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Questão 1: Funções de Legendre (a) (1,5 pontos) Demonstre a partir da função geratriz dos Polinômios de Legendre que

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(1)

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

CURSO DE BACHARELADO EMFÍSICA DAUFPE

Solução do Exercício Escolar 2

5 de novembro de 2015.

Questão 1: Funções de Legendre

(a) (1,5 pontos) Demonstre a partir da função geratriz dos Polinômios de Legendre que

(i) Pℓ(1) = 1 e Pℓ(−1) = (−1)ℓ

(ii) P

ℓ(1) = d dxPℓ(x)

x=1 =

1

2ℓ(ℓ+ 1)

(b) (2,0 pontos) Obtenha a expansão da funçãoδ-Dirac em série de Polinômios de Legendre, usando o intervalo[−1,1].

Solução:

(a) A função geratriz dos Polinômios de Legendre é dada por

(1−2xt+t2)−1/2 =

X

n=0

Pℓ(x)tℓ → Pℓ(x) =

1

ℓ!

∂ℓ

∂tℓ(1−2xt+t 2)−1/2

t=0 Logo

(i) Pℓ(±1) =

1

ℓ!

∂ℓ

∂tℓ(1∓2t+t 2)−1/2

t=0 =

1

ℓ!

∂ℓ

∂tℓ(1∓t)

−1

t=0 =

1 ✓✓

ℓ!(±1)

! (1

∓t)−ℓ

t=0 = (±1) ℓ

(ii) P(x) = 1

ℓ!

∂ℓ ∂tℓ

∂x(1−2tx+t 2)−1/2

t=0 =

1

ℓ!

∂ℓ

∂tℓ[t(1−t)

−3] t=0 = = 1 ℓ! " X

m≤ℓ

ℓ m

∂m ∂tmt

∂ℓ−m

∂tℓ−m(1−t)

−3 # t=0 = = 1 ℓ!    t ∂ℓ

∂tℓ(1−t)

−3

| {z }

∝t→0

+ℓ

∂ℓ−1

∂tℓ−1(1−t)

−3     t=0 = = ℓ

ℓ![3.4. . . .(ℓ+ 1)]

(1t)−(ℓ+2) t=0 =

1

2ℓ(ℓ+ 1)

(2)

(b) Considerar a expansão

δ(x) =

X

ℓ=0

aℓPℓ(x), → aℓ =

2ℓ+ 2 2

Z 1

−1

δ(x)Pℓ(x)dx=

2ℓ+ 1 2 Pℓ(0)

Para obterPℓ(0)usar a relação de recorrência

(ℓ+ 1)Pℓ+1(x) = (2ℓ+ 1)xPℓ(x)−ℓPℓ−1(x)

A partir de P0(x) = 1 e P1(x) = x é possível obter todos os outros polinômios por recorrência.

Para o casox= 0, temos

(ℓ+ 1)Pℓ+1(0) =−ℓPℓ−1(0)

Mas, comoPℓ(0) = 0paraℓímpar, vamos escrever a recorrência acima para os Polinô-mios de Legendre de ordem par, substituindoℓ 2ℓ1, i.e.

(2ℓ)P2ℓ(x) = (4ℓ−1)xP2ℓ−1(x)−(2ℓ−1)P2ℓ−2(x)

Parax= 0fica

(2ℓ)P2ℓ(0) =−(2ℓ−1)P2ℓ−2(0) → P2ℓ(0) =−

(2ℓ1)

2ℓ P2ℓ−2(0)

P2(0) =−

1

2P0(0) =− 1 2

P4(0) =−

3

4P2(0) = (−1)

21.3

2.4

P6(0) =−

5

6P4(0) = (−1)

31.3.5

2.4.6

. . . .

P2ℓ(0) = (−1)ℓ

(2ℓ1)!!

(2ℓ)!! → P2ℓ(0) = (−1)

ℓ (2ℓ)!

22ℓ(!)2

Finalmente, paraℓpar

a2ℓ = 4ℓ+ 1 2

(1)ℓ (2ℓ)! 22ℓ(!)2

→ δ(x) =

X

ℓ=0

(3)

Questão 2: Polinômios de Hermite

(a) (1,5 pontos) Demonstre a relação de recorrência para os Polinômios de Hermite

Hn′(x) = 2nHn−1(x) (b) (1,5 pontos) Resolva a integral

Z ∞

xe−x2

Hn(x)H′m+1(x)dx

Solução:

(a) Considerar a expressão para a função geratriz dos Polinômios de Hermite

GH = exp [2tx−t2] =

X

n=0

Hn(x) n! t

n

e diferenciar ambos os lados com relação à variávelx, i.e.

2texp [2txt2] =

X

n=0

H′

n(x) n! t

n (1)

No lado esquerdo, usar a definição deGH, i.e.

2tGH = 2t

X

n=0

Hn(x) n! t

n= 2

X

n=0

Hn(x) n! t

n+1 = 2

X

n=1

Hn−1(x)

(n−1)!t

n

Comparando com a expressão (1) e igualando os coeficientes de mesma potência emt resulta

2

X

n=1

Hn−1(x)

(n−1)!t

n =

X

n=0

H′

n(x) n! t

n

∴     

   

Para n= 0 → H′

0(x) = 0

Para n 1 H

n(x) n! =

2Hn−1(x)

(n1)! → H

n(x) = 2nHn−1(x) (b) Usar as recorrências

2nHn−1(x) =H′n(x) e 2xHn(x) = 2nHn−1(x) +Hn+1(x) ∴ no integrando e escrever

I=

Z ∞

e−x2

[2(m+ 1)Hm(x)]

nHn−1(x) +

1

2Hn+1(x)

dx =

=

Z ∞

e−x2

(4)

Usando agora a relação de ortogonalidade dos Polinômios de Hermite

Z ∞

e−x2

Hn(x)Hm(x)dx= 2nn!√πδnm resulta

= 2(m+ 1)22mm!√πδm,n−1+ (m+ 1)2mm!√πδm,n+1 ou = 2n√π[n2(n−1)!δn,m+1+ 2(n+ 2)!δn,m−1]

Questão 3: Funções de Laguerre

(a) (2,0 pontos) Obtenha a expressão geral dos Polinômios de LaguerreLn(x) a partir da sua Fórmula de Rodriguez.

(b) (1,5 pontos) Prove a seguinte identidade entre as Funções de Laguerre

Lα+β+1n (x+y) = n X

j=0

Lαj(x)L β n−j(y)

Solução:

(a) Considerar a fórmula de Rodriguez para os Polinômios de Laguerre que pode ser obtida da expressão geral dos Polinômios de Laguerre Associados fazendom= 0, i.e.

Lmn(x) =

exx−m n!

dn dxn(e

−xxn+m)

→ Ln(x) = ex n!

dn dxn(e

−xxn) Usar a fórmula de Leibnitz para executar a derivação(dn/dxn)(e−xxn), i.e.

dn dxn(e

−xxn) = n X

ℓ=0 n!

ℓ!(nℓ)!

dℓ dxℓx

n dn−ℓ dxn−ℓe

−x

Mas, quandoℓ ≤n, temos

dℓ dxℓx

n=n(n

−1). . .(n−ℓ+ 1)xn−ℓ = n!

(nℓ)!x

n−ℓ e

dn−ℓ dxn−ℓe

−x= (

−1)n−ℓe−x ∴

∴ Ln(x) = e x n!

dn dxn(e

−xxn) =✚e✚x n!

n X

ℓ=0 n!

ℓ!(nℓ)!

n! (nℓ)!x

n−ℓ(

(5)

Invertendo o índice mudo da soma: ℓ→(n−ℓ′), e depois

→ℓ, resulta

Ln(x) =

n X

ℓ=0

(1)ℓ n! (ℓ!)2(n)!x

que é a expressão geral dos Polinômios de Laguerre .

(b) Partir da expressão da geratriz dos Polinômios de Laguerre Associados dada nas Infor-mações, i.e.

GLag = 1

(1t)m+1 exp

1x t −t

=

X

n=0

Lmn(x)tn

e aplicar paraLα+β+1

n (x+y), i.e.

X

n=0

Lα+β+1n (x+y)tn =

1

(1t)α+β+2 exp

−(x1+y)t −t

Reescrevendo o lado direito da expressão acima,

1

(1t)α+β+2 exp

−(x1+y)t −t

=

1

(1t)α+1 exp

1x t −t

×

1

(1t)β+1 exp

1y t −t

e reaplicando aGLag para cada fator, resulta,

X

n=0

Lα+β+1n (x+y)tn = "

X

j=0

Lαj(x)tj #

×

" X

k=0

Lαk(y)tk #

=

X

j,k=0

Lαj(x)L β

k(y)tj+k Resta identificar os coeficientes dos termos de mesma potência em cada lado.

Para obter o coeficiente com potênciatn vamos fixar um valor dej, de modo que deve-remos terk =nj.

Portanto, o coeficiente detnno lado direito, para esse valor dej, será

Lαj(x)L β n−j(y). Somando sobre todos os possíveis valores de j, com essa restrição, teremos para as potênciastn a soma de coeficientes, i.e.

" n X

j=0

Lαj(x)L β n−j(y)]

#

tn ∴ Lα+β+1n (x+y) = n X

j=0

Lαj(x)L β n−j(y)

Questão 4: (bônus)

(a) O que são as Funções Harmônicas Esféricas?

(6)

Solução:

(a) As Funções Harmônicas Esféricas são funções definidas sobre a superfície da esfera de raio unitário, se constituindo nas auto-funções da parte angular do operador Laplaci-ano em coordenadas esféricas polares tridimensionais e, por conseguinte, do operador momentum angular quântico.

(b) Funções Harmônicas Esféricas podem ser construídas a partir do produto das Funções de Legendre associadasPm

ℓ (θ)(normalizadas) pelas funções (normalizadas) eimφ que descrevem o comportamento azimutal da equação de Laplace.

Informações que podem ser úteis (ou não): Polinômios de Legendre

(1−2xt+t2)−1/2 =

X

n=0

Pℓ(x)tℓ (Geratriz)

Pℓ(x) =

1 2ℓ!

dℓ dxℓ

(x2

−1)ℓ. (Rodriguez)

Z 1

−1P

m(x)Pn(x)dx=

2

2n+ 1δmn (ortogonalidade)

(ℓ+ 1)Pℓ+1(x) = (2ℓ+ 1)xPℓ(x)−ℓPℓ−1(x) (Recorrência)

Polinômios de Hermite

GH = exp [2tx−t2] =

X

n=0

Hn(x) n! t

n (Geratriz)

Hn(x) = (−1)nex

2 dn

dxne

−x2

(Rodriguez)

Z ∞

e−x2

Hn(x)Hm(x)dx= 2nn!

πδnm (ortogonalidade)

(7)

2xHn(x) = 2nHn−1(x) +Hn+1(x) (Recorrência)

Polinômios de Laguerre Associados

GLag = 1

(1t)m+1 exp

(1x t −t)

=

X

n=0

Lmn(x)tn (Geratriz)

Lmn(x) =

exx−m n!

dn dxn(e

−xxn+m) (Rodriguez)

Z ∞

0

e−xxmLmn(x)Lmn′(x)dx=

(n+m)!

n! δnn′ (ortogonalidade)

Função Gamma

Γ(t) =

Z ∞

0

xt−1e−xdx. Γ(t+ 1) =tΓ(t), t

∈R

Referências

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