Cap. 3 A Variável Tempo

14 04/08/09 3:24

Cap. 3 A Variável Tempo

3.1 — A EQUIVALÊNCIA, O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

Imaginemos uma situação na qual eu já saiba hoje que dentro de um ano terei de efetuar um pagamento no valor de 1.100 reais. Se dispuser de dinheiro hoje, será que é indiferente efetuar este pagamento hoje (adiantado) ou dentro de um ano? A resposta é não efetuá-lo hoje! Se eu o efetuar hoje, terei que desembolsar 1.100 reais. Se eu deixar para pagar dentro de um ano (no vencimento) posso investir 1.000 reais a prazo fixo (que supomos dar 10% ao ano) — isto me garante ter os 1.100 reais daqui a um ano para efetuar o pagamento, e lucrar hoje mesmo 100 reais com esta operação.

Se, no mesmo exemplo, o problema for, aproveitar um desconto especial e pagar 1.000 reais hoje ou R$1.100 dentro de um ano? Sou indiferente a qualquer das duas possibilidades. Entretanto, prefiro pagar 999 reais hoje do que 1.100 dentro de um ano. Prefiro pagar 1.100 dentro de um ano do que 1.001 reais hoje.

Portanto, o dinheiro não tem o mesmo valor através do tempo (observe que neste contexto não estamos considerando ou analisando inflação – isto será feito oportunamente). Não entramos em considerações relativas a preferências pessoais com compra a prestação, (e assim pagar juros) ou aversões às dívidas (portanto pagamento à vista). A argumentação está sendo feita em termos estritamente econômicos. Por outro lado, supusemos que as únicas alternativas existentes fossem pagar já ou investir a prazo fixo e, portanto efetuar o pagamento dentro de um ano.

Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que são feitos em datas diferentes podem se tornar equivalentes. Vários capitais são ditos equivalentes quando os seus valores transferidos para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (neste caso, o custo de oportunidade), são iguais. Assim, para o caso em análise, tem-se a equivalência:

ou, em termos gerais,

i 1 V V_a f + =

15 04/08/09 3:24

onde i é a taxa de desconto referente ao período considerado, V_a é chamado de valor atual e V_f

é o valor futuro. Como i corresponde ao período inteiro em consideração (no caso ano), é chamado de taxa simples.

O termo (1 + i) é a parcela que permite a comparação entre valores em tempos diferentes. A taxa de desconto pode corresponder a um custo de oportunidade, a uma taxa de juros ou simplesmente refletir a preferência de um indivíduo baseado no intervalo de tempo considerado. Observe que é sempre um valor individual e temporal

— varia de um indivíduo para outro ou de uma firma para outra, e no intervalo considerado. 3.2 —OS JUROS SIMPLES

Se um parente me empresta o dinheiro a 10% a.a. e ao fim de um ano, cobrar 1.100 reais por um empréstimo de 1.000, o cálculo terá sido:

%) 10 1 ( 1000 1100 = + , onde i = 0,1=10%.

Se o mesmo empréstimo, em vez de ser por um ano, tiver sido por três anos e meu familiar cobrar 1.300 reais, o cálculo terá sido executado como:

%) 10 3 1 ( 1000 1300 = + ∗

Este é o caso de juros simples. A relação é, para n períodos: )i n 1 ( V V_f = _a + ∗

3.3 —OS JUROS COMPOSTOS

Se investirmos um capital K no início de um período, a uma taxa de juro i no período,

recuperaremos no final do período o total K + iK = K(1+ )i, onde o termo iK corresponde

à renda do capital investido. Se todo o capital disponível no fim do primeiro período for novamente investido durante mais um período à mesma taxa de juros i, ter-se-á ao final deste

segundo período K(1+ i)(1+ )i = K(1+ )i2

Este cálculo é chamado de juros compostos. O cálculo considera juros compostos quando os juros para cada período forem baseados na quantia total devida ao término do período anterior, quantia esta que inclui o principal inicial mais os juros acumulados que são pagos ao final do período.

Dependendo do caso, os períodos poderão ser anos, ou então meses, ou mesmo semanas ou até dias. Também podemos calcular a equivalência destas taxas em outros períodos. Podemos, por exemplo, calcular a equivalência de um capital de 1.000 aplicado a 12% ao ano durante 3

anos por meio de juros simples resultando 1000

(

1+ 3∗12%

)

= 1360. O mesmo cálculo

com juros compostos anualmente resulta 1000

(

1+ 12%

)

3 = 1406. Finalmente, o mesmo

16 04/08/09 3:24 1430 12 % 12 1 1000 ⎟36 = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + .

No presente texto/curso, a não ser que haja uma ressalva específica, sempre consideraremos os juros como sendo compostos.

Podemos então comparar a equivalência entre um valor presente V_a e um futuro V_f ao fim de

n períodos com cálculo de juros compostos, considerando os juros como i por período através de:

n a

f V (1 )i

V = + .

Analogamente, o valor atual equivalente a uma seqüência de três pagamentos, A1, A2 e A3

efetuados dentro de um, dois e três anos correspondentemente, resulta, por meio de cálculo com juros compostos, à soma de todas as parcelas após tê-las transportadas para o instante t=0. Só é possível comparar ou somar parcelas quando elas estiverem referidas ao mesmo ponto no tempo.

(

2

)

2

(

3

)

3 1 a i 1 A i 1 A i 1 A V + + + + + = Em termos gerais,

(

)

∑

= + = N 1 n n i a i 1 A V

onde, se A > 0 corresponder a receitas, e A <0 corresponde a despesas. Para representar os fluxos monetários e o instante em que ocorrem utilizaremos um referencial cartesiano. Os fluxos monetários estarão representados no eixo vertical, serão ascendentes quando forem receitas, e descendentes quando forem desembolsos. O eixo horizontal representará o instante considerado para o fluxo monetário. Ou seja, podemos visualizar um fluxo de dinheiro como na Figura 2-1.

17 04/08/09 3:24 A este fluxo de receitas e despesas corresponde um valor presente ou atual calculado como acima explicado. Também podemos achar um valor futuro no último período.

Na Figura 2-1, a receita A1 é convencionada como sendo referente ao primeiro período.

Queremos deixar bem claro que vamos adotar a convenção de fim de período isto é, vamos concentrar os valores referentes a um determinado período sempre aplicados no fim do período correspondente.

A equivalência não é só entre pagamentos em um só ponto no tempo, mas pode ser entre séries de pagamentos ou receitas. A equivalência dependerá da taxa de desconto (custo de oportunidade, ou juros) usada. Se várias séries são equivalentes a uma determinada taxa de desconto, elas poderão não ser equivalentes para outras taxas de desconto.

Em princípio, utilizaremos quatro tipos básicos de configuração de fluxos ao longo de n períodos.

a)Valor atual V_a,

b) Valor Final ou Valor Futuro Vf,

c) Anuidade Uniforme A,

18 04/08/09 3:24 É possível converter o valor dos fluxos de uma configuração em outra configuração equivalente. As fórmulas correspondentes são as seguintes:

(

)

(

)

(

)

1 )i 1 ( n i 1 G A )i 1 ( i ni 1 i 1 G V )i 1 (i 1 i 1 A V i 1 1 V V n n 2 n a n n a n f a − + − = + − − + = + − + = + = ou

(

)

(

)

(

)

1 )i 1 ( n i 1 1 A G ni 1 i 1 )i 1 ( i V G 1 i 1 )i 1 (i V A i 1 V V n n n 2 a n n a n a f − + − = − − + + = − + + = + =

3.4. APLICAÇÃO DO VALOR ATUAL NA ANÁLISE DE PROJETOS

Uma das técnicas de análise bastante difundidas é calcular o valor atual equivalente de uma série correspondente às receitas e desembolsos de uma proposta e comparar este valor com o investimento necessário para iniciar o empreendimento. Se o equivalente da receita e desembolsos superar o investimento inicial (desembolso inicial), a proposta será aceita.

EXEMPLO 3-1

Mancadas & Cia estão estudando diversas alternativas de investimentos para o próximo ano. As quantias a serem investidas e as rendas anuais correspondentes estão indicadas abaixo. Todas as propostas têm a mesma vida de 20 anos, após os quais não há nada recuperável sobre o investimento inicial.

A firma considera que seu custo de oportunidade em relação a não investir é 10% ao ano, isto é, o retorno mínimo aceitável para empreender uma atividade é de 10% ao ano. Não há limitação de capital disponível, de modo que toda proposta julgada rentável será aceita. Só se permite investir em um projeto de cada tipo. Quais os projetos que se qualificam?

19 04/08/09 3:24 Proposta A B C D E F Investimento Inicial necessário 30.000 50.000 100.000 150.000 170.000 200.000 Renda Anual Líquida 3.250 6.500 8.500 17.650 11.750 24.200 Solução:

Chamando de A a renda anual, o problema consiste em calcular o valor atual dos rendimentos auferidos.

(

1 i

)

AJ A V 20 _i 1 n n i ai =

∑

₊ = =

Podemos encontrar uma quantia maior ou menor que o investimento correspondente inicial. Se for maior, é sinal de que a proposta rende mais do que 10% ao ano, e deve ser aceita. O valor J assim determinado

(

1 i

)

8,514 1 J 20 1 n n = + =

∑

=

representa o fator multiplicativo a ser aplicado à parcela A (renda líquida anual) Então resulta:

Proposta Valor Atual Decisão

A _Va = ₈₅₁₄ ∗ ₃₂₅₀ = ₂₇₆₇₁ Rejeita B _Va = ₈₅₁₄ ∗ ₆₅₀₀ = ₅₅₃₄₁ Aceita C _Va = ₈₅₁₄ ∗ ₈₅₀₀ = ₇₂₃₆₉ Rejeita D _Va = ₈₅₁₄ ∗₁₇₆₅₀ = ₁₅₀₂₇₂ Aceita E _Va = ₈₅₁₄ ∗₁₁₇₅₀ = ₁₀₀₀₄₀ Rejeita F _Va = ₈₅₁₄ ∗ ₂₄₂₀₀ = ₂₀₆₀₃₉ Aceita Observe que, com i = 15%, resulta,

(

1 i

)

6,259 1 J 20 1 n n = + =

∑

=

e, para a proposta B, Va = 40.683,50. Compare este resultado com o anterior e pense a

respeito.

Observe que o valor de Va varia de um indivíduo (ou firma) para outro segundo o valor de i. O

valor de Va não é uma medida objetiva e universal.

À taxa de desconto de i = 10% teríamos a tendência de dizer que o projeto B é melhor que o projeto F. De fato, pela intuição, chamando de benefício à renda total descontada (e levada para t = 0) e de custo do investimento (que está em t = 0), uma relação benefício/custo resulta

20 04/08/09 3:24 1,107 para o projeto B e 1,030 para o projeto F. Entretanto, esta conclusão pode ser enganosa, pois o investimento é muito menor para B do que para F. Pergunta-se: Supondo que a empresa disponha de 200.000 e resolva investir 50.000 em B, o que fazer com os 150.000 restantes? Se a resposta for investir em D, então para um investimento conjunto (B + D) resulta uma relação benefício/custo igual a 1,028, que é menor do que para o projeto F.

No presente exemplo, como os projetos não são excludentes (realizar um não implica em desistir de outro), o resultado é que, sendo i = 10%, convém aceitar B, D e F.

3.5 — ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL

A finalidade do presente texto é discutir critérios econômicos para a análise de alternativas. No caso da Figura 2-2, a alternativa I é evidentemente sempre melhor que a alternativa II, pois a cada período seus valores são dominantes (nunca inferiores).

21 04/08/09 3:24 No caso da Figura 3-3, a análise entre as alternativas III e IV já não é tão simples. A somatória das parcelas pura e simplesmente é inviável, pois a priori, não temos meio de saber se uma parcela de 500 no período 2 vale mais ou menos que uma parcela de 600 no período 3.

FIGURA 3-3

O método do Valor Atual consiste em transferir todos os valores para o ponto t = 0. Dadas diversas alternativas é possível calcular os valores atuais equivalentes às séries correspondentes e compará-los para decidir qual a melhor.

EXEMPLO 3.2

Um incinerador de lixo de 1.000 ton/dia de capacidade necessita de R$ 50.000.000,00 de investimento e opera a um custo variável de R$ 50/ton. Um incinerador de lixo de 500 ton/dia de capacidade necessita R$ 30.000.000,00 de investimento e opera a um custo variável de R$ 55/ton. A demanda de serviços ao longo de 10 anos é :

tempo(ano) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

22 04/08/09 3:24 Deseja-se limitar o horizonte do projeto, para fins de análise, em 10 anos.

a) Sabendo que o custo do capital é de i = 7% ao ano, escolha entre as duas alternativas: I) construir já (início do período 1) um incinerador de 1000 ton/dia.

II) construir já um incinerador de 500 ton/dia e outro igual no início do período 6 (ou seja, fim do período 5).

b) Repita o problema se o custo do capital for i = 18°/o ao ano.

Solução: Vamos calcular o valor atual de todos os custos. Consideremos o ano de 360 dias. a) Para a alternativa I, resulta:

152 . 409 . 120 $ R 07 , 1 1000 ... 07 , 1 400 07 , 1 350 07 , 1 300 360 * 50 000 . 000 . 50 V_{a 2 3 10 ⎟⎟} = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + + =

Para a alternativa II, resulta

653 . 839 . 128 $ R 07 , 1 1000 ... 07 , 1 400 07 , 1 350 07 , 1 300 360 * 55 07 , 1 000 . 000 . 30 000 . 000 . 30 V_{a 5 2 3 10 ⎟⎟} = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + =

De modo que concluímos pela alternativa I, por ser a mais econômica b) Neste caso 085 . 634 . 87 $ R V 463 . 473 . 90 $ R V aII aI = =

De modo que optaríamos pela alternativa II.

O presente exemplo mostra bem o valor do dinheiro no tempo, pois no caso b o custo do capital é tal que compensa adiar parte do investimento por cinco anos e perder as economias de escala de um incinerador de maior capacidade.

Observe-se que o método do valor atual só permite comparar alternativas sob as mesmas condições, isto é, o mesmo valor para a taxa de desconto i e, mesma duração de projeto. No caso a a melhor alternativa é a I e no b é a II. Observe que como os horizontes são diferentes tivemos que efetuar a análise sob um mesmo denominador.

EXEMPLO 3-3

Você pretende renovar a assinatura da sua revista predileta “O Superhipermeganalistafinanceiro” Os preços são:

1 ano R$ 700 2 anos R$ 1.200

23 04/08/09 3:24 3 anos R$ 1.600

Supõe-se que não exista inflação.

Você costuma depositar suas economias mensais em instituições financeiras que lhe dão i = 6% ao ano. Qual o plano mais vantajoso?

Solução:

Supomos sempre querer ler a revista durante os próximos anos, de modo que o custo total será comparado para o total de seis anos, por ser múltiplo comum dos anos 1, 2 e 3. Só assim, após tornar os serviços da leitura idênticos, podemos comparar as alternativas.

a) Assinatura anual Valor atual dos gastos

3619 $ R 06 , 1 700 06 , 1 700 06 , 1 700 06 , 1 700 06 , 1 700 700 + + ₂ + ₃ + ₄ + ₅ = :

b) Assinatura de dois em dois anos Valor atual dos gastos

3218 $ R 06 , 1 1200 06 , 1 1200 1200 + ₂ + ₄ =

c) Assinatura a cada três anos Valor atual dos gastos

2943 $ R 06 , 1 1600 1600 + ₃ =

e, assim a assinatura da revista de três em três anos é a mais vantajosa.

3.6. — JUROS NOMINAIS E EFETIVOS

Quando um juro nominal de i% ao ano for composto em intervalos de tempo menores que um ano, o resultado é um juro efetivo maior que o nominal quando comparado na mesma base. O efetivo é, pois, o valor equivalente ao que seria o juro se ele fosse composto uma só vez por período.

A caderneta de poupança que rende juros de i = 6% nominais ao ano e pagos trimestralmente, e portanto que paga 1,5% por trimestre, corresponde a taxa de juros efetiva anual aos quatro pagamentos de 1,5%.

24 04/08/09 3:24

(

)

% 136 , 6 i i 1 4 % 6 1 i 1 i 1 anual anual 4 anual 4 tri = → + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → + = +

Recomendamos ao leitor verificar que, se a composição fosse semestral, o valor da taxa de juros efetiva seria 6,09% ao ano.

Se a taxa anual fosse de 12% com composição mensal resultaria, após um ano, em

(

)

% 682 , 12 i ) 01 , 0 1 ( i 1 i 1 anual 12 anual 12 mes = → + = + = +

de modo que a taxa efetiva é de 12,682% ao ano. EXEMPLO 3-4

Qual a taxa de juros anual efetiva real de um empreendimento que rende juros nominais de i=10% por trimestre?

Solução:

(

)

. a . a % 4 , 46 i 464 , 1 %) 10 1 ( i 1 j 1 an 4 anual 4 tri = → = + = + = + EXEMPLO 3-5

Desejo comprar um objeto que me é oferecido à prestação em 24 meses. A forma de pagar é R$ 1.000,00 de entrada e mais vinte e quatro pagamentos iguais de R$ 1.000,00, perfazendo um total de R$ 25.000,00. Todo dinheiro poupado costuma ser investido na caderneta de poupança, que, costuma dar i = 6% ao ano, pagos trimestralmente. Qual o valor máximo que eu estaria disposto a pagar pelo mesmo objeto a vista?

Solução:

Primeiramente observamos que 6% ao ano pagos trimestralmente corresponde a am % 37 , 0 1 ) 4 % 6 1 ( 4 1 = −

+ . De modo que a resposta é

(

)

(

)

_R$23924,72 %) 37 , 0 1 %( 37 , 0 1 % 37 , 0 1 1000 1000 V )i 1 (i 1 i 1 A V 24 24 a n n a ₌ + − + + = → + − + =

25 04/08/09 3:24 3.7. CÁLCULO PARA COMPOSIÇÃO CONTÍNUA

Vimos que

(

)

n f a i 1 1 V V +

= onde n é o número de períodos. Se os juros forem compostos m

vezes por período, temos

nm a f m i 1 V V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

e, se a composição dos juros for continua, teremos que calcular o limite para , e então

a expressão acima, resulta

∞ → m in a f _e V V

= onde e = 2,718 base dos logaritmos neperianos.

Na prática, se os juros anuais forem compostos diariamente o resultado não é significativamente diferente do caso da composição contínua.

Se desejarmos saber a taxa de juros efetiva correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano composta continuamente, calculamos

% 83 , 5 i 0583 , 0 06 , 1 ln i 06 , 1 e i 1+ = i = → = = → = EXEMPLO 3-6

A companhia farmacêutica FarmaCrazy decidiu aumentar suas atividades por meio de um novo xarope expectorante para todos aqueles que estão sadios e gostariam de iniciar um processo tussígeno. Isto vai requerer novos investimentos, e o grupo de engenharia organizou um diagrama que resulta nos seguintes gastos:

Investimento Gasto anual

1° de Janeiro de 2010 — Pagamento inicial da construção 200.000

1° de Agosto 2010 — Pagamento do fim da construção 600.000

31 de Dezembro 2011 — Compra de Equipamento 500.000 150.000

31 de Dezembro 2012 — Operação e Manutenção 150.000

31 de Dezembro 2013 — Operação e Manutenção 170.000

31 de Dezembro 2014 Operação e Manutenção 190.000

31 de Dezembro 2015 Operação e Manutenção 170.000

31 de Dezembro 2016 — Operação e Manutenção 150.000

A firma tem diversas possibilidades de investimentos, e adota uma taxa de 16% a.a. como sendo o custo de oportunidade do dinheiro.

Despreze valores residuais para equipamentos e instalações. Empregue a convenção de fim de período.

26 04/08/09 3:24 Há uma proposta de por meio de um investimento adicional de 60.000 em 31 de Dezembro de 2012, estabilizar os gastos de operação e manutenção em 150.000 até o fim da vida do produto (31 de Dezembro 2016). Deve-se aceitar esta proposta?

Solução

A proposta corresponde a um investimento de 60.000 no fim do período 4. A economia, dada pela diferença entre a proposta sem investimento adicional e a proposta com investimento adicional, levada para o fim do período 4, resulta em

(

)

(

1 0,16

)

59.780 000 . 20 16 , 0 1 000 . 40 16 , 0 1 000 . 20 3 2 + ₊ = + + +

Portanto, a proposta deve ser rejeitada, já que o benefício 59.780 (economia) é menor que o investimento 60.000, ambos comparados em um mesmo ponto no tempo.

3.8 — CONCEITOS ADICIONAIS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS

Até agora vimos como comparar fluxos por meio de seus valores equivalentes em um ponto no tempo, isto é, comparando valores atuais. Evidentemente, poderíamos obter as mesmas conclusões comparando valores finais.

Quando estudamos alternativas nas quais as receitas e desembolsos ocorrem nos mesmos períodos, é comum ser vantajoso transformar todos os valores de cada série em uma série equivalente uniforme de mesma periodicidade para cada alternativa e comparar os elementos da série. As conclusões resultam idênticas às comparações em um ponto no tempo. A série de valores uniformes é chamada de equivalente uniforme periódico, ou equivalente uniforme anual (EUA).

27 04/08/09 3:24 EXEMPLO 3-7 Sejam os fluxos

O primeiro gráfico ilustra o fluxo monetário de um certo projeto. O segundo gráfico representa o mesmo fluxo que o anterior alterado para um modo equivalente para facilitar os cálculos que se seguem.

i) A primeira série é um fluxo uniforme positivo de nove parcelas de valor + 20 de t=0 até t = 8, o que dentro da convenção de fim de período corresponde a ter sua origem em t=-1 seu valor atual é:

(

)

n n a )i 1 (i 1 i 1 A V + − + = ou

(

)

V 115,18 9 ) 10 , 0 1 ( 10 , 0 1 10 , 0 1 20 V a 9 a _{→ =} + − + =

ii) a segunda parcela é um fluxo uniforme negativo de seis parcelas de valor — 20, de t= 9 até t = 14 (ou seja, origem em t = 8); seu valor atual em t=-1 é:

28 04/08/09 3:24

(

)

n n a )i 1 (i 1 i 1 A V + − + = ou

(

)

V 36,67 6 ) 10 , 0 1 ( 10 , 0 1 10 , 0 1 20 V a 6 a _{→ = −} + − + = −

iii) A terceira parcela é um gradiente uniforme com origem em 0, de valor — 10 e com nove períodos; seu valor atual em t=-1 é:

(

)

n 2 n a )i 1 ( i ni 1 i 1 G V + − − + = ou

(

)

V 190,41 ) 10 , 0 1 ( 10 , 0 10 , 0 * 9 1 10 , 0 1 10 V a 9 2 9 a _{→ = −} + − − + = −

Somando as três parcelas resulta: V_a = −111,9

Levando este valor para t = 0,

Va = — 111,9 x 1,1= — 123,1 Desejando a resposta em EUA

(

)

(

)

A EUA 16,7 ) 10 , 0 1 ( 10 , 0 1 10 , 0 1 A 1 , 123 )i 1 (i 1 i 1 A V 14 14 n n a _{→ = = −} + − + = − → + − + = EXEMPLO 3-8

Deseja-se vender um terreno, por qualquer dos dois seguintes planos: a) ou 20.000 à vista ou b) x a prazo.

O plano a prazo exige 50% de entrada e 50% em 24 prestações mensais iguais calculadas, para o cliente, a 1 % de juros ao mês. Entretanto, ao estabelecer o segundo plano, desejo garantir para mim uma rentabilidade de 5% ao mês sobre o dinheiro a receber. Pede-se detalhar o plano da venda à prestação.

Solução:

Desejamos, pois, que 2 x

renda 5% ao mês, o que dá uma prestação igual a R, tal que ao vendedor seja indiferente entre os dois planos.

(

)

n n a )i 1 (i 1 i 1 A V + − + = 7986 , 13 A 2 x ) 05 , 0 1 ( 05 , 0 1 ) 05 , 0 1 ( A 2 x )i 1 (i 1 )i 1 ( A 2 x 20000 n _n 24 ₂₄ = + + − + + = + − + + =

O cliente vai pagar a quantia 2 x

em prestações iguais a A calculadas a partir de juros de 1 % ao

mês. Para o cliente a conta é: A21,2435

) 01 , 0 1 ( 01 , 0 1 ) 01 , 0 1 ( A )i 1 (i 1 )i 1 ( A 2 x 24 24 n n = + − + = + − + =

29 04/08/09 3:24 Resolvendo o sistema encontra-se A=570,24/mês ou x= 24249

3.9 EXERCÍCIOS 3.9.1 Pede-se:

a) O Valor Atual de um fluxo uniforme de R$ 5.000,00 durante 12 períodos com taxa de juros compostos de 7% por período.

b) Valor Final do caso a.

c) Equivalente uniforme anual em 8 períodos para o fluxo do caso a. d) Repetir o caso a) para uma taxa de juros de 7,17%.

Resposta a) R$ 39713,43 b) R$ 89442,26 c) R$ 6650,72 d) R$ 36356,10

3.10.2 A que taxa de juros compostos anuais deverá ser colocado certo capital para que triplique ao fim de 10 anos?

Resposta 11,6%a.a.

3.10.3 Determinar a taxa de juros mensal que, composta trimestralmente, seja equivalente a uma taxa de 8,4% a.m. (composta mensalmente).

Resposta 9,125%

3.10.4 Você mantém o seu capital em um banco de investimentos que paga juros compostos de 24% a. a. com capitalização trimestral. Calcule o montante de um capital de R$ 100.000,00

aplicado durante 29 meses.

Resposta R$ 175.706,00

3.10.5 Determinada instituição financeira adquiriu do Banco Central, através de leilão, um lote de Letras do Tesouro Nacional com prazo de resgate em 91 dias, pagando com uma taxa de deságio de 14%. Qual é o juro simples efetivo a.a. desta operação?

Resposta 64,8%a.a.

3.10.6 Considerados juros de 2% ao mês, qual o valor atual de:

a) uma série de 51 pagamentos mensais consecutivos iguais a R$1.000 cada um vencendo nos instantes 0, 1,2, . . ., 50

30 04/08/09 3:24 Resposta a) R$ 32423,50 b)R$ 80500,00

3.10.7 Uma firma comprou um equipamento por R$ 10.000,00 de entrada mais um pagamento R$ 15.000,00 após um ano. Estima-se que o equipamento poderá ser vendido como sucata por R$ 5.000,00 após 5 anos, e que sua manutenção custará R$ 1 .000,00 por trimestre nos últimos 3 anos. Desejando alugar este equipamento a terceiros, quanto deverá cobrar em parcelas trimestrais iguais para ter um lucro de 25% sobre o valor atual do custo? Considerar receitas e pagamentos no fim dos períodos e juros de 5% ao tri mestre.

Resposta R$ 3654,00

3.10.8 Uma firma transportadora compra caminhões por R$ 110.000 e incorre em custos anuais de manutenção de R$ 10.000 no primeiro ano, R$ 12.000 no segundo e assim por diante, aumentando sempre à razão de R$ 2.000 por ano. Um caminhão com cinco anos de uso pode ser vendido por R$ 40.000 e um com seis por R$30.000. O custo de oportunidade do capital é de 10% a. a. Calcule os EUA de cinco e de seis anos de uso do caminhão. Decida se é melhor ficar com o caminhão durante cinco ou durante seis anos antes de trocar.

Resposta a) R$ 36086,00 b)R$ 35808,00 melhor 6 anos

3.10.9 Uma loja anuncia um carro segundo dois planos alternativos de venda:

1° plano: R$ 10.000,00 de entrada mais R$ 25.000;00 após 3 meses, mais R$ 25.000,00 após 7 meses.

2.° plano: R$ .25.000,00 de entrada mais R$ 40.000,00 depois de um ano.

Qual o valor a vista do carro? Observe que na solução aparecerão duas raízes, das quais apenas uma faz sentido do ponto de vista econômico.

Resposta R$ 53450,00

3.10.10 Qual deve ser a taxa anual do custo de oportunidade do capital para minha firma para que seja indiferente alugar uma máquina por 10 anos pagando um aluguel de 20 mil reais por ano (no fim de cada ano) ou comprar esta máquina pagando 50 mil reais no início do primeiro ano, 25 mil no início do segundo e 25 mil no início do terceiro ano?

O valor residual da máquina ao fim de 10 anos de uso é nulo. Resposta 18,3%

3.10.11 Meu consumo anual de fandangos especiais é de 5.000 peças. Posso comprá-los prontos a R$ 100 por unidade ou fabricá-los a um custo variável unitário de R$ 60. Para fabricá-los preciso comprar uma máquina fandangadeira especializada por R$ 1.500.000, que trabalhará durante dez anos antes de ser jogada fora sem valor residual. Suponha que o custo do capital para minha firma é de 15%. a.a.

31 04/08/09 3:24 a) Decida entre comprar pronto ou pela fabricação própria.

b) Supondo que já tenha sido anteriormente comprada uma fandangadeira especializada, que vai durar mais cinco anos, e que não haja mercado de segunda mão para este tipo de máquina, repita o tem anterior.

c) Nas condições do item a, calcule o Ponto de Equilíbrio no consumo de fandangos para a mudança da decisão.

Resposta a) Compra pronto b)Fabrica c) R$ 7472,00

3.10.12 A firma Inducapacitoresistor desenvolveu um instrumento automático para monitorar a pressão sanguínea de pacientes num hospital. O setor de vendas avaliou o potencial do mercado e concluiu que poderiam vender cerca de 400 instrumentos no primeiro ano, e, a seguir, aumentar as vendas em 50 instrumentos cada ano até o máximo de seis anos. Após este ano, a competição forçará a elaboração de outro projeto inteiramente novo, O setor de produção estudou o projeto do instrumento as previsões de venda. Chegou-se, então, a dois possíveis métodos de produção, um mais intensivo em mão-de-obra que o outro.

O método A requer um investimento inicial de R$ 300.000 em ferramentas e cerca de R$ 75.000 em mão-de-obra e material no primeiro ano. A mão-de-obra e o material vão aumentar em aproximadamente R$ 5.000 cada ano (isto é, R$ 80.000,00 no segundo ano, e assim por diante). No fim do período de seis anos, as ferramentas terão um valor residual de R$ 20.000. O método B requer um investimento inicial de R$ 500.000. Custos de mão-de-obra e material R$ 60.000 para o primeiro ano, com um aumento de R$ 2.500 por ano. Ao fim dos seis anos, o valor residual das ferramentas e equipamentos será de aproximada mente R$ 150.000.

Se o método B for o escolhido, o imposto de renda, adicional a se pagar em relação ao método A, será de R$ 5.800, e aumentará aproximadamente R$ 750 cada ano. Considere o Imposto de Renda como custo adicional.

A firma considera a rentabilidade mínima aceitável de i = 10% para o capital, após o imposto de renda. A renda bruta (oriunda das vendas) não será afetada pela escolha no método de produção.

Aproveitamos a ocasião para mostrar que o imposto de renda pode afetar decisões. No presente problema, ele tão somente entra como custo adicional.

a) Calcule o valor atual dos custos dos seis anos de produção pelos métodos A e B. b) Calcule os correspondentes equivalentes uniformes anuais (EUA);

Resposta a) VaA=R$ 663702,00 VaB=R$ 733332,00

b) AA=R$152389,00 AB=R$ 168377,00

3. 10.13 A firma Trambolhos & Cia. precisa aumentar sua produção de uma pecinha de altíssima precisão. Depois de muita análise, concluiu-se que, tecnicamente, isto poderia ser

32 04/08/09 3:24 feito por uma máquina MAXTREPIDA operada manualmente ou um máquina SUPERTREPIDAMAX operada por meio de controle remoto sem fio. A capacidade de produção de ambas as máquinas é praticamente a mesma.

A máquina MAXTREPIDA custa aproximadamente R$ 150.000, uma vida útil de 20 anos e um valor residual de R$ 25.000. Os gastos anuais de manutenção e energia serão da ordem de R$ 25.000, e para operação pagar-se-ão R$ 40.000 em salários e horas extras. Será necessário efetuar reforma de maior porte ao fim do quinto, do décimo e do décimo quinto anos de operação a um custo de R$ 30.000 cada vez.

A máquina SUPERTREPIDAMAX é composta de duas unidades: a unidade básica e a controle remoto sem fio. A máquina básica custa R$ 250.000, tem uma vida útil de 20 anos e um valor residual estimado em R$ 40.000. O custo de energia e manutenção é de R$ 35.000,- enquanto a operação sai R$ 55.000 anuais. A máquina necessitará de reformas no quinto, no décimo e no décimo quinto anos a um custo de R$ 20.000 cada vez. A unidade de controle remoto sem fio por conter leds com rubis custa aproximadamente R$ 125.000, e tem uma vida útil de dez. anos, com valor residual de R$ 25.000. Os gastos anuais em energia e manutenção são de R$ 27.500.

Comprando a máquina MAXTREPIDA, resultará num aumento de imposto de renda de R$ 1.500 anuais, em relação à compra da máquina SUPERTREPIDAMAX.

A taxa de retorno mínima aceitável para a firma, após o imposto de renda, é de i 10%.

a) Calcule o equivalente uniforme anual da compra de duas máquinas SUPERTREPIDAMAX. b) Qual o EUA da compra de uma máquina MAXTREPIDA?

c) Calcule o valor atual de custo de 20 anos de serviços de uma máquina. SUPERTREPIDAMAX e de uma máquina MAXTREPIDA.

Resposta a) R$ 173145,00 b) R$ 169367,00 c) VaMAXTREPIDA= R$737044,00