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Projeto ótimo de uma viga de concreto armado

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Academic year: 2020

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Projeto ótimo de uma viga de concreto armado

Optimization project of a concrete reinforcing beam

Rodrigo da Silva Magalhães1, rmagalhaescaxias@gmail.com

Guebson Fidellis de Jesus2

Juliana Silva Carneiro3

Luis Fernando Seixas4

Faculdade de Ciências e Tecnologia do Maranhão, Caxias, Maranhão

Submetido em 16/10/2017 Revisado em 17/10/2017 Aprovado em 30/11/2017

Resumo: O custo total das estruturas de concreto é influenciado por diversos fatores como a taxa de aço, volume de concreto, classe do concreto, vão entre apoios, entre outros. Nesse contexto, esse trabalho objetiva otimizar o dimensionamento de uma viga de concreto armado através da utilização de técnicas de otimização da ferramenta Solver, suplemento do MS Excel. Encontrou-se as dimensões base e altura mais econômicas para a viga sendo possível obter uma economia de 5,3% no custo total.

Palavras chave: Otimização, viga, excel, concreto armado.

Abstract: The total cost of concrete structures is influenced by several factors such as steel rate, concrete volume, concrete grade, space between supports, among others. In this context, this work aims to optimize the dimensioning of a reinforced concrete beam through the use of Solver tool optimization techniques, MS Excel supplement. We found the most economical base and height dimensions for the beam, we obtained a saving of 5.3% in the total beam cost. Keywords:Optimization, beam, excel, reinforced concrete.

1http://lattes.cnpq.br/3220413531743071 2http://lattes.cnpq.br/8585790797680623 3http://lattes.cnpq.br/8627492331004586 4http://lattes.cnpq.br/5674412076218885

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Introdução

A primeira etapa para elaboração do projeto de estruturas consiste na concepção estrutural, ou seja, o arranjo inicial dos elementos estruturais como pilares, vigas, escadas entre outros, bem como seu pré-dimensionamento. Diversos são os fatores que influenciam no pré-dimensionamento como os carregamentos atuantes sobre a estrutura, o vão a ser vencido pelas vigas e lajes e quantidade de pilares. Levando-se em conta as quantidades de variáveis relacionadas ao processo de dimensionamento, dificilmente a melhor solução para o projeto será encontrada sem que haja um estudo detalhado da situação aliada a experiência do projetista.

Sendo muitas as soluções possíveis para um mesmo projeto, a escolha da mais adequada pode ser facilitada com a utilização de técnicas matemáticas de otimização relacionadas ao dimensionamento estrutural (BORDIGNON, 2012). O processo de otimização é trabalhado por meio de uma função objetivo em que se pretende encontrar a solução ótima como o custo, o peso, a área da seção transversal, ou qualquer outro parâmetro desejado, podendo as variáveis relacionadas a uma função terem restrições ou não (SIAS e ALVES, 2014).

O presente trabalho objetiva otimizar o dimensionamento de uma viga de concreto armado bi-apoiada solicitada por um carregamento uniformemente distribuído de forma a minimizar os custos através de métodos de otimização. Uma vez descrito o problema matemático, isto é, a função que retorna o custo de todos os insumos necessários à execução de uma viga, é possível calcular os valores extremos que possibilitam um máximo aproveitamento dos materiais aliado ao mínimo custo possível. Formulou-se o problema em uma planilha do Microsoft Excel, a qual retorna todos os quantitativos de aço, volume de concreto e área de formas necessário. As variáveis otimizadas são a base e a altura da viga. A função descrita é minimizada através do suplemento Solver, do Excel. Analisou-se a influência da classe do concreto, do vão a ser vencido e a porcentagem do custo de cada material no custo total da viga otimizada.

Modelagem do Problema

Um problema de otimização geralmente envolve três fatores: função objetivo, variáveis de projeto e restrições (CHAPRA, 2008). A chamada função objetivo é a expressão que descreve a meta, as variáveis de projeto são números

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reais ou inteiros que representam os parâmetros iniciais de cálculo, e as restrições refletem as limitações impostas pelo problema ao qual se está modelando. “Um problema de otimização busca encontrar valores para as variáveis de projeto de forma a minimizar ou maximizar uma função que descreve o objetivo.

O problema normalmente é sujeito a limitações, ou restrições, também descritas por funções” (KRIPKA e PAGNUSSAT, 2010). As variáveis de projeto são a base e a altura da viga. Outros parâmetros que são considerados no cálculo, no entanto, são constantes, são o Fck, a sobrecarga e as propriedades do material como módulo de elasticidade e módulo secante.

Função Objetivo

A função que se pretende otimizar (minimizar) é função Custo Total (C) composta pelos seguintes fatores:

C = Cc + Cf + Ca (1) Onde:

 Cc = custo do concreto;  Cf = custo das formas;  Ca = custo das armaduras;

O custo do concreto (Cc) é dado pela seguinte expressão:

Cc = b h L R$c (2) Onde:

 b = base da viga;  h = altura da viga;

 L = vão ou comprimento da viga;

 R$s = Custo por metro cúbico de concreto;

O custo das formas para a viga (Cf) é dado pela seguinte expressão: Cf = (b + 2h) L R$f (3)

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 b = base da viga;  h = altura da viga;

 L = vão ou comprimento da viga;

 R$f = Custo por metro quadrado de forma;

O custo das armaduras (Ca) é dado pela seguinte expressão:

Ca = As Lb ρa R$a + Ase Lbe ρa R$a (4) Onde:

 As = seção de aço para combater momento positivo;  Lb = comprimento do aço positivo;

 Ρa = massa específica do aço;  R$a = Custo por Kg de aço; Restrições do Problema

O dimensionamento otimizado está em conformidade com as prescrições da NBR 6118:2014 (Projeto de estruturas de concreto - Procedimento). Antes da formulação do problema, algumas considerações devem ser feitas quanto ao dimensionamento:

 O dimensionamento foi realizado considerando os estados limites últimos (ELU) de flexão e cisalhamento, e estados limites de serviço (ELS) com relação a deformação excessiva e controle de fissuração;

 Não foi considerada armadura de compressão ou armadura dupla no dimensionamento;

 Quando necessário, utilizou-se contabilizou-se a armadura de pele;  Na ancoragem das armaduras longitudinais foi previsto somente

utilização de ganchos. A ancoragem reta não foi previsto em nenhum caso.

 No modelo de viga bi-apoiada não foi considerado eventuais momentos negativos nas extremidades por simplificação.

 No detalhamento das armaduras transversais foi considerado somente estribos de dois ramos.

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 Os custos unitários de forma, aço, e concreto foram extraídos do relatório de preços medianos do SINDUSCON-MA de agosto/2017. Forma, R$ 44,03 por m². Aço, R$ 3,48 por Kg. Concreto, R$ 388,30 por m³.

A seguir, são apresentadas as restrições de cálculo previstos na NBR 6118:2014 que foram considerados no dimensionamento:

 Item 14.6.4.3 da 6118:2104, para proporcionar comportamento dúctil ás peças, a posição da linha neutra no ELU deve ser de x/d < 0,45, para Fck < 50;

 Item 17.3.5.2.4 da norma, a soma das armaduras de tração e de compressão (As + As’) não pode ter valor superior a 4% da área da seção da viga (Ac);

 Item 13.3 da norma, verificação de deslocamento limite ou deformação excessiva (flecha), utilizou-se o valor de l/250;

 Item 17.4.2.1 da norma, verificação da compressão diagonal do concreto. Deve ser atendida a relação Vsd ≤Vrd2, onde a força cortante solicitante (Vsd) deve ser menor ou igual à força cortante resistente de cálculo (Vrd2);

 Item 13.2.2, seção transversal da viga não pode ter largura inferior a 14 cm;

 Item 17.3.3, verificação do estado limite de fissuração;

 Item 17.3.5.2.1, taxa absoluta mínima de 0,15% de armadura positiva; Materiais E Métodos

Para resolver o problema de otimização foi utilizada a ferramenta Solver, do Microsoft Excel. Criado pela Frontline Systems, o Solver faz parte de um pacote de programas algumas vezes chamado de ferramentas de teste de hipóteses. Com o Solver, você pode encontrar um valor ideal (máximo ou mínimo) para uma fórmula em uma célula, chamada célula de objetivo, conforme restrições, ou limites, sobre os valores de outras células de fórmula em uma planilha.

Todo o dimensionamento da viga foi construído em uma planilha do Excel, de modo que, ao mudar as variáveis de projeto, o dimensionamento é realizado automaticamente. Em células da planilha, foram descritas as variáveis

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de projeto, a função objetivo e as restrições do problema. A planilha automaticamente gera os quantitativos e calcula os custos dos insumos bem como o custo total. Com a utilização do Solver foi possível não somente dimensionar, mas também otimizar, melhorar e buscar as dimensões base e altura da viga que possibilitassem o mínimo custo total possível.

Resultados e Discussões

A Figura 1 demonstra a influência dos insumos forma, concreto e aço no custo total da viga otimizada. Observou-se que, preponderantemente, o insumo “forma” teve uma participação maior o custo total da viga otimizada. Assahi (2005) demonstra que o custo da estrutura representa cerca de 20% a 25% do empreendimento predial de porte médio e o da fôrma, entre 25% a 40% da estrutura, equivalentes 5% a 10% do custo total de uma obra. Esta variação, segundo o autor, se dá devido aos seguintes fatores como o sistema de forma adotado, índice de reaproveitamento dos materiais, potencializado ou minimizado pela definição arquitetônica adotada e produtividade da equipe, sendo este o de maior variabilidade, responsável por 50% a 70% do item.

Figura 1: Influência dos insumos no custo total

O custo da forma tem muita representatividade no custo total tornando-se maioria das vezes, o único fator significativo de competitividade na execução de estrutura, uma vez que os itens armação e concreto são pouco variáveis, independentes da metodologia de execução (ASSAHI, 2005).

Segundo Pinheiro (2007) a estimativa de para a altura das vigas na fase de pré-dimensionamento corresponde a 10% do comprimento do vão.

Verificou-Concreto 26% Forma 48% Aço 26% Fck = 20Mpa Vão = 4 m Carga = 30 kN/m altura da viga = 45cm Custo Total = R$ 382,07

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se que o valor sugerido pela literatura esteve próximo das alturas ótimas encontradas no cálculo, conforme Figura 2. Kripka e Pagnussat (2010) também constataram que os valores de altura pré-dimensionada, conforme as recomendações da literatura, se aproximam dos valores de altura ótima.

Figura 2: Altura ótima x Vão

Na Tabela 1 está o comparativo entre vão e custo otimizado. É perceptível que essa relação não é linear, ou seja, quando o vão dobra o mesmo não acontece com o custo. Dessa forma, a experiência do projetista e o estudo do projeto arquitetônico na etapa de concepção estrutural são de fundamental importância para encontrar o melhor arranjo dos elementos estruturais de modo a minimizar os custos com a estrutura. A despesa com a estrutura em empreendimentos de médio porte gira em torno de 20%, segundo Assahi (2005), ou seja, é um elemento bastante significativo na obra.

Tabela 1: Vão x Custo otimizado Vão (m) Custo otimizado (R$) 2 117,99 4 382,07 6 819,04 8 1417,17 10 2180,44 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Altura Ót im a (c m ) Vão (m) altura Linear (altura)

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A partir da Tabela 1, o menor custo aferido para um vão de 4 metros foi de R$ 382,07, as dimensões ótimas foram 15 x 45cm. Dimensionando a viga da forma convencional, ou seja, com altura fixada em 10% do vão, 40 cm, o custo aferido foi de R$ 402,48, com as dimensões 20 x 40. Uma economia de 5,3%. Dependendo da quantidade de vigas a serem executadas na obra a otimização estrutural pode significar uma grande economia.

Verificou-se também a influência da classe do concreto na variação da altura ótima. Para um mesmo carregamento (30 kN/m) e vão de 4 metros. Embora a altura tenha diminuído e, consequentemente, o consumo de concreto, esta diferença no custo não compensa o aumento do Fck. Uma vez que o custo do concreto com mais altas resistências também se eleva. E, além disso, em obras de pequeno porte dificilmente se atinge uma resistência à compressão elevada no concreto, considerando este sendo produzido no local sem qualquer controle na dosagem. Barboza e Bastos (2008) visitaram 13 obras de pequeno porte na cidade de Bauru-SP e coletaram amostras de concreto e aferir sua resistência à compressão, no entanto, somente em uma amostra o concreto virado em obra atingiu Fck superior a 20 Mpa.

Tabela 2: Classe do concreto x Altura ótima Fck (Mpa) Altura (cm) 20 45 25 42 30 39 40 35 Conclusão

Verificou-se que o insumo “forma” tem grande representação no custo total da viga otimizada. Além disso, a influência da classe do concreto, a qual, na parte teórica é perfeitamente eficaz para diminuir a seção das peças, no entanto, na prática é difícil aplicar, principalmente em obras de pequeno porte devido ao custo e dificuldade do concreto produzido no local em atingir altas resistências.

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Além disso, verificou-se que a altura ótima esteve sempre próxima ao valor de pré-dimensionamento recomendado pela literatura, 10% do vão segundo Pinheiro (2007). Isso demonstra que os valores consagrados de pré-dimensionamento rotineiramente empregados em cálculo são confiáveis além de serem próximos aos valores ótimos.

Através dos resultados obtidos, constatou-se que é possível incorporar a otimização estrutural no cotidiano de trabalho do engenheiro projetista. Uma vez que fornece subsídios que permitem avaliar a influência de todas as variáveis envolvidas como vão a ser vencido, classe do concreto, carregamento, além do custo dos insumos envolvidos.

Referências

ASSAHI, P. N. Sistema de forma para estrutura de concreto. In: ISAIA, G. C. (Ed). Concreto: ensino, pesquisa e realizações. São Paulo: Ibracon, 2005.

BARBOZA, Marcos R.; BASTOS, Paulo Sérgio. Traços de concreto para obras de pequeno porte. Concreto e Construção, v. 36, p. 32-36, 2008.

BORDIGNON, R. Diretrizes para minimização do custo de pilares de concreto armado. Revista Téchne, Edição 178, p. 50-53, Janeiro, 2012.

CHAPRA, S. C. Métodos numéricos para engenharia / Steven C. Chapra, Raymond P. Canale; tradução técnica: Helena Castro. 5.ed – São Paulo: McGraw-hill, 2008.

KRIPKA, M.; PAGNUSSAT, R. Parâmetros para o dimensionamento otimizado de vigas de concreto armado. Revista Téchne, jul. 2010.

PINHEIRO, L. M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. Universidade de são Paulo. São Carlos, 2007

SIAS, Francesco Mayer; ALVES, Elcio Cassimiro. Dimensionamento ótimo de pilares de concreto armado (doi.: 10.5216/reec. V9i3. 31421). REEC-Revista Eletrônica de Engenharia Civil, v. 9, n. 3, 2014.

SINDUSCON-MA. Relatório 1 – preços medianos/agosto 2017. Disponível em < http://www.cub.org.br/cub-m2-estadual/MA/> . Acesso em 12.09.2017.

Imagem

Figura 1: Influência dos insumos no custo total
Figura 2: Altura ótima x Vão

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