APLICAÇÕES: ESCOAMENTOS DE PAREDE

APLICAÇÕES: ESCOAMENTOS DE PAREDE

1 - Presença de paredes: por muito elevado que seja o Re_l, os fluxos de origem dif usivo são importantes;

- Caso mais f requente. Exemplos: escoamento em condutas, canais, asas, navios, automóveis, permutadores de calor, máquinas, etc; - Observações do comportamento turbulento junto a paredes

- Casos típicos a estudar:

- Escoamento de Couette turbulento; - Escoamento de Poiseuille turbulento; - Camada limite turbulenta;

- Casos isotérmicos;

- Casos não-isotérmicos;

- Em regime turbulento há semelhanças nos vários casos. F. Pinho

Perfis de CL com vários gradientes de pressão

- Muito dif erentes do laminar; - Encostados à parede.

Deslizamento na parede? Não!

- Variam para zero em camada muito estreita junto à parede; - Em y/δ=0.2 há como que

cavidade, tipo perfil de esteira;

3 Prandtl e T. von Kármán deduziram 3 grandes regiões:

Camada interior: ef eitos directos da viscosidade determinantes; Camada exterior: efeitos directos da viscosidade desprezáveis; Camada intermédia: junção suave das duas zonas.

Camada interior (inner layer)

Segundo Prandtl u = fcn

(

τ_w,ρ,µ, y

)

Camada exterior (outer layer)

Segundo von Kármán, parede tem efeito de retardação (o tal perfil tipo esteira), reduzindo a velocidade relativamente à velocidade exterior ( ) U_∞ − u = fcn τ_w,ρ, y,δ, dp dx     U_∞

Camada intermédia: (overlap layer)

u _interior = u _exterior y δ < 0.1

y+ > 350

Análise dimensional Camada interior: Camada exterior: u u_τ = f yu_τ ν     com uτ = τ_w ρ U_∞ − u u_τ = g y δ ,ξ     com ξ = δ τ_w dp dx Velocidade de fricção

Lei de defeito de velocidade

Camada intermédia: para valor fixo de ξ, u _interior = u _exterior u u_τ = f δu_τ ν y δ     = U_∞ u_τ − g y δ    

Análise funcional elementar demonstra isto só ser possível se

5 Camada intermédia u u_τ = 1 κ ln yu_τ ν + B

- usando variáveis da camada interior:

U_∞ − u u_τ = − 1 κ ln y δ + A

- usando variáveis da camada exterior: Parâmetros são obtidos da experimentação:

Constantes quase-universais:

Parâmetros não universais: A depende de ξ

κ ≈ 0.41 B ≈ 5.0

Uso de variáveis de parede para representar perfis: enorme sucesso (ver slide seguinte)

- colapso em relação logarítmica única para - fora da zona logarítmica temos zona interior e exterior

35 ≤ y+ ≤ 350

(0.02≤ y δ ≤ 0.2) F. Pinho

Perfis de CL com vários gradientes de pressão em coordenadas de parede e em coordenadas exteriores

ξ = −4.8 ξ = 0.0 ξ = 6.3 ξ = 29

7 Outros detalhes da lei de parede da camada interior (inner layer)

- Junto à parede predominam tensões moleculares viscosas

- Para valores muito baixos de y+_{, perf il de velocidades é linear}

y+ ≤ 5 τw = µ u y (da equação de QM) u+ = y+ SUBCAMADA VISCOSA

ZONA TAMPÃO (buffer layer)

5 < y+ ≤ 30 Transição entre perfil linear e logarítmico - Várias equações disponíveis, ou única equação (Spalding) para subcamada laminar, zona tampão e zona logarítmica:

y+ = u+ + e−κB eκu+ −1−κu+ − κ u+

( )

2 2 − κu+

( )

3 6        

ZONA LOGARÍTMICA (já mencionada) F. Pinho

Detalhes da camada exterior: Lei de esteira de Coles

Coles verif icou que

u+ − u_log+ _−law U_∞+ − u_log+ _−law(y = δ) ≈ f y δ     com f=0 na parede e f=1 em y=δ

- Perfil de velocidade tem f orma tipo S, tipo esteira

9 Perfil f inal: _u+ = 1 κ ln y+ + B + 2Π κ f y δ     Π = κA

2 Parâmetro de esteira de Coles

Perfil f inal é muito semelhante ao dos perfis do primeiro gráfico F. Pinho

11 ESCOAMENTO DESENVOLVIDO EM CANAL

Considerações gerais

- Paredes lisas

(numa primeira fase); - Escoamento 2-D;

- Escoamento totalmente desenvolvido; Continuidade ⇒ U₂ = 0 QM segundo x₁: ₀ = − ∂p ∂x₁ + d dx₂ µ dU₁ dx₂ − ρu1u2       QM segundo x₂: ₀ = − ∂p ∂x₂ − d dx₂ ρu2 2

( )

F. Pinho

- Integrando QM₂ segundo x_{2: p} = _p1

( )

_x1 − ρ_u22

(

u₂2 depende de x₂

)

- Integrando QM₁ segundo x₂: − dp1 dx₁ x2 + µ dU₁ dx₂ − ρu1u2 = ρuτ 2

Condição de fronteira em x₂=0 (Tensão na parede)

τ_w ≡ ρu_τ2

Definição de velocidade de fricção:

- No eixo do canal (simetria) x₂ =h : − dp1

dx₁ h = ρuτ 2 - Definindo: η = x2 h ν h dU₁ dη − u1u2 = uτ 2 1− η

(

)

Equação fundamental

13 ν h dU₁ dη − u1u2 = uτ 2 1− η

(

)

Escoamento exterior e a lei de defeito de velocidade

τ

ρ Tensão varia _linearmente

Re_uτ ≡ uτ h

ν =

1

δ

Para elevado ~50 a 500

- Termo viscoso é desprezável desde que derivada seja pequena (longe de parede);

−u₁u₂ = u_τ2

(

1− η

)

- Variação linear da tensão de Reynolds (não envolve modelação) (longe da parede, onde tensão molecular é desprezável);

CONCLUSÃO 2 zonas: longe da parede, tensões viscosas ~0 (dimensão ~ 2h)

zona de parede tensões viscosas >>0 (dimensão ~ )δ_v ≡ ν u_τ

(Notar que )δ <<1

- Introduzindo modelo clássico de turbulência: teoria do comprimento de mistura com distribuição assumida de acordo com resultados

experimentais −u₁u₂ = l ˜ 2 dU1 dη dU₁ dη com ˜ _l = l h = ˜ l

( )

η Substituindo ˜ l 2 dU1 dη dU₁ dη = uτ 2 1− η

(

)

dU₁ dη = u_τ ˜ l 1−η

(

)

1 2 (tudo >0) Integrando U₁( )1 −U₁

( )

η u_τ = 1− η'

(

)

1 2 ˜ l

( )

η' dη' η 1

∫

Lei de defeito _{de velocidade} (ind. do Re)

- l independente de Reynolds (resultado é igual ao obtido por Efeito do gradiente de

Na expansão assimptótica, velocidade é uma série em potências de δ;

U+

( )

η,δ ≈(0)U+

( )

η +δ(1)U+

( )

η + ...

Substituindo na equação total de QM: 2 equações em potências de δ ˜

l 2 (0)U ˜ +2 =

(

1−η

)

1+ 2˜ l 2 (1)U+'= 0

Mesma equação de U₁ (slide anterior)

Termo pouco importante (0) U 1

( )

−(0)U

( )

η u_τ = 1−η'

(

)

1 2 ˜ l

( )

η' dη' η 1

∫

Basta conhecer comprimento de mistura para ter lei de defeito de velocidade 15 1ª equação ( )δ0 2ª equação ( )δ1 (1) U+

( )

η = 1 2 dη' ˜ l 2

( )

η' η 1

∫

F. Pinho

Modelo para comprimento de mistura (inválido junto a parede): ˜ l = κ₀

[

1− 2 1

(

− η

)

2 +

(

1− η

)

4

]

+ 1 2κ

(

1− η

)

2 1−

(

1 − η

)

2

[

]

˜ l ≈κη + O

( )

η2

Modelo é adequado a canal pois é simétrico e ainda quando η → 0

Substituindo esta última e integrando concluímos

U₁+

(

η → 0

)

= U₁+( )1 + 1 κ lnη − 1 −η

(

)

12 ˜ l

( )

η dη η* 1

∫

+ 1 κ lnη *         = U₁+( )1 + 1 κ lnη + C    

Com η* <<1 tal que o termo nos parentesis é independente de η* Conclusão: chegamos a lei log assumindo variação linear de l com

(relativa/ próximo da parede)

17 Para obter perfil na zona longe da parede teríamos de usar a lei

completa e ajustar o segundo parâmetro κ₀

κ₀ = 0.14

Com _{, e lei completa, obtem-se}

Ênfase longe da parede

Ênfase junto à parede (Figuras consistentes com (próximo de parede) e longe da parede)- modelo alternativo para l

l = κx₂ l = l_∞

Escoamento interior e a lei de parede ν h dU₁ dη − u1u2 = uτ 2 1− η

(

)

- QM segundo x₁:

Tensões moleculares são importantes (mesmo se Re )→ ∞ Definindo y+ ≡ ηRe_uτ = uτ x2

ν

- QM adimensional e com modelo de comprimento de mistura é:

dU₁+ dy+ + l +2 dU 1+ dy+      _   2 = 1 − y + Re_uτ com l + _{≡ l Re˜} u_τ

Contabiliza a tensão que é predominante na periferia exterior da zona de parede (é um efeito de fronteira) - Definindo: δ ≡ 1

Re

Como Re é elevado, o perfil de velocidade pode ser obtido por expansão em série de δ

(efeito de grad de pressão)

19 Substituindo expansão e agrupando termos:

- de ordem zero em δ - de ordem 1 em δ d (0)U₁+ dy+ + l +2 d (0)U₁+ dy+         2 = 1 d (1)U₁+ dy+ + 2l +2 d (0)U₁+ dy+         d (1) U₁+ dy+         = −y+ (1) (2) Integrando a equação (1) (0) U₁+ = 1 2 1+ 4l+2

( )

y'+       1 2 −1 l+2

( )

y' + dy'+ 0 y+

∫ (não há aqui efeito de gradiente de pressão. Está na 1ª correção)

A Re elevados (δ<<1) a lei de parede é independente de grad pressão F. Pinho

1ª situação: predominância da tensão viscosa

- independentemente de modelo para l, desde que l+

(

y+ → 0

)

→ 0

U₁+ = y+ quando y+ → 0 (subcamada viscosa) 2ª situação: predominância da tensão de Reynolds

- independentemente de modelo para l, desde que l+

(

y+ → ∞

)

→ κy+

U₁+ = 1 κ ln y+ + 1 2 1+ 4l+2

( )

y+     1 2 − 1 l+2

( )

y+ dy+ − 1 κ ln y *+ 0 y*+

∫

         

quando e tal que termo entre parentesis é independente de sendo que

y+ → ∞

y *+ y *+ >>1

B (usar regra de l’Hopital)

3ª situação:

Considerando o modelo de Van Driest

l+ = κy+ 1− exp − y + κ_w             Factor de amortecimento κ_w = 24.8

Com _B=5.0 (valor típico de “canal”. B

varia de 4 a 6 noutros casos) Segundo Van Driest

l+

(

y+ → 0

)

→ κ

κ_w y+

2

Rápido domínio das tensões viscosas ao aproximar de

parede 21

ESCOAMENTO TURBULENTO DE COUETTE (continuação 1)

Qual a relação entre U_placa, distância (2h) e taxa de deformação

S ≡ dU1 dx₂ ?

Caso 1) isotérmico

23

U₁

( )

x₂ − 1

2Uh é função ímpar de x2 − h

U₁( )h = 1

2Uh Basta analisar metade inferior - Balanço de QM: ν dU1

dx₂ − u1u2 = uτ

2 _{(dif ere de “conduta” no} membro da direita)

- Modelo de comprimento de mistura: −_u1u2 = _l2 dU1

dx₂       2

NOTA: tínhamos concluído que e eram constantes longe das paredes

u₁u₂ dU1 dx₂

l = constante = l_∞

PERIGO: inconsistência

Não é possível ajustar solução na zona de parede com solução na camada exterior se esta envolver l constante.

Na fronteira da camada exterior l deve variar como em conduta, ie, quando (observação de fora para dentro)l ∝ x₂ h x₂ h → 0

Conduzirá a camada de parede idêntica à do canal

Definindo: η ≡ x2 h U + _≡ U u_τ ˜ l ≡ l h

25 -Balanço de QM 1 Re_uτ dU+ dη + ˜ l 2 dU + dη       2 = 1

Soma das tensões molecular e turbulenta= constante

(em conduta não era assim: ef eito do gradiente de pressão)

- Re elevado permite análise assimptótica - 1ª parte: zona exterior - tensão

viscosa desprezável Comprimento de mistura adoptado tende para linear junto à parede e constante longe da parede

- Perfil de velocidades U+

( )

η = U+( )1 − dη' ˜ l

( )

η' η 1

∫

Sob a forma de defeito de velocidade:

Se diminui, zona de taxa de deformação constante aumenta η_m (3) Eq. (4) U 1

( )

−U

( )

η u_τ = dη' ˜ l

( )

η' = 1 ˜ l _∞ η 1

∫

(

1−η

)

η_m < η ≤1 = _˜ 1 l _∞

(

1−ηm

)

+ 1 κ lnηm     _  − 1 k lnη 0 < η < ηm −C

27 - Comportamento limite ( )_U+₍η → ₀₎ ˜ l (η → 0) ≈ κη como onde C só depende de U+

( )

η = U+( )1 + 1 κ lnη + C η_m

- 2ª parte: sub-camada viscosa - tensão viscosa dominante Interessa usar agora y+ _{em vez de} η_;

U₁+ = 1 2 1+ 4l+2

( )

y'+     1 2 −1 l+2

( )

y' + dy'+ 0 y+

∫

dU+ dy+ + ˆ l 2 dU + dy+       2 = 1 com l ˆ ≡ l Re˜ u_τ U+ = y+ se ˆ l y

(

+ → 0

)

→ 0 (equivalente ao l+₎ F. Pinho

- 3ª parte: zona exterior da camada de parede l ˆ ≈ κy+

y+→∞

lim

U+ = 1

κ ln y+ + B

B depende de κ_w num modelo tipo Van Driest. Para Couette os valores adequados obtidos da experimentação são

κ_w = 28.0 e B = 5.6

Ligação dos perfis interior e exterior Lei para fricção

B = U

(

η = 1

)

u_τ + 1 κ ln 1 Re_uτ       + C onde C depende de ˜ l _∞ Definindo: c_f ≡ 2 τw ρU2

(

η = 1

)

= 2 u_τ U₁

(

η = 1

)

      = cf

(

δ;ηm

)

Relação entre U e δ

29 Recorrendo à Eq. (4) com η > η_m

dU₁ dx₂ h U₁( )1 = u_τ U₁( )1 1 ˜ l _∞ η_m

Valor de obtem-se da experimentação. De acordo com resultados experimentais

c_f = 0.072 log U

(

₁( )1 h ν

)

[

]

2 dU₁ dx₂ h U₁( )1 = 0.78 log U

(

₁( )1 h ν

)

η_m ≈ 0.5 ˜ l _∞ ≈ 0.2 C = −0.77

Ver gráfico seguinte

Taxa de deformação S

30 Re_uτ c _f dU₁ dx₂ h U₁

( )

1 F. Pinho

31 Caso 2) Térmico, mas passivo, ie, campo de velocidades conhecido

Θ( )2 > Θ( )0

Θ( )1 = 1

2

[

Θ( )2 + Θ( )0

]

Análise da metade inf erior

- Equação da energia térmica simplif icada:

ν Pr dΘ dx₂ − u2θ = − ˙ q _w ρc_p

Fluxo de calor específico ( a determinar)

e pequeno espaçamento para evitar impulsão

(modelo de comprimento de mistura é inadequado para impulsão)

- Modelo de comprimento de mistura térmico −u₂θ = l 2 dU₁ dx₂

(

)

σ_T dΘ dx₂ Prandtl turbulento

(escalas térmicas e drodinâmicas idênticas) - Eq. Energia: 1 Pr× Re_uτ + ˜ l 2 dU + dη σ_T           dΘ dη = − ˙ q _w ρc_pu_τ conhecido

1ª parte: análise para Reynolds elevado e longe da parede Inverso de Reynolds =δ = 0 Θ η

( )

= Θ( )1 + σ_T q ˙ w u_τ dη' ˜ l

( )

η' η 1

∫

= Θ( )1 + σ_T q ˙ w ρc_pu_τ U +_{(1) − U}+

_{( )}

_η

[

]

33 Agora, se _{Θ η →}

₍

₀

₎

_{= Θ( )1 − σ} T ˙ q _w u_τ 1 κ lnη + C    

2ª parte: na zona de parede (usando normalização de parede) 1 Pr + ˆ l 2 dU + dy+ σ_T           dΘ dy+ = − ˙ q _w ρc_pu_τ Eq. da energia:

Integrando (também por análise assimptótica)

Θ

( )

y+ = Θ( )0 − q ˙ w ρc_pu_τ dy'+ 1/ Pr ( ) + 

(

1+ 4ˆ l 2

( )

y'+

)

1 / 2 −1     

(

2σT

)

0 y+

∫

F. Pinho

Usando modelo de Van Driest para comprimento de mistura ˆ l y

(

+ → 0

)

∝ y+2 Θ

(

y+ → 0

)

= Θ( )0 − σ_T q ˙ w ρc_pu_τ y + _{SUBCAMADA VISCOSA} TÉRMICA

No outro extremo da zona de parede: _{l y}ˆ

(

+ → ∞

)

≈κ_y+

Θ

(

y+ → ∞

)

= Θ( )0 − σ_T q ˙ w u_τ 1 κ ln y+ + Bθ    

Lei logaritmica de distribuição de temperaturas na zona exterior da região de parede

Depende de Prandtl lam Prandtl turb Van Driest

35 INTERMITÊNCIA

- Intermitência: fracção de tempo em que existe fluido em esc. turbulento num determinado ponto

- Relevância das médias zonais: estudo das médias em f ase. - Possibilidade de quantificar as reais f lutuações turbulentas

SUPERCAMADA

- Camada de fluido que separa zona de intermitência 0 e zona de intermitência 1;

- Separa fluido rotacional de fluido irrotacional; F. Pinho