Projeto de pesquisa:
Teoremas ergódicos em sistemas dinâmicos
(Edital EDITAL PROPCI/UFBA 01-2013 - PIBIC )
Paulo César Rodrigues Pinto Varandas
Prof. Adjunto III, Instituto de Matemática – UFBA
Coordenador do Programa de Doutorado em Matemática UFBA/UFAL
Salvador, 2 de Abril de 2013
Palavras Chave: Teoremas ergódicos, recorrência de Poincaré, formalismo
termodinâmico
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Introdução
A teoria de Sistemas Dinâmicos Hiperbólicos foi iniciada na década de 1960 por Smale. O es-tudo da teoria de sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos teve imensas contribuiç oes nas últimas décadas, sendo hoje uma teoria completa e fundamentada tanto do ponto de vista geométrico como da teoria ergódica. Se por um lado o ponto de vista geométrico da teoria de sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos apresenta a ferradura de Smale e a existência de folheações invariantes com propriedades de contração / expansão uniforme como paradigmas, a teoria ergódica e o formalismo termodinâmico desenvolvido por Sinai, Ruelle e Bowen fornecem uma compreensão muito completa do sistema pela construção de estados de equilíbrio com boas propriedades estatísticas de decaimento de correlações, recorrência, teoremas limite ou a teoria de grandes desvios somente como exemplos.
Se por um lado a rigidez da hiperbolicidade uniforme garante ainda hoje novos resultados de pesquisa muitas vezes surpreendentes, por outro lado importantes famílias de sistemas dinâmi-cos não se incluem na alçada desta teoria, como são exemplos a aplicação de Hénon ou o atrator de Lorenz. Estes modelos estão no centro dos desenvolvimentos mais recentes em Sistemas Di-nâmicos e inspiraram muitas noções de hiperbolicidade fraca como decomposição dominada, hiperbolicidade parcial ou hiperbolicidade não-uniforme. Um panorama geral atualizado pode ser visto em [BDV].
O projeto delineado no que segue visa contribuir para o desenvolvimento da abordagem pro-babilística no estudo de sistemas dinâmicos não uniformemente hiperbólicos. Apesar de sua caoticidade, muitas vezes expressa em termos de expoentes de Lyapunov positivos, a existência de medidas ou distribuições invariantes permite em muitos casos descrever o sistema através de teoremas ergódicos e propriedades de recorrência. Pormenorizamos no que segue as linhas de pesquisa e as metas a serem alcançadas.
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Objetivos e justificativas
Este projeto visa estudar estudar propriedades sobre teoremas ergódicos e propriedades de re-correência para medidas que surgem naturalmente do formalismo termodinâmico (medidas de máxima entropia e a existência de estados de equilíbrio) e sistemas que apresentem hiperbolici-dade fraca. O problema da caoticihiperbolici-dade de sistemas dinâmicos expresso através da sensibilihiperbolici-dade às condições iniciais ou da entropia topológica é um dos problemas primordiais no estudo de Sistemas Dinâmicos. Estas noções são fulcrais e sua apresentam diferentes contornos quando lidamos com dinâmicas discretas. Dada uma função f : M→M, a entropia topológica EMBED Equation.3 é um dos mais importantes invariantes em dinâmica, ou seja, sistemas conjugados possuem igual entropia topológica. De forma surpreendente, provou-se que a complexidade topológica htop(f)associado a um sistema dinâmico f pode ser visto obtida como limite da
com-plexidade métrica do sistema. Mais precisamente, o princípio variacional para a entropia garante que
htop(f) =sup{hµ(f): µ∈M1(f)}
onde o supremo é tomado sobre todas as medidas de probabilidade f -invariantes e hµ(f)denota
a entropia métrica de µ. Toda a medida que atinja o supremo é dita medida de m ˘Gxima entropia. Mais geralmente, dado um potencial φ : M→R, uma medida invariante que atinja o supremo
Ptop(f , φ) =sup hµ(f) + Z φ dµ: µ∈M1(f)
é dito um estado de equilíbrio para(f , φ). Algumas questões importantes no estudo do forma-lismo termodinâmico dizem respeito à existência, finitude e estabilidade de estados de equilíbrio para classes persistentes de sistemas dinâmicos. Levando adiante técnicas provenientes da Me-cânica Estatística, Sinai, Ruelle e Bowen [B, BR, S] provaram que todo o sistema uniformemente hiperbólico é semi-conjugado a um subshift de tipo finito e portanto admite um único estado de
equilíbrio para todo potencial Hölder contínuo. Dois resultados clássicos da teoria ergódica de sistemas dinâmicos são o teorema de Birkhoff e o teorema de recorrência de Poincaré, que são pontos de partida para nossa abordagem. Assumindo uma medida invariante µ ergódica e um conjunto A, o teorema de Birkhoff garante que
1
n#{0≤j≤n−1 : f
j(x) ∈A} →
µ(A),
ie, há convergência da frequência de visitas ao conjunto e o valor limite é dado pela medida µ(A) do conjunto. O célebre teorema de recorrência de Poincaré diz que µ-quase todo ponto é recor-rente, ie, retorna por iteração de f arbitrariamente próximo do estado inicial. Desenvolvimentos recentes da teoria ergódica como recorrências múltiplas têm se mostrado com ampla aplicabili-dade a outras áreas clássicas da matemática como teoria dos números e têm vindo a ser usadas por matemáticos de prestígio (incluindo o medalha Fields Terence Tao) para resolver questões profundas em outras áreas do saber. Nossos objetivos são de obter extensões de alguns teoremas ergódicos, grandes desvios e resultados que tocam propriedades de recorrência para sistemas com hiperbolicidade fraca e medidas invariantes que sejam estados de equilíbrio.
2.1
Fórmulas de Ornstein-Weiss em Sistemas Dinâmicos Aleatórios
Um sistema dinâmico de grande dimensão é frequentemente estudado através da medição de um numero relativamente pequeno de diferente quantidades, chamadas de observações. Seguindo essa idéia e na continuidade do trabalho de Boshernitzan [B], Rousseau e Saussol [RS] estudaram a recorríncia de Poincaré para observações. Mais precisamente, eles estudaram o tempo neces-sário à observação da órbita de um ponto para voltar perto da observação desse mesmo ponto. Nesse trabalho, eles provaram que o comportamento assintótico do tempo de retorno para uma observação é ligado à dimensão da medida imagem. Em particular, para sistemas misturando rapidamente, eles provaram uma igualdade entre as taxas de recorríncia não-instantaneas para a observação e as dimensões locais da medida imagem. Esses resultados permitiram a Marie e Rousseau [MR] de estudar a recorríncia para os sistemas dinâmicos aleatórios e de provar uma igualdade entre taxas de recorríncia (quenched e annealed) e dimensões locais da medida esta-cionaria quando o sistema mistura super-polinomialemente. Um do alvo principal desse projeto é de aprofundar o estudo da recorríncia para sistemas dinâmicos aleatórios. Seguindo os traba-lhos de Rousseau-Saussol [RS] e Marie-Rousseau [MR], estamos interessados no comportamento dos tempos de retorno para sistemas dinâmicos aleatórios, nomeadamente em estudar a relação desses tempos de retorno com a entropia métrica com respeito a essa mesma partição para obter resultados do tipo Ornstein-Weiss [OW] como passamos a explicar.
Sejam θ :Ω→Ω invertível e mensurável preservando probabilidade P, e uma família de transformações mensuráveis Tω: Xω →Xθ(ω) (variando mensuravelmente em ω). O sistema
di-nâmico aleatório sobre θ é dado por Tωn=Tθn−1ω◦Tθn−2ω◦ · · ·Tθω◦Tωe Tω0=Id. No caso especial
em queP é uma medida de Dirac a dinâmica se reduz a iterações determinísticas. A dinâmica do sistema aleatório pode ser melhor observada usando o skew-product
S :Ω×X → Ω×X (ω, x) → (θ(ω), Tω(x))
visto que Sn(ω, x) = (θn(ω), Tωn(x)). Chamaremos S de sistema dinâmico aleatório por abuso
de notação. Uma medida de probabilidade ν é invariante pelo sistema dinâmico aleatório se é S-invariante com marginalP em Ω. Definiremos então diferentes noções de tempos de retorno para sistemas dinâmicos aleatórios. DadaP partição finita e mensurável em X, considere as partições dinamicamente geradasPn=P∨S−1P∨ · · · ∨S−(n−1)P e denote por Pn(x)o elemento dePnque contém x. Definimos o S-tempo de retorno Rω
n(x,P)por Rω n(x,P) =inf{k≥1 : T k+j ω (x) ∈P(T j ω(x)),∀j≤n}
e o tempo de retorno médio ("annealed return time") Rn(x,P)como Rn(x,P) =RRωn(x,P)dP(ω).
Mais geralmente, dada por vezes a inexistência de partições geradoras é útil considerar bolas dinâmicas aleatórias: dado ε>0 e n≥1 considere
Bω(x, n, ε) = {(ω, y) ∈Ω×X : T
j
ω(y) ∈ {θj(ω)} ×B(T
j
ω(x), ε),∀0≤j≤n−1}
como subconjunto de{ω} ×X e considere tempos de retorno Rωn(x, ε)e Rn(x, ε)definidos
análo-gamente aos anteriores. Em colaboração Rousseau, Saussol, Stadlbauer, Varandas, Zhao preten-demos provar:
Afirmação 1. Se ν é probabilidade invariante ergódica então para ν-quase todo(ω, x)vale
hν(S) = sup P finita h lim n→∞ 1 nlog R ω n(x,P) i =lim ε→0lim supn→∞ 1 nlog R ω n(x, ε)
e ainda, se µ é marginal de ν em X, para µ-quase todo x vale hν(S) = sup P finita h lim n→∞ 1 nlog Rn(x,P) i =lim ε→0lim supn→∞ 1 nlog Rn(x, ε)
Uma vez obtidos os teoremas de convergência pretendemos estudar as distribuições limite extendendo resultados de [S] para o contexto aleatório, mostrando que sob condição de mistura super-polinomial as distribuições dos tempos de retorno coincidem com as distribuições do teo-rema de Shannon-McMillan-Breiman.
2.2
Distribuições de tempos de retorno para subshifts aleatórios com
infini-tos símbolos
Este trabalho é em colaboração com Rousseau, Saussol, Varandas. Também estudando as distri-buições dos tempos de retorno, queremos investigar a existíncia de uma lei limite, por exemplo no caso de subshifts aleatórios de tipo finito e transformações expansoras aleatórias.
Seja(Ω,θ,P)invertível, ergódica preservando medida, seja X=NNe seja σ : X→X o shift. Para y∈X considere Cn(y) = {z∈X : yi=zipara todo 0≤i≤n−1}o cilindro de comprimento
n que contém y. Considere b :Ω→N variável aleatória satisfazendo E(log b) <∞ e, para cada
ω∈Ω defina Xω= {1, . . . , b(ω)} ⊂N e
Eω= {x= (x0, x1, . . .): xi∈Xθiωpara todo i∈N} ⊂X, E= {(ω, x): ω∈Ω, x∈Eω} ⊂Ω×X.
Assumimos que a dinâmica aleatória é codificada skew-product S :E→E dado por S(ω, x) =
(θω, σx)e ν é probabilidade S-invariante com entropia positiva. ComoE(log b) <∞ a entropia
métrica hν(S,Ω×F10)é finita e denotamos h=hν(S,Ω×F10). Dado A⊂X consideramos o tempo
de retorno R(x, A) =inf{k≥1 : σkx∈A}e denotamos Rn(x, y) =R(x, Cn(y))para x, y∈X.
Em colaboração com Rousseau, Saussol, Varandas pretendemos provar:
Afirmação 2. Suponha que µ e as medidas amostrais(µω)ωtêm decaimento super-polinomial de
correla-ções e existem c>0, 0<λ<1 tais que µω(Cn(y)) ≤cλnpara ν-quase todo(ω, y). Então para µ-quase
todo y,P-quase todo ω e todo t≥0 temos
µω x∈X : Rn(x, y) >
t
µ(Cn(y))
!
→e−t, quando n→∞. (1) Pretendemos provar também:
Afirmação 3. Sob as mesmas condições da afirmação anterior, se ν é estado de equilíbrio com respeito a
potencial Hölder contínuo e µ é medida marginal então para µ-quase todo y e t≥0,
µ x∈X : Rn(x, y) > t
µ(Cn(y))
!
2.3
Princípios variacionais e recorrência múltipla para grupos de
diffeomor-fismos
Este trabalho é em colaboração com Castro, Varandas. Extensões diversas do princípio varia-cional para a pressão topológica têm sido obtidas recentemente principalmente com o objetivo de obter aplicabilidade a amplas classes de sistemas dinâmicos que surgem de modelos físicos. Dado um conjunto finito de difeomorfismos G1= {id, f1, . . . , fk}considere o grupo G gerado por
G1, ie, G= {fin◦ · · · ◦fi2◦fi1 : ij=1, . . . , k, n≥1}. O conjunto
O(x) = {g(x): g∈G}
é a órbita generalizada do ponto x e denota a complexidade do sistema quando se consideram todas as possibilidades de iteração por diferentes dinâmicas. Denotamos por Gno conjunto das
n-palavras. Noções de entropia métrica e topológica têm sido introduzidas mas as respostas são muito parciais e revelam uma enorme complexidade do sistema dinâmico. Artigos recentes de Bi´s e Urba ´nski [B,BU] bem como de Ma, Wu [MW] mostram como a noção de entropia de um grupo h(f , G)pode depender dos geradores G1do grupo. Mais ainda, existem grupos G tais que
não existe qualquer medida invariante pelo grupo e portanto não vale o princípio variacional. Para evitar essa questão lidaremos com grupos de difeomorfismos conservativos. Em colabora-ção Castro, Varandas pretendemos introduzir a nocolabora-ção de entropia métrica e provar:
Afirmação 4. Sejam f1, f2difeomorfismos que preservam a medida volume µ e G grupo gerado. Se G é
comutativo então h(G) ≤log 2+max{htop(fi)}. Mais ainda, se f1tem a propriedade de especificação
então
h(G) ≥lim sup1
nlog #Per(G)
Pretendemos ainda entender a velocidade de convergência do menor tempo de retorno
τ(x, r) =min{n≥1 :∃g∈Gng(x) ∈B(x, r)}
e a sua distribuição com respeito a µ.
3
Metodologia
Os métodos teóricos utilizados serão principalmente da Teoria Ergódica e de Sistemas Dinâmicos, assentando sobre os artigos científicos mencionados na bibliografia e descritos acima. A meto-dologia na pesquisa em matemática segue argumentos dedutivos construídos sobre resultados precedentes.
4
Viabilidade e Financiamento
Viabilidade. O projeto iniciado mais recentemente para abordar o Problema 1 surge como exten-são de [VV2], [CV], [RS], [MR] a um contexto aleatório. A estratégia para extender o resultado ao contexto aleatório parece factível tendo em conta a realização anterior para sistemas determi-nísticos. Alguns resultados recentes apontam na direção de que os resultados são verdadeiros, sem que tenha havido até ao momento uma prova dos mesmos. A experiência dos pesquisadores envolvidos com o tema é outro fator de confiança. Os Problemas 2 2 3 são já um projeto em anda-mento no qual obtivémos resultados parciais. Sistemas dinâmicos aleatórios com decaianda-mento de correlações rápido assumem uma certa independência pelo que, motivados pela teoria da proba-bilidade, a distribuição dos tempos de retorno será seguramente exponencial. Resultados nesta linha foram obtidos no caso determinístico em [SV]. No tocante ao Problema 4 os resultados na literatura são ainda escassos. Tratando-se de uma extensão da iteração de uma aplicação para o caso de iterações de dinâmicas distintas, os resultados que caracterizam a recorrência com res-peito a uma medida invariante preservada por todas as dinâmicas parecem factíveis. Um maior
desafio diz respeito a estabelecer um princípio variacional completo, extendendo os resultados de [Bis].
Financiamento. Para o desenvolvimento do projeto contamos com os equipamentos obtidos pelo projeto Desenvolvimento Integrado de Sistemas Dinâmicos e Geometria Diferencial na Bahia (PADCT 620037/2004-0), que é uma parceria com o IMPA (Instituto Nacional de Matemá tica Pura e Aplicada) e é financiado pelo CNPq. Contamos ainda com a Bolsa de Produtividade do CNPq.
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Resultados e impactos esperados
Resultados esperados: Publicação dos resultados em revistas especializadas.
Impactos esperados: A junção desta pesquisa promete fornecer um entendimento mais completo acerca do papel da caoticidade e termodinâmica de sistemas dinâmicos. Tal teoria compreende uma classe bem ampla e flexível de sistemas dinâmicos, o que possibilita várias novas aplicações em outras áreas como biologia, medicina, engenharia, etc.
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Cronograma de execução
O cronograma de atividades será de acordo com os resultados obtidos, sendo que esperamos o seguinte desenvolvimento. No segundo semestre de 2013 pretendemos estudar resultados refe-rentes a sistemas dinâmicos aleatórios e a entropia de semigrupos e entropia de centralizadores. Pretendemos também finalizar pesquisas no tocante a tempos de retorno de sistemas aleatórios e preparação de um artigo para publicação com os resultados obtidos nesta primeira parte do projeto. No primeiro semestre de 2014 pretendemos ter resultados relativos às propriedades de recorrência e entropia de grupos de difeomorfismos para, no segundo semestre de 2014, dar inií-cio à preparação dos artigos para publicação com os resultados finais do projeto.
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Referências bibliográficas
Relação itemizada das referências que subsidiam a proposta de pesquisa, colocando as mais im-portantes.
Referências
[AMM] A. Arbieto and C. Matheus and C. G. Moreira Aspectos ergódicos da teoria dos números Publicações Matemáticas do IMPA - 26o Colóquio Brasileiro de Matemática, 2007.
[Bis] A. Bi´s Partial variational principle for finitely generated groups of polynomial growth and some foliated spaces. Colloq. Math., 110, no. 2, 431–449, 2008.
[BU] A. Bi´s and M. Urba ´nski Some remarks on topological entropy of a semigroup of conti-nuous maps. Cubo, 8, no. 2, 63Ð71, 2008.
[BDV] C. Bonatti and L. J. Díaz and M. Viana. Dynamics beyond uniform hyperbolicity. Springer-Verlag, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 2005.
[F] H. Furstenberg Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. Prince-ton University Press, 1981.
[B] M. D. Boshernitzan, Quantitative recurrence results, Invent. Math., 113 (1993), pp. 617?631. [MR] P. Marie and J. Rousseau , Recurrence for random dynamical systems, Discrete Contin. Dyn.
[MW] D. Ma and M. Wu Topological pressure and topological entropy of a semigroup of maps Discrete Contin. Dyn. Syst., 31, no. 2, 545–557, 2011.
[OW] D. S. Ornstein and B. Weiss, Entropy and data compression schemes, IEEE Trans. Inform. Theory, 39 (1993), pp. 78?83.
[RS] J. Rousseau and B. Saussol, Poincaré recurrence for observations, Trans. Amer. Math. Soc., 362 (2010), pp. 5845?5859.
[S] B. Saussol. On fluctuations and exponential statistics of return times. Nonlinearity, 14:179–191, 2001.
[V1] P. Varandas, Entropy and Poincaré Recurrence from a geometrical viewpoint. Nonlinearity 22 (2209).
[VV] Varandas, Paulo. Viana, Marcelo. Existence, uniqueness and stability of equilibrium states for non-uniformly expandings maps. Annales de l’Institut Henri Poincaré, Anaalyse Non Linéaire, 27 (2010).
