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Medida e comprimento de um arco

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Academic year: 2019

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Texto

(1)

A r c o s e â n g u lo s

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Em uma circunferência, quando escolhemos dois de seus pontos,

ficam determinadas duas partes denominadas arcos de circunferência.

M e d id a e c o m p r im e n to d e u m a r c o

Todo arco de circunferência está associado a um ângulo central. A medida de um arco é a medida do ângulo central correspondente. O comprimento é a medida linear, ou seja, do segmento que seria obtido caso pudéssemos retificar o arco.

U n id a d e s d e m e d id a d e u m a r c o

• Grau

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(0) Quando uma circunferência é dividida em 360 partes, cada uma dessas partes é um arco de medida 1 grau (1°).

1°=60' 1'= 60"

• Radiano (rad)

Quando o comprimento de um arco é igual ao raio da circunferên-cia, a medida desse arco é 1 radiano (1 rad).

O raio da circunferência mede r. O comprimento do arco

AB

é r.

A medida do arco

As

é 1 radiano.

A medida de uma circunferência é 3600 ou 211:rad.

C ir c u n fe r ê n c ia tr ig o n o m é tr ic a

y

• o

ponto A(l, O)é sempre a origem dos arcos.

• O sentido anti-horário é positivo e o sentido horário é negativo. • Os eixos cartesianosdividem a circunferência em 4 partes,

deno-minadas quadrantes.

A r c o s c õ n g r u o s

Na circunferência trigonométrica, arcos que têm a mesma origem e a mesma extremidade são denominados arcos c ô n g ru o s entre si. Generalizando, a expressão geral de todos os arcos côngruos ao arco

AP,

de medida a, com 0° ~ a <360° (a em graus) ou

O ~ a <211: (a em radianos), é dada por: a+k·360° ou a+k·211:,com kEZ

Oarco

AP,

de medida a, é chamado de 1~determinação positiva.

S e n o , c o s s e n o e ta n g e n te d e u m a r c o

Em uma circunferência trigonométrica, seja P a extremidade do arco

AP

eTo ponto de intersecção da reta OPe da reta t, tangente àcircunferência no ponto A e com a mesma orientação que o eixo y. A reta t é paralela ao eixo y.

x

As coordenadas dos pontos PeTsão: P(cosa, seno)

T(1, tga)

As razões seno, casse no e tangente são dadas por: • COSa (abscissa do ponto P)

• sena (ordenada do ponto P) • tg a (ordenada do ponto 1)

Relação fu n d a m e n ta l d atrigonometria

Para todo arco demedida a, da circunferência trigonométrica, temos:

cos2 a + sen2a = 1 Para todo arco de medida a, com COSa

'*

O, temos:

(2)

Antes de se enfrentarem na última partida, o§ times Coringa e São Pedro vão jogar, cada um, 3 partidas.

Os resultados possiveis para cada uma das três partidas antecedentes

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

à final éformado de 3 possibilidades (vitória, empate ou

derrota) e dois deles satisfazem àcondição expressa no enunciado. Assim, a probabilidade de cada um dos times não ser

derro-tado em cada uma das 3 partidas que antecedem a final é P ~ e, consequentemente, a de não ser derrotado nas três partidas

3 3

éP

2~3

3

33313 3 3 3 3

Portanto, a probabilidade de ambos chegarem àpartida final sem errotas é P ( ~) . ( ~) = ( ~. ~

J

=

l~

)

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

5 9 .(UFPR) O jogo de "par ou ímpar"

é-

uma forma bastante usada para resolver aleatoriamente um impasse entre duas

pessoas. Cada participante escolhe uma das opções - par ou ímpar - e a seguir ambos mostram as mãos, escon-dendo ou não alguns dedos. Contam-se os dedos aparentes e vence quem tiver acertado a escolha (par ou ímpar) acordada previamente. Se duas pessoas jogarem par ou ímpar 5 vezes seguidas:

a ) Qual a probabilidade de se obterem no máximo 2 resultados pares?

Os resultados de "par ou impar' .de determinada rodada são independentes de qualquer outra Sendo X e Y os jogadores, existem

4 modos possíveis de ocorrer uma rodada qualquer "Sendo em 2 deles o resultado par e nos outros 2 o resultado ímpar.

Jogador X Y Soma

Número par par par

-Número par ímpar ímpar

Número mpar par ímpar

-Número «npar ímpar par

~

-2 1

Assím, em cada rodada, a probabilidade de se obter soma par e e a probabilidade de se obter soma ímpar também é

2 1 4 2

4 2

P(2 pares no máximo) P(O par) tP(1 par) t-P(2 pares)

P(2 pares no máximo) C -( ~

t (;

r

+

cq;

r (;

r

+ C~ (;

r- (; r

P(z pares no maxímoj. . et í 1 t5 -1 -+ -1 5·4 1 1

32 2 16 2·1 4 8

1 5 IC

P(2 pares no máximo) t •.

32 32 32

'6

P(2 pares no máximo)

32 2

Portanto, a probabilidade de se obterem no máximo 2 resultados pares é igual a 50%.

b)

Sabendo que na primeira rodada saiu um número par, qual éa probabilidade de ocorrerem exatamente 3 resulta-dos pares?

Como na 1~ rodada ocorreu um resultado par, então, para ocorrerem exatamente 3 resultados pares nas 5 rodadas, épreciso que

nas próximas 4 rodadas ocorram exatamente 2 resultados pares.

C

(2

1)2 (21)2

P(2 paresl

4 1 1 1

P(2 pares)

2 1 4 4

12 3

P(2 pares) = - - 0.375 - 37,5%

32 8

Portanto. a probabilidade de, nessas condíções, ocorrerem exatamente 3 resultados pares é37,5%.

(3)

AtividA.dES

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A rc o s e â n g u lo s

1 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Escreva as medidas a seguir em radianos. 2 .Escreva as medidas a seguir em graus.

a ) 225

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

0

KJIHGFEDCBA

n

a ) - rad 6

graus radianos

180 T e => -=-180 T e => graus radianos

225 x

180 180 T C

225 x T C => =>

X T C

=>X=2 2 5 T C =5 T C rad T C 6

=>180x =2 2 5 T C x

180 4 6

=>T C 'X= 180 . ~ => x=30 6

b)

3000

b)

2 n rad

graus radianos 3

180 T C => -=-180 T C =>

radianos

300 x graus

300 x

180 T C => -180=-T C =>

=>180x =3 0 0 T e x =3 0 0 T e =5 T e rad

x 2 T C

=> 2 T e

3

180 3 x

3

2 T C

--.:> T C 'X= 180 . - => x = 1200

3

c ) 1200

5 n

c ) - rad

graus radianos 18

180 T C => -180=-T C =>

graus radianos

120 x

120 x 180 180 T e

T e => -=- =>

x= 1 2 0 T e = 2T C

rad

x 5 T e

=>180x-1 2 0 T C => 5 T C

18

180 3 x 18

5 T C

=>T C .X - 180 - => x=50 18

d ) 2700

d ) 1 3 n rad

9

graus radianos

radianos

180 T e graus

180 11: => - =>

180 180 T C

270 x T e => - =- =>

270 x x 1 3 T C

1 3 rc

9

x _ 2 7 0 rc = 3rcrad x

-=>180x =2 7 0 rc => 9

180 2

1 3 rc

=>T C 'X= 180 '- => x =260'

9

(4)

3 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Calcule o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio às:

a ) 10 h 30 min c ) 9 h 20 min

Inicialmente, note que às

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

10h30min o ponteiro dos mi-nutos indica o número 6 e o ponteiro das horas indica um

número entre10e11,As marcações das horas dividem o relógio em12arcos, cada um de medida 30°.

Oângulo solicitado mede a + x,em que a é a medida do menor ângulo formado entre as direções de10e de6, ou seja,4 . 30° = 120°exé a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas de 10 h até 10 h 30 mino Em

60 minutos, o ponteiro das horas percorre um ângulo de

30°;em meia hora, percorrerá um ângulo de15°.Assim, temos:

x = 15°e a +x = 120°+15° = 135°.

Inicialmente, note que às9h20min o ponteiro dos minu-tos indica o número4 e o ponteiro das horas indica um número entre9e10.As marcações das horas dividem o relógio em 12 arcos, cada um de medida 30°. Oângulo solicitado medeo:+ x,em quea é a medida do ângulo formado entre as direções de9e4,ou seja,5 . 30n= 150° e x é a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas de9h até9h20mino Em60minutos, o ponteiro das ho-ras percorre um arco de30°,e em20minutos percorrerá

30° 10. 3

Assim.x = 10°ea +x = 150° +10° = 160°.

b ) 2 h 15 min

d)

11 h 45 min

Inicialmente. note que às2 h15min o ponteiro dos mi-nutos Indica o número 3e o ponteiro das horas indica um número entre 2e3.As marcações das horas dividem o relógio em 12arcos, cada um de medida 30°. Portanto,

a +x = 1· 30° = 30°, em que

KJIHGFEDCBA

< t é a medida do menor

ângulo procurado exé a medida do ângulo já percorrido pelo ponteiro das horas de2h até2h15 mino Como em

60 minutos o ponteiro das horas percorre um arco de

30°,em um quarto de hora percorrerá'

30°

x -~ x

7,5-4

Assim, u .+ x = 30° ~ a + 7,5° = 30° ~ a = 22.5

ou22° 30'.

Inicialmente, note que às 11 h45 rnín o ponteiro dos minutos Indica o número 9e o ponteiro das horas indi-ca um número entre 11e 12.As marcações das horas dividem o relógio em12arcos, cada um de medida 30°. Oângulo solicitado mede (J.+x, sendo u .a medida do

ângulo formado entre as direções de 9 e 11.ou seja,

2 30° = 60°, e x a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas de11h até 11h45 mino Como em

60 minutos o ponteiro das horas percorre um arco de

30°,temos:

minutos graus

60 30 ~ 60 = 30 :> 45

x

45 x

~ 60x= 1350 -:> x 22,5

Assim, x = 22.5° e o + x = 60° + 22.5° = 82,5° ou

(5)

4 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Quantos graus o ponteiro dos minutos de um relógio percorre em 50 minutos?

minutos graus

60 360 ~ 60 =360 .z>

50 x

50 x

~ 60x

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=18 000 ~ x=300'

5 .Um maratonista percorre uma pista circular de raio 300 m com velocidade constante de 4 m/s, durante 50 segundos. Determine o valor mais próximo, em graus, da medida do arco percorrido pelo corredor.

Em 50 segundos, o maratonista percorre 50 . 4

=

200 m medida do arco () comprimento (m)

360 2 rr·300

x 200

360 600rr

x 200

600rr x - 72 000 72 000

600rr x

6 .Qual o comprimento de um arco de 135° numa circun-ferência de raio 20 cm?

medida do arco(0) comprimento (cm)

360 2·rr·20

135

e

360 40rr

135

e

360· t 5 400rr

e

5400rr

360

t= 15rr cm==47,1 cm

7 .(FGV - SP) Quatro amigos, L, M, N e P estão em um mesmo ponto do contorno de uma praça circular. Em seguida, M move-se de 80° no sentido anti-horário, N move-se de 170° no sentido anti-horário, P move-se de 120° no sentido horário eLfica no mesmo lugar. Nessa situação, os amigos que estão mais próximos são:

a ) L eM

b ) Me P

c ) Me N

x

d ) N

e

P

e ) L

e

P

De acordo com o enunciado, pode-se esboçar a seguinte figura: L

, ,,

M o o o o 80' :

KJIHGFEDCBA

o o o o o o o o l.r ;.'\ 1 2 0 '

9 0 ' \ L / ,

:'7 0 ' -.

.' "',

,/ -. p

N

Os amigos que estão mais próximos são N e P.

8 .(ENEM) No jogo mostrado na figura, uma bolinha

des-loca-se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a bo-linha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sen-tido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é120°.

Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto:

a)

B . b ) D . c ) E .

x

d ) F . e ) G .. Inicialmente. a bolinha percorre 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A. che-gando em P'.

A circunferência esta dividida em 12 arcos com 30° cada um, portanto será necessário percorrer 4 desses arcos, pois 4· 30°== 120°. Assim, o percurso terminará no ponto F

r > ,

o p

• ~ ~ 0

H

o · 1 2 3 4 5 6 '7 8

.c

(6)

9 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(UFPA) Para realizar os cálculos de um determinado experimento, um estudante necessita escrever a po-sição dos ponteiros de um relógio. Sabendo-se que o experimento se iniciará às três horas da tarde, é corre-to afirmar que a equação que descreve a medida (em graus) do ângulo que o ponteiro das horas forma com o semieixo vertical positivo (que aponta na direção do número 12 do relógio) em função do tempo decorrido (em minutos), contado a partir de três horas da tarde, é:

1 1

1 0

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

9 1:2

i

2 ~3 4 8 7 6 5

a ) 8(t) = 3 + 30t

x

b) 8(t)=90+~t

2

c ) 8(t) = 3 +

J.-

t 30

d ) 8(t) = 90 - 30t

e ) 8(t) = 30+~t

. 2

I. Às 3 horas da tarde, o ponteiro das horas forma, com o semieixo vertical positivo, um ângulo de900

.

11. Como a cada 60 minutos o ponteiro das horas se desloca 300

, então a cada minuto ele se desloca 30 : 60

=

0,50

Portanto, a equação que descreve a medida (em graus) do ângulo que o ponteiro das horas forma com o semieixo que aponta na direção do número 12do relógio em função do tempo t decorrido (em minutos), contado a

partir de três horas da tarde, é e(t) =90-t-

2

t .

2

1 0 .(UFRR) Uma região de uma cidade possui o formato de um setor circular. Os pontos A, B e C são esquinas, a distância entre os pontos A e B é de 1 km e o ângulo formado pelas Ruas 1 e 2 é de 120°, conforme mostra a figura abaixo. João e Marcos desejam ir do ponto B para o ponto C. Para tanto, João percorreu as Ruas 1 e 2, passando inicialmente por A, enquanto Marcos se-guiu o trajeto da Rua 3. Podemos afirmar, considerando o valor de 1tcomo 3,14 que João e Marcos percorre-ram, respectivamente, uma distância aproximada de:

Rua 3

B c

KJIHGFEDCBA

l i 'ú q 1 1200 ~v;'I> 'l-A

xa) 2 km e 2,09 km

b ) 2 km e 2 km c ) 1 km e 2 km

d ) 2,09 km e 2,09 km e ) 2 km e 1 km

I. João percorreu as Ruas 1 e 2, passando por A. Portanto, ele percorreu 1 km para ir de B até A e 1 km para ir de A até C, o que totaliza 2 km.

11.Marcos seguiu o trajeto da Rua3, portanto: medida do arco (') comprimento (km)

360 2· rr· 1

120 f

360 2rr 120 f 360· f=240rr

f=240rr==2 09km 360 '

Marcos percorreu aproximadamente 2,09km.

1 1 .(FGV- SP) Em uma cidade do interior, a praça principal, em

forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito. Admitindo uma ocu-pação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor estimativa do número de pessoas presentes ao comício é:

x a ) 70 mil

b)

30 mil

e ) 40 mil c ) 100 mil

d ) 90 mil

I. Inicialmente, obtemos a medida do ângulo central da praça.

medida do arco ( ) 360

a 360 360rr -=

--a 200

360rr·u=360 200 200

0.=-Ir

comprimento (m) 2· rr · 180

200

a~63,7

11.Com o valor da medida do ângulo central, obtém-se a área ocupada pela praça.

medida do arco () área (rn") rr .1802

360 63,7

360 32400rr -= --63,7 x 360 . x = 63,7 32400rr

x== 18 001 m2

Portanto, admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, estima-se a presença de 4 . 18001

=

72 004pessoas presentes ao comício. Entre as alternativas apresentadas, a melhor estimativa é a do item a.

(7)

1 2 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(FURG - RS) Dois atletas vão disputar uma corrida em uma pista com a forma ilustrada na figura a séguir.

/

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

'B

t

I I I I

'" ~ '" '"

oca .~

a : a :

I I I I I I

I I

I I I I

R~ ~ c \ \

\ \

\

"

o

percurso tracejado, a ser cumprido pelo atleta que corre na raia 1 , inicia no ponto A eéformado pela semicircunfe-rência de centro O e diâmetro AB, pelo segmento de reta BC, pela semicircunferência de diâmetro CD e centro O' e, finalmente, pelo segmento de reta DA. O trajeto a ser per-corrido pelo atleta que corre na raia 2 tem início no ponto P eéformado pelo arco PO da circunferência com diâme-tro OT e cendiâme-tro O, pelo segmento de reta OR, pela semicir-cunferência de diâmetro RS e centro O' e, finalmente, pelo segmento de reta ST.A chegada para o corredor da raia 1

éo ponto A e, para o atleta da raia 2,éo ponto T. Sabendo que AO = O'D = 25 metros, OT = O'S = 30 metros e BC = DA = OR= ST, para que os atletas percorram a mesma distância, o comprimento do arco TP deve ser igual a:

a )

KJIHGFEDCBA

3 0 1 t metros.

b ) 25 1t metros.

c ) 5 1t metros.

d ) 21t metros.

x e ) 101t metros.

Inicialmente, sabe-se que os dois atletas percorrerão a mesma distância nas partes do percurso que são forma-das por linhas retas, pois BC= DA= aR= ST.

o

atleta da raia 1 percorre, além dos trajetos em linha reta, a semicircunferência de centro O e diâmetro AB e a sernrcírcunterêncía de diâmetro CD e centro O', o que resulta numa circunferência de raio25m. Assim, o total percorrido pelo atleta da raia 1 nesses dois trechos é C= 2 . 11:. 25 = 5011:metros.

O atleta da raia 2 percorre, além dos trajetos em linha reta, o arco

Pa

da semicircunferência com diâmetro OT e cen-tro O e a semicircunferência de diâmecen-tro RS e cencen-tro O'. Como ele precisa percorrer 5011:metros nos trechos cur-vilíneos da pista, basta calcular o comprimento das duas semicircunferências: C= 2 . 11:. 30 = 6011:metros A diferença entre os dois percursos é de6011:- 50;< = 10;<

metros.

Portanto, para que os atletas percorram a mesma distância, o comprimento do arco TP deve ser igual a10rrmetros.

V O IIA IlV iE

8

C ir c u n fe r ê n c ia tr ig o n o m é tr ic a

13.(ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o

skatista

brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", conseguiu realizar a manobra denominada "900", na modalidade

skate

vertical, tornando-se o segundo atle-ta no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:

a ) uma volta completa.

b ) uma volta e meia.

c ) duas voltas completas.

xd ) duas voltas e meia.

e ) cinco voltas completas.

900 =2+ 180 ~

360 360

2· 360° + 180°

"--.---' ..."..., 2 voltas completas meia volta

1 4 .Calcule a 1~ determinação positiva dos arcos com as seguintes medidas:

a ) 1400

A1~determinação positiva é1400

,pois O <140 0

<3600 •

b ) 8700

870° 2 '- 150° ~ 2.360° +1500 360° 360°

A1adeterminação positiva é150°.

c ) 1 2600

1 260° = 3+180°=>3.360°':; 800

360° 360°

A1~determinação positiva é180°.

d ) -4000

-400° -40°

-- =-1+-~-1· 3600+(-400)

360° 360°

-40°+ 360°= 320°

(8)

e )

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-1 580°

-1580° =-4+ -140° ~-4.3600-140c

360° 360°

-140°+ 360°= 220°

A 1~ determ inação positiva é 220°.

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

f)

KJIHGFEDCBA

2 7 1 t rad 6

2771.

- --+27 =4· 6+3

6

24

2771. 2471.+3rr=4;t+2: ~2: rad

6 6 6 2 2

2 2 1 t

g ) - rad

4

22rr --+ 22 = 4.4 + 6

4

16'

2271._ 1671.+ 671._ 471.+ 3rr => 371.rad

4 4 4 2 2

h ) 3 1 1 t rad

3

3171.--+31=10.3 1

3

30

3171.= 3071.+ 1rr = 1 071.+ 2: ~ 2: rad

3 3 3 3 3

1 5 .Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a cada um dos arcos da atividade anterior.

a) 140° + k· 3600 (k E ~)

b) 150° + k . 3600 (kE ~J)

c) 180° + k 3600 (kE-"':) d) 320° + k . 3600 (k E Z )

e) 220° + k· 3600 (k E "'::)

f) ~+k· 2rr (kE ;:;) 2

g) 371.+k'271.(kEZ) 2

h) 2:.+k· 271. (k E Z ) 3

1 6 .Considere o arco de3750°.

a ) Qual é a 1~ determinação positiva dos seus arcos

côngruos?

3 750

0

~ 3 7500= 1 O · 3600+ 1500

. 3600

A 1~ determ inação positiva é 150°.

b)

As determinações positivas formam uma progres-são aritmética. Qual a razão dessa PA?

A expressão geral dos arcos côngruos é 1500 + 3600. k (kf-'3)

A ssim , a sequência tem razão igual a 360°.

c) Calcule a soma dos 50primeiros termos da sequên-cia formada pelas determinações positivas.

a50 =150

0

+ 3600

.49

=

150° + 17640°

=

17790°

(a, +-a50)· 50

550 = -'-'---""-'---2

550 - (150 T"17 790)· 25 = 448 500

R a z õ e s tr ig o n o m é tr ic a s n a

c ir c u n fe r ê n c ia

1 7 .Calcule, por redução ao primeiro quadrante, os valores

a seguir:

a ) sen 1200 = sen 60

.J3

2

b)

cos 2400 cos 6 0 ° =-~ 2

=-tg45 =-1 c ) tg 3150

d ) sen 2250 = -sen 45 =

J2

(9)

e )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

cos 135

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

0

f) sen 1500

311:

g )

sen-4

1111:

h ) cos-6

J') sen -1111:

6

511:

k ) cos-4

I) tg 3511:

4

= -cos 450 = _

..fi

2

1 9 .Sabendo que sen2X + cos2 X= 1 e sen x + cos x = 8, determine sen x . cos x.

que

(sen x + cos x / = serr' x + 2 . sen x . cos x + cos2X

[ sen ': 0 0 "

J

=se"',

7

oos'H zsen '· 0 0 " 82= 1+ 2 . sen x cos x

2· sen x cos x =82- 1

82-1

sen x·

cosx=--2

rr

..fi

=sen-=-4 2

rr

J3

=cos-=-6 2 20.Sendo x =~, determine o valor de

2

E = cos (2x) +sen (x) .

tg(4x) - tg( ; ) = -tg

2:

KJIHGFEDCBA

= - J 3

3

rr 1

=-sen

-=--6

2

E= cos( 2· ;) + sen(;)

,,( 4 ;)-,,[ ~

1

cos( rr)+ sen(;)

tg(2rr) - tg(

%)

rr

..fi

=-cos

-=--4 2 =-1+1=~=0

0-1 -1

rr =-tg -=-1

4 2· tg 8 quando

1

+

tg2 8

2 1 .Calcule o valor da expressão

4

cos8=-- e tg 8>0: 5

1 8 .Determine o valor de y na expressão

11: 11: (11: 11:)

Y = sen + cos + cos +

-4 4 2 4

sen28 + cos" 8 = 1

sen28 +

l ~

r

=1

sen28=1-~ ~

25 25

3 3

sen 9=- ou sen

9=--5 5

C om o o cosseno énegativo e a tangente épositiva, o arco

. A . 3

pertence ao terceiro quadrante. SSlm , sen 0= -- .

3 5

sen 9 5 3

Portanto tg O -- = - =

-cosO 4 4

5

o

valor da expressão é:

2.3 6 3

2· tg 9 4 = _ 4 _ = . . L = ~ . ~ 48 24 1- tg29 = 1+ ( 3

4

)2 1+ 9 25 2 25 50 25

(10)

2 2 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Calcule o valore de k que verifica simultaneamente as

igualdades: sen x =k - 1 e cos x= J3 - k

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 ,

sen2x+cos" X= 1

(k-1)2+ (~ 3-k2r = 1

k22k+ 1+ 3-k2= 1 ~ 2k+ 4= 1

2k= -3

k= ~

2

23.Se A =sen(~J-4COS(2X) e x=

1t,

determine o va-lor de A. 2

A =sen(~)-4'~

~

,

,

A= 1 4,1 A = 1 4

A

-3

2 4 .Sabendo que sen(x)

=

.JP

e cos(x)

=

Jp - 2

,calcu-le o valor de p, 2 2

P p-2

-+ -= 1

4 4

P p-2 4

+ = -444 2p-2= 4 2p= 6 p= 3

2 5 .(UFMA) Considere a matriz A= (aI) )

KJIHGFEDCBA

3 x 3 'definida por {

i, se i> j

ai) = i,+j, ~e i,= j

1sel<J

(~1tJ

e seja O=det (A) , Então o valor de sen

O

é:

1 3

J2

x a)

2

c )

- 2

e ) O

b)

2

d)

1

2

I) Am atrizA é:

a" a'2 a'3

{r

2

'] ['

2

II

a2, a22 a23 2+ 2 3 - 2 4

3 3+ 3 3 3

a31 a32 a33

11)

o

valor de Dé:

2 2 32 2

D=2 4 3 2 4=48 + 18 + 18 - 24 - 18 - 36 = 6

3 3 63 3

Logo, o valor de sen( 2;

J

é

sen 2rr sen ~ =sen600=

.fi,

(11)

F u n ç õ e s p e rió d ic a s

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Uma função f: lR ---+lR é denominadap e rió d ic a quando existe um número real positivo p tal que f(x+ p )=f(x), para todo xElR. O menor

número positivo p que satisfaz essa igualdade é chamado dep e río d oda função.

A fu n ç ã o s e n o

A função trigonométricas e n oassocia a cada número real x o seno do arco de medida x radianos.

f: lR ---+]R, f(x)=sen x

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 ..J3/2 ..[2/2

1/2

--1t 21t 31t 51t

"2 346

71t 51t 41t 31t 51t 71t

KJIHGFEDCBA

1 1 1 t 6 4 3 " 2 3 4 6

sen x

-1/2

-..m 2

-..J3/2 -1

A fu n ç ã o c o s s e n o

A função trigonométrica cosseno associa a cada número real x o cosseno do arco de medida x radianos. f: lR ---+]R, f(x)=cos x

o

21t 31t 51t

346

1t

71t 51t 41t

643

cos x 1 ..J3/2 -..[2/2 o _ 0 0

1/2

-1t 1t 1t -

-6 4 3

51t 71t1 1 1 t 21t

346

(12)

F u n ç ã o s e n o

1 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Obtenha o período e a imagem das funções abaixo:

a ) f(x)

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

1

+

4 sen x

Período:

P _ 2;1:=2rr = 2rr

11: 1

Imagem:

1m

=

[1 - 4, 1 + 4]

=

[-3, 5]

b ) f(x)

=

sen( 2X-~)

Período:

P = 2rr =2rr=rr

/21 2

Imagem:

1m

=

[-1.1]

Penodo:

P 2rr 2rr =2rr.~=8

1;1;

rr

Imagem: 1m=[-2, 2]

d ) Y

=

2sen x - 3

Período.

P ~ ~rr 2rr

1 1

Imagem:

1m

=

[-3 - 2, -3 + 2]

=

[-5. -1]

AtividA.dES

2 . O gráfico a seguir representa, num dado instante, a velocidade transversal dos pontos de uma corda na qual se propaga uma onda senoidal na direção do eixo x.

v(m /s)

2

/

"

1

/

\

o 1 2 3 ~ 5 6

7/

8x (m

-1

-2

-,

./

Para esse instante, determine uma função do tipo V(x)

=

a

+

b . sen (c . x) que relacione a velocidade V com a posição x dos pontos da corda.

I. Período

P=8m

P= 2rr

cl

8 - 2rr => 8'lcl = 2rr cl

2rr ;1:

c -~ c ~

-8 4

I Imagem:

1m= [a - b, a + b]=[-2. 2]

. . a

b

Da Igualdade acima,temos o sistema i

do as duas equações. temos: la •.b

a b 2

ffi

a +b 2

2a O=> a O

a - b=-2 0- b =-2

b=2

As possíveis funções V(x) = a+bserucx) são: 2

e soman-2

rr ( rr

V(x) 2·sen' - x ou V(x)=2-sen -x r •

4 4

Mas a única que representa corretamente os pontos do

grá-fico é V(X)=2.sen(~.x).

(13)

em segundos, A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mer-cúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80, Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste,

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a ) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t ==O s; t == 0,75

s.

Para t =

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Os. P = 100 ~ 20 sen (2 Te O )

P = 100 ~ 20 sen(O )

~ o P 100 mm de mercúrio Para t = 0,75 s:

P -100 t 20 sen (2·Te 0.75) P=100 t20 sen (1,5 Te)

3Te

P -1 00 +20 . sen -2

P =100 20

P = 80 mm de mercúrio

b)

Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

Atrnaqern dafunçãoélm - [1 00-20, 100+ 20] = [80, 120] A pressao rururna possível e de 80 mm de mercúrio, portanto:

80 = 100 +20 sen (2;rt) 20 20· sen (2 nt) sen (2rrt) = 1

. , 3:1

O valor do seno e Igual a -1 quando o arco e de - rad.

então: 2

3;r sen (2 rrt) sen

2

2itt 3it 2 4t 3 t 0.75 s

4 .(UFPR) O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura, Suponha que em um ins-tante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela expressão:

h ( t) ==4sen ( 27tt

J

+ 4 0,05

a ) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge,

A imagem da função é 1m = [4 - 4, 4 + 4] = [0,8]. As-sim, a altura máxima atingida pelo pistão é de8cm e a mínima é O cm.

b)Ouantos ciclos completos esse pistão realiza, fun-cionando durante um minuto?

Seja P o período dafunção h(t). ASSim, temos:

P ~_ 2it 2;r 0,05 005

~ s

1

2rr

I

2n 2rr' 20

0,05 0,05

Dessa forma, concluímos que o pistão completa 20 ciclos por segundo, o que é equivalente a

20 . 60 = 1 200 ciclos por minuto.

5 .(ENEM) Um técnico precisa consertar o

termosta-to do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desrequlaco. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função

T(h) ==A+B.senC~ .(h-12)} sendo h o tempo,

medido em horas, a partir da meia-noite (O ~ h < 24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26°C, a mínima 1JL °C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã. Ouais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?

a ) A== 18 e B==8

b)

A== 22

e

B== -4

x

c ) A == 22 e B== 4

d ) A== 26

e

B==-8

e ) A == 26

e

B== 8

I. Como os funcionários do escritório pediram que a tem-peratura máxima fosse 26°C e a mínima 18 °C e que, durante a tarde, a temperatura fosse menor do que du-rante a manhã.então a Imagem da função é:

1m

=

[A - B, A + B]

=

[~8 26]

11,Da igualdade acima, temos o sistema somando as duas equações, temos:

A B 18 ~ A +B 26

A B 18 e A ~B 26

2A 44 A 22

Como A = 22, podemos subsutuír o valor de A na pnrneua equação e encontrar B:

(14)

6.

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(IFSC - SC)

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

M aranhão tem um a das m aiores variações

de m aré do m undo, principalm ente na B aía

de S ão M arcos, onde está localizada S ão

L uís, podendo o m ar subir até 8 m etros em

certas épocas. O rio que corta S ão L uís chega

a ficar praticam ente seco em certas horas do

dia e com pletam ente cheio, em outras. Isso

explica o fato de ser tão im portante a tábua

das m arés para quem quer fazer passeios de barco para a cidade histórica de A lcãntara, por exem plo. A variação de m aré no M aranhão

perm ite que navios da V ale de até 400 m il

toneladas atraquem no porto de S ão L uís, sem

necessidade de dragagem com o acontece em

S antos, no litoral paulista.

(D isponível em : http://essem undoenosso.com .br/2014/01l05/

variacao-de-m are-no-m aranhao/ A cesso em : 25 m ar. de 2015)

Imagine que a altura da maré,

em

metros, no porto de São Luís no Maranhão seja modelada pela função

h(x)

=

2,3

+

4,5· sen( ~x). onde x

=

O corresponde à meia noite e xE [0,23], representa a hora do dia.

Assinale [...] a soma da(s) proposição(ões) correta(s).

Com base nessas informações, podemos afirmar que:

F

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(0 1 ) a altura da maré, no porto de São Luís, às 14 horas, é de 4,5 m.

v

(0 2 ) a altura máxima da maré, no porto de São Luís, é de 6,8 m e ocorre duas vezes por dia.

v

(0 4 ) a profundidade, em uma certa hora x do dia, com x E [O, 23], é igual à profundidade na hora x

+

14.

F(0 8 ) a maré, no porto de São Luís, oscila entre 2,3 m

e

2,8 m.

Somatóno. 06 (02+04).

h

8

6

Imagem:

1m

=

[2,3 - 4,5; 2,3 + 4,5]

=

[-2,2; 6,8]

01. Falsa. h( 14) - 2,3 + 4,5· sen(

KJIHGFEDCBA

n~14

J

:::>

:::>h(14)=2,3+4,5·sen Zn :::>

:::>h(14)=2,3+4,5·0 :::> h(14) 2,3m

. 02. Verdadeira. 2,3+4,5.se/

~x)

6,8:::>

:::> 4,5. sen( n X - 4,5 :::>

7 J

:::>sen( n x ) = 4,5 :::> sen( n X )

7 4,5 7

A.SSlm, sen -nx sen(n- :::>

7 2

:::> n X = ~ :::> x=3 5 h 72'

Como o período da função é 14 horas, a altura da maré é máxima às 3 h 30 e às 17 h 30.

04. Verdadeira. Isso acontece devido ao período que é

de 14 horas.

08. Falsa. A Imagem da função é 1m

=

[-2,2; 6,8].

7 .(UFPB) Um especialista, ao estudar a influência da va-riação da altura das marés na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das ma-rés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função:

A(t) =1,6 -1,4.sen(~. t)

Nessa função, a variável t representa o tempo decor-rido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico:

x

a ) A(m)

3

1,6

6 9 12 t (h)

b)

A(m)

24 x

3

Período:

2)1 7 1,6

P

1;1

2 n · - 14 horas

rt 0,2

(15)

c )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A(m)

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 1,6

d ) A(m)

3 1,6 0,2

-o 9 12 t(h)

e ) A(m)

3

1,6 0,2

o 3 6 9 12 t (h)

I. Período:

2Jt 6

P 1~1-2Jt.;_12 horas

11.Imagem:

1m = [1,6 + (-1,4); 1,6 - (-1 ,4)] = [0,2; 3,0]. 111.E atribuindo alguns valores para a função:

A(3) 1,6 1,4· sen( Jt~3

J

A(3)=1,6 1,4·senl

%

A(3) = 1,6 -1,4·1 - 0,2

Jt·6 A(6)=1.6-1,4·sen -'

6 A(6)=1,6 1,4· sen Jt A(6) = 1,6 1,4·

°

1,6

I rt 9

A(9)=1 6 1 4· sen

-" 6

( 3Jt A(9) = 1,6 1,4· sen

'2)

A(9)=1.6 1,4·( 1) 3

Logo,concluí-se que a função A, no intervalo [0,12], esta representada pelo gráfico da alternativa a.

V O IIA \I\.1 E

8

8. (UFPA) Um fabricante produz telhas senoidais como a da figura.

Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é

necessário fornecer a função cujo gráfico será a curva geratriz da telha. A telha padrão produzida pelo fabri-cante possui por curva geratriz o gráfico da função

y = sen(x) (veja detalhe na figura).

Um cliente solicitou então a produção de telhas que fossem duas vezes "mais sanfonadas" e que tivessem o triplo da altura da telha padrão, como na figura abaixo.

A curva geratriz dessa nova telha será então o gráfico da função:

a ) y = 3 . sen ( ~ x J

x

b)

Y = 3·sen(2x)

c ) y=2.sen(ixJ

d ) y = i . sen ( ~ x J

e) y

=

2· sen(3x)

I. Período: P=11: 211:

TCI=

11:

cl=2

c = 2 ou c = -2 (não convém) 11.Imagem:

1m

=

[a - b: a+b]

=

[-3, 3].

(16)

-a-b =-3 Dessa igualdade, temos o sistema

a-b=-3 a+b=3

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

fi) atb=3

2a-0

a=O

Como a = O, podemos substituir o valor deana primeira equação e encontrar b:

a - b=-3 0- b-=-3 b=3

Logo, a função que descreve a característica da nova

KJIHGFEDCBA

t e

-lhaéy = O+ ssen (2x) = 3·sen (2x)

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

F u n ç ã o c o s s e n o

9 . Obtenha o período e a imagem das funções abaixo.

a ) f(X)=4'COS(~X+3J

Período:

P 2rr 2rr

1 1

4 4

4

2n:·-=811:

1

Imagem: 1m=[-4,4]

Período:

P= 2rr 2n: 2rr.~=10

i

~I~

rr

Imagem:

1m=[6 - 7, 6+7]

=

[-1. 13]

c ) f(x) = 3 . cos (2x)

Periodo:

P ~ 2rr = 2rr n

121

2

Imagem: 1m=[-3.3]

d ) f(x) =5· cos( ~11:X

J

+

3

Período:

P=~-~-211:.~=3

1

2rr 2rr 2rr

3 3

Imagem:

1m

=

[3 - 5, 3 + 5]

=

[-2, 8]

1 0 .(UFSM) Cerca de 24,3% da população brasileira é hi-pertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo éexpressa em fun-ção do tempo por

P(t) = 100 - 20COS( 8 311:tJ

onde t é dado em segundos. Cada período dessa fun-ção representa um batimento cardíaco.

Analise as afirmativas:

I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 bati-mentos por minuto.

11.A pressão em t = 2 segundos é de 110 mmHg.

111.A amplitude da função P(t)éde 30 mmHg.

Está(ão) correta(s):

a ) apenas I.

x

b)

apenas I e 11.

c ) apenas 111.

d ) apenas II e111.

e ) I, II

e

111.

I. Correta. O período da função é P 12rrl = 82n: 8rr rr

131

3

2rr.l.. 3 0,75s. Háum batimento cardíaco a cada 8rr 4

O,75 s. ASSim. em um minuto. ha. 60- 80 batimentos. 0,75

11.Correta

P(2) = 100 20 cos( 8 3

11:2)

P(2) = 100 - 20 cose ~11:)

'---y----'

co~ l~rr+ ~ )=co~

4~')

P(2) = 100 - 20 ( - ~ )

P(2) = 11Obatimentos 111.Incorreta.

1m = [100 - 20.100 + 20] = [80, 120]

(17)

1 1 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(UFMT) As figuras abaixo, com seus respectivos esquemas, ilustram três das posições assumidas pelo gingar

femini-no, mostrando que o balançar da pélvis feminina obedece a um ciclo oscilatório.

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

s

,

,

KJIHGFEDCBA

r

, , ,

----1---, ,

,

r

, ,

--~:----~----~,-e=o

c ,

, ,

.•... - - - "

, ,

,

, r ,

----1---, C

,

Tal movimento oscilatório pode ser observado a partir da reta imaginária (r) que passa pelas duas cristas ilíacas per-pendicular àsemi-reta imaginária (s) que, na ilustração, representa a coluna vertebral. Quando a mulher se desloca no seu andar, a reta (r) oscila em torno do centro C para cima e para baixo, acompanhando o ritmo da pélvis, conforme mostram as figuras com os respectivos esquemas. Admitindo que o movimento se completa a cada 1,5 segundo e

que a função 8(t) = ~ cos

(411:

t) representa a variação do ângulo 8 em função do tempo t, assinale o esboço do

10 3

gráfico dessa função no intervalo [O; 1,5].

1t

10

e

x a)

o 6

4'

1t ' .

-10

e

1t

10

b )

1t

-10 _ _ _ .

1t

c ) "5

e

o 9

8"

6

4'

VOllAW,E 8

•.._ - - - - '

e

1t _ _ _ _..

10

d)

e

6 4'

A imagem da funçãoédada por

1m - [ T I: T I:]

-

10'10

Calculando o valor da função para t=~, temos:

4

e(~)=

1~ ·cos~~ 1t .~ ) 1~'C O S T I:=

=~.(-1)- -~

10 10

(18)

1 2 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(UFRN) Marés são movimentos periódicos de rebai-xamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determi-nada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela

função h(t)

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

3 + 0,2· cos( ~. t} onde t é medido em

horas a partir da meia noite. Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o movimento das marés. Desse modo:

a ) qual a altura máxima atingida pela maré?

A imagem da função é 1m = [3 - 0,2; 3 + 0,2] = [2,8; 3,2]. Portanto, a altura máxima atingida pela maré é de 3,2 unidades de comprimento.

b)

em quais horários isto ocorre no período de um dia?

o

período do fenômeno descrito pela função é:

KJIHGFEDCBA

2 n 6

P = - =2 n · - = 12 horas

I~I

n

Como o valor máximo da função é 3,2 unidades de comprimento, então:

3+ 0,2-cos ~t) = 3,2

0,2. cos( ~t) = 0,2

cos( ~t) _ 1

Então:

cos( ~t ) = cosO ou

n t = 0 6 t-O

cos( ~t) = cos2n

n t = 2 n 6 t=12

Portanto, a altura máxima ocorre 2 vezes durante o dia: O h (ou 24 h) e 12 h.

1 3 .(UFPB) Com o objetivo de aumentar a produção de

ali-mentos em certa região, uma secretaria de agricultura encomendou a uma equipe de agrônomos um estudo sobre as potencial idades do solo dessa região. Na aná-lise da temperatura do solo, a equipe efetuou medições diárias, durante quatro dias consecutivos, em interva-los de uma hora. As medições tiveram início às 6 horas da manhã do primeiro dia (t = O). Os estudos indica-ram que a temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t, representando o número de horas decorridas após o início das observações, relacionavam-se atra-vés da expressão

(

1t

4 1 t)

T(t)=26+5·cos

-·t+-12 3

Com base nessas informações, identifique as afirmati-vas corretas:

a ) (V) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do primeiro dia, foi de 23,5 "C.

Às 6 horas da manhã, t = O

(

1t 4 ']( )

T(0)=26+5·cos -·0+- ~

12 3

:=}T(O) = 26 + 5· cos( 4311:):=}

:=} T(0)=26+5·(-0,5) :=} T(0)-26-2,5 :=} :=} T(O) = 23,5

cc

b)

(V )A função T(t) é periódica e tem período igual a

24

h.

2 n 12

P=rl = 2 n '- ; = 2 4 horas

12

c) (F) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30°C.

(19)

d )

wvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(V)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no primeiro dia, às 14 h.

A função T(t) atinge valor máximo igual a 31°C. Então:

26+5'COS(~.t+

KJIHGFEDCBA

4 n ) = 3 1 =>

12 3

=>5'COS(~.t+ 4 n ) = 5 =>

12 3

=> cosC~ .t+ ~ n)=~ =>

=>cos(~.t+ 4 n ) = 1

12 3

cos(~. t +4 n ) = cos2n

12 3

n 4 n

- · t + - = 2 n

12 3

n 4 n

=> · t = 2 n

-12 3

~.t= 2 n

12 3

t=8

Como t = 8, então a temperatura do solo atingiu o valor máximo às 6 + 8 = 14 horas.

e ) (V) A função T(t)écrescente no intervalo [0,8]. A temperatura inicial é 23,5 °C e vai aumentando até seu valor máximo de 31°C, Quando t = 8.

1 4 .(UFPE) Admita que a pressão arterial P(t) de uma pes-soa no instante t, medido em segundos, seja dada por

P(t)=96

+

18cos(21tt), t ~ O

Considerando esses dados, analise a veracidade das seguintes afirmações.

a ) (V) O valor máximo da pressão arterial da pessoa é

114.

b ) (V) O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é

78.

c ) (V) A pressão arterial da pessoa se repete a cada segundo, ou seja, P(t

+

1)=P(t), para todo t ~ O.

d ) (F) Quando t

=

i

de segundo, temos

p(

i)

=

105.

e ) (F ) O gráfico de P(t) para O ~ t ~ 4 é

110 105 100

95

90

85 80

o 2 3 4

a) Verdadeira. Imagem da função:

1m = [96 - 18, 96 + 18] = [78, 114]. O valor máximo da pressão arterial da pessoa é 114.

b) Verdadeira. Rever no item a a imagem da função.

c) Verdadeira. P =

I~:I

= 1 segundo

d) Falsa.{i)=96+18'COS(21t.i) ~

~ pU)

= 96 + 18 cose; ) ~

~ p(

i)

= 96+ 18·( -0,5)= 96-9= 87

e) Falsa. Calculando o valor de P(O), temos: P(O) = 96 + 18· cos(21t· 0)= 96 + 18· cos(O) = = 96 + 18· 1 = 114

Imagem

gráfico dessa função no intervalo [O; 1,5].

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