Cap4 Campos Eletrostáticos

Direção de ação da força

Campos Eletrostáticos

Começaremos nosso estudo de eletrostática investigando as duas leis fundamentais que governam os campos eletrostáticos: (1) Lei de Coulomb e (2) Lei de Gauss. Ambos são baseados em estudos experimentais e são interdependentes.

Estudaremos a interação entre partículas carregadas e analisaremos os campos produzidos por uma distribuição de cargas em repouso.

A Lei de Coulomb

F

Força entre duas cargas separadas por uma distância R.

Com

K

onde

ε

é chamado de permissividade do espaço livre (em

Farads por metro).

ε

≅

8,854 x 10

≅

F/m.

Se duas cargas pontuais Q

e

Q estão localizadas em pontos cujos vetores posição são, respectivamente, r e r , então a força F _, sobre a carga

Q devido a Q é:

F

_{| !|}

∙

Logo:

F _{4πε |r % r!|}Q Q #r2 % r1!&

OBS: A força obedece ao Princípio da Superposição, assim, para n cargas

Q , Q , … , Q* a força resultante F sobre uma carga Q localizada no ponto r

é:

F _{4πε |r % r!| +} QQ #r % r1!& _{4πε |r % r!| + ⋯ +} QQ #r % r!&2 _{4πε |r % r}QQ*#r % rn!&

*!|

Ou

F _{4πε .}Q Q_{|r % r !|}#r % rK!&

/

0

O vetor intensidade de campo elétrico E é dado pela força por unidade de carga imersa nesse campo elétrico. Assim,

E lim_{→ Q}F

ou simplesmente

E _QF

A intensidade de campo elétrico E está, obviamente, na mesma direção da força e é medido em _{6N C9 :} ou _{6V m9 :}. A intensidade de campo elétrico em um ponto cujo vetor posição é r, devido a uma carga pontual localizada em r, é:

E

<r% r!>′

?r% r!?′ @ e para n cargas teríamos:

F _{4AB .}1 Q_{|r % r !|}#r % rK!&

/

0

Exercício para os alunos: exemplos 4.1; 4.2 e 4.3.

Campos elétricos de distribuições contínuas de carga

Ponto de observação

Carga Pontual Linha de cargas Superfície de carga Volume de cargas

Q+

Q _{CD 6C m9 :}

dQ CD dF →

Q GCDdF H

CI JC m9 K

dQ CI dI →

Q GCIdI I

CL JC m9 K

dQ CL dL →

Q GCLdL L

Logo:

E M

NO PQ

R R@

linha de cargas

E M

NS PS

R R@

superfície de cargas R r % rU

E M

NV PV

R R@

volume de cargas

Exemplo: Linha de cargas sobre o eixo z. Densidade de cargas linear uniforme.

E#r& M

NO < W>XQ < W>

? W_?@ ou

E M

NO XQ

R R@

r #x, y, z& d_F d_\W

rU _{#0,0, z}U_&

R x a^_ + y a^`+ #z % zU&a^\ CL

E#r& G CDdz′ax a^x + y a^y +#z % z′&a^zb

4πε #x + y + #z % z′_{& &} 9 c

d

Mas resolve-se em função de ρ e α (cilíndricas) r = C a^N+ z a^\

rU _{= z}U _a^

\

de = dfW

d_fW em função de α

zU _{= 0T − C tgα → d}

z′ = −C sec2α d_α , logo:

E G CD #−C sec α dn& aC a^N + C tg α a^\b 4πε #C + C tg α& 9

n

n

E = _{4πε C 6−#senα − sen α &a^}CD N+ #cosα − cosα &a^\:

E para uma linha infinita:

OBS: Fazer para superfície de carga e volume de cargas.

OBS: Fazer exemplos: 4.4; 4.5; 4.6

Densidade de Fluxo

O campo elétrico é dado por

E = M

NV PV

R R@ que depende do meio

por causa da permissividade que no vácuo é ε .

Suponha um novo campo vetorial D independente do meio:

D = ε E R = C a^N + #z − zU&a^\

C tg α

R = C a^N + C tan α a^\ → α < α < α

Definimos fluxo elétrico por:

Ψ = G D d_I

Em si, uma linha de fluxo elétrico se inicia em uma carga de +1C e termina em uma carga de -1C. Fluxo é medido em Coulombs. Assim, D é densidade de fluxo elétrico C/m². Exemplo 4.7.

Lei de Gauss – Equação de Maxwell

A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual a carga total encerrada por esta superfície.

Ψ = Qs/ts dud

Ψ = G dv = wD d_I

I = Qs/ts dud = GCL L dL Ou seja,

wD d_I

I = GCL L dL Mas

wA d_I

I = G . A dL L Assim vem: _{M D dL L} = C_L d_L

e

A densidade volumétrica de carga é igual a divergência da densidade de fluxo elétrico.

1ª Equação de Maxwell

Aplicação da Lei de Gauss

wD d_I

I = G CL dL

wε E d_I

I = CL dL

O campo elétrico aparece no integrando das equações, assim sua determinação só será possível quando a distribuição de cargas apresentar alto grau de simetria.

A superfície de integração deve ser escolhida de tal forma a permitir que o campo seja constante sobre esta superfície.

Responda sempre as seguintes perguntas:

a) Quais as componentes do campo estão presentes? b) De que coordenadas o campo depende?

Exemplo: Linha infinita de cargas carregadas uniformemente.

a) E = E a^_N ou D = D a^_N b) E = E (ρ)

OBS: D tem que ser normal ou tangencial à superfície.

E E #C& a^N

D D #C&a^N

Ψ Q

wD d_I

I G CD dF

G D d_I

{I + G D d{| I + G D ddD I G CD dF

D normal D d_I RDR. Rd_IR D tangencial D . d_I 0

Fazer para:

• Carga pontual • Lâmina infinita • Esfera

Exemplo: 4.8; 4.9

Potencial Elétrico

Suponha que queiramos movimentar uma carga Q de um ponto A para um ponto B em um campo elétrico E.

Temos que:

F Q.E e o trabalho realizado é: d} %F dF %QEdF e o sinal de

negativo indica que o trabalho é feito por um agente externo.

W % Q M E d_dc _F

Ao dividir W por Q encontramos energia potencial por unidade carga. Essa quantidade, denotada de VAB, é conhecida por diferença de potencial entre os pontos A e B.

Vdc W_{Q % G E d}F c

d

OBS: A diferença de potencial é independente da trajetória e assim em um circuito fechado:

w E d_F Vdd 0

Aplicando o Teorema de Stokes:

∮ E d_F Ma x Ebd_I 0

O campo no vácuo pode ser escrito como:

E _{4AB G}1 CL dLW R RRR

L

Considerando o fator no integrando

R R@ notemos que ele pode ser

obtido da operação gradiente:

R

RRR

% € 1

R

•

→ E 1

4πε0

G

Cv dv

′ %

€

1 R

•

v

E % ƒ_{4πε G}1 CL dL RRR

L „ → E % V

V M

XVW N

R R

L Nm/C ou Volt

Devido à natureza escalar da função potencial, a determinação do campo é simplificada.

Temos que o rotacional do gradiente de um escalar é sempre zero ( x V = 0) e novamente

x E = 0 2ª Equação de Maxwell

V (potencial)

Dipolo elétrico e as linhas de fluxo

Tem-se um dipolo quando duas cargas pontuais de igual magnitude e sinais opostos estão separadas por uma pequena distância.

V _4πε Q _{r %} 1 _4πε Q _r1

V _{4πε …}Q _{r %} 1 _{r †}1

Q

4πε …r % rr . r †

Considerando r >> d r2 – r1

≅

d cosθ e r2.r1 = r² Logo:

V _4πε Q d cosθ_r²

Temos que d cosθ = d. a^ onde d da^_\ Assim definimos momento de dipolo:

p Qd logo

V

Š .‹^Œ

² e campo elétrico é dado por E % V que produz

E Qdcosθ_{2πε r³ a^} +Qdsenθ_{4πε r³ a^}Ž

Linha de fluxo elétrico

É uma trajetória ou uma linha imaginária desenhada de tal modo que sua orientação em qualquer ponto é a orientação do campo elétrico nesse ponto.

Nenhum trabalho é realizado ao movimentar uma carga de um ponto a outro ao longo de uma linha equipotencial.

Densidade de energia em campos eletrostáticos

Determinar o trabalho realizado para reunir as cargas.

Trazendo as cargas Q1, Q2 e Q3: Ws W + W + W

Ws 0 + Q V + Q #V + V &

Se as cargas fossem posicionadas na ordem reversa: Ws W + W + W

Ws 0 + Q V + Q #V + V & e somando com a anterior temos:

2Ws Q #V + V & + Q #V + V & + Q #V + V &

Ws ∑/0 Q V Joules

Para cargas distribuídas:

Ws M CD V dF ou Ws M CI V dI ou Ws M CL V dL

Mas

D C_L logo

Ws 1_{2 G# . D&V d}L

Identidade vetorial:

. VA A . . V + V # . A& → a . DbV . VD % D. . V

Logo: W_{s M a . VDbdL L}% M aD . Vbd_{L L}

Mas M . A d_{L L} ∮ A d_{I I} e assim:

Ws 1_{2 waVDbd}I 1₂

I GD . EL dL

Carga pontual V → e D →

Dipolo V → e D → _@

E a primeira integral torna-se zero à medida que a superfície se torna cada vez maior.

Ws 1_{2 GD . E}

L dL

1

2 G ε RER dL

Podemos definir a densidade de energia eletrostática WE (em J/m³) como:

Ws dW_d s L

1

2 D. E 12 ε RER 2εD