OS NÚMEROS IRRACIONAIS E O CORTE DE DEDEKIND
Marcelo de Freitas Bortoli – marcelo.bortoli@ifpr.edu.br Instituto Federal do Paraná – Campus União da Vitória União da Vitória - Paraná Vanilde Bisognin – vanildebisognin@gmail.com Universidade Franciscana Santa Maria – Rio Grande do Sul Eleni Bisognin – eleni.bisognin@gmail.com Universidade Franciscana Santa Maria – Rio Grande do Sul
Resumo: O presente trabalho tem por objetivo validar um produto educacional, construído no Software Excel, sobre os cortes de Dedekind que possibilita o estudo das sucessões numéricas que se aproximam de um número irracional. Partindo da construção dos números racionais chega-se ao problema da incomensurabilidade de segmentos e a existência de números irracionais. A proposição do produto foi motivada pela dificuldade na construção das sucessões que definem um número irracional. Nesse sentido, o produto educacional permite realizar cálculos com rapidez e precisão necessários para a determinação de números irracionais, por meio da separação das classes numéricas e a construção de intervalos encaixantes. O aplicativo desenvolvido é capaz de apresentar aproximações racionais, em até doze casas decimais para um número irracional. A facilidade do manuseio apresenta uma ferramenta poderosa para que professores aprofundem o ensino dos números irracionais, possibilitando, aos alunos, uma melhor compreensão do conceito de número irracional.
Palavras-chave: Produto educacional, Planilhas, Ensino e aprendizagem. 1 INTRODUÇÃO
A teoria de números, desde os primórdios da humanidade, sempre foi instigadora para o ser humano. Teve início com o problema da contagem de objetos e, durante séculos, foram criados diferentes sistemas de numeração com uma grande quantidade de símbolos. O homem fazia correspondência entre conjuntos de objetos para saber a quantidade que possuía. Tal correspondência deu origem aos números naturais e, em seguida, relacionado ao princípio da contagem surgiram os números inteiros. Posteriormente, os números racionais surgiram com o problema da medida, onde um número racional é aquele que representa a medida de um segmento comensurável com a unidade de medida.
Entretanto, a ideia da comensurabilidade e incomensurabilidade surgiu no quarto século antes de Cristo, no estudo de geometria realizado por Pitágoras, onde demonstrou que, para qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos. A partir deste resultado, surgiu um número correspondente à razão entre as medidas da hipotenusa e do cateto de um triângulo retângulo isósceles de lado 1, a √2.
O problema da incomensurabilidade perdurou por muitos séculos e sempre intrigou os matemáticos ao realizarem medidas de objetos geométricos que não satisfaziam os conjuntos numéricos já conhecidos. A solução para este problema surgiu apenas no século XX, quando Dedekind construiu os chamados “Cortes” que definem, de forma clara, que um número irracional representa a medida de um segmento incomensurável com a unidade.
Dessa forma, o presente trabalho tem por objetivo apresentar um produto educacional (em sua segunda versão), construído no Software Excel, sobre os Cortes de Dedekind para qualquer número irracional escrito na forma de radical, isto é, números escritos na forma 𝑛√𝑃, para qualquer radicando 𝑃 racional e índice 𝑛 natural, maior ou igual a 2. A primeira versão da ferramenta realizava o cálculo de aproximação para números irracionais não negativos, onde o radicando era um número primo, que foi apresentada Bortoli, Bisognin e Bisognin (2019) no XXIII Simpósio de Ensino, Pesquisa e Extensão (SEPE), da Universidade Franciscana (UFN).
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 A crítica do problema da medida e os cortes de Dedekind
Baseado na crítica do problema da medida, apresentado por Bento de Jesus Caraça (1951), em que é posto à prova a comensurabilidade dos números na determinação da medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, Caraça (1951, p. 49) expõem “um caso embaraçoso”, a saber:
Consideremos o seguinte caso de medição de segmentos. Seja (fig. 15) o triângulo rectângulo BOA isósceles, isto é, em que OA
̅̅̅̅ = OB̅̅̅̅, e procuremos, para este triangulo, resolver o seguinte problema – achar a medida da hipotenusa AB̅̅̅̅ tomando como unidade o cateto OA̅̅̅̅.
Para resolver esse problema, o autor parte da hipótese de que todo segmento de reta pode ser definido pela proporcionalidade de outro segmento, distinto, tomado como unidade. Entretanto, para o caso particular da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, tal hipótese é derrubada por três formas: 1ª) não é possível abandonar a forma de exprimir numericamente, sempre, a medida de um segmento de reta; 2ª) não é possível abandonar o Teorema de Pitágoras e; 3ª) não é possível admitir que um número possa ser, simultaneamente, par e ímpar.
B
O A
Ao final, Caraça (1951, p.54) conclui que “Trata-se, como se vê, duma insuficiência geral do campo numérico racional para traduzir as relações geométricas”, passando a considerar a inexistência de uma unidade de medida comum para expressar a medida de dois segmentos como sendo múltiplos inteiros de uma mesma unidade. Logo, são ditos como segmentos incomensuráveis, sendo que surge a necessidade em explicar tal insuficiência. Este é o problema da continuidade da reta, ou seja, a de que cada ponto da reta corresponde um número. Nesse caso, observado pelos pitagóricos, há pontos da reta que não correspondem a um número racional. Todavia, o autor apresenta o postulado de Dedekind: “Todo o corte da reta é produzido por um ponto dela, isto é, qualquer que seja o corte (A, B) existe sempre um ponto da reta que separa as duas classes (A) e (B)” (CARAÇA, 1951, p. 60).
Os resultados de Dedekind trouxeram uma contribuição inegável para a Teoria de Números. A partir dos Cortes de Dedekind, a Matemática desenvolveu-se em todos os ramos, conforme Caraça (1951) apresenta a compreensão do número real:
– chamo número real ao elemento de separação das duas classes dum corte qualquer no conjunto dos números racionais; se existe um número racional a separar as duas classes, o número real coincidirá com esse número racional; se não existe tal número, o número real dir-se-á irracional. (CARAÇA, 1951, p. 62).
Feita a definição do número real, ao considerar os Cortes de Dedekind, o estudo da Análise Matemática preocupou-se em comprovar tal fato e, para isso, propôs o teorema dos intervalos encaixantes, a saber: “Se ([𝑎𝑛, 𝑏𝑛])𝑛∈ℕ é uma seqüência de intervalos encaixantes, i. e., [𝑎𝑛, 𝑏𝑛] ⊃ [𝑎𝑛+1, 𝑏𝑛+1] para todo 𝑛 ∈ ℕ, então ⋂+∞[𝑎𝑛, 𝑏𝑛] ≠ ∅
𝑛=1 ” (NERI, 2006, p. 44). Em
outras palavras, o limite das intersecções de todos os intervalos encaixantes possui ao menos um número real.
2.2 Produto educacional com uso de planilhas
Uma das formas de se obter a diversificação metodológica é a integração das metodologias de ensino da matemática com o uso de computadores, conforme é proposto nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 44):
Eles (computadores) podem ser usados nas aulas de Matemática com várias finalidades:
• como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem;
• como auxiliar no processo de construção de conhecimento;
• como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções. (grifo nosso).
O mesmo documento considera a perspectiva de incorporar, para o ensino da Matemática, a utilização de planilhas eletrônicas.
Assim, no trabalho com a Álgebra é fundamental a compreensão de conceitos como o de variável e de função; a representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação. Para apoiar a compreensão desses conceitos pode-se lançar mão da construção e interpretação de planilhas, utilizando recursos tecnológicos como a calculadora e o computador. (BRASIL, 1998, p. 84) (grifo nosso).
Sob essa ótica, Oliveira (2009) e, também, Braga (2009), constataram que as planilhas eletrônicas do Excel facilitaram a compreensão do conteúdo de funções por alunos das séries finais do Ensino Fundamental e séries iniciais do Ensino Médio. De acordo com (VELHO; SOUZA; VIALI, 2014), ao trabalharem com planilhas para o ensino de números racionais, a utilização de planilhas no ensino de matemática estimula a aprendizagem por parte do aluno. Além disso, as autoras destacam que “planilha surgiu da necessidade de se efetuar cálculos repetitivos de uma forma mais rápida e eficiente” (VELHO; SOUZA; VIALI, 2014, p. 84).
3 O PRODUTO EDUCACIONAL 3.1 Tipo de produto: Mídia Educacional.
3.2 Objetivo: Construir as aproximações para números irracionais escritos na forma de radicais √𝑃
𝑛
, com 𝑃 ∈ ℚ, 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2; possibilitar que o estudante visualize as aproximações realizadas para números irracionais, favorecendo a compreensão do conceito.
3.3 Público-alvo: alunos e professores dos ensinos fundamental (anos finais) e médio. 3.4 Nível de escolaridade: Ensinos fundamental e médio.
3.5 Descrição do produto: O produto educacional “Os Números Irracionais e o Corte de Dedekind” busca contribuir com a determinação de aproximações, por falta e por excesso, para números irracionais na forma de radical 𝒏√𝑷, (𝑃 ∈ ℚ, 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2), o que pode facilitar a compreensão de estudantes com relação aos valores aplicados para os radicais. Nesse sentido, foi elaborado o produto educacional em formato de planilha do Microsoft Excel, o qual é composto por oito planilhas (figuras 1 a 8), distribuídos da seguinte forma:
Figura 2: Quem foi J. W. R. Dedekind Figura 1: Capa
3.6 Dinâmica de aplicação: Na planilha “Realizando Cortes”, deve-se inserir o valor que deseja realizar as aproximações, conforme as orientações dadas na própria planilha (figura 9).
Para efetuar as aproximações para a raiz quadrada, basta substituir o valor de n por 2, sendo que a informação “substitua n, na célula F2, pelo índice desejado para o radical” é suprimido (figura 10) ou, ainda deixar a célula F2 em branco, que o cálculo é direcionado para a raiz quadrada, surgindo uma nova informação “o índice considerado é 2, isto equivale dizer raiz quadrada” (figura 11), como segue:
Figura 4: Definição de Corte Figura 3: Continuidade da reta
Figura 6: O Corte e o problema da medida Figura 5: Exemplo de Corte
Figura 8: Realizando Cortes Figura 7: Definição do conjunto ℝ
Figura 9: Orientações de execução (1)
Figura 10: Orientações de execução (2)
Após a definição do índice do radical, o usuário deve inserir o valor do radicando. Nesse caso, deve inserir um número real, na célula G2 (no lugar de P), como exposto no exemplo seguinte (figura 12):
O aplicativo descreve o processo para a aproximação de √3, apresentando os valores dessas aproximações para o valor de 𝑥, e seu valor de 𝑥^2 (para representar a potenciação, utilizou-se o símbolo “^”) (figura 13). Cabe destacar que, devido a limitação do software com relação a quantidade de casas decimais, considera-se uma boa aproximação de 𝑥 valores entre 10 e 12 casas decimais:
Os dois primeiros valores atribuídos para 𝑥 são determinados pelos dois números inteiros que limitam o valor de 𝑥2. Nesse caso, são gerados os valores 1 e 2, visto que 12 = 1 𝑒 22 = 4,
portanto 12 < 3 < 22, logo 1 < √3 < 2.
As classes são definidas da seguinte forma: Classe A é formada por valores de 𝑥 tais que 𝑥2 < 3 e a classe B para valores de 𝑥 tais que 𝑥2 > 3. Quando ocorre a passagem de uma classe
para outra, surge a informação “CORTE”, indicando que os valores devem iniciar uma nova aproximação com mais uma casa decimal para o valor de 𝑥 (figura 14).
Na medida em que os cortes surgem, e a aproximação de 𝑥 vai ganhando profundidade (em termos de quantidade de casas decimais), os valores são distribuídos nas duas classes. Todas as aproximações realizadas alimentam as duas colunas definidas para as classes (A) e (B) (figura 15), e definem os intervalos encaixantes (figura 16):
Figura 13: Orientações de execução (4)
Figura 14: Observação de passagem de classe para √𝟑 Figura 12: Aplicação do produto para √𝟑
Considerando que o número 3 obteve uma aproximação, 2,99999999999696 < 3 < 3,00000000000042, pode-se afirmar que o valor obtido para √3 é limitado pelo intervalo 1,732050807568 < √3 < 1,732050807569. Dessa forma, conclui-se que (figura 17):
Para realizar aproximações com radicandos negativos, o processo é análogo ao exemplo anterior, entretanto, se faz necessário atentar-se para o índice do radical (figura 18), conforme exposto nos exemplos seguintes (figuras 19 e 20):
Figura 15: Definição das classes para √𝟑 Figura 16: Intervalos encaixantes para √𝟑
Figura 17: Resultado da aproximação racional para o valor de √𝟑
Figura 18: Definindo o valor de P < 0.
Figura 19: Exemplo para o cálculo de √−33 .
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Do ponto de vista da transposição didática, o ensino dos Cortes de Dedekind em cursos de formação inicial de professores de matemática é um tópico de difícil compreensão. Logo, a construção de um produto educacional, com o uso da planilha Excel, pode contribuir para o entendimento do número irracional.
Assim, esse produto educacional pode ser usado por professores e, de forma autônoma, por alunos para à aquisição do conceito de número irracional por meio dos Cortes de Dedekind, fornecendo rapidez em determinar aproximações de números irracionais, na forma de radical, e facilitando sua interpretação diante de problemas que os envolvem.
CITAÇÕES/REFERÊNCIAS
BORTOLI, M. de F.; BISOGNIN, V.; BISOGNIN, E. Um produto educacional para os cortes de Dedekind. In: SIMPÓSIO DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO, XXIII, 2019, Santa Maria. Anais ... Santa Maria: Universidade Franciscana, 2019.
BRAGA, E. R. A compreensão dos conceitos das funções afim e quadrática no ensino fundamental com o recurso da planilha. 2009. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2009.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: matemática. Brasília: MEC, 1998.
CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. 1. ed. Lisboa: Tipografia Matemática Ltda, 1951.
NERI, C. Curso de análise real. 1. ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2006.
OLIVEIRA, J. V. dos S. Investigação do recurso planilha como instrumento de mediação no ensino de funções no ensino médio para alunos com dificuldades de aprendizagem. 2009. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2009.
VELHO, E. M. H.; SOUZA, C. T. de; VIALI, L. A planilha como recurso para o ensino de números racionais: reflexões sobre uma prática pedagógica. Unión (Revista Iberoamericana de Educación Matemática). n. 39. set. 2014. p. 81-96. FISEM, 2014.
