ANÁLISE DO EFEITO DE UMA ZONA PERTURBADA EM REDOR DE FUROS DE PROSPECÇÃO SÍSMICA NO SEU COMPORTAMENTO DINÂMICO

Luís GODINHO Assistente DEC/FCTUC Coimbra António TADEU Professor Catedrático DEC/FCTUC Coimbra SUMÁRIO

No presente trabalho analisa-se o comportamento dinâmico de furos de prospecção sísmica, considerando a presença, na vizinhança imediata do furo de prospecção, de uma zona perturbada. São realizadas diversas simulações numéricas, considerando a existência de uma carga dilatacional no interior do furo de prospecção e calculando a resposta em receptores localizados no interior do mesmo furo para dois casos: no primeiro, a zona perturbada e o furo de prospecção são circulares e concêntricos, sendo possível o cálculo analítico da resposta; no segundo, a zona perturbada e o furo de prospecção são também circulares, mas não concêntricos, pelo que se recorre ao Método dos Elementos de Fronteira. Apresentam-se respostas nos domínios da frequência e do tempo, por forma a permitir uma melhor compreensão dos fenómenos envolvidos.

1. INTRODUÇÃO

A interpretação dos fenómenos envolvidos na prospecção com recurso a técnicas de “acoustic

logging”, “vertical profiling” ou de “cross-hole surveying” tem interessado diversos

investigadores. A maior parte dos trabalhos publicados lida com o caso de furos de prospecção perfeitamente circulares. No entanto, encontram-se documentados em algumas publicações estudos sobre a propagação de ondas em furos não circulares.

Bouchon e Schimtt [1] usaram um modelo baseado na equação integral de fronteira para analisar furos de prospecção circulares com variação de secção ao longo do seu eixo. Randall [2] usou um modelo semelhante para proceder ao cálculo de curvas de dispersão de ondas guiadas que se propagam em furos de prospecção não circulares preenchidos por um fluido, apresentando curvas de dispersão calculadas para furos com diversas secções localizados em formações com diferentes propriedades.

Alguns autores estudaram também o caso de furos de prospecção em redor dos quais ocorre a alteração das propriedades da formação original. Destacam-se os trabalhos publicados por Baker [3] e Baker e Winbow [4], nos quais se usam soluções analíticas que permitem simular situações em que a zona alterada e o furo são circulares e concêntricos, e o de Renlie [5], que estudou o efeito de uma camada fina, onde as ondas se propagam com velocidades reduzidas e que envolve o furo de prospecção, na propagação dos diferentes tipos de ondas no seu interior. Modelos de Elementos de Fronteira, foram usados por Tadeu et al [6] para simular a técnica de “cross-hole surveying” em presença de furos de prospecção com secções circulares e ovais. Mais tarde, Godinho e Tadeu [7] usaram um modelo similar para analisar o comportamento de furos de prospecção circulares, sujeitos à acção de fontes unipolares e bipolares, considerando uma pequena deformação no seu contorno. Nesses trabalhos, ao problema tridimensional inicial é aplicada uma transformada espacial de Fourier segundo uma direcção, segundo a qual a geometria do sistema não varia (z). Aplicando, então, uma transformada inversa de Fourier, e considerando um conjunto infinito de fontes periodicamente espaçadas segundo o eixo z, a solução tridimensional pode ser expressa por um somatório discreto de soluções bidimensionais mais simples, cada uma delas calculada para um valor distinto do número de onda segundo z. No presente trabalho, esta formulação é usada em conjunto com soluções analíticas e modelos numéricos formulados no domínio da frequência para analisar o comportamento de furos de prospecção em redor dos quais existe uma zona alterada como consequência da sua execução. São analisados os casos de zonas alteradas circulares concêntricas com o furo, cuja análise se pode fazer usando soluções analíticas, e de zonas alteradas circulares não concêntricas, estudando-se essa configuração através de um modelo de Elementos de Fronteira.

O presente artigo encontra-se organizado da seguinte forma: apresenta-se, em primeiro lugar, a formulação do problema tridimensional; segue-se uma breve descrição das soluções analíticas usadas, e da formulação do Método dos Elementos de Fronteira; indica-se, depois, o processo de cálculo usado para a obtenção das respostas no domínio do tempo; por fim, os modelos definidos são aplicados para realizar um conjunto de simulações numéricas relativas aos casos anteriormente descritos.

2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA

Considere-se um furo de prospecção com geometria constante segundo o seu eixo, localizado numa formação sólida e preenchido por um fluido. O campo incidente gerado por uma fonte pontual localizada no fluido que o preenche, em ( , ,0)x y0 0 , é dado por

(

)

2 2 -i 2 2 Ae , , , f r z inc p x y z r z ω α ω + = + , (1)

onde A é a amplitude, α é a velocidade de propagação das ondas de pressão, ω é a f

frequência de excitação, 2 2

0 0

( ) ( )

r= x x− + y y− e i= − . Aplicando a esta equação uma 1 transformada de Fourier segundo a direcção na qual a geometria não varia (z), e definindo os números de onda efectivos como 2_/ 2 2

f z

kα = ω α −k , onde k é o número de onda axial z

segundo z, o campo incidente pode, para cada valor de k , ser expresso por _z

(

)

0 -iA ˆ , , , H ( ) 2 inc z p ω x y k = k rα , (2)

sendo H (...) a função de Hankel de ordem 0 e do segundo tipo. 0

Se considerarmos um número infinito de fontes dispostas ao longo da direcção z , igualmente espaçadas de L, permitindo que o número de onda axial seja definido por k_zm=2πm L/ , o campo tridimensional de pressões pode agora ser escrito na forma de um somatório de soluções bidimensionais (Bouchon e Aki [8]),

(

_{, , ,}

)

2 _ˆ

(

_{, , ,}

)

_e ik zzm inc inc zm m p x y z p x y k L π ω ∞ ω − =−∞ =

∑

. (3)

Este somatório converge e pode ser aproximado por um número finito de termos

(

m= −M M,

)

. A mesma metodologia indicada para o tratamento do campo incidente, pode também ser usada para definir o campo tridimensional total de ondas gerado na presença de furos com diferentes configurações. Para tal, a resposta do sistema deve ser calculada individualmente para cada valor do parâmetro k , obtendo-se, posteriormente, o campo zm

tridimensional através de um somatório discreto, de acordo com o indicado na equação (3). Quando a configuração analisada apenas apresenta fronteiras circulares e concêntricas, a determinação de cada solução bidimensional pode ser realizada analiticamente, através de um processo de cálculo em tudo idêntico ao usado por Godinho et al [9] na análise do comportamento de aneis circulares submersos num meio fluido. Esse processo parte da definição de um potencial dilatacional e dois potenciais de corte em cada fronteira de um meio elástico, e de um potencial dilatacional em cada fronteira de um meio fluido, sendo que todos eles devem ser expressos como somatórios de ondas centradas no centro do furo. Para o caso de um furo de prospecção com uma zona alterada circular e concêntrica com o próprio furo, esses potenciais são:

Na fronteira exterior, para a formação envolvente:

( )1 1 1 0 H ( ) cos( ) s sca n n n A k rα n φ ∞ θ = =

∑

( )2 1 1 0 H ( )sin( ) s sca n n n A k rβ n ψ ∞ θ = =

∑

( )3 1 1 0 H ( ) cos( ) s sca n n n A k rβ n χ ∞ θ = =

∑

; (4)

Na fronteira exterior, para a zona alterada:

( )4 2 _ 2 0 J ( ) cos( ) s ext sca n n n A k rα n φ ∞ θ = =

∑

( )5 2 _ 2 0 J ( )sin( ) s ext sca n n n A k rβ n ψ ∞ θ = =

∑

( )6 2 _ 2 0 J ( ) cos( ) s ext sca n n n A k rβ n χ ∞ θ = =

∑

; (5)

Na fronteira interior, para a zona alterada:

( )7 2 _ 0 H ( ) cos( ) s in sca n n n A k rα n φ ∞ θ = =

∑

( )8 2 _ 2 0 H ( )sin( ) s in sca n n n A k rβ n ψ ∞ θ = =

∑

( )9 2 _ 2 0 H ( ) cos( ) s in sca n n n A k rβ n χ ∞ θ = =

∑

; (6)

Na fronteira interior, para o fluido:

( ) 2 10 2 0 J ( ) cos( ) f f sca n n f n f A k rα n α φ θ ω λ ∞ =   = −_ _  

∑

. (7) Nestas equações,

(

2 2

)

( )

2 1 1 z kα = ω α − k , com Im

( )

kα1 ≤0,

(

)

( )

2 2 2 2 2 z kα = ω α − k , com

( )

2 Im kα ≤0,

(

)

( )

2 2 2 1 1 z kβ = ω β − k , com Im

( )

kβ1 ≤ , 0

(

)

( )

2 2 2 2 2 z kβ = ω β − k , com

( )

2

Im k_β ≤ ; 0 α e ₁ α são as velocidades das ondas P na formação original e na zona alterada, ₂ respectivamente, e β e 1 β são as velocidades das ondas S na formação original e na zona 2 alterada, respectivamente; λ é a constante de Lamé do fluido;f An(1...10) são coeficientes de

amplitude de cada potencial. Derivando adequadamente estes potenciais, e impondo as condições de fronteira de continuidade de tensões e deslocamentos na fronteira exterior, e de continuidade de tensões e deslocamentos normais e tensões tangenciais nulas na fronteira interior, é possível estabelecer um sistema de 10 equações que permite calcular os coeficientes de amplitude de cada potencial.

No caso de as fronteiras consideradas serem irregulares, ou de as circunferências que as definem não serem concêntricas, a utilização das soluções analíticas descritas deixa de ser possível. Para esse caso, recorre-se ao Método dos Elementos de Fronteira, efectuando a discretização de todas as superfícies envolvidas através de elementos rectilíneos. Considerando que a fronteira exterior (sólido/sólido) é discretizada em N1 elementos, e a interior (sólido/fluido) em N2 elementos, a formulação do método pode escrever-se como

3 1 * 1 1 3 1 * 1 1 t u ( , ) u t ( , ) u ( ) , para =1,2,3 n n N n j ij P n n j n S N n j ij P n n i P j n S x x dS x x dS C x i = = = = = = +

∑∑ ∫

∑∑ ∫

(8) 3 1 1 2 * * 1 1 1 1 1 1 3 1 2 * 1 1 t u ( , ) t u ( , ) u t ( , ) u ( ) , para =1,2,3 n n n N N N n n j ij P n n i P n n j n S n N S N N n j ij P n n i P j n S x x dS x x dS x x dS C x i + = = = + + = = + = = +

∑∑

∫

∑

∫

∑ ∑ ∫

(9) 1 2 2 * 1 0 1 1 1 2 * 1 1 u p ( , ) p ( , ) p g ( , ) p( ) , n n N N n f f P n n inc P n N S N N n P n P n N S x x dS x x x x dS C x ρ ω + = + + = + − + = = +

∑

∫

∑ ∫

(10)

onde ρ é a densidade do meio fluido que preenche o furo, C é uma constante que, tratando-se _f de uma fronteira suave, assume o valor de ½ , e i e j representam uma das direcções normal (1), tangencial (2) ou z (3); tn

j e unj são, respectivamente, a tensão e o deslocamento segundo j

registados nos meios sólidos, no ponto nodal do elemento n; pn _e

1

un

f são, respectivamente, a

pressão e o deslocamento normal registados no meio fluido, no ponto nodal do elemento n; u ( )_i x_P é o deslocamento segundo i registado no ponto x de aplicação do carregamento _P

virtual; p( )x é a pressão registada no ponto _P x do meio fluido; _{P t ( , )}*

ij x xP n e

*

u ( , )_ij x x_{P n} são, respectivamente, as tensões e os deslocamentos gerados em x por aplicação da carga virtual _n

unitária em x (Tadeu e Kausel [10]); _{P p ( , )}*

P n

x x e _{g ( , )}*

P n

x x são, respectivamente, a pressão

e o gradiente de pressões segundo a normal ao elemento n, gerados em x por aplicação de _n

uma carga virtual unitária em x . Nestas equações, as integrações necessárias são realizadas _P

analiticamente quando o elemento carregado coincide com o elemento a integrar, ou através da quadratura de Gauss se estes não coincidem. A resolução do sistema de 6N1+4N2 equações, formado aplicando sucessivamente os carregamentos virtuais em cada nó das fronteiras, conduz à obtenção das tensões e deslocamentos nodais em cada elemento. Partindo dos seus valores, torna-se possível o cálculo dessas grandezas em qualquer ponto do meio de propagação.

3. CÁLCULO DE RESPOSTAS NO DOMÍNIO DO TEMPO

Depois de calculadas as respostas no domínio da frequência, as pressões no domínio do tempo são calculadas por aplicação de uma transformada inversa de Fourier em ω . Para este efeito, admite-se que a fonte de pressão tem uma variação temporal correspondente a um pulso de Ricker.

Esta técnica permite a análise de uma janela de tempo definida por T =2π ω∆ , onde ∆ é o ω incremento de frequência. Os pulsos que apresentam tempos de chegada posteriores a T apareceriam de novo no início da janela do tempo, gerando um efeito geralmente designado por “aliasing”. Para evitar este fenómeno, utilizam-se frequências complexas com a forma

c i

ω = − (com ω η η=0.7∆ω). No domínio do tempo, o uso destas frequências deve ser tido em conta multiplicando a resposta por uma função exponencial eηt _{(Kausel e Roesset [11]).} 4. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Nas simulações apresentadas será considerada uma formação com uma massa volúmica de 3

2140 kg / m

ρ = , e permitindo a propagação de ondas P e S com velocidades de 4208m / s

α = e β =2656 m / s, respectivamente (Ellefsen [12]). Nesta formação, considera-se a existência de um furo de prospecção com um raio de 0.1016 m, preenchido com água

( _{1000 kg / m}3

f

ρ = e α =f 1500 m / s). Em redor deste furo, supõe-se a presença de uma zona alterada, delimitada exteriormente por uma circunferência de raio 0.2032 m, onde as velocidades de propagação das ondas P e S são inferiores em 25% às consideradas para a formação original (α =alt 3156 m/s e β =alt 1992 m/s). Consideram-se dois casos distintos: no

primeiro, a circunferência que define o limite exterior da zona alterada é concêntrica com a que define o contorno do furo de prospecção (Figura 1b); no segundo considera-se que os centros de ambas se encontram distanciados de 0.033 m (Figura 1c). Simula-se também, como referência para comparação de resultados, o caso em que não existe qualquer alteração de propriedades em redor do furo (Figura 1a). Nos casos em que a configuração geométrica é definida através de circunferências concêntricas, as respostas são calculadas recorrendo às soluções analíticas indicadas. Quando tal não acontece, recorre-se ao Método dos Elementos de Fronteira, efectuando a discretização de cada uma das fronteiras que definem a configuração do sistema com um mínimo de 80 elementos, e garantindo que a relação entre o comprimento de onda das ondas incidentes e o comprimento de cada elemento é, no mínimo, de 12.

Todos os cálculos são realizados no domínio da frequência, na gama dos 80 Hz aos

10240 Hz, com um incremento de 80 Hz. Calculam-se, depois, respostas no tempo, num

grupo de cinco receptores dispostos ao longo do eixo z e igualmente espaçados de 2.5 m, considerando que a fonte emite um pulso de Ricker com uma frequência central de 3.5 kHz. Para o incremento de frequência especificado, o tempo máximo de análise é de

1 80 12.5 ms

T = = . O espaçamento entre as fontes virtuais dispostas ao longo de z, referidas no ponto anterior, é de L=2Tα=105.2 m.

As respostas registadas nos receptores R, no interior de um furo de prospecção sem qualquer zona alterada envolvente, e devido à actuação da fonte posicionada em O, apresentam-se na Figura 2. As respostas no domínio da frequência vs. velocidade de fase permitem identificar a contribuição de diferentes modos próprios. Em particular, e de acordo com as curvas de dispersão calculadas por Ellefsen [12], observa-se a presença de modos axissimétricos correspondentes às ondas de Stoneley e Pseudo-Rayleigh, bem como de um modo não-axissimétrico, correspondente a ondas “Screw”. Não é visível a contribuição do modo de flexão, já que o receptor em análise se posiciona sobre a linha nodal desse modo, sobre a qual a

resposta correspondente é nula. No domínio do tempo, regista-se a chegada do um pulso “Stoneley”, viajando no sistema com velocidades inferiores a 1500 m/s. É ainda visível a presença de ondas “Screw”, que podem ser identificadas como uma sequência de pulsos cuja chegada aos receptores se começa a registar logo após a chegada da onda S, e que se prolonga no tempo em resultado das diferentes velocidades de propagação que estas ondas exibem para diferentes frequências.

a)

b) c)

Figura 1: Representação esquemática da geometria do problema: a) furo de prospecção circular; b) furo de prospecção circular com zona envolvente alterada concêntrica com o furo;

c) furo de prospecção circular com zona envolvente alterada não concêntrica com o furo. Quando em redor do furo de prospecção se considera a presença de uma zona alterada, concêntrica com o próprio furo, as respostas obtidas no domínio frequência vs. velocidade de fase sofrem alterações bastante marcadas, em particular no que respeita aos modos próprios excitados e às suas curvas de dispersão (Figura 3). Não se dispondo de curvas de dispersão de referência, que permitam uma clara identificação dos diferentes modos, procedeu-se ao cálculo das pressões registadas sobre uma grelha de receptores dispostos no interior do furo de prospecção, para valores específicos da frequência e da velocidade de fase. Estas formas modais representam-se na Figura 4, e permitem identificar a presença de ondas de Stoneley (modo [(0,0)]), Pseudo-Rayleigh (modo [(0,1)]) e “Screw” (modo [(2,0)]). Adicionalmente, verifica-se, na gama de frequências analisada, a contribuição de modos de ordens mais elevadas, nomeadamente os modos [(4,0)] e [(2,1)], modos esses que não eram visíveis nas respostas da Figura 2. Verifica-se ainda uma diminuição muito acentuada da contribuição do modo Pseudo-Rayleigh, que apresenta agora amplitudes muito reduzidas. As respostas no tempo não exibem, aparentemente, grandes alterações, registando-se novamente a chegada do pulso Stoneley, e de uma sequência de pulsos de menor amplitude relacionados com as restantes ondas guiadas.

a) 0.0 0.25 0 5 10 z=12.5m z=10.0m z=7.5m z=5.0m z=2.5m P S Stoneley Ondas guiadas Tempo (ms) A m plitude (Pa) b)

Figura 2: Resultados obtidos no receptor R quando se considera um furo circular e uma formação não alterada: a) resposta no domínio frequência-velocidade de fase; b) resposta no

domínio do tempo. a) 0.0 0.25 0 5 10 z=12.5m z=10.0m z=7.5m z=5.0m z=2.5m P S Stoneley Ondas Guiadas Tempo (ms) Am pli tude (Pa) b)

Figura 3: Resultados obtidos no receptor R quando se considera um furo circular e uma zona alterada concêntrica com o furo: a) resposta no domínio frequência-velocidade de fase; b)

resposta no domínio do tempo.

No caso em que a zona alterada não é concêntrica com o furo de prospecção, as respostas calculadas registam a presença de um número de modos mais elevado (Figura 5). A sua identificação foi, uma vez mais, possível através do cálculo da pressão sobre uma grelha de receptores disposta no fluido que preenche o furo (resultados não ilustrados). Passa, neste caso, a registar-se a contribuição de modos adicionais, nomeadamente os modos ([1,0]) (modo de flexão), ([1,1]) e ([3,0]). Nos casos anteriores, esses modos não eram visíveis, já que o receptor se encontrava sobre as suas linhas nodais. No entanto, pelo facto de as duas circunferências que definem a geometria do sistema não serem, para a presente situação, concêntricas, estas linhas nodais sofrem alterações, não passando agora pela posição do receptor R. Ainda assim, o facto de a amplitude das respostas associadas a estes modos não ser muito elevada, dá a indicação de que o receptor se encontra próximo das novas linhas nodais.

a) b) c)

d) e)

Figura 4: Forma modal calculada para os diferentes modos próprios excitados quando se considera uma zona alterada concêntrica com o furo: a) modo [(0,0)]; b) modo [(0,1)]; c) modo

[(2,0)]; d) modo [(2,1)]; modo [(4,0)]. a) 0.0 0.25 0 5 10 z=12.5m z=10.0m z=7.5m z=5.0m z=2.5m P S Stoneley Ondas Guiadas Tempo (ms) Am pli tude (Pa) b)

Figura 5: Resultados obtidos no receptor R quando se considera um furo circular e uma zona alterada não concêntrica com o furo: a) resposta no domínio frequência-velocidade de fase; b)

resposta no domínio do tempo.

5. CONCLUSÕES

Neste trabalho, analisou-se o comportamento de furos de prospecção sísmica quando, em seu redor, ocorre a perturbação do terreno original. Analisaram-se os casos de zonas alteradas definidas por duas circunferências concêntricas e por duas circunferências não concêntricas, comparando-os com o caso de um furo de prospecção sem qualquer alteração do terreno

envolvente. Os resultados obtidos para os diferentes cenários analisados permitiram identificar marcadas diferenças de comportamento. Para a actuação de uma fonte desviada do centro, foi possível observar, nos vários sistemas analisados, a excitação de modos axissimétricos e não axissimétricos de diferentes ordens. No entanto, verifica-se que, para a mesma gama de frequências, o número de modos próprios do sistema excitados é bastante superior quando se considera a presença de uma zona envolvente com velocidades de propagação das ondas P e S inferiores às da formação original. Para o caso em que a zona alterada não era concêntrica com o furo de prospecção, foi ainda possível registar, no mesmo receptor, a contribuição de um número superior de modos próprios. Para essa situação, ocorre uma alteração de configuração dos diferentes modos, levando a que as suas linhas nodais não se localizem na mesma posição e que, por isso, a sua contribuição passe a ser registada.

6. REFERÊNCIAS

[1] Bouchon, M.; Schmitt, D. P. – “Full wave acoustic logging in an irregular borehole”,

Geophysics, 1989, Vol. 54, p. 758-765.

[2] Randall, C. T. – “Multipole acoustic waveforms in nonaxisymmetric boreholes and formations”, Journal of the Acoustical Society of America, 1991, Vol. 90, p. 1620-1631. [3] Baker, L. J. – The effect of the invaded zone on full wavetrain acoustic logging.

Geophysics, 1984, Vol. 49, p. 796-809.

[4] Baker, L. J.; Winbow, G. A. – “Multipole P-wave logging in formations altered by drilling”, Geophysics, 1984, Vol. 53, p. 1207-1218.

[5] Renlie, L. – Effect of a soft layer on the normal-modes in a fluid-filled borehole. Journal of

the Acoustical Society of America, 1993, Vol. 94(5), p. 2963-2968.

[6] Tadeu, A.; Godinho, L.; Santos, P. – “Wave motion between two fluid-filled boreholes in an elastic medium”, Engineering Analysis with Boundary Elements, 2002, Vol. 26, p. 101-117.

[7] Godinho, L.; Tadeu, A. – “The effect of a small wall deformation in the 3D acoustic logging results”, Geophysical Journal International, 2002, Vol. 151, p. 403-415.

[8] Bouchon, M.; Aki, K. – “Discrete wave-number representation of seismic-source wave field”, Bulletin of the Seismological Society of America, 1977, Vol. 67, p. 259-277.

[9] Godinho, L., Tadeu, A., Branco, F. – “Dynamic analysis of submerged fluid-filled pipelines subjected to a point pressure load”, aceite para publicação no Journal of Sound and

Vibration, 2003.

[10] Tadeu, A.; Kausel, E. – “Green’s functions for two-and-a-half dimensional elastodynamic problems”, Journal of Engineering Mechanics - ASCE, 2000, Vol. 126(10), p. 1093-1097. [11] Kausel, E.; Roesset, J. M. – “Frequency domain analysis of undamped systems”, Journal of

Engineering Mechanics ASCE, 1992, Vol. 118(4), p. 721-734.

[12] Ellefsen, K.J. – “Elastic wave propagation along a borehole in an anisotropic medium”, Ph.D. thesis, MIT, Cambridge, MA, USA, 1990.