Diz-se que f ´e cont´ınua em z0

Diz-se quef ´e cont´ınua emz₀se existir (e for finito) lim

z→z0

f(z) e for igual af(z0),

(ou seja, para

f(x+iy) =u(x,y) +i v(x,y), comx,y,u(x,y),v(x,y)∈R, f(z) ´e cont´ınua emz₀=x₀+iy₀

se e s´o seu(x,y) ev(x,y) s˜ao cont´ınuas em (x0,y0))

Assim, sabemos que as fun¸c˜oesc (constante),z ee^z s˜ao cont´ınuas emC Somas, produtos, quocientes e compostas de fun¸c˜oes cont´ınuas s˜ao cont´ınuas no seu dom´ınio.

Portanto os polin´omios, fun¸c˜oes racionais, sinz e cosz s˜ao tamb´em cont´ınuas no seu dom´ınio

Exerc´ıcios:

1. Determine todos os pontos onde a fun¸c˜aoArg z ´e cont´ınua 2. Determine todos os pontos onde a fun¸c˜aoLog z ´e cont´ınua

Derivadas de fun¸c˜oes complexas de vari´avel complexa

f :A⊆C−→Cdiz-sediferenci´avel emz ∈Ase existir (e for finito)

z→zlim₀

f(z)−f(z0)

z−z₀ = lim

C3h→0

f(z0+h)−f(z0) h

Nesse caso representa-se esse limite porf⁰(z₀), a “derivada de f emz₀”.

f diz-seanal´ıtica (ou holomorfa) em z₀ se for diferenci´avel nalgum disco aberto de centroz0.

f diz-seanal´ıtica numa regi˜aose for diferenci´avel em todos os pontos dessa regi˜ao. (Umaregi˜ao´e um subconjunto aberto e conexo deC.)

S´o pode existir lim

h→0

f(z+h)−f(z)

h se lim

h→0 f(z+h)−f(z)

= 0, ou seja,toda a fun¸c˜ao diferenci´avel emz ´e cont´ınua emz

(mash´a fun¸c˜oes cont´ınuas que n˜ao s˜ao diferenci´aveis).

Regras de deriva¸c˜ao

Tal como para as fun¸c˜oes reais de vari´avel real, pode provar-se que, caso f eg sejam diferenci´aveis emz, tamb´em(f +g),fg, f

g (casog(z)6= 0) e(g◦f)s˜ao diferenci´aveis emz, sendo

1) (f +g)⁰(z) =f⁰(z) +g⁰(z)

2) (cf)⁰(z) =cf⁰(z) (parac constante complexa) 3) (fg)⁰(z) =f⁰(z)g(z) +f(z)g⁰(z)

4) f

g 0

(z) =f⁰(z)g(z)−f(z)g⁰(z) (g(z))²

5) (g◦f)⁰ = (g⁰◦f)×f⁰ ou seja,

g(f(z))⁰

=f⁰(z)g⁰(f(z))

1) (f +g)⁰(z) =f⁰(z) +g⁰(z)

2) (cf)⁰(z) =cf⁰(z) (parac constante complexa) 3) (fg)⁰(z) =f⁰(z)g(z) +f(z)g⁰(z)

4) f

g ⁰

(z) =f⁰(z)g(z)−f(z)g⁰(z) (g(z))²

5) (g◦f)⁰ = (g⁰◦f)×f⁰ ou seja,

g(f(z))0

=f⁰(z)g⁰(f(z)) Usando a defini¸c˜ao para concluir que (c)⁰ = 0 e (z)⁰= 1 e aplicando estas regras, podemos derivar qualquer fun¸c˜ao racional

Exerc´ıcio:

Tamb´em existe uma “Regra de Cauchy” para fun¸c˜oes complexas:

Sef(z₀) = 0 eg(z₀) = 0, comf eg diferenci´aveis emz₀, eg⁰(z₀)6= 0, ent˜ao

z→zlim0

f(z)

g(z) = f⁰(z₀) g⁰(z0) pois nesse caso

zlim→z₀

f(z)−f(z0) z−z0

g(z)−g(z0) z−z0

= lim

z→z₀

f(z)−0 z−z0

g(z)−0 z−z0

= lim

z→z₀

f(z) g(z)

Condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann

z→zlim0

f(z) =w₀significa quef(z) se aproxima dew₀quandoz se aproxima dez₀,independentemente da traject´oria percorrida porz nessa aproxima¸c˜ao

Ou seja,sef(z) tender para valores diferentes quandoz se aproxima de z0por diferentes traject´orias, ´e porque n˜ao existe lim

z→z0

f(z)

Para existirf⁰(z) ´e necess´ario que f(z +h)−f(z)

h tenda sempre para o mesmo valor (que ser´af⁰(z))independentemente da forma comoh∈C se aproxima de 0,ou seja, ´e necess´ario que:

lim

R3hx→0

f(z +hx)−f(z) hx

= lim

R3hy→0

f(z+ihy)−f(z) ihy

Sejaf uma fun¸c˜ao definida porf(z) =f(x+iy) =u(x,y) +iv(x,y) 1) Sef tiver derivada emz =x+iy ent˜ao existem as derivadas parciais deuev e tem-se

∂u

∂x = ∂v

∂y e ∂v

∂x =−∂u

∂y (sendof⁰(z) = ∂u

∂x +i∂v

∂x = ∂v

∂y −i∂u

∂y) 2) Se as derivadas parciais deuev existirem e forem cont´ınuas numa bola aberta centrada emz e verificarem (emz)

∂u

∂x = ∂v

∂y e ∂v

∂x =−∂u

∂y,

ent˜aof ´e diferenci´avel emz e tem-sef⁰(x+iy) =ux(x,y) +ivx(x,y) Exerc´ıcios:

1. Calcular as derivadas dee^z,e^iz,e^−iz, sinz, cosz

2. Usando a derivada dee^z, a regra para a derivada da fun¸c˜ao composta e a identidadee^{Log z} =z, calcular (onde existir) a derivada deLog z

Algumas consequˆencias das condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann:

1) Sef =u+iv n˜ao verificar as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann num certo ponto, podemos concluir que n˜ao tem derivada nesse ponto.

2)Sef⁰(z) ´e sempre igual a zero numa regi˜aoA, ent˜aof ´e constante em A

(poisf⁰(z) =∂u

∂x +i∂v

∂x =∂v

∂y −i∂u

∂y, logo 0 = ∂u

∂x =∂v

∂x = ∂v

∂y = ∂u

∂y).

3) Sef ´e diferenci´avel numa regi˜aoAeRe(f) =u(x,y) ´e constante em Aent˜aof ´e constante emA

(pois nesse casof⁰(z) =∂u

∂x+i∂v

∂x = ∂u

∂x−i∂u

∂y ser´a igual a zero emA).

?











∂u

∂x = ^∂v_∂y

∂v

∂x = −^∂u_∂y

Exerc´ıcios:

A fun¸c˜ao logaritmo principal ´e diferenci´avel em nz ∈C: Im z 6= 0 ou Re z >0o

e a´ı tem-se (Logz)⁰= 1 z Exerc´ıcio:

Condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann em coordenadas polares

Suponhamos quef ´e uma fun¸c˜aodiferenci´aveldefinida por

f(z) =f(r e^iθ) =u(r, θ)+iv(r, θ) =U(rcosθ,rsinθ)+iV(rcosθ,rsinθ)

Da Regra da Cadeia resulta

"

∂u

∂r 1 r

∂u

∂θ

#

=

"

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

# "_∂U

∂x

∂U

∂y

# e

"

∂v

∂r 1 r

∂v

∂θ

#

=

"

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

# "_∂V

∂x

∂V

∂y

#

Como as duas colunas da matriz

"

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

#

s˜ao as imagens dos vetores da base can´onica por uma rota¸c˜ao de−θradianos tem-se

∂u

∂r +i1 r

∂u

∂θ =e^−iθ ∂U

∂x +i∂U

∂y

e ∂v

∂r +i1 r

∂v

∂θ =e^−iθ ∂V

∂x +i∂V

∂y

ComoU eV verificam as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann tem-se

∂u

∂r+i1 r

∂u

∂θ =e^−iθ ∂U

∂x +i∂U

∂y

e ∂v

∂r+i1 r

∂v

∂θ =e^−iθ

−∂U

∂y +i∂U

∂x

ou, multiplicando ambos os membros da segunda equa¸c˜ao por−i,

∂u

∂r+i1 r

∂u

∂θ =e^−iθ ∂U

∂x +i∂U

∂y

e −i∂v

∂r+1 r

∂v

∂θ =e^−iθ

i∂U

∂y +∂U

∂x

Assim, ∂u

∂r = 1 r

∂v

∂θ e ∂v

∂r =−1 r

∂u

∂θ

Al´em disso,f⁰(z) = ^∂U_∂x +i^∂V_∂x = ^∂U_∂x +i^∂U_∂y

= e^{iθ ∂u}_∂r +i¹_r ^∂u_∂θ

= e^{−iθ ∂u}_∂r +i^∂v_∂r

Prov´amos:

1) Sef tiver derivada emz =rcosθ+r i sinθ6= 0ent˜ao existem as derivadas parciais deuev e tem-se

∂u

∂r = 1 r

∂v

∂θ e ∂v

∂r =−1 r

∂u

∂θ sendof⁰(z) =e^−iθ ∂u

∂r +i∂v

∂r

Tamb´em ´e verdade (mas n˜ao vamos provar):

2) Se as derivadas parciais deuev existirem e forem cont´ınuasnuma bola aberta centrada emz 6= 0 e verificarem (emz)

∂u

∂r =1 r

∂v

∂θ e ∂v

∂r =−1 r

∂u

∂θ ent˜aof ´e diferenci´avel (ou “holomorfa”) emz e tem-se

f⁰(z) =e^−iθ ∂u

∂r +i∂v

∂r

2) Se as derivadas parciais deuev existirem e forem cont´ınuasnuma bola aberta centrada emz 6= 0 e verificarem (emz)

∂u

∂r =1 r

∂v

∂θ e ∂v

∂r =−1 r

∂u

∂θ ent˜aof ´e diferenci´avel (ou “holomorfa”) emz e tem-se

f⁰(z) =e^−iθ ∂u

∂r +i∂v

∂r

Exerc´ıcio:

f(z) =u(z) +iv(z), comu ev reais e com derivadas parciais cont´ınuas

Se











∂u

∂x = ^∂v_∂y

∂v

∂x = −^∂u_∂y

Se







∂u

∂r = ¹_r ^∂v_∂θ

∂v

∂r = −¹_r ^∂u_∂θ f⁰(z) = ^∂u_∂x +i^∂v_∂x f ⁰(z) =e^{−iθ ∂u}_∂r +i^∂v_∂r

Exerc´ıcio:

Mostre que

(a)f(x+iy) = (2xy−y) +i(x−x²+y²) ´e anal´ıtica emC e calculef⁰(x+iy)

(b)f(|z|e^iArgz) =e^−Argzcos(ln|z|) +ie^−Argzsin(ln|z|)

´

e anal´ıtica em {z ∈C: z 6= 0 e Argz 6=π} e calculef⁰(|z|e^iArgz)

S´eries num´ericas e s´eries de potˆencias

Dada umasucess˜aode n´umeros complexos, (zn) = (z1,z2,z3, . . .), chamamoss´erie(num´erica) a uma express˜ao do tipo

z1+z2+z3+. . .+zn+. . .(ou

∞

X

n=1

zn) Soma parcialda s´erie ´e um termo da sucess˜ao definida por sn=z1+z2+z3+. . .+zn

Aten¸c˜ao: as sucess˜oes (zn) e (sn) s˜ao diferentes!

A s´erie diz-se “convergente” quando(sn)´e convergente. Nesse caso chama-se “soma da s´erie” ao lim

n→∞sne escreve-se

∞

X

n=1

z_n=s em vez de lim

n→∞s_n=s

“S´erie geom´etrica” ´e qualquer s´erie em que o quociente (ou “raz˜ao”) de dois termos consecutivos ´e sempre igual, ou seja,zn=z1rⁿ⁻¹

∞

X

n=1

z1rⁿ⁻¹converge se e s´o se|r|<1

sendo nesse caso

∞

X

n=1

z₁rⁿ⁻¹= z1

1−r, ou seja,

A soma da s´erie geom´etrica (com|raz˜ao|<1) ´e: primeiro termo 1−raz˜ao

Exerc´ıcio:

I Se

∞

X

n=1

z_nfor convergente ent˜ao limz_n= 0 (mas pode acontecer que limzn= 0 e

∞

X

n=1

zn seja divergente)

I Se

∞

X

n=1

|zn|for convergente ent˜ao

∞

X

n=1

znser´a convergente

I Se limpⁿ

|zn|=L<1 ent˜ao a s´erieX

|zn|´e convergente.

Se limpⁿ

|zn|=L>1 ou limpⁿ

|zn|= +∞

ent˜ao a s´erieX

zn´e divergente.

I Se lim|zn+1|

|zn| =L<1 ent˜ao a s´erieX

|zn|´e convergente.

Se lim|zn+1|

|zn| =L>1 ou lim|zn+1|

|zn| = +∞

ent˜ao a s´erieX

zn´e divergente.

Umas´erie de potˆencias´e uma express˜ao da forma

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ=a0+a1(z −z0) +a2(z−z0)²+· · ·

ondez0e (an)n∈Ns˜ao n´umeros complexos previamente definidos.

Se na s´erie de potˆencias substituirmosz por um n´umerocomplexo obteremos uma s´erieconvergente ou divergente, dependendo do valor de z.

Uma s´erie de potˆencias define assim uma fun¸c˜ao complexa de vari´avel complexa(cujo dom´ınio ter´a pelo menos um elemento: z =z0).

Para cada s´erie de potˆencias,

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ, estaremos numa das trˆes situa¸c˜oes seguintes:

I A s´erie converge s´o sez =z0

I A s´erie converge para qualquerz ∈C

I ExisteR>0 tal que

a s´erie converge para|z−z₀|<Re diverge para |z−z₀|>R No terceiro caso chama-se aR raio de convergˆencia da s´erieque geralmente se podedeterminar por aplica¸c˜ao do crit´erio da raz˜ao ou do crit´erio da raiz

Exerc´ıcio:

Oraio de convergˆencia da s´erie de potˆenciaspode geralmente

determinar-se por aplica¸c˜ao do crit´erio da raz˜ao ou do crit´erio da raiz:

R= lim 1 pn

|an| ou R= lim |an|

|an+1|, se algum destes existir Exerc´ıcios:

Teorema: seja

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ uma s´erie de potˆencias com raio de convergˆenciaR>0 e sejaf a fun¸c˜ao definida porf(z) =

∞

X

n=0

a_n(z −z₀)ⁿ (emD={z : |z−z0|<R})

Ent˜ao

1) A deriva¸c˜ao termo a termo conserva o raio de convergˆencia.

2) A fun¸c˜aof ´e anal´ıtica emD ef⁰(z) =

∞

X

n=1

nan(z−z0)ⁿ⁻¹

Exerc´ıcio: