busca da verdade, e para isso, classificou as PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS (proposições simples e diretas na forma de sujeito-predicado) em quatro tipos:

(1)

Aristóteles (filósofo grego do séc. IVAC) – considerado o pioneiro no estudo da lógica, procurava, em seus estudos , um instrumento para o uso da razão, na busca da verdade, e para isso, classificou as PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS (proposições simples e diretas na forma de sujeito-predicado) em quatro tipos:

•Proposição universal afirmativa - Ex.: Todo M é N.

•Proposição universal negativa – Ex.: Nenhum M é N.

•Proposição particular afirmativa – Ex.: Algum M é N.

•Proposição particular negativa - Ex.: Algum M não é N.

As palavras TODOS, NENHUM e ALGUM são chamadas quantificadores, pois dão, intuitivamente, uma idéia de quantidade.

A Palavra ALGUM tem sempre o significado de PELO MENOS UM. Logo, dizer

“Alguns homens são bons” é afirmar que “Pelo menos um homem é bom”.

(2)

Relações entre conjuntos e proposições

Dados M e N, temos:

1) “Todo M é N” corresponde a “Se x pertence a M, então x pertence a N”.

N

M M  N  x M  xN

(M é subconjunto de N)

(3)

2) “Nenhum M é N” corresponde a “Se x pertence a M, então x não pertence a N”.

M N

M  N =   x M  xN

(M e N são conjuntos distintos)

3) “Algum M é N” corresponde a “ x pertence a M e x pertence a N”.

M N

M  N  x M  xN

(4)

4) “Algum M é não N” corresponde a “x pertence a M e x não pertence a N”.

M N

M – N  x M  xN

5) “Reunião de M com N” corresponde a “ x pertence a M ou x pertence a N”.

M N

M  N  x M  xN

(5)

6) “Todo M é N e todo N é M”

M = N  MN  NM

7) Se M  N, N – M = C

^M^N

é o complementar de M em relação a N

N

M M  N, N – M = C

^M

N  x  N  x  M

N-M

(6)

Dado o conjunto universo U, temos:

 M = {xU | x possui a propriedade m}

 M = {xU | x não possui a propriedade m}

O conjunto M é complementar de M em relação a U.

Propriedades:

a) M = U – M b) M  M = U c) M  M = 

U

(7)

Exercícios

1- Sendo:

U : conjunto dos animais.

M: conjunto dos mamíferos.

N: conjunto do animais marinhos.

Considerando o diagrama abaixo:

Para os elementos a, b, c, e d de U , temos que:

a é um animal mamífero e não marinho.

b é um animal mamífero e marinho.

c é um animal não mamífero e marinho.

d é um animal não mamífero e não marinho.

U N M

c d b

a

(8)

2 – Para os subconjuntos M e N de U, temos:

M  N representa o conjunto dos animais____________________.

M  N representa o conjunto dos animais ____________________.

M - N representa o conjunto dos animais______________________.

N – M representa o conjunto dos animais _____________________.

M representa o conjunto dos animais ____________.

N representa o conjunto dos animais ___________.

M  N representa o conjunto dos animais _______________________.

M  N representa o conjunto dos animais _______________________.

3 – Utilizando o diagrama de Euler-Venn, verificar que valem as propriedades a seguir, sendo A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo universo U.

a) Comutativa: A  B = B  A ; A  B = B  A

b) Associativa: A  (B  C) = (A  B)  C; A  (B  C) = (A  B)  C

c) Distributiva: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; A  (B  C) = (A  B)  (A  C) d) Leis de De Morgan: (A  B) = A  B ; (A  B) = A  B

e) (A) = A

(9)

2 – Para os subconjuntos M e N de U, temos:

M  N representa o conjunto dos animais mamíferos e marinhos.

M  N representa o conjunto dos animais mamíferos ou marinhos.

M - N representa o conjunto dos animais mamíferos e não marinhos.

N – M representa o conjunto dos animais marinhos e não mamíferos.

M representa o conjunto dos animais não mamíferos.

N representa o conjunto dos animais não marinhos.

M  N representa o conjunto dos animais não mamíferos e não marinhos.

M  N representa o conjunto dos animais não mamíferos ou não marinhos.

(10)

3- Resolução:

(11)

(12)

e)

(13)

Exercícios propostos

1.

Obs.:

Escola E = Curso de Ciências da Computação

(14)

Resolução:

a) A – B é o conjunto dos alunos do curso de Ciências da Computação que são homens e não usam óculos.

b) B – A é o conjunto dos alunos do curso de Ciências da Computação que usam óculos , mas não são homens.

c) A  B é o conjunto dos alunos do curso de Ciências da Computação que são homens e usam óculos.

d) A  B é o conjunto dos alunos do curso de Ciências da Computação que são homens ou usam óculos.

e) A é o conjunto dos alunos do curso de Ciências da Computação que não são homens.

f) B é o conjunto dos alunos do curso de Ciências da Computação que não usam óculos.

g) (A  B) é o conjunto dos alunos do curso de Ciências da Computação que não são homens e não usam óculos.

h) (A  B) é o conjunto dos alunos do curso de Ciências da Computação que não são homens ou não usam óculos.

(15)

2.

Respostas:

a) V b) V c) F d) V

(16)

3.

Respostas:

a) V b) F c) V d) V e) V f) F

(17)

4.

(18)

Respostas:

a) I: A–(BC) II: (AB)-C III: B–(AC) IV: (AC)-B V: ABC VI: (BC)-A VII: C–(AB) VIII: (ABC)

(19)

Respostas:

a) = b)  c)  d) = e)  f)  g)  h)  i) = 5.

(20)

Testes

(21)

(22)

Desafio:

(23)

(24)

(25)

(26)