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(1)

VESTIBULAR: 2016 PROFESSOR: WALTER TADEU

MATEMÁTICA II

GEOMETRIA ESPACIAL – CONES – QUESTÕES – GABARITO

1. (FATEC) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:

a) 64 b) 48 c) 32 d) 16 e) 8

Solução. Calculando o raio da base e o volume, temos:

2 3 2

cm 64 )4).(

3 16.(

)12.(

)4.(

3 h.R )V( . Volume )iii

cm 12 )4(3 R3 h)ii

2 cm4 R 8 8 cm R2 8 C

R2 )i C

 

 

 

 





 

 





.

2. (UEL) Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

Solução. A área lateral do cone é dada pela fórmula AL = .R.g, onde g é a geratriz do cone. Calculando a geratriz pela Relação de Pitágoras, vem:

2 2

2 2 2 2

cm 60 )10 ).(6.(

) lateral cm (A 10 100 36 64 6 8 g

h R

g    



 

.

3. (UFMG) Nessa figura, a base da pirâmide VBCEF é um quadrado inscrito no círculo da base do cone de vértice V. A razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide, nesta ordem, é:

a) /4 b) /2 c) d) 2 e) 2/3

Solução. O diâmetro 2r do círculo corresponde à diagonal do quadrado. A altura h e a mesma para a pirâmide e o cone.

i)

 

 

 

 

3 ) ..

(

3 ..

2 3

.2 ) . ( 2 2.

. 2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

cone hr V

hr h pirâmide r V r r

L r L

r

.

(2)

ii) 2. . 2 . 3

3 . . 3

. . 23

. . ) (

)

: ( 2

2 2

 

r h

h r h

r h r pirâmide

V

cone

Razão V .

4. (UFMG) Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo.

Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocupado é igual a . A capacidade do tanque é:

a) 2 b) 8/3 c) 4 d) 6 e) 8

Solução. Estabelecendo a razão entre volume e altura, temos:

 

. 8 ) 2 (

1 ) ( 2

) (

)

( 3

3





V total

total V h

h total V

menor

V .

5. (FAAP) Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até o nível da bebida fica exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é:

a) 3/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/8 e) 1/8 Solução. O volume menor é o volume que deixou de ser consumido. A razão entre

volume e altura independe das medidas do raio e altura, temos:

) ( 8. ) 1 2 (

1 ) (

) 2 (

) (

)

( 3

3

total V menor

total V V

menor V

h h total

V menor

V





.

6. (PUC) Um cone reto de raio r = 4 cm tem volume equivalente ao de um prisma de altura h = 12 cm e de base quadrada de lado L

 

. A altura do cone, em cm, é:

a) 1,25 b) 2,00 c) 2,25 d) 3,00 e) 3,25 Solução. Comparando os volumes, temos:

  25,2

16 12 36 3

...

16 3

...

16 3

.)4 .(

3 ) ..

(

12 12.

) (

2 2

2

 

 

 

 

 

h h h h

cone hr V

pirâmide V

.

7. (CESGRANRIO) No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de:

a) 2 h b) 1 h e 30 min c) 1 h d) 50 min e) 30 min Solução. O volume do cone é a terça parte do volume do cilindro.

Logo, levará a terça parte do tempo para ficar completamente cheio: T = 2,5 h ÷ 3 = 150 min ÷ 3 = 50 min.

(3)

8. (UNB) Um cálice tem a forma de um cone reto de revolução, de altura igual a 100 mm e volume V1. Esse cálice contém um líquido que ocupa um volume V2, atingindo a altura de 25 mm, conforme mostra a figura adiante. Calcule o valor do quociente V1/V2.

Solução. Estabelecendo a proporção entre volumes e dimensões, temos:

 4 64

25 100 V

V 3

3

2

1

.

9. (FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:

a) 144° b) 192° c) 240° d) 288° e) 336°

Solução. A geratriz do cone é: g 32 42 255. Logo, temos:

 

 

 6,1

5 )4(

. 2 . .2

.2     

 

rad rad

rad

g g r

s r s

; º

180º

  

.1,6 288º º

6 , 1 º 180

. x

x rad

rad

.

10. (VUNESP) No trapézio ABCD da figura a seguir, os ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se AD 2AB , o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da reta por B e C é dado por:

a) 4 . 3a3

b) 8

. 5a3

c) 5

. 6a3

d) 13

. 20a3

e)

5 . 8a3

Solução. Após o giro o volume do sólido formado será a diferença entre os volumes do cilindro de raio de base a e altura 2a e o volume do cone de raio de base a e altura x.

De acordo com as informações das figuras, temos:

(4)

  ( ) .2 5 .2 5 .8

5 .2 15

.6 3

6.. 5 ) (

.2 )2.(

.) ( )

5 6 6 5 6 ˆ 5 ˆ )

3 3 3

3 2 3

3 2

a a a

sólido a V a a

cone a V

a a a cilindro V ii

x a x a utg

x utg a i

 

 

 

 



 

 

.

11. (FUVEST) Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V.

Solução. Seja V’ o volume do cálice com a cereja. Isto é: V’ = V + V(cereja). O volume V’ é calculado encontrando o raio “x” do círculo do líquido sobre a cereja. Observando a semelhança dos triângulos, temos:

 

3 cereja

3 3

cereja 2 2

2 2 2 2

3 cm 4 3 4 3 V 8

' V V

3 4 3

) 1 .(

4 3

r.

V 4 ) ii

3 8 3

) 2 ( 4 3

) 4 .(

2 . 3

h . x ' . V ) iii

2 2 . 2 2 x 2 2 x 2 x 1 4

2 2 x 1 4 ) y ii

2 2 8 y 1 9 y y 1 3 )i

.

12. (FUVEST) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser:

a) 8/3 cm b) 6 cm c) 4 cm d) 4

3

cm e) 434 cm

Solução. O volume do primeiro líquido deve ser metade do volume total. Relacionando os volumes e as alturas, temos:

(5)

3 3 2 3 2 3 2 3 3 3

3 3

3 3 2

4.

2 4 2.

8 2 . 2 2 8 2 8 2 8 8 12 24

8 2 12

)º 1(

3 24 )8.(

) )3.(

(

 

 

x x x

x v V L V

V total V

 

.

13. (UFPE) O trapézio 0ABC da figura a seguir gira completamente em torno do eixo 0x. Calcule o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido.

Solução. Após o giro, o volume do sólido formado é a soma do volume de um cilindro de raio de base 2 e altura 2, com o volume de um cone de raio de base igual a 2 e altura 1.

 ( ) 8 4 3 28 3 28( 3 3).( )14, 29 3, 29

3 4 3

1.

) )2.(

(

8 )2.(

)2.(

) (

2 2

 

 

    

sólido cone V

V cilindro V

.

14. (UERJ) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração. Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a:

a) 1/2 b) 3/4 c) 5/6 d) 7/8

Solução. Considerando o volume v do cone fora do líquido e V o volume total do cone e, lembrando que a relação entre esses volumes é a razão cúbica de suas alturas, temos:

8 7 V .1 8

V 7 V 8 V 7 ) sólido ( Volume

) submerso (

Volume :

Razão

8 V 7 8 V V v V ) submerso (

Volume

8. v V 8 1 H . 1 8 H H

8 H H

( ) 2 / H ( V v

3 3 3 3

3 3

.

(6)

15. (UERJ) Para revestir externamente chapéus em forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da base medindo 10 cm, serão utilizados cortes retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm por 50 cm. Admita que todo o tecido de cada corte poderá ser aproveitado.

O número mínimo dos referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é igual a:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

Solução. O número de chapéus com um corte será o inteiro que representa quantas vezes a área lateral do cone cabe na área do retângulo.

   

1, 15 204 ) 3150 /

( )

3150 )

50 )(

67 ( )

1, 204 ) 13 )(

5 )(

14 ,3 ( . . ) (

13 25 144 5

) 12

2

2 2

2 2



 

corte chapéus N

iii

cm A

ii

cm g

r cone A

cm g

i g

CORTE

lateral

.

Logo, para confeccionar 50 chapéus, o mínimo serão 4 cortes (3 x 15 < 50 < 4 x 15) .

16. (ITA) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m2.

Solução. Representando raio, altura e geratriz do cone pelas letras r, h e g, respectivamente, temos:

 

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

96 )16 ).(

6.(

) 10 6 ).(

6.(

) .(.

10 2 8 8

6 2 8 )

8 0 0

)8 .(

0 8

)4 ).(

2(

) ).(

( :)

( Re )

2

4 2 2 )2 ( )2 2 (

2 2

,, :.

) .

m g

r r A g

h r iii

h

el incompatív h h

h h

h

h h r g r g h r g h g r h cone lação ii

g r h

h h h

h r h g

g h r razão

g h r A i P

T          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(7)

17. (UFSCAR) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. Considerando h como a altura

máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é:

a) 7 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 15 cm

Solução. O raio da base do cilindro e do cone vale 5 cm. Utilizando as informações, temos:

   

   

 

 

   

   

 

3 10 5 30

25 5

2 25 5 5 3

5 5 5 .

5 3 5

. . 25

5 . . 25 . . 5 75

3 5 . . 25 3

5 . . 25 . . 75 )

3

5 . . 25 . . 75

3 5 . . . 25 . 25 ) ) (

( ) (

) (

. . 25 .

) 5 .(

) ) (

3 5 . . 25 3

5 . ) 5 ) .(

( ) ( )

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

h h

h h

h h

h h h h

h h

h h h

iii

h h

h h azeite

cone V V cilindro V

azeite V

h h

cilindro ii V

h vinagre h

V cone V i

 

.

18. (UFLA) Um reservatório de forma cônica para armazenamento de água tem capacidade para atender às necessidades de uma comunidade por 81 dias. Esse reservatório possui uma marca a uma altura h para indicar que a partir desse nível a quantidade de água é suficiente para abastecer a comunidade por mais 24 dias. O valor de h é:

a) 9

2H

h b)

3

h 2H c)

27 8 H

h d)

10

3 H

h e) 2 h H

Solução. O volume do cone menor permite um consumo por 21 dias. Estabelecendo a relação entre volumes e as alturas.

3 2 3

2 27

8 81

24 81

24 3 3

3 H

H h h H

h H

h H

h

.

19. (UFMG) Um cone é construído de forma que:

- sua base é um círculo inscrito em uma face de um cubo de lado a;

- seu vértice coincide com um dos vértices do cubo localizado na face oposta àquela em que se encontra a sua base.

Dessa maneira, o volume do cone é de:

a) b) c) d)

Solução. O diâmetro da base do círculo possui a mesma medida da aresta do cubo. O mesmo ocorre com a altura do cone. Utilizando essas informações, temos:

(8)

   

12 . 3

) 4 .(

. 3

) 2 .(

. 3

. ) .

(

2 3

2

2

 

r h a a a a a

cone

V    

.

20. (UNESP) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min.

O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.

Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando a aproximação = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente,

a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360.

Solução. Calculando o volume total do frasco, temos:

 

mL mL

mL frasco

V

mL h cm

cone r V

mL cm

h r cilindro V

cone cilindro

480 48

432 ) (

48 48

)3 ).(

16 3 (

)3 .(

4 ).

3(

3 . ) .

(

432 432

)9 ).(

16 ).(

3(

)9 .(

)4 .(

. . ) (

3 2 2

3 2

2

 

 

.

De acordo com a taxa da aplicação, após 4 horas foi administrado um volume V.

mL V V

mL 240min (1,5).(240) 360 5

, 1

min

1 .

O volume restante no frasco é: 480 mL – 360 mL = 120 mL.

Referências

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