A r c o s e â n g u lo s
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Em uma circunferência, quando escolhemos dois de seus pontos,ficam determinadas duas partes denominadas arcos de circunferência.
M e d id a e c o m p r im e n to d e u m a r c o
Todo arco de circunferência está associado a um ângulo central. A medida de um arco é a medida do ângulo central correspondente. O comprimento é a medida linear, ou seja, do segmento que seria obtido caso pudéssemos retificar o arco.U n id a d e s d e m e d id a d e u m a r c o
• Grau
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(0) Quando uma circunferência é dividida em 360 partes, cada uma dessas partes é um arco de medida 1 grau (1°).1°=60' 1'= 60"
• Radiano (rad)
Quando o comprimento de um arco é igual ao raio da circunferên-cia, a medida desse arco é 1 radiano (1 rad).
O raio da circunferência mede r. O comprimento do arco
AB
é r.A medida do arco
As
é 1 radiano.A medida de uma circunferência é 3600 ou 211:rad.
C ir c u n fe r ê n c ia tr ig o n o m é tr ic a
y• o
ponto A(l, O)é sempre a origem dos arcos.• O sentido anti-horário é positivo e o sentido horário é negativo. • Os eixos cartesianosdividem a circunferência em 4 partes,
deno-minadas quadrantes.
A r c o s c õ n g r u o s
Na circunferência trigonométrica, arcos que têm a mesma origem e a mesma extremidade são denominados arcos c ô n g ru o s entre si. Generalizando, a expressão geral de todos os arcos côngruos ao arco
AP,
de medida a, com 0° ~ a <360° (a em graus) ouO ~ a <211: (a em radianos), é dada por: a+k·360° ou a+k·211:,com kEZ
Oarco
AP,
de medida a, é chamado de 1~determinação positiva.S e n o , c o s s e n o e ta n g e n te d e u m a r c o
Em uma circunferência trigonométrica, seja P a extremidade do arcoAP
eTo ponto de intersecção da reta OPe da reta t, tangente àcircunferência no ponto A e com a mesma orientação que o eixo y. A reta t é paralela ao eixo y.x
As coordenadas dos pontos PeTsão: P(cosa, seno)
T(1, tga)
As razões seno, casse no e tangente são dadas por: • COSa (abscissa do ponto P)
• sena (ordenada do ponto P) • tg a (ordenada do ponto 1)
Relação fu n d a m e n ta l d atrigonometria
Para todo arco demedida a, da circunferência trigonométrica, temos:
cos2 a + sen2a = 1 Para todo arco de medida a, com COSa
'*
O, temos:Antes de se enfrentarem na última partida, o§ times Coringa e São Pedro vão jogar, cada um, 3 partidas.
Os resultados possiveis para cada uma das três partidas antecedentes
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
à final éformado de 3 possibilidades (vitória, empate ouderrota) e dois deles satisfazem àcondição expressa no enunciado. Assim, a probabilidade de cada um dos times não ser
derro-tado em cada uma das 3 partidas que antecedem a final é P ~ e, consequentemente, a de não ser derrotado nas três partidas
3 3
éP
2~3
3
33313 3 3 3 3
Portanto, a probabilidade de ambos chegarem àpartida final sem errotas é P ( ~) . ( ~) = ( ~. ~
J
=l~
)
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
5 9 .(UFPR) O jogo de "par ou ímpar"
é-
uma forma bastante usada para resolver aleatoriamente um impasse entre duaspessoas. Cada participante escolhe uma das opções - par ou ímpar - e a seguir ambos mostram as mãos, escon-dendo ou não alguns dedos. Contam-se os dedos aparentes e vence quem tiver acertado a escolha (par ou ímpar) acordada previamente. Se duas pessoas jogarem par ou ímpar 5 vezes seguidas:
a ) Qual a probabilidade de se obterem no máximo 2 resultados pares?
Os resultados de "par ou impar' .de determinada rodada são independentes de qualquer outra Sendo X e Y os jogadores, existem
4 modos possíveis de ocorrer uma rodada qualquer "Sendo em 2 deles o resultado par e nos outros 2 o resultado ímpar.
Jogador X Y Soma
Número par par par
-Número par ímpar ímpar
Número mpar par ímpar
-Número «npar ímpar par
~
-2 1
Assím, em cada rodada, a probabilidade de se obter soma par e e a probabilidade de se obter soma ímpar também é
2 1 4 2
4 2
P(2 pares no máximo) P(O par) tP(1 par) t-P(2 pares)
P(2 pares no máximo) C -( ~
t (;
r
+cq;
r (;
r
+ C~ (;r- (; r
P(z pares no maxímoj. . et í 1 t5 -1 -+ -1 5·4 1 1
32 2 16 2·1 4 8
1 5 IC
P(2 pares no máximo) t •.
32 32 32
'6
P(2 pares no máximo)
32 2
Portanto, a probabilidade de se obterem no máximo 2 resultados pares é igual a 50%.
b)
Sabendo que na primeira rodada saiu um número par, qual éa probabilidade de ocorrerem exatamente 3 resulta-dos pares?Como na 1~ rodada ocorreu um resultado par, então, para ocorrerem exatamente 3 resultados pares nas 5 rodadas, épreciso que
nas próximas 4 rodadas ocorram exatamente 2 resultados pares.
C
(2
1)2 (21)2P(2 paresl
4 1 1 1
P(2 pares)
2 1 4 4
12 3
P(2 pares) = - - 0.375 - 37,5%
32 8
Portanto. a probabilidade de, nessas condíções, ocorrerem exatamente 3 resultados pares é37,5%.
AtividA.dES
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A rc o s e â n g u lo s
1 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Escreva as medidas a seguir em radianos. 2 .Escreva as medidas a seguir em graus.a ) 225
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
0KJIHGFEDCBA
na ) - rad 6
graus radianos
180 T e => -=-180 T e => graus radianos
225 x
180 180 T C
225 x T C => =>
X T C
=>X=2 2 5 T C =5 T C rad T C 6
=>180x =2 2 5 T C x
180 4 6
=>T C 'X= 180 . ~ => x=30 6
b)
3000b)
2 n radgraus radianos 3
180 T C => -=-180 T C =>
radianos
300 x graus
300 x
180 T C => -180=-T C =>
=>180x =3 0 0 T e x =3 0 0 T e =5 T e rad
x 2 T C
=> 2 T e
3
180 3 x
3
2 T C
--.:> T C 'X= 180 . - => x = 1200
3
c ) 1200
5 n
c ) - rad
graus radianos 18
180 T C => -180=-T C =>
graus radianos
120 x
120 x 180 180 T e
T e => -=- =>
x= 1 2 0 T e = 2T C
rad
x 5 T e
=>180x-1 2 0 T C => 5 T C
18
180 3 x 18
5 T C
=>T C .X - 180 - => x=50 18
d ) 2700
d ) 1 3 n rad
9
graus radianos
radianos
180 T e graus
180 11: => - =>
180 180 T C
270 x T e => - =- =>
270 x x 1 3 T C
1 3 rc
9
x _ 2 7 0 rc = 3rcrad x
-=>180x =2 7 0 rc => 9
180 2
1 3 rc
=>T C 'X= 180 '- => x =260'
9
3 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Calcule o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio às:a ) 10 h 30 min c ) 9 h 20 min
Inicialmente, note que às
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
10h30min o ponteiro dos mi-nutos indica o número 6 e o ponteiro das horas indica umnúmero entre10e11,As marcações das horas dividem o relógio em12arcos, cada um de medida 30°.
Oângulo solicitado mede a + x,em que a é a medida do menor ângulo formado entre as direções de10e de6, ou seja,4 . 30° = 120°exé a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas de 10 h até 10 h 30 mino Em
60 minutos, o ponteiro das horas percorre um ângulo de
30°;em meia hora, percorrerá um ângulo de15°.Assim, temos:
x = 15°e a +x = 120°+15° = 135°.
Inicialmente, note que às9h20min o ponteiro dos minu-tos indica o número4 e o ponteiro das horas indica um número entre9e10.As marcações das horas dividem o relógio em 12 arcos, cada um de medida 30°. Oângulo solicitado medeo:+ x,em quea é a medida do ângulo formado entre as direções de9e4,ou seja,5 . 30n= 150° e x é a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas de9h até9h20mino Em60minutos, o ponteiro das ho-ras percorre um arco de30°,e em20minutos percorrerá
30° 10. 3
Assim.x = 10°ea +x = 150° +10° = 160°.
b ) 2 h 15 min
d)
11 h 45 minInicialmente. note que às2 h15min o ponteiro dos mi-nutos Indica o número 3e o ponteiro das horas indica um número entre 2e3.As marcações das horas dividem o relógio em 12arcos, cada um de medida 30°. Portanto,
a +x = 1· 30° = 30°, em que
KJIHGFEDCBA
< t é a medida do menorângulo procurado exé a medida do ângulo já percorrido pelo ponteiro das horas de2h até2h15 mino Como em
60 minutos o ponteiro das horas percorre um arco de
30°,em um quarto de hora percorrerá'
30°
x -~ x
7,5-4
Assim, u .+ x = 30° ~ a + 7,5° = 30° ~ a = 22.5
ou22° 30'.
Inicialmente, note que às 11 h45 rnín o ponteiro dos minutos Indica o número 9e o ponteiro das horas indi-ca um número entre 11e 12.As marcações das horas dividem o relógio em12arcos, cada um de medida 30°. Oângulo solicitado mede (J.+x, sendo u .a medida do
ângulo formado entre as direções de 9 e 11.ou seja,
2 30° = 60°, e x a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas de11h até 11h45 mino Como em
60 minutos o ponteiro das horas percorre um arco de
30°,temos:
minutos graus
60 30 ~ 60 = 30 :> 45
x
45 x
~ 60x= 1350 -:> x 22,5
Assim, x = 22.5° e o + x = 60° + 22.5° = 82,5° ou
4 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Quantos graus o ponteiro dos minutos de um relógio percorre em 50 minutos?minutos graus
60 360 ~ 60 =360 .z>
50 x
50 x
~ 60x
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=18 000 ~ x=300'5 .Um maratonista percorre uma pista circular de raio 300 m com velocidade constante de 4 m/s, durante 50 segundos. Determine o valor mais próximo, em graus, da medida do arco percorrido pelo corredor.
Em 50 segundos, o maratonista percorre 50 . 4
=
200 m medida do arco () comprimento (m)360 2 rr·300
x 200
360 600rr
x 200
600rr x - 72 000 72 000
600rr x
6 .Qual o comprimento de um arco de 135° numa circun-ferência de raio 20 cm?
medida do arco(0) comprimento (cm)
360 2·rr·20
135
e
360 40rr
135
e
360· t 5 400rr
e
5400rr360
t= 15rr cm==47,1 cm
7 .(FGV - SP) Quatro amigos, L, M, N e P estão em um mesmo ponto do contorno de uma praça circular. Em seguida, M move-se de 80° no sentido anti-horário, N move-se de 170° no sentido anti-horário, P move-se de 120° no sentido horário eLfica no mesmo lugar. Nessa situação, os amigos que estão mais próximos são:
a ) L eM
b ) Me P
c ) Me N
x
d ) Ne
Pe ) L
e
PDe acordo com o enunciado, pode-se esboçar a seguinte figura: L
, ,,
M o o o o 80' :
KJIHGFEDCBA
o o o o o o o o l.r ;.'\ 1 2 0 '
9 0 ' \ L / ,
:'7 0 ' -.
.' "',
,/ -. p
N
Os amigos que estão mais próximos são N e P.
8 .(ENEM) No jogo mostrado na figura, uma bolinha
des-loca-se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a bo-linha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sen-tido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é120°.
Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto:
a)
B . b ) D . c ) E .x
d ) F . e ) G .. Inicialmente. a bolinha percorre 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A. che-gando em P'.A circunferência esta dividida em 12 arcos com 30° cada um, portanto será necessário percorrer 4 desses arcos, pois 4· 30°== 120°. Assim, o percurso terminará no ponto F
r > ,
o p• ~ ~ 0
H
o · 1 2 3 4 5 6 '7 8
.c
9 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(UFPA) Para realizar os cálculos de um determinado experimento, um estudante necessita escrever a po-sição dos ponteiros de um relógio. Sabendo-se que o experimento se iniciará às três horas da tarde, é corre-to afirmar que a equação que descreve a medida (em graus) do ângulo que o ponteiro das horas forma com o semieixo vertical positivo (que aponta na direção do número 12 do relógio) em função do tempo decorrido (em minutos), contado a partir de três horas da tarde, é:1 1
1 0
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
9 1:2
i
2 ~3 4 8 7 6 5a ) 8(t) = 3 + 30t
x
b) 8(t)=90+~t2
c ) 8(t) = 3 +
J.-
t 30d ) 8(t) = 90 - 30t
e ) 8(t) = 30+~t
. 2
I. Às 3 horas da tarde, o ponteiro das horas forma, com o semieixo vertical positivo, um ângulo de900
.
11. Como a cada 60 minutos o ponteiro das horas se desloca 300
, então a cada minuto ele se desloca 30 : 60
=
0,50•
Portanto, a equação que descreve a medida (em graus) do ângulo que o ponteiro das horas forma com o semieixo que aponta na direção do número 12do relógio em função do tempo t decorrido (em minutos), contado a
partir de três horas da tarde, é e(t) =90-t-
2
t .2
1 0 .(UFRR) Uma região de uma cidade possui o formato de um setor circular. Os pontos A, B e C são esquinas, a distância entre os pontos A e B é de 1 km e o ângulo formado pelas Ruas 1 e 2 é de 120°, conforme mostra a figura abaixo. João e Marcos desejam ir do ponto B para o ponto C. Para tanto, João percorreu as Ruas 1 e 2, passando inicialmente por A, enquanto Marcos se-guiu o trajeto da Rua 3. Podemos afirmar, considerando o valor de 1tcomo 3,14 que João e Marcos percorre-ram, respectivamente, uma distância aproximada de:
Rua 3
B c
KJIHGFEDCBA
l i 'ú q 1 1200 ~v;'I> 'l-A
xa) 2 km e 2,09 km
b ) 2 km e 2 km c ) 1 km e 2 km
d ) 2,09 km e 2,09 km e ) 2 km e 1 km
I. João percorreu as Ruas 1 e 2, passando por A. Portanto, ele percorreu 1 km para ir de B até A e 1 km para ir de A até C, o que totaliza 2 km.
11.Marcos seguiu o trajeto da Rua3, portanto: medida do arco (') comprimento (km)
360 2· rr· 1
120 f
360 2rr 120 f 360· f=240rr
f=240rr==2 09km 360 '
Marcos percorreu aproximadamente 2,09km.
1 1 .(FGV- SP) Em uma cidade do interior, a praça principal, em
forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito. Admitindo uma ocu-pação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor estimativa do número de pessoas presentes ao comício é:
x a ) 70 mil
b)
30 mile ) 40 mil c ) 100 mil
d ) 90 mil
I. Inicialmente, obtemos a medida do ângulo central da praça.
medida do arco ( ) 360
a 360 360rr -=
--a 200
360rr·u=360 200 200
0.=-Ir
comprimento (m) 2· rr · 180
200
a~63,7
11.Com o valor da medida do ângulo central, obtém-se a área ocupada pela praça.
medida do arco () área (rn") rr .1802
360 63,7
360 32400rr -= --63,7 x 360 . x = 63,7 32400rr
x== 18 001 m2
Portanto, admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, estima-se a presença de 4 . 18001
=
72 004pessoas presentes ao comício. Entre as alternativas apresentadas, a melhor estimativa é a do item a.1 2 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(FURG - RS) Dois atletas vão disputar uma corrida em uma pista com a forma ilustrada na figura a séguir./
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
'Bt
I I I I
'" ~ '" '"
oca .~
a : a :
I I I I I I
I I
I I I I
R~ ~ c \ \
\ \
\
"
o
percurso tracejado, a ser cumprido pelo atleta que corre na raia 1 , inicia no ponto A eéformado pela semicircunfe-rência de centro O e diâmetro AB, pelo segmento de reta BC, pela semicircunferência de diâmetro CD e centro O' e, finalmente, pelo segmento de reta DA. O trajeto a ser per-corrido pelo atleta que corre na raia 2 tem início no ponto P eéformado pelo arco PO da circunferência com diâme-tro OT e cendiâme-tro O, pelo segmento de reta OR, pela semicir-cunferência de diâmetro RS e centro O' e, finalmente, pelo segmento de reta ST.A chegada para o corredor da raia 1éo ponto A e, para o atleta da raia 2,éo ponto T. Sabendo que AO = O'D = 25 metros, OT = O'S = 30 metros e BC = DA = OR= ST, para que os atletas percorram a mesma distância, o comprimento do arco TP deve ser igual a:
a )
KJIHGFEDCBA
3 0 1 t metros.b ) 25 1t metros.
c ) 5 1t metros.
d ) 21t metros.
x e ) 101t metros.
Inicialmente, sabe-se que os dois atletas percorrerão a mesma distância nas partes do percurso que são forma-das por linhas retas, pois BC= DA= aR= ST.
o
atleta da raia 1 percorre, além dos trajetos em linha reta, a semicircunferência de centro O e diâmetro AB e a sernrcírcunterêncía de diâmetro CD e centro O', o que resulta numa circunferência de raio25m. Assim, o total percorrido pelo atleta da raia 1 nesses dois trechos é C= 2 . 11:. 25 = 5011:metros.O atleta da raia 2 percorre, além dos trajetos em linha reta, o arco
Pa
da semicircunferência com diâmetro OT e cen-tro O e a semicircunferência de diâmecen-tro RS e cencen-tro O'. Como ele precisa percorrer 5011:metros nos trechos cur-vilíneos da pista, basta calcular o comprimento das duas semicircunferências: C= 2 . 11:. 30 = 6011:metros A diferença entre os dois percursos é de6011:- 50;< = 10;<metros.
Portanto, para que os atletas percorram a mesma distância, o comprimento do arco TP deve ser igual a10rrmetros.
V O IIA IlV iE
8
C ir c u n fe r ê n c ia tr ig o n o m é tr ic a
13.(ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, oskatista
brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", conseguiu realizar a manobra denominada "900", na modalidadeskate
vertical, tornando-se o segundo atle-ta no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:a ) uma volta completa.
b ) uma volta e meia.
c ) duas voltas completas.
xd ) duas voltas e meia.
e ) cinco voltas completas.
900 =2+ 180 ~
360 360
2· 360° + 180°
"--.---' ..."..., 2 voltas completas meia volta
1 4 .Calcule a 1~ determinação positiva dos arcos com as seguintes medidas:
a ) 1400
A1~determinação positiva é1400
,pois O <140 0
<3600 •
b ) 8700
870° 2 '- 150° ~ 2.360° +1500 360° 360°
A1adeterminação positiva é150°.
c ) 1 2600
1 260° = 3+180°=>3.360°':; 800
360° 360°
A1~determinação positiva é180°.
d ) -4000
-400° -40°
-- =-1+-~-1· 3600+(-400)
360° 360°
-40°+ 360°= 320°
e )
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
-1 580°-1580° =-4+ -140° ~-4.3600-140c
360° 360°
-140°+ 360°= 220°
A 1~ determ inação positiva é 220°.
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f)
KJIHGFEDCBA
2 7 1 t rad 62771.
- --+27 =4· 6+3
6
24
2771. 2471.+3rr=4;t+2: ~2: rad
6 6 6 2 2
2 2 1 t
g ) - rad
4
22rr --+ 22 = 4.4 + 6
4
16'
2271._ 1671.+ 671._ 471.+ 3rr => 371.rad
4 4 4 2 2
h ) 3 1 1 t rad
3
3171.--+31=10.3 1
3
30
3171.= 3071.+ 1rr = 1 071.+ 2: ~ 2: rad
3 3 3 3 3
1 5 .Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a cada um dos arcos da atividade anterior.
a) 140° + k· 3600 (k E ~)
b) 150° + k . 3600 (kE ~J)
c) 180° + k 3600 (kE-"':) d) 320° + k . 3600 (k E Z )
e) 220° + k· 3600 (k E "'::)
f) ~+k· 2rr (kE ;:;) 2
g) 371.+k'271.(kEZ) 2
h) 2:.+k· 271. (k E Z ) 3
1 6 .Considere o arco de3750°.
a ) Qual é a 1~ determinação positiva dos seus arcos
côngruos?
3 750
0
~ 3 7500= 1 O · 3600+ 1500
. 3600
A 1~ determ inação positiva é 150°.
b)
As determinações positivas formam uma progres-são aritmética. Qual a razão dessa PA?A expressão geral dos arcos côngruos é 1500 + 3600. k (kf-'3)
A ssim , a sequência tem razão igual a 360°.
c) Calcule a soma dos 50primeiros termos da sequên-cia formada pelas determinações positivas.
a50 =150
0
+ 3600
.49
=
150° + 17640°=
17790°(a, +-a50)· 50
550 = -'-'---""-'---2
550 - (150 T"17 790)· 25 = 448 500
R a z õ e s tr ig o n o m é tr ic a s n a
c ir c u n fe r ê n c ia
1 7 .Calcule, por redução ao primeiro quadrante, os valores
a seguir:
a ) sen 1200 = sen 60
.J3
2b)
cos 2400 cos 6 0 ° =-~ 2=-tg45 =-1 c ) tg 3150
d ) sen 2250 = -sen 45 =
J2
e )
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
cos 135wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
0f) sen 1500
311:
g )
sen-4
1111:
h ) cos-6
J') sen -1111:
6
511:
k ) cos-4
I) tg 3511:
4
= -cos 450 = _
..fi
2
1 9 .Sabendo que sen2X + cos2 X= 1 e sen x + cos x = 8, determine sen x . cos x.
que
(sen x + cos x / = serr' x + 2 . sen x . cos x + cos2X
[ sen ': 0 0 "
J
=se"',7
oos'H zsen '· 0 0 " 82= 1+ 2 . sen x cos x2· sen x cos x =82- 1
82-1
sen x·
cosx=--2
rr
..fi
=sen-=-4 2
rr
J3
=cos-=-6 2 20.Sendo x =~, determine o valor de
2
E = cos (2x) +sen (x) .
tg(4x) - tg( ; ) = -tg
2:
KJIHGFEDCBA
= - J 33
rr 1
=-sen
-=--6
2
E= cos( 2· ;) + sen(;)
,,( 4 ;)-,,[ ~
1
cos( rr)+ sen(;)
tg(2rr) - tg(
%)
rr
..fi
=-cos-=--4 2 =-1+1=~=0
0-1 -1
rr =-tg -=-1
4 2· tg 8 quando
1
+
tg2 82 1 .Calcule o valor da expressão
4
cos8=-- e tg 8>0: 5
1 8 .Determine o valor de y na expressão
11: 11: (11: 11:)
Y = sen + cos + cos +
-4 4 2 4
sen28 + cos" 8 = 1
sen28 +
l ~
r
=1sen28=1-~ ~
25 25
3 3
sen 9=- ou sen
9=--5 5
C om o o cosseno énegativo e a tangente épositiva, o arco
. A . 3
pertence ao terceiro quadrante. SSlm , sen 0= -- .
3 5
sen 9 5 3
Portanto tg O -- = - =
-cosO 4 4
5
o
valor da expressão é:2.3 6 3
2· tg 9 4 = _ 4 _ = . . L = ~ . ~ 48 24 1- tg29 = 1+ ( 3
4
)2 1+ 9 25 2 25 50 25
2 2 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Calcule o valore de k que verifica simultaneamente asigualdades: sen x =k - 1 e cos x= J3 - k
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2 ,sen2x+cos" X= 1
(k-1)2+ (~ 3-k2r = 1
k22k+ 1+ 3-k2= 1 ~ 2k+ 4= 1
2k= -3
k= ~
2
23.Se A =sen(~J-4COS(2X) e x=
1t,
determine o va-lor de A. 2A =sen(~)-4'~
~
,
,
A= 1 4,1 A = 1 4
A
-3
2 4 .Sabendo que sen(x)
=
.JP
e cos(x)=
Jp - 2,calcu-le o valor de p, 2 2
P p-2
-+ -= 1
4 4
P p-2 4
+ = -444 2p-2= 4 2p= 6 p= 3
2 5 .(UFMA) Considere a matriz A= (aI) )
KJIHGFEDCBA
3 x 3 'definida por {i, se i> j
ai) = i,+j, ~e i,= j
1sel<J
(~1tJ
e seja O=det (A) , Então o valor de sen
O
é:1 3
J2
x a)
2
c )- 2
e ) Ob)
2
d)
12
I) Am atrizA é:
a" a'2 a'3
{r
2'] ['
2II
a2, a22 a23 2+ 2 3 - 2 4
3 3+ 3 3 3
a31 a32 a33
11)
o
valor de Dé:2 2 32 2
D=2 4 3 2 4=48 + 18 + 18 - 24 - 18 - 36 = 6
3 3 63 3
Logo, o valor de sen( 2;
J
ésen 2rr sen ~ =sen600=
.fi,
F u n ç õ e s p e rió d ic a s
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Uma função f: lR ---+lR é denominadap e rió d ic a quando existe um número real positivo p tal que f(x+ p )=f(x), para todo xElR. O menor
número positivo p que satisfaz essa igualdade é chamado dep e río d oda função.
A fu n ç ã o s e n o
A função trigonométricas e n oassocia a cada número real x o seno do arco de medida x radianos.
f: lR ---+]R, f(x)=sen x
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 ..J3/2 ..[2/2
1/2
--1t 21t 31t 51t
"2 346
71t 51t 41t 31t 51t 71t
KJIHGFEDCBA
1 1 1 t 6 4 3 " 2 3 4 6sen x
-1/2
-..m 2
-..J3/2 -1A fu n ç ã o c o s s e n o
A função trigonométrica cosseno associa a cada número real x o cosseno do arco de medida x radianos. f: lR ---+]R, f(x)=cos x
o
21t 31t 51t
346
1t71t 51t 41t
643
cos x 1 ..J3/2 -..[2/2 o _ 0 0
1/2
-1t 1t 1t -
-6 4 3
51t 71t1 1 1 t 21t
346
F u n ç ã o s e n o
1 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Obtenha o período e a imagem das funções abaixo:a ) f(x)
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=
1+
4 sen xPeríodo:
P _ 2;1:=2rr = 2rr
11: 1
Imagem:
1m
=
[1 - 4, 1 + 4]=
[-3, 5]b ) f(x)
=
sen( 2X-~)Período:
P = 2rr =2rr=rr
/21 2
Imagem:
1m
=
[-1.1]Penodo:
P 2rr 2rr =2rr.~=8
1;1;
rrImagem: 1m=[-2, 2]
d ) Y
=
2sen x - 3Período.
P ~ ~rr 2rr
1 1
Imagem:
1m
=
[-3 - 2, -3 + 2]=
[-5. -1]AtividA.dES
2 . O gráfico a seguir representa, num dado instante, a velocidade transversal dos pontos de uma corda na qual se propaga uma onda senoidal na direção do eixo x.
v(m /s)
2
/
"
1
/
\
o 1 2 3 ~ 5 6
7/
8x (m-1
-2
-,
./
Para esse instante, determine uma função do tipo V(x)
=
a+
b . sen (c . x) que relacione a velocidade V com a posição x dos pontos da corda.I. Período
P=8m
P= 2rr
cl
8 - 2rr => 8'lcl = 2rr cl
2rr ;1:
c -~ c ~
-8 4
I Imagem:
1m= [a - b, a + b]=[-2. 2]
. . a
b
Da Igualdade acima,temos o sistema i
do as duas equações. temos: la •.b
a b 2
ffi
a +b 2
2a O=> a O
a - b=-2 0- b =-2
b=2
As possíveis funções V(x) = a+bserucx) são: 2
e soman-2
rr ( rr
V(x) 2·sen' - x ou V(x)=2-sen -x r •
4 4
Mas a única que representa corretamente os pontos do
grá-fico é V(X)=2.sen(~.x).
em segundos, A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mer-cúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80, Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste,
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a ) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t ==O s; t == 0,75
s.
Para t =
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Os. P = 100 ~ 20 sen (2 Te O )P = 100 ~ 20 sen(O )
~ o P 100 mm de mercúrio Para t = 0,75 s:
P -100 t 20 sen (2·Te 0.75) P=100 t20 sen (1,5 Te)
3Te
P -1 00 +20 . sen -2
P =100 20
P = 80 mm de mercúrio
b)
Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?Atrnaqern dafunçãoélm - [1 00-20, 100+ 20] = [80, 120] A pressao rururna possível e de 80 mm de mercúrio, portanto:
80 = 100 +20 sen (2;rt) 20 20· sen (2 nt) sen (2rrt) = 1
. , 3:1
O valor do seno e Igual a -1 quando o arco e de - rad.
então: 2
3;r sen (2 rrt) sen
2
2itt 3it 2 4t 3 t 0.75 s
4 .(UFPR) O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura, Suponha que em um ins-tante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela expressão:
h ( t) ==4sen ( 27tt
J
+ 4 0,05a ) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge,
A imagem da função é 1m = [4 - 4, 4 + 4] = [0,8]. As-sim, a altura máxima atingida pelo pistão é de8cm e a mínima é O cm.
b)Ouantos ciclos completos esse pistão realiza, fun-cionando durante um minuto?
Seja P o período dafunção h(t). ASSim, temos:
P ~_ 2it 2;r 0,05 005
~ s
1
2rr
I
2n 2rr' 200,05 0,05
Dessa forma, concluímos que o pistão completa 20 ciclos por segundo, o que é equivalente a
20 . 60 = 1 200 ciclos por minuto.
5 .(ENEM) Um técnico precisa consertar o
termosta-to do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desrequlaco. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função
T(h) ==A+B.senC~ .(h-12)} sendo h o tempo,
medido em horas, a partir da meia-noite (O ~ h < 24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26°C, a mínima 1JL °C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã. Ouais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?
a ) A== 18 e B==8
b)
A== 22e
B== -4x
c ) A == 22 e B== 4d ) A== 26
e
B==-8e ) A == 26
e
B== 8I. Como os funcionários do escritório pediram que a tem-peratura máxima fosse 26°C e a mínima 18 °C e que, durante a tarde, a temperatura fosse menor do que du-rante a manhã.então a Imagem da função é:
1m
=
[A - B, A + B]=
[~8 26]11,Da igualdade acima, temos o sistema somando as duas equações, temos:
A B 18 ~ A +B 26
A B 18 e A ~B 26
2A 44 A 22
Como A = 22, podemos subsutuír o valor de A na pnrneua equação e encontrar B:
6.
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(IFSC - SC)wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
o
M aranhão tem um a das m aiores variaçõesde m aré do m undo, principalm ente na B aía
de S ão M arcos, onde está localizada S ão
L uís, podendo o m ar subir até 8 m etros em
certas épocas. O rio que corta S ão L uís chega
a ficar praticam ente seco em certas horas do
dia e com pletam ente cheio, em outras. Isso
explica o fato de ser tão im portante a tábua
das m arés para quem quer fazer passeios de barco para a cidade histórica de A lcãntara, por exem plo. A variação de m aré no M aranhão
perm ite que navios da V ale de até 400 m il
toneladas atraquem no porto de S ão L uís, sem
necessidade de dragagem com o acontece em
S antos, no litoral paulista.
(D isponível em : http://essem undoenosso.com .br/2014/01l05/
variacao-de-m are-no-m aranhao/ A cesso em : 25 m ar. de 2015)
Imagine que a altura da maré,
em
metros, no porto de São Luís no Maranhão seja modelada pela funçãoh(x)
=
2,3+
4,5· sen( ~x). onde x=
O corresponde à meia noite e xE [0,23], representa a hora do dia.Assinale [...] a soma da(s) proposição(ões) correta(s).
Com base nessas informações, podemos afirmar que:
F
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(0 1 ) a altura da maré, no porto de São Luís, às 14 horas, é de 4,5 m.v
(0 2 ) a altura máxima da maré, no porto de São Luís, é de 6,8 m e ocorre duas vezes por dia.v
(0 4 ) a profundidade, em uma certa hora x do dia, com x E [O, 23], é igual à profundidade na hora x+
14.
F(0 8 ) a maré, no porto de São Luís, oscila entre 2,3 m
e
2,8 m.Somatóno. 06 (02+04).
h
8
6
Imagem:
1m
=
[2,3 - 4,5; 2,3 + 4,5]=
[-2,2; 6,8]01. Falsa. h( 14) - 2,3 + 4,5· sen(
KJIHGFEDCBA
n~14J
:::>:::>h(14)=2,3+4,5·sen Zn :::>
:::>h(14)=2,3+4,5·0 :::> h(14) 2,3m
. 02. Verdadeira. 2,3+4,5.se/
~x)
6,8:::>:::> 4,5. sen( n X - 4,5 :::>
7 J
:::>sen( n x ) = 4,5 :::> sen( n X )
7 4,5 7
A.SSlm, sen -nx sen(n- :::>
7 2
:::> n X = ~ :::> x=3 5 h 72'
Como o período da função é 14 horas, a altura da maré é máxima às 3 h 30 e às 17 h 30.
04. Verdadeira. Isso acontece devido ao período que é
de 14 horas.
08. Falsa. A Imagem da função é 1m
=
[-2,2; 6,8].7 .(UFPB) Um especialista, ao estudar a influência da va-riação da altura das marés na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das ma-rés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
A(t) =1,6 -1,4.sen(~. t)
Nessa função, a variável t representa o tempo decor-rido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico:
x
a ) A(m)3
1,6
6 9 12 t (h)
b)
A(m)24 x
3
Período:
2)1 7 1,6
P
1;1
2 n · - 14 horas
rt 0,2
c )
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A(m)wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
3 1,6
d ) A(m)
3 1,6 0,2
-o 9 12 t(h)
e ) A(m)
3
1,6 0,2
o 3 6 9 12 t (h)
I. Período:
2Jt 6
P 1~1-2Jt.;_12 horas
11.Imagem:
1m = [1,6 + (-1,4); 1,6 - (-1 ,4)] = [0,2; 3,0]. 111.E atribuindo alguns valores para a função:
A(3) 1,6 1,4· sen( Jt~3
J
A(3)=1,6 1,4·senl
%
A(3) = 1,6 -1,4·1 - 0,2
Jt·6 A(6)=1.6-1,4·sen -'
6 A(6)=1,6 1,4· sen Jt A(6) = 1,6 1,4·
°
1,6I rt 9
A(9)=1 6 1 4· sen
-" 6
( 3Jt A(9) = 1,6 1,4· sen
'2)
A(9)=1.6 1,4·( 1) 3Logo,concluí-se que a função A, no intervalo [0,12], esta representada pelo gráfico da alternativa a.
V O IIA \I\.1 E
8
8. (UFPA) Um fabricante produz telhas senoidais como a da figura.
Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é
necessário fornecer a função cujo gráfico será a curva geratriz da telha. A telha padrão produzida pelo fabri-cante possui por curva geratriz o gráfico da função
y = sen(x) (veja detalhe na figura).
Um cliente solicitou então a produção de telhas que fossem duas vezes "mais sanfonadas" e que tivessem o triplo da altura da telha padrão, como na figura abaixo.
A curva geratriz dessa nova telha será então o gráfico da função:
a ) y = 3 . sen ( ~ x J
x
b)
Y = 3·sen(2x)c ) y=2.sen(ixJ
d ) y = i . sen ( ~ x J
e) y
=
2· sen(3x)I. Período: P=11: 211:
TCI=
11:cl=2
c = 2 ou c = -2 (não convém) 11.Imagem:
1m
=
[a - b: a+b]=
[-3, 3].-a-b =-3 Dessa igualdade, temos o sistema
a-b=-3 a+b=3
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
fi) atb=3
2a-0
a=O
Como a = O, podemos substituir o valor deana primeira equação e encontrar b:
a - b=-3 0- b-=-3 b=3
Logo, a função que descreve a característica da nova
KJIHGFEDCBA
t e-lhaéy = O+ ssen (2x) = 3·sen (2x)
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
F u n ç ã o c o s s e n o
9 . Obtenha o período e a imagem das funções abaixo.
a ) f(X)=4'COS(~X+3J
Período:
P 2rr 2rr
1 1
4 4
4
2n:·-=811:
1
Imagem: 1m=[-4,4]
Período:
P= 2rr 2n: 2rr.~=10
i
~I~
rrImagem:
1m=[6 - 7, 6+7]
=
[-1. 13]c ) f(x) = 3 . cos (2x)
Periodo:
P ~ 2rr = 2rr n
121
2
Imagem: 1m=[-3.3]
d ) f(x) =5· cos( ~11:X
J
+
3Período:
P=~-~-211:.~=3
1
2rr 2rr 2rr
3 3
Imagem:
1m
=
[3 - 5, 3 + 5]=
[-2, 8]1 0 .(UFSM) Cerca de 24,3% da população brasileira é hi-pertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo éexpressa em fun-ção do tempo por
P(t) = 100 - 20COS( 8 311:tJ
onde t é dado em segundos. Cada período dessa fun-ção representa um batimento cardíaco.
Analise as afirmativas:
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 bati-mentos por minuto.
11.A pressão em t = 2 segundos é de 110 mmHg.
111.A amplitude da função P(t)éde 30 mmHg.
Está(ão) correta(s):
a ) apenas I.
x
b)
apenas I e 11.c ) apenas 111.
d ) apenas II e111.
e ) I, II
e
111.I. Correta. O período da função é P 12rrl = 82n: 8rr rr
131
3
2rr.l.. 3 0,75s. Háum batimento cardíaco a cada 8rr 4
O,75 s. ASSim. em um minuto. ha. 60- 80 batimentos. 0,75
11.Correta
P(2) = 100 20 cos( 8 3
11:2)
P(2) = 100 - 20 cose ~11:)
'---y----'
co~ l~rr+ ~ )=co~
4~')
P(2) = 100 - 20 ( - ~ )
P(2) = 11Obatimentos 111.Incorreta.
1m = [100 - 20.100 + 20] = [80, 120]
1 1 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(UFMT) As figuras abaixo, com seus respectivos esquemas, ilustram três das posições assumidas pelo gingarfemini-no, mostrando que o balançar da pélvis feminina obedece a um ciclo oscilatório.
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
s
,
,
KJIHGFEDCBA
r
, , ,
----1---, ,
,
r
, ,
--~:----~----~,-e=o
c ,
, ,
.•... - - - "
, ,
,
, r ,
----1---, C
,
Tal movimento oscilatório pode ser observado a partir da reta imaginária (r) que passa pelas duas cristas ilíacas per-pendicular àsemi-reta imaginária (s) que, na ilustração, representa a coluna vertebral. Quando a mulher se desloca no seu andar, a reta (r) oscila em torno do centro C para cima e para baixo, acompanhando o ritmo da pélvis, conforme mostram as figuras com os respectivos esquemas. Admitindo que o movimento se completa a cada 1,5 segundo e
que a função 8(t) = ~ cos
(411:
t) representa a variação do ângulo 8 em função do tempo t, assinale o esboço do10 3
gráfico dessa função no intervalo [O; 1,5].
1t
10
e
x a)
o 6
4'
1t ' .
-10
e
1t
10
b )
1t
-10 _ _ _ .
1t
c ) "5
e
o 9
8"
6
4'
VOllAW,E 8
•.._ - - - - '
e
1t _ _ _ _..
10
d)
e
6 4'
A imagem da funçãoédada por
1m - [ T I: T I:]
-
10'10
Calculando o valor da função para t=~, temos:
4
e(~)=
1~ ·cos~~ 1t .~ ) 1~'C O S T I:==~.(-1)- -~
10 10
1 2 .
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(UFRN) Marés são movimentos periódicos de rebai-xamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determi-nada cidade litorânea, a altura da maré é dada pelafunção h(t)
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=
3 + 0,2· cos( ~. t} onde t é medido emhoras a partir da meia noite. Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o movimento das marés. Desse modo:
a ) qual a altura máxima atingida pela maré?
A imagem da função é 1m = [3 - 0,2; 3 + 0,2] = [2,8; 3,2]. Portanto, a altura máxima atingida pela maré é de 3,2 unidades de comprimento.
b)
em quais horários isto ocorre no período de um dia?o
período do fenômeno descrito pela função é:KJIHGFEDCBA
2 n 6
P = - =2 n · - = 12 horas
I~I
nComo o valor máximo da função é 3,2 unidades de comprimento, então:
3+ 0,2-cos ~t) = 3,2
0,2. cos( ~t) = 0,2
cos( ~t) _ 1
Então:
cos( ~t ) = cosO ou
n t = 0 6 t-O
cos( ~t) = cos2n
n t = 2 n 6 t=12
Portanto, a altura máxima ocorre 2 vezes durante o dia: O h (ou 24 h) e 12 h.
1 3 .(UFPB) Com o objetivo de aumentar a produção de
ali-mentos em certa região, uma secretaria de agricultura encomendou a uma equipe de agrônomos um estudo sobre as potencial idades do solo dessa região. Na aná-lise da temperatura do solo, a equipe efetuou medições diárias, durante quatro dias consecutivos, em interva-los de uma hora. As medições tiveram início às 6 horas da manhã do primeiro dia (t = O). Os estudos indica-ram que a temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t, representando o número de horas decorridas após o início das observações, relacionavam-se atra-vés da expressão
(
1t
4 1 t)
T(t)=26+5·cos
-·t+-12 3
Com base nessas informações, identifique as afirmati-vas corretas:
a ) (V) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do primeiro dia, foi de 23,5 "C.
Às 6 horas da manhã, t = O
(
1t 4 ']( )
T(0)=26+5·cos -·0+- ~
12 3
:=}T(O) = 26 + 5· cos( 4311:):=}
:=} T(0)=26+5·(-0,5) :=} T(0)-26-2,5 :=} :=} T(O) = 23,5
cc
b)
(V )A função T(t) é periódica e tem período igual a24
h.
2 n 12
P=rl = 2 n '- ; = 2 4 horas
12
c) (F) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30°C.
d )
wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(V)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no primeiro dia, às 14 h.A função T(t) atinge valor máximo igual a 31°C. Então:
26+5'COS(~.t+
KJIHGFEDCBA
4 n ) = 3 1 =>12 3
=>5'COS(~.t+ 4 n ) = 5 =>
12 3
=> cosC~ .t+ ~ n)=~ =>
=>cos(~.t+ 4 n ) = 1
12 3
cos(~. t +4 n ) = cos2n
12 3
n 4 n
- · t + - = 2 n
12 3
n 4 n
=> · t = 2 n
-12 3
~.t= 2 n
12 3
t=8
Como t = 8, então a temperatura do solo atingiu o valor máximo às 6 + 8 = 14 horas.
e ) (V) A função T(t)écrescente no intervalo [0,8]. A temperatura inicial é 23,5 °C e vai aumentando até seu valor máximo de 31°C, Quando t = 8.
1 4 .(UFPE) Admita que a pressão arterial P(t) de uma pes-soa no instante t, medido em segundos, seja dada por
P(t)=96
+
18cos(21tt), t ~ OConsiderando esses dados, analise a veracidade das seguintes afirmações.
a ) (V) O valor máximo da pressão arterial da pessoa é
114.
b ) (V) O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é
78.
c ) (V) A pressão arterial da pessoa se repete a cada segundo, ou seja, P(t
+
1)=P(t), para todo t ~ O.d ) (F) Quando t
=
i
de segundo, temosp(
i)
=
105.e ) (F ) O gráfico de P(t) para O ~ t ~ 4 é
110 105 100
95
90
85 80
o 2 3 4
a) Verdadeira. Imagem da função:
1m = [96 - 18, 96 + 18] = [78, 114]. O valor máximo da pressão arterial da pessoa é 114.
b) Verdadeira. Rever no item a a imagem da função.
c) Verdadeira. P =
I~:I
= 1 segundod) Falsa.{i)=96+18'COS(21t.i) ~
~ pU)
= 96 + 18 cose; ) ~~ p(
i)
= 96+ 18·( -0,5)= 96-9= 87e) Falsa. Calculando o valor de P(O), temos: P(O) = 96 + 18· cos(21t· 0)= 96 + 18· cos(O) = = 96 + 18· 1 = 114