AULA 7 – Estimativa da média aritmética e da proporção - Parte 1
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
ESTATÍSTICA PARA ADMINISTRAÇÃO
ESTIMATIVA: DE PONTO E DE INTERVALOS
Estimativa
A atribuição de um valor, ou valores, a um parâmetro de uma população, com base em um valor da estatística correspondente da amostra, é chamada de estimativa.
População ou População-alvo
Amostra
População ou População-alvo
Censo
Doce: 70%
Salgado: 30%
Pesquisa por amostragem Doce: 66%
Salgado: 33%
Inferência
ESTIMATIVA: DE PONTO E DE INTERVALOS
Estimativa e estimador
O valor, ou valores, atribuído(s) a um parâmetro da população, com base no valor de uma estatística da amostra, é chamado de estimativa. A estatística da amostra, utilizada para estimar um parâmetro da população, é chamada de estimador.
̅
Estimativa Estimador
Parâmetro
µ
ESTIMATIVA: DE PONTO E DE INTERVALOS
Estimativa de ponto
O valor de uma estatística da amostra, que é utilizado para estimar um parâmetro da população, é chamado de estimativa de ponto.
Margem de erro
É associada à estimativa de ponto. Para a média aritmética da população, usa-se o desvio-padrão da amostra(s ̅ estimador de σ ̅): ±1,96σ ̅ ou ±1,96s ̅ .
Muda com a amostra
AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Para uma amostra de tamanho suficientemente grande (n ≥ 30), a distribuição de amostragem de é aproximadamente normal, independentemente do formato da distribuição da população. A média aritmética e o desvio-padrão da distribuição de amostragem são:
n = 4 n = 15 n = 30
µ
̅µ σ
̅EXEMPLO 1:
Uma empresa deseja lançar um novo produto, mas antes de decidir o preço, deseja conhecer o preço médio de todos os produtos desse tipo existentes no mercado. Para uma amostra de 36 produtos similares obteve-se preço médio de R$ 70,5 e desvio-padrão de R$ 4,5 para todos os produtos. Qual a estimativa de ponto da média de preço e sua margem de erro?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
EXEMPLO 1:
Uma empresa deseja lançar um novo produto, mas antes de decidir o preço, deseja conhecer o preço médio de todos os produtos desse tipo existentes no mercado. Para uma amostra de 36 produtos similares obteve-se preço médio de R$ 70,5 e desvio-padrão de R$ 4,5 para todos os produtos. Qual a estimativa de ponto da média de preço e sua margem de erro?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
n = 36 = 70,5 = 4,5 σ ̅ 4,5
,
µ ̅ µ = 70,5 Dados
Desvio-padrão amostral
Estimativa de ponto da média amostral
Margem de erro ±1,96σ ̅ = ±1,96(0,75)= ±1,47
EXERCÍCIO 1:
Uma empresa deseja lançar um novo produto, mas antes de decidir o preço, deseja conhecer o preço médio de todos os produtos desse tipo existentes no mercado. Para uma amostra de 30 produtos similares obteve-se preço médio de R$ 70,5 e desvio-padrão de R$ 4,5 para todos os produtos. Qual a estimativa de ponto da média de preço e sua margem de erro?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
EXERCÍCIO 1:
Uma empresa deseja lançar um novo produto, mas antes de decidir o preço, deseja conhecer o preço médio de todos os produtos desse tipo existentes no mercado. Para uma amostra de 30 produtos similares obteve-se preço médio de R$ 70,5 e desvio-padrão de R$ 4,5 para todos os produtos. Qual a estimativa de ponto da média de preço e sua margem de erro?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
n = 30 = 70,5 = 4,5 σ ̅ 4,5
,
µ ̅ µ = 70,5 Dados
Desvio-padrão amostral
Estimativa de ponto da média amostral
Margem de erro ±1,96σ ̅ = ±1,96(0,82)= ±1,61
ESTIMATIVA: DE PONTO E DE INTERVALOS
Estimativa de intervalo
Um intervalo é construído em torno da estimativa de ponto, e é afirmado que esse intervalo é passível de conter o parâmetro correspondente.
a=1130 b=1610 x
µ
Limite inferior Limite superior
Intervalo
A determinação do intervalo é relacionada a um nível de confiança. Assim, obtém-se o chamado intervalo de confiança (IC). O nível de confiança está relacionado com a confiança de que o verdadeiro parâmetro da população esteja no intervalo.
ESTIMATIVA: DE PONTO E DE INTERVALOS
Nível de confiança
O nível de confiança é expresso por (1-α)100% e representa a porcentagem de intervalos que iriam incluir o parâmetro populacional se você reunisse amostras da mesma população, repetidas vezes.
µ
a b x
Intervalo
Nível de confiança: 90%
9/10 intervalos contém µ
ESTIMATIVA: DE PONTO E DE INTERVALOS
Coeficiente de confiança e nível de significância
O coeficiente de confiança é expresso por (1-α) e o nível de significância é α, tal que o nível de confiança correspondente é (1-α)100%.
µ
Nível de confiança: 90%
9/10 intervalos contém µ
Coeficiente de confiança (1-α): 0,90
Nível de significância(α): 0,10
AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Para uma amostra de tamanho suficientemente grande (n ≥ 30), a distribuição de amostragem de é aproximadamente normal, independentemente do formato da distribuição da população. A média aritmética e o desvio-padrão da distribuição de amostragem são:
n = 4 n = 15 n = 30
µ
̅µ σ
̅Portanto, quando o tamanho da amostra n ≥ 30, usa-se a distribuição Normal para obter um IC para µ.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA µ PARA GRANDES AMOSTRAS
O intervalo de confiança para µ com nível de confiança (1-α)100% é:
± zσ ̅ se σ é conhecido
± zs
̅ caso contrário
Onde: σ ̅ ⁄ (σ desvio-padrão da população) e s ̅ s⁄
(s desvio-padrão da amostra).
O valor de z, aqui utilizado, é lido a partir da tabela de distribuição normal padronizada para o nível de confiança especificado.
EXEMPLO 2:
Encontrar o valor de z para intervalo de confiança de 95%.
0 1 z
-z’ -1
µ
z’ tal que α/2 = 2,5%
dos valores é z>z’
z’ tal que α/2 = 2,5%
dos valores é z<-z’
0 z
-z
µ
47,5% dos valores tais que 0 < z < z’
47,5% dos valores tais que -z’< z < 0
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
z
Nível de confiança (1 - α) 100%
Nível de confiança 95%
EXEMPLO 2:
Encontrar o valor de z’ tal que a área sob a curva da normal padronizada entre 0 e z’ seja 0,475: P(0≤z≤z’)=0,475.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES
Portanto z’ = 1,96
EXEMPLO 3:
Encontrar o valor de z para intervalo de confiança de 90%.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
EXEMPLO 3:
Encontrar o valor de z para intervalo de confiança de 90%.
0 1 z
-z’ -1
µ
z’ tal que α/2 = 5%
dos valores é z>z’
z’ tal que α/2 = 5%
dos valores é z<-z’
0 z
-z
µ
45% dos valores tais que 0 < z < z’
45% dos valores tais que -z’< z < 0
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
z
Nível de confiança (1 - α) 100%
Nível de confiança 90%
EXEMPLO 3:
Encontrar o valor de z’ tal que a área sob a curva da normal padronizada entre 0 e z’ seja 0,45: P(0≤z≤z’)=0,45.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES
Portanto z’ = 1,65
EXEMPLO 4:
Uma empresa deseja lançar um novo produto, mas antes de decidir o preço, deseja conhecer o preço médio de todos os produtos desse tipo existentes no mercado. Para uma amostra de 36 produtos similares obteve-se preço médio de R$ 70,5 e desvio-padrão de R$ 4,5 para todos os produtos. Qual o IC de 90% para o preço médio?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
EXEMPLO 4:
Uma empresa deseja lançar um novo produto, mas antes de decidir o preço, deseja conhecer o preço médio de todos os produtos desse tipo existentes no mercado. Para uma amostra de 36 produtos similares obteve-se preço médio de R$ 70,5 e desvio-padrão de R$ 4,5 para todos os produtos. Qual o IC de 90% para o preço médio?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
n = 36 = 70,5 = 4,5 σ ̅ 4,5
, Dados
Desvio-padrão amostral
Intervalo de confiança com nível 90%
70,50±1,65σ ̅= 70,50±1,65(0,75)= 70,50±1,24 = [69,26; 71,74]
± zσ ̅
= 1,65
EXEMPLO 5:
Encontrar o valor de z para intervalo de confiança de 99%.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
EXEMPLO 5:
Encontrar o valor de z para intervalo de confiança de 99%.
0 1 z
-z’ -1
µ
z’ tal que α/2 = 0,5%
dos valores é z>z’
z’ tal que α/2 = 0,5%
dos valores é z<-z’
0 z
-z
µ
49,5% dos valores tais que 0 < z < z’
49,5% dos valores tais que -z’< z < 0
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
z
Nível de confiança (1 - α) 100%
Nível de confiança 99%
EXEMPLO 5:
Encontrar o valor de z’ tal que a área sob a curva da normal padronizada entre 0 e z’ seja 0,495: P(0≤z≤z’)=0,495.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES
Portanto z’ = 2,58
EXEMPLO 6:
Uma pesquisa de maio de 2002 nos EUA observou que domicílios com orçamentos deficitários tem uma dívida média de US$
15.528 com desvio-padrão de US$ 4.200 baseado em uma amostra de tamanho 400. Qual o IC de 99% para o preço médio?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
EXEMPLO 6:
Uma pesquisa de maio de 2002 nos EUA observou que domicílios com orçamentos deficitários tem uma dívida média de US$
15.528 com desvio-padrão de US$ 4.200 baseado em uma amostra de tamanho 400. Qual o IC de 99% para o preço médio?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
n = 400 = 15528 = 4200 s ̅ s
210 Dados
Desvio-padrão amostral
Intervalo de confiança com nível 99%
15528±2,58s ̅= 15528±2,58(210)= 15528±541,8 = [14986,2; 16069,8]
± zs
̅
= 2,58
AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CONFIANÇA
AMPLITUDE DE UM IC
Depende de z e n da seguinte forma:
(1)Quanto maior o nível de confiança (z), maior o IC; (2)Quanto maior o tamanho da amostra (n), menor o IC.
- z s
+ z s
0 z
-z’ µ
(1-α/2)100% dos valores tais que 0 < z < z’
(1-α/2)100 % dos valores tais que -z’< z < 0
z’
Nível de confiança (1-α)100 %
a b x
EXEMPLO 7:
Uma pesquisa de maio de 2002 nos EUA observou que domicílios com orçamentos deficitários tem uma dívida média de US$
15.528 com desvio-padrão de US$ 4.200 baseado em uma amostra de tamanho 400. Qual o IC de 90, 95 e 99% para o preço médio?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
n = 400 = 15528 = 4200 s ̅ s
Dados
Desvio-padrão amostral
± zs ̅ IC Z
90% 1,65 95% 1,96 99% 2,58
a b
EXEMPLO 7:
Uma pesquisa de maio de 2002 nos EUA observou que domicílios com orçamentos deficitários tem uma dívida média de US$
15.528 com desvio-padrão de US$ 4.200 baseado em uma amostra de tamanho 400. Qual o IC de 90, 95 e 99% para o preço médio?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
n = 400 = 15528 = 4200 s ̅ s
210 Dados
Desvio-padrão amostral
=15528±z(210)
± zs ̅ IC Z
90% 1,65 95% 1,96 99% 2,58
a b
15181,5 15874,5 15116,4 15939,6 14986,2 16069,8
EXERCÍCIO 2:
Uma pesquisa de maio de 2002 nos EUA observou que domicílios com orçamentos deficitários tem uma dívida média de US$
15.528 com desvio-padrão de US$ 4.200 baseado em uma amostra de tamanho 900. Qual o IC de 90, 95 e 99% para o preço médio?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
n = 900 = 15528 = 4200 s ̅ s
Dados
Desvio-padrão amostral
± zs ̅ IC Z
90% 1,65 95% 1,96 99% 2,58
a b
EXERCÍCIO 2:
Uma pesquisa de maio de 2002 nos EUA observou que domicílios com orçamentos deficitários tem uma dívida média de US$
15.528 com desvio-padrão de US$ 4.200 baseado em uma amostra de tamanho 900. Qual o IC de 90, 95 e 99% para o preço médio?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
n = 900 = 15528 = 4200 s ̅ s
Dados
Desvio-padrão amostral
=15528±z(140)
± zs ̅ IC Z
90% 1,65 95% 1,96 99% 2,58
a b
EXEMPLO 8:
Uma pesquisa de maio de 2002 nos EUA observou que domicílios com orçamentos deficitários tem uma dívida média de US$
15.528 com desvio-padrão de US$ 4.200. Baseado em um IC de 99%, qual o preço médio para amostras(n) de 400, 900 e 1600?
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
= 15528 = 4200 s ̅ s
Dados
Desvio-padrão amostral
=15528±2,58
± zs ̅ n
400 900 1600
a b
14986,2 16069,8 15166,8 15889,2 15257,1 15798,9
= 2,58
