Diz-se quef ´e cont´ınua emz0se existir (e for finito) lim
z→z0
f(z) e for igual af(z0),
(ou seja, para
f(x+iy) =u(x,y) +i v(x,y), comx,y,u(x,y),v(x,y)∈R, f(z) ´e cont´ınua emz0=x0+iy0
se e s´o seu(x,y) ev(x,y) s˜ao cont´ınuas em (x0,y0))
Assim, sabemos que as fun¸c˜oesc (constante),z eez s˜ao cont´ınuas emC Somas, produtos, quocientes e compostas de fun¸c˜oes cont´ınuas s˜ao cont´ınuas no seu dom´ınio.
Portanto os polin´omios, fun¸c˜oes racionais, sinz e cosz s˜ao tamb´em cont´ınuas no seu dom´ınio
Exerc´ıcios:
1. Determine todos os pontos onde a fun¸c˜aoArg z ´e cont´ınua 2. Determine todos os pontos onde a fun¸c˜aoLog z ´e cont´ınua
Derivadas de fun¸c˜oes complexas de vari´avel complexa
f :A⊆C−→Cdiz-sediferenci´avel emz ∈Ase existir (e for finito)
z→zlim0
f(z)−f(z0)
z−z0 = lim
C3h→0
f(z0+h)−f(z0) h
Nesse caso representa-se esse limite porf0(z0), a “derivada de f emz0”.
f diz-seanal´ıtica (ou holomorfa) em z0 se for diferenci´avel nalgum disco aberto de centroz0.
f diz-seanal´ıtica numa regi˜aose for diferenci´avel em todos os pontos dessa regi˜ao. (Umaregi˜ao´e um subconjunto aberto e conexo deC.)
S´o pode existir lim
h→0
f(z+h)−f(z)
h se lim
h→0 f(z+h)−f(z)
= 0, ou seja,toda a fun¸c˜ao diferenci´avel emz ´e cont´ınua emz
(mash´a fun¸c˜oes cont´ınuas que n˜ao s˜ao diferenci´aveis).
Regras de deriva¸c˜ao
Tal como para as fun¸c˜oes reais de vari´avel real, pode provar-se que, caso f eg sejam diferenci´aveis emz, tamb´em(f +g),fg, f
g (casog(z)6= 0) e(g◦f)s˜ao diferenci´aveis emz, sendo
1) (f +g)0(z) =f0(z) +g0(z)
2) (cf)0(z) =cf0(z) (parac constante complexa) 3) (fg)0(z) =f0(z)g(z) +f(z)g0(z)
4) f
g 0
(z) =f0(z)g(z)−f(z)g0(z) (g(z))2
5) (g◦f)0 = (g0◦f)×f0 ou seja,
g(f(z))0
=f0(z)g0(f(z))
1) (f +g)0(z) =f0(z) +g0(z)
2) (cf)0(z) =cf0(z) (parac constante complexa) 3) (fg)0(z) =f0(z)g(z) +f(z)g0(z)
4) f
g 0
(z) =f0(z)g(z)−f(z)g0(z) (g(z))2
5) (g◦f)0 = (g0◦f)×f0 ou seja,
g(f(z))0
=f0(z)g0(f(z)) Usando a defini¸c˜ao para concluir que (c)0 = 0 e (z)0= 1 e aplicando estas regras, podemos derivar qualquer fun¸c˜ao racional
Exerc´ıcio:
Tamb´em existe uma “Regra de Cauchy” para fun¸c˜oes complexas:
Sef(z0) = 0 eg(z0) = 0, comf eg diferenci´aveis emz0, eg0(z0)6= 0, ent˜ao
z→zlim0
f(z)
g(z) = f0(z0) g0(z0) pois nesse caso
zlim→z0
f(z)−f(z0) z−z0
g(z)−g(z0) z−z0
= lim
z→z0
f(z)−0 z−z0
g(z)−0 z−z0
= lim
z→z0
f(z) g(z)
Condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann
z→zlim0
f(z) =w0significa quef(z) se aproxima dew0quandoz se aproxima dez0,independentemente da traject´oria percorrida porz nessa aproxima¸c˜ao
Ou seja,sef(z) tender para valores diferentes quandoz se aproxima de z0por diferentes traject´orias, ´e porque n˜ao existe lim
z→z0
f(z)
Para existirf0(z) ´e necess´ario que f(z +h)−f(z)
h tenda sempre para o mesmo valor (que ser´af0(z))independentemente da forma comoh∈C se aproxima de 0,ou seja, ´e necess´ario que:
lim
R3hx→0
f(z +hx)−f(z) hx
= lim
R3hy→0
f(z+ihy)−f(z) ihy
Sejaf uma fun¸c˜ao definida porf(z) =f(x+iy) =u(x,y) +iv(x,y) 1) Sef tiver derivada emz =x+iy ent˜ao existem as derivadas parciais deuev e tem-se
∂u
∂x = ∂v
∂y e ∂v
∂x =−∂u
∂y (sendof0(z) = ∂u
∂x +i∂v
∂x = ∂v
∂y −i∂u
∂y) 2) Se as derivadas parciais deuev existirem e forem cont´ınuas numa bola aberta centrada emz e verificarem (emz)
∂u
∂x = ∂v
∂y e ∂v
∂x =−∂u
∂y,
ent˜aof ´e diferenci´avel emz e tem-sef0(x+iy) =ux(x,y) +ivx(x,y) Exerc´ıcios:
1. Calcular as derivadas deez,eiz,e−iz, sinz, cosz
2. Usando a derivada deez, a regra para a derivada da fun¸c˜ao composta e a identidadeeLog z =z, calcular (onde existir) a derivada deLog z
Algumas consequˆencias das condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann:
1) Sef =u+iv n˜ao verificar as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann num certo ponto, podemos concluir que n˜ao tem derivada nesse ponto.
2)Sef0(z) ´e sempre igual a zero numa regi˜aoA, ent˜aof ´e constante em A
(poisf0(z) =∂u
∂x +i∂v
∂x =∂v
∂y −i∂u
∂y, logo 0 = ∂u
∂x =∂v
∂x = ∂v
∂y = ∂u
∂y).
3) Sef ´e diferenci´avel numa regi˜aoAeRe(f) =u(x,y) ´e constante em Aent˜aof ´e constante emA
(pois nesse casof0(z) =∂u
∂x+i∂v
∂x = ∂u
∂x−i∂u
∂y ser´a igual a zero emA).
?
∂u
∂x = ∂v∂y
∂v
∂x = −∂u∂y
Exerc´ıcios:
A fun¸c˜ao logaritmo principal ´e diferenci´avel em nz ∈C: Im z 6= 0 ou Re z >0o
e a´ı tem-se (Logz)0= 1 z Exerc´ıcio:
Condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann em coordenadas polares
Suponhamos quef ´e uma fun¸c˜aodiferenci´aveldefinida por
f(z) =f(r eiθ) =u(r, θ)+iv(r, θ) =U(rcosθ,rsinθ)+iV(rcosθ,rsinθ)
Da Regra da Cadeia resulta
"
∂u
∂r 1 r
∂u
∂θ
#
=
"
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
# "∂U
∂x
∂U
∂y
# e
"
∂v
∂r 1 r
∂v
∂θ
#
=
"
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
# "∂V
∂x
∂V
∂y
#
Como as duas colunas da matriz
"
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
#
s˜ao as imagens dos vetores da base can´onica por uma rota¸c˜ao de−θradianos tem-se
∂u
∂r +i1 r
∂u
∂θ =e−iθ ∂U
∂x +i∂U
∂y
e ∂v
∂r +i1 r
∂v
∂θ =e−iθ ∂V
∂x +i∂V
∂y
ComoU eV verificam as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann tem-se
∂u
∂r+i1 r
∂u
∂θ =e−iθ ∂U
∂x +i∂U
∂y
e ∂v
∂r+i1 r
∂v
∂θ =e−iθ
−∂U
∂y +i∂U
∂x
ou, multiplicando ambos os membros da segunda equa¸c˜ao por−i,
∂u
∂r+i1 r
∂u
∂θ =e−iθ ∂U
∂x +i∂U
∂y
e −i∂v
∂r+1 r
∂v
∂θ =e−iθ
i∂U
∂y +∂U
∂x
Assim, ∂u
∂r = 1 r
∂v
∂θ e ∂v
∂r =−1 r
∂u
∂θ
Al´em disso,f0(z) = ∂U∂x +i∂V∂x = ∂U∂x +i∂U∂y
= eiθ ∂u∂r +i1r ∂u∂θ
= e−iθ ∂u∂r +i∂v∂r
Prov´amos:
1) Sef tiver derivada emz =rcosθ+r i sinθ6= 0ent˜ao existem as derivadas parciais deuev e tem-se
∂u
∂r = 1 r
∂v
∂θ e ∂v
∂r =−1 r
∂u
∂θ sendof0(z) =e−iθ ∂u
∂r +i∂v
∂r
Tamb´em ´e verdade (mas n˜ao vamos provar):
2) Se as derivadas parciais deuev existirem e forem cont´ınuasnuma bola aberta centrada emz 6= 0 e verificarem (emz)
∂u
∂r =1 r
∂v
∂θ e ∂v
∂r =−1 r
∂u
∂θ ent˜aof ´e diferenci´avel (ou “holomorfa”) emz e tem-se
f0(z) =e−iθ ∂u
∂r +i∂v
∂r
2) Se as derivadas parciais deuev existirem e forem cont´ınuasnuma bola aberta centrada emz 6= 0 e verificarem (emz)
∂u
∂r =1 r
∂v
∂θ e ∂v
∂r =−1 r
∂u
∂θ ent˜aof ´e diferenci´avel (ou “holomorfa”) emz e tem-se
f0(z) =e−iθ ∂u
∂r +i∂v
∂r
Exerc´ıcio:
f(z) =u(z) +iv(z), comu ev reais e com derivadas parciais cont´ınuas
Se
∂u
∂x = ∂v∂y
∂v
∂x = −∂u∂y
Se
∂u
∂r = 1r ∂v∂θ
∂v
∂r = −1r ∂u∂θ f0(z) = ∂u∂x +i∂v∂x f 0(z) =e−iθ ∂u∂r +i∂v∂r
Exerc´ıcio:
Mostre que
(a)f(x+iy) = (2xy−y) +i(x−x2+y2) ´e anal´ıtica emC e calculef0(x+iy)
(b)f(|z|eiArgz) =e−Argzcos(ln|z|) +ie−Argzsin(ln|z|)
´
e anal´ıtica em {z ∈C: z 6= 0 e Argz 6=π} e calculef0(|z|eiArgz)
S´eries num´ericas e s´eries de potˆencias
Dada umasucess˜aode n´umeros complexos, (zn) = (z1,z2,z3, . . .), chamamoss´erie(num´erica) a uma express˜ao do tipo
z1+z2+z3+. . .+zn+. . .(ou
∞
X
n=1
zn) Soma parcialda s´erie ´e um termo da sucess˜ao definida por sn=z1+z2+z3+. . .+zn
Aten¸c˜ao: as sucess˜oes (zn) e (sn) s˜ao diferentes!
A s´erie diz-se “convergente” quando(sn)´e convergente. Nesse caso chama-se “soma da s´erie” ao lim
n→∞sne escreve-se
∞
X
n=1
zn=s em vez de lim
n→∞sn=s
“S´erie geom´etrica” ´e qualquer s´erie em que o quociente (ou “raz˜ao”) de dois termos consecutivos ´e sempre igual, ou seja,zn=z1rn−1
∞
X
n=1
z1rn−1converge se e s´o se|r|<1
sendo nesse caso
∞
X
n=1
z1rn−1= z1
1−r, ou seja,
A soma da s´erie geom´etrica (com|raz˜ao|<1) ´e: primeiro termo 1−raz˜ao
Exerc´ıcio:
I Se
∞
X
n=1
znfor convergente ent˜ao limzn= 0 (mas pode acontecer que limzn= 0 e
∞
X
n=1
zn seja divergente)
I Se
∞
X
n=1
|zn|for convergente ent˜ao
∞
X
n=1
znser´a convergente
I Se limpn
|zn|=L<1 ent˜ao a s´erieX
|zn|´e convergente.
Se limpn
|zn|=L>1 ou limpn
|zn|= +∞
ent˜ao a s´erieX
zn´e divergente.
I Se lim|zn+1|
|zn| =L<1 ent˜ao a s´erieX
|zn|´e convergente.
Se lim|zn+1|
|zn| =L>1 ou lim|zn+1|
|zn| = +∞
ent˜ao a s´erieX
zn´e divergente.
Umas´erie de potˆencias´e uma express˜ao da forma
∞
X
n=0
an(z−z0)n=a0+a1(z −z0) +a2(z−z0)2+· · ·
ondez0e (an)n∈Ns˜ao n´umeros complexos previamente definidos.
Se na s´erie de potˆencias substituirmosz por um n´umerocomplexo obteremos uma s´erieconvergente ou divergente, dependendo do valor de z.
Uma s´erie de potˆencias define assim uma fun¸c˜ao complexa de vari´avel complexa(cujo dom´ınio ter´a pelo menos um elemento: z =z0).
Para cada s´erie de potˆencias,
∞
X
n=0
an(z−z0)n, estaremos numa das trˆes situa¸c˜oes seguintes:
I A s´erie converge s´o sez =z0
I A s´erie converge para qualquerz ∈C
I ExisteR>0 tal que
a s´erie converge para|z−z0|<Re diverge para |z−z0|>R No terceiro caso chama-se aR raio de convergˆencia da s´erieque geralmente se podedeterminar por aplica¸c˜ao do crit´erio da raz˜ao ou do crit´erio da raiz
Exerc´ıcio:
Oraio de convergˆencia da s´erie de potˆenciaspode geralmente
determinar-se por aplica¸c˜ao do crit´erio da raz˜ao ou do crit´erio da raiz:
R= lim 1 pn
|an| ou R= lim |an|
|an+1|, se algum destes existir Exerc´ıcios:
Teorema: seja
∞
X
n=0
an(z−z0)n uma s´erie de potˆencias com raio de convergˆenciaR>0 e sejaf a fun¸c˜ao definida porf(z) =
∞
X
n=0
an(z −z0)n (emD={z : |z−z0|<R})
Ent˜ao
1) A deriva¸c˜ao termo a termo conserva o raio de convergˆencia.
2) A fun¸c˜aof ´e anal´ıtica emD ef0(z) =
∞
X
n=1
nan(z−z0)n−1
Exerc´ıcio: