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(2)

EXAME UNIFICADO DAS P ÓS-GRADUAÇ ÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2019-2

Segundo Semestre de 2019 - 7 de Maio de 2019 (CBPF)

LEIA COM ATENC

¸ ˜

AO.

(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.)

A PROVA É COMPOSTA DE 5 BLOCOS: Bloco 1: Mecânica Clássica

Bloco 2: Ondas, Oscila¸c˜oes, Fluidos e Termodinˆamica Bloco 3: Eletromagnetismo

Bloco 4: Ondas Eletromagnéticas, Ótica e F´ısica Moderna Bloco 5: Mecânica Quântica

• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutorado devem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecˆanica Quˆantica).

• A escolha do bloco que N ˜AO ser´a corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto do caderno de respostas.

• Cada bloco contém 3 questões de múltipla escolha (45% da nota) e uma questão discursiva (55% da nota).

• Dentro do universo de 12 quest˜oes de m´ultipla escolha (dos 4 blocos escolhidos) 4 respostas erradas anulam uma resposta correta.

• Respostas em branco não têm nenhum efeito sobre a corre¸cão das outras questões.

(3)

BLOCO 1: Mecˆ

anica Cl´

assica

M´

ultipla escolha

Problema 1: Dois blocos, A e B, são soltos a partir do repouso e caem de uma altura H. Antes de atingir o chão, cada bloco colide com uma mola ideal de massa desprez´ıvel, conforme ilustrado na figura abaixo. O bloco A atinge uma mola muito menos r´ıgida que a atingida pelo bloco B (ou seja, as constantes elásticas das molas satisfazem kA ⌧ kB). Suponha que efeitos de atrito e resistência do ar

possam ser desprezados. Ap´os os blocos colidirem e serem novamente lan¸cados pelas molas:

(a) O bloco B atinge uma altura m´axima maior que o bloco A.

(b) O bloco B atinge uma altura m´axima menor que o bloco A.

(c) Ambos os blocos atingem a mesma altura m´axima.

(d) Os blocos atingem a mesma altura m´axima somente se tiverem a mesma massa.

Problema 2: Um navio de batalha lan¸ca, simultaneamente, dois projéteis em dois navios inimigos (denominados A e B). Considerando que os projéteis seguem as trajetórias parabólicas conforme a figura abaixo, é correto afirmar que:

(a) Ambos os navios são atingidos ao mesmo tempo. (b) O navio A é atingido pelo projétil antes do navio B.

(c) O navio B ´e atingido pelo proj´etil antes do navio A.

(d) Não é poss´ıvel determinar qual navio é atingido primeiro sem especificar a velocidade inicial de cada projétil.

(4)

Problema 3: A figura mostra três discos de mesmo raio e massa que podem girar em torno de um eixo fixo que passa por seu centro de massa. Cada disco é composto dos mesmos dois materiais, um menos denso (cor sólida) e um mais denso (cor hachurada), sendo que cada material ocupa a metade da área do disco. For¸cas de mesmo módulo são aplicadas tangencialmente aos discos em sua borda externa ou na interface entre os dois materiais, como mostra a figura. Ordene os discos A, B e C, de acordo com sua acelera¸cão angular, indicada respectivamente por ↵A, ↵B e ↵C, supondo que eles estão sob o efeito

apenas da for¸ca ~F indicada e da for¸ca que mant´em o eixo fixo.

(a) ↵C < ↵A< ↵B

(b) ↵A < ↵C < ↵B

(c) ↵A < ↵B < ↵C

(d) ↵B < ↵A< ↵C

Discursiva

Problema 4: Um disco de massa m se move em um c´ırculo, conforme a figura abaixo, sobre uma mesa horizontal sem atrito. Ele está ligado a um cilindro de massa M suspenso por uma corda que passa através de um orif´ıcio na mesa. Considere a acelera¸cão da gravidade como sendo g.

(a) Indique, atrav´es de diagramas de for¸cas, todas as for¸cas agindo sobre o disco e o cilindro.

(b) Encontre o m´odulo da velocidade com a qual o disco deve se mover em um c´ırculo de raio R para que o cilindro permane¸ca em repouso.

(c) Imagine que o cilindro seja puxado lentamente para baixo. O que acontece com o m´odulo da velocidade do disco? Justifique a sua resposta.

(5)

BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinˆ

amica

M´

ultipla escolha

Problema 5: Considere ondas em uma corda.

• Para duas ondas no mesmo sentido, a intensidade resultante n˜ao depende da diferen¸ca de fase entre elas.

• Uma combina¸cão linear de ondas qualquer não é uma onda poss´ıvel na corda.

• Para duas ondas de mesmas frequˆencia e amplitude que se propagam no mesmo sentido, teremos o fenˆomeno de batimento.

• Ondas estacionárias não são permitidas. (a) Todas as afirmativas são verdadeiras. (b) Todas as afirmativas são falsas.

(c) Apenas uma afirmativa ´e verdadeira (d) Apenas uma afirmativa ´e falsa.

Problema 6: Um tubo em forma de U com os extremos abertos, de se¸cão reta uniforme, contém água (densidade de 1,0 g/cm3_{) inicialmente a uma altura de 10,0 cm desde a parte inferior de cada bra¸co.}

Um l´ıquido imisc´ıvel de densidade 2,0 g/cm3 _{´e adicionado a um dos bra¸cos at´e que forme uma camada}

de 4,0 cm de altura como indicado na figura. Qual ´e a rela¸c˜ao das alturas h1/h2 de l´ıquido nos dois

bra¸cos?

(a) 2/3 (b) 1/2 (c) 5/7 (d) 2/5

(6)

Problema 7: Um sistema massa-mola é colocado em movimento em uma dimensão, na presen¸ca de uma for¸ca de atrito dependente da velocidade, ~F = b~v, sendo esta a única for¸ca externa atuante.

• A energia total ´e constante.

• O movimento do sistema ´e sempre oscilat´orio.

• A amplitude de oscila¸cão decai linearmente com o tempo. • O movimento do sistema será sempre harmônico.

Assinale a op¸c˜ao correta:

(a) Todas as afirmativas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as afirmativas s˜ao falsas.

(c) Apenas uma afirmativa ´e verdadeira. (d) Apenas uma afirmativa ´e falsa.

Discursiva

Problema 8: Um mol de um g´as ideal com capacidade t´ermica molar a volume constante CV = (3R)/2

´e levado, em um diagrama P _{⇥ V , do ponto A (press˜ao P}0 e volume V0) ao ponto C por um processo

revers´ıvel, em duas etapas:

(i) de A a B por uma expansão isotérmica até triplicar seu volume inicial; (ii) de B até C por uma varia¸cão isovolumétrica. A e C estão sobre uma mesma curva adiabática.

(a) Fa¸ca o diagrama P _{⇥ V do processo, identificando os valores de press˜ao e volume nos eixos.} (b) Determine o trabalho realizado pelo g´as para ir de A para C.

(c) A partir da rela¸cão dS = d0Q/T , determine a varia¸cão da entropia do gás para cada um dos percursos que compõem o processo.

(7)

BLOCO 3: Eletromagnetismo

M´

ultipla escolha

Problema 9: No circuito da figura 1, a chave S é fechada em t = 0, com o capacitor descarregado. Assinale a op¸cão que apresenta os gráficos que melhor descrevem as diferen¸cas de potencial (V1 e V2)

nos resistores R1 e R2, respectivamente.

(a)

(b)

(c)

(8)

Problema 10: Seja uma corrente i1 atravessando um fio infinito e uma corrente i2 atravessando uma

espira circular. O fio infinito está localizado no centro da espira, perpendicularmente ao seu plano (ilustrado na figura abaixo). Assinale a op¸cão que descreve a dire¸cão e o sentido da for¸ca magnética resultante na espira devido ao fio infinito.

(a) Na dire¸c˜ao do raio da espira para fora; (b) Na dire¸c˜ao do raio da espira para

den-tro;

(c) Paralela ao fio infinito para cima; (d) N˜ao h´a for¸ca resultante;

Problema 11: Sejam três cargas pontuais com carga q distribu´ıdas de forma equidistante em uma circunferência de raio R. Assinale a op¸cão correta para os valores do módulo do campo elétrico (E) e do potencial (V ), no centro da circunferência. Dado: k = _4⇡✏1₀.

(a) E = 3kq_R2 e V = 0;

(b) E = 2kq_R2 cos ⇡₃ e V = 2kq_R cos ⇡₃ ;

(c) E = 0 e V = 3kq_R ;

(9)

Discursiva

Problema 12: Uma espira circular com raio a é mantida perpendicular a um campo magnético dependente do tempo, B(t), como mostra a figura. A partir do instante t = 0, a intensidade do campo magnético obedece a rela¸cão B(t) = Ct + Dt2_{, onde C e D são constantes positivas. Determine:}

Determine na espira

(a) o sentido da corrente induzida. Justifique;

(b) o fluxo do campo magnético em fun¸cão do tempo; (c) a corrente elétrica total em fun¸cão do tempo.

(10)

BLOCO 4: Ondas Eletromagn´

eticas, ´

Otica e F´ısica Moderna

M´

ultipla escolha

Problema 13: Uma fonte luminosa emite dois feixes paralelos, monocromáticos e incoerentes de luz: um feixe é azul e o outro, vermelho. A fonte está dentro de uma piscina de água emitindo os feixes para a superf´ıcie (interface com o ar) de tal forma que a dire¸cão dos feixes vai mudando paulatinamente, come¸cando de um ângulo de incidência normal à superf´ıcie. Durante esse processo, um observador fora da piscina verá:

(a) os dois feixes desaparecendo simultaneamente, a partir de um certo ângulo de incidência. (b) somente o feixe vermelho, a partir de um certo ângulo de incidência.

(c) somente o feixe azul, a partir de um certo ângulo de incidência. (d) franjas vermelhas e azuis pela interferência dos feixes entre si.

Problema 14: Um foguete, viajando em dire¸cão à Terra com uma velocidade constante próxima à da luz, é observado por dois observadores: um dentro dele, outro na Terra. Analise as senten¸cas abaixo e marque a alternativa correta.

I. Para o observador terrestre, o foguete parece mais comprido.

II. Para o observador terrestre, uma sequˆencia de eventos no foguete parecem acontecer mais lentamente.

III. Para o observador no foguete, uma sequˆencia de eventos na Terra parecem acontecer mais lentamente.

(a) Somente as afirma¸cões I e II são verdadeiras. (b) Somente as afirma¸cões I e III são verdadeiras.

(c) Somente as afirma¸cões II e III são verdadeiras. (d) Todas as afirma¸cões são verdadeiras.

(11)

Problema 15: Na teoria do átomo de Bohr, elétrons giram em certas órbitas circulares em torno do núcleo. Os raios das órbitas permitidas têm valores definidos como consequência dos postulados de Bohr, que estabeleceu a quantiza¸cão:

(a) da velocidade do el´etron. (b) da energia total do el´etron.

(c) do momento angular orbital do el´etron. (d) da carga do el´etron.

Discursiva

Problema 16: Um fóton de energia E1 é espalhado por um elétron de massa m, inicialmente em

repouso, transformando-se em outro fóton com energia E2 que se propaga na mesma dire¸cão do fóton

incidente, mas em sentido oposto.

(a) Ache o módulo do momento (pe) e energia total (Ee) do elétron após o espalhamento, em fun¸cão de

E1 e E2.

(b) Qual é o valor da energia final do fóton E2 após o espalhamento, em fun¸cão de E1?

(c) Qual é a varia¸cão no comprimento de onda do fóton? Mostre que esta varia¸cão independe de E1

(12)

BLOCO 5: Mecˆ

anica Quˆ

antica

(OBRIGAT ´ORIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO)

M´

ultipla escolha

Problema 17: Considere uma part´ıcula livre de spin s, massa m e momento linear p. Avalie as seguintes afirma¸c˜oes:

I) o sub-espa¸co de Hilbert associado ao spin tem dimens˜ao 2s + 1. II) as poss´ıveis energias do sistema s˜ao dadas por _2mp2 .

III) é imposs´ıvel obter a componente de spin Sz = 0 (na dire¸cão ˆz), após uma única medida, se a

part´ıcula for um f´ermion.

Marque a alternativa correta

(a) Apenas as afirmativas I e III s˜ao verdadeiras. (b) Apenas as afirmativas II e III s˜ao verdadeiras.

(c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (d) Todas as afirma¸cões estão corretas.

Problema 18: Considere um espa¸co de Hilbert tridimensional com base ortonormal_{|u0i, |u1i, |u2i} ,

e os dois seguintes observ´aveis escritos nessa base:

A = 0 @ 10 01 00 0 0 1 1 A , B = 0 @ 2 00 2 00 0 0 1 1 A . Marque a alternativa correta:

(a) É imposs´ıvel preparar um estado | i com os observáveis A e B simultaneamente bem definidos. (b) Após uma medi¸cão do observável B que retorna valor 2, o estado do sistema está completamente

definido.

(c) A medi¸c˜ao sequencial de A e B define completamente o estado do sistema para quaisquer resultados obtidos.

(13)

Problema 19: Uma part´ıcula de energia constante E viaja em uma dimensão sob a influência de um potencial V . A densidade de probabilidade da part´ıcula ser medida entre a posi¸cão x e x + dx, dada por| (x)|2_{, é mostrada na figura abaixo. Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?}

x < 0 0_{ x < a} x a (a) V (x) < E V (x) > E V (x) > E (b) V (x) > E V (x) < E V (x) > E (c) V (x) < E V (x) > E V (x) < E (d) V (x) < E V (x) < E V (x) < E

Discursiva

Problema 20: Seja_{{|0i, |1i, . . . , |d 1i} uma base ortonormal para um espa¸co d-dimensional. Nessa} base, a dinâmica de um sistema quântico é determinada pelo operador Hamiltoniano:

H|ni = n" |ni,

onde " ´e uma constante real com unidade de energia. No tempo t = 0, o estado do sistema ´e dado por:

| (0)i = p1 d d 1 X n=0 |ni.

(a) Calcule a energia m´edia do sistema, hHi, para o estado | (0)i. (b) Ache o estado| (t)i para um tempo t 0.

(c) Seja ⌧ o menor tempo para o qualh (t)| (0)i = 0, i.e., ⌧ ´e o tempo que o sistema leva para evoluir para um estado ortogonal ao estado inicial. Determine ⌧ .

Formul´ario: N 1_X j=0 j = (N 1)N 2 N 1_X j=0 rj = 1 r N 1 r

(14)

Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

CADERNO DE RESPOSTAS

Nome Completo:

Assinatura:

Indique qual é o bloco que N ÃO será corrigido:

Indique o número de páginas utilizadas (incluindo essa folha de rosto): Nota Final (para ser preenchido pela comissão da UNIPOSRIO):

M´ultipla escolha Discursiva

Nota Final Questões Questões Questões

Prob. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20 corretas incorretas p/ pontua¸c˜ao

M´

ultipla escolha

Marque com um X as suas respostas das quest˜oes de m´ultipla escolha para cada bloco na seguinte tabela de acordo com os blocos escolhidos para resolver.

a) b) c) d) Bloco 1 Prob. 1 Prob. 2 Prob. 3 Bloco 2 Prob. 5 Prob. 6 Prob. 7 Bloco 3 Prob. 9 Prob. 10 Prob. 11 Bloco 4 Prob. 13 Prob. 14 Prob. 15 Bloco 5 Prob. 17 Prob. 18 Prob. 19

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Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

CADERNO DE RESPOSTAS

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Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

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Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

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Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

(19)

Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

(20)

Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

(21)

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(22)

Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

(23)

Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

(24)

Second Semester 2019 - May 7

th

, 2019 (CBPF)

READ CAREFULLY.

THE EXAM CONSISTS OF 5 BLOCKS: Block 1: Classical Mechanics

Block 2: Waves, Oscillations, Fluids and Thermodynamics Block 3: Electromagnetism

Block 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern Physics Block 5: Quantum Mechanics

• All applicants must choose only 4 of the 5 blocks to solve. PhD candidates MUST choose the block 5 (Quantum Mechanics).

• The block that will NOT be corrected should be clearly registered in the cover sheet of the answer book.

• Each block consists of 3 multiple-choice questions (45% of grade) and a discursive question (55% of the grade).

• Four wrong answers to choice questions cancel one correct answer to another multiple-choice, within the universe of 12 multiple-choice questions of the 4 selected blocks.

• Blank answers will have no e↵ect on the correction of other questions.

(25)

BLOCK 1: Classical Mechanics

Multiple-choice

Problem 1: Two blocks, A and B, are released from rest and drop from a height H. Before hitting the ground, each block collides with an ideal massless spring, as shown in the figure below. Block A collides with a spring that is much less rigid than that with which block B collides (in other words, the springs’ elastic constants satisfy kA⌧ kB). Assume that friction and air resistance are negligible. After

the collisions are over and the blocks are once again launched into the air:

(a) Block B reaches a maximum height above that of block A.

(b) Block B reaches a maximum height be-low that of block A.

(c) Both blocks reach the same maximum height.

(d) Both blocks reach the same maximum height only if their masses are the same.

Problem 2: A battleship launches two projectiles, at the same time, in order to hit two enemy ships (denoted by A and B). Assuming the projectiles follow the parabolic trajectories, as described in the figure, it would be correct to say that:

(a) Both ships are hit at the same time. (b) Ship A is hit before ship B.

(c) Ship B is hit before ship A.

(26)

Problem 3: The figure shows three disks of same radius and mass that are free to spin around a fixed axis passing through their center of mass. Each disk is composed of the same two materials, a less dense (solid gray) and a denser (striped gray) one. Each material corresponds to half of the area in each disk. Equal forces are applied tangentially to the disks, either at their outer edge or at the interface between the materials, as shown in the figure. Order the disks A, B and C by their angular accelerations, denoted respectively by ↵A, ↵B and ↵C, assuming that they are subject only to force ~F and the force keeping

the axis in place.

(a) ↵C < ↵A< ↵B

(b) ↵A < ↵C < ↵B

(c) ↵A < ↵B < ↵C

(d) ↵B < ↵A< ↵C

Discursive

Problem 4: A disk of mass m moves in a circle on a frictionless horizontal table, as shown in the figure. It is connected to a suspended cylinder of mass M by a string passing through a hole in the table. Assume that the acceleration of gravity is g.

(a) Indicate, using force diagrams, all forces acting on the disk and on the cylinder.

(b) Find the velocity that the disk must have to move in a circle of radius R in order for the cylinder to remain at rest.

(c) Suppose that the cylinder is slowly pulled downwards. What happens to the velocity of the disk? Explain your answer.

(27)

BLOCK 2: Waves, Fluids and Thermodynamics

Multiple-choice

Problem 5: Consider waves on a string.

• For two waves propagating in the same direction, the resulting intensity does not depend on the phase di↵erence between them.

• Any linear combination is not a possible wave on the string.

• For two waves with the same frequency and amplitude that propagate in the same direction, there will be the beat phenomenon.

• Stationary waves are not allowed. Mark the correct option:

(a) All statements are true. (b) All statements are false.

(c) Only one statement is true. (d) Only one statement is false.

Problem 6: A U-shaped tube with open ends, with an uniform cross section, contains water (1.0 g/cm3 _{density) initially at a height of 10.0 cm from the bottom of each arm. An immiscible liquid, with}

2.0 g/cm3 _{density, is added to one of the arms until forming a 4.0 cm layer as indicated in the figure.}

What is the ratio of heights h1/h2 of liquid in the two arms?

(a) 2/3 (b) 1/2 (c) 5/7 (d) 2/5

(28)

Problem 7: A mass-spring system is set in motion in one dimension under the action of a velocity dependent friction force, ~F = b~v, being the only external force present.

• The total energy is constant.

• The resulting movement will always be oscillatory. • The oscillation amplitude decays linearly with time. • The resulting movement will always be harmonic. Mark the correct option:

(a) All statements are true. (b) All statements are false.

(c) Only one statement is true. (d) Only one statement is false.

Discursive

Problem 8: One mole of an ideal gas with molar heat capacity at constant volume CV = (3/2)R is

taken in a P_{⇥ V diagram from point A (pressure P}0 and volume V0) to point C by a reversible process,

in two steps:

(i) from A to B by an isothermal expansion until tripling its initial volume; (ii) from B to C by an isovolumetric process. A and C are on the same adiabatic curve.

(a) Draw the P ⇥ V diagram of the process, identifying the pressure and volume values in the axes. (b) Determine the work done by the gas to go from A to C.

(c) From the relation dS = d0_{Q/T , determine the entropy change of the gas for each of the pathways}

(29)

BLOCK 3: Electromagnetism

Multiple-choice

Problem 9: In the eletrical circuit in the figure shown below the switch S is closed in t = 0, with an uncharged capacitor. Choose the option presenting the graphics that better describe the electric potential di↵erence (V1 and V2) on resistors R1 and R2, respectively.

(a)

(b)

(c)

(30)

Problem 10: Consider an infinite straight wire and a circular loop carrying currents i1 and i2,

respectively. The wire passes through the center of the loop perpendicular to its plane. Choose the option which describes the net magnetic force direction on the circular loop due to the wire.

(a) Outward, along a radius of the loop; (b) Inward, along a radius of the loop; (c) Upward, parallel to the wire;

(d) There is no net magnetic force in the loop.

Problem 11: Three identical point charges q are equally spaced around a circumference of radius R. Choose the option which gives the modulus of the electric field (E) and potential (V ), respectively, in the center of the circumference. Given: k = 1

4⇡✏0. (a) E = 3kq R2 and V = 0; (b) E = 2kq R2 cos ⇡ 3 and V = 2kq R cos ⇡ 3 ; (c) E = 0 and V = 3kq R ; (d) E = 0 and V = 2kq R cos ⇣⇡ 3 ⌘ ;

(31)

Discursive

Problem 12: A circular loop of radius a is perpendicular to the direction of a time dependent magnetic field, as shown in the figure. From t = 0 the magnetic field intensity varies according to the following relation: B(t) = Ct + Dt2_{, where C e D are positive constants.}

Determine:

(a) the direction of the induced current on the loop. Justify; (b) the magnetic field flux on the loop as a function of time; (c) the total electric current in the loop as a function of time.

(32)

BLOCK 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern

Physics

Multiple-choice

Problem 13: A light source emits two parallel, monochromatic and incoherent beams of light: one is blue and the other, red. The source is inside a pool of water emitting the two beams to the air-water interface in such a way that their incident angle changes gradually, starting from a normal angle of incidence to the surface. During this process, an observer outside the pool sees:

(a) the two beams disappearing simultaneously, when the angle of incidence reaches a certain value.

(b) only the red beam, for angles of incidence above a certain value. (c) only the blue beam, for angles of incidence above a certain value.

(d) red and blue fringes caused by the interference of the beams with each other.

Problem 14: A rocket, traveling towards the Earth at a constant velocity close to the speed of light, is seen by two observers: one inside the rocket, another on Earth. Review the sentences below and mark the correct alternative.

I. For the terrestrial observer, the rocket seems longer.

II. For the terrestrial observer, a sequence of events in the rocket seem to happen slower. III. For the observer in the rocket, a sequence of events on Earth seem to happen slower.

(a) Only statements I and II are true. (b) Only statements I and III are true.

(c) Only statements II and III are true. (d) All statements are true.

Problem 15: In Bohr’s model for the atom, electrons rotate in certain circular orbits around the nucleus. The radii of the allowed orbits have values defined by Bohr’s postulates, which established the quantization of:

(a) the velocity of the electron. (b) the total energy of the electron.

(c) the orbital angular momentum of the electron. (d) the charge of the electron.

(33)

Discursive

Problem 16: A photon with energy E1 is scattered by an electron of mass m, initially at rest,

transforming into another photon with energy E2 that propagates in the opposite direction of the

incident photon.

(a) After the photon scattering, determine the momentum (pe) and the total energy (Ee) of the

electron, as a function of E1 and E2.

(b) What is the value of the final energy of photon E2 after scattering, as a function of E1?

(c) What is the variation of the photon wavelength? Show that this variation is independent of E1 and/or E2.

(34)

BLOCK 5: Quantum Mechanics

(MANDATORY FOR DOCTOR DEGREE CANDIDATES)

Multiple-choice

Problem 17: Consider a free particle with spin s, mass m, and linear momentum p. Consider the following statements:

I) the Hilbert sub-space associated with the spin has dimension 2s + 1. II) the possible energies of the system are given by p2_/2m.

III) it is impossible to obtain the spin component Sz = 0 (along the ˆz direction), after a single

measurement, if the particle is a fermion. Mark the correct alternative.

(a) Only statements I and III are true. (b) Only statements II and III are true.

(c) Only statements I and II are true. (d) All statements are correct.

Problem 18: Consider a three-dimensional Hilbert space with orthonormal basis{|u0i, |u1i, |u2i},

and the following two observables written on this basis:

A = 0 @ 10 01 00 0 0 1 1 A , B = 0 @ 2 00 2 00 0 0 1 1 A . Mark the correct alternative.

(a) It is impossible to prepare a state | i with the observables A and B being simultaneously well-defined.

(b) After a measurement of the observable B which returns the value 2, the state of the system is completely defined.

(c) A sequential measurement of A and B completely defines the state of the system for any set of results obtained.

(35)

Problem 19: A particle of constant energy E travels in one dimension under the influence of a potential V . The probability density to find the particle between positions x and x + dx, given by | (x)|2_{, is shown in the figure below. Which of the following statements is true?}

x < 0 0_{ x < a} x a (a) V (x) < E V (x) > E V (x) > E (b) V (x) > E V (x) < E V (x) > E (c) V (x) < E V (x) > E V (x) < E (d) V (x) < E V (x) < E V (x) < E

Discursive

Problem 20: Let _{{|0i, |1i, . . . , |d} 1_{i} be an orthonormal basis for a d-dimensional space. In} this basis, the dynamics of a quantum system is determined by the Hamiltonian operator:

H|ni = n"|ni,

where " is a real constant in energy units. At time t = 0, the state of the system is given by:

| (0)i = p1 d d 1 X n=0 |ni.

(a) Evaluate the average energy of the system, _{hHi, for the state | (0)i.} (b) Find the state _{| (t)i for a time t} 0.

(c) Let ⌧ be the shortest time for which _{h (t)| (0)i = 0, i.e., ⌧ is the time the system takes to} evolve to an orthogonal state to the initial state. Determine ⌧ .

Formulae: N 1_X j=0 j = (N 1)N 2 N 1_X j=0 rj = 1 r N 1 r

(36)

Second Semester 2019 - May 7

th

, 2019 (CBPF)

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