Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)

(1)

• Integrar equações de camada limite na direcção normal à parede

(

h >

δ

)

Equação Integral de von Kármán

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Equação da continuidade

∫

∂ ∂ − = =       ∂ ∂ + ∂ ∂ h h dy x u v dy y v x u 0 0 0 Aerodinâmica

• Escoamento exterior (fluido perfeito)

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

dx dU U dx dp const U p e e e − = = +

ρ

1 . 2 1 2

(2)

• Equação de balanço/transporte de quantidade de movimento na direcção x

∫

_ =

∫

_∂∂      + ∂ ∂ + ∂ ∂ h h dy y u dy dx dp y u v x u u 0 0 2 2 1

ν

ρ

Aerodinâmica ∂ = ∂

∫

h

ν

u dy h

τ

dy 2 1 ― Termo difusivo

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

→ − =       = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

∫

w w h h h h dy y dy y dy y u

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

ν

0 0 0 0 2 1 1

Tensão de corte na parede Para h>δ, τ≃0

(3)

∫

_ = −      − ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ h w e e y dy dx dU U y u dy x u x u u 0 0

ρ

(2)

τ

[

]

_∫

∫

∫ ∫

− =       ∂ ∂       ∂ ∂ h h h h y dy y g y f y g y f dy y g y f dy y u dy x u 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) (

― Integração por partes do termo

Aerodinâmica

∫

    ∂ = ∂ ∂ = h u dy x u y f 0 ) (

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

      ∂ ∂ − ∂ ∂ =       ∂ ∂       ∂ ∂       ∂ ∂ −             ∂ ∂ =       ∂ ∂       ∂ ∂    ∂ ∂ = h h e h y h h y h y dy x u u dy x u U dy y u dy x u dy u x u u dy x u dy y u dy x u y u y g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( '

(4)

∂ ∂ 2

― Utilizando a igualdade

∫

_ =      ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ h w e e e dy x u dx dU U x u U x u u x u 0 2 2 ) 3 ( 2

ρ

τ

e substituindo em (2) Aerodinâmica

(

)

(

)

+ ∂ ∂ = ∂ ∂ _e e e dx dU u x u U x uU

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

(

)

(

)

(

)

∫

=       − + − ∂ ∂ =       ∂ ∂ − + − ∂ ∂ h w e e e h w e e e e dy u U dx dU u uU x dy x u dx dU U dx dU u x uU 0 2 0 2

ρ

τ

ρ

τ

(5)

• O limite de integração h não depende de x pelo que as derivadas em ordem a x podem permutar com a integração em y

(

)

(

)

∫

=       − +             − = − +     ₋ h w e e e h e e e h w e e h e dy U u U dx dU dy U u U u U dx d dy u U dx dU dy u U u dx d 0 0 2 0 0 1 1

ρ

τ

ρ

τ

integração em y

• Adimensionalizando a variável u com U_e

Aerodinâmica Espessura de deslocamento, δ* (Displacement thickness)

∫

    − = h u dy * 1

δ

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

Parâmetros Integrais

• Para h≥δ, u/U_e≃1, pelo que

∫

    − = e dy U u 0 * 1

δ

∫

      − ≅ δ

δ

0 * 1 dy U u e

(6)

Espessura de deslocamento,

δ

*

(Displacement thickness)

• Caudal na secção

δ

×1 em condições de fluido perfeito

δ

×1 em condições de fluido perfeito

δ

×1 em condições de fluido real (viscoso)

∫

=

ρ

δ 0 U dy Q_ideal _e

∫

=

ρ

δ 0 udy Q_real Aerodinâmica Espessura de deslocamento,

δ

* (Displacement thickness)

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

• A espessura de deslocamento está relacionada com o deficit de caudal devido à presença da camada limite

∫

− = − =

ρ

δ

ρ

δ

ρ

0 0 * udy dy U Q Q U_e _ideal _real _e

(7)

Espessura de deslocamento,

δ

*

(Displacement thickness)

•

δ

∗ _{equivale à distância que as linhas de corrente do}

escoamento exterior (fluido perfeito) são deslocadas, devido ao efeito da camada limite.

∫

      − ≅ δ

δ

0 * 1 dy U u e Aerodinâmica • Definindo obtem-se Espessura de deslocamento,

δ

* (Displacement thickness)

δ

η

= y

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

• Definindo obtem-se

exclusivamente função do perfil adimensional de velocidade

δ

η

=

∫

      − = 1 0 * 1

η

δ

d U u e       =

δ

y f U u e

(8)

∫

    − = h u 1 u dy

θ

Espessura de quantidade de movimento,

θ

(Momentum thickness)

• Para h≥

δ

, u/U_e≃1, pelo que

∫

    − = e e dy U u U u 0 1

θ

∫

      − ≅ δ

θ

0 1 _U dy u U u e e Aerodinâmica

• Caudal de quantidade de movimento na secção

δ

×1

θ

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

δ

×1

em condições de fluido perfeito (massa real)

δ

×1

em condições de fluido real

∫

= =

ρ

δ 0 uU dy U Q M_ideal _real _e _e

∫

=

ρ

δ 0 2 dy u M_real

(9)

• A espessura de quantidade de movimento está

θ

• A espessura de quantidade de movimento está relacionada com o deficit de quantidade de movimento devido à presença da camada limite.

θ

tem de ser calculado para o caudal real que

atravessa a secção

δ

_{×1, tendo em consideração}

o valor de

δ

*

∫

− = − =

ρ

δ

ρ

δ

θ

ρ

0 2 0 2 dy u dy uU M M U_e _ideal _real _e Aerodinâmica

θ

 

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

• Sendo

θ

um deficit de quantidade de movimento

a sua variação tem de estar relacionada com as forças aplicadas

∫

      − ≅ δ

θ

0 1 _U dy u U u e e

(10)

• Definindo obtem-se

δ

η

= y

θ

(Momentum thickness) Parâmetros Integrais

exclusivamente função do perfil adimensional de velocidade

δ

      =

δ

y f U u e

∫

      − = 1 0 1

η

δ

θ

d U u U u e e Aerodinâmica Factor de Forma, H (Shape Factor)

δ

* * _{ y}_ u

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

• H quantifica a forma do perfil de velocidade. Como

a função integranda da definição de

θ

é sempre

inferior à de

δ

*_{, H≥1, sendo 1 no caso limite de}

um perfil uniforme.

δ

θ

δ

θ

δ

* = = H depende apenas de       =

δ

y f U u e

(11)

Factor de Forma, (Shape Factor)

θ

δ

* = H Parâmetros Integrais

• Coeficiente de tensão de corte superficial, C_f

2 2 1 e w f U C

ρ

τ

= Aerodinâmica

• Substituindo os parâmetros integrais de camada limite obtem-se

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

(

)

2 2 * 2 f e e w e e e C dx dU U H dx d dx dU U U dx d = + + = +

θ

ρ

τ

δ

θ

(12)

(

x y

)

F u

= ,

• Caso geral

Escoamentos semelhantes em regime laminar

(

)

( )

[ ]

(

)

( ) ( )

η

ν

δ

η

F x U y x u U x y F U u y x F U e e e e = = = = = , ,

• Escoamento em condições de semelhança

O

com _e

Aerodinâmica

• Nestas condições, factor de forma H é constante

Aproximações de Camada Limite (

Boundary-Layer

)

[ ]

δ

θ

δ

θ

δ

* * = = H

O

(13)

• Velocidade exterior obedece a uma equação do tipo

• Solução do escoamento de fluido perfeito em torno m

e Cx

U =

• Solução do escoamento de fluido perfeito em torno

de uma cunha de abertura

πβ

β

− = + = 2 1 2 m m m Aerodinâmica

• m=0→ Escoamento em gradiente de pressão nulo m

e Cx

U =

Aproximações de Camada Limite (

Boundary-Layer

)

• m=0→ Escoamento em gradiente de pressão nulo • m=1→ Escoamento de ponto de estagnação

• m=-0.0904→ Perfil de velocidade com

τ

_w=0

β

− = + = 2 1 2 m m m

(14)

Soluções de camada limite semelhantes em regime laminar

Aerodinâmica

Aproximações de Camada Limite (

Boundary-Layer

)

Equação Integral de von Kármán • Gradiente de pressão nulo

2 f C dx d =

θ

• Perfil adimensional de velocidade é suficiente para obter a solução

      =

δ

y f U u e 2 dx =

(15)

Equação Integral de von Kármán • 2 incógnitas,

θ

e C_f, para 1 equação

1 1 d u u _ _ − =

∫

η

θ

2 f C dx d =

θ

. 2 2 1 0 0 1 0 constant y U u U dx d y U u U C d U u U u y e e y e e f e e =       ∂ ∂       =       ∂ ∂ =       − = = =

∫

δ δ

δ

ν

θ

δ

ν

η

δ

θ

Aerodinâmica 0 . 2 = =       ∂ ∂       = δ

δ

ν

θ

δ

y e e constant y U u U dx d

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

0 2 0 0 0 2 2 2 = =       ∂ ∂       =       ∂ ∂       =

∫

δ δ δ

δ

ν

θ

δ

ν

θ

δ

y e e x y e e y U u U x dx y U u U d

(16)

0 2 4 =       ∂ ∂       = y e e y U u U x δ

δ

ν

θ

δ

5 . 0 0 0 2 4 4 − = =       ∂ ∂       =             ∂ ∂       =       x e y e y e e R y U u x y U u x U x δ δ

δ

θ

δ

ν

θ

δ

Aerodinâmica

Aproximações de Camada Limite

(Boundary-Layer)

• Parâmetros de camada limite

( )

(

u

)

d u

(

u

)

d y U u u f u e 1 1 * 1 , 1 ,

η

δ

θ

η

δ

η

∫

− = − = = = = com

(

)

(

)

L U dx C U C L U R x U R H d u u d u e L w D e w f e e e ex L 2 0 2 * 0 0 * 2 1 , 2 1 , , 1 , 1

ρ

τ

ρ

τ

ν

θ

δ

η

δ

θ

η

δ

∫

= = = = = − = − =

(17)

Gradiente de pressão nulo • Soluções aproximadas e exacta

3,464 1,732 0,578 3,00 0,578 1,16

( )

η

f

η

x e R x δ x Re_x * δ θ x Re_x H Cf Rex CD Rex

3,464 1,732 0,578 3,00 0,578 1,16 4,64 1,74 0,646 2,70 0,646 1,29 5,84 1,752 0,687 2,55 0,687 1,37 4,791 1,741 0,655 2,66 0,655 1,31 ―(5) 1,721 0,664 2,59 0,664 1,33 3 2 1 2 3

η

−

η

4 3 2 2

η

−

η

+

η

      η π 2 sin exacto