Semana Ol´ımpica 2016
Equac¸ ˜oes Diofantinas
Turma C
Samuel Feitosa
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Equac¸ ˜oes Diofantinas Lineares
Exerc´ıcio 1. Em Gugulˆandia, o jogo de basquete ´e jogado com regras diferentes. Existem apenas dois tipo de pontuac¸ ˜oes para as cestas: 5 e 11 pontos. ´E poss´ıvel um time fazer 39 pontos em uma partida?
Exerc´ıcio 2. Qual o menor inteiro positivompara o qual todo n ´umero maior quempode ser obtido como pontuac¸˜ao no jogo de basquete mencionado anteriormente?
Exerc´ıcio 3. Quais e quantos s˜ao os inteiros positivos n que n˜ao podem ser obtidos como pontuac¸˜ao nesse jogo de basquete?
Para responder o exerc´ıcio anterior, precisamos relembrar o
Teorema 1 (Bachet-B`ezout) Sed=mdc(a,b), ent˜ao existem inteirosxeytais que
ax+by=d.
A primeira observac¸˜ao que fazemos ´e que uma vez encontrados inteirosxey, qualquer m ´ultiplo dedpode ser representado como uma combinac¸˜ao linear deaeb, pois
a(kx) +b(ky) =kd.
Isso ´e particularmente interessante quandomdc(a,b) =1, onde obtemos que qualquer inteiro ´e uma combinac¸˜ao linear de
aeb. Veja que isso n˜ao entra em conflito com os exemplos anteriores pois os inteirosxeymencionados no teorema podem ser negativos.
Exerc´ıcio 4. Mostre que todo inteiro positivokpode ser escrito (de modo ´unico) de uma e, somente uma, das seguintes formas:
11y−5x ou 11y+5x, com 0≤y<5 e x≤0
Exerc´ıcio 5. Dados os inteiros positivosaeb, commdc(a,b) =1, existem exatamente
(a−1)
2 ·
(b−1)
2
n ´umeros inteiros n˜ao negativos que n˜ao s˜ao da formaax+bycomx,y≥0.
Exerc´ıcio 6. Suponha agora que as pontuac¸ ˜oes das cestas do basquete de Gugulˆandia tenham mudado paraaebpontos com 0 < a < b. Sabendo que existem exatamente 35 valores imposs´ıveis de pontuac¸ ˜oes e que um desses valores ´e 58,
encontreaeb.
Exerc´ıcio 7. Determine todas as soluc¸ ˜oes inteiras da equac¸˜ao 2x+3y=5. Exerc´ıcio 8. Determine todas as soluc¸ ˜oes inteiras da equac¸˜ao 5x+3y=7.
Teorema 2 A equac¸˜aoax+by = c, onde a,b,cs˜ao inteiros, tem uma soluc¸˜ao em inteiros (x,y) se, e somente se, d = mdc(a,b)dividec. Neste caso, se(x0,y0)´e uma soluc¸˜ao, ent˜ao os pares
(xk,yk) =
x0+ bk
d ,y0− ak
d
, k∈Z
Demonstra¸c˜ao. Dada a discuss˜ao anterior, resta apenas encontrarmos a forma das soluc¸ ˜oes. Se (x,y) ´e outra soluc¸˜ao, podemos escrever:
ax+by = ax0+by0 a(x−x0) = b(y0−y)
a
d(x−x0) = b
d(y0−y)
Comomdc(a/d,b/d) =1, temosb/d |x−x0e assim podemos escrever x= x0+bk/d. Substituindo na equac¸˜ao original obtemosy=y0−ak/d.
Exerc´ıcio 9. Encontre todas as soluc¸ ˜oes inteiras da equac¸˜ao 21x+48y=6 Exerc´ıcio 10. Resolva nos inteiros a equac¸˜ao 2x+3y+5z=11
Vamos estudar agora alguns outros exemplos de equac¸ ˜oes diofantinas n˜ao lineares: Exerc´ıcio 11. Encontre todas as soluc¸ ˜oes de 999x−49y=5000.
Exerc´ıcio 12. Encontre todos os inteirosxeytais que 147x+258y=369. Exerc´ıcio 13. Encontre todas as soluc¸ ˜oes inteiras de 2x+3y+4z=5. Exerc´ıcio 14. Encontre todas as soluc¸ ˜oes inteiras do sistema de equac¸ ˜oes:
20x+44y+50z = 10 17x+13y+11z = 19.
Exerc´ıcio 15. (Torneio das Cidades 1997) Sejam ae binteiros positivos tais que a2+b2 ´e divis´ıvel por ab. Mostre que a=b.
Exerc´ıcio 16. Encontre uma condic¸˜ao necess´aria e suficiente para que
x+b1y+c1z=d1 e x+b2y+c2z=d2
tenham pelo menos uma soluc¸˜ao simultanea em inteirosx,y,z, assumindo que os coeficientes s˜ao inteiros comb16=b2. Exerc´ıcio 17. (AMC 1989) Sejanum inteiro positivo. Se a equac¸˜ao 2x+2y+n=28 tem 28 soluc¸ ˜oes em inteiros positivos
x,y ez, determine os poss´ıveis valores den.
Exerc´ıcio 18. (IMC 2010) Sejamaebdois inteiros e suponha quen ´e um inteiro positivo para o qual
Z\{axn+byn|x,y∈Z}
´e finito. Prove quen=1
Exerc´ıcio 19. (Jornal Kvant) Dois jogadores disputam um jogo em um quadro negro. Eles escrevem alternadamente inteiros maiores que 1, um por vez, de modo que nenhum deles seja uma combinac¸˜ao linear com coeficientes n˜ao negativos dos inteiros j´a escritos no quadro. O jogador que n˜ao puder jogar, perde. Qual jogador possui a estrat´egia vencedora? Exerc´ıcio 20. (Banco OBMEP 2015) Considere dois tambores de capacidade suficientemente grande, um deles vazio e o outro cheio de l´ıquido.
a) Determine se ´e poss´ıvel colocar exatamente um litro do l´ıquido do tambor cheio, no vazio, usando dois baldes, um com capacidade de 5 litros e o outro com capacidade de 7 litros.
b) Determine se ´e poss´ıvel colocar exatamente um litro do l´ıquido de um dos tambores no outro usando dois baldes, um com capacidade de 2−√2 litros e o outro com capacidade de√2 litros.
Exerc´ıcio 21. Sejamaebinteiros positivos commdc(a,b) =1. Mostre que para todoc∈Zcomc>ab−a−b, a equac¸˜ao
ax+by=cadmite soluc¸ ˜oes inteiras com x,y≥0.
Exerc´ıcio 22. (IMO 1984) Dados os inteiros positivos a,be c, dois a dois, primos entre si, demonstrar que 2abc−ab−
bc−ca ´e o maior n ´umero inteiro que n˜ao pode expressar-se na formaxbc+yca+zabcomx,yezinteiros n˜ao negativos. Exerc´ıcio 23. (Vietn˜a 2000) Sejam a,be cinteiros positivos primos entre si, dois a dois. Um inteiron≥1 ´e chamado de teimoso se n˜ao pode ser escrito na forma
n=bcx+cay+abz
para quaisquer inteiros positivosx,yez. Determine, em func¸˜ao dea,bec, o n ´umero de inteiros teimosos. Exerc´ıcio 24. (Irlanda 1997) Ache todos os pares de inteiros(x,y)tais que
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Equa¸c ˜oes Diofantinas Lineares
Exerc´ıcio 25. Sejamaebinteiros positivos commdc(a,b) =1. Mostre que para todoc∈Zcomc>ab−a−b, a equac¸˜ao
ax+by=cadmite soluc¸ ˜oes inteiras com x,y≥0.
Exerc´ıcio 26. (IMO 1984) Dados os inteiros positivos a,b e c, dois a dois, primos entre si, demonstrar que 2abc−ab−
bc−ca ´e o maior n ´umero inteiro que n˜ao pode expressar-se na formaxbc+yca+zabcomx,y ezinteiros n˜ao negativos. Exerc´ıcio 27. (Vietn˜a 2000) Sejam a,be cinteiros positivos primos entre si, dois a dois. Um inteiron≥1 ´e chamado de teimoso se n˜ao pode ser escrito na forma
n=bcx+cay+abz
para quaisquer inteiros positivosx,yez. Determine, em func¸˜ao dea,bec, o n ´umero de inteiros teimosos.
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Fatora¸c ˜oes e An´alise de Restos M ´odulo
m
Exerc´ıcio 28. (Irlanda 1997) Ache todos os pares de inteiros(x,y)tais que
1+1996x+1998y=xy.
Exerc´ıcio 29. (OBM 2001) Mostre que n˜ao existem dois inteirosaebtais que(a+b)(a2+b2) =2001.
Exerc´ıcio 30. (Eslovˆenia 2005) Ache todas as soluc¸ ˜oes inteiras positivas da equac¸˜ao
m2−3m+1=n2+n−1.
Exerc´ıcio 31. (IMO 2006) Ache todas as soluc¸ ˜oes inteiras da equac¸˜ao
1+2x+22x+1=y2.
Exerc´ıcio 32. Seja p>5 um primo. Prove que a equac¸˜aox4+4x=pn˜ao tem soluc¸˜ao inteira.
Exerc´ıcio 33. Encontre todas as soluc¸ ˜oes inteiras da equac¸˜ao
1+x+x2+x3=2y.
Exerc´ıcio 34. Encontre todos os naturaisnpara os quais 28+211+2n ´e um quadrado perfeito.
Exerc´ıcio 35. (Alemanha 1995) Encontre todos os pares de inteiros n˜ao-negativos(x,y)tais que
x3+8x2−6x+8=y3.
Exerc´ıcio 36. (Reino Unido 1995) Encontre todas as triplas de inteiros positivos(a,b,c)tais que
1+1
a 1+
1
b 1+
1
c
=2.
Exerc´ıcio 37. (Austr´alia 1983) Prove que a equac¸˜aox4+131=3y4n˜ao possui soluc¸ ˜oes inteiras.
Exerc´ıcio 38. (Rioplatense 2000) Encontre todas as soluc¸ ˜oes inteiras positivas da equac¸˜ao
1+2x+3y=z3. Exerc´ıcio 39. (USAMO 1979) Determine todas as soluc¸ ˜oes da equac¸˜ao
n41+n42+· · ·+n414=1599,
onden1,n2, . . . ,n14 s˜ao inteiros n˜ao-negativos.
Exerc´ıcio 40. Encontre todas as soluc¸ ˜oes inteiras da equac¸˜ao
x2+y2=1000003.
Exerc´ıcio 42. (Balcˆanica 2004) Encontre todas as soluc¸ ˜oes(x,y)da equac¸˜ao
xy−yx=xy2−19,
ondexeys˜ao n ´umeros primos.
Exerc´ıcio 43. (Bielor ´ussia 1998) Existem inteirosxeytais que 3x2−2y2=1998?
Exerc´ıcio 44. (Alemanha 1997) Determine todos os primosppara os quais o sistema
p +1=2x2
p2+1=2y2
tenha soluc¸ ˜oes inteirasx,y.
Exerc´ıcio 45. Prove que n˜ao existem inteirosx,ysatisfazendo 15x2−7y2=9.
Exerc´ıcio 46. Mostre que a equac¸˜aox2+3xy−2y2=122 n˜ao tem soluc¸ ˜oes inteiras.
Exerc´ıcio 47. Encontre todos os inteirosm,nsatisfazendo a igualdade
|3m−2n|=1.
Exerc´ıcio 48. (´India 1995) Encontre todos os inteiros positivosx,ypara os quais 7x−3y=4.
Exerc´ıcio 49. (´India 1995) Encontre todos as soluc¸ ˜oes inteiras positivasx,y,z,p,pprimo, da equac¸˜ao
xp+yp=pz.
Exerc´ıcio 50. (R ´ussia 1995) Encontre todos os primos ppara os quais p2+11 tenha exatamente seis divisores distintos,
incluindo 1 ep2+11.
Exerc´ıcio 51. Mostre que n˜ao existe um naturaldpara o qual os n ´umeros 2d−1, 5d−1 e 13d−1 sejam todos quadrados perfeitos.
Exerc´ıcio 52. (Putnam 1992) Dado um inteiro positivo m, encontre todas as triplas (n,x,y) de inteiros positivos, com mdc(m,n) =1, que satisfazem a igualdade
(x2+y2)m= (xy)n.
Exerc´ıcio 53. Prove que 49 n˜ao dividen2+3n+4, qualquer que sejaninteiro.
Exerc´ıcio 54. Prove que a equac¸˜aox2=3y2+8 n˜ao possui soluc¸ ˜oes inteiras.
Exerc´ıcio 55. Encontre todas as soluc¸ ˜oes inteiras n˜ao-negativas da equac¸˜ao
3a+1=5b+7c. Exerc´ıcio 56. Mostre que n˜ao existem inteirosa,b,cpara os quais
a2+b2−8c=6. Exerc´ıcio 57. Mostre que a equac¸˜ao diofantina
5m2−6mn+7n2=1988 n˜ao possui soluc¸˜ao.
Exerc´ıcio 58. Sejanum inteiro. Prove que se 2+2√28n2+1 ´e um inteiro, ent˜ao ele ´e um quadrado perfeito.
Exerc´ıcio 59. (Bulg´aria 1995) Encontre todos os pares de inteiros(x,y)para os quais
(x2+y2)/(x−y)
´e um inteiro que divida 1995.
Exerc´ıcio 60. (Hungria 2000) Encontre todos os primos p para os quais existem inteiro positivos n,x,y tais que pn =
xn+yn.
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Descida de Fermat, Recurs ˜oes, Ordem e Ra´ızes Primitivas
Exerc´ıcio 62. Ache todos os primos p,qtais que pp+qq+1 seja divis´ıvel porpq.
Exerc´ıcio 63. (Bulg´aria 1995) Encontre todos os n ´umeros primospeqtais que o n ´umero 2p+2q ´e divis´ıvel porpq. Exerc´ıcio 64. (Bulg´aria 1996) Encontre todos os n ´umeros primospeqtais que
(5p−2p)(5q−2q)
pq
´e um inteiro.
Exerc´ıcio 65. Determine todos os inteiros positivosntais quen|3n−2n.
Exerc´ıcio 66. (Bulg´aria 1997) Encontre todos os n ´umeros inteirosm,n≥2 tais que
1+m3n+m2·3n n
´e um inteiro
Exerc´ıcio 67. (IMO 1990) Encontre todos os inteiros positivosn>1 tais que
2n+1
n2
´e um inteiro.
Exerc´ıcio 68. Seja mum inteiro positivo. Defina a sequˆencia an por a0 = 0, a1 = me an+1 = m2a
n−an−1. Prove que a≤b ´e soluc¸˜ao de a
2+b2 ab+1 =m
2se e somente se(a,b) = (a
n−1,an)para algumn. Exerc´ıcio 69. (IMO 2003) Encontre todos os pares de inteiros positivos(m,n)tais que
m2
2mn2−n3+1
´e um inteiro positivo.
Exerc´ıcio 70. (IMO 2007) Sejamaebinteiros positivos. Mostre que se 4ab−1 divide(4a2−1)2, ent˜aoa=b. Exerc´ıcio 71. (IMO 1994) Encontre todos os pares ordenados(m,n)ondemens˜ao inteiros positivos tais que n3+1
mn−1 ´e um
inteiro.
Exerc´ıcio 72. Encontre as soluc¸ ˜oes inteiras da equac¸˜ao
4x2+9y2=72z2
Exerc´ıcio 73. Prove que a equac¸˜aox2+ (x+1)2=y2possui infinitas soluc¸ ˜oes nos inteiros positivos.
Exerc´ıcio 74. Encontre todas as triplas dos inteiros dos inteiros(x,y,z)tais quex2+xy=y2+xz.
Exerc´ıcio 75. Prove que a equac¸˜ao
x2000−1
x−1 =y
2
n˜ao possui soluc¸ ˜oes nos inteiros positivos.
Exerc´ıcio 76. Sejam k e n inteiros positivos, com n > 2. Prove que a equac¸˜ao xn−yn = 2k n˜ao possui soluc¸ ˜oes nos
inteiros positivos.
Exerc´ıcio 77. (Romˆenia TST 2006) Encontre todos os inteiros n˜ao-negativosm,n,p,qtais que
pmqn= (p+q)2+1.
Exerc´ıcio 78. (Banco IMO) Encontre todas as soluc¸ ˜oes inteiras da equac¸˜ao
x7−1 x−1 =y
5
−1
Exerc´ıcio 79. (Romˆenia TST 2009) Mostre que existem infinitos pares de n ´umeros primos(p,q)tais que p | 2q−1−1 e
q|2p−1−1
Exerc´ıcio 80. (Banco IMO 1992) (Vers˜ao original) Sejamum inteiro positivo e sejamx0ey0inteiros tais quex0ey0s˜ao relativamente primos, y0divide x20+me x0 dividey20+m. Prove que existem inteiros positivosx ey tais que x ey s˜ao
5
Equa¸c ˜oes de Pell
Exerc´ıcio 81. SejamFne Ln as seq ¨uˆencias de Fibonacci e Lucas, respectivamente, definidas por
F1=1, F2 = 1 e Fn+1=Fn+Fn−1, n≥2, L1=1, L2 = 3 e Ln+1=Ln+Ln−1, n≥2.
Mostre que a equac¸˜ao 5x2−y2=4 admite uma soluc¸˜ao(x,y)em inteiros positivos se, e somente se,(x,y) = (F
2n−1,L2n−1)
para algum naturaln.
Exerc´ıcio 82. (Vietn˜a 1999) A seq ¨uˆencia an ´e definida pora1 =1, a2 =2 ean+2 =3an+1−an,n ≥1. A seq ¨uˆencia bn ´e definida porb1=1,b2=4 ebn+2=3bn+1−bn,n≥1. Mostre que os inteiros positivos(a,b)satisfazem 5a2−b2=4 se, e
somente se, mdc(an,bn) =mdc(a,b).
Exerc´ıcio 83. SeA´e um inteiro positivo livre de quadrados, ent˜ao a equac¸˜aox2−Ay2=1 tem infinitas soluc¸ ˜oes inteiras. Ademais, existe uma soluc¸˜ao(x1,y1), chamada de solu¸c˜ao fundamental, tal que toda soluc¸˜ao ´e da forma (xn,yn), n ≥ 1, ondexn+yn
√
d= (x1+y1
√
d)n.
Exerc´ıcio 84. (Ko Chao) Seja pum n ´umero primo comp≥5, ent˜ao a equac¸˜ao
x2−yp=1
n˜ao possui soluc¸˜ao comxeyinteiros n˜ao nulos.
Exerc´ıcio 85. Suponha que a equac¸˜ao x2−Ay2 = −1 admita soluc¸˜ao inteira e sejaa+b√Asua soluc¸˜ao fundamental.
Sejac+d√Aa soluc¸˜ao fundamental da equac¸˜aox2−Ay2=1 Ent˜ao
(a+b√A)2=c+d√A, a2= c−1
2 .
Exerc´ıcio 86. (Dirichlet) Seja Aproduto de no m´aximo trˆes primos distintos da forma 4k+1 tais que
p q
= 1 para
todo p6=qdivisores primos deA. Ent˜ao a equac¸˜aox2−Ay2=−1 possui soluc¸˜ao.
Exerc´ıcio 87. Seja A∈ Zlivre de quadrados. Ent˜ao existe um ´unico par de inteiros positivos (m,n), com A= mn, tal
que uma das equac¸ ˜oesmx2−ny2=1 oumx2−ny2=2 possui soluc¸˜ao. No primeiro caso,(m,n)6= (1,A)
Exerc´ıcio 88. Encontre todos os triˆangulos cujos lados s˜ao inteiros consecutivos e cuja ´area ´e inteira.
Exerc´ıcio 89. Encontre o menor inteiro positivonpara o qual 19n+1 e 95n+1 sejam ambos quadrados perfeitos. Exerc´ıcio 90. Dadon>1, mostre que existe um conjuntoSdenpontos no plano tal que:
1. N˜ao existem trˆes pontos deScolineares;
2. A distˆancia entre quaisquer dois pontos deS ´e um inteiro.
Exerc´ıcio 91. (IMO 1975) Existem 1975 pontos sobre uma circunferˆencia de raio 1 de modo que a distˆancia entre quais-quer dois desses pontos ´e racional?
Exerc´ıcio 92. Seja n ≥ 3 um inteiro. Mostre que existe um conjunto S de n pontos no plano tal que a distˆancia entre quaisquer dois pontos deS ´e irracional e a ´area de qualquer triˆangulo com v´ertices emS ´e racional.
Exerc´ıcio 93. Sejamd,kinteiros positivos tais quedn˜ao ´e um quadrado perfeito. Mostre que existem infinitos pares de inteiros positivos(x,y)tais quek|yex2−dy2=1.
Exerc´ıcio 94. Mostre que existem infinitos inteirosnpara os quaisn2+ (n+1)2 ´e um quadrado perfeito. Exerc´ıcio 95. Dado um inteiro positivok, mostre que n˜ao existem inteiros(x,y)tais quex2−(k2−1)y2=−1.
Exerc´ıcio 96. (Banco IMO 2002) Existe um inteiro positivompara o qual a equac¸˜ao
1
a+
1
b+
1
c +
1
abc = m a+b+c
tem infinitas soluc¸ ˜oes inteiras positivasa,b,c?
Exerc´ıcio 97. Determine todos os pares(k,n)de inteiros positivos tais que
1+2+· · ·+k= (k+1) + (k+2) +· · ·+n.
Exerc´ıcio 98. Encontre todos os n ´umeros da formam(m+1)/3 que s˜ao quadrados perfeitos. Exerc´ıcio 99. Encontre todos os n ´umeros triangulares que s˜ao quadrados perfeitos.
Exerc´ıcio 101. Encontre todos os inteiros positivosn para os quais 2n+1 e 3n+1 sejam ambos quadrados perfeitos e mostre que todos esses inteiros s˜ao divis´ıveis por 40.
Exerc´ıcio 102. Sejanum inteiro positivo tal que 3n+1 e 4n+1 s˜ao ambos quadrados perfeitos. Mostre quen ´e divis´ıvel por 56.
Exerc´ıcio 103. Prove que existem infinitos inteiros positivosnpara os quaisn2+1 dividen!.
Exerc´ıcio 104. Prove que a equac¸˜ao
x2+y2+z2+2xyz=1
admite infinitas soluc¸ ˜oes inteiras positivas(x,y,z).
Exerc´ıcio 105. Encontre todos os inteiros positivosnpara os quais existem inteiros positivos distintos a1,a2, . . . ,an tais que
1
a1
+ 2
a2 +· · ·+
n an =
a1+a2+· · ·+an
n ·
Exerc´ıcio 106. (Vietn˜a 1992) Encontre todos os pares de inteiros positivos(x,y)satisfazendo a equac¸˜ao
x2+y2−5xy+5=0.
Exerc´ıcio 107. Encontre todos os naturaisnpara os quaisn+1 e 3n+1 s˜ao ambos quadrados perfeitos. Exerc´ıcio 108. Encontre todos os pares de naturais(m,n)satisfazendo a igualdade
1+2+3+· · ·+n=m2.
Exerc´ıcio 109. (Banco IMO 1967) Qual frac¸˜ao p/q, onde p,q s˜ao inteiros positivos menores que 100, ´e a mais pr ´oxima de√2? Encontre todos os d´ıgitos ap ´os a v´ırgula da representac¸˜ao decimal dessa frac¸˜ao que coincidem com os d´ıgitos da representac¸˜ao decimal de√2.
Exerc´ıcio 110. (Banco IMO 2003) Sejab>5 um inteiro. Para cada naturaln, sejaxna representac¸˜ao na basebdo n ´umero
11· · ·1
| {z }
n−1
22· · ·2
| {z }
n 5.
Prove que a seguinte condic¸˜ao ´e verdadeira se e somente se b = 10: “Existe um inteiro positivo n0 tal que, para cada n>n0, o n ´umeroxn ´e um quadrado perfeito.”
Exerc´ıcio 111. (Torneio das Cidades 1997) Prove que a equac¸˜ao
x2+y2−z2=1997
tem infinitas soluc¸ ˜oes inteiras(x,y,z).
Exerc´ıcio 112. (Irlanda 1995) Determine todos os inteirosapara os quais a equac¸˜ao
x2+axy+y2=1
tem infinitas soluc¸ ˜oes inteiras positivas(x,y)tais quex6=y.
Exerc´ıcio 113. (Ibero 1987) Demonstrar que existe uma infinidade de pares(x,y)de n ´umeros naturais tais que
2x2−3x−3y2−y+1=0.
Exerc´ıcio 114. (Romˆenia TST 1988) Seja aum inteiro positivo. A sequˆencia {xn}n≥1 ´e definida por x1 = 1, x2 = a e
xn+2=axn+1+xnpara todon≥1. Prove que(y,x)´e uma soluc¸˜ao da equac¸˜ao
|y2−axy−x2|=1
se, e somente se, existektal que(y,x) = (xk+1,xk).
Exerc´ıcio 115. (Banco IMO) Prove que, para todo inteiro positivon, existe um inteiromtal que 2m+m´e divis´ıvel porn Exerc´ıcio 116. (TST Romˆenia) Encontre todos os primospeqtais quea3pq
Respostas e Solu¸c ˜oes.
1. Sejamxeyos n ´umeros de cestas de 5 e 11 pontos, respectivamente. O problema se resume em descobrirmos se existem inteiros n˜ao negativosxeytais que 5x+11y=39. Ao inv´es de testarmos os valores dex ey, somemos 11+5 em ambos os lados da equac¸˜ao:
5(x+1) +11(y+1) =55.
Como 5 | 55 e 5 | 5(x+1), segue que 5 | 11(y+1) e, com mais raz˜ao, 5| y+1 poismdc(5, 11) = 1. Do mesmo modo, 11|x+1. Assim,
55=5(x+1) +11(y+1)≥5·11+11·5=110, poisx+1,y+1≥1. Obtemos uma contradic¸˜ao.
2. Como j´a sabemos que 39 n˜ao ´e poss´ıvel, ´e natural comec¸armos procurando os n ´umeros maiores que 39 que n˜ao podem ser pontuac¸ ˜oes. Veja que:
40 = 5·8+11·0 41 = 5·6+11·1 42 = 5·4+11·2 43 = 5·2+11·3 44 = 5·0+11·4
Ao somarmos 5 a cada uma dessas representac¸ ˜oes, obteremos representac¸ ˜oes para os pr ´oximos 5 n ´umeros. Repetindo esse argumento, poderemos escrever qualquer n ´umero maior que 39 na forma 5x+11ycomx ey inteiros n˜ao negativos. Conclu´ımos assim quem=39. Poder´ıamos mostrar que todo n ´umero maior que 44 ´e da forma 5x+11ycomxeyinteiros n˜ao negativos de outro modo. Sen>44, considere o conjunto:
n−11·0,n−11·1,n−11·2,n−11·3,n−11·4.
Como mdc(11, 5) = 1, o conjunto anterior ´e um sistema completo de restos m ´odulo 5 e consequentemente existe y ∈
{0, 1, 2, 3, 4}tal que
n−11·y=5x
Comon>44, segue quex >0.
4. Pelo teorema de Bachet-B`ezout, existemmentais que 5m+11n=1. Sejamqero quociente e resto da divis˜ao dekn
por 5, i.e.,kn=5q+r, 0≤r<5. Assim,
k = 5(km) +11(kn) = 5(km) +11(5q+r) = 5(km+11q) +11r.
Basta fazerx=km+11qer=y.
Para ver a unicidade, suponha que 11m±5n =11a±5bcom 0 ≤ m,a < 5. Ent˜ao 11(m−a) = 5(±b±n). Usando que
mdc(11, 5) = 1, segue que 5| m−a. A ´unica opc¸˜ao ´e termos m=apois o conjunto {0, 1, 2, 3, 4} ´e umscr. Consequente-mente±5n=±5ben=b.
Sendo assim, os elementos do conjunto
B(5, 11) ={11y−5x∈Z∗
+; 0≤y<5 e x>0} constituem o conjunto das pontuac¸ ˜oes que n˜ao podem ser obtidas. Seus elementos s˜ao:
y=1 ⇒ 11y−5x=1, 6
y=2 ⇒ 11y−5x=2, 7, 12, 17
y=3 ⇒ 11y−5x=3, 8, 13, 18, 23, 28
y=4 ⇒ 11y−5x=4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39
A quantidade de tais inteiros ´e
20= (5−1)
2 ·
(11−1)
2 .
6. Perceba que devemos termdc(a,b) =1 pois caso contr´ario qualquer valor que n˜ao fosse m ´ultiplo demdc(a,b)n˜ao seria uma pontuac¸˜ao poss´ıvel e sabemos que existe apenas um n ´umero finito de tais valores. Em virtude da proposic¸˜ao anterior,
(a−1)(b−1) =2·35=70. Analisemos os poss´ıveis pares de divisores de 70 tendo em mente quea<b:
(a−1)(b−1) = 1·70⇒(a,b) = (2, 71) (a−1)(b−1) = 2·35⇒(a,b) = (3, 36) (a−1)(b−1) = 5·14⇒(a,b) = (6, 15) (a−1)(b−1) = 7·10⇒(a,b) = (8, 11)
N˜ao podemos ter(a,b) = (2, 71)pois 58=2·29. Excluindo os outros dois casos em quemdc(a,b)6=1, temosa=8 eb=11.
7. Por paridade, 3y ´e ´ımpar, dondey=2k+1 para algum inteirok. Da´ı,
x= 5−3(2k+1)
2 =1−3k,
e consequentemente todas as soluc¸ ˜oes da equac¸˜ao s˜ao da forma(x,y) = (1−3k, 2k+1).
8. Analisando agora m ´odulo 3, 5x≡7≡1 (mod 3). Essa condic¸˜ao imp ˜oe restric¸ ˜oes sobre o resto dex na divis˜ao por 3. Dentre os poss´ıveis restos na divis˜ao por 3, a saber{0, 1, 2}, o ´unico que satisfaz tal congruˆencia ´e o resto 2. Sendo assim,
x ´e da forma 3k+2 e
y= 7−5(3k+2)
3 =−1−5k,
consequentemente, todas as soluc¸ ˜oes da equac¸˜ao s˜ao da forma(x,y) = (3k+2,−1−5k).
Notemos que para a soluc¸˜ao da congruˆenciax=2, obtemos a soluc¸˜ao(x,y) = (2, 1)da equac¸˜ao. Baseado nesses exemplos, ´e natural imaginarmos que conhecendo uma soluc¸˜ao da congruˆencia consigamos descrever todas as outras.
9. O sitema ´e equivalente `a 7x+16y=2. Uma soluc¸˜ao ´e(x,y) = (−2, 1). Pelo teorema anterior, todas as soluc¸ ˜oes s˜ao da forma:
(xk,yk) = (−2+16k, 1−7k).
10. Podemos transformar esse problema isolando qualquer uma das vari´aveis no problema que j´a sabemos resolver.
Por exemplo, podemos resolver 2x+3y = 11−5z. Supondo z fixo, podemos encontrar a soluc¸˜ao particular (x,y) = (4−z, 1−z). Assim, todas as soluc¸ ˜oes s˜ao da forma:
(x,y) = (4−z+3k, 1−z−2k),
ou seja, as soluc¸ ˜oes da equac¸˜ao original s˜ao da forma(x,y,z) = (4−z+3k, 1−z−2k,z)comkezinteiros.
20.
a) Basta encher o tambor vazio com 15 litros (3×5 litros) usando trˆes vezes o balde de 5 litros e, em seguida, retirar 14 litros (2×7 litros) usando o balde de 7 litros duas vezes. Dessa forma, transportamos 3×5−2×7=1 litro.
b) A quantidade a que podemos transportar do tambor cheio para o vazio ´e da forma
k(2−√2) +l(√2) litros, onde k e l s˜ao inteiros que indicam quantas vezes tiramos ou colocamos l´ıquidos usando cada um dos baldes. Sel−k6=0, podemos escrever:
a = k(2−√2) +l√2
a−2k = √2(l−k)
a−2k l−k =
√ 2.
Assim, o n ´umero√2 seria o quociente de dois inteiros o que resultaria em um n ´umero racional. Sabemos que isso n˜ao pode acontecer porque√2 ´e irracional. Falta analisarmos o que acontece quandol=k. A equac¸˜ao se transforma em:
a = k(2−√2) +l√2
= k(2−√2) +k√2
= 2k.
81. Note que (1, 1) ´e a ´unica soluc¸˜ao com y ≤ 2. Podemos supor, portanto, que y ≥ 3. Sendoα, βas duas ra´ızes da equac¸˜aox2−x−1=0, ´e conhecido que
Fn= α n−βn
α−β e Ln=α
n+βn.
´E trivial verificar que os pares(F2n−1,L2n−1)satisfazem nossa equac¸˜ao. A parte dif´ıcil ´e mostrar que essas s˜ao as ´unicas
soluc¸ ˜oes. Seja
S={(F2n−1,L2n−1), n≥1}.
Por absurdo, suponha que exista uma soluc¸˜ao(x,y) 6∈ S, e tome aquela que minimiza o valor dex. Como x e y tˆem a mesma paridade, as frac¸ ˜oes(3x−y)/2 e(3y−5x)/2 s˜ao inteiros positivos, pois
x2>−1 ⇒ 9x2>5x2−4 ⇒ 9x2>y2 ⇒ 3x>y
e
y2>5 ⇒ 9y2>5y2+20 ⇒ 9y2>25x2 ⇒ 3y>5x.
Afirmamos que((3x−y)/2,(3y−5x)/2)´e uma soluc¸˜ao da equac¸˜ao que n˜ao est´a emS. De fato,
5
3x−y
2
2
−
3y−5x
2
2
= 20x
2−4y2
4 =4,
e, se((3x−y)/2,(3y−5x)/2)∈S, existirianpara o qual
3x−y
2 =F2n−1 e
3y−5x
2 =L2n−1
⇐⇒ x=F2n+1 e y=L2n+1,
o que contraria o fato de(x,y)n˜ao estar emS. Para terminar, note que(3x−y)/2<x, ou seja, obtemos uma soluc¸˜ao cuja
primeira coordenada ´e menor quex. Pelo m´etodo da Descida de Fermat, conclu´ımos que todas as soluc¸ ˜oes est˜ao emS.
88. Sejama=n−1,b=n,c=n+1 os lados do triˆangulo. Pela f ´ormula de Her˜ao, a ´area do triˆangulo ´e
A= 1
4
q
(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c) = n
4
q
3(n2−4).
A ´e inteiro se e somente sen ´e par e 3(n2−4) ´e um quadrado perfeito. Substituindon por 2x e A por ny, obtemos a
equac¸˜ao 3x2−3 = y2. Ent˜ao y ´e divis´ıvel por 3, digamos y = 3z, e da´ı a equac¸˜ao anterior equivale `a equac¸˜ao de Pell x2−3z2 = 1. A soluc¸˜ao fundamental dessa ´ultima ´e (x1,z1) = (2, 1), donde todas as outras soluc¸ ˜oes s˜ao geradas pelas
recorrˆencias xn+1 = 2xn+3zn e zn+1 = xn+2zn, n ≥ 1. Os triˆangulos procurados s˜ao os que tˆem lados de medidas 2xn−1, 2xn e 2xn+1, cuja ´area ´e 3xnzn.
89. Sejam 19n+1 = x2 e 95n+1 = y2. Ent˜ao 5x2−y2 =4, que ´e a equac¸˜ao analisada no problema 45. Suas soluc¸ ˜oes
s˜ao os pares(F2m−1,L2m−1), m≥ 1. Para que n seja m´ınimo, basta calcular o menor n ´umero da seq ¨uˆencia de Fibonacci
m ´ultiplo de 19, que ´eF17 =1597. Assim,
n= F17
2
−1