Álgebra Não Comutativa
(Mestrado em Matemática, 2012/2013)
Fernando Silva
(texto revisto em 30-jul-2015)
Este texto é uma revisão do texto de apoio para a disciplina de Álgebra Não Comutativa do Mestrado em Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa no ano letivo de 2012/2013. A última revisão está disponível emhttp://webpages.fc.ul.pt/~fasilva/anc/ .
Este texto foi escrito para apoiar as aulas da disciplina de Álgebra Não Comutativa do mestrado em Matemática da Faculdade de Ciências da Uni-versidade de Lisboa no ano letivo de 2012-2013. Todos os alunos que fre-quentaram esta disciplina também tinham frequentado Álgebra Comutativa onde foi lecionada a Teoria dos Módulos. Por isso, o texto pressupõe que os estudantes já conheciam a Teoria dos Módulos ao nível necessário para a dis-ciplina de Álgebra Não Comutativa. Para facilitar as referências, o texto foi escrito no mesmo documento em que foi escrito o texto para a disciplina de Álgebra Comutativa e as numerações das páginas e dos capítulos continuam as numerações no texto de Álgebra Comutativa que está disponível em
Parte II
Conteúdo
I Álgebra Comutativa
0 Preliminares 1
0.1 Grupos . . . 1
0.2 Grupos aditivos comutativos . . . 2
0.3 Generalidades sobre anéis . . . 5
0.4 Domínios integrais . . . 13 0.5 Ideais maximais . . . 15 1 Módulos 17 1.1 Generalidades . . . 17 1.2 Condições de cadeia . . . 27 1.3 Séries de composição . . . 32 1.4 Módulos livres . . . 38 1.5 Sequências exatas . . . 48
1.6 Módulos projetivos e módulos injetivos . . . 52
1.7 Hom e dualidade . . . 59
2 Álgebras e polinómios 67 2.1 Álgebras sobre um anel comutativo . . . 67
2.2 Álgebras de polinómios . . . 71
2.3 Teorema da base de Hilbert . . . 79
3 Aplicações multilineares e produtos tensoriais 81 3.1 Aplicações multilineares . . . 81
3.2 Determinante . . . 84
3.3 Teorema de Cayley-Hamilton . . . 89
3.4 Produto tensorial de módulos . . . 90
3.5 Produto tensorial de homomorfismos . . . 98
3.6 Mudança do anel dos escalares . . . 101
3.7 Produto tensorial de álgebras . . . 103
4 Módulos sobre domínios de ideais principais 105 4.1 Módulos finitamente gerados . . . 105
4.3 Decomposições em fatores cíclicos . . . 111
4.4 Diagonalização de matrizes . . . 122
4.5 Formas canónicas para a semelhança . . . 133
5 Anéis comutativos 142 5.1 Ideais primos e ideais radicais . . . 142
5.2 Elementos inteiros . . . 147
5.3 Variedades afins . . . 152
5.4 Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz) . . . 155
5.5 Anéis de frações, anéis locais e localização . . . 160
5.6 Decomposição primária . . . 169
5.7 Teorema da intersecção de Krull . . . 181
II Álgebra Não Comutativa 6 Radical de Jacobson 201 6.1 Radical de Jacobson e lema de Nakayama . . . 201
6.2 Anéis locais . . . 207
6.3 Teoremas de Fitting e de Krull–Schmidt . . . 209
7 Anéis semissimples 213 7.1 Anéis simples . . . 213
7.2 Módulos semissimples . . . 215
7.3 Anéis semissimples . . . 220
7.4 A estrutura dos anéis semissimples . . . 222
7.5 Unicidade de decomposição dos anéis semissimples. Compo-nentes simples . . . 232
8 Anéis primitivos e semiprimitivos 240 8.1 Anéis e ideais primitivos . . . 240
8.2 Teorema da densidade . . . 241
8.3 Estrutura dos anéis primitivos . . . 244
8.4 Anéis semiprimitivos . . . 246
8.5 Socle de um módulo . . . 251
9 Primos e semiprimos 253 9.1 Ideais primos e semiprimos . . . 253
9.2 Anéis primos e semiprimos . . . 258
9.3 Relações entre várias classes de anéis . . . 260
10 Anéis perfeitos e semiperfeitos 264 10.1 Anéis semilocais . . . 264
10.2 Idempotentes . . . 268
10.4 Anéis semiperfeitos . . . 281
10.5 T-Nilpotência . . . 286
10.6 Anéis perfeitos . . . 289
10.7 Submódulos supérfluos e submódulos maximais . . . 291
10.8 Cobertura projetiva . . . 295
10.9 Produto tensorial . . . 301
10.10Módulos planos . . . 306
Capítulo 6
Radical de Jacobson
6.1 Radical de Jacobson e lema de Nakayama
Seja R um anel. Seja Ue(R) o conjunto dos elementos de R invertíveis à
esquerda. (1) Seja U(R) o grupo multiplicativo dos elementos invertíveis de
R.
Se R 6= 0, então, pelo lema de Zorn, R tem pelo menos um ideal esquerdo maximal.
Se R 6= 0, chamamos radical esquerdo de Jacobson de R à interseção de todos os ideais esquerdos maximais de R. Se R = 0, dizemos que o radical esquerdo de Jacobson de R é 0. Representamos o radical esquerdo de Jacobson de R por JeR. Analogamente, definimos radical direito de Jacobson
de R e representamo-lo por JdR.
Mais adiante, veremos que JeR = JdR. Depois disso, diremos que JeRé
o radical de Jacobson e representá-lo-emos por JR. Note-se que, se R 6= 0, então JeR$ R.
Lema 6.1 Sejam R um anel e y 2 R. As afirmações seguintes são equivalentes:
(a6.1) y2 JeR.
(b6.1) Qualquer que seja r 2 R, 1 + ry 2 Ue(R).
(c6.1) Qualquer que seja o R-módulo esquerdo simples M, yM = 0.
Demonstração. O caso R = 0 é trivial. Suponhamos que R 6= 0.
(a6.1)) (b6.1). Suponhamos que y 2 JeR. Seja r 2 R. Suponhamos que
1 + ry /2 Ue(R). Então R(1 + ry) é um ideal esquerdo de R diferente de R.
Utilizando o lema de Zorn, deduzimos que existe um ideal esquerdo maximal mde R tal que R(1 + ry) ✓ m $ R. Donde, 1 + ry 2 m. Como y 2 JeR,
y 2 m. Donde, 1 2 m, o que implica que R = m, uma contradição. Logo, 1 + ry2 Ue(R).
(b6.1) ) (c6.1). Seja M um R-módulo esquerdo simples. Suponhamos
que yM 6= 0. Seja x 2 M tal que yx 6= 0. Então R(yx) é um submódulo não nulo de M. Como M é simples, M = R(yx). Em particular, existe r 2 R tal que x = r(yx). Donde, (1 ry)x = 0. Como 1 ry 2 Ue(R),deduzimos
que x = 0, o que é absurdo. Logo, yM = 0.
(c6.1) ) (a6.1). Seja m um ideal esquerdo maximal de R. Então R/m
é um R-módulo esquerdo simples. De acordo com (c6.1), y(R/m) = {m}.
Como y + m = y(1 + m) 2 y(R/m) = {m}, deduzimos que y 2 m. Logo, y2 JeR.
Proposição 6.2 Se R é um anel, JeR é um ideal de R.
Demonstração. Claramente, JeR é um ideal esquerdo de R. Sejam y 2
JeR e r 2 R. Seja M um R-módulo simples. De acordo com o lema 6.1,
yM = 0. Donde, (yr)M ✓ yM = 0. De novo pelo lema 6.1, yr 2 JeR. Logo,
JeR é um ideal de R.
Lema 6.3 Sejam R um anel e y 2 R. São equivalentes: (a6.3) y2 JeR.
(b6.3) Quaisquer que sejam r, s 2 R, 1 rys é invertível.
Demonstração. Suponhamos que (b6.3) é satisfeita. Então (b6.1) é
satis-feita. Pelo lema 6.1, y 2 JeR.
Reciprocamente, suponhamos que y 2 JeR. Sejam r, s 2 R. Como JeR
é um ideal de R, ys, rys 2 JeR. De acordo com o lema 6.1, existe w 2 R tal
que
1 = w(1 rys) (6.1)
e existe u 2 R tal que
1 = u(1 + wrys). (6.2) De (6.1), vem wrys = w 1. Substituindo em (6.2), vem
1 = uw. (6.3)
Assim,
u = u1 = u(w(1 rys)) = (uw)(1 rys) = 1 rys.
Tendo em conta (6.1) e (6.3), concluímos que 1 rys é invertível e w é o seu inverso.
Demonstração. Basta ter em conta que, com argumentos análogos aos utilizados para demonstrar o lema 6.3, é possível provar que, qualquer que seja y 2 R, y 2 JdR se e só se (b6.3) é satisfeita.
A partir de agora, chamaremos radical de Jacobson de R ao ideal JeR e
representá-lo-emos por JR.
Lema 6.5 [Lema de Nakayama] Sejam R um anel e a um ideal esquerdo de R. As afirmações seguintes são equivalentes:
(a6.5) a✓ JR.
(b6.5) 1 + a✓ U(R).
(c6.5) 1 + a✓ Ue(R).
(d6.5) Para todo o R-módulo esquerdo finitamente gerado M, se aM = M,
então M = 0.
(e6.5) Para todo o R-módulo esquerdo M e para todo o submódulo N de M
tal que M/N é finitamente gerado, se N + aM = M, então N = M. Demonstração. (a6.5) ) (b6.5) resulta do lema 6.3. (b6.5) ) (c6.5) é
trivial.
(c6.5)) (a6.5). Seja y 2 a. Por (c6.5),qualquer que seja r 2 R, 1 + ry 2
Ue(R). Pelo lema 6.1, y 2 JR.
(a6.5)) (d6.5). Suponhamos que a ✓ JR. Seja M um módulo esquerdo
finitamente gerado sobre R tal que aM = M. Suponhamos que M 6= 0. Seja {x1, . . . , xn} um conjunto gerador minimal de M. Como aM = M,
x1 = k X j=1 cjyj, onde k 2 N, cj 2 a, yj 2 M, j 2 {1, . . . , k}. Para cada j 2 {1, . . . , k}, yj = n X i=1
ai,jxi, onde ai,j 2 R, i 2 {1, . . . , n}.
Assim, x1 = k X j=1 cj n X i=1 ai,jxi ! = n X i=1 dixi, onde di= k X j=1 cjai,j 2 JR, i 2 {1, . . . , n}.
Donde, (1 d1)x1= n X i=2 dixi,
Como d1 2 JR, 1 d1 2 U(R) e é fácil deduzir que x1 é combinação linear
de {x2, . . . , xn}. Daqui resulta que {x2, . . . , xn} gera M, o que é absurdo.
(d6.5) ) (e6.5). Suponhamos que (d6.5) é satisfeita. Seja N um
sub-módulo de um R-sub-módulo esquerdo M tal que M/N é finitamente gerado e N + aM = M. É fácil verificar que
aM N = N + aM N = M N. De acordo com (d6.5), M/N = 0. Donde, N = M.
(e6.5) ) (a6.5). Suponhamos que (e6.5) é satisfeita e a * JR. Pela
definição de JR, existe um ideal esquerdo maximal m de R tal que a * m. Assim, m $ m + a. Pela maximalidade de m, R = m + a ✓ m + aR ✓ R. Por (e6.5), m = R, o que é absurdo.
Corolário 6.6 Se R é um anel, JR é o maior ideal (respetivamente, maior ideal esquerdo) a de R tal que 1 + a ✓ U(R) (respetivamente, 1 + a ✓ Ue(R)).
Proposição 6.7 Seja R um anel. Um elemento r 2 R é invertível à esquerda (respetivamente, invertível) em R se e só se r + JR é invertível à esquerda (respetivamente, invertível) em R/JR.
Demonstração. Suponhamos que r + JR 2 Ue(R/JR). Seja s 2 R tal
que 1 + JR = (s + JR)(r + JR) = sr + JR. Então, 1 sr 2 JR. Pelo lema de Nakayama, sr 2 Ue(R). Donde, r 2 Ue(R).
O resto da demonstração é exercício.
Definição 6.8 Seja R um anel. Um elemento x de R diz-se nilpotente se existe n 2 N tal que xn= 0.
Um ideal esquerdo (respetivamente, direito) a de R diz-se nil se todos os seus elementos são nilpotentes.
Um ideal esquerdo (respetivamente, direito) a de R diz-se nilpotente se existe n 2 N tal que an= 0.
Nas condições anteriores,
• an= 0 se e só se, quaisquer que sejam x
1, . . . , xn2 a, x1· · · xn= 0.
• Se a é nilpotente, então a é nil.
Lema 6.9 Seja R um anel. Se a e b são ideais esquerdos nilpotentes de R,então a + b é um ideal esquerdo nilpotente de R.
Demonstração. Suponhamos que a e b são ideais esquerdos nilpotentes de R. Seja n 2 N tal que an= bn = 0. Vejamos que (a + b)2n = 0. Sejam
x1, . . . , x2n2 a e y1, . . . , y2n 2 b, com vista a mostrar que
(x1+ y1)· · · (x2n+ y2n) = 0. (6.4)
Desenvolvendo o lado esquerdo de (6.4), obtemos uma soma com 22n
parce-las, onde cada parcela é produto de 2n elementos de a [ b. Em cada uma destas parcelas, pelo menos n fatores pertencem a a ou pelo menos n fatores pertencem a b. Como a e b são ideais esquerdos e an = bn = 0,deduzimos
que todas as parcelas são nulas. Portanto, (6.4) é satisfeita. Logo, a + b é nilpotente.
Corolário 6.10 Seja R um anel. Se a1, . . . , am são ideais esquerdos
nilpotentes de R, então a1+· · · + am é nilpotente.
Demonstração. Resulta do lema anterior, utilizando um argumento de indução.
Lema 6.11 Sejam R um anel e a um ideal esquerdo de R. Se a é nil, então a ✓ JR.
Demonstração. Suponhamos que a é nil. Seja y 2 a. Seja r 2 R. Como ry2 a, ry é nilpotente. Seja n 2 N tal que (ry)n= 0. Então
n 1 X i=0 (ry)i ! (1 ry) = n 1 X i=0 (ry)i n X i=1 (ry)i = 1,
o que mostra que 1 ry 2 Ue(R). De acordo com o lema 6.1, y 2 JR. Logo,
a✓ JR.
Proposição 6.12 Seja R um anel artiniano à esquerda. Então JR é o maior ideal esquerdo (respetivamente, ideal; ideal direito) nilpotente de R.
Demonstração. Tendo em conta o lema anterior, basta provar que J = JR é nilpotente. Como
J◆ J2 ◆ J3 ◆ · · ·
é uma cadeia descendente de ideais de R e R é artiniano à esquerda, existe k2 N tal que, qualquer que seja n k, Jk= Jn. Vejamos que Jk= 0.
Suponhamos que Jk6= 0. Seja L o conjunto dos ideais esquerdos e de R
tais que Jke6= 0. O conjunto L não é vazio, pois J 2 L. Como R é artiniano
à esquerda, L tem um elemento minimal a. Seja x 2 a tal que Jkx 6= 0.
Então
o que mostra que Jkx 2 L. Como 0 6= Jkx ✓ a, resulta, da minimalidade
de a, que a = Jkx. Portanto, x = yx, para algum y 2 Jk ✓ J. Como
(1 y)x = 0 e 1 y 2 U(R), deduzimos que x = 0, o que é absurdo. Logo, Jk= 0.
Corolário 6.13 Sejam R um anel e a um ideal esquerdo ou um ideal direito de R.
Se R é um anel artiniano à esquerda e a é nil, então a é nilpotente. Demonstração. Suponhamos que a é nil. De acordo com o lema 6.11, a✓ JR. De acordo com a proposição 6.12, existe k 2 N tal que (JR)k = 0.
Logo, ak= 0.
Proposição 6.14 Sejam R um anel e m um ideal de Rn⇥n. Existe um
único ideal a de R tal que m = an⇥n.
Reciprocamente, se b é um ideal de R, então bn⇥n é um ideal de Rn⇥n.
Demonstração. Existência. Seja a o conjunto de todos os elementos a2 R tais que a é entrada de alguma matriz M 2 m. Quaisquer que sejam k, l 2 {1, . . . , n}, seja Ek,l a matriz que tem a entrada (k, l) igual a 1 e as
restantes entradas iguais a 0.
Vejamos que a é um ideal de R. Como m 6= ;, a 6= ;. Sejam a1, a2 2 a,
c2 R. Suponhamos que, para cada t 2 {1, 2}, até a entrada (it, jt) de uma
matriz Mt2 m. Então a1 a2 é a entrada (1, 1) da matriz
E1,i1M1Ej1,1 E1,i2M2Ej2,12 m,
o que mostra que a1 a2 2 a. Por outro lado, ca1 é a entrada (i1, j1) da
matriz (cIn)M1 2 m, o que mostra que ca1 2 a. Analogamente, a1c 2 a.
Logo, a é um ideal de R.
Vejamos que m = an⇥n. Claramente m ✓ an⇥n. Reciprocamente, seja
A = [ai,j]2 an⇥n. Sejam i, j 2 {1, . . . , n}. Pela definição de a, ai,j é entrada
de alguma matriz M(i, j) 2 m. Suponhamos que ai,j é a entrada (ki,j, li,j)
de M(i, j). Então
A =
n
X
i,j=1
Ei,ki,jM (i, j)Eli,j,j2 m.
Logo, m = an⇥n.
Unicidade. É trivial que, se an⇥n= m = bn⇥n,então a = b.
É fácil provar que, se b é um ideal de R, então bn⇥né um ideal de Rn⇥n.
Demonstração. Exercício.
Exercício 6.16 Seja a um ideal de um anel R tal que a ✓ JR. Mostre que
JR a =
JR a .
Exercício 6.17 Seja a um ideal de um anel R. Mostre que, se J(R/a) = {a}, então JR ✓ a.
Exercício 6.18 Seja M um módulo simples sobre um anel R. Mostre que o grupo aditivo M é um módulo simples sobre R/JR, com o produto escalar
(R/JR)⇥ M ! M. (6.5) (a + JR, x) ! ax
(Não se esqueça de mostrar que o produto escalar (6.5) está bem definido.) Exercício 6.19 Seja R um anel tal que S = U(R) [ {0} é um anel de divisão. Mostre que JR = 0.
Exercício 6.20 Seja R um anel. Mostre que, se a1, . . . , an são ideais
esquerdos nil, então a1+· · · + an é nil.
Exercício 6.21 Seja R um anel. Seja BR a intersecção de todos os ideais maximais de R. (2) Mostre que JR ✓ BR.
Exercício 6.22 Seja f : R ! S um epimorfismo de anéis. Mostre que f (JR)✓ JS. (3)
Exercício 6.23 Seja (Ri)i2Iuma família de anéis. Mostre que J(Qi2IRi) =
Q
i2IJRi.
6.2 Anéis locais
Proposição 6.24 Seja R um anel não nulo. São equivalentes as afir-mações seguintes:
(a6.24) R tem um único ideal esquerdo maximal.
(b6.24) R tem um único ideal direito maximal.
2BRchama-se o radical de Brown-McCoy de R.
3Esta inclusão e a inclusão do exercício anterior podem ser estritas. Encontram-se
exemplos em ex. 4.8 e ex. 4.10 do livro T. Y. Lam, Exercises in Classical Ring Theory, Springer-Verlag, 2003.
(c6.24) R/JR é um anel de divisão.
(d6.24) JR = R\ U(R).
(e6.24) R\ U(R) é um ideal de R.
(f6.24) R\ U(R) é um subgrupo aditivo de R.
(g6.24) Quaisquer que sejam a, b 2 R, a+b 2 U(R) ) a 2 U(R) ou b 2 U(R).
Demonstração. (a6.24)) (c6.24). Suponhamos que R tem um único ideal
esquerdo maximal m. Então JR = m e os únicos ideais esquerdos de R/JR são 0 e R/JR. De acordo com a proposição 0.49, R/JR é um anel de divisão. (c6.24)) (a6.24). Suponhamos que R/JR é um anel de divisão. Seja m
um ideal esquerdo maximal de R. Como JR ✓ m $ R, resulta da proposição 0.49 que JR = m.
Analogamente, demonstra-se que (b6.24), (c6.24).
(c6.24)) (d6.24). Suponhamos que R/JR é um anel de divisão. Como o
ideal JR é diferente de R, JR ✓ R \ U(R). Seja a 2 R \ U(R). De acordo com a proposição 6.7, a + JR 62 U(R/JR). Como R/JR é anel de divisão, a + JR = JRe a 2 JR.
(d6.24)) (e6.24)) (f6.24)) (g6.24). Trivial.
(g6.24) ) (c6.24). Suponhamos que (g6.24) é satisfeita. Seja a 2 R \ JR.
Seja m um ideal esquerdo maximal de R tal que a /2 m. Então, R = m+Ra e, portanto, existem m 2 m e b 2 R tais que 1 = m + ba. Como Rm ✓ m 6= R, m /2 U(R). Por (g6.24), ba 2 U(R). Donde, a 2 Ue(R). De acordo com
a proposição 6.7, a + JR 2 Ue(R/JR). De acordo com a proposição 0.48,
R/JRé um anel de divisão.
Definição 6.25 Os anéis não nulos R que satisfazem as condições equi-valentes (a6.24)–(g6.24) chamam-se anéis locais.
Proposição 6.26 Seja R um anel local.
(a6.26) JR é máximo no conjunto dos ideais esquerdos de R diferentes de R
e, portanto, é o único ideal esquerdo maximal de R.
(b6.26) JRé máximo no conjunto dos ideais de R diferentes de R e, portanto,
é o único ideal maximal de R. (c6.26) Se a 2 Ue(R), então a 2 U(R). (4)
(d6.26) R não tem idempotentes diferentes de 0 e de 1.
Demonstração. (a6.26). Seja a um ideal esquerdo de R diferente de R.
Seja m um ideal esquerdo maximal de R tal que a ✓ m. Como R é local, a✓ m = JR.
(b6.26)resulta de (a6.26).
(c6.26). Seja a 2 Ue(R). Então R = Ra e, portanto, a não pertence a
nenhum ideal esquerdo de R diferente de R. Em particular, a /2 JR. De acordo com (d6.24), a2 U(R).
(d6.26). Seja e um elemento idempotente de R. Seja f = 1 e. De acordo
com (g6.24), e 2 U(R) ou f 2 U(R). Como ef = e(1 e) = e e2 = 0,
deduzimos que f = 0 ou e = 0. Donde, e = 1 ou e = 0.
6.3 Teoremas de Fitting e de Krull–Schmidt
Teorema 6.27 [Fitting] Sejam M um módulo que tem uma série de composição e f : M ! M um endomorfismo de M. Existem submódulos L, N de M tais que M = L N, f(L) = L, f(N) ✓ N, f|L é um automor-fismo de L e f|N é um endomorfismo nilpotente de N.
Demonstração. Temos
f (M )◆ f2(M )◆ · · · , nuc f ✓ nuc f2✓ · · · .
Como M é noetheriano e artiniano, existe p 2 N tal que, qualquer que seja n p, fp(M ) = fn(M )e nuc fp= nuc fn. Sejam L = fp(M )e N = nuc fp.
Temos
L = fp(M ) = fp+1(M ) = f (fp(M )) = f (L). Seja x 2 N. Então
fp(f (x)) = f (fp(x)) = f (0) = 0,
o que mostra que f(x) 2 N. Logo, f(N) ✓ N.
Vejamos que L \N = 0. Seja x 2 L\N. Então x = fp(w),onde w 2 M,
e fp(x) = 0. Assim,
f2p(w) = fp(fp(w)) = fp(x) = 0,
o que mostra que w 2 nuc f2p = nuc fp. Donde, x = fp(w) = 0. Logo,
L\ N = 0.
Seja x 2 nuc f|L. Então x 2 L e f(x) = 0. Donde, x 2 nuc f ✓ N. Como
L\ N = 0, x = 0. Portanto, f|L é injetivo. Já tinhamos visto que f(L) = L.
Logo, f|L é automorfismo de L.
Resulta imediatamente da definição de N que fp(N ) = 0. Logo, f |N é
Vejamos que M = L + N. Seja x 2 M. Como L = fp(M ) = f2p(M ) =
fp(L), existe w 2 L tal que fp(x) = fp(w). Donde, 0 = fp(x) fp(w) = fp(x w),o que mostra que x w 2 N. Assim, x = w + (x w) 2 L + N. Logo, M = L + N. Já tinhamos visto que L \ N = 0. Logo, M = L N.
Lema 6.28 Seja R um anel não nulo.
(i6.28) Se todos os elementos de R \ U(R) são nilpotentes, então R é um anel
local.
(ii6.28) Se R é subanel de um anel de divisão D tal que, qualquer que seja
x2 D \ 0, x 2 R ou x 12 R, então R é um anel local.
Demonstração. (i6.28). Suponhamos que todos os elementos de R \ U(R)
são nilpotentes.
Vejamos que R \ U(R) ✓ JR. Seja a um elemento não nulo de R \ U(R). Seja k o menor número natural tal que ak = 0. Se existir b 2 R tal que
ba 2 U(R), então 0 6= ak 1 = (ba) 1(ba)ak 1 = (ba) 1bak = 0, o que é
absurdo. Logo, Ra ✓ R \ U(R). Como todos os elementos de R \ U(R) são nilpotentes, Ra é um ideal esquerdo nil. De acordo com o lema 6.11, Ra✓ JR. Assim, a 2 JR.
De acordo com o parágrafo anterior, R \ U(R) ✓ JR. A outra inclusão é trivial. Logo, R é anel local.
(ii6.28). Suponhamos que R é subanel de um anel de divisão D tal que,
qualquer que seja x 2 D \ 0, x 2 R ou x 1 2 R. Sejam a, b 2 R tais que
a + b2 U(R), com vista a mostrar que a 2 U(R) ou b 2 U(R). Se a = 0 ou b = 0, então b 2 U(R) ou a 2 U(R). Suponhamos que a 6= 0 e b 6= 0. Seja c = a 1b2 D. De acordo com a hipótese, c 2 R ou c 1 2 R. Se c 2 R,
então
a 1= a 1(a + b)(a + b) 1 = (1 + c)(a + b) 1 2 R e a 2 U(R). Se c 1 2 R, então
b 1 = b 1(a + b)(a + b) 1 = (c 1+ 1)(a + b) 1 2 R e b 2 U(R). Logo, R é anel local.
Definição 6.29 Um módulo M sobre um anel R diz-se fortemente inde-componível se EndR(M ) é um anel local.
Proposição 6.30 Seja M um módulo sobre um anel R. Se M é forte-mente indecomponível, então M é indecomponível.
Demonstração. Suponhamos que M é decomponível e sejam K e L sub-módulos não nulos de M tais que M = K L. Seja e : M ! M a projeção que a cada x + y 2 M, onde x 2 K e y 2 L, faz corresponder x. Claramente, e é um endomorfismo idempotente não nulo e diferente da identidade. De acordo com a proposição 6.26, EndR(M ) não é um anel local.
Proposição 6.31 Sejam R um anel e M um R-módulo não nulo, inde-componível e que tem uma série de composição. Então EndR(M ) é um anel
local, M é fortemente decomponível e o ideal J(EndR(M ))é nil.
Demonstração. Seja f 2 EndR(M ). Sejam L e N submódulos nas
con-dições do enunciado do teorema de Fitting. Como M é indecomponível, N = M ou L = M. Se N = M, então f é nilpotente. Se L = N, então f é um automorfismo. De acordo com o lema 6.28, EndR(M ) é um anel local.
Como o ideal J(EndR(M ))não contém elementos invertíveis, todos eles são
nilpotentes e J(EndR(M ))é nil.
Teorema 6.32 [Krull–Schmidt] Sejam R um anel e M um R-módulo não nulo que tem uma série de composição. Então
M = M1 · · · Mr,
onde r 2 N e M1, . . . , Mrsão submódulos de M não nulos e indecomponíveis.
Se M = N1 · · · Ns, é outra decomposição de M, onde s 2 N e
N1, . . . , Ns são submódulos de M não nulos e indecomponíveis, então r = s
e existe uma permutação de {1, . . . , r} tal que Mi ⇠= N (i), i2 {1, . . . , r}.
Demonstração. Existência. Seja M um R-módulo que tem uma série de composição. Vejamos que M se decompõe como soma direta de um número finito de submódulos não nulos indecomponíveis. Se M é indecomponível, a decomposição já está obtida. Se M é decomponível, então M = N1 N2,
onde N1 e N2 são submódulos de M não nulos. Se N1 e N2 são
inde-componíveis, a decomposição está obtida. Se algum dos módulos N1, N2 é
decomponível, podemos substitui-lo pela soma de dois submódulos não nulos e obter uma decomposição de M como soma direta de três submódulos não nulos. Repetindo este procedimento, obtemos uma decomposição de M como soma direta de um número finito de submódulos não nulos indecomponíveis, ou obtemos decomposições de M como soma direta de submódulos nulos, com o número de parcelas arbitrariamente grande. A segunda alternativa implica, de acordo com a proposição 1.59, que M tem séries normais com comprimentos arbitrariamente grandes, o que contradiz o lema 1.55. Logo, M decompõe-se como soma direta de um número finito de submódulos não nulos indecomponíveis.
Unicidade. Esta parte da demonstração é por indução em r. Se r = 1, então M é indecomponível e o resultado é trivial.
Suponhamos que r 2. Sejam ⇡i : M ! Mi, i 2 {1, . . . , r}, ⇢j : M !
Nj, j 2 {1, . . . , s}, as projeções associadas com as decomposições indicadas
no enunciado. Considerando ⇡i e ⇢j como elementos de EndR(M ),temos
Além disso,
idM1 = ⇡1|M1 = ⇡1(idM)|M1 = ⇡1⇢1|M1+· · · + ⇡1⇢s|M1. (6.6)
De acordo com a proposição anterior, o anel E = EndR(M1)é local. De
acordo com (g6.24), existe j 2 {1, . . . , s} tal que ⇡1⇢j |M1 é um automorfismo
de M1. Consequentemente, ⇢j |M1 : M1 ! N1 é um monomorfismo. Para
simplificar a escrita, suponhamos que j = 1. Como idM1 = ((⇡1⇢1|M1)
1⇡
1)⇢1|M1, de acordo com a proposição 1.95,
o monomorfismo ⇢1|M1 é cindível, isto é, im ⇢1|M1 é parcela direta de N1.
Como N1 é indecomponível, im ⇢1|M1 = 0 ou im ⇢1|M1 = N1. Como ⇢1|M1
é injetivo e M1 6= 0, im ⇢1|M1 = N1. Portanto, ⇢1|M1 : M1 ! N1 é um
isomorfismo.
Como ⇢1|M1 é injetivo, 0 = M1\ nuc ⇢1 = M1\ (N2 · · · Ns).
Seja y 2 N1 e suponhamos que y = ⇢1(x), onde x 2 M1. Então ⇢1(y
x) = y ⇢1(x) = 0. Assim, y x 2 nuc ⇢1 = N2 · · · Ns. Donde, y =
x+(y x)2 M1 (N2 · · · Ns). Donde, N1✓ M1 (N2 · · · Ns). Donde,
M = N1 · · · Ns✓ M1 (N2 · · · Ns). Donde, M = M1 N2 · · · Ns. Assim, M2 · · · Mr ⇠= M M1 ⇠ = N2 · · · Ns.
Capítulo 7
Anéis semissimples
7.1 Anéis simples
Um anel R diz-se simples se R 6= 0 e R e 0 são os únicos ideais de R. Proposição 7.1 Sejam R um anel e m um ideal de R.
• O anel R/m é simples se e só se m é um ideal maximal de R.
• Se R é anel de divisão, então R é um anel simples e o módulo regular esquerdo (respetivamente, direito) R é simples.
• Se R é comutativo, então R é simples se e só se R é um corpo. • R é anel simples se e só se, qualquer que seja x 2 R \ 0, RxR = R. Demonstração. Exercício.
Chama-se centro de R ao conjunto
ZR={z 2 R : 8x 2 R, zx = xz}.
O centro de R é um subanel comutativo de R.
Proposição 7.2 Se R é um anel simples, então ZR é um corpo.
Demonstração. Suponhamos que R é um anel simples. Como 0, 1 2 ZR
e R 6= 0, ZR6= 0.
Seja z 2 ZR\ 0, com vista a provar que z tem inverso em ZR. Como
R = RzR, 1 = Pni=1aizbi, para alguns n 2 N, ai, bi 2 R. Como z 2 ZR,
1 = zz0 = z0z,onde z0 =Pni=1aibi.
Qualquer que seja x 2 R, xz0= z0zxz0 = z0xzz0 = z0x, o que mostra que
Chamamos ideal esquerdo minimal de um anel R a qualquer ideal es-querdo de R, diferente de 0, que é minimal no conjunto dos ideais eses-querdos de R, diferentes de 0. Definimos, analogamente, ideal direito minimal.
Os ideais esquerdos minimais de R são exatamente os submódulos simples do módulo regular esquerdoRR.
O anel Z dos números inteiros não tem ideais minimais. De facto, se a for um ideal não nulo de Z e a for gerado por n 2 Z\0, então 0 $ Z(2n) $ Zn = a e, portanto, a não é minimal.
Lema 7.3 Se e é um ideal esquerdo minimal de um anel R, então, qual-quer que seja c 2 R, ec = 0 ou ec é um ideal esqual-querdo minimal de R isomorfo a e (como R-módulo).
Se d é um ideal direito minimal de um anel R, então, qualquer que seja c2 R, cd = 0 ou cd é um ideal direito minimal de R isomorfo a d.
Demonstração. Seja c 2 R. Claramente, ec é um ideal esquerdo de R. A aplicação fc : e! ec, que a cada x 2 e faz corresponder xc, é um epimorfismo
de R-módulos esquerdos. Como e é um ideal esquerdo minimal, nuc fc = e
ou nuc fc = 0. Donde, ec = 0 ou ec é um R-módulo isomorfo a e e, portanto,
um ideal esquerdo minimal de R.
Proposição 7.4 Suponhamos que R é um anel simples. Seja d um ideal direito não nulo de R. Seja e um ideal esquerdo não nulo de R. Então Rd = eR = R, d2 6= 0, e2 6= 0, de 6= 0.
Demonstração. 0 6= d ✓ Rd. Como Rd é um ideal do anel simples R, Rd = R. Analogamente, eR = R.
Assim, 0 6= d ✓ Rd = Rdd = Rd2. Donde, d26= 0.
Analogamente, 0 6= d ✓ RdR = RdeR. Donde, de 6= 0.
Proposição 7.5 Se R é anel simples, então Rn⇥n é anel simples.
Demonstração. Resulta da proposição 6.14.
Proposição 7.6 Se R é um anel de divisão, então Rn⇥né um anel
sim-ples, é um anel noetheriano e artiniano à esquerda e noetheriano e artiniano à direita.
Demonstração. A primeira afirmação é um caso particular da propo-sição anterior. As restantes afirmações resultam da propopropo-sição 1.50 e da observação que precede a proposição 1.49.
7.2 Módulos semissimples
Definição 7.7 Um módulo diz-se semissimples ou completamente redu-tível se todos os seus submódulos de são parcelas diretas.
Observação 7.8 • Os módulos simples são semissimples. • O módulo 0 é semissimples, mas não é simples.
• Os módulos semissimples e indecomponíveis são simples.
• Resulta, do que já sabemos das disciplinas de Álgebra Linear do pri-meiro ciclo, que os espaços vetoriais finitamente gerados sobre um corpo são semissimples.
Proposição 7.9 Seja M um módulo esquerdo sobre um anel R. As afir-mações seguintes são equivalentes:
(a7.9) M é simples.
(b7.9) M 6= 0 e, qualquer que seja x 2 M \ 0, M = Rx.
(c7.9) Existe um ideal esquerdo maximal m de R tal que M é isomorfo a
R/m.
Demonstração. (a7.9)implica (c7.9). Seja x 2 M \0. A aplicação p : R !
M,que a cada a 2 R faz corresponder ax, é um homomorfismo de módulos. Como p(R) é um submódulo não nulo de M e M é simples, p(R) = M. Assim, R/m ⇠= M, onde m = nuc p. Como M é simples, R/m também é simples. Tendo em conta a forma dos submódulos de R/m, deduz-se que m é um ideal esquerdo maximal de R.
O resto da demonstração é exercício.
Exemplo 7.10 Suponhamos que R é um domínio de ideais principais e que 0 não é ideal maximal de R. Então os ideais maximais de R são os ideais gerados pelos elementos irredutíveis de R. Consequentemente, M é um módulo simples sobre R se e só se M é isomorfo a R/Rp, para algum elemento irredutível p de R.
Proposição 7.11 [Lema de Schur] Sejam M e N módulos simples sobre um anel R. Se f : M ! N é um homomorfismo de módulos, então f é o homomorfismo nulo ou é um isomorfismo. O anel EndR(M ) é de divisão.
Demonstração. Sejam M e N módulos simples e f : M ! N um homomorfismo. Suponhamos que f não é o homomorfismo nulo. Assim, nuc f $ M e 0 $ im f. Como M é simples, nuc f = 0. Como N é simples, im f = N. Logo, f é invertível.
Como M 6= 0, EndR(M ) tem pelo menos 2 elementos, o endomorfismo
nulo e a identidade de M. De acordo com o argumento anterior, se M é simples, então todos os elementos não nulos do anel EndR(M )são invertíveis.
Portanto, EndR(M ) é um anel de divisão.
Proposição 7.12 Se M é um módulo semissimples e N é um submódulo de M, então N e M/N são semissimples.
Demonstração. Suponhamos que M é semissimples e que N é submódulo de M.
• Seja S um submódulo de N. Como M é semissimples, existe um submódulo T de M tal que M = S T.
Exercício. Mostre que N = S (T \ N).
Logo, S é parcela direta de N. Logo, N é semissimples.
• Seja K/N um submódulo de M/N. Então K é submódulo de M e N ✓ K. Como M é semissimples, existe um submódulo L de M tal que M = K L.
Exercício. Mostre que M N = K N L + N N .
Logo, K/N é parcela direta de M/N. Logo, M/N é semissimples. Proposição 7.13 Se f : M ! N é um epimorfismo de módulos e M é semissimples, então N é semissimples.
Demonstração. De acordo com a proposição anterior, M/ nuc f é semis-simples. Como N e M/ nuc f são isomorfos, N é semissemis-simples.
Lema 7.14 Seja M um módulo semissimples não nulo sobre R. Então M contém um submódulo simples.
Demonstração. Seja x 2 M \0. Vamos provar que o submódulo M0= Rx
contém um submódulo simples. De acordo com a proposição 7.12, M0 é
semissimples. Seja N o conjunto dos submódulos de M0 aos quais x não
pertence. Aplicando o lema de Zorn, deduz-se que N tem um elemento maximal para a inclusão, N. Como M0 é semissimples, existe um submódulo
Como x /2 N, vem N 6= M0 e N0 6= 0. Seja N00 um submódulo não nulo
de N0. Tendo em conta a maximalidade de N, x 2 N N00. Como x gera
M0,vem M0 = N N00. Como M0 = N N0 e N00✓ N0,é fácil deduzir que N00 = N0. Logo, N0 é simples.
Exercício 7.15 A soma direta interna de submódulos goza da seguinte propriedade associativa.
Seja (Mi)i2I uma família de submódulos de um módulo M. Suponhamos
que I = I1[ I2 e I1\ I2=;. São equivalentes as afirmações seguintes:
• A soma da família (Mi)i2I é direta.
• As somas das famílias (ML i)i2I1 e (Mi)i2I2 são diretas e a soma de
i2I1Mi com
L
i2I2Mi é direta.
Nestas condições, temos M i2I Mi = 0 @M i2I1 Mi 1 A 0 @M i2I2 Mi 1 A .
Em particular, se R, S, T são submódulos de um módulo M, são equiva-lentes:
• A soma dos submódulos R, S, T é direta.
• A soma de R e S é direta e a soma de R S e T é direta. • A soma de S e T é direta e a soma de R e S T é direta. Nestas condições, temos
(R S) T = R S T = R (S T ).
Lema 7.16 Seja M um módulo que é soma de uma família de submó-dulos simples (Si)i2I. Se N é um submódulo de M, então existe L ✓ I tal
que M = N M i2L Si ! . (7.1)
(Como é usual, convencionamos que o submódulo 0 é soma direta da família vazia de submódulos de M.)
Demonstração. Seja J o conjunto das partes J de I tais que • a soma da família (Si)i2J é direta,
Do lema de Zorn resulta que J tem um elemento maximal L. Seja M0 = N +X i2L Si= N M i2L Si. Vejamos que M0 = M.
Com vista a uma contradição, suponhamos que M0 $ M. Então existe
h2 I tal que Sh * M0. Então h /2 L e Sh\ M0 $ Sh. Como Sh é simples,
M0\ Sh= 0. Assim, M0+ Sh = M0 Sh = N M i2L Si !! Sh = N M i2L Si ! Sh ! = N 0 @ M i2L[{h} Si 1 A ,
o que contradiz a maximalidade de L. Logo, M0 = M.
Proposição 7.17 Seja M um módulo. As afirmações seguintes são equi-valentes:
(a7.17) M é semissimples.
(b7.17) M é soma de uma família de submódulos simples.
(c7.17) M é soma direta de uma família de submódulos simples.
Demonstração. (a7.17) implica (b7.17). Seja M1 a soma de todos os
submódulos simples de M. Como M é semissimples, existe um submódulo M2 de M tal que M = M1 M2.
Com vista a uma contradição, suponhamos que M2 6= 0. De acordo
com o lema 7.14, existe um submódulo simples S de M2. Assim, 0 $ S ✓
M1\ M2= 0, o que é absurdo.
Logo, M2 = 0 e M = M1.
(b7.17) implica (a7.17). Suponhamos que M é soma de uma família de
submódulos simples (Si)i2I. Seja N um submódulo de M. De acordo com o
lema anterior, existe L ✓ I tal que (7.1) é satisfeita. Logo, N é uma parcela direta de M e M é semissimples.
(b7.17) implica (c7.17). Suponhamos que M é soma de uma família de
submódulos simples (Si)i2I. Tomando N = 0, resulta do lema anterior que
existe L ✓ I tal que M é soma direta da família (Si)i2L.
Corolário 7.18 Se um módulo M é soma de uma família de submódulos semissimples, então M é semissimples.
Demonstração. Suponhamos que M é soma da família (Mi)i2Ide
submó-dulos semissimples. De acordo com a proposição anterior, para cada i 2 I, Mi
é soma de submódulos simples. Consequentemente M é soma de submódulos simples. De acordo com a proposição anterior, M é semissimples.
Proposição 7.19 Seja M um módulo semissimples sobre um anel R. São equivalentes:
(a7.19) M é noetheriano.
(b7.19) M é artiniano.
(c7.19) M tem uma série de composição.
(d7.19) M é finitamente gerado.
(e7.19) M é soma direta de uma família finita de submódulos simples.
Demonstração. Seja (Mi)i2I uma família de submódulos simples de M
tais que M =Li2IMi.
(a7.19) ) (e7.19). Suponhamos que M é noetheriano. Suponhamos que
I é infinito. Seja (in)n2N uma sucessão de elementos de I todos distintos.
Para cada k 2 N, seja Nk= Mi1 · · · Mik. Então N1$ N2$ · · · , o que é
absurdo.
Analogamente, (b7.19)) (e7.19).
(e7.19)) (c7.19). Cf. proposição 1.59.
(c7.19)) (a7.19) e (c7.19)) (b7.19). Cf. teorema 1.57.
(d7.19) ) (e7.19). Suponhamos que M é gerado por um subconjunto
finito {x1, . . . , xn}. Para cada k 2 {1, . . . , n}, existe um subconjunto finito
Ik de I tal que xk 2 Li2IkMi. É fácil deduzir que M = Li2I1[···[InMi.
Consequentemente, I = I1[ · · · [ In é finito.
(e7.19) ) (d7.19). Suponhamos que I é finito. Para cada i 2 I, existe
xi 2 Mi tal que Mi = Rxi. Claramente, M é gerado pelo conjunto finito
{xi : i2 I}.
Proposição 7.20 Todos os módulos sobre anéis de divisão são semis-simples.
Demonstração. Seja B uma base de um módulo M sobre um anel de divisão D. É fácil mostrar que M =Lb2BDbe que, para cada b 2 B, Db é
Exercício 7.21 Mostre que um módulo M é semissimples se e só se, quaisquer que sejam os R-módulos L e N, toda a sequência exata curta
0! L ! M ! N ! 0 é cindível.
Exercício 7.22 Seja 0 ! L ! M ! N ! 0 uma sequência exata curta de módulos sobre um anel R. Mostre que M é semissimples se e só se L e N são semissimples.
Exercício 7.23 Sejam U e V módulos sobre um anel comutativo R. Mostre que:
• Se V é simples, então U ⌦ V é semissimples. (Sugestão: Seja m um ideal maximal de R tal que V ⇠= R/m. Mostre que U ⌦ V é um espaço vetorial sobre o corpo R/m.)
• Se U é simples ou V é simples, então HomR(U, V ) é semissimples.
• Se V é simples, então qualquer produto direto de cópias de V é semis-simples.
7.3 Anéis semissimples
Dizemos que um anel R é semissimples à esquerda se o módulo regular esquerdoRRé semissimples. Assim, um anel R é semissimples à esquerda se
e só se é soma direta de uma família de ideais esquerdos minimais. De acordo com a proposição 0.29, uma tal família de ideais esquerdos é finita. Defini-mos, analogamente, anel semissimples à direita. VereDefini-mos, mais tarde, que os anéis semissimples à esquerda e os anéis semissimples à direita coincidem. Proposição 7.24 Um anel simples é semissimples à esquerda se e só se tem um ideal esquerdo minimal.
Demonstração. Seja R um anel simples.
Se R é semissimples à esquerda, então R é soma direta de uma família não vazia de ideais esquerdos minimais.
Reciprocamente, suponhamos que e é um ideal esquerdo minimal de R. Seja x 2 e \ 0. Como R é simples, R = RxR. Seja a 2 R e suponhamos que a = b1xc1 +· · · + bnxcn,onde n 2 N, bi, ci 2 R, i 2 {1, . . . , n}. Assim
a2 ec1+· · ·+ecn. De acordo com o lema 7.3, qualquer que seja i 2 {1, . . . , n},
eci = 0 ou eci é ideal esquerdo minimal. Consequentemente, a pertence à
soma dos ideais esquerdos minimais de R. Logo, R é soma dos seus ideais esquerdos minimais e R é semissimples à esquerda.
Proposição 7.25 Se R é um anel semissimples à esquerda, então R é um anel noetheriano e artiniano à esquerda.
Demonstração. Se R é um anel semissimples à esquerda, então R é soma direta de uma família finita de ideais esquerdos minimais. Resulta da proposição 7.19 que R é um anel noetheriano e artiniano à esquerda.
Proposição 7.26 Seja R um anel. As afirmações seguintes são equiva-lentes:
(a7.26) R é anel semissimples à esquerda.
(b7.26) Todos os R-módulos esquerdos são semissimples.
(c7.26) Todos os R-módulos esquerdos finitamente gerados são semissimples.
(d7.26) Todos os R-módulos esquerdos cíclicos são semissimples.
(e7.26) Todas as sequências exatas curtas de R-módulos esquerdos são
cindí-veis.
(f7.26) Todos os R-módulos esquerdos são projetivos.
(g7.26) Todos os R-módulos esquerdos finitamente gerados são projetivos.
(h7.26) Todos os R-módulos esquerdos cíclicos são projetivos.
(i7.26) Todos os R-módulos esquerdos são injetivos.
Demonstração. Vejamos que (a7.26) ) (b7.26). Suponhamos que o anel
R é semissimples à esquerda. Seja M um R-módulo esquerdo. Para cada x2 M, seja fx o epimorfismo de módulos, de R para Rx, que a cada a 2 R
faz corresponder ax. Como o módulo RR é semissimples, Rx também o é.
Como M =Px2MRx, M é semissimples.
As implicações (b7.26)) (c7.26)) (d7.26) são triviais.
(d7.26)) (a7.26). O módulo regularRR é gerado por {1}.
(b7.26)) (e7.26). Suponhamos que (b7.26) é satisfeita. Seja
0! L! Mf ! N ! 0,g (7.2) uma sequência exata de R-módulos esquerdos. De acordo com (b7.26), M
é semissimples. Portanto, im f é parcela direta de M e a sequência (7.2) é cindível.
(e7.26) ) (b7.26). Suponhamos que (e7.26) é satisfeita. Seja M um
R-módulo esquerdo. Seja N um subR-módulo de M. Consideremos a sequência exata
onde i é a inclusão e p é o epimorfismo canónico. De acordo com (e7.26),esta
sequência é cindível. Portanto, N = im i é parcela direta de M. Logo, M é semissimples.
Resulta da proposição 1.107 que (e7.26), (f7.26).
As implicações (f7.26)) (g7.26)) (h7.26) são triviais.
(h7.26) ) (a7.26). Suponhamos que todos os módulos cíclicos esquerdos
sobre R são projetivos. Seja a um ideal esquerdo sobre R. A sequência 0! a! Ri ! R/a ! 0,p (7.4) onde i é a inclusão e p é o epimorfismo canónico, é exata. Note-se que o módulo R/a é gerado por {1 + a}. De acordo com (h7.26), R/a é projetivo.
De acordo com a proposição 1.107, a sequência (7.4) é cindível. Portanto, a = im ié parcela direta de R. Logo, R é um anel semissimples à esquerda.
Resulta da proposição 1.113 que (e7.26), (i7.26).
Observação 7.27 As afirmações (a7.26)–(i7.26)são equivalentes a
qual-quer uma das afirmações seguintes, mas a demonstração não será incluída neste curso.
(j7.26) Todos os R-módulos esquerdos finitamente gerados são injetivos.
(k7.26) Todos os R-módulos esquerdos cíclicos são injetivos.
Exercício 7.28 Seja (Fi)i2I uma família de corpos. Mostre que o anel
Q
i2IFi é semissimples se e só se I é finito.
Exercício 7.29 Seja R um anel semissimples à esquerda. Mostre que uma parte a de R é um ideal esquerdo de R se e só se existe um idempotente e2 R tal que a = Re.
Exercício 7.30 Seja R um anel semissimples à esquerda. Mostre que, se d é um ideal direito de R e e é um ideal esquerdo de R, então de = d \ e. Mostre que, se a, b, c são ideais de R, então são válidas as seguintes leis distributivas: a \ (b + c) = (a \ b) + (a \ c) e a + (b \ c) = (a + b) \ (a + c). (1)
7.4 A estrutura dos anéis semissimples
Lema 7.31 Seja R um anel semissimples à esquerda e suponhamos que R = e1 · · · en,onde e1, . . . , ensão ideais esquerdos minimais. Qualquer que
seja o R-módulo esquerdo simples M, existe i 2 {1, . . . , n} tal que M ⇠= ei.
Demonstração. Como R = e1 · · · ene e1, . . . , en são ideais esquerdos
minimais, deduzimos que
0$ e1 $ e1 e2 $ · · · $ e1 · · · en= R (7.5)
é uma série de composição do módulo regular RR. Seja M um R-módulo
esquerdo simples. Existe um ideal esquerdo maximal m de R tal que a ⇠= R/m.
Como R tem uma série de composição, o seu submódulo m também tem uma série de composição:
0$ m1 $ m2$ · · · $ ms= m.
Como m é ideal esquerdo maximal de R,
0$ m1 $ m2$ · · · $ ms(= m)$ R (7.6)
é uma série de composição de R. Pelo teorema de Jordan-Hölder, as séries (7.5) e (7.6) são equivalentes. Consequentemente, existe i 2 {1, . . . , n} tal que R m ⇠= e1 · · · ei e1 · · · ei 1 . (2) Donde M ⇠= ei.
Lema 7.32 Seja D um anel de divisão.
(i7.32) Dn⇥1 (respetivamente, D1⇥n) é um módulo esquerdo (respetivamente,
direito) simples sobre Dn⇥n.
(ii7.32) Dn⇥n= a1 · · · an, onde a1, . . . , an são ideais esquerdos
(respetiva-mente, direitos) minimais de Dn⇥n,todos isomorfos a Dn⇥1(
respetiva-mente, D1⇥n).
(iii7.32) Dn⇥n é um anel semissimples à esquerda e à direita.
(iv7.32) Todos os Dn⇥n-módulos esquerdos (respetivamente, direitos) simples
são isomorfos a Dn⇥1 (respetivamente, D1⇥n).
Demonstração. Seja V = D1⇥n.
(i7.32). Seja
v =⇥ v1 · · · vn ⇤2 V \ 0,
com vista a provar que V = vDn⇥n. Suponhamos que v i6= 0. Seja u =⇥ u1 · · · un ⇤ 2 V. 2Convencionamos que e 1 · · · ei 1= 0se i = 1.
Seja Au2 Dn⇥n a matrix cuja linha i é
⇥
vi 1u1 · · · vi 1un ⇤
e que tem todas as restantes entradas nulas. Então u = vAu 2 Dn⇥nv, o
que permite deduzir que V = vDn⇥n.
De acordo com a proposição 7.9, V é simples.
(ii7.32). Seja i 2 {1, . . . , n}. Seja ai o conjunto de todas as matrizes
n⇥ n sobre D que têm todas as entradas que não pertencem à linha i nulas. Claramente, aié um ideal direito de Dn⇥n, aie V são módulos direitos sobre
Dn⇥n isomorfos, e Dn⇥n = a1 · · · an. Como V é simples, ai também o
é; isto é, ai é ideal direito minimal de Dn⇥n.
(iii7.32). Resulta de (ii7.32).
(iv7.32). Resulta do lema 7.31 e de (ii7.32).
Seja R um anel. Em R, definimos um novo produto do seguinte modo: quaisquer que sejam a, b 2 R, a b = ba. Com este produto, o grupo aditivo R é um anel que representamos por R e chamamos anel oposto de R. Claramente, R = (R ) .
Lema 7.33 Sejam R um anel.
• Os ideais esquerdos de R coincidem com os ideais direitos de R . • R é semissimples à esquerda se e só se R é semissimples à direita. • Os ideais de R coincidem com os ideais de R .
• R é simples se e só se R é simples.
Proposição 7.34 Seja D um anel de divisão.
O anel D é isomorfo ao anel EndDn⇥n(D1⇥n), dos endomorfismos do
Dn⇥n-módulo direito D1⇥n.
O anel D é isomorfo ao anel EndDn⇥n(Dn⇥1), dos endomorfismos do
Dn⇥n-módulo esquerdo Dn⇥1.
Demonstração. Seja V = D1⇥n. Não é difícil mostrar que, para cada
d2 D,
(d) : V ! V x ! dx
é um homomorfismo de Dn⇥n-módulos. Não é difícil mostrar que
: D ! EndDn⇥n(V ) .
é um homomorfismo de anéis. Vejamos que é sobrejetivo. Seja g 2 EndDn⇥n(V ). Seja
e =⇥ 1 0 · · · 0 ⇤2 V. Suponhamos que
g(e) =⇥ d1 · · · dn ⇤2 V.
Suponhamos que existe i 2 {2, . . . , n} tal que di 6= 0. Seja Ei,1 2 Dn⇥n a
matriz cuja entrada (i, 1) é igual a 1 e as restantes entradas são nulas. Então 0 = g(0) = g(eEi,1) = g(e)Ei,16= 0,
o que é absurdo. Logo, d2 =· · · = dn = 0. Seja x 2 V . Como V é simples,
existe X 2 Dn⇥n tal que x = eX. Assim,
g(x) = g(eX) = g(e)X = d1eX = (d1)(e)X = (d1)(eX) = (d1)(x).
Logo, g = (d1).
Fica ao cuidado do leitor mostrar que é injetivo. Logo, é um iso-morfismo.
Seja U = Dn⇥1. Fica ao cuidado do leitor mostrar que, qualquer que
seja d 2 D,
(d) : U ! U , x ! xd é um homomorfismo de Dn⇥n-módulos e que
: D ! EndDn⇥n(U ) ,
d ! (d) é um isomorfismo de anéis.
Lema 7.35 Sejam R1, . . . , Rr anéis. Seja a ✓ R1⇥ · · · ⇥ Rr.
Então, a é ideal esquerdo minimal (respetivamente, ideal minimal) de R1 ⇥ · · · ⇥ Rr se e só se existe j 2 {1, . . . , r} e existe um ideal esquerdo
minimal (respetivamente, ideal minimal) aj de Rj tais que a = ◆j(aj), onde
◆j : Rj ! R1 ⇥ · · · ⇥ Rr é a injeção canónica que a cada xj 2 Rj faz
corresponder (x1, . . . , xr)2 R1⇥ · · · ⇥ Rr, com xi = 0 sempre que i 6= j .
Demonstração. Resulta do lema 0.28.
Lema 7.36 Se R1, . . . , Rr são anéis semissimples à esquerda
(repetiva-mente, direita), então R1 ⇥ · · · ⇥ Rr é um anel semissimples à esquerda
Demonstração. Seja j 2 {1, . . . , r}. Como Rj é anel semissimples à
es-querda, Rj é soma direta de ideais esquerdos minimais. De acordo com a
proposição 0.29, o número de parcelas nesta soma direta é finito. Suponha-mos que
Rj = aj,1 · · · aj,nj,
onde aj,1, . . . , aj,nj são ideais esquerdos minimais de Rj.
Usando a notação do lema 7.35, R1⇥ · · · ⇥ Rr= r M j=1 ◆j(Rj) = r M j=1 nj M l=1 ◆j(aj,l).
Concluímos que R1⇥ · · · ⇥ Rr é semissimples à esquerda.
Proposição 7.37 Seja V um R-módulo esquerdo (respetivamente, direito). Seja M =Qn
i=1V = V ⇥ · · · ⇥ V o produto de n cópias de V . Então
EndR(M ) ⇠= Dn⇥n,
onde
D = EndR(V ).
Além disso, de V é simples, então D é um anel de divisão.
Demonstração. Para cada j 2 {1, . . . , n}, seja ⇡j : M ! V a
pro-jeção canónica, que a cada x = (x1, . . . , xn) 2 M faz corresponder xj; e
seja ◆j : V ! M a injeção canónica, que a cada xj 2 V faz corresponder
(x1, . . . , xn)2 M, onde xi= 0 sempre que i 6= j.
Consideremos a aplicação
: EndR(M ) ! Dn⇥n,
f ! [fi,j]
onde fi,j = ⇡if ◆j : V ! V, i, j 2 {1, . . . , n}.
Vejamos que é um homomorfismo de anéis. Sejam f, g 2 EndR(M ).
Sejam i, j 2 {1, . . . , n}. Então, qualquer que seja xj 2 V,
(f + g)i,j(xj) = ⇡i(f + g)◆j(xj) = ⇡i(f ◆j(xj) + g◆j(xj))
= ⇡if ◆j(xj) + ⇡ig◆j(xj) = (⇡if ◆j+ ⇡ig◆j)(xj)
= (fi,j+ gi,j)(xj).
Donde, (f + g)i,j = fi,j + gi,j. Donde, [(f + g)i,j] = [fi,j] + [gi,j]. Donde,
Por outro lado, qualquer que seja xj 2 V, (f g)i,j(xj) = ⇡if g◆j(xj) = ⇡if idMg◆j(xj) = ⇡if n X k=1 ◆k⇡k ! g◆j(xj) = n X k=1 ⇡if ◆k⇡kg◆j(xj) = n X k=1 fi,kgk,j(xj) = n X k=1 fi,kgk,j ! (xj). Donde, (f g)i,j = n X k=1 fi,kgk,j ! .
Donde, [(fg)i,j] = [fi,k][gk,j]. Donde,
(f g) = (f ) (g).
Finalmente,
(idM)i,j = ⇡iidM◆j = ⇡i◆j,
o que mostra que (idM)i,i = idV e (idM)i,j é o endomorfismo nulo de V se
i6= j. Portanto
(idM) = In2 Dn⇥n.
Logo, é homomorfismo de anéis.
Seja f 2 nuc . Então, quaisquer que sejam i, j 2 {1, . . . , n}, fi,j = ⇡if ◆j
é o endomorfismo nulo de V . Seja x 2 M. Assim, qualquer que seja i 2 {1, . . . , n}, ⇡if (x) = ⇡if 0 @ n X j=1 ◆j⇡j(x) 1 A = n X j=1 (⇡if ◆j)(⇡j(x)) = 0.
Donde f(x) = 0. Logo, f é o endomorfismo nulo de M. Logo, nuc = 0 e f é monomorfismo.
Seja G = [gi,j] 2 Dn⇥n. Seja f : M ! M a aplicação que a cada
x = (x1, . . . , xn)2 M faz corresponder n X k=1 g1,k(xk), . . . , n X k=1 gn,k(xk) ! .
É fácil mostrar que f 2 EndR(M ). Sejam i, j 2 {1, . . . , n}. Note-se que,
qualquer que seja x = (x1, . . . , xn)2 M,
⇡if (x) = n X k=1 gi,k(xk) = n X k=1 gi,k(⇡k(x)).
Assim, qualquer que seja xj 2 V, ⇡if ◆j(xj) = n X k=1 gi,k⇡k◆j(xj) = n X k=1 gi,k( k,jxj) = gi,j(xj),
onde k,j = 1, se k = j, e k,j = 0, se k 6= j. Donde ⇡if ◆j = gi,j, o que
mostra que (f) = G. Logo, é sobrejetivo. Logo, é um isomorfismo de anéis.
Além disso, se V é simples, então, de acordo com o lema de Schur (pro-posição 7.11), D = EndR(V )é anel de divisão.
Lema 7.38 Se R é um anel semissimples à esquerda (respetivamente, à direita) não nulo, então existem anéis de divisão D1, . . . , Dr e inteiros
positivos n1, . . . , nr tais que o anel EndR(R) dos endomorfismos do módulo
regular esquerdo (respetivamente, direito) é isomorfo a Dn1⇥n1
1 ⇥ · · · ⇥ Drnr⇥nr.
Demonstração. Seja R um anel semissimples à esquerda não nulo. Então R é soma direta de ideais esquerdos minimais. De acordo com a proposição 0.29, o número de parcelas nesta soma direta é finito. Suponhamos que
R = a1 · · · ar,
onde, quaisquer que sejam i, j 2 {1, . . . , r}, • ai= ai,1 · · · ai,ni,com ni 1,
e, quaisquer que sejam k, l 2 {1, . . . , ni},
• ai,k é ideal esquerdo minimal de R,
• ai,k e ai,l são R-módulos isomorfos,
• se i 6= j, então ai,1 e aj,1 são R-módulos não isomorfos.
Quaisquer que sejam j 2 {1, . . . , r}, l 2 {1, . . . , nj}, seja
⇡j,l : R! aj,l
a projeção que a cada
r X i=1 ni X k=1 xi,k 2 R,
onde xi,k 2 ai,k, i2 {1, . . . , r}, k 2 {1, . . . , ni}, faz corresponder xj,l;seja
a projeção que a cada
r
X
i=1
xi 2 R,
onde xi2 ai, i2 {1, . . . , r}, faz corresponder xj. Claramente
⇡j = nj X l=1 ⇡j,l, idR= r X j=1 ⇡j = r X j=1 nj X l=1 ⇡j,l.
Quaisquer que sejam j 2 {1, . . . , r}, l 2 {1, . . . , nj}, sejam ◆j : aj ! R e
◆j,l : aj,l ! R as inclusões.
Seja f 2 EndR(RR). Sejam i, j 2 {1, . . . , r}, com i 6= j. Sejam k 2
{1, . . . , ni}, l 2 {1, . . . , nj}. Então
⇡i,kf ◆j,l : aj,l ! ai,k
é um homomorfismo entre módulos simples e não isomorfos. De acordo com o lema de Schur (proposição 7.11), ⇡i,kf ◆j,l é um homomorfismo nulo. Então,
qualquer que seja xj = xj,1+· · · + xj,nj 2 aj,onde xj,l 2 aj,l, l2 {1, . . . , nj},
⇡if ◆j(xj) = ni X k=1 ⇡i,k ! f nj X l=1 ◆j,l(xj,l) ! = ni X k=1 nj X l=1 ⇡i,kf ◆j,l(xj,l) = 0.
Portanto, ⇡if ◆j : aj ! ai é um homomorfismo nulo.
Considere-se agora a aplicação
: EndR(RR) ! EndR(a1)⇥ · · · ⇥ EndR(ar).
f ! (⇡1f ◆1, . . . , ⇡rf ◆r)
Vamos provar que é um isomorfismo de anéis. Sejam f, g 2 EndR(R). Então
(f + g) = (⇡1(f + g)◆1, . . .) = (⇡1f ◆1+ ⇡1g◆1, . . .) = (⇡1f ◆1, . . .) + (⇡1g◆1, . . .) = (f ) + (g), (f g) = (⇡1f g◆1, . . .) = (⇡1f idRg◆1, . . .) = (⇡1f r X k=1 ◆k⇡k ! g◆1, . . .) = r X k=1 ⇡1f ◆k⇡kg◆1, . . . ! = (⇡1f ◆1⇡1g◆1, . . .) = (⇡1f ◆1, . . .)(⇡1g◆1, . . .) = (f ) (g), (idR) = (⇡1idR◆1, . . .) = (⇡1◆1, . . .) = (ida1, . . .).
Logo, é homomorfismo de anéis.
Seja f 2 nuc . Então, qualquer que seja j 2 {1, . . . , r}, ⇡jf ◆j é um
{1, . . . , r}, se i 6= j, então ⇡if ◆j é um homomorfismo nulo. Seja x = x1+· · ·+
xr2 R, onde xj 2 aj, j 2 {1, . . . , r}. Então, qualquer que seja i 2 {1, . . . , r},
⇡if (x) = ⇡if 0 @ r X j=1 xj 1 A = ⇡if 0 @ r X j=1 ◆j(xj) 1 A = r X j=1 ⇡if ◆j(xj) = 0.
Donde, f(x) = 0. Logo, f é o endomorfismo nulo de R. Logo, nuc = 0 e é monomorfismo.
Seja (g1, . . . , gr) 2 EndR(a1)⇥ · · · ⇥ EndR(ar). Seja f : R ! R a
aplicação que a cada x = x1+· · · + xr 2 R, onde xj 2 aj, j2 {1, . . . , r}, faz
corresponder r X i=1 gi(xi) = r X i=1 gi⇡i(x).
Seja j 2 {1, . . . , r}. Seja xj 2 aj. Então
(⇡jf ◆j)(xj) = ⇡jf (xj) = ⇡j r X i=1 gi⇡i(xj) ! .
Note-se que ⇡j(xj) = xj e ⇡i(xj) = 0, sempre que i 6= j. Assim,
(⇡jf ◆j)(xj) = ⇡jgj(xj) = gj(xj).
Logo, ⇡jf ◆j = gj. Donde,
(f ) = (⇡1f ◆1, . . .) = (g1, . . .),
o que mostra que é sobrejetivo. Logo, é um isomorfismo de anéis.
Seja j 2 {1, . . . , r}. Como todos os ideais esquerdos aj,1, . . . , aj,nj são
isomorfos (como módulos esquerdos sobre R) a aj,1 e aj = aj,1 · · · aj,nj,
é fácil deduzir que o anel EndR(aj) é isomorfo ao anel dos endomorfismos
do produto de nj cópias de aj,1. Assim, de acordo com a proposição 7.37,
EndR(aj) é isomorfo a Djnj⇥nj, onde Dj = EndR(aj,1) é anel de divisão.
Consequentemente,
EndR(R) ⇠= EndR(a1)⇥ · · · ⇥ EndR(ar) ⇠= D1n1⇥n1 ⇥ · · · ⇥ Dnrr⇥nr.
Lema 7.39 Se R é um anel, então
R ⇠= EndR(RR) e R ⇠= EndR(RR).
Demonstração. Exercício.
Teorema 7.40 [Wedderburn-Artin] Seja R um anel não nulo. As afir-mações seguintes são equivalentes:
(a7.40) R é um anel semissimples à esquerda.
(b7.40) R é um anel semissimples à direita.
(c7.40) Existem anéis de divisão D1, . . . , Dr e inteiros positivos n1, . . . , nr tais
que R é isomorfo a
Dn1⇥n1
1 ⇥ · · · ⇥ Dnrr⇥nr.
Demonstração. (c7.40) implica (a7.40) e (b7.40). Resulta, dos lemas 7.32
e 7.36.
(b7.40) implica (c7.40). Suponhamos que R é semissimples à direita. De
acordo com os dois lemas anteriores, existem anéis de divisão D1, . . . , Dr e
n1, . . . , nr2 N tais que
R ⇠= EndR(R) ⇠= D1n1⇥n1 ⇥ · · · ⇥ Dnrr⇥nr.
(a7.40) implica (c7.40). Suponhamos que R é semissimples à esquerda. De
acordo com os dois lemas anteriores, existem anéis de divisão E1, . . . , Es e
inteiros positivos m1, . . . , ms tais que
R ⇠= EndR(R) ⇠= E1m1⇥m1 ⇥ · · · ⇥ Esms⇥ms.
Como (c7.40) implica (a7.40), R é semissimples à esquerda. Portanto, R é
semissimples à direita. Como (b7.40) implica (c7.40), a demonstração está
completa.
Chamamos anéis semissimples aos anéis que satisfazem as condições equivalentes (a7.40)–(c7.40).
Teorema 7.41 Suponhamos que R é um anel simples. São equivalentes: (a7.41) R é artiniano à esquerda.
(b7.41) R é semissimples.
(c7.41) R tem um ideal esquerdo minimal.
(d7.41) Existem um anel de divisão e um inteiro positivo n tais que R ⇠= Dn⇥n.
Demonstração. Provaremos apenas que (c7.41) ) (b7.41). O resto da
demonstração é exercício.
Suponhamos que R tem um ideal esquerdo minimal. Seja B a soma de todos os ideais esquerdos minimais de R. Claramente, B é um ideal esquerdo não nulo de R.
Sejam x 2 B, c 2 R. Existem ideais esquerdos minimais e1, . . . , et tais
que x 2 e1+· · ·+et. Donde, xc 2 e1c+· · ·+etc. Tendo em conta a proposição
7.3, xc 2 B. Logo, B é um ideal de R.
Exercício 7.42 Suponhamos que R 6= 0 e R é comutativo. As afirma-ções seguintes são equivalentes:
(a7.40) Ré anel semissimples.
(b7.40) Existem corpos F1, . . . , Fr tais que R é isomorfo a F1⇥ · · · ⇥ Fr.
Exercício 7.43 Se R é um anel semissimples, então Rn⇥n é um anel
semissimples.
Exercício 7.44 Se R é um domínio e Rn⇥n é um anel semissimples,
então R é um anel de divisão. (Sugestão: Por um exercício anterior, os domínios artinianos à esquerda são anéis de divisão.)
Exercício 7.45 Mostre que o centro de um anel semissimples é isomorfo a um produto finito de corpos.
Exercício 7.46 Sejam R um anel, M um R-módulo esquerdo não nulo finitamente gerado e E = EndR(M ).
Mostre que, se R é semissimples, então E é semissimples.
Mostre que, se R é simples e artiniano à esquerda, então E é simples e artiniano à esquerda.
(Sugestão: Suponhamos que R é semissimples. Mostre que M é soma direta de uma família finita de submódulos simples. Assim,
R ⇠= n1S1⇥ · · · ⇥ nrSr,
onde niSi é o produto de ni cópias de um R-módulo esquerdo simples Si e
Si6⇠= Sj sempre que i 6= j. Mostre que
E ⇠=Y
i
(EndRSi)ni⇥ni.)
Exercício 7.47 Mostre que um anel não nulo D é de divisão se e só se todos os D-módulos esquerdos são livres.
7.5 Unicidade de decomposição dos anéis
semissim-ples. Componentes simples
Lema 7.48 Sejam D, E anéis de divisão e n, m inteiros positivos. Se os anéis Dn⇥n e Em⇥m são isomorfos, então n = m e D ⇠= E.
Demonstração. Suponhamos que : Dn⇥n ! Em⇥m é um isomorfismo de anéis. Sabemos que
Dn⇥n= a1 · · · an, (7.7)
onde a1, . . . , ansão ideais esquerdos minimais de Dn⇥n. Assim, o módulo
re-gular esquerdo Dn⇥nadmite a seguinte série de composição de comprimento
n:
0$ a1$ a1 a2 $ · · · $ a1 · · · an= Dn⇥n.
Analogamente, Em⇥m admite uma série de composição de comprimento m.
Mas, como é um isomorfismo de anéis, resulta de (7.7) que Em⇥m = (Dn⇥n) = (a1) · · · (an),
onde (a1), . . . , (an) são ideais esquerdos minimais de Em⇥m. Esta
igual-dade permite-nos construir uma série de composição de Em⇥m de
compri-mento n:
0$ (a1)$ (a1) (a2)$ · · · $ (a1) · · · (an) = Em⇥m.
Como todas as séries de composição de Em⇥m têm o mesmo comprimento,
n = m.
Sejam agora a = a1 e b = (a). Para cada f 2 EndDn⇥n(a), seja
f : b! b
a aplicação que a cada (x) 2 b, onde x 2 a, faz corresponder (f(x)). Vejamos que f 2 EndEn⇥n(b). Quaisquer que sejam (x), (y) 2 b, onde
x, y2 a,
f( (x) + (y)) = f( (x + y)), porque é homomorfismo de anéis,
= (f (x + y)), pela definição de f,
= (f (x) + f (y)), porque f 2 EndDn⇥n(a),
= (f (x)) + (f (y)), porque é
homomorfismo de anéis, = f( (x)) + f( (y)).
Quaisquer que sejam (z) 2 En⇥n, (x)2 b, onde z 2 Dn⇥n, x2 a, f( (z) (x)) = f( (zx)), porque é homomorfismo de anéis,
= (f (zx)), pela definição de f,
= (zf (x)), porque f 2 EndDn⇥n(a),
= (z) (f (x)), porque é homomorfismo de anéis, = (z) f( (x)).
Logo, f 2 EndEn⇥n(b).
Seja
: EndDn⇥n(a) ! EndEn⇥n(b).
f ! f
Vejamos que é isomorfismo de anéis. Sejam f, g 2 EndDn⇥n(a).
Qual-quer que seja (x) 2 b, onde x 2 a,
f +g( (x)) = ((f + g)(x))
= (f (x) + g(x)) = (f (x)) + (g(x)) = f( (x)) + g( (x))
= ( f + g)( (x)).
Logo, f +g = f + g. Qualquer que seja (x) 2 b, onde x 2 a, f g( (x)) = ((f g)(x))
= (f (g(x))) = f( (g(x)))
= f g( (x)).
Logo, f g = f g. Qualquer que seja (x) 2 b, onde x 2 a, ida( (x)) = (ida(x)) = (x),
o que mostra que ida = idb. Logo, é homomorfismo de anéis.
Seja f 2 nuc . Seja x 2 a. Então
0 = f( (x)) = (f (x)).
Como é injetivo, f(x) = 0. Logo, f é o endomorfismo nulo de a. Logo, nuc = 0e é injetivo.
Vejamos agora que é sobrejetivo. Seja h 2 EndEn⇥n(b). Seja x 2 a.
Como (a) = b e é injetivo, existe um único xh2 a tal que
(xh) = h( (x)).
Consideremos a aplicação f : a ! a que a cada x 2 a faz corresponder xh.
Vejamos que f 2 EndDn⇥n(a). Sejam x, y 2 a. Então
((x + y)h) = h( (x + y))
= h( (x) + (y)) = h( (x)) + h( (y)) = (xh) + (yh)
Donde (x + y)h= xh+ yh,isto é, f(x + y) = f(x) + f(y). Sejam z 2 Dn⇥n, x2 a. Então ((zx)h) = h( (zx)) = h( (z) (x)) = (z)h( (x)) = (z) (xh) = (zxh).
Donde (zx)h = zxh,isto é, f(zx) = zf(x). Logo, f 2 EndDn⇥n(a).
Vejamos que h = f. De facto, qualquer que seja (x) 2 b, onde x 2 a,
h( (x)) = (xh) = (f (x)) = f( (x)).
Logo, h = f.
Logo, é isomorfismo de anéis. De acordo com a proposição 7.34, D ⇠= EndDn⇥n(a) ⇠= EndEn⇥n(b) ⇠= E .
Logo, D ⇠= E.
Lema 7.49 Suponhamos que R = Dn1⇥n1
1 ⇥ · · · ⇥ Dnrr⇥nr,
onde D1, . . . , Drsão anéis de divisão e n1, . . . , nrsão inteiros positivos. Para
cada j 2 {1, . . . , r}, seja Bj = ◆j(Dnjj⇥nj),onde ◆j : Djnj⇥nj ! R é a injeção
canónica que a cada Xj 2 Djnj⇥nj faz corresponder (X1, . . . , Xr) 2 R, com
Xi = 0 sempre que i 6= j.
Então B1, . . . , Br de R são ideais minimais de R e
R = B1 · · · Br.
Demonstração. Resulta do lema 7.35 que B1, . . . , Br de R são ideais
minimais de R. É fácil mostrar que R = B1 · · · Br.
Um ideal a de um anel R diz-se indecomponível se não existirem ideais não nulos de R, a1 e a2,tais que a = a1 a2. Claramente os ideais minimais
são indecomponíveis.
Lema 7.50 Sejam a1, . . . , ar, b1, . . . , bs ideais não nulos
indecomponí-veis de um anel R tais que
R = a1 · · · ar= b1 · · · bs.
Então r = s e existe uma permutação ⇡ : {1, . . . , r} ! {1, . . . , r} tal que ai= b⇡(i), i2 {1, . . . , r}.
Demonstração. Seja i 2 {1, . . . , r}. De acordo com a proposição 0.33, existem ideais d1, . . . , ds de R tais que dj ✓ bj, j2 {1, . . . , s}, e
ai = d1 · · · ds.
Como ai é indecomponível, existe um único ⇡(i) 2 {1, . . . , s} tal que
ai = d⇡(i)✓ b⇡(i).
Analogamente, qualquer que seja j 2 {1, . . . , s}, existe um único ⌧(j) 2 {1, . . . , r} tal que
bj ✓ a⌧ (j).
Como
06= ai✓ b⇡(i)✓ a⌧ ⇡(i) e R = a1 · · · ar,
deduzimos que i = ⌧⇡(i) e ai = b⇡(i), i 2 {1, . . . , r}. Analogamente, j =
⇡⌧ (j), j2 {1, . . . , s}. Logo, ⇡ e ⌧ são aplicações bijetivas e uma é a inversa da outra. Logo, r = s.
Suponhamos que R é um anel semissimples. De acordo com o teorema de Wedderburn-Artin,
R ⇠= Dn1⇥n1
1 ⇥ · · · ⇥ Dnrr⇥nr,
onde D1, . . . , Dr são anéis de divisão e n1, . . . , nr são inteiros positivos.
Re-sulta do lema 7.49 que existem ideais minimais a1, . . . , ar de R tais que
R = a1 · · · ar.
De acordo com o lema 7.50, a decomposição de R como soma direta de ideais minimais é única, a menos da ordem das parcelas. Os ideais a1, . . . , ar
chamam-se componentes simples ou componentes de Wedderburn de R. Recordemos que, se R é um anel, R = a1 · · · ar,onde a1, . . . , ar são
ideais, e 1R= e1+· · · + er,onde ej 2 aj, j2 {1, . . . , r}, então aj é um anel
com identidade ej, j2 {1, . . . , r}.
Teorema 7.51 Suponhamos que R = Dn1⇥n1
1 ⇥ · · · ⇥ Dnrr⇥nr ⇠= E1m1⇥m1 ⇥ · · · ⇥ Esms⇥ms = S, (7.8)
onde D1, . . . , Dr, E1, . . . , Essão anéis de divisão e n1, . . . , nr, m1, . . . , mssão
inteiros positivos.
Então r = s e que existe uma permutação ⇡ : {1, . . . , r} ! {1, . . . , r} tal que Dj ⇠= E⇡(j) e nj = m⇡(j), j 2 {1, . . . , r}.
Demonstração. Para cada j 2 {1, . . . , r}, seja ◆j : Djnj⇥nj ! R a j-ésima
injeção canónica associada à decomposição de R em (7.8) e aj = ◆j(Djnj⇥nj).
Então a1, . . . , arsão ideais minimais de R, R = a1 · · · are os anéis Djnj⇥nj
e aj são isomorfos.
Analogamente, para cada k 2 {1, . . . , s}, seja ◆0 k: E
mk⇥mk
k ! S a k-ésima
injeção canónica associada à decomposição de S em (7.8) e bj = ◆0k(Ekmk⇥mk).
Então b1, . . . , bssão ideais minimais de S, R = b1 · · · bse os anéis Ekmk⇥mk
e bk são isomorfos.
Seja : R! S um isomorfismo de anéis. Então S = (a1) · · · (ar),
onde (a1), . . . , (ar) são ideais minimais de S. Pelo lema 7.50, r = s e
existe uma permutação ⇡ : {1, . . . , r} ! {1, . . . , r} tal que (aj) = b⇡(j),
j2 {1, . . . , r}.
Para cada j 2 {1, . . . , r}, temos os seguintes isomorfismos de anéis Dnj⇥nj
j ⇠= aj ⇠= (aj) = b⇡(j)⇠= E
m⇡(j)⇥m⇡(j)
⇡(j) .
Pelo lema 7.48, Dj ⇠= E⇡(j) e nj = m⇡(j), j2 {1, . . . , r}.
Se a for um ideal esquerdo minimal de um anel R, representamos por Ba
a soma de todos os ideais esquerdos de R isomorfos a a (como R-módulos esquerdos).
Lema 7.52 Sejam a, a0 ideais esquerdos minimais de R. Então
(a7.52) Se c 2 R, então ac = 0 ou ac é um ideal esquerdo de R isomorfo a a.
(b7.52) Ba é um ideal de R.
(c7.52) Se a e a0 não são isomorfos, então BaBa0 = 0.
Demonstração. (a7.52). Seja c 2 R. Claramente ac é um ideal esquerdo
de R. Consideremos o homomorfismo de módulos esquerdos sobre R fc : a ! ac.
x ! xc
Como a é minimal, nuc fc = 0 ou nuc fc = a. Assim, ac = 0 ou ac ⇠= a.
(b7.52). Claramente Baé um ideal esquerdo de R. Assim, para provar que
Ba é um ideal de R, basta mostrar que, 8x 2 Ba,8c 2 R, xc 2 Ba. Sejam
x2 Ba, c2 R. Como x 2 Ba,existem ideais esquerdos (minimais) b1, . . . , bn
de R isomorfos a a e existem x1 2 b1, . . . , xn2 bn tais que x = x1+· · · + xn.
Assim,
xc = x1c +· · · + xnc2 b1c +· · · + bnc.
Seja i 2 {1, . . . , n}. De acordo com (a7.52), bic = 0 ou bic ⇠= bi ⇠= a. Em
