CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE BACHARELADO EMFÍSICA DAUFPE
Solução do Exercício Escolar 2
5 de novembro de 2015.
Questão 1: Funções de Legendre
(a) (1,5 pontos) Demonstre a partir da função geratriz dos Polinômios de Legendre que
(i) Pℓ(1) = 1 e Pℓ(−1) = (−1)ℓ
(ii) P′
ℓ(1) = d dxPℓ(x)
x=1 =
1
2ℓ(ℓ+ 1)
(b) (2,0 pontos) Obtenha a expansão da funçãoδ-Dirac em série de Polinômios de Legendre, usando o intervalo[−1,1].
Solução:
(a) A função geratriz dos Polinômios de Legendre é dada por
(1−2xt+t2)−1/2 =
∞
X
n=0
Pℓ(x)tℓ → Pℓ(x) =
1
ℓ!
∂ℓ
∂tℓ(1−2xt+t 2)−1/2
t=0 Logo
(i) Pℓ(±1) =
1
ℓ!
∂ℓ
∂tℓ(1∓2t+t 2)−1/2
t=0 =
1
ℓ!
∂ℓ
∂tℓ(1∓t)
−1
t=0 =
1 ✓✓
ℓ!(±1)
ℓ✓ℓ✓! (1
∓t)−ℓ
t=0 = (±1) ℓ
(ii) P′(x) = 1
ℓ!
∂ℓ ∂tℓ
∂
∂x(1−2tx+t 2)−1/2
t=0 =
1
ℓ!
∂ℓ
∂tℓ[t(1−t)
−3] t=0 = = 1 ℓ! " X
m≤ℓ
ℓ m
∂m ∂tmt
∂ℓ−m
∂tℓ−m(1−t)
−3 # t=0 = = 1 ℓ! t ∂ℓ
∂tℓ(1−t)
−3
| {z }
∝t→0
+ℓ
∂ℓ−1
∂tℓ−1(1−t)
−3 t=0 = = ℓ
ℓ![3.4. . . .(ℓ+ 1)]
(1−t)−(ℓ+2) t=0 =
1
2ℓ(ℓ+ 1)
(b) Considerar a expansão
δ(x) =
∞
X
ℓ=0
aℓPℓ(x), → aℓ =
2ℓ+ 2 2
Z 1
−1
δ(x)Pℓ(x)dx=
2ℓ+ 1 2 Pℓ(0)
Para obterPℓ(0)usar a relação de recorrência
(ℓ+ 1)Pℓ+1(x) = (2ℓ+ 1)xPℓ(x)−ℓPℓ−1(x)
A partir de P0(x) = 1 e P1(x) = x é possível obter todos os outros polinômios por recorrência.
Para o casox= 0, temos
(ℓ+ 1)Pℓ+1(0) =−ℓPℓ−1(0)
Mas, comoPℓ(0) = 0paraℓímpar, vamos escrever a recorrência acima para os Polinô-mios de Legendre de ordem par, substituindoℓ →2ℓ−1, i.e.
(2ℓ)P2ℓ(x) = (4ℓ−1)xP2ℓ−1(x)−(2ℓ−1)P2ℓ−2(x)
Parax= 0fica
(2ℓ)P2ℓ(0) =−(2ℓ−1)P2ℓ−2(0) → P2ℓ(0) =−
(2ℓ−1)
2ℓ P2ℓ−2(0)
P2(0) =−
1
2P0(0) =− 1 2
P4(0) =−
3
4P2(0) = (−1)
21.3
2.4
P6(0) =−
5
6P4(0) = (−1)
31.3.5
2.4.6
. . . .
P2ℓ(0) = (−1)ℓ
(2ℓ−1)!!
(2ℓ)!! → P2ℓ(0) = (−1)
ℓ (2ℓ)!
22ℓ(ℓ!)2
Finalmente, paraℓpar
a2ℓ = 4ℓ+ 1 2
(−1)ℓ (2ℓ)! 22ℓ(ℓ!)2
→ δ(x) =
∞
X
ℓ=0
Questão 2: Polinômios de Hermite
(a) (1,5 pontos) Demonstre a relação de recorrência para os Polinômios de Hermite
Hn′(x) = 2nHn−1(x) (b) (1,5 pontos) Resolva a integral
Z ∞
∞
xe−x2
Hn(x)H′m+1(x)dx
Solução:
(a) Considerar a expressão para a função geratriz dos Polinômios de Hermite
GH = exp [2tx−t2] =
∞
X
n=0
Hn(x) n! t
n
e diferenciar ambos os lados com relação à variávelx, i.e.
2texp [2tx−t2] =
∞
X
n=0
H′
n(x) n! t
n (1)
No lado esquerdo, usar a definição deGH, i.e.
2tGH = 2t
∞
X
n=0
Hn(x) n! t
n= 2
∞
X
n=0
Hn(x) n! t
n+1 = 2
∞
X
n=1
Hn−1(x)
(n−1)!t
n
Comparando com a expressão (1) e igualando os coeficientes de mesma potência emt resulta
2
∞
X
n=1
Hn−1(x)
(n−1)!t
n =
∞
X
n=0
H′
n(x) n! t
n
∴
Para n= 0 → H′
0(x) = 0
Para n≥ 1→ H
′
n(x) n! =
2Hn−1(x)
(n−1)! → H
′
n(x) = 2nHn−1(x) (b) Usar as recorrências
2nHn−1(x) =H′n(x) e 2xHn(x) = 2nHn−1(x) +Hn+1(x) ∴ no integrando e escrever
I=
Z ∞
∞
e−x2
[2(m+ 1)Hm(x)]
nHn−1(x) +
1
2Hn+1(x)
dx =
=
Z ∞
∞
e−x2
Usando agora a relação de ortogonalidade dos Polinômios de Hermite
Z ∞
∞
e−x2
Hn(x)Hm(x)dx= 2nn!√πδnm resulta
= 2(m+ 1)22mm!√πδm,n−1+ (m+ 1)2mm!√πδm,n+1 ou = 2n√π[n2(n−1)!δn,m+1+ 2(n+ 2)!δn,m−1]
Questão 3: Funções de Laguerre
(a) (2,0 pontos) Obtenha a expressão geral dos Polinômios de LaguerreLn(x) a partir da sua Fórmula de Rodriguez.
(b) (1,5 pontos) Prove a seguinte identidade entre as Funções de Laguerre
Lα+β+1n (x+y) = n X
j=0
Lαj(x)L β n−j(y)
Solução:
(a) Considerar a fórmula de Rodriguez para os Polinômios de Laguerre que pode ser obtida da expressão geral dos Polinômios de Laguerre Associados fazendom= 0, i.e.
Lmn(x) =
exx−m n!
dn dxn(e
−xxn+m)
→ Ln(x) = ex n!
dn dxn(e
−xxn) Usar a fórmula de Leibnitz para executar a derivação(dn/dxn)(e−xxn), i.e.
dn dxn(e
−xxn) = n X
ℓ=0 n!
ℓ!(n−ℓ)!
dℓ dxℓx
n dn−ℓ dxn−ℓe
−x
Mas, quandoℓ ≤n, temos
dℓ dxℓx
n=n(n
−1). . .(n−ℓ+ 1)xn−ℓ = n!
(n−ℓ)!x
n−ℓ e
dn−ℓ dxn−ℓe
−x= (
−1)n−ℓe−x ∴
∴ Ln(x) = e x n!
dn dxn(e
−xxn) =✚e✚x n!
n X
ℓ=0 n!
ℓ!(n−ℓ)!
n! (n−ℓ)!x
n−ℓ(
Invertendo o índice mudo da soma: ℓ→(n−ℓ′), e depoisℓ′
→ℓ, resulta
Ln(x) =
n X
ℓ=0
(−1)ℓ n! (ℓ!)2(n−ℓ)!x
ℓ
que é a expressão geral dos Polinômios de Laguerre .
(b) Partir da expressão da geratriz dos Polinômios de Laguerre Associados dada nas Infor-mações, i.e.
GLag = 1
(1−t)m+1 exp
−1x t −t
=
∞
X
n=0
Lmn(x)tn
e aplicar paraLα+β+1
n (x+y), i.e.
∞
X
n=0
Lα+β+1n (x+y)tn =
1
(1−t)α+β+2 exp
−(x1+y)t −t
Reescrevendo o lado direito da expressão acima,
1
(1−t)α+β+2 exp
−(x1+y)t −t
=
1
(1−t)α+1 exp
−1x t −t
×
1
(1−t)β+1 exp
−1y t −t
e reaplicando aGLag para cada fator, resulta,
∞
X
n=0
Lα+β+1n (x+y)tn = " ∞
X
j=0
Lαj(x)tj #
×
" ∞ X
k=0
Lαk(y)tk #
=
∞
X
j,k=0
Lαj(x)L β
k(y)tj+k Resta identificar os coeficientes dos termos de mesma potência em cada lado.
Para obter o coeficiente com potênciatn vamos fixar um valor dej, de modo que deve-remos terk =n−j.
Portanto, o coeficiente detnno lado direito, para esse valor dej, será
Lαj(x)L β n−j(y). Somando sobre todos os possíveis valores de j, com essa restrição, teremos para as potênciastn a soma de coeficientes, i.e.
" n X
j=0
Lαj(x)L β n−j(y)]
#
tn ∴ Lα+β+1n (x+y) = n X
j=0
Lαj(x)L β n−j(y)
Questão 4: (bônus)
(a) O que são as Funções Harmônicas Esféricas?
Solução:
(a) As Funções Harmônicas Esféricas são funções definidas sobre a superfície da esfera de raio unitário, se constituindo nas auto-funções da parte angular do operador Laplaci-ano em coordenadas esféricas polares tridimensionais e, por conseguinte, do operador momentum angular quântico.
(b) Funções Harmônicas Esféricas podem ser construídas a partir do produto das Funções de Legendre associadasPm
ℓ (θ)(normalizadas) pelas funções (normalizadas) eimφ que descrevem o comportamento azimutal da equação de Laplace.
Informações que podem ser úteis (ou não): Polinômios de Legendre
(1−2xt+t2)−1/2 =
∞
X
n=0
Pℓ(x)tℓ (Geratriz)
Pℓ(x) =
1 2ℓℓ!
dℓ dxℓ
(x2
−1)ℓ. (Rodriguez)
Z 1
−1P
m(x)Pn(x)dx=
2
2n+ 1δmn (ortogonalidade)
(ℓ+ 1)Pℓ+1(x) = (2ℓ+ 1)xPℓ(x)−ℓPℓ−1(x) (Recorrência)
Polinômios de Hermite
GH = exp [2tx−t2] =
∞
X
n=0
Hn(x) n! t
n (Geratriz)
Hn(x) = (−1)nex
2 dn
dxne
−x2
(Rodriguez)
Z ∞
∞
e−x2
Hn(x)Hm(x)dx= 2nn!
√
πδnm (ortogonalidade)
2xHn(x) = 2nHn−1(x) +Hn+1(x) (Recorrência)
Polinômios de Laguerre Associados
GLag = 1
(1−t)m+1 exp
−(1x t −t)
=
∞
X
n=0
Lmn(x)tn (Geratriz)
Lmn(x) =
exx−m n!
dn dxn(e
−xxn+m) (Rodriguez)
Z ∞
0
e−xxmLmn(x)Lmn′(x)dx=
(n+m)!
n! δnn′ (ortogonalidade)
Função Gamma
Γ(t) =
Z ∞
0
xt−1e−xdx. Γ(t+ 1) =tΓ(t), t
∈R