Pensamento e Linguagem Algébrica de Estudantes em Fase
Inicial do Ensino de Álgebra
Maria Lucia Panossian Prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura
Introdução
Este documento apresenta a síntese do estudo teórico e os resultados iniciais da pesquisa que tem por objeto de estudo o movimento do pensamento e da linguagem algébrica, desenvolvida com alunos da 6ª. Série de uma escola pública da rede estadual, localizada na cidade de São Paulo.
O desenvolvimento desta pesquisa surge da necessidade de uma professora em compreender os processos cognitivos dos estudantes em relação à álgebra, e da necessidade de pensar sobre situações que permitem e orientam o ensino de tal conteúdo. É portanto uma pesquisa gerada na prática profissional, e que encontra possibilidades de ser desenvolvida no meio acadêmico através do programa de Mestrado da Faculdade de Educação da USP.
A atuação profissional com estudantes do 1º ano do Ensino Médio, tornou evidente a dificuldade que grande parte deles apresenta para resolver situações-problema recorrendo ao pensamento e à linguagem algébrica. Por que o recurso ao pensamento e à linguagem algébrica não era previsto na resolução de problemas, apesar dos estudantes terem trabalhando com variáveis, incógnitas, expressões algébricas, equações entre outros conceitos e procedimentos algébricos no decorrer da 6ª, 7 e 8ª. Séries do Ensino Fundamental?
Para compreender melhor o objeto de estudo identificado como movimento do pensamento e da linguagem algébrica definiu-se a abordagem histórico-cultural como a referência teórica da presente pesquisa, influenciada pelas discussões do Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividade Pedagógica (GEPAPe)1 e pelos resultados de pesquisas com
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esse enfoque teórico. Pesquisas como as de Moura (1996; 2001), Moyses (1997), Bernardes (2000), Sforni (2004), apresentam possibilidades reais de contribuições dos estudos nessa fonte teórica para a Educação Matemática. De forma mais específica, em relação ao processo de ensino e aprendizagem de conceitos algébricos, também oferecem contribuições pesquisas como as de Papini (2003), Moretti (2003), Cedro (2004), Sousa (2004).
Assim, definida a abordagem teórica, por meio de leituras buscou-se a compreensão do movimento lógico-histórico de pensamento e linguagem algébrica, além de aprofundamento em relação ao conceito próprio de pensamento e linguagem Procuraram-se, também, orientações em relação ao trabalho com pensamento e linguagem algébrica desenvolvidos no ensino escolar, considerando as dificuldades que se apresentam no ensino de álgebra especificamente. Desvendar as peculiaridades e características sociais, filosóficas e principalmente psicológicas do processo de ensino e aprendizagem da álgebra que conduz à apropriação e compreensão da linguagem algébrica inter-relacionada ao pensamento ofereceria, então, elementos para a revisão da prática e orientação do ensino.
Estabeleceu-se então como objetivo principal desta pesquisa, a investigação sobre
o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica, por meio de situações-problema, com alunos da 6ª série.
O movimento do pensamento e da linguagem
Com base na leitura realizada, a partir de Kopnin (1978), sob o olhar filosófico, pode-se compreender o pensamento como atividade intelectual do homem, como relação teórica do sujeito com o objeto. Nas palavras de Kopnin (1978), “o pensamento nasce de necessidades práticas para satisfazer as necessidades da prática, é um processo dirigido a um fim” (p. 170).
Leontiev (1983), autor cuja obra se baseia na dialética marxista, reforça que, para o marxismo, o pensamento humano é entendido como:
[…] produto do desenvolvimento sociohistórico, como uma forma teórica peculiar da atividade humana que não é mais que um derivado da atividade prática; incluindo naquele nível de desenvolvimento que o pensamento adquire uma independência relativa, a prática continua sendo a base e o critério de sua autenticidade. (p.29, tradução nossa)
O pensamento é guiado por leis que existem na realidade objetiva. Conforme Kopnin (1978), o movimento do pensamento considerado como o lógico é reflexo do histórico (movimento dos fenômenos da realidade objetiva). A unidade entre o lógico e o histórico é premissa necessária para compreensão do processo de movimento do pensamento.
No pensamento, resulta não o próprio objeto, mas sua imagem ideal (imagem cognitiva). Dessa forma, o pensamento não modifica o objeto em termos práticos, mas o reflete (o ideal é um reflexo da realidade) e conhece suas leis, tendo condições para transformar a primeira imagem do objeto em um outro objeto também idealizado. Tal transformação pode ocorrer no plano das representações sensoriais e no plano da atividade verbal-discursiva (Davydov, 1982), sendo que o meio de expressão simbólica e de sinais de tais imagens ideais adquire muita importância.
Para Davydov (1982), “o pensamento de um homem é o movimento de formas de atividade da sociedade historicamente constituídas e apropriadas por aquele” (p. 279). Resulta da atividade do homem social, derivada do trabalho. Por meio das ações dentro da atividade, o homem transforma a realidade (experiências culturais) e a si mesmo, apropriando-se de novos saberes.
Conforme Leontiev (1983), o verdadeiro pensamento, entendido como atividade, constitui-se a partir de ações subordinadas a objetivos cognitivos conscientes, ainda que na forma de processos externos. “Seus resultados cognitivos, generalizados e fixados através da linguagem, se diferenciam em princípio dos resultados do reflexo sensível direto que se generalizam nas correspondentes formações sensitivas” (p. 31).
Ressalta-se aqui uma importante inter-relação da linguagem e pensamento. Conforme a lógica dialética, a linguagem não é compreendida somente como meio de existência e funcionamento do conhecimento, ela penetra no processo de pensamento, procura estudar as formas de conhecimento da realidade objetiva pelo pensamento. “Ora, a linguagem é uma forma de ser do conhecimento” (Kopnin, 1978, p. 79). É possível reconhecer a importância da linguagem na medida em que a imagem ideal de um objeto se modifica quando o homem a objetiviza por meio de palavras, gestos, desenhos etc.
O pensamento se reflete na linguagem. Conforme Kopnin (1978), “[...] não há outro pensamento real de existência real para o homem” (p. 85). É no processo de comunicação que a imagem cognitiva do objeto como abstração existe. “Não podemos imaginar o conhecimento do homem sem a linguagem, pois a linguagem consubstancia nas palavras o
resultado do pensamento" (p. 150). Expressar a forma objetal externa da atividade cognitiva permite a realização de alguns processos no plano lingüístico e adquire, dessa forma, além da função comunicativa, a função cognitiva. Seus processos adquirem cada vez mais características de processos internos que se realizam ‘mentalmente’. As ações adquirem independência relativa, e a capacidade de separar-se da atividade prática convertem-se de ações externas em ações internas.
No livro Linguagem e razão humana, Leontiev (1975) se refere às diferentes funções da linguagem. É instrumento do pensar na medida em que é o material básico do homem para planejar sua atividade. É ao mesmo tempo elemento regulador, considerando que o homem ao planejar sua atividade organiza seu comportamento. É também instrumento do conhecimento, pois se fixam na linguagem resultados do conhecimento. Não se trata de somente associar o conceito (conjunto de conhecimentos ou fenômeno) a uma palavra nem tampouco imaginar que na palavra estão reproduzidas todas as características de um conceito, mas sim que a linguagem permite a apropriação de tais conceitos e também a obtenção de novos conhecimentos a partir daqueles que possuímos. Sendo instrumento do conhecimento, é também outra função da linguagem servir como meio de apropriação da experiência histórico-social.
Para Leontiev (1975), “[...] é precisamente o uso da linguagem que determina o pensamento teórico do homem” (p. 36), mas a força do pensamento está em captar, nas coisas, nos objetos e nos fenômenos, os movimentos que não podem ser representados. Para o autor, “a língua abarca em seus significados – conceitos – um conteúdo objetal ou outro, mas o conteúdo está nela completamente liberado de substancialidade” (1983, p. 106).
Vygotsky (2001), precursor da abordagem histórico-cultural da psicologia, considera pensamento e linguagem como dois tipos de atividade da consciência e que são a chave para a sua compreensão. Conforme as pesquisas que descreve, as origens do pensamento e da linguagem são diferentes, mas suas trajetórias de desenvolvimento se interceptam na criança a partir de dois anos de idade. Nesse momento, o pensamento pode ser verbalizado e a linguagem começa a ser compreendida. Também considera que mesmo no adulto pode haver pensamento sem linguagem e linguagem sem pensamento, entretanto isso não significa que pensamento e linguagem possam ser tratados como funções particulares e analisados isoladamente, sem suas relações e sua organização na estrutura integral da consciência.
O significado da palavra é para Vygotsky ( 2001) a unidade do pensamento verbalizado. É fenômeno do pensamento e da linguagem, é uma generalização. Sem esse significado, a palavra é um som vazio. Toda generalização é um ato verbal do pensamento que reflete a realidade para além das sensações e percepções imediatas. A palavra por sua natureza psicológica é a generalização do modo de representação da realidade na consciência, é o reflexo da realidade generalizada.
Generalização e significado da palavra são sinônimos. Toda generalização, toda formação de conceitos é o ato mais específico, mais autêntico e mais indiscutível de pensamento. Conseqüentemente estamos autorizados a considerar o significado da palavra como um fenômeno do pensamento. (Vygotsky, 2001, p.398)
É também o significado da palavra, unidade de análise do pensamento verbalizado, que permite a comunicação, sem a qual, só são permitidos meios primitivos de comunicação. Nos significados (apresentados por meio da linguagem), representa-se a forma ideal de existir do mundo objeto, suas propriedades e relações com a visão de uma prática social conjunta. A comunicação só é viável se estiverem compreendidos os significados das palavras. As crianças usam as palavras na comunicação com os adultos, mas o significado das palavras para a criança e para o adulto diferem sobremaneira.
Cabe ressaltar a diferença entre os termos significado e sentido, muitas vezes usados indiscriminadamente. Ao dominar a experiência social, o homem se apropria do significado da palavra. A expressão sentido pessoal é usada por Leontiev (1983) para identificar o significado para o sujeito, considerando o que atende às suas necessidades e alcança seus objetivos. Nem sempre sentido pessoal coincide com significado, e a transformação do que possui sentido pessoal para o mundo das significações não ocorre de forma simples e direta, mas sim mediante um processo psicológico íntimo e profundo, que transcorre em nível social. O sentido pode ser expresso por meio de significados, mas um significado não pode ser expresso por apenas um sentido. O sentido é pessoal, o significado por sua vez é da experiência humana coletiva e deve ser apropriado pelo indivíduo. O sentido revelado permite a conscientização real de conhecimentos e atitudes correspondentes. Conforme Leontiev ( 1983), “o sentido não se ensina, o sentido se educa" (p. 234).
A compreensão sobre como ocorre a formação de conceitos é importante contribuição da psicologia histórico-cultural, e nela se reflete também a compreensão da relação entre pensamento e linguagem. Nessa abordagem, a palavra não é reflexo direto e
imediato do pensamento, não é a definidora ou rotuladora do conceito. Este surge para a solução de algum problema no processo de uma atividade voltada para um fim. O pensamento por conceitos do adulto e o pensamento da criança são diferentes, diferem estrutural e funcionalmente. As investigações de Vygotsky( 2001) nos indicam a divisão em três estágios básicos na evolução dos conceitos. O das imagens sincréticas ( as palavras usadas lembram o significado dado pelo adulto, mas caracterizam-se pela abundância de nexos subjetivos), o da construção de complexos ( quando se refletem os nexos objetivos, mas não ainda como o conceito, como um vínculo essencial e uniforme e de relação entre os objetos). Este estágio inclui a fase dos pseudo-conceitos.
“É isso que denominamos pseudoconceito. Obtém-se algo que, pela aparência, praticamente coincide com os significados das palavras para os adultos mas no seu interior difere profundamente delas” ( p.193)
O último estágio é o da formação de conceitos propriamente dito, quando“…um verdadeiro conceito se baseia igualmente nos processos de análise e também nos processos de síntese” ( p.220). Neste processo a síntese abstrata obtida através da série de atributos abstraídos forma a base do pensamento e oferece ao sujeito a possibilidade de tomar conhecimento do que o cerca.
Vygotsky ( 2001) também diferencia a formação de conceitos científicos da formação de conceitos espontâneos, ainda que de alguma forma tais conceitos estejam relacionados. É necessário um determinado nível de desenvolvimento dos conceitos espontâneos para que se desenvolvam os conceitos científicos. Estes, por sua vez, influenciam os conceitos espontâneos anteriormente constituídos.
É o processo de formação de conceitos aliado aos processos de generalização e abstração que, conforme Davydov (1982), caracterizam um tipo de toda atividade mental do homem, o pensamento. Em relação aos processos de generalização, ele destaca a distinção entre o processo de generalização empírica e teórica. O resultado do processo de generalização empírica sobre o qual se apóia a lógica formal pressupõe que o sujeito abstraia certas particularidades do objeto. A abstração dessas particularidades reunidas forma o significado da palavra, o conceito. “O conjunto de características generalizadas do objeto forma o conteúdo do conceito” (p. 19, tradução nossa). O conceito formado dessa forma é o conceito empírico. Entretanto, uma observação se insere aqui: nem sempre tais traços gerais e generalizados constituem a essência do objeto. “É notório que a essência
não coincide por seu conteúdo com os fenômenos e propriedades dos objetos, dados diretamente” (p. 93, tradução nossa).
Além disso, “o conceito de um objeto ou propriedade é sempre ABSTRATO, INCONCRETO. Todo conceito usa abstração, independente do que represente” (DAVYDOV, p. 54, tradução nossa), sendo que a palavra é um substituto dos conceitos, só operamos com conceitos expressos no discurso.
Diferente da lógica formal, a lógica dialética estuda o desenvolvimento e as interconexões das formas de pensamento e, nesse sentido, pode contribuir com a psicologia e as estratégias didáticas, preocupando-se com a formação de conceitos na história da ciência e no pensamento dos alunos.
O conceito que se forma com base na generalização teórica, processo característico do pensamento teórico e científico, serve como procedimento para “[...] efetuar o trânsito da essência ao fenômeno” (DAVYDOV, 1982, p. 356, tradução nossa), do abstrato ao concreto. Assim, o conteúdo do pensamento teórico: “… é o domínio dos fenômenos objetivamente inter-relacionados e que constituem um sistema integral” ( DAVYDOV, p.306).
São formas de pensamento, a generalização, abstração e o conceito que, em sua unidade, levam ao conhecimento. Conforme Davydov (1988): “As particularidades da generalização, em unidade com os processos de abstração e formação de conceitos, caracterizam a nosso ver, o tipo geral de pensamento do homem” (p. 100).
No pensamento empírico, a generalização é um processo no qual por meio da comparação o indivíduo separa, de um grupo de objetos, algumas propriedades que se repetem, tal identificação do que é comum é sempre algo abstrato. O conceito se forma por meio da verbalização de tal característica comum aos objetos.
No pensamento teórico, busca-se o objeto do conhecimento em movimento. Formar um conceito significa reproduzir mentalmente seu conteúdo, bem como compreender sua essência. A abstração que é forma do pensamento teórico, também chamada abstração substancial (diferente da abstração no pensamento empírico), reflete as contradições internas de um sistema de forma desmembrada. Representa o concreto2 que só existe por meio das conexões internas dentro de um sistema de coisas singulares.
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O termo concreto tem significados diferentes. Na generalização empírica, o concreto simboliza o que pode ser visto, tocado, manipulado. A ascensão se dá no movimento do concreto ao abstrato. Na generalização teórica, o concreto reflete as contradições internas de um sistema. Surge no processo de síntese. A ascensão se dá no movimento do abstrato ao concreto.
Pensamento e Linguagem na História da Matemática, um recorte.
Como um conjunto de símbolos e signos formados pelos grupos humanos, a linguagem matemática está repleta de conceitos e significados. O pensamento matemático tem sua origem também nas situações práticas, mas o alto grau de abstração alcançado pelo conhecimento matemático faz com que seus conceitos pareçam incompreensíveis e sua linguagem inacessível aos que não se aprofundam nesse conhecimento. Ao mesmo tempo em que dão a falsa impressão de que os símbolos possuem vida própria desvinculada da realidade objetiva, por outro lado, o uso desses símbolos permite e possibilita que o pensamento se distancie de fatos reais e siga livre, mediante raciocínios, articulações, relações, originando novos conceitos. Este processo acontece também com os conceitos algébricos mais especificamente.
Os conceitos e conteúdos algébricos fundamentalmente tratam das operações matemáticas consideradas de forma abstrata e generalizadas. O desenvolvimento da linguagem algébrica não é algo tão natural quanto se queira supor. Ele ocorre também a partir de pressões sociais e necessidades humanas de cada época. Considerando o uso de palavras, letras, signos e símbolos, é possível traçar um caminho da linguagem algébrica. Tal caminho passa pela álgebra retórica, pela sincopada, e chega até a simbólica. Ao revisitar esse caminho, não se pretende discriminar em importância maior ou menor qualquer uma dessas linguagens, mas somente destacar o momento de modificação, avanços e reflexo do pensamento algébrico. Existe um movimento do pensamento algébrico que, aliado à maneira como se estrutura e se reflete na linguagem, separa-o de conexões diretas com os problemas do cotidiano. Assim, para compreender a linguagem algébrica e também a criação e o uso do sistema simbólico algébrico e o desenvolvimento da linguagem em suas complexidades e contradições, é necessário entender seu movimento histórico e sua essência revelada pelo movimento do pensamento (lógico).
Na impossibilidade de esta pesquisa abarcar completamente esse movimento do simbolismo na Matemática em relação aos conceitos matemáticos, e considerando que o objeto de estudo desta pesquisa comporta o início do ensino de álgebra, recorreremos preferencialmente ao conceito de variável e seu simbolismo. Tal conceito é por si só bastante complexo e está na base dos conceitos algébricos.
Na tentativa de relacionar quantitativamente dois conjuntos, colocando-os em correspondência, surge a necessidade de um instrumento que represente simbolicamente esses conjuntos, seus elementos e a relação entre eles. Isso exige certo grau de generalização para que não se esteja sempre tratando de conjuntos, elementos e relações particulares. Para a representação dos elementos do conjunto, de forma geral, convencionou-se usar o símbolo literal como, por exemplo, x que, a esta altura, denomina-se variável e repredenomina-senta qualquer elemento do conjunto, não coincidindo individualmente com nenhum dos elementos. Conforme Caraça (1952), a variável “[...] é afinal, o símbolo da vida colectiva do conjunto, vida essa que se nutre da vida individual de cada um dos seus membros, mas não se reduz a ela” (p. 127). É também Caraça que ressalta o caráter contraditório e a fluência do conceito de variável, que ao mesmo tempo é e não é cada um dos elementos de um conjunto.
Implicações para o ensino
Considerando que o campo da álgebra, como o de outros conhecimentos matemáticos, foi elaborado historicamente pelos indivíduos para atender às necessidades postas pela experiência prática e no seio da própria ciência e que ensinar álgebra implica mediar a relação entre o sujeito e o conhecimento algébrico, podemos dizer que a apropriação desse conhecimento orientará e mediará a relação do sujeito com o mundo.
Assim, a proposta de situações-problemas que gerem no aluno a necessidade do pensamento e da linguagem algébrica encaminhando para o desenvolvimento de conceitos científicos no movimento do pensamento teórico, deve ser preocupação do professor.
A compreensão da especificidade da linguagem algébrica, repleta de símbolos e signos, que sintetizam verdadeiros conceitos, destaca a importância de trabalhar em sala de aula com este movimento do pensamento, em suas formas de generalização, abstração e formação de conceitos inter-relacionados à linguagem, que não será desta forma apresentada aos alunos como conhecimento científico pronto e acabado O aluno que é apresentado ao simbolismo da álgebra de forma direta nem sempre compreende o significado de seu simbolismo e de seus conceitos, pronuncia e trabalha com um som vazio, com a palavra sem significado.
Em suas investigações, Vygotsky (2001) trata da linguagem oral e escrita como sistema de signos diferentes e que se desenvolvem por processos diferentes, não sendo a
linguagem escrita simples tradução da linguagem falada. Também a linguagem algébrica com seu sistema simbólico é um sistema de signos (instrumentos psicológicos), produzido pelo homem e que o auxiliam a resolver problemas mentais, instrumento do pensar e do conhecimento.
Da mesma forma que para Vygotsky a linguagem oral e a escrita se desenvolvem por processos diferentes, elaboramos a hipótese que no caso da álgebra tal diferença também ocorre. A linguagem oral requer certo grau de abstração em relação ao mundo material, e a linguagem escrita requer abstração do aspecto sonoro da fala e também do interlocutor. Expressando-se por meio da linguagem oral algébrica, o aluno fala e se expressa oralmente, estruturando seu pensamento algébrico e demonstrando que elaborou certas abstrações em relação aos números, mas o registro escrito, o uso de simbolismos da álgebra, apresenta um grau de abstração ainda mais elevado, sendo que a motivação para a escrita precisa ser gerada. Para recorrer ao simbolismo algébrico, a criança precisa de forma intencional e consciente se apropriar de tais signos, compreendendo o significado historicamente a ele atribuído.
A linguagem algébrica, com seu significado e relações de seus sinais (sistema simbólico algébrico), pode ser entendida em seu aspecto semântico e sintático. Dessa forma, pode ser considerada como um meio intelectual de apreensão e conhecimento da realidade objetiva e, como tal, permitir que se penetre no processo de pensamento. Entretanto, no nível atual de desenvolvimento, tal linguagem algébrica pode ser considerada como a realidade objetiva que já existe externamente ao sujeito e que precisa ser por ele apropriada. Nesse momento, o processo de educação tem importância crucial. A linguagem algébrica é, atualmente, elemento da realidade objetiva, é usada durante o processo de ensino e é reflexo da realidade objetiva em seu movimento histórico e precisa ser ensinada. Compreender como o sujeito se apropriará dessa linguagem algébrica, em tal estágio de desenvolvimento e com alto grau de abstração envolvida, é fundamental. Recorrer ainda uma vez para a unidade entre lógico e histórico possibilita compreender o movimento do pensamento na apreensão de tal linguagem. Considerando que a linguagem algébrica reflete o movimento do pensamento algébrico, existe a preocupação em que na falta dessa linguagem tal pensamento encontre dificuldades para ser refletido.
As peculiaridades do conhecimento algébrico e a compreensão do movimento histórico do pensamento e da linguagem e no sujeito nos orientam a respeito da dificuldade em vislumbrá-los diretamente em situações cotidianas. Muitas vezes as situações
cotidianas e ‘ contextualizadas’ propostas forçam a compreensão de conceitos algébricos e carecem de sentido e significado para os estudantes . As experiências cotidianas deste são qualitativamente diferentes dos conhecimentos científicos para os quais eles são apresentados em relação ao conteúdo algébrico e, portanto, tentar nivelá-los pode não ser produtivo para o desenvolvimento.
Também é importante considerar que conceitos algébricos, como conceitos científicos, estão em um outro nível de pensamento matemático em relação aos conceitos aritméticos. É necessário que o sujeito tenha o domínio de certos conceitos aritméticos para que os conceitos algébricos possam se desenvolver e, ao mesmo tempo, o domínio de certos conceitos algébricos implica em avanços no desenvolvimento dos conceitos aritméticos para o sujeito, que compreende e estabelece as relações de forma diferente da que estabelece quando não possui elementos para a generalização. É isso que indica Vygotsky (2001) quando escreve que o domínio da álgebra eleva ao nível superior do pensamento,
[...] permitindo entender qualquer operação matemática como caso particular de operação de álgebra, facultando uma visão mais livre, mais abstrata e generalizada e, assim, mais profunda e rica das operações com números concretos. (p. 267)
Se o aluno usa os números e suas operações de forma não consciente, eles possuem então uma característica de conceitos espontâneos3. O domínio da álgebra permite a conscientização do uso de tais operações, por isso é entendida como conhecimento científico4. Isso não significa que o conceito de número seja por sua natureza um conceito espontâneo, isso depende da relação que o sujeito possui com esse objeto do conhecimento. Quando está aprendendo o conceito de número, exige-se certo grau de conscientização em relação à abstração de quantidades. Nesse momento, o número pode ser entendido como conceito científico. Entretanto, quando tal conceito já foi apropriado, ele é usado de forma não consciente, e um novo grau de conscientização será exigido quando o aluno iniciar o ensino da álgebra, que exigirá certo grau de abstração em relação aos próprios números. Cabe lembrar que uma das características principais dos conceitos
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Os conceitos espontâneos se originam na experiência vital direta da criança. Apesar de operar com eles, a criança não tem consciência desses conceitos e, por isso, não consegue operar com eles em situação não-concreta. O movimento vai do concreto ao abstrato.
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Conceitos científicos se desenvolvem no processo de aprendizagem escolar. Pressupõe a existência de relação entre os conceitos, a conscientização da própria atividade mental e a relação mediada com o objeto. O movimento é do abstrato ao concreto
espontâneos, conforme Vygotsky (2001), é que “a criança compreende as causas e as relações mais simples, porém não tem consciência dessa compreensão” (p. 274) e, além disso, a generalização nos conceitos científicos só é possível com a tomada de consciência e a implicação de um conceito dentro de um sistema de conceitos, que não são trazidos de fora, mas existem e já foram apropriados pelo sujeito em determinado momento.
Aprender um novo vocabulário, conhecer termos técnicos, usar símbolos não significam necessariamente apreender e compreender todo o sentido e significado de determinado conceito ou conhecimento científico. Reconhecer x e y e saber manipulá-los não significam o domínio de um pensar algébrico, pois pode ser apenas um domínio técnico. Da mesma forma, o domínio de um pensar algébrico não implica um domínio técnico. A comunicação por meio da linguagem algébrica prescinde de um pensamento algébrico que se estrutura e se apresenta ao mesmo tempo em que se desenvolve e se reflete mediante uma linguagem algébrica.
Reconsiderar o papel da linguagem e as características da linguagem algébrica, articulando-a com o pensar algébrico no processo de ensino e aprendizagem de álgebra, é fundamental. A partir da evolução histórica da álgebra, pode-se considerar a existência de um pensamento algébrico anterior à utilização da linguagem simbólica, entretanto o pensamento se potencializa conforme o estudante utiliza a linguagem mais apropriada. A dificuldade que muitos estudantes encontram quando são iniciados no estudo de álgebra pode ter origem no uso da linguagem algébrica em função das próprias características desse sistema simbólico ou pela ruptura entre o conhecimento algébrico e o conhecimento aritmético.
É importante salientar o fato de que a linguagem científica, matemática, algébrica ao mesmo tempo em que é ou deveria ser um objeto (deve ser ensinada com suas características particulares) no processo de aprendizagem das ciências em geral e também da Matemática, é usada como instrumento de mediação do professor no seu processo de ensino, é compartilhada. Ensina-se a linguagem enquanto ela é usada para ensinar.
Na pesquisa com os estudantes, procura-se identificar essas articulações e inter-relações entre pensamento e linguagem algébrica em situação de ensino, usando como conteúdo algébrico principal o conceito de variável em função de sua importância histórica no desenvolvimento da álgebra e por se apresentar em movimento.
A linguagem algébrica precisa ser ensinada e é também usada no ensino para resolver as situações-problema e representar fenômenos da realidade objetiva. Conforme
Vygotsky (2001) é necessário que o indivíduo interiorize a experiência fornecida culturalmente. Nesse caso particular, é necessário que ele interiorize os elementos simbólicos da linguagem algébrica. Ao se apropriar do sistema simbólico algébrico, como um sistema de signos, pode transformá-lo em instrumento do pensamento e da ação para resolver as situações-problema com que se defronta. Compreendem-se tais relações por meio do seguinte esquema:
Consideramos então que as ações da atividade de ensino devem estar voltadas para essa apropriação da linguagem e das formas de pensar da álgebra pelo estudante e também da relação do sujeito com as situações-problema propostas, mediadas pelo instrumento (pensamento e linguagem algébrica) apropriado.
A pesquisa com os estudantes e alguns resultados
Inicialmente foram elaboradas situações-problema para comporem o que chamamos de instrumento diagnóstico. Uma turma da 6ª. Série de uma escola estadual de São Paulo e quatro turmas de 1º. Ano do Ensino Médio também de uma escola estadual de São Paulo, responderam a este instrumento. O objetivo principal era identificar como os alunos de uma série e outra respondiam às mesmas situações-problema, e até que ponto os alunos do 1º. Ano do Ensino Médio recorriam ao conhecimento algébrico que possuíam.
FORMAS DE PENSAR DA ÁLGEBRA SITUAÇÕES-PROBLEMA PROPOSTAS
Relação mediada por instrumentos e signos variados (entre eles, o conhecimento, a linguagem e o
pensamento algébrico). SUJEITO
Precisa se
apropriar da… LINGUAGEM ALGÉBRICA
Como uma possibilidade para resolver…
A análise comparativa inicial dos resultados obtidos neste instrumento diagnóstico confirmou que os alunos do 1º ano não se apropriaram da linguagem algébrica, do registro de expressões algébricas e equações, não recorrendo a ela para resolver as situações-problema propostas quando ela não era exigida. Mesmo quando solicitados e encaminhados a fazer uso de tal linguagem, apresentaram dificuldades. Na falta da linguagem algébrica ou no seu uso com falhas, apresentaram dificuldade para elaboração e expressão de suas idéias, sendo que o desenvolvimento do seu pensamento algébrico não teve grandes avanços em relação ao pensamento de alunos da 6ª série, que sequer haviam sido apresentados formalmente aos conteúdos algébricos.
Assim, o objetivo de investigar o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica em situações-problema com os alunos de 6ª série foi retomado para identificar elementos importantes desses dois complexos processos (linguagem e pensamento) a serem considerados para a organização do ensino de álgebra. No caso do pensamento, a busca e estudo durante a análise dos resultados foram para encontrar indícios dos processos de generalização, abstração e formação de conceitos e no caso da linguagem buscaram-se também suas funções como instrumento do conhecimento e do pensamento.
É um desafio nesta pesquisa fixar a atenção no objeto de estudo, sendo ele o movimento composto pelo desenrolar de dois processos complexos: o do pensamento e o da linguagem algébrica. Como captar o pensamento, como captar a linguagem, como fixar a atenção sobre eles com suas inter-relações, em situações de ensino, são questões postas. O apoio para superar tal desafio encontrou-se em Caraça (1952) e em seu conceito de Isolado
Para o autor, são características essenciais da Realidade: a Interdependência e a Fluência. Qualquer objeto ou fenômeno da Realidade do mais simples ao mais complexo estão relacionados e dependem de outros objetos ou fenômenos, ainda que tal entrelaçamento nem sempre sejam identificados por um olhar e tentativa de compreensão superficial. Além de serem caracterizados pela interdependência, tais objetos e fenômenos se modificam a todo instante, evoluem, como afirma Caraça “ O mundo está em permanente evolução; todas as coisas, a todo momentos se transformam, tudo flui, tudo devém” ( p.110). O isolado é um recorte da totalidade, mas é necessário ainda que contemple a sua essência. É possível considerar níveis diferenciados de isolados, sendo que um se insere em outro, formando assim uma cadeia.
Os processos de pensamento e linguagem possuem esta característica de serem interdependentes e fluentes, o que gerou a necessidade de um recorte que foi feito nesta pesquisa, para que tal movimento pudesse ser estudado.
A opção pela 6ª série de uma escola pública estadual de São Paulo é um isolado, por ser um recorte da totalidade do sistema de ensino. Por sua vez, a escolha das situações - problema propostas ocorreu procurando contemplar a essência captada na relação entre pensamento e linguagem algébrica, ainda que recortados da totalidade, mas não separados dela. Assim, em outro nível, tais situações-problema são também isolados, mas inseridas dentro do isolado maior que é o grupo de alunos escolhido.
O surgimento de INESPERADOS obriga a uma melhor definição do isolado. Por isso também as situações-problema, como anteriormente pensadas, foram revistas no decorrer da pesquisa.
Entre os componentes de um isolado, existem relações. A esse conjunto de relações, Caraça (1952) atribui o nome de QUALIDADE. Assim, para compreender a QUALIDADE do pensamento (nesse caso como um componente do isolado), é necessário pensar em suas relações com a linguagem (outro componente do isolado) e vice-versa. Dessa forma, o pensamento que se reflete por meio da linguagem comum tem uma qualidade diferente daquele que se reflete na linguagem aritmética ou, ainda, daquele refletido na linguagem algébrica. Qualidades que admitem graus diferentes de intensidade ou das quais se pode fazer juízos admitem variação de acordo com a quantidade, sendo que esta pode ou não depender de números.
Tomemos certo isolado de estudo; arrastado na fluência de todas as coisas, ele transforma-se – cada um dos seus componentes devém a todo o instante uma coisa nova. Alterando-se constantemente os elementos constitutivos, alteram-se as suas relações, isto é, as suas qualidades, e o isolado aparece a todo o momento com qualidades novas (ibid, p.117).
Tais conceitos de Isolado, Qualidade, Quantidade, Interdependência e Fluência, expostos por Caraça, orientam esta pesquisa em relação à organização metodológica e também em relação à compreensão do objeto de conhecimento (e mais especificamente à variável).
No presente documento optamos por destacar os resultados e a análise em relação à qualidade do pensamento e da linguagem encontradas por meio das situações-problemas. Ao todo foram cinco encontros com os estudantes. Em cada encontro os estudantes em
grupos resolviam uma situação-problema proposta. Três grupos foram analisados em sua produção escrita e oral. Dentro de cada situação-problema, algumas questões problematizadoras foram propostas de início por escrito, para cada grupo de estudantes, e outras foram propostas no momento da intervenção com a intenção de auxiliar o estudante a estruturar ou refletir seu pensamento.
Relacionamos a seguir alguns dos critérios para a escolha das situações-problema que seriam instrumento da pesquisa: As situações em cada encontro deveriam estar adequadas à compreensão dos alunos da 6ª série; ser diversificadas; oferecer a possibilidade de trabalhar com os diferentes usos da variável (como incógnita, número geral e relação funcional); conter itens que pudessem ser resolvidos com estratégias aritméticas e outros com estratégias algébricas; gerar nos alunos a necessidade de registro algébrico; permitir a discussão e negociação de sentidos e significados; provocar a necessidade de generalização de soluções por meio dos casos particulares ou encontrando um princípio geral de solução.
Foram assim definidos os encontros no início da pesquisa:
Encontros Situações-problema Conteúdo Uso da variável
1º O problema do taxista Expressões aritméticas e algébricas Incógnita
Relação Funcional
2º Seqüências de figuras
Reconhecimento de padrões, expressões aritméticas e algébricas, relação entre os números, construção de tabelas.
Número Geral
3º Fantan (jogo)
Estabelecendo relações entre números
Operação Divisão, expressões aritméticas e algébricas, construção de tabelas, relação entre números. Incógnita Número Geral Relação Funcional 4º Campeonato de Futebol
Raciocínio combinatório, expressões aritméticas e algébricas, construção de tabelas.
Incógnita
Relação Funcional 5º A moldura do quadro
A altura da pirâmide
Perímetro, expressões aritméticas e algébricas, álgebra articulada à geometria.
Incógnita Número geral Relação Funcional
Destacaremos nesse momento a síntese inicialmente feita a partir dos estudos teóricos e da análise dos cinco encontros com os estudantes em relação à qualidade5 do
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O conceito de Qualidade será aqui usado como no dizer de Caraça (1952): “Ao conjunto de relações em que um determinado ser se encontra com os outros seres dum agregado, chamaremos as qualidades desse ser” (p. 113). Assim, o que entendemos por qualidade do pensamento e da linguagem são as inter-relações entre os dois processos, e não qualquer juízo de valor que os identifique com qualidade melhor ou pior.
pensamento e da linguagem identificada na produção oral e escrita dos três grupos, procurando também destacar que implicações tais considerações podem provocar na organização do ensino de álgebra.
• A importância da escolha, elaboração e estruturação da situação-problema e seu encaminhamento com os estudantes.
Definir, estruturar e propor uma situação-problema para um grupo de estudantes apresentou-se como uma ação da maior relevância, considerando que dependendo de como fosse proposta e encaminhada, tal situação-problema poderia abrir possibilidades para o processo de generalização, abstração e formação de conceitos em sua forma empírica ou teórica.
• Do objeto do conhecimento. Nesta pesquisa destacamos o estudo da variável conforme o modelo 3UV6 de Ursini que ressalta os usos da variável como incógnita, número geral e relação funcional. Entretanto as situações-problemas elaboradas e pautadas neste modelo trabalham com os registros simbólicos, com a variável letra7no dizer de Sousa (2004). Não havia a previsão de usar a variável como fluência, o que dificulta a real compreensão do conceito e encaminha para o uso do símbolo e signo algébrico, sem que se compreenda o significado em sua essência.
• Foi possível identificar um processo de abstração dos alunos, o que os levava a análise da situação, entretanto a síntese na forma de conceito ainda era precária, e esperar que ela fosse feita era precoce, considerando as possibilidades ainda restritas oferecidas pelas situações-problema propostas. O processo de abstração apenas iniciado necessitava de outros momentos para que fosse realmente desenvolvido, e levasse ao processo de análise e síntese necessária ao pensamento teórico e para o caminho do abstrato ao concreto.
• Muito do que entendíamos como conceitos que foram apreendidos pelos alunos, podem ser ainda apenas pseudoconceitos. Para a comunicação entre os estudantes e a professora/ pesquisadora eles foram suficientes. Entretanto, não se pode garantir que o
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A proposta conforme o modelo 3UV de Ursini (2005) é a de que se aproximem os alunos do trabalho com diferentes usos da variável, em determinados momentos diferenciando-as e em outros momentos integrando-as, em diferentes atividades ou na mesma atividade. Os três usos da variável ao qual a autora se refere são: com incógnita, como número geral, como relação funcional.
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Sousa ( 2004) em sua tese de doutorado considera o conceito de álgebra como “... uma elaboração que contém a síntese de um longo processo de conhecimento das idéias que envolvem variações quantitativas, destacando-se a variável palavra, a variável figura e a variável letra” ( p.149).
significado atribuído pelos estudantes aos conceitos e á linguagem utilizada fossem em seu conteúdo o mesmo que o atribuído pela professora.
• A idéia inicial de se colocar em cada problema itens que pudessem ser resolvidos por estratégias aritméticas e em seguida por estratégias algébricas, não se mostrou produtiva. Percebe-se que o conhecimento aritmético que os alunos apresentaram para resolução das questões não foi suficiente para permitir ou encaminhar avanços em relação ao conhecimento algébrico, o que nos indica que não se pode pensar em linearidade de um conhecimento a outro. Por exemplo, na situação-problema do campeonato de futebol os alunos deveriam preencher uma tabela identificando a partir do número de times, a quantidade de jogos de cada time e a quantidade de jogos do campeonato, generalizando para n times. Tal generalização bastante discutida em um dos grupos de estudantes e sintetizada em uma fórmula mostrou-se insuficiente quando em outro momento da mesma questão, os alunos não aceitaram a validade daquela fórmula generalizada a partir das informações aritméticas, o que mostrou que realmente a generalização não aconteceu.
• Destacamos também a importância da comunicação entre os participantes do grupo e o quanto a fala de um reorienta ajudando a reorganizar e estruturar o pensamento do outro, além da importância de compreensão dos sentidos pessoais atribuídos, para compreensão do significado. Como exemplo, reconhecemos a necessidade de os alunos negociarem os significados atribuídos aos símbolos quando o aluno 1 diz: “primeiro acho
que a gente tem que falar o que é o x, pra começar, você vai falar vezes x...”. O papel do
professor neste sentido como mediador e conhecedor do significado atribuído pela experiência histórica acumulada é primordial para que se aproximem sentidos pessoais do real significado. Exemplo marcante do quanto um sentido pessoal pode ser diferente do significado real atribuído ao conceito foi o momento em que no problema relacionado à seqüência de figuras uma aluna leu: “Como posso descobrir quantos palitos são necessários para criar uma figura que ocupa a posição n qualquer?”. A resposta de uma das alunas,
mostrando a incompreensão em relação ao campo de variação e à variável como fluência, e ressaltando o sentido pessoal atribuído foi “Figura n… O n pode representar um número...
Conforme o alfabeto, Tipo j, o j ocupa a posição 10, por que j no alfabeto ocupa a posição 10. Então n é 13. ”.
Estas considerações elaboradas a partir dos estudos teóricos e da pesquisa desenvolvida com os estudantes da 6ª. série indicam ainda um vasto campo de estudo relativo ao movimento do pensamento e da linguagem algébrica em seus aspectos psicológicos e didáticos.
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