Funções, Equações e Inequações Trigonométricas.

(1)

Funções, Equações e

Inequações

Trigonométricas.

(2)

– FORMULÁRIO –

TRIÂNGULOS: RETÂNGULO E QUALQUER CO CA CO sen(x) cos(x) tg(x) H H CA

CO : Cateto Oposto CA:Cateto Adjacente H:Hipotenusa (z ou y) (z ou y) (x) = = = == == == = = = sen cos e sen cos α = β α = β α = β α = β β = α β = α β = α β = α 2 2 2

_ˆ

a

b

c

2 b c cos(A)

a

b

c

ˆ

_sen(B)

ˆ

sen(A)

sen(C)

=

+

− ⋅ ⋅ ⋅

=

+

− ⋅ ⋅ ⋅

=

+

− ⋅ ⋅ ⋅

=

+

− ⋅ ⋅ ⋅

=

RELAÇÃO FUNDAMENTAL E DEFINIÇÕES 2 2 cos (x) s en (x) 1 k sen(x) 1 tg(x) ; x k . sec(x) ; x k cos(x) 2 cos(x) 2 cos(x) 1 1

cotg(x) ; x k cos sec(x) ; x k

tg(x) s en(x) s en(x) + = ∈ + = ∈ + = ∈ + = ∈ π π π π π π π π = ≠ + π = ≠ + π = ≠ + π = ≠ + π = ≠ + π = ≠ + π = ≠ + π = ≠ + π = = ≠ π = ≠ π = = ≠ π = ≠ π = = ≠ π = ≠ π = = ≠ π = ≠ π RELAÇÕES DECORRENTES DA RELAÇÃO FUNDAMENTAL 2 2 2 2 2 2 2 2 cos (x) 1 se n (x) s en (x) 1 cos (x) k

tg (x) 1 sec (x); x k . cotg (x) 1 cos sec (x); x k . 2 = − = − ∈ = − = − ∈ = − = − ∈ = − = − ∈ π ππ π + = ≠ + π + = ≠ π + = ≠ + π + = ≠ π + = ≠ + π + = ≠ π + = ≠ + π + = ≠ π ARCOS: ADIÇÃO / SUBTRAÇÃO DUPLO METADE 2 2 2 2

sen(x y) sen(x) cos(y) sen(y) cos(x) sen(2x) 2 sen(x) cos(x) cos(x y) cos(x) cos(y) sen(x)sen(y) cos(2x) cos (x) s en (x)

tg(x) tg(y) tg(2x) tg(x y) ; x, y k . tg(2x) ; x k . 1 tg(x)tg(y) 2 1 tg (x) 2 cos(2x) 2 cos (x ± = ± = ⋅ ±± == ±± = ⋅= ⋅ ± = ± = ⋅ ± = = − ±± == == −− ± = = − ± ±± ± ππππ ππππ ± = ≠ + π = ≠ + π ±± == ≠≠ + π+ π == ≠≠ + π+ π ± = ≠ + π = ≠ + π − −− − = == = m mm m m m m m 2 ) 1 cos(2x) 1 2sen (x)

1 cos(x) 1 cos(x) 1 cos(x)

x x x cos sen tg ; x 2k 2 2 2 2 2 1 cos(x) − = − −− = −= − − = − + − − + − − + − − + − −                    _{= ±}_{= ±}_{= ±}_{= ±}  _{= ±}_{= ±}_{= ±}_{= ±}  _{= ±}_{= ±}_{= ±}_{= ±} _{≠ π +}_{≠ π +}_{≠ π +}_{≠ π +} _π_π_π_π                         ₊₊₊₊                         PRODUTO x y x y

cos(x) cos(y) 2 cos cos

2 2

x y x y

cos(x) cos(y) 2 s en sen

2 2

x y x y

sen(x) sen(y) 2 sen cos

2 2 + − + − + − + −             + = ⋅ ⋅ ++ = ⋅= ⋅ ⋅⋅ + = ⋅ ____ ____⋅ ____ ____             + − + − + − + −             − = − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ____ ____⋅ ____ ____             ± ±± ±             ± = ⋅ ⋅ ±± = ⋅= ⋅ ⋅⋅ ± = ⋅ ____ ____⋅ ____ ____             m m m m

(3)

CICLO TRIGONOMÉTRICO

LINHAS TRIGONOMÉTRICAS

cos OA sen OB tg TC cot g QD se c OF cos sec OE α = α = α = α = α = α = α = α = α = α =α = α = α = α =α = α = α = α =α = α = α = α =α = α =

Obs.: as linhas não tracejadas são fixas.

MACETES

QUANTO A REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE QUANTO AO SINAL NOS QUADRANTES

F : falta;

P: passa.

+

SE 1

2 TA 1

3

(4)

1 INTRODUÇÃO

CICLO TRIGONOMÉTRICO

O

ciclo ou circunferência trigonométrica é um conjunto de pontos que estão a uma distância fixa (1 unidade de comprimento) do centro do sistema de coordenadas perpendiculares xOy também chamado de Plano Cartesiano. É uma circunferência

orientada, isto é, atribui-se a um dos sentidos que se pode percorrer-la um sinal, positivo ou negativo. No ciclo trigonométrico o sentido anti-horário é tomado como positivo.

Finalmente, toma-se como origem dos arcos o ponto representado pelo par ordenado (1, 0).

Na circunferência de raio 1, orientada e com origem definida (ciclo trigonométrico), um ponto sobre a circunferência representa: um arco de medida α; e um par ordenado (x, y) tal que x = cos(α) e y = sen(α).

ARCOS CÔNGRUOS

D

ois ou mais arcos são chamados côngruos quando têm a mesma extremidade, contudo são diferentes pelo número de voltas na circunferência.

Assim, arcos de medidas distintas têm o mesmo valor para o seno, cosseno, tangente, secante e cossecante, se forem côngruos, pois representam um ponto comum no ciclo trigonométrico. Por exemplo:

sen (15º) = sen (375º) = sen (-345º) = B

As reticências indicam que existem infinitas igualdades. – 705º = 15º – 2.360º – 345º = 15º – 1.360º 15º = 15º + 0.360º 375º = 15º + 1.360º 735º = 15º + 2.360º Generalizando: o o AB====15 + ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅k 360 . k ∈ Z Usualmente o arco é medido em radianos, isto é,

AB k 2 12 π ππ π = + ⋅ π = + ⋅ π = + ⋅ π = + ⋅ π ou

AB

2k

12 ππππ

=

+

π

=

+

π

=

+

π

=

+

π

PRATICANDO

01 –

Generalize os arcos indicados nas figuras. Dê as soluções em graus e em radianos.

02 –

(Cefet) Sabendo-se que 3x – 45 e 2x + 135 exprimem as medidas de dois arcos côngruos, pode-se afirmar que x é dado por:

a) 120º.(2k + 1), sendo k ∈ Z b) 160º.(3k + 1), sendo k ∈ Z c) 120º.(3k + 1), sendo k ∈ Z d) 180º.(2k + 2), sendo k ∈ Z e) 180º.(2k + 1), sendo k ∈ Z

(5)

2 EQUAÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

E

quações são expressões que possuem necessariamente uma igualdade e (pelo menos) uma incógnita.

Na expressão: cos(x) – 1 = 0, a incógnita x representa um arco (ângulo) associado ao cosseno.

Chamaremos de equações trigonométricas as equações em que as incógnitas estiverem associadas ao seno, cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante.

A resolução de uma equação consiste basicamente em “encontrar” valor(es) para a(s) incógnita(s) para que a expressão torne-se verdadeira, soluções ou raízes da equação.

É importante ressaltar que para resolver as equações trigonométricas podemos e devemos utilizar as técnicas de resolução de equações: do 1º grau; do 2º grau; polinomiais. Assim como os produtos notáveis e as relações trigonométricas.

EQUAÇÕES ELEMENTARES

D

ada uma equação trigonométrica procuraremos escreve-la em uma das formas elementares:

sen(x)=n cos(x)=n tg(x)=n

onde n é um valor numérico. Exemplo:

cos(x) – 1 = 0. Reescrevendo: cos(x) = 1.

Para encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem a

expressão, observe no ciclo os arcos (ângulos) em que o cosseno vale 1. São eles 0 e 2π rad, isto, se nos limitarmos a apenas uma volta no ciclo. Contudo existem infinitos valores para os quais cosseno é igual a 1.

Assim, a melhor solução para a equação é: S = {x ∈ R/ x = 2kπ, k ∈ Z}

Observe a necessidade de estarmos bem familiarizados com os conceitos de congruência e das linhas trigonométricas no ciclo trigonométrico. É importante memorizar os valores do seno, cosseno e tangente, ao menos para os principais arcos, por exemplo:

0; ; ; ; ; ;

3 ;2

6 4 3 2

2 π π π π

π

π π π π

π

π π π π

π

π π π π

π

, e seus simétricos. PRATICANDO

01 –

Encontre todas as soluções para: a) sen(x) = 1 b) 2.cos(x) = 1 c)

tg 3x

3

12 π

ππ

π











₊



₌











_



_









02 –

Resolva as equações em x no conjunto dos reais:

a) 2.cos(x) – 3.sec(x) = 5

b)

3 sen(x)

⋅

−

3 cos(x)

⋅

=

0 03 –

Para x∈[0, 2π], quantas são as raízes da equação,

sen(2x)

0

0 cos(3x)

cos(x)

sen(x)

0 sen(4x) sen(x)

cos(x)

(6)

3 FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

F

unções são relações tais que, para todo elemento de um conjunto (Domínio) existe um e apenas um correspondente num outro conjunto (Contra-domínio).

Para o estudo de funções trigonométricas tomaremos o ciclo trigonométrico como sendo: C = {(x, y) ∈ RXR ; x2 + y2 = 1}, com x=cos(θ) e y=sen(θ). Assim, na função f: R→R, definida por f(x) = sen(x), x ∈ R, por exemplo, os elementos do domínio são pontos sobre a circunferência e as respectivas imagens serão as ordenadas deste ponto.

DOMÍNIO E IMAGEM

N

as funções trigonométricas o domínio será obtido observando-se as representações das seis linhas trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) no ciclo trigonométrico, ou ainda, nos casos da tangente, cotangente, secante e cossecante por suas definições em função do seno e do cosseno.

Quanto à imagem esta nos fornecerá entre outros, os extremos (valores de máximo e de mínimo, se existirem), crescimento e decrescimento, e ainda, o sinal da função (se positivo ou negativo).

PERIODICIDADE

A

s funções trigonométricas são periódicas, isto é, existe um número k ≠ 0 tal que f(x + k) = f(x), para todo x ∈ R

.

O menor número k > 0 que satisfaça a relação anterior é dito período da função. Geometricamente isto significa que o gráfico da função se repete em intervalos de tamanho k no eixo das abscissas.

SIMETRIAS - PARIDADE

P

ara testar a paridade de uma função faremos a substituição de (x) por (–x). Se caso não houver alteração na sua imagem, isto é, f(–x) = f(x) então a função é dita par, e observa-se uma simetria do gráfico em relação ao eixo das ordenadas. Se a imagem for oposta, isto é, f(–x) = –f(x), a função é chamada ímpar, e observa-se uma simetria em relação ao centro do plano cartesiano. A função será classificada como nem pare nem ímpar, caso não aconteça nenhum dos casos anteriores.

PRATICANDO

01 –

Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e indique o período e a imagem das funções:

a) f(x) = cos(x) Dom(f) = Gráfico: x y 0 π/2 π 3π/2 2π P(f) = Im(f) = b) f(x) = 1 + cos(x) Dom(f) = Gráfico: x y 0 π/2 π 3π/2 2π P(f) = Im(f) =

02 –

Qual a paridade das funções do exercício anterior?

(7)

4 03 –

a) f(x) = 2.cos(x) Dom(f) = Gráfico: x y 0 π/2 π 3π/2 2π P(f) = Im(f) = b) f(x) = –2.cos(x) Dom(f) = Gráfico: x y 0 π/2 π 3π/2 2π P(f) = Im(f) = c) f(x) =1 –2.cos(x) Dom(f) = Gráfico: x Y 0 π/2 π 3π/2 2π P(f) = Im(f) = d) f(x) = 1 + cos(x+π/3) Dom(f) = Gráfico: x+π/3 x y 0 π/2 π 3π/2 2π P(f) = Im(f) = OBSERVE E REFLITA

N

os exercícios deste assunto, até aqui, as funções podem ser escritas, generalizando, como:

f(x)=A+B.cos(Cx+D).

Existem relações diretas estabelecidas entre os valores de A, B, C, D e o gráfico da função. Estas relações podem resultar numa maior agilidade na resolução de alguns exercícios.

ABSTRAINDO

01 –

Dos exercícios resolvidos até aqui, pode-se observar alterações nos gráficos, nos períodos, nos zeros e nas imagens das funções, decorrentes das alterações nos valores de A, B, C, D. Estabeleça daí as relações mencionadas. Estas relações podem ser estendidas para a função seno.

(8)

5 FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

(continuação)

E

xcluindo-se as funções seno e cosseno, todas as demais funções trigonométricas apresentam problemas no conjunto domínio.

f(x)=A+B.tg(Cx+D)

e

f(x)=A+B.sec(Cx+D)

Das suas definições temos que: sen(Cx D) tg(Cx D) cos(Cx D) + ++ + + = + = + = + = + ++ + e 1 sec(Cx D) cos(Cx D) + = + = + = + = + ++ + Satisfeita a condição de:

cos (Cx + D) ≠ 0

Logo, o conjunto domínio, das funções tangente e secante, pode ser encontrado fazendo:

Dom(f )

x

;Cx

D

k , k

.

2 π

ππ

π

















=

∈

+

≠

+ π

∈

=

∈

+

≠

+ π

∈

=

∈

+

≠

+ π

∈

=

_

∈

+

≠

+ π

∈

_

















f(x)=A+B.cotg(Cx+D)

e

f(x)=A+B.cossec(Cx+D)

Das suas definições temos que: cos(Cx D) cotg(Cx D) sen(Cx D) + ++ + + = + = + = + = + ++ + e 1 sec(Cx D) s en(Cx D) + = ++ == + = + ++ + Satisfeita a condição de:

sen (Cx + D) ≠ 0

Logo, o conjunto domínio, das funções cotangente e cossecante, pode ser encontrado fazendo:

{{{{

}}}}

Dom(f )

=

x

∈

;Cx

+

D

≠ π

k , k

∈

.

PRATICANDO

01 –

a) f(x) =tg(x) Dom(f) = Gráfico: x y P(f) = Im(f) = b) f(x) =cossec(x) Dom(f) = Gráfico: x y P(f) = Im(f) = OBSERVE E REFLITA

N

ovamente dada à função escrita na forma generalizada como:

f(x)=A+B.função(Cx+D).

Existem relações diretas estabelecidas entre os valores de A, B, C, D e o gráfico da função. Estas relações podem resultar numa maior agilidade na resolução de alguns exercícios.

Vale ressaltar que devemos tentar escrever uma função trigonométrica nas formas anteriores.

(9)

6 INEQUAÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

I

nequações são expressões que possuem necessariamente uma desigualdade (>, ≥, <, ≤ ou ≠) e (pelo menos) uma incógnita.

Na expressão: tg(x) – 1 ≥ 0, a incógnita x representa um arco (ângulo) associado a tangente.

Chamaremos de inequações trigonométricas as inequações em que as incógnitas estiverem associadas ao seno, cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante.

RESOLUÇÃO

A

s soluções de uma inequação são intervalos numéricos. Para encontrar tais intervalos usamos os mesmos artifícios usados na resolução de inequações não trigonométricas, quando necessário, associado ao método gráfico utilizada nas equações trigonométricas.

Na inequação acima podemos resolvê-la apenas reescrevendo:

tg(x) ≥ 1

Recorremos ao ciclo para encontrar as soluções:

Assim, a solução para x ∈ [0, 2π], fica:

5

3 S

x

;

x

ou

x

.

4

2

4

2 π

π

















=

∈

≤ <

=

∈

≤ <

=

_

∈

≤ <

_

















PRATICANDO

01 –

Resolva as seguintes inequações, para 0 ≤ x < 2π. a)

sen(x)

1

2 <<<<

b)

cos(x)

3

2 ≤≤≤≤

c)

sec(x)

≥≥≥≥

2

d)

sen x

1

3

2 ππππ















₊



_{< −}

































02 –

Resolva a inequação 2.cos2(x)+cos(x)–1<0, para x∈[0, 2π].

(10)

7 EXERCÍCIOS

DE VESTIBULARES

ARCOS E CICLO

01 –

(UFRS) Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos:

I) sen 1 < sen 3 II) cos 1 < cos 3 III) cos 1 < sen 1 Quais são verdadeiras? a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) São verdadeiras apenas I e II. e) São verdadeiras I, II e III.

02 –

(UFLAVRAS) A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é π/4 rad, as medidas

dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são: a) 3π/4 e 5π/4 b) π e 3π/2 c) 3π/4 e 2π d) π/2 e 5π/4 e) 3π/4 e 5π/8

03 –

(FEI) Se 0 < x < π/4, é válido afirmar-se que: a) sen (π/2 - x) = sen x

b) cos (π - x) = cos x c) sen (π + x) = sen x d) sen (π/2 - x) = cos x e) cos (π + x) = sen x

04 –

(UEL) Se senx=1/2 e x é um arco do 2º quadrante, então cos2x é igual a

a) 1 b) 3/4 c) 1/2 d) -1/2 e) - 3/4

05 –

(UEL) Para qualquer número real x, sen x-(π/2) é igual a: a) -sen x b) 2 sen x c) (sen x)(cos x) d) 2 cos x e) -cos x

06 –

(UFAL) Analise as afirmativas abaixo, nas quais x é um número real.

01) sen 495° = sen π/4 02) tg 8π/7 < 0

04) sen π/5 + sen π/5 = sen 2π/5

08) A equação tgx = 1000 não tem solução 16) Para 0 ≤ x < π/4 tem-se cos x > sen x

07 –

(PUC) Se sen(x)=1/5 e sen(y)=1/5, então podemos afirmar que:

a) x = y;

b) os arcos de medidas x e y têm extremidades simétricas em relação ao eixo das abscissas; c) os arcos de medidas x e y têm extremidades simétricas em relação ao eixo das ordenadas ou têm a mesma medida;

d) os arcos de medidas x e y têm extremidades simétricas em relação à origem do sistema cartesiano;

e) os arcos de medidas x e y têm extremidades simétricas em relação ao eixo das ordenadas.

EQUAÇÕES

08 –

(UFSCAR) O valor de x, 0≤x≤π/2, tal que 4.(1–sen2x).(sec2x–1)=3 é a) π/2. b) π/3. c) π/4. d) π/6. e) 0.

09 –

(UEL) Se x∈[0, 2π], o número de soluções da equação cos2x=sen[(π/2)-x] é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10 –

(CESGRANRIO) O número de soluções da equação sen2(x)=2sen(x), no intervalo [0,2π], é: a) 0

b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

11 –

(FUVEST) Determine o número de soluções da equação (2cos2x + 3senx).(cos2x – sen2x) = 0, que estão no intervalo [0,2π].

12 –

(FUVEST) A soma das raízes da equação sen2x – 2cos4x=0, que estão no intervalo [0, 2π], é: a) 2π

b) 3π c) 4π d) 6π e) 7π

13 –

(UEL) Em relação à equação cos x=cos 2x, com x∈[0, 2π], é correto afirmar:

a) Possui uma solução no 3º quadrante. b) Possui duas soluções no 2º quadrante. c) Possui somente a solução nula. d) Uma das suas soluções é π. e) A única solução não nula é 2π/3.

(11)

8

pertencentes ao intervalo (0, π) que satisfazem a equação: 3.tg(x)+2.cos(x)=3.sec(x), temos:

a) S={π/3, 5π/3, 7π/3} b) S={π/4, 5π/4, 7π/4} c) S={π/6, 5π/6} d) S={π/3, 5π/3}

INEQUAÇÕES

15 –

(UNESP) O conjunto solução de |cos x|<1/2, para 0<x<2π, é definido por:

a) (π/3)<x<(2π/3) ou (4π/3)<x<(5π3) b) (π/6)<x<(5π6) ou (7π/6)<x<(11π/6) c) (π/3)<x<(2π/3) e (4π3)<x<(5π/3) d) (π/6)<x<(5π/6) e (7π/6)<x<(11π/6) e) (π/6)<x<(2π/3) ou (4π/3)<x<(11π/6)

16 –

(UFRS) No intervalo real [0, π/2], o conjunto solução da desigualdade sen x cos x ≤ 1/4 é a) [0, π/15]

b) [0, π/12] c) [0, π/10] d) [0, π/8] e) [0, π/6]

17 –

(ITA) Para x no intervalo [0, π/2], o conjunto de todas as soluções da inequação

sen (2x) - sen (3x +π/2) > 0 é o intervalo definido por

a) π/10 < x < π/2. b) π/12 < x < π/4. c) π/6 < x < π/3. d) π/4 < x < π/2. e) π/4 < x < π/3.

18 –

(UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S): 01) Se tg x=3/4 e π<x<3π/2, então o valor de

senx-cosx é igual a 1/5.

02) A menor determinação positiva de um arco de 1000° é 280°.

04) Os valores de m, de modo que a expressão senx=2m-5 exista, estão no intervalo [2,3]. 08. sen x > cos x para -π/4 ≤ x ≤ π/4.

16) A medida em radianos de um arco de 225° é (11π/6)rad.

32) Se sen x > 0, então cosec x < 0.

64) A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0 ≤ x ≤ 2π é x=π/6 ou x=5π/6.

19 –

(FEI) Se 0 < x < 2π e sen x > cos x então: a) π/4 < x < 5π/4

b) π/4 < x < 7π/4 c) π/8 < x < 7π/8 d) π/2 < x < 3π/2 e) π/4 < x < 3π/2

20 –

(UNIRIO) Resolva a sentença

2 cos2 x – 3 cos x + 1 ≤ 0, sendo 0≤x<2π. a) 0 ≤ x ≤ π/3 ou 5 π/3 ≤ x < 2π

b) 0 < x ≤ π/3 ou 5 π/3 < x ≤ 2π c) 0 < x ≤ π/3

d) 5 π/3 < x ≤ 2π e) 0< x < 2π

21 –

(MACK) Quando resolvida no intervalo [0; 2π], o número de quadrantes nos quais a desigualdade

2cos(x)

<<<<

3

apresenta soluções é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

FUNÇÕES

22 –

(FATEC) No intervalo ]0, π[, os gráficos das funções definidas por y = sen x e y = sen 2x interceptam-se em um único ponto.

A abscissa x desse ponto é tal que a) 0 < x < π/4

b) π/4 < x < π/2 c) x = π/4 d) π/2 < x < 3π/4 e) 3π/4 < x < 2π

23 –

(PUC) Seja f a função de IR em IR definida por f(x) = sen x. O conjunto solução da inequação f(x)≥0, no universo U=[0,2π] é a) [0, π] b) [π/2, 3π/2] c) [π, 2π] d) [π/2, π] ∪ [3π/2, 2π] e) [0, π/2] ∪ [3π2, 2π]

24 –

(UFES) Uma pequena massa, presa à extremidade de uma mola, oscila segundo a equação: f(t) = 8sen (3πt), que representa a posição da massa no instante t segundos, medida em centímetros a partir da posição de equilíbrio. Contando a partir de t=0, em que instante a massa passará pela sétima vez a uma distância |f(t)| de 4cm da posição de equilíbrio? a) 11/18 b) 13/18 c) 17/18 d) 19/18 e) 23/18

25 –

(FUVEST) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T=(0,1) e é paralela ao eixo Ox.

(12)

9

A semi-reta Ot forma um ângulo α com o semi-eixo Ox (0°<α<90°) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente. A área do triângulo TAB, como função de α, é dada por:

a) (1 - senα) . (cosα)/2. b) (1 - cosα) . (senα)/2. c) (1 - senα) . (tgα)/2. d) (1 - senα) . (cotgα)/2. e) (1 - senα) . (senα)/2.

26 –

(PUC) Observe o gráfico a seguir.

A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é

a) y = cos x b) y = sen x c) y = cos 2x d) y = sen 2x e) y = 2 sen x

27 –

(UEL) A função dada por f(x) = (tg x) . (cotg x) está definida se, e somente se,

a) x é um número real qualquer. b) x ≠ 2kπ, onde k ∈ Z

c) x ≠ kπ, onde k ∈ Z d) x ≠ kπ/2, onde k ∈ Z e) x ≠ kπ/4, onde k ∈ Z

28 –

(UNB) Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T(em °C) e a quantidade de energia solar média semanal Q que atinge a região (em kcal/cm2) possam ser expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções:

t 15 T(t) 10 12sen 2 52         −−−−  = + π = + π = + π = + ____ _{π }___ ________               e t 11 Q(t) 400 200sen 2 52       −−−−  = + π == ++ ππ = + ____ _{π }___ ________               , julgue os itens a seguir.

(1) A maior temperatura média semanal é de 22°C. (2) Na 50.ò semana, a quantidade de energia solar média semanal é mínima.

(3) Quando a quantidade de energia solar média é máxima, a temperatura média semanal também é máxima.

29 –

(UFRS) Se f(x) = a + bsen x tem como gráfico então a) a = -2 e b = 1 b) a = -1 e b = 2 c) a = 1 e b = -1 d) a = 1 e b = -2 e) a = 2 e b = -1

UEM - DE 98 A 04

30 –

(inv.-98) O número de raízes da equação sen22x – sen 2x = 0, para 0 ≤ x < 2π é ...

31 –

(ver.-98) Com relação à equação

4.cos2x + 4.senx = 1, para 0 ≤ x ≤ 2π, é correto afirmar que

(01) o módulo da diferença das raízes é maior do que π.

(02) a equação possui duas raízes distintas. (04) a soma das raízes é um número natural. (08) a soma das raízes é 3π.

(16) o produto das raízes é

2

77

36 ππππ

.

32 –

(inv.-99) Nos itens abaixo, suponha que x seja um número real e que todos os ângulos estejam em radianos. Sobre isso, é correto afirmar que

(01) a função tgx está definida para todo x. (02) se y = cos1.cos2.cos3.cos4, então y > 0. (04) se x é tal que

x

2

3 π

π

_{< <}

π

< <

, então tg2x>0. (08) se

cos x

3

5 ====

, então

sen x

3

2

5 ππππ















₊



₌

































. (16) se

cos x

2

2 ====

e x está no quarto quadrante, então 1 – tg2x = 0. (32) 2

1 cos

4 cos

8

2 ππππ

 

++++

_{ }

ππππ

 

₌₌₌₌

 

 

 

.

(13)

10

(64) se

cos x

=

3 senx

⋅

, então

x

k , k

3 ππππ

=

+ π

∈

=

+ π

∈

=

+ π

∈

=

+ π

∈

.

33 –

(ver.-99) Considere na circunferência trigonométrica, os pontos P1 e P2, como

extremidades de dois arcos menores que π radianos e medidos no sentido anti-horário, a partir de A(1,0).

Se

AP

₁

= α

e AP

₂

= β =

180

o

− α

, então, é correto afirmar que

(01) sen α = sen β. (02) sen α > 0. (04) cos α > 0.

(08) os pontos P1 e P2 são simétricos em relação

ao eixo das ordenadas. (16) cos α = cos β.

(32) os pontos P1 e P2 estão no mesmo quadrante.

(64) cos (α + β) = -1.

34 –

(esp.ver.-00) O número de raízes distintas da equação sen3x + sen7x = 0, no intervalo [0, 2π], é ....

35 –

(inv.-00) Se θ é um arco tal que

2 ππππ

< θ < π

, pode-se afirmar que

(01) cos (θ + α) = -1, onde α é o suplementar de θ. (02) cos 2θ é negativo. (04) tg 2θ é negativo. (08) cos θ é negativo. (16)

cos

2

2 θθθθ

_<<<<

. (32) sen 2θ é negativo. (64)

s en

2

2 θθθθ

<<<<

36 –

(ver.-00) Nos itens abaixo, considere todos os ângulos em radianos. Nessas condições, assinale o que for correto.

(01) sen2x = 2senx, ∀x∈R. (02) cos4x – sen4x = cos2x, ∀x∈R. (04)

senx

cos x

1 cos sec x

+

sec x

=

, ∀x∈R.

(08) Existem apenas dois valores de x no intervalo

5 ,

2

2 π

π























_



_









, tais que sen

2

x = 1.

(16) se

senx

+

cos x

=

a

, com a > 0 e

b

senx cos x

2 ⋅

=

⋅

=

⋅

=

, então a – b = 1.

(32) Os valores de x no intervalo [0, π] que satisfazem

1 sen2x

1

2 ≤

≤

<

são tais que

5 x

, com x

12

4 π

π

_{≤ ≤}

π

_≠

π

≤ ≤

≠

≤ ≤

≠

≤ ≤

≠

.

37 –

(inv.-01) Considerando que, nos itens abaixo, todos os ângulos são medidos em radianos, assinale o que for correto.

(01) Se 0 ≤ x ≤ 2π e tgx . cosx < 0, então

x

2 ππππ

≤ ≤ π

.

(02) sen2 – sen2x.cos2x = sen4x. (04)

sen1

sen

4 ππππ

<<<<

. (08)

sen

3 x

cos x

2 ππππ















₋



_{= −}

































. (16) Se

cos x

1

3 ====

, então

cos 2x

2

3 ====

. (32) Se 0 ≤ x ≤ 2π, o conjunto-solução da inequação

cos x

1

2 ≥≥≥≥

é o conjunto dos

números reais x tais que

0 x

3 ππππ

≤ ≤

ou

5 x

2

3 ππππ

≤ ≤ π

.

38 –

(inv.-01) Um balão parado no céu é observado sob um ângulo de 60º. Afastando-se 3 metros, o observador passa a vê-lo sob um ângulo α tal que

tg

1

2 α =

α =

. Então, a altura do balão

multiplicada por

11(6

−−−−

3)

é ...

39 –

(ver.-01) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

(01)

sen

4 cos

(((( ))))

0

2

3 π

π

₊

π

₋

_{−π =}

+

−

−π =

+

−

−π =

+

−

−π =

.

(02) Em um triângulo no qual dois de seus ângulos medem

3 ππππ

rad e 40º, o terceiro ângulo mede

4

9 ππππ

rad.

(04) (1 + cos x) . (1 – cos x) = tg x . cos x , para

x

k

2 ππππ

≠

+ π

≠

+ π

≠

+ π

≠

+ π

, k∈Z. (08)

(senx

cos x)

2

1

2 −

=

−

=

−

=

−

=

, para x = 15º.

(14)

11

(16)

tg

5

0

4 ππππ

<<<<

. (32) o o o

2sen53

cos 37

1 cos 37

−−−−

₌₌₌₌

.

40 –

(ver.-01) No problema a seguir, considere que qualquer trajetória do ciclista é feita em linha reta e com velocidade constante e igual a 10 m/s. Duas rodovias H e R cruzam-se em um ponto A, segundo um ângulo de 60º. Um ciclista parte do ponto A pela rodovia H e, após um terço de hora, atinge um ponto B, de onde é possível seguir para a rodovia R, percorrendo o menor caminho, atingindo-a no ponto C. Para retornar de C ao ponto A de origem, pela rodovia R, a distância que o ciclista deve percorrer, em quilômetros, é...

41 –

(ver.-02) Nos itens abaixo, considere todos os ângulos em radianos. Nessas condições, assinale o que for correto.

(01) Os números reais x que satisfazem a equação

cos 2x

0

3 ππππ











₋



₌











_



_









, são tais que

k

x

2

6 π

π

=

+

=

+

=

+

,

para todo número inteiro k. (02) Se

cos x

2 m

1 ====

−−−−

, então, m ≤ - 1 ou m ≥ 3.

(04)

sen2x

cos x

2senx

====

, para todo número real x tal

que x ≠ kπ, onde k é um número inteiro qualquer. (08) Se

0 x

2 ππππ

< <

, então cos2x ≤ 0. (16) Se

0 x

2 ππππ

≤ ≤

, então sen x + cos x ≥ 1. (32) Se y = cos 4, então 0 < y < 1. (64) Se

x

2 ππππ

< < π

e

senx

2

3 ====

, então

2 5

tgx

5 = −

= −

.

42 –

(1º-03) Sobre trigonometria, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

(01) 2cos2(x) = 1 + cos(2x), para todo x real. (02) 2 2 2

1 cos (2x)

sen (x) cos (x)

4 −−−−

⋅

=

⋅

=

⋅

=

, para todo x real. (04) ₂

1

₂

1 cos (x)

sen (x)

−−−−

= −

++++

, para todo x real.

(08)

tg (x)

2

1

1 cos(2x)

=

−

=

−

=

−

=

−

++++

, para todo x real.

(16)

((((

))))

2 cos ( x) 1

2 ln e

⋅



_



_



_



−−−−

_



_



_

= +

1 cos(2x)

















, para todo x real.

(32) sen(x+y)<sen(x)+sen(y), para todo x e y reais.

43 –

(2º-03) Sendo x um arco do primeiro quadrante, em graus, o valor de x que satisfaz a equação sen 31º + sen 29º = sen x é ...

44 –

(1º-04) Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos α = 30º e β = 60º e a medida do segmento BC = 5 m, conforme a figura. Nessa condições, a altura da torre, em metros, é ...

45 –

(1º-04) Considere um ponto P(x, y) sobre a circunferência trigonométrica e que não esteja sobre nenhum dos eixos coordenados. Seja α o ângulo determinado pelo eixo OX e pela semi-reta OP, onde O é a origem do sistema. Nessas condições, assinale o que for correto.

(01) A abscissa de P é menor do que cos(α). (02) A ordenada de P é igual a

sen(

)

2 ππππ

α +

. (04) A tangente de α é determinada pela ração

entre a ordenada e a abscissa de P.

(08) As coordenadas de P satisfazem à equação x2 + y2 = 1. (16) Se x = y, então cotg(α) = -1. (32)

4 ππππ

α =

é o menor arco positivo para o qual a equação 2 2 2 2 cos ( ) s en ( ) cos ( ) s en ( ) 2 2 π π ππ ππ π π α + π + α + = α + + α + π α + π + α + = α + + α + π α + π + α + = α + + α + π α + π + α + = α + + α + π é satisfeita. (64) sen(2α) = 2y.

46 –

(2º-04) Sobre funções trigonométricas, assinale o que for correto.

(01) A solução da inequação

3 cos(x)

0

2 − ≤

≤

− ≤

≤

− ≤

≤

− ≤

≤

, para x ∈ [0, 2π], é

S

x

;

x

3

2

2 π

π

















=

∈

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

=

_

∈

≤ ≤

_

















.

(15)

12

(02) A solução da inequação sen(x).cos(x)>0, para x ∈ [0, 2π], é

S

(0, ]

[ ,

3 )

2

2 π

π

=

∪ π

=

∪ π

=

∪ π

.

(04) O período e a imagem da função f, definida por

f (x)

1 3sen

3

2 ππππ













= +

_

_













, x ∈ R, são, respectivamente, p = 4π e [-2, 4].

(08) A função g definida por g(x) = tg(x),

x

(

, )

2 2

π π

∈ −

, é decrescente. (16) Se x + y = 60º, então 2 2

1 [cos(x)+cos(y)] +[ sen(x)-sen(y)] - 2 =

2

.

47 –

(1º-05) Sobre trigonometria, assinale o que for correto. (01)

1 cos(x)

2sen ( )

2

x

2 −

=

−

=

−

=

−

=

.

(02) A função f definida por f(x)=cos(-x) é impar. (04) O período da função f definida por f(x)=sen(2x)

é 4π.

(08) O conjunto-imagem da função f definida por f(x)=cotg(x) é R – {0}.

(16) Considerando que

cos(x)

1

2 ====

, então

x

2k

3 ππππ

=

+

π

=

+

π

=

+

π

=

+

π

, k ∈ Z.

(32) Em um triângulo ABC, onde a medida do lado AB é 4, a medida do lado BC é 5 e a medida do ângulo A é 120º, a medida do lado AC é

( 13

−−−−

2)

.

GABARITO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C A D C E 17 C B D 1 D 06 C A C A B A 71 A 2 A E B A D D D D 03 D 3 06 26 60 75 15 57 50 42 99 43 4 06 86 07 89 20 44 05 49

BIBLIOGRAFIA

CARMO, Manfredo Perdigão do. Trigonometria – números complexos. SBM.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto & aplicações. Volume Único, Editora Ática. LIMA, Elon Lages e Outros. A matemática do

ensino médio. Volume 1, SBM.

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. Volume 1, McGraw-Hill.

MARQUES, Paulo. Página na internet desenvolvida por Paulo Marques. http://www.terra.com.br/matematica/

Material apostilado. III Milênio ed. Material apostilado. Editora Dom Bosco. Material apostilado. Sistema Uno de Ensino. Material apostilado. Sistema Maxi de Ensino.