , 0,

A representação geométrica duma função homográfica é uma Hipérbole Equilátera com as assimptotas paralelas aos eixos coordenados

24 Exemplo: 1 2 ) ( + = x x x f 2 1 1 2 lim ) ( lim = + = ±∞ → ±∞ → x x f x x −∞ = − = +∞ = − = + − → − − → + − 0 2 ) ( lim 0 2 ) ( lim 1 1 x f x f x x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(7)

25 3 Funções Irracionais

Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional se na sua expressão analítica existem operações sobre a variável independente não redutíveis à adição, subtracção, multiplicação e divisão em número finito.

3.1 Irracionais algébricas

Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional algébrica se na sua expressão analítica as operações sobre a variável independente são apenas as de adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação de expoente inteiro e radiciação em número finito.

Exemplo: f(x)=x+5 2x +1

3.1 Irracionais transcendentes

Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional transcendente se não é algébrica.

Referências

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