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IST-MA-2010/11-1 o SEMESTRE

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IST-MA

-2010/11-1

o

SEMESTRE

EXERCÍCIOS

1

DE MATEMÁTICA I

FICHA 1: NÚMEROS REAIS

1

Números racionais e irracionais

Por N designa-se o conjunto dos números naturais 1; 2; 3; 4; :::

Nele encontram-se de…nidas as conhecidas operações de soma (ou adição), subtracção, mul-tiplicação e divisão. Porém, como a subtracção de dois números naturais pode não ser um número natural, por esse motivo construiu-se o conjunto dos números inteiros,

3; 2; 1; 0; 1; 2; 3:::

designado por Z; no qual aquele problema não se veri…ca. Na verdade, a soma e a subtracção de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

A multiplicação de dois números naturais origina um número natural, o mesmo suce-dendo com a multipicação de dois números inteiros. Contudo, isso não sucede no que re-speita à divisão. Esse facto originou o conjunto dos números racionais que é designado por Q; dizendo-se que a é um número racional se e só se ele puder ser representado na forma fraccionária

a = p q;

onde p 2 Z e q 2 Zn f0g : Esta representação do número a não é obviamente única. No caso de p e q serem primos entre si (isto é, de 1 ser o único divisor comum de p e q) a fracção que representa a é dita na forma irredutível.

Tem-se que

N Z Q;

e em Q foram estendidas as operações indicadas segundo as regras conhecidas, de modo a veri…car-se que a soma, a subtracção e a multiplicação de dois números racionais origine um número racional e ainda que a divisão de um racional por um outro racional diferente de zero também resulte num racional.

Uma outra representação dos racionais é possível recorrendo à forma decimal através da operação de divisão, pois ao fazer divisão de p por q obtém-se sempre uma dízima …nita ou in…nita periódica. Por exemplo,

122

25 = 4; 88 e

24613

999 = 24; 637 637 637:::

(2)

É claro que potências de números racionais geram números racionais. Mas o mesmo não sucede no que respeita à operação inversa da potenciação: a radiciação. Por exemplo, p

2; p3;p5; etc. podem mostrar-se que não são números racionais, razão porque tomaram o nome de números irracionais. Este facto é, como iremos ver, consequência simples do seguinte teorema.

Teorema 1.2 Se r = p=q (fracção na forma irredutível) for uma raiz racional da equação

polinomial de grau n com coe…cientes inteiros,

cnxn+ cn 1xn 1+ ::: + c1x + c0 = 0;

então p é um divisor de c0 e q um divisor de cn:

Deste modo, com n; c 2 N; relativamente à equação xn c = 0;

uma eventual raiz racional r = p=q (fracção na forma irredutível) será tal que q divide 1; ou seja q = 1 e por conseguinte a = p é um número inteiro divisor de c:

Assim, por exemplo, p2 como solução da equação polinomial x2 2 = 0;

se fosse racional seria um número inteiro que divide 2: Mas os únicos inteiros divisores de 2 são 2e 1;e nenhum deles satisfaz a equação. Logo p2é irracional. Mais geralmente, se c não é um quadrado perfeito, pc é um número irracional. Basta notar que a equação

x2 c = 0;

apenas tem raízes inteiras quando c é um quadrado perfeito. Isto signi…ca que p

2; p3; p5; p6; p7; p8; p10; p11; p12; p13; p14; p15; p17; ::: são todos números irracionais. Analogamente, considerando a a equação cúbica

x3 c = 0;

os seguintes números

3

p

2;p33;p34;p3 5;p3 6;p3 7;p3 9;p3 10;p3 11;p3 12;p3 13;p314;p315; ::: são todos números irracionais.

Voltando à equação geral

xn c = 0;

(n; c2 N) podemos do mesmo modo concluir que pncou é inteiro ou é irracional; no primeiro

caso c terá de ser a n-ésima potência de um inteiro. São pois irracionais os números

4

p

2;p53;p64; :::

(3)

Um outro teorema que permite gerar facilmente números irracionais é o seguinte. Teorema 2. Seja a um número irracional qualquer e r um número racional diferente de zero. Então r + a; r a; a r; r:a;r a; a r; a; 1 a; são números irracionais.

Assim, por exemplo, 1 p 2; 1 p 2; 1 p2; 1 p 2 2 ; 11 p3 4 32 ; 112 p5 3 423 são todos números irracionais.

Os números irracionais admitem igualmente uma representação decimal, agora neces-sariamente com a característica de dízima in…nita não periódica. Por exemplo,

0; 122333444455555666666::: é um número irracional.

O conjunto R; constituído por todos os números racionais e irracionais, é chamado de conjunto dos números reais. Todas as operações acima mencionadas são possíveis em R:

Um conceito com alguma relevância na área da geometria é o de proporção. Este conceito pode ser de…nido do seguinte modo bastante simples: dados dois números reais positivos a e b; chamamos proporção de (a; b) ao valor

p (a; b) = max (a; b) min (a; b):

São facilmente veri…cadas as seguintes propriedades das proporções:

i) p (a; b) = p (b; a) :

ii) Com > 0; tem-se p ( a; b) = p (a; b).

iii) p (a; a2=b) = p (a; b) :

iv) p (a2; b2) = (p (a; b))2:

No caso de termos a; b 2 Q; obtemos proporções racionais, também chamadas de pro-porções comensuráveis ou estáticas. Mas podem também obter-se facilmente propro-porções irracionais (incomensuráveis ou dinâmicas). Entre elas destaca-se por vários motivos a chamada proporção de ouro que é obtida do seguinte modo. Sejam a e b tais que a > b e

a b =

a + b a :

Nestas condições a proporção p (a; b) = a=b vulgarmente representada3 por ; é tal que

= 1 + 1:

3Em honra de Fídias (em grego " &) que foi um célebre escultor da Grécia Antiga, eventualmente o

(4)

Assim, será a solução positiva da equação do segundo grau 2 1 = 0; ou seja, = 1 + p 5 2 ;

também chamado de número de ouro, que é igualmente um número irracional.

1.1

Exercícios

Exercício 1 Indique um número racional que se encontre entre os seguintes números: 2; 777172737475767778797107:::

2; 777273747576777879710711::: :

Exercício 2 Indique um número irracional que se encontre entre os seguintes números:

2; 51515151515151::: 2; 51515162626262::: :

Exercício 3 Existe algum número irracional cuja representação decimal utilize apenas um dígito? E apenas dois dígitos?

Exercício 4 Escreva sob a forma de fracção os seguintes números racionais: a = 0; 125; b = 0; (3); c = 0; 2(9); d = 2; 35(415):

Exercício 5 Justi…que que se a é um número irracional positivo então pa também é irra-cional.

Exercício 6 Dê exemplos de:

a) Dois números irracionais cuja soma seja racional. b) Dois números irracionais cuja soma seja irracional. c) Dois números irracionais cujo produto seja racional. d) Dois números irracionais cujo produto seja irracional. e) Dois números irracionais cujo quociente seja racional. f) Dois números irracionais cujo quociente seja irracional.

Exercício 7 Qual o número máximo de raízes irracionais que podem ter as seguintes equações polinomiais?

a) 3x3+ 2x2 3x 2 = 0:

b) x4 3x2 5x + 9 = 0:

c) 2x4 x2 3x + 5 = 0:

(5)

Exercício 8 Justi…que qe são irracionais os números seguintes: 5 p 91; 2 7 p 129 + 17 21 ; p 5 +p7; p5 p35 + 5 e p32 p3:

Exercício 9 O rectângulo B é construído com base no prolongamento da diagonal do rec-tângulo A, como se indica na …gura. Mostre que se o rectângulo A tem a proporção de ouro o mesmo sucede com o rectângulo B.

x A b a B c a

Exercício 10 Na …gura seguinte estão representados um triângulo [ABC] ; rectângulo em B; e duas circunferências de centro em A e D, respectivamente, de raios AC e DB: Sabendo que DB = 12AB; utilizando o teorema de Pitágoras, mostre que AC=CB é a proporção de ouro.

A C B

D

Exercício 11 O triângulo isósceles [ABC] (triângulo de ouro) tem a particularidade de os ângulos adjacentes à base (BC) serem o dobro do ângulo oposto (de medida x): Seja BD a bissectriz do ângulo ]ABC (ver …gura abixo).

a) Determine x:

b) Por semelhança de triângulos mostre que AD=DC é a proporção de ouro.

D x A

(6)

2

Condições sobre os números reais

Relativamente a um qualquer conjunto podem formar-se expressões proposicionais, tam-bém chamadas de condições ou propriedades sobre o conjunto indicado São expressões com uma ou mais variáveis que para cada concretização das variáveis originam proposições ou a…rmações verdadeiras ou falsas.

O universo de uma condição é um conjunto dado à priori. O domínio da condição é o subconjunto do universo onde são originadas proposições verdadeiras. Se o domínio for o universo a condição diz-se universal. Se o domínio for o cojunto vazio então diremos que a condição é impossível. Entre estas duas situações extremas a condição dir-se-á simplesmente possível.

As operações acima mencionadas possuem propriedades já conhecidas que podem ser expressas por condições universais.

1. Em R são condições universais: x + y = y + x (comutatividade).

(x + y) + z = x + (y + z) (associatividade).

x + 0 = x (elemento neutro).

x + ( x) = 0 (elemento simétrico)

x:y = y:x (comutatividade).

(x:y) :z = x: (y:z) (associatividade).

x: (y + z) = x:y + x:z (distributividade). (x + y)2 = x2+ 2:x:y + y2: (x y) : (x + y) = x2 y2: xm:xn= xm+n: (xm)n = xm:n: x:0 = 0 (elemento absorvente). x:1 = x (elemento neutro).

2. Porém, apenas com domínio em Rn f0g se pode expressar a propriedade: x:1

(7)

Sobre as condições também é possível realizarem-se operações como sejam a negação, a conjunção e a disjunção.

A negação de uma condição C (x) é uma nova condição, designada por ~C (x) cujo domínio é o conjunto complementar (em relação ao universo) do domínio de C (x) :

A conjunção de duas condições, C1(x) e C2(x) é uma outra condição, representada

por C1(x)^ C2(x) ; que é caracterizada por ter como domínio a intersecção dos domínios

de C1(x) e C2(x) : Analogamente, a disjunção de duas condições, C1(x) e C2(x) é uma

condição, representada por C1(x)_ C2(x) ;que tem como domínio a união dos domínios de

C1(x)e C2(x) :

3. Dado y 2 R; também é uma condição universal em R: x = y_ x < y _ x > y (tricotomia da relação de ordem).

Outras operações sobre condições podem ser consideradas. A quanti…cação (universal e existencial ) a implicação e a equivalência. Relativamente às operações de conjunção e disjunção, a diferença principal é que, ao contrário destas, aquelas operações entre condições não originam uma nova condição, mas sim uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa. Num mesmo universo, diremos que a condição C1(x) implica a condição C2(x) ;sempre

que

dom C1(x) dom C2(x) ;

ou seja, se a condição C1(x)é veri…cada então também a condição C2(x)o é. Analogamente,

a condição C1(x)é equivalente a condição C2(x) ;se

dom C1(x) = dom C2(x) ;

ou seja, a condição C1(x)é veri…cada se e só se a condição C2(x)o for.

4. São implicações de condições em R: x > 0^ y > 0 ) x + y > 0:

x > 0^ y > 0 ) x:y > 0:

x < y^ y < z ) x < z (transitividade). x < y^ y z ) x < z (transitividade). x y^ y z ) x z (transitividade). 5. São equivalências de condições em R:

x + y = x + z , x = z (lei do corte da adição).

(8)

(x6= 0 ^ x:y = x:z) , y = z (lei do corte da multiplicação). x + y < x + z , y < z:

No que respeita a um qualquer subconjunto U de R; a relação de ordem dos reais permite-nos formular os conceitos de majorante e de minorante de U: Um número real M diz-se um majorante de U se

8x 2 U; x M:

Nestas condições, U diz-se um conjunto majorado. Ao menor dos majorantes chamaremos supremo de U; o qual é designado por sup U: Se sup U 2 U; esse valor é o máximo de U; o qual passará a designar-se por max U:

Analogamente, se existir m 2 R tal que

8x 2 U; m x;

diremos que m é um minorante de U; caso em que U é dito um conjunto minorado. O maior dos minorantes é chamado de ín…mo de U; o qual é representado por inf U: Se inf U 2 U; tal valor é o mínimo de U; o qual passaremos a representarar por min U:

2.1

Exercícios

Exercício 12 Classi…que em N e em R; cada uma das seguintes condições:

a) x + 1 = 0: b) x2 + 4 > 0: c) x2 4 = 0: d) x2+ 5 < 0: e) x2 + x x2: f) xp32 = p32x3: g) xp2 =p2x2: h) p6 4x2 =p3

2x:

Exercício 13 Ligue por um dos símbolos ) ou , as seguintes condições em R : a) jxj < 4; jxj < 5: b) x 2 ] 1; 1[ ; jxj < 1: c) x = 1; x3 = 1:

d) x + 2 = 0; x2 = 4: e) x > 3; jxj > 3:

Exercício 14 Traduza por expressões quanti…cadas os enunciados seguintes e indique o seu valor lógico:

a) Todos os quadrados de números reais são positivos ou nulos. b) Todo o número real tem outro que o excede em 2 unidades. c) Há pelo menos um número inteiro entre 3 e 4:

d) Todos os números reais do intervalo [3; 5] são menores do que 5; 001: e) Há pelo menos um número natural entre 7; 1 e 8; 001:

f) A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional. g) A soma de dois números irracionais é um número irracional.

h) O produto de um número irracional por um número racional não inteiro é um número racional.

i) A soma de dois racionais não inteiros não é um número inteiro.

(9)

Exercício 15 Indique o valor lógico das seguintes expressões: a) 8x 2 R; x + 1 > x: b) 9x 2 R : x2 = x: c) 8y 2 R; y = 1=y: d) 9x 2 R : 3x + 5 = 0: e) 8x 2 R; x2 6: f) 8a 2 R; 9 x 2 R : x2+ a = 0: g) 9n 2 Z : 8x 2 R : xn= 1: h) 8x; y 2 Q : x < y; 9 z 2 Q : x < z < y: i) 8x; y 2 Q : x < y; 9 z 2 RnQ : x < z < y: Exercício 16 i) Mostre que:

a) fx 2 R : x= (x 2) 0g = [0; 2[ : b) fx 2 R : (1 x) = (2x + 3) > 0g = ] 3=2; 1[ : c) fx 2 R : x2 2x 3 0g = ] 1; 1] [ [3; +1[ : d) fx 2 R : 2 x x2 > 0 g = ] 2; 1[ : e) fx 2 R : 4 < x2 < 9 g = ] 3; 2[ [ ]2; 3[ : f) x 2 R : 9 (x 1)2 < 25 = ] 4; 2][ ]4; 6] : g) fx 2 R : (x 2) = (x + 2) < (x + 3) = (x 3)g = ] 2; 0[ [ ]3; +1[ :

ii) Relativamente a cada conjunto de i) indique, caso existam, o supremo, o ín…mo, o máximo e o mínimo.

Exercício 17 Mostre as igualdades entre conjuntos formuladas a seguir e para cada conjunto indique, caso existam, o supremo, o ín…mo, o máximo e o mínimo.

a) fx 2 R : jx + 2j = 3g = f 5; 1g : b) fx 2 R : jx + 2j 1g = [ 3; 1] : c) fx 2 R : j3 xj > 2g = ] 1; 1] [ ]5; +1[ : d) fx 2 R : 2 < jxj < 3g = ] 3; 2[ [ ]2; 3[ : e) fx 2 R : 3 < jx 1j 5g = [ 4; 2[ [ ]4; 6] : f) fx 2 R : jxj = jx 2jg = f1g : g) fx 2 R : jxj jx 2jg = ] 1; 1] : h) fx 2 R : 2 jxj = jx 3jg = f 3; 1g : i) fx 2 R : 2 jxj < jx 3jg = ] 3; 1[ : j) fx 2 R : jx2 2 j 1g = p3; 1 [ 1;p3 : k) fx 2 R : j3 2x + x2j = 5g = 1 p3; 1 +p3 :

(10)

l) fx 2 R : j3 2x + x2

j < 5g = 1 p3; 1 +p3 :

m) fx 2 R : jx (x 3)j = j1 3xjg = 1; 3 2p2; 1; 3 + 2p2 :

n) fx 2 R : jx (x 3)j > j1 3xjg = ] 1; 1[ [ 3 2p2; 1 [; 3 + 2p2; +1 :

3

Condições de variável natural

Uma propriedade ou condição de variável natural, P (n); será uma condição cujo universo é o conjunto dos números naturais N: Se P (n) for universal, ou seja se o seu domínio for N; ou ainda se

8n 2 N; P (n) é uma proposição verdadeira, diremos que P (n) é veri…cada totalmente ou completamente.

Há, porém, condições de variável natural que podem não ser veri…cadas totalmente. Uma condição, P (n); que apesar de não ser veri…cada totalmente, pode ser válida, digamos que a posteriori, ou seja, para valores de n superiores a certa ordem. Mais precisamente:

9p 2 N : n > p ) P (n) verdadeira.

Numa situação deste tipo, diremos então que P (n) é veri…cada posteriormente ou ulteri-ormente. É claro que uma condição válida totalmente é igualmente veri…cada posterior-mente. No entanto, este tipo de situação faz mais sentido quando pretendemos ter uma dada condição válida para valores de n su…cientemente grandes, isto é, maiores que um certo número natural p; mesmo que não seja importante conhecer o valor exacto de p; mas apenas saber da sua existência.

Um outro tipo de validade de uma condição, P (n); ocorre quando é possível estabelecer que

8p 2 N; 9n > p : P (n) é verdadeira, circunstância em que diremos que P (n) é veri…cada frequentemente.

Para as condições completas e a posteriori, assume grande relevância o chamado princí-pio de indução …nita, na medida em que este princíprincí-pio encerra um método de demonstração bastante usado para estabelecer a validade de algumas relações envolvendo os números nat-urais. Trata-se de um instrumento extremamente importante, que nos permite chegar à validade de uma condição para todos os naturais, pela análise da validade do caso n = 1 e do que se passa de um número natural, n; para o seu sucessor n + 1:

Teorema (princípio de indução …nita). Seja S N; tal que: (a) 12 S;

(b) k 2 S ) k + 1 2 S: Então S = N:

Pode este princípio ser frequentemente usado na demonstração de proposições que re-queiram a validade, para todos os números naturais, de uma propriedade ou condição, P (n): Neste sentido, podemos formular a seguinte versão do princípio de indução …nita:

(11)

1) P (1) é verdadeira; 2) P (k) ) P (k + 1);

então P (n) é verdadeira para todo o n 2 N:

A ligação entre esta versão e a inicial é feita através do conjunto

S =fn 2 N : P (n) é verdadeirag :

Nesta conformidade, as hipóteses (a) e (b) correspondem exactamente a 1) e 2).

A implicação 2) tem verdadeiramente interesse no caso em que P (k) é verdadeira, caso em que P (k) é chamada de hipótese de indução. Nesta situação, a implicação 2) engloba a demonstração de que a veracidade da proposição P (k); implica a veracidade da proposição P (k + 1):

3.1

Exercícios

Exercício 18 Considere a relação de Fibonacci4

fn+2 = fn+1+ fn (n2 N)

e mostre que:

a) A sequência, fn; gerada a partir de f1 = 1 e f2 = é tal que fn = n 1 totalmente.

b) Se com x > 0 for fn = xn 1 totalmente, então x é o número de ouro :

Exercício 19 Mostre que: 1 3 <

n + 10

3n 1 < 6; totalmente.

Exercício 20 Designe por n a soma dos n primeiros números naturais, por in a soma dos

n primeiros números ímpares e por pn a soma dos n primeiros números pares:

n= 1 + ::: + n; in= 1 + 3 + 5 + ::: + (2n 1) ; pn= 2 + 4 + ::: + 2n:

a) Através do princípio de indução …nita mostre que

n= n(n + 1) 2 e in = n 2 ; totalmente. b) Determine pn:

Exercício 21 Por indução …nita mostre que a seguinte condição é válida totalmente:

333:::33 | {z } ndígitos = 10 n 1 3 :

4Leonardo Pisano, mais conhecido por Fibonacci (nome que deriva de …lius Bonacci, o qual era o seu

(12)

Exercício 22 Usando o princípio de indução …nita, justi…que que as seguintes relações numéricas são válidas totalmente:

a) 13+ 23+ ::: + n3 = n 2(n + 1)2 4 : b) 1 1:2 + 1 2:3 + ::: + 1 n:(n + 1) = n n + 1: c) n < 2n:

Exercício 23 Considere as seguintes desigualdades: 1 n2 < 0; 0004; 1 3 p n < 0; 01; 1 3 p 2n 1 < 0; 1: a) Mostre que nenhuma delas é veri…cada totalmente...

b) ...mas todas são veri…cadas posteriormente.

Exercício 24 Mostre que nenhuma das seguintes relações é veri…cada totalmente, mas am-bas são veri…cadas posteriormente:

n + 1

n 2 ]0; 998; 1; 002[ ;

3n + 1

n + 2 2 ]2; 999; 3; 001[ :

4

Sucessões de números reais

Algumas características especí…cas sobre sucessões de números reais, podem ser descritas com base neste tipo de validade de condições. Por exemplo, pode suceder que

9M 2 R : un M; totalmente:

Nestas circunstâncias, diremos que un é uma sucessão majorada ou limitada superiormente.

Analogamente, se

9m 2 R : un m; totalmente,

diremos que un é uma sucessão minorada ou limitada inferiormente.

Se unfor simultaneamente uma sucessão majorada e minorada, undir-se-á uma sucessão

limitada; signi…ca isto que

9m; M 2 R : m un M; totalmente,

ou de modo equivalente que

9K 2 ]0; +1[ : junj K; totalmente.

Uma outra característica importante de algumas sucessões, reside no modo como se desenvolvem. Nesse âmbito, uma sucessão, un; diz-se crescente se for veri…cada a condição

(13)

un;é dita estritamente crescente se

un < un+1; totalmente.

Analogamente, diremos que un é uma sucessão decrescente sempre que

u un+1; totalmente,

e estritamente decrescente se for

un > un+1; totalmente.

Uma sucessão dir-se-á monótona se, indistintamente, tiver a propriedade de ser crescente ou decrescente. O termo estritamente monótona será usado para indicar que a sucessão ou é estritamente crescente ou é estritamente decrescente.

Uma sucessão un diz-se que tende para o número real `; que tem limite `; que converge

para `; ou que é convergente para `; sempre que para cada número positivo "; for veri…cada, posteriormente, a desigualdade jun `j < ": Ou seja, se 8" > 0; jun `j < "; posteriormente, ou de modo equivalente, se 8" > 0; ` " < un< ` + "; posteriormente, ou ainda, se 8" > 0; un2 ]` "; ` + "[ ; posteriormente.

Em tal situação o valor ` é chamado de limite da sucessão un e escreveremos que

un ! ` ou lim un= `:

Este conceito de convergência exprime que dado um " > 0 (tão pequeno quanto se queira), a distância de un a ` é menor que "; posteriormente. Ou de maneira mais intuitiva,

que un se encontra arbitrariamente próximo de `; se n for su…cientemente grande.

Quando ` = 0; diremos que un é um in…nitésimo ou um in…nitamente pequeno.

São importantes, sob o ponto de vista de cálculo de limites, as características algébricas das sucessões convergentes. Nesse sentido é possível estabelecer as propriedades das sucessões convergentes, que a seguir se descrevem, onde a e b designam números reais.

xn ! a ^ yn ! b ) xn+ yn! a + b:

xn ! a ^ yn ! b ) xn yn! a b:

xn ! a ^ yn ! b 6= 0 ^ yn6= 0; totalmente ) xn=yn! a=b:

(14)

Mas podemos estender esta implicação aos racionais positivos.

xn 0;totalmente ^ xn ! a ) xn ! a ; 8 2 Q+:

Analogamente, diz-se que un tende para 1; ou que tem limite 1; sempre que

8L < 0; un< L; posteriormente;

escreveremos agora

un! 1; ou lim un= 1:

Facilmente se observa que

un! 1 , un! +1:

Em qualquer dos casos, uné chamada de in…nitamente grande, respectivamente, positivo

e negativo.

Estes in…nitamente grandes são sucessões divergentes, para as quais se atribui um limite in…nito. Por essa razão são vulgarmente designadas por sucessões divergentes in…nitas. As propriedades algébricas relativas às sucessões convergentes, mencionadas acima, podem perder sentido quando uma das sucessões xn; yn; é um in…nitamente grande. No entanto,

relativamente à adição, são ainda válidas as seguintes propriedades.

xn ! +1 ^ yn é minorada ) xn+ yn ! +1: xn ! 1 ^ yn é majorada ) xn+ yn! 1: Como consequência: xn ! +1 ^ yn! +1 ) xn+ yn! +1: xn ! 1 ^ yn! 1 ) xn+ yn! 1: Adoptando as convenções a + (+1) = +1; a + ( 1) = 1; 8a 2 R; e (+1) + (+1) = +1; ( 1) + ( 1) = 1; a relação

lim (xn+ yn) = lim xn+ lim yn;

apenas perde signi…cado quando lim xn e lim yn são ambos in…nitos de sinais contrários, ou

seja, quando se está perante o que é costume designar-se por uma indeterminação do tipo

1 1: No que respeita ao produto temos:

(15)

xn ! +1 ^ yn a > 0; posteriormente ) xn yn ! +1: xn ! +1 ^ yn a < 0; posteriormente ) xn yn ! 1: Consequentemente: xn ! +1 ^ yn! +1 ) xn yn ! +1: xn ! +1 ^ yn! 1 ) xn yn! 1: xn ! 1 ^ yn! 1 ) xn yn! +1:

Isto signi…ca que adoptando as convenções

a (+1) = +1; a ( 1) = 1; se a > 0; a (+1) = 1; a ( 1) = +1; se a < 0; e

(+1) (+1) = +1; ( 1) ( 1) = +1; ( 1) (+1) = 1; a relação

lim (xn yn) = lim xn lim yn

deixa apenas de ser válida quando um destes limites é zero e o outro 1; ou seja, quando se tem uma situação do tipo

0 1; a qual é indeterminada.

Quanto à divisão, observemos primeiramente que, através dela, os conceitos de in…ni-tamente grande e de in…nitésimo se relacionam entre si. Nesse sentido, diremos que uma sucessão un é um in…nitésimo positivo, e escrevemos un ! 0+; se un ! 0 e un > 0;

poste-riormente. Analogamente, un dir-se-á um in…nitésimo negativo, e escrevemos un ! 0 ; se

un ! 0 e un< 0; posteriormente.

Assim, supondo que un é uma sucessão sem termos nulos, temos:

un ! 0+ ) 1 un ! +1: un ! 0 ) 1 un ! 1: Consequentemente: un ! 0 ) 1 junj ! +1: Analogamente:

(16)

un ! +1 ) 1 un ! 0 +: un ! 1 ) 1 un ! 0 : Consequentemente: junj ! +1 ) 1 un ! 0:

Deste modo, à luz destas propriedades, a razão 1=1 não é uma indeterminação. Antes podemos tomá-la como sendo zero. Também grosso modo, podemos adoptar 1=0 como sendo 1; sem sinal especí…co mas com possibilidade de se apurar esse sinal. Deste modo, relações do tipo 0=1 e 1=0; poderão ser tomadas como sendo zero a primeira e 1 a segunda.

Resta-nos a indeterminação 1=1 que pode ser olhada como equivalente à indetermi-nação 0 1; se adoptarmos que

1 1 =

1

1 1 = 0 1:

Para o cálculo de limites, um outro critério simples mas importante é o que resulta da seguinte propriedade dos limites respeitante à relação de ordem em R:

Teorema (das sucessões enquadradas). Com a; b 2 R [ f 1; +1g ; se un ! a e

vn! b;

un vn; posteriormente ) a b:

Com base neste teorema facilmente se observa a validade das seguintes implicações:

(i) un! +1 ^ un vn (posteriormente)) vn! +1;

(ii) vn ! 1 ^ un vn;(posteriormente)) un ! 1;

(iii) lim un = lim vn = ` 2 R [ f 1; +1g ^ un wn vn; (posteriormente))

lim wn = `:

4.1

Exercícios

Exercício 25 Considere a sucessão

xn=

2n 1 n + 1 :

a) Mostre que com " = 0; 005 é veri…cada posteriormente a seguinte desigualdade:

jxn 2j < ":

b) Será a mesma desigualdade válida posteriormente para qualquer número " > 0?::: c) ...Se assim suceder que conclui desse facto?

(17)

Exercício 26 Através da de…nição de limite, mostre que:

( 1)n+ 1 n

2

! 1:

Exercício 27 Caso existam indique os limites das seguintes sucessões:

a) cos(n ) sen (n ): b) cos(n ) + ( 1)n+1: c) ( 1)n+1cos(n ): d) cos (( 1)n ) :

Exercício 28 Determine os limites das sucessões seguintes:

a) 5 + 2 n+1 10 + 1 n : b) n 1 n 5 : c) 8 1 n 1=3 : d) r 9 + 1 n:

Exercício 29 Mostre que são válidas posteriormente as desigualdades:

3

p

n > A; (2n 5)5 > B;

para A = 27000 e B = 3200000: Serão as mesmas desigualdades válidas posteriormente para A e B quaisquer? Se assim suceder, que conclui desse facto?

Exercício 30 a) Indique o valor de

limn

2+ 2n 1

n3+ n + 5 :

b) Através da de…nição de limite, justi…que que:

n2+ 2n 1 < n3+ n + 5; posteriormente.

Exercício 31 A sucessão cn encontra-se de…nida através de:

c1 = 2; cn+1= 2

1 cn

:

a) Usando o método de indução …nita mostre que:

cn=

n + 1

n ; totalmente. b) Indique o valor de lim cn:

Exercício 32 Determine os limites das sucessões seguintes:

a) p 1

n2 1 n: b)

1

(18)

Exercício 33 Se xn for um in…nitésimo cujos termos são todos positivos determine os lim-ites de: a) x 2 n+ 3xn xn : b) 5x 2 n 1 xn : c) xn 1 xn 3 :

Exercício 34 Se xn for uma sucessão convergente para 1; cujos termos são todos diferentes

de 1; 1; e 2; determine os limites de:

a) 2xn 1 2 xn : b) xn 1 x2 n 1 : c) x 2 n+ xn 2 xn 1 :

Exercício 35 Considere a sucessão de…nida por:

xn= 1 n2 + 1 (n + 1)2 + :::: + 1 (n + n)2:

a) Indique os termos x1; x2 e x3 desta sucessão.

b) Justi…que através do critério das sucessões enquadradas que xn! 0:

Exercício 36 Determine lim xn; onde

xn= 1 p n2+ 1 + 1 p n2+ 2 + :::: + 1 p n2+ n + 1:

5

Séries de números reais

Relativamente a uma sucessão, un;podemos formular a sucessão sn de…nida do seguinte

modo: s1 = u1; s2 = u1+ u2; s3 = u1+ u2+ u3; s4 = u1+ u2+ u3 + u4; :::::::::::::::::::

cujo termo geral é descrito por

sn = u1+ ::: + un = n

X

k=1

uk:

Se a sucessão sn — chamada de sucessão das somas parciais — for uma sucessão

con-vergente

(19)

podemos entender s como sendo a soma de todos os termos da sucessão un; dando-se deste

modo signi…cado a somas in…nitas, ou seja, com uma in…nidade de parcelas:

u1+ u2+ u3+ ::: + un+ ::: = 1

X

n=1

un;

que vulgarmente tomam o nome de séries.

Em tais circunstâncias diremos que un é uma sucessão somável e de soma igual a s; ou

que a série correspondente é uma série convergente que tem por soma s; escrevendo-se então

1

X

n=1

un = s:

Em caso contrário, ou seja se sn for uma sucessão divergente, diremos que un não é uma

sucessão somável ou que a série correspondente é divergente. A este respeito pode-se facil-mente estabelecer que:

Se un9 0 então

P1

n=1 un é uma série divergente.

Isto é, apenas os in…nitésimos poderão ser sucessões somáveis. Por vezes é conveniente considerar também séries do tipo

1

X

n=p

un

em que p é um inteiro qualquer. As de…nições e considerações feitas estendem-se facilmente a tais casos.

A partir da respectiva sucessão das somas parciais, nem sempre é simples avaliar se uma dada série é convergente e determinar a sua soma. Dentre as séries cuja soma é calculável de modo elementar, consta a chamada série geométrica de razão r; isto é a série

1

X

n=0

rn (r 2 R):

A sucessão das somas parciais associada a esta série é dada explicitamente por

sn = n X k=0 rk= 1 r n+1 1 r :

Por outro lado, atendendo a que a sucessão rn+1

é uma sucessão convergente se e só se jrj < 1; e nestas circunstâncias o seu limite é zero temos que a série geométrica será convergente se e só se jrj < 1 e em tais circunstâncias teremos

1

X

n=0

rn = 1 1 r:

(20)

Facilmente se observa que com c 6= 0; a série 1 X n=1 (cun) ; é convergente se só se 1 X n=1 un

for uma série convergente, tendo-se em termos da soma que

1 X n=1 (cun) = c 1 X n=1 un:

Na verdade, para tirar tal conclusão, basta ter em conta que a sucessão das somas parciais da primeira série é:

cu1+ cu2+ ::: + cun = c (u1+ u2+ ::: + un) :

Esta observação leva-nos à obtenção da soma de uma série geométrica incompleta

1

X

n=p

rn (r 2 R; p 2 N): De facto, temos que

1 X n=p rn= 1 X n=p rprn p = rp 1 X n=p rn p;

sendo a última série uma série geométrica completa. Logo

1 X n=p rn = rp 1 X n=0 rn = rp 1 1 r:

Quando temos uma série

1

X

n=1

un

em que un = xn+ yn; a sua soma pode obter-se por soma das duas séries

1 X n=1 xn e 1 X n=1 yn;

desde que estas sejam ambas convergentes. Daí que se obtenha em tais circunstâncias

1 X n=1 un = 1 X n=1 xn+ 1 X n=1 yn:

(21)

Um outro tipo de séries em que a partir da respectiva sucessão das somas parciais, se pode facilmente avaliar a sua convergência, e em tal circunstância calcular a respectiva soma, é-nos dado pelas chamadas séries de Mengoli. Tratam-se de séries

1

X

n=1

un

em que a sucessão un; para cada n 2 N; é da forma (ou pode ser decomposta na forma)

un = an an+p

onde p é um dado número natural. Assim, a série inicial é transformada na série

1

X

n=1

(an an+p) ;

cuja sucessão das somas parciais, para n p; é dada por

sn = a1+ ::: + ap an+1 ::: an+p:

Deste modo, uma série de Mengoli será convergente se e só se for convergente a sucessão

zn= an+1+ ::: + an+p;

sendo então a soma da série dada por

1

X

n=1

(an an+p) = a1+ ::: + ap lim zn:

Em particular, quando an ! a (a 2 R) podemos concluir que a série é convergente e que a

sua soma é dada por

1

X

n=1

(an an+p) = a1+ ::: + ap pa:

5.1

Exercícios

Exercício 37 Seja vn a sucessão de…nida por:

v1 = 1; vn+1 =

vn

3 + 1: a) Por indução, mostre que

vn = 1 3n 1 + :: + 1 3 + 1; totalmente. b) Calcule lim vn:

(22)

Exercício 38 Calcule as somas das seguintes séries: a) 1 X n=1 1 5n: b) 1 X n=0 1 35n+1: c) 1 X n=1 1 2n 2 + 3 2n :

Exercício 39 Q1; Q2; Q3; :::; Qn; ::: é uma sucessão de quadrados construída do seguinte

modo: Q1 é um quadrado de lado 1; Q2 é o quadrado cujos vértices são os pontos

mé-dios dos lados de Q1; Q3 é o quadrado que tem por vértices os pontos médios dos lados de

Q2; etc. Na …gura abaixo estão esboçados três quadrados consecutivos desta sucessão.

a) Designando por A (Qn) a área de Qn; mostre por indução que

A (Qn) = 1=2n 1:

b) Calcule P1n=1A (Qn) :

Exercício 40 Rn é uma sucessão de rectângulos de base 1 e altura

1 n2+ 2n;

e Pn uma sucessão de rectângulos de base 1 e altura

1 n 1 n + 2: a) Mostre que A (Rn) = 1 2A (Pn) : b) Calcule P1n=1A (Rn) :

Exercício 41 Rn é uma sucessão de rectângulos de base 1= (2n 1) e altura 1= (2n + 5) ;

enquanto Pn é uma sucessão de rectângulos de base 1 e altura

1 2n 1 1 2n + 5: a) Mostre que A (Pn) = 6 A (Rn) : b) Calcule P1n=1A (Rn) :

(23)

6

Exercícios de revisão

Exercício 42 Através do princípio de indução …nita mostre a validade total da seguinte condição: 3 + 33 + ::: + 333:::33 | {z } nparcelas = 10 n+1 9n 10 27 :

Exercício 43 Considere as sucessões de termos gerais,

un = ( 1)n n2 ; vn= (1 + ( 1) n ) n e wn= 2n+1 2n+ 1; e indique:

a) As que são monótonas. b) As que são majoradas. c) As que são minoradas. d) As que são convergentes.

Exercício 44 Das sucessões de termos gerais a seguir indicadas, quais são as convergentes?

a)3n 3+ 3n2+ 1 2n3 3 : b) ( 1) n3n3+ 3n2+ 1 2n3 3 : c) 2n+ 4n 3n+1 : d) nn+1 nn+ 1: e) ( 1)n n n+1 nn+ 1: f) (sin n)n 3n 1 : g) cos(n! ): h) n cos(n ) 2n + 1 : i) n(2 + cos(n )) 1 + n(1 cos(n )):

Exercício 45 Caso existam, calcule os limites das seguintes sucessões:

a) q n +pn pn: b) p 1 (n + 1)n pn(n 1): c) n + 1 p n2+ 1: d) (n 2+ n)1=3 n + 2 : e) n + 4 8n + 2 1=3 : f) 4 + 5 n 2 + n 2n: g) n2 1 + 2n: h) 2 100n+3 550n n3 n + 6 4n 1 + 5n3: i) 2n+ 1 2n+1 1: j) 2n+1+ 3n 2n+ 3n+1: k) (n + 1)! n! n!(n + 2) : l) cos(n ) + cos(2n ) n :

Exercício 46 Seja un dada por:

u1 = 1; un+1 =

un

n + 1:

a) Por indução …nita, mostre que un = n!1:

(24)

Exercício 47 A sucessão xn encontra-se de…nida através de: x1 = 1 2; xn+1= 2xn 1 + xn : a) Mostre que: xn= 2n 2n+ 1:

b) xn é estritamente decrescente. Justi…que.

Exercício 48 Seja

xn=

an

21+2n:

Indique o conjunto dos valores de reais a para os quais xn é:

a) Convergente.

b) Divergente, mas limitada.

Exercício 49 Relativamente a cada uma das sucessões:

vn = an 1 an2+ 1; xn = an2 n n2+ 1 ; yn = 1 + an 1 + a2n; zn = an2+ n + 1 (a + 1)n2+ 3;

indique o conjunto dos valores reais de a para os quais cada uma delas é convergente.

Exercício 50 Seja anuma sucessão de números reais positivos tal que a 1=n

n ! a < 1. Mostre

que an ! 0:

Exercício 51 Calcule a soma das seguintes séries:

a) 1 X n=2 p n + 1 pn 1 p n2 1 : b) 1 X n=0 2 2n 2 3n : c) 1 X n=0 2 8n2 18: d) 1 X n=1 3 2 2 n :

7

Respostas

1) Por ex. 2; 7772. 2) Por ex. 2; 515151601001000100001::: . 3) Não. Sim, por ex. 0; 10100100010000::: .

4) a = 1000125 = 18; b = 13; c = 2790 = 103; d = 23518099900 = 117594995: 6) a) Por exemplo p2e p2: b) Por exemplo p2 ep2: c) Por exemplo p2e p2: d) Por exemplo p2 ep3: e) Por exemplo 2p2e p2:

(25)

f ) Por exemplo p6e p2: 7) a) Nenhuma raiz irracional.

b) 4. c)4. d) 2. 11) a) x = =5 ou 36o. 12) N R a) Impossível Possível ! f 1g b) Universal Universal c) Possível ! f2g Possível ! f 2g d) Impossível Impossível e) Universal Possível ! [0; +1[ f) Universal Universal g) Universal Possível ! [0; +1[ h) Universal Possível ! [0; +1[ 13) a) jxj < 4 ) jxj < 5: b) x 2 ] 1; 1[ , jxj < 1: c) x = 1 , x3 = 1: d) x = 2) x2 = 4: e) x > 3 ) jxj > 3: 14) a) 8x 2 R; x2 0;V. b) 8x 2 R; 9y 2 R : y = x + 2; V. c) 9x 2 Z : 3 < x < 4; V. d) 8x 2 [3; 5] ; x < 5; 001; V. e) 9x 2 N : x 2 [7; 1; 8; 001[ ; V. f ) 8x 2 Q; 8y 2 RnQ; x + y 2 RnQ; V. g) 8x; y 2 RnQ; x + y 2 RnQ; F. h) 8x 2 RnQ; 8y 2 QnZ; x:y 2 Q; F. i) 8x; y 2 QnZ; x + y =2 Z; F. j) 8x 2 Z; 8y 2 QnZ; x + y 2 Z; F. 15) a) V. b) V. c) F. d) V. e) F. f ) F. g)V. h) V. i) V. 16) ii) a) inf = min = 0; sup = 2; @ max :

b) inf = 3=2; @ min; sup = 1; @ max : c) @ inf; @ sup; @ min; @ max :

d) inf = 2; @ min; sup = 1; @ max : e) inf = 3; @ min; sup = 3; @ max : f ) inf = 4; @ min; sup = max = 6: g) inf = 2; @ min; @ sup; @ max : 17) a) inf = min = 5; sup = max = 1:

(26)

c) @ inf; @ min; @ sup; @ max :

d) inf = 3; @ min; sup = 3; @ max : e) inf = min = 4; sup = max = 6: f ) inf = min = sup = max = 1: g) @ inf; @ min; sup = max = 1: h) inf = min = 3; sup = max = 1: i) inf = 3; @ min; sup = 1; @ max : j) inf = min = p3; sup = max =p3:

k) inf = min = 1 p3; sup = max = 1 +p3: l) inf = 1 p3; @ min; sup = 1 +p3; @ max : m) inf = min = 1; sup = max = 3 + 2p3: n) @ inf; @ min; @ sup; @ max :

20) a) pn= n(n + 1):

23) a) Nenhuma das desigualdades é veri…cada para n = 1: b) n > 50; n > 106; n > 500:

24) Nenhuma das desigualdades é veri…cada para n = 1; n > 500; n > 4998: 25) a) n > 599: b) n > (3 ") =": c) xn! 2: 27) a) 0: b) 0: c) 1: d) 1: 28) a) 1=2: b) 1: c) 1=2: d) 3: 29) n > 309; n > 12: n > A3; n > (B1=5+ 5)=2: limp3n = lim (2n 5)5 = + 1: 30) a) (n2+ n + 1) = (n3 n 1)! 0: b) Faça " = 1: 31) c) cn ! 1: 32) a) 1: b) 2: 33) a) 3: b) 1: c) 1: 34) a) 1: b) 1=2: c) 3: 35) a) x1 = 54; x2 = 19461 e x3 = 19 +161 +251 +361 : b) 1=n2 xn (n + 1) =n2 e xn ! 0: 36) 1: 37) b) 3/2. 38) a) 1=4: b) 34= (35 1) : c) 7: 39) b) 2. 40) b) 3/4.

(27)

41) b) 23/90.

43) a) wn (estritamente crescente). b) un e wn:

c) un; vn e wn: d) un! 0 e wn! 2: un e wn:

44) a) Convergente (para 3=2). b)Divergente (sem limite).

c)Divergente (tem limite +1). d) Divergente (com limite +1). e)Divergente (sem limite) f)Convergente (para 0):

g)Convergente (para 1). h)Divergente (sem limite). i)Divergente (sem limite)..

45) a) 1=2: b) 1: c) 1: d) 0; e) 1=2:

f) 2: g) 0: h) 1=5: i) 1=2: j) 1=3: k) 1: l) 0:

47) a) Use o método de indução. b) xn+1 xn= xn(1 xn) > 0:

48 a) 4 < a 4: b) a = 1:

49 vn e xn são convergentes para todos os valores de a:

yn e zn convergem se e só se a 6= 1:

50) Seja " > 0 tal que a+" < 1: Então a1=nn < a+";posteriormente. Sendo 0 < an< (a + ")n;

posteriormente, e (a + ")n! 0; concluímos que an ! 0:

Referências

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