Combinações de lógicas modais não-normais

(1)

Combina¸c˜

oes de L´

ogicas

Modais N˜

ao-normais

Rog´

erio Augusto dos Santos Fajardo

Dissertac

¸˜

ao apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do grau

de

Mestre em Matem´

atica

´

Area de Concentra¸c˜ao:

Matem´

atica

Orientador:

Prof. Dr. Marcelo Finger

Durante a elabora¸c˜ao deste trabalho, o autor recebeu

apoio financeiro da FAPESP (processo 02/10369-7).

(2)

(3)

Combina¸c˜

oes de L´

ogicas

Modais N˜

ao-normais

Este exemplar corresponde `a reda¸c˜ao

final da disserta¸c˜ao de mestrado devidamente

corrigida e defendida por Rog´erio Fajardo

e aprovada pela comiss˜ao julgadora.

S˜ao Paulo, setembro de 2004.

Banca examinadora:

• Prof. Dr. Marcelo Finger - IME-USP

• Profa. Dra. Maria ˆ

Angela Weiss - IME-USP

(4)

Agradecimentos

Agrade¸co aos meus pais, por toda ajuda que me deram.

Agrade¸co ao meu orientador, Prof. Marcelo Finger, pelo imenso apoio e incen-tivo que tem me dado desde os primeiros meses da Gradua¸c˜ao.

Agrade¸co `a FAPESP, pelo apoio financeiro.

Agrade¸co a todos os meus colegas, pelo companheirismo e amizade sincera em todos os momentos.

Agrade¸co a todos os professores do IME, não só pelos excelentes ensinamentos passados, mas por todo carinho e aten¸cão que nos têm concedido.

(5)

Resumo

(6)

Abstract

(7)

Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao 3

1.1 Objetivos . . . 3

1.2 L´ogica Modal Normal . . . 4

1.3 L´ogica Temporal . . . 8

2 Combina¸cões de Lógicas Modais Normais 9 2.1 Fusão de Lógicas Monomodais . . . 10

2.2 Fus˜ao de L´ogicas Modais Normais em Todos os Argumentos . . . 11

2.3 Temporaliza¸c˜ao . . . 13

2.4 Fus˜ao de L´ogicas Modais e Temporais . . . 15

2.5 No¸c˜oes de Produto de L´ogicas . . . 16

3 Lógica Modal Não-normal 17 3.1 Semântica . . . 18

3.2 Axiomatiza¸c˜ao . . . 18

3.3 Algumas Propriedades B´asicas . . . 19

3.3.1 Incompletude . . . 25

4 Algebras de Boole na L´´ ogica Modal 26 4.1 Estruturas e Modelos Gerais para L´ogica Modal . . . 26

4.2 Algebras de Boole . . . .´ 28

4.3 Teorema de Representa¸c˜ao de Stone . . . 31

4.4 Algebras de Boole com Operador . . . .´ 34

5 Modaliza¸cão Não-normal 37 5.1 Corre¸cão . . . 38

5.2 Completude . . . 38

5.3 Decidibilidade . . . 43

6 Fusão de Lógicas Modais Não-normais 44 6.1 Defini¸cões e Resultados Preliminares . . . 44

(8)

(9)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

Neste cap´ıtulo encontram-se a defini¸cão e as propriedades básicas de Lógica Modal Normal e o propósito do trabalho, que é estudar a preserva¸cão de corre¸cão e completude em combina¸cões de Lógicas Modais Não-normais.

A defini¸cão encontrada na Se¸cão 1.2 refere-se à Lógica Monomodal, isto é, que possui apenas um operador (primitivo) modal. No Cap´ıtulo 2 iremos ver uma generaliza¸cão de Lógica Modal Normal para mais de um operador, e de aridade arbitrária.

A Se¸cão 1.3 traz as defini¸cões básicas de Lógica Temporal, úteis para quando falarmos de temporaliza¸cão, no Cap´ıtulo 2.

Como referência para a Se¸cão 1.2 temos os livros básicos de Lógica Modal [BdRV01, Che80, HC96]. Para a Se¸cão 1.3 temos [GHR94].

1.1 Objetivos

Nosso objetivo é estudar as combina¸cões de sistemas de Lógica Modal, ana-lisando quando ocorre transferência de propriedades como corre¸cão, completude e decidibilidade. Isto é, dados dois sistemas de Lógica Modal,M1eM2, obtemos um sistema lógicoM, que de alguma forma combina a sintaxe (axiomatiza¸cão) e semântica deM1eM2. SeM1eM2satisfazem uma propriedadeP, queremos saber seM também a satisfaz (a isso chamamostransferência oupreserva¸cão

da propriedadeP).

Três formas de combinar Lógicas Modais1 _ser˜_{ao abordadas. Na primeira, a} mais fraca das três, um sistema é aplicado externamente a outro, não permitindo que, na linguagem, operadores da lógica externa fiquem no escopo de um ope-rador da lógica interna. Na segunda, chamada decombina¸cão independente, ou

fusão, simplesmente unimos os operadores dos dois sistemas, na linguagem, e unimos as duas axiomáticas, sem supor nenhuma intera¸cão entre os operadores de um sistema com os do outro. Finalmente, oproduto de Lógicas Modais supõe

1

(10)

alguma intera¸cão entre os operadores das duas lógicas, sendo a mais forte (isto é, com mais teoremas) das três formas de combina¸cão.

O principal objetivo de combinar sistemas lógicos é evitar que, para cada modelagem de um problema prático, seja necessário criar um novo sistema lógico exclusivo, e ter que analisar novamente as suas propriedades. A combina¸cão fornece um método sistemático de produzir novos sistemas lógicos a partir dos que já temos, e os resultados de transferências nos fornecem as propriedades que queremos sem ter que estudá-las novamente, para cada novo sistema.

A maior parte dos estudos de Lógica Modal assume o axioma K e a re-gra de inferência da Necessita¸cão, e baseia-se na semântica de Kripke, como mostraremos na se¸cão seguinte deste cap´ıtulo. A isso chamamosLógica Modal Normal. No Cap´ıtulo 3 iremos definirLógica Modal Não-normal, que generaliza a Lógica Modal Normal.

Para o caso da Lógica Modal Normal, como iremos mencionar no Cap´ıtulo 2, já foram estudadas as transferências de corre¸cão, completude e decidibilidade nas três formas de combina¸cões citadas, encontrando respostas positivas para a aplica¸cão externa e a fusão, e negativa para o produto. Nosso propósito é estudar a transferência dessas propriedades em combina¸cões de Lógicas Modais Não-normais.

1.2 L´

ogica Modal Normal

A Lógica Modal Normal baseia-se na semântica dos “mundos poss´ıveis”. Verificar se uma proposi¸cão é verdadeira ou não depende do “mundo” em que ela está sendo analisada. São acrescentados a lógica proposicional clássica, oper-adores modais de “necessidade” e “possibilidade”. Uma proposi¸cão énecessária

em um mundo se for verdadeira em todos os mundos acess´ıveis a esse. Uma proposi¸c˜ao ´eposs´ıvel em um mundo quando for verdadeira em algum mundo acess´ıvel a esse.

O alfabeto da Lógica Modal consiste nas fórmulas atômicas (ou, átomos): p, q, r, ...; os conectivos booleanos binários: ∧,∨, →,↔ ; e unário: ¬; e os op-eradores modais (unários)✷ (que significa “necessariamente”) e ✸ (“possivel-mente”); além dos delimitadores “ ( ”e “ ) ”. A linguagem é o menor conjunto

Lcontendo as fórmulas atômicas e tal que, seA, B∈ L, então as fórmulas¬A, (A∧B) e ✷A estão em L. Os conectivos ∨, → e ↔ podem ser definidos a partir de¬e∧da maneira usual (A∨B abrevia¬(¬A∧ ¬B);A→B abrevia (¬A)∨B; eA↔B indica (A→B)∧(B→A)).

Usaremos⊤para indicar constante verdadeira (p∨ ¬p) e⊥para a constante falsa (p∧ ¬p).

Semˆ

antica da L´

ogica Modal Normal

A semântica da Lógica Modal Normal é baseada no modelo de Kripke. Uma

(11)

conjunto dos “mundos poss´ıveis”, e Ré uma rela¸cão binária sobre W, isto é, R⊆W ×W.

Ummodelo sobre uma estruturahW, Ri´e uma triplahW, R, ViondehW, Ri

é uma estrutura eV :L −→2W _{é uma fun¸c˜}_{ao, chamada}_valora¸c˜_ao_{, que a cada} fórmula atômica associa um subconjunto deW, que é o conjunto de mundos em que a dada fórmula atômica é verdadeira.

Dados um elemento w∈W e uma f´ormula A, denotamoshW, R, V, wi |=A sehW, R, Visatisfaz Aem w, e definimos por:

1. Sepé atômica, hW, R, V, wi |=psse w∈V(p); 2. hW, R, V, wi |=¬Asse não ocorrehW, R, V, wi |=A;

3. hW, R, V, wi |=A∧B ssehW, R, V, wi |=AehW, R, V, wi |=B;

4. hW, R, V, wi |=✷AssehW, R, V, w′_{i |}₌_A_{, para todo}_w′_∈_W _{tal que}_wRw′

(isto ´e, (w, w′₎_∈_R_);

5. hW, R, V, wi |= ✸A sse hW, R, V, w′_{i |}₌ _A_{, para algum}_w′ _∈ _W _{tal que}

wRw′_.

Uma outra forma equivalente de definir satisfazibilidade, é estender a fun¸cão de valora¸cão para todas as fórmulas, de modo a satisfazer:

1. V(¬A) =Wr_V₍_A_); 2. V(A∧B) =V(A)∩V(B);

3. V(✷A) ={w∈W :w′_∈_V₍_A_{) para todo}_w′ _∈_W _{tal que}_wRw′_}_;

4. V(✸A) ={w∈W :w′ _∈_V₍_A_{) para algum}_w′ _∈_W _{tal que}_wRw′_}_.

Definimos, então, hW, R, V, wi |=A sse w∈ V(A). É fácil verificar que as duas defini¸cões são equivalentes. Usando 4 e 5 e a defini¸cão de ¬, temos que o operador✸ pode ser definido a partir de ✷ por ¬✷¬A no lugar de ✸A, ou o contrário,✷como¬✸¬. Assim, para simplificar as demonstra¸cões e defini¸cões, a partir de agora usaremos apenas o operador✷como primitivo.

Dizemos que uma fórmula Aéválida em um modelohW, R, Vi(denotamos porhW, R, Vi |=A) sehW, R, V, wi |=A, para todo w∈W. Da mesma forma, dizemos queAé válida em uma estruturahW, Ri(denotamos porhW, Ri |=A) sehW, R, Vi |=A, para toda valora¸cãoV.

Axiom´

atica para a L´

ogica Modal Normal

Um sistema de axiomas é um conjunto de axiomas e regras de inferência para uma linguagem lógica. Os axiomas são fórmulas e as regras de inferências são rela¸cões entre fórmulas2_{. Uma}_{demonstra¸c˜}_ao_{é uma seq¨}_{uência finita de fórmulas}

2

Formalmente, subconjuntos deLn

× L, paran≥1 ondeL´e a linguagem. Uma f´ormula

(12)

em que cada fórmula ou é um axioma ou é obtido por fórmulas anteriores na seqüência através de uma regra de inferência. Umteorema é a última fórmula que ocorre em uma demonstra¸cão. Uma fórmulaAéconsistentese¬Anão é um teorema. Quando necessário especificarmos o sistema, dizemos que uma fórmula é um S-teorema (ou, S-consistente) quando for um teorema (ou, consistente) no sistemaS.

Denotamos por ⊢S A se A ´e um teorema do sistema S. Suprimiremos o ´ındiceS quando estiver claro o sistema usado.

Um sistema de axiomas para Lógica Modal Normal contém, pelo menos, os seguintes axiomas e regras de inferências:

Axiomas:

1. As tautologias proposicionais;

2. AxiomaK:✷(p→q)→(✷p→✷q). Regras de Inferˆencia:

1. Substitui¸cão Uniforme: Se Aé um teorema, pé uma fórmula atômica e B é uma fórmula, a fórmula obtida substituindo todas as ocorrências de pemA porBé um teorema;

2. Modus Ponens: Se⊢Ae⊢A→B então⊢B; 3. Necessita¸cão: Se⊢Aentão⊢✷A.

O sistema minimal para Lógica Modal Normal, isto é, o que contém apenas os axiomas e regras de inferência acima mencionados, é denotado porK.

Corre¸c˜

ao e Completude

Seja K uma classe de estruturas e S um sistema para Lógica Modal Normal. Dizemos queSécorretocom rela¸cão aKse todo teorema deSé válido em todas as estruturas deK. Dizemos queS écompleto com rela¸cão aKse toda fórmula válida em todas as estruturas de K é um teorema de S (equivalentemente, se para toda fórmula S-consistente A existe uma estrutura hW, Ri ∈ K tal que

hW, R, V, wi |=A, para alguma valora¸c˜aoV e algum w ∈W, ou seja, se toda f´ormula consistente tem modelo).

O sistemaKé correto e completo com rela¸cão à classe de todas as estruturas. Uma estruturahW, Rié:

• Serial se para todow∈W existew′_∈_W _{tal que}_wRw′_;

• Reflexiva sewRw, para todow∈W;

• Sim´etrica sewRw′ _implica_w′_Rw_{, para todos}_{w, w}′ _∈_W_;

• Transitiva sewRw′ _e_w′_Rw′′ _implicam_wRw′′_{, para todos}_{w, w}′_{, w}′′_∈_W_;

(13)

Axiomas adicionais ao sistema K correspondem a restri¸c˜oes na classe de estruturas. A tabela seguinte mostra os axiomas mais usados e as restri¸c˜oes correspondentes:

Axioma Estruturas

D ✷p→✸p Seriais

T ✷p→p Reflexivas

B p→✷✸p Sim´etricas 4 ✷p→✷✷p Transitivas 5 ✸p→✷✸p Euclideanas

Prova-se que o sistemaK adicionado de um dos axiomas acima é correto e completo com rela¸cão à classe de estruturas correspondentes. Por exemplo, o sistema K adicionado do axiomaD é correto e completo com rela¸cão à classe de todas as estruturas seriais. Mais ainda, adicionando ao sistema K mais de um dos axiomas acima, obtemos corre¸cão e completude com rela¸cão à classe de todas as estruturas com as propriedades correspondentes. Por exemplo, o sistema K adicionado dos axiomas Te Bé correto e completo com rela¸cão à classe de todas as estruturas reflexivas e simétricas.

Para mostrar a corre¸cão, basta verificarmos a validade dos axiomas e mostrar-mos que as regras de inferência preservam validade (em estruturas)3_{. O axioma} Ké válido em todas as estuturas.

Para a corre¸cão dos sistemas obtidos acrescentando ao sistemaKalguns dos axiomas acima, basta verificarmos que cada um desses axiomas é válido nas estruturas com a propriedade correspondente.

A demonstra¸cão da completude utiliza o método domodelo canônico. Um conjunto Γ de fórmulas éconsistente em rela¸cão a um sistema S se toda con-jun¸cão A1∧...∧An, com A1, ..., An ∈ Γ, for S-consistente. Um conjunto de fórmulas émaximalmente consistente em S se for consistente e maximal (em rela¸cão à inclusão) com essa propriedade. Um modelo canônico para um sistema Sé um modelohW, R, Viem que:

1. W ´e o conjunto de todos os conjuntos maximalmente consistentes emS;

2. wRw′ _{se e somente se, para toda f´}_ormula _A_{, se}_✷_A_∈_w_ent˜ao _A_∈_w′_;

3. V(p) ={w∈W :p∈w}.

Prova-se que o modelo canônicohW, R, Visatisfaz uma fórmulaAno ponto wse e somente seA∈w. Ou seja,V(A) ={w∈W :A∈w}. Usando o Lema de Zorn (vide Fato 4.11), podemos estender qualquer conjunto consistente de fórmulas a um conjunto maximalmente consistente. Com isso já obtemos a completude do sistemaK, pois se uma fórmulaA é consistente, existew∈W tal queA∈w, e, portanto,hW, R, V, wi |=A.

Para a completude dos outros sistemas mencionados, basta verificarmos que, se um sistemaS cont´em o axiomaA (entre os axiomasD, T,B,4e5) ent˜ao

3

(14)

a estrutura do modelo canˆonico de S possui a propriedade correspondente ao axiomaA.

Observe que, pelo fato de podermos estender qualquer conjunto consistente a um maximalmente consistente, os resultados de completude que usam con-stru¸cão de modelo canônico são resultados decompletude forte, isto é, dado um conjunto de fórmulas Γ consistente, existe um modelo para Γ.

Os detalhes das demonstra¸c˜oes da corre¸c˜ao e completude encontram-se em [HC96, Che80, BdRV01].

1.3 L´

ogica Temporal

A Lógica Temporal é uma ramifica¸cão da Lógica Modal em que, no lugar do ´

unico operador primitivo unário ✷, temos dois operadores binários: S (“desde que”) eU (“até que”), ondeS(A, B) significa “B é verdadeiro desde quandoA foi verdadeiro”, eU(A, B) “B será verdadeiro até queAseja verdadeiro”.

Uma estrutura para a Lógica Temporal (oufluxo de tempo) é um parhT, <i, ondeT é um conjunto e<é uma rela¸cão (em geral, uma ordem parcial signifi-cando “antes de”). Usaremos>para representar a ordem inversa de<. Como na Lógica Modal, um modelo é uma estrutura acrescentada de uma valora¸cão V : P −→ 2T_{, onde} _P _{é o conjunto das f´}_{ormulas proposicionais atômicas e} 2T _{é o conjunto dos subconjuntos de}_T_{. Para um instante}_t _∈ _T_{, definimos a} semântica dos operadoresS eU por:

1. hT, <, V, ti |=S(A, B) sse existes < ttal quehT, <, V, si |=Ae para todo x∈T, coms < x < t, temoshT, <, V, xi |=B;

2. hT, <, V, ti |=U(A, B) sse existes > ttal quehT, <, V, si |=Ae para todo x∈T, comt < x < s, temoshT, <, V, xi |=B.

A partir dos operadoresSeU, definimos os operadores un´ariosF(em algum momento no futuro),G(sempre no futuro),P (em algum momento no passado) eH (sempre no passado) por:

F A:=U(A,⊤); GA:=¬F(¬A); P A:=S(A,⊤); HA:=¬P(¬A).

Nota-se que a semântica dos operadoresF eGna estruturahT, <ié idêntica à dos operadores✸e✷, respectivamente, considerandohT, <icomo estrutura de Lógica Modal. Da mesma forma, os operadoresP eH correspondem, res-pectivamente, a✸e✷na estrutura com a ordem inversa: hT, >i.

(15)

Cap´ıtulo 2

Combina¸c˜

oes de L´

ogicas

Modais Normais

Neste cap´ıtulo, iremos descrever os principais resultados de combina¸cões de Lógicas Modais Normais encontrados na literatura. A abordagem utilizada aqui é baseada em [FG92, FG96, FW00, FW02], incluindo as próximas defini¸cões.

Nos referimos por umaLógica Modal a um par (K, S), ondeKé uma classe de estruturas e S é um sistema de axiomas para Lógica Modal. Dizemos que uma Lógica ModalM= (K, S) écorreta (completa) seS for correto (completo) em rela¸cão à classe de estruturas K. Defini¸cões análogas se aplicam a Lógica Temporal e, posteriormente, a Lógica Multimodal e Lógica Modal Não-normal. Chamamos desistema lógico(ou, simplesmente, umalógica) uma quádrupla L= (LL,⊢L,KL,|=L), ondeLLé a linguagem do sistema lógico,⊢Lé o sistema de axiomas para L, KL é a classe de modelos e |=⊆ KL× LL é uma rela¸cão semântica (onde M |=L A significa que o modelo M ∈ KL satisfaz a fórmula A). Para uma fórmulaA∈ LL, denotamos⊢LAseAé um teorema do sistema de axiomas⊢L (neste caso, dizemos também queAé um teorema deL).

Uma fórmulaA∈ LLéválidaem uma lógicaLse para todo modeloM ∈ KL temosM |=L A. Uma lógica écorreta se todo teorema for uma fórmula válida, e écompleta se toda fórmula válida for um teorema.

Dizemos queLestende a l´ogica cl´assica se contiver os conectivos booleanos

¬e∧com o sentido clássico, isto é, ⊢L contém a regraModus Ponens e todas as instâncias tautológicas como teoremas, e, para todosM ∈ KL eA, B ∈ LL, temosM |=¬AsseM 6|=A, eM |=A∧B sseM |=AeM |=B. Dizemos que Lestende a lógica proposicional clássica se, além disso, sua linguagem contiver um conjunto infinito enumerável de átomos: {p1, ..., pn, ...}.

(16)

defini¸cão, uma Lógica Modal estende a lógica (proposicional) clássica.

2.1 Fus˜

ao de L´

ogicas Monomodais

A defini¸cão de Lógica Modal encontrada no Cap´ıtulo 1 pode ser generalizada para mais de um operador modal. Definimos umaLógica Multimodal (com n operadores) como um sistema lógico formado por:

Linguagem A linguagem da lógica proposicional clássica, acrescida dos oper-adores modais unários✷1, ...,✷n. A partir desses definimos os operadores

✸1, ...,✸n da maneira usual: ✸i ´e¬✷i¬, para cadai= 1, ..., n;

Axiomatiza¸cão O sistema de axiomas minimal para uma Lógica Multimodal den operadores consiste nas tautologias proposicionais, as regrasModus Ponens e Substitui¸cão Uniforme e, para cadai= 1, ..., n, o axiomaKe a regra da Necessita¸cão referente ao operador✷i;

Semântica Uma estrutura para Lógica Multimodal denoperadores é da forma

hW, R1, ..., Rni, onde cadaRi é uma rela¸cão sobreW. A satisfazibilidade de uma fórmula é análoga ao caso Monomodal, onde cada rela¸cãoRidita a semântica de ✷i.

Considere hW, Riuma estrutura. Seja ∼R a menor rela¸cão de equivalência emW contendoR(que pode ser definida como a interseçcão de todas as rela¸cões de equivalências que contêmR). Chamamos decomponentes conexas dehW, Ri

as estruturashX, R∩(X×X)i, onde X ⊆W é uma classe de equivalência da rela¸cão∼R. Uma estrutura éconexase possuir uma única componente conexa. A idéia da conexidade é a existência de um “caminho”, via rela¸cãoR, entre dois pontos quaisquer. Dois pontosw ew′ _em_W _est˜_{ao na mesma componente}

conexa dehW, Rise e somente se existe uma seqüênciaw=w1, ..., wn=w′ em W tal que, para cada i, 1 ≤ i < n, temos wiRwi+1 ou wi+1Rwi. Com isso, mostra-se que uma fórmula (em Lógica Monomodal) é válida em uma estrutura se e somente se for válida em todas suas componentes conexas. Tudo isso vale também para Lógica Temporal. Para Lógica Multimodal, precisamos tomar a menor rela¸cão de equivalência contendo todas as rela¸cõesRi, com i= 1, ..., n, para a estruturahW, R1, ..., Rni.

Dadas duas Lógicas Monomodais M1 e M2, chamamos de fusão de M1 e M2, à Lógica BimodalM1◦M2formada por:

Axiomatiza¸cão O menor sistema de axiomas para Lógica Bimodal que contém os teoremas de M1 eM2, onde o operador✷i, com i= 1,2 interpreta o operador✷deMi;

(17)

A rigor, pela defini¸cão acima, a classe de estruturas deM1◦M2 pode ser vazia, pois precisamos tomar uma estrutura hW, R1i de K1 e hW, R2i de K2, ambas sobre o mesmo conjunto W. As estruturas de K1 podem ter dom´ınos diferentes das estruturas deK2. Para garantirmos que isso não acontece, pode-mos acrescentar algumas hipóteses sobre as classes deM1 eM2. Por exemplo, supor que são fechadas por isomorfismos 1 _{e que todas as suas estruturas são} conexas.

Kracht e Wolter [KW91] e Finger e Weiss [FW02] demonstraram a preserva¸cão de corre¸cão e completude, na fusão de Lógicas Monomodais:

Teorema 2.1 Se M1 e M2 são Lógicas Monomodais corretas e completas, então M1◦M2 é correta e completa.

Kracht e Wolter definem a classe de estruturas de uma Lógica Modal como a classe daquelas que validam todos os teoremas do sistema dado. Teorema 2.1 foi provado por eles usando essa defini¸cão de semântica. Finger e Weiss provam para o caso geral.

2.2 Fus˜

ao de L´

ogicas Modais Normais em Todos

os Argumentos

Na se¸cão anterior generalizamos Lógica Modal para uma quantidade arbitrária de operadores unários (Lógica Multimodal). Nesta se¸cão iremos estudar o caso em que temos uma quantidade arbitrária de operadores, e cada operador tem uma quantidade arbitrária de argumentos. As próximas defini¸cões, sobre Lógica Multimodal, encontram-se em [BdRV01].

Chamamos de tipo de similaridade modal um par τ = (O, f), onde O =

{△1, ...,△n} é um conjunto finito de operadores modais2 ef :O−→Né uma fun¸cão que associa, a cada operador modal, a suaaridade.

A τ-linguagem é o menor conjunto L que contém as fórmulas atômicas da lógica proposicional, é fechado pelos operadores booleanos¬ e ∧e, para todo

△i∈O, comf(△i) =k, dadosA1, ..., Ak ∈ L, temos△i(A1, ..., Ak)∈ L. Umτ-sistemapara Lógica Modal é um sistema de axiomas para aτ-linguagem contendo as tautologias proposicionais, as regrasModus Ponens e Substitui¸cão Uniforme e a regra daCongruência:

• Para cada△i∈O, comf(△i) =k, eA1, ..., Ak, B1, ..., Bk f´ormulas daτ -linguagem, se⊢Aj ↔Bj, para todo 1≤j ≤k, ent˜ao⊢ △i(A1, ..., Ak)↔

△i(B1, ..., Bk).

1

Duas classeshW, RiehW′_{, R}′_i_s˜_{ao isomorfas se existe uma fun¸c˜}_ao_i_:_W_−→_W′ _bijetora

tal quewRw′ _{se e somente se}_i₍_w₎_{R i}₍_w′_{), para todo}_{w, w}′_∈_W_{. Uma classe ´}_{e fechada por}

isomorfismos se todas as estruturas isomorfas a uma que pertence `a classe, tamb´em pertencem `

a classe.

2

(18)

No Cap´ıtulo 3 veremos o correspondente dessa regra para L´ogica Modal N˜ao-normal.

Dizemos que umτ-sistema ´enormal em todos os argumentos quando, para cada△i∈O, comf(△i) =k, e para cada 1≤j≤k, temos os axiomas:

• △i(p1, ..., pj∨qj, ..., pk)↔ △i(p1, ..., pj, ..., pk)∨ △i(p1, ..., qj, ..., pk);

• ¬△i(p1, ..., pj−1,⊥, pj+1, ..., pk).

No caso dos operadores serem unários, um τ-sistema normal em todos os argumentos é (equivalente a) um sistema para Lógica Multimodal Normal, onde os operadores△i correspendem aos operadores ✸i (e define-se ✷i por ¬✸i¬). Detalhes disso encontram-se no Cap´ıtulo 3, quando falamos dos axiomas de normalidade em Lógica Modal Não-normal.

Umaτ-estrutura´e uma (n+1)-uplahW, R△₁, ..., R△ni, comR△i ⊆W

f(△i)+1_,

para cada 1≤i≤n.

Uma valora¸cão em hW, R△₁, ..., R△ni, é uma fun¸cão V : P −→ 2

W_{, onde}

P é o conjunto de fórmulas atômicas. Para uma valora¸cão V, chamamos

hW, R△₁, ..., R△n, Vide umτ-modelo.

A satisfazibilidade de uma fórmula em umτ-modelo e um pontow∈W, é definida como na Lógica Monomodal, para as fórmulas atômicas e os operadores booleanos. Para um operador△i∈O, comf(△i) =k, definimos

hW, R△₁, ..., R△n, V, wi |=△i(A1, ..., An)

se e somente se, para algum (w1, ..., wk) ∈ Wk _{tal que (}_{w, w1, ..., w}

k) ∈ R△i,

temos:

hW, R△₁, ..., R△n, V, wii |=Ai, ∀i= 1, ..., k.

Uma τ-lógica normal é um sistema lógico L = (LL,⊢L,KL,|=L), onde LL é a τ-linguagem, ⊢L é um τ-sistema normal em todos os argumentos, KL é uma classe deτ-estruturas (ou, mais precisamente, a classe de todos os modelos baseados nos elementos de uma classe de τ-estruturas) e |=L é a rela¸cão de satisfazibilidade em modelos acima descrita.

Sejam τ1 = (O1, f1) e τ2 = (O2, f2) tipos de similaridade modal, com

|O1|=n e |O2| = m. Denotamos por τ1 ∪τ2 o tipo de similaridade modal (O, f), onde O = {△1, ...,△n+m} e f(△i) = f1(△i), para 1 ≤ i ≤ n, e f(△i) = f2(△i−n), para n < i ≤ n+m. Ou seja, ´e simplesmente a uni˜ao

(disjunta) dos operadores deτ1 eτ2.

Dados um τ1-sistema ⊢1 e um τ2-sistema ⊢2, normais em todos os argu-mentos, afus˜ao de ⊢1 e⊢2, denotada por ⊢1 ◦ ⊢2, ´e o menor τ1∪τ2-sistema (normal em todos os argumentos) contendo⊢1e⊢2, onde△n+i, para 1≤i≤m, refere-se ao operador△i, deτ2.

Em [Wol96], Wolter estuda transferência de algumas propriedades na fusão de sistemas de Lógica Multimodal, com esta defini¸cão sintática de normalidade, usando a semântica algébrica (vide Cap´ıtulo 4), e não a semântica de Kripke.

(19)

U satisfazem as propriedades de normalidade na primeira coordenada, mas não na segunda. Por exemplo, a fórmulaS(p,⊥) é verdadeira no modelo hZ_{, <, V}_i_, onde Z _{é o conjunto dos n´}_{umeros inteiros,} _< _{é a ordem estrita dos inteiros,} e V(p) = Z_{. Dado um instante} _t_, _p _{é verdadeiro em} _t−1 e ⊥ é verdadeiro em todo ponto s ∈ Z _{tal que} _t−1 < s < t (pois não existe tal s). Logo

hZ_{, <, V, t}i |=S(p,⊥). Tamb´em podemos falsificar S(p,⊤), poisS poderia ser dual a um operador △i, isto ´e, S(A, B) seria ¬△i(¬A,¬B), com o mesmo exemplo, fazendoV(p) =∅.

Portanto, a demonstra¸cão da preserva¸cão da completude para fusão de Lógicas Modais normais em todos os argumentos não prova a preserva¸cão da completude na fusão de Lógicas Temporais.

2.3 Temporaliza¸c˜

ao

Atemporaliza¸cãode um sistema lógico consiste em aplicar externamente uma Lógica TemporalT a um sistema lógico L (retomemos a defini¸cão de sistema lógico apresentada no in´ıcio deste cap´ıtulo), obtendo o sistemaT(L), conforme é feito em [FG92, FG96, FW00, FW02]. Pensamos na Lógica Temporal como uma lógica proposicional clássica que sofre “varia¸cões” com o tempo. No sistema temporalizadoT(L), é a lógica L que sofre altera¸cões conforme o decorrer do tempo. Cada instante de um fluxo de tempo da lógicaT(L) corresponde a uma instância da lógicaL.

Exigimos sobre a lógica interna Lapenas que seja uma extensão da lógica proposicional clássica e que não contenha os operadores U e S da lógica T. Assim, seLfor uma Lógica Temporal, temos que renomear os operadores tem-porais deL.

Particionamos a linguagemLL, de uma lógicaLque estende a lógica clássica, em dois conjuntos:

• BCL, o conjunto dascombina¸c˜oes booleanas, consiste em todas as f´ormulas emLL da formaA∧B ou¬A, comA, B∈ LL;

• M LL, o conjunto dasf´ormulas monol´ıticas, ´eLLrBCL.

Como exemplo dessa defini¸cão, seLé uma Lógica Modal,M LLé o conjunto formado pelas fórmulas atômicas e pelas fórmulas da forma✷A.

Agora iremos definir o sistemaT(L) = (LT(L),⊢T(L),KT(L),|=T(L)).

Linguagem A linguagemLT(L)´e o menor conjunto tal que: 1. SeA∈M LL ent˜aoA∈ LT(L);

(20)

Por essa defini¸cão, os conectivos da lógica externa U eS não podem estar no escopo dos conectivos da lógica internaL. Por exemplo, seLé uma Lógica Monomodal e ✷ é o seu operador modal, S(✷p,✷q) é uma fórmula deT(L), mas✷S(p, q) não é.

Semântica Um modelo para a lógicaT(L) é uma triplaM=hT, <, gi, onde

hT, <i ∈ KT e g é uma fun¸cão g : T −→ KL, que a cada t ∈ T associa um modelo da lógica L.

Sejam M= hT, <, gium modelo e t ∈T. DenotamosM, t |=A, para M

satisfaz a f´ormulaAno instante t3_{. A rela¸c˜}_{ao de satisfazibilidade}_|_{=, de} _T₍_L_), ´e definida, recursivamente, por:

1. M, t|=A, paraA∈M LL sseg(t)|=A; 2. M, t|=¬AsseM, t6|=A;

3. M, t|=A∧B sse M, t|=AeM, t|=B;

4. M, t |= S(A, B) sse existe s < ttal que M, s |= A e, para todo r, com s < r < t, temos M, r|=B;

5. M, t |=U(A, B) sse existe t < s tal que M, s|=A e, para todo r, com t < r < s, temos M, r|=B.

Axiomatiza¸c˜ao O sistema de axiomas deT(L) ´e formado por:

• Os axiomas deT;

• As regras de inferˆencia deT;

• A regra de inferência Preserva¸cão: Para todo A ∈ LL, se ⊢L A então

⊢T(L)A.

A rigor, precisamos tomar alguns cuidados com a defini¸cão de regra de in-ferência. Se definirmos regra de inferência apenas como rela¸cão entre fórmulas, nem Modus Ponens estaria em T(L), pois, sendo uma regra de inferência de T, só relaciona fórmulas deT, e não todas as fórmulas deT(L). Para corrigir isso, Sernadas [MSSV03] propõe uma defini¸cão rigorosa de regra de inferência em que esta se torna livre da linguagem. Por exemplo, a regraModus Ponens

nos diz que deAeA→B deduzimosB, mesmo que AeB sejam f´ormulas de linguagem deT(L).

O seguinte resultado foi demonstrado por Finger e Gabbay [FG92, FG96] para o caso linear (quando < ´e uma ordem total, para todo fluxo de tempo

hT, <i ∈ KT) e por Finger e Weiss [FW00, FW02] para o caso geral:

Teorema 2.2 Se LeT são corretos e completos, então T(L)é correto e com-pleto. SeLeT são decid´ıveis, então T(L)é decid´ıvel.

3

(21)

Lembramos que uma lógica édecid´ıvelse existe um algoritmo que, dada uma fórmulaA, decide seAé um teorema ou não.

2.4 Fus˜

ao de L´

ogicas Modais e Temporais

Dadas duas Lógicas TemporaisT1eT2, definimos afusão T1◦T2analogamente ao que fizemos na Se¸cão 2.1. A linguagem é formada por uma quantidade enu-merável de átomos, os operadores booleanos e os operadores temporais binários S1, U1, S2 e U2, onde S1 e U1 são os operadores S e U de T1, e S2 e U2, os operadores S e U de T2. O sistema de axiomas de T1◦T2 é a união das axiomatiza¸cões de T1 e T2. A classe de estruturas é formada pelas estruturas

hT, <1, <2i, onde as componentes conexas dehT, <1iehT, <2iest˜ao emKT1 e

KT2, respectivamente.

A preserva¸cão da corre¸cão, completude e decidibilidade na fusão de Lógicas Temporais foi mostrada por Finger e Gabbay [FG96], para o caso linear, e por Finger e Weiss [FW02], para o caso geral:

Teorema 2.3 Se T1 e T2 são Lógicas Temporais corretas e completas, então

T1◦T2é correta e completa. SeT1eT2são decid´ıveis entãoT1◦T2é decid´ıvel.

Em [FW02] encontra-se uma generaliza¸cão do teorema acima para Lógica Multimodal Normal, com uma defini¸cão de normalidade diferente da mencionada na Se¸cão 2.2, de normalidade em todos os argumentos. A no¸cão de normali-dade usada por Finger e Weiss é semântica, e não puramente sintática, como a de Wolter. Seja M uma Lógica Multimodal, com operadores△1, ...,△n de aridadesr1, ..., rn. Conforme [FW02], dizemos queM énormal quando:

• A semântica das fórmulas é baseada em estruturashW, R1, ..., Rmi, onde cadaRj é uma rela¸cão binária sobreW;

• A semântica de△i(p1, ..., pri) é dada por uma fórmula de primeira ordem,

constru´ıda a partir de predicados un´ariosP1, ..., Pri, s´ımbolos relacionais R1, ..., Rme igualdade;

• Para cada s´ımbolo relacionalRj podemos derivar um operador✷j tal que

✷jpexpressa∀x(tRjx⇒P(x)).

A defini¸cão acima engloba a apresentada na Se¸cão 2.2. Porém, a Lógica Temporal enquadra-se nesta defini¸cão de normalidade, apesar de, como vimos em 2.2, não ser normal em todos os argumentos.

A estratégia utilizada para demonstrar a completude é considerar tempo-raliza¸cões sucessivas, e utilizar o resultado da preserva¸cão da completude na temporaliza¸cão. Assim, uma fórmula A ∈ LT1◦T2 pode ser vista como uma

(22)

operadores de T1, o que supusemos não acontecer. Uma das maiores dificul-dades da demonstra¸cão é contornar esse problema.

2.5 No¸c˜

oes de Produto de L´

ogicas

Na fusão de Lógicas Modais (ou Temporais), não supomos qualquer intera¸cão entre os dois sistemas. Por isso chamamos a fusão também de combina¸cão independente. Por exemplo, dadas duas Lógicas Monomodais M1 e M2 com operadores✷1 e✷2, respectivamente, duas formas de intera¸cões que podemos desejar, numa combina¸cão mais forte das duas lógicas, são:

Comutatividade ✷1✷2A↔✷2✷1A

Confluˆencia de Church-Rosser ✸1✷2A→✷1✸2A

Uma forma de combina¸cão de Lógicas Modais mais forte que a fusão, é o

produto. Dadas duas L´ogicas MonomodaisM1eM2, designamos porM1×M2o produto deM1 eM2. Para cada par de estruturas,hW1, R1iemM1 ehW2, R2i

emM2, associamos a estruturahW1×W2, R1, R2iemM1×M2, onde: R1={((w1, w),(w2, w))∈(W1×W2)2: (w1, w2)∈R1}

R2={((w, w1),(w, w2))∈(W1×W2)2: (w1, w2)∈R2}

Ou seja, (x, u)R1(y, v) se e somente seu=vexR1y, e analogamente paraR2. O produto de Lógicas Modais satisfaz as propriedades de comutatividade e confluência de Church-Rosser. Mas respeitar essas propriedades não é suficiente para tratar-se de um produto. Isto é, unir as axiomatiza¸cões de M1 e M2 e acrescentar, como axioma, a comutatividade e a confluência de Church-Rosser, em geral não basta para axiomatizar a semântica do produto.

Seguindo os passos do que foi feito até agora, precisamos definir um sistema de axiomas para o produto de forma a obtermos preserva¸cão de corre¸cão e completude. Mas, em [FG96] encontra-se uma demonstra¸cão para produto de Lógicas Temporais de que isso não é poss´ıvel de ser feito, de maneira geral. Qualquer que seja a defini¸cão que dermos para o sistema de axiomas do produto, ou não preservaremos a corre¸cão, ou não preservaremos a completude.

(23)

Cap´ıtulo 3

L´

ogica Modal N˜

ao-normal

No Cap´ıtulo 1 introduzimos a defini¸cão de Lógica Modal Normal, baseada na semântica de Kripke, em que temos um conjunto de mundos poss´ıveis e uma rela¸cão de acessibilidade entre eles. Uma fórmula é necessariamente verdadeira em um mundo se for verdadeira em todos mundos acess´ıveis a esse. Com essa semântica, a Lógica Modal Normal é útil na modelagens de diversos problemas, como conhecimento, fluxo de tempo, obriga¸cão, demonstrabilidade (Teorema de Gödel) e lógica intuicionista. Comentários sobre essas aplica¸cões encontra-se na bibliografia básica [HC96, Che80, BdRV01].

Porém, para algumas aplica¸cões baseadas na no¸cão de mundos poss´ıveis, a rela¸cão de acessibilidade entre os mundos pode não ser suficiente para modelar o problema. Por exemplo, em alguma aplica¸cão prática, o acesso entre dois mundos eventualmente pode “falhar”. Neste e em outros casos semelhantes, podemos considerar que uma fórmula seja necessariamente verdadeira em um mundo se ela for verdadeira em uma “grande parte” dos mundos acess´ıveis a esse. Para modelagem de situa¸cões como essa, foi criada a Lógica Modal Não-normal, baseada nasemântica de vizinhan¸cas, também chamada por Chellas [Che80] de

modelos minimais.

Essencialmente, na semântica não-normal, que é a semântica de vizinhan¸cas, também temos um conjunto de mundos poss´ıveis. Mas a única restri¸cão sobre a semântica do operador modal é que a valora¸cão de uma fórmula da forma✷A depende unicamente da valora¸cão da fórmula A, isto é, o conjunto de mundos em que A é verdadeira. Por isso, como veremos, no Cap´ıtulo 4, na Lógica Modal Não-normal o operador modal pode ser traduzido como uma fun¸cão entre valora¸cões. Na abordagem apresentada aqui, baseada em [Che80], temos uma fun¸cão que para cada mundo poss´ıvelw nos diz para quais valora¸cões de Ateremos✷Averdadeiro emw.

(24)

regra da Necessita¸c˜ao podem falhar.

Pouco foi estudada a L´ogica Modal N˜ao-normal. Os resultados apresentados neste cap´ıtulo foram baseados em [Che80].

3.1 Semˆ

antica

Uma estrutura para Lógica Modal Não-normal é um parhW, Fi, ondeW é um conjunto eF é uma fun¸cão F :W −→ 22W

(associa, a cada w∈W, uma fam´ıliaF(w) de subconjuntos de W).

Um modelo para a estruturahW, Fi´e uma triplahW, F, Viem queV (dita

valora¸cão) é uma fun¸cãoV :L −→2W _(onde_L_{é a linguagem da Lógica Modal)} satisfazendo:

V(A∧B) =V(A)∩V(B); V(¬A) =Wr_V₍_A_);

V(✷A) ={w∈W :V(A)∈F(w)}.

As no¸cões de satisfazibilidade e validade das fórmulas em estruturas e mode-los são análogas ao caso Normal: hW, F, V, wi |=Ase e somente se w∈V(A).

Vejamos como uma estrutura Normal hW, Ri, com R ⊆ W ×W, pode ser vista como caso particular de estrutura n˜ao-normal. Considere a fun¸c˜ao FR:W −→22

W

dada por:

FR(w) ={X ⊆W :Rw⊆X}, ondeRw={w′∈W :wRw′}

´

E fácil verificar que V é uma valora¸cão da estrutura Normal hW, Ri se e somente se é uma valora¸cão da estrutura não-normalhW, FRi. Ou seja, se duas valora¸cões, uma para cada estrutura, coincidem nos átomos, então coincidem para todas as fórmula.

No entanto, veremos na Se¸cão 3.3 que nem toda estrutura não-normal é da forma descrita acima, mesmo que valide o sistemaK, da Lógica Normal.

3.2 Axiomatiza¸c˜

ao

O sistema minimal para Lógica Modal Não-normal, ao qual chamaremos de Snn, ou, simplesmente,nn, é formado por:

Axiomas: Todas as tautologias proposicionais. Regras de Inferˆencia:

(25)

2. Substitui¸c˜ao Uniforme;

3. Congruˆencia: Se⊢A↔B ent˜ao⊢✷A↔✷B.

Teorema 3.1 O sistemaSnné correto com rela¸cão à classe de todas as estru-turas de Lógica Modal Não-normal.

Demonstra¸cão: E imediato que as tautologias s˜´ ao válidas e queModus Po-nenspreserva validade. A demonstra¸cão de que a Substitui¸cão Uniforme preserva validade em estruturas é idêntica ao caso Normal. Portanto, basta provar-mos que a regra da Congruência preserva validade de fórmulas. Se Ae B são fórmulas válidas emhW, Fi, entãoV(A) =V(B), para toda valora¸cãoV. Logo V(✷A) ={w∈W :V(A)∈F(w)}={w∈W :V(B)∈F(w)}=V(✷B), para toda valora¸cão V. LogoV(✷A ↔✷B) =W e, portanto, ✷A↔✷B é válido

emhW, Fi.

Proposi¸c˜ao 3.2 Se ⊢SnnA ent˜ao ⊢_KA.

Demonstra¸cão: Basta verificarmos que a regra da Congruência pode ser derivada da regra da Necessita¸cão e do axioma K (na presen¸ca das tautolo-gias,Modus Ponens e Substitui¸cão Uniforme).

De fato, suponha ⊢A ↔B. Teremos ⊢ A→ B. Por Necessita¸c˜ao, temos

⊢✷(A →B). Pelo axioma K e Substitui¸c˜ao Uniforme (trocandoppor A eq por B) temos ⊢ ✷(A → B) → (✷A → ✷B). PorModus Ponens conclu´ımos

⊢✷A→✷B. Analogamente obtemos⊢✷B→✷A.

Proposi¸cão 3.3 EmSnn(e, portanto, emK), vale a regra daSubstitui¸cão por Equivalência: Se ⊢A ↔ B então, para qualquer fórmulaC, ⊢ C ↔ C[A/B], ondeC[A/B]é a fórmula obtida pela substitui¸cão de todas as ocorrências deA

emC pela f´ormulaB.

Demonstra¸cão: Por indu¸cão na constru¸cão deCa partir deA(o passo inicial é a hipótese: ⊢A↔B). Usa-se a regra da Congruência no passo do operador

✷.

3.3 Algumas Propriedades B´

asicas

(26)

Completude

Seja S um sistema de axiomas para Lógica Modal Não-normal. Um modelo canônico paraS é uma triplahW, F, Vionde:

W ´e o conjunto dos conjuntos maximalmenteS-consistentes;

V é uma fun¸cãoV :L −→2W _{definida por}_V₍_A_{) =}_{_w_∈_W _:_A_∈_w_}_; F é uma fun¸cãoF :W −→22W

tal que, para todoA∈ Le todow∈W, V(A)∈F(w)⇔✷A∈w.

Neste momento, precisamos mostrar queV é, de fato, uma valora¸cão, e que sempre podemos escolherF satisfazendo a condi¸cão acima.

Para a existˆencia deF, notemos que, se V(A) =V(B), temosA↔B ∈w, para todow∈W (pois teremosA∈wse e somente seB ∈w). Logo⊢SA↔B. Pela regra da Congruˆencia, temos ⊢S ✷A ↔ ✷B e, portanto, ✷A ∈ w se e somente se✷B ∈w, para todo w∈W. Com isso, F(w) ={V(A) : ✷A ∈w}

satisfaz a condi¸c˜ao requerida.

Observe que, na nossa defini¸cão, F(w) não é, necessariamente, o conjunto

{V(A) : ✷A ∈ w}. A cada X ⊆W que não é da forma V(A), para alguma fórmula A, podemos tomar a liberdade de incluir ou não X em F(w), o que não compromete a condi¸cão V(A) ∈ F(w) ⇔ ✷A ∈ w. Por isso um modelo canônico paraS não é único. Veremos que isso será útil na demonstra¸cão de alguns resultados de completude.

Mostremos que V é uma valora¸cão. As condi¸cões V(¬A) = W r_V₍_A₎ e V(A∧B) = V(A)∩V(B), seguem de que, num conjunto maximalmente consistentew, temos A∈wse e só se ¬A6∈w, eA∧B ∈wse e só se A∈w eB ∈ w. A condi¸cão V(✷A) = {w ∈W : V(A) ∈F(w)} segue da defini¸cão V(✷A) ={w∈W :✷A∈w}e da condi¸cãoV(A)∈F(w) se e só se✷A∈w.

Com isso, estamos prontos para mostrar a completude de Snn.

Teorema 3.4 O sistema Snné completo com rela¸cão à classe de todas as es-truturas de Lógica Modal Não-normal.

Demonstra¸cão: Dada uma fórmula consistente A, tomemos um conjunto maximalmente consistentewque contémA. Teremos que um modelo canônico

paraSnnir´a satisfazerAno pontow.

Os axiomas D, T, B, 4 e 5

Retomemos as defini¸cões dos axiomas D, T, B, 4e 5, na Se¸cão 1.2. A esses axiomas, associaremos as seguintes condi¸cões sobre uma estruturahW, Fi (de-notamosW r_X _por−X):

(27)

T⋆ _{Para todo}_w_∈_W_{, se}_X _∈_F₍_w_{) ent˜}_ao_w_∈_X_;

B⋆ _{Para todo}_w_∈_W_{, se}_w_∈_X _ent˜_ao_{_w′ _∈_W _:₋_X _6∈_F₍_w′₎_{} ∈}_F₍_w_);

4⋆ _{Para todo}_w_∈_W_{, se}_X_∈_F₍_w_{) ent˜}_ao_{_w′_∈_W _:_X _∈_F₍_w′₎_{} ∈}_F₍_w_);

5⋆ _{Para todo}_w_∈_W_{, se}_{X /}_∈_F₍_w_{) ent˜}_ao_{_w′_∈_W _:_X _6∈_F₍_w′₎_{} ∈}_F₍_w_).

Teorema 3.5 A estrutura hW, Fi satisfaz a condi¸c˜ao D⋆ ₍_T⋆_, _B⋆_,₄⋆ _ou₅⋆₎

se e somente se o axiomaD(T,B,4 ou5) ´e v´alido emhW, Fi.

Demonstra¸cão: (⇒) A demonstra¸cão desta dire¸cão encontra-se em [Che80] e é uma simples aplica¸cão da defini¸cão de valora¸cão para Lógica Modal Não-normal.

(⇐) Basta supor que a estrutura não satisfa¸ca a condi¸cão correspondente, e escolher uma valora¸cão conveniente que falsifique o axioma.

Se hW, Fi ´e tal que existem um w ∈ W e um X ∈ F(w) tal que −X ∈

F(w), tomando uma valora¸c˜aoV tal queV(p) =X, teremosw∈V(✷p), pois X ∈F(w) ew∈V(✷(¬p)), poisV(¬p) =−X ∈F(w). Assim,hW, F, V, wi |=

✷p∧✷(¬p), contradizendo o axioma D:✷p→✸p.

Para o axioma B, suponha que w ∈ X e {w′ _∈ _W _: ₋_{X /}_∈ _F₍_w′₎_} _∈_/

F(w). TomandoV tal queV(p) =X, temosV(✸p) =V(¬✷¬p) =−V(✷¬p) =

−{w′_∈_W _:_V₍_¬_p₎_∈_F₍_w′₎_} ₌ _{_w′_∈_W _:₋_{X /}_∈_F₍_w′₎_}_{. Logo, por hip´otese,}

V(✸p) ∈/ F(w), de onde segue que w /∈ V(✷✸p). Como w ∈ V(p), temos w /∈V(p→✷✸p), contradizendo a validade do axiomaB.

Para os outros axiomas, o procedimento ´e semelhante.

Mostraremos a completude de cada um desses axiomas (adicionado aSnn) com rela¸cão à classe das estruturas correspondentes. Como na Lógica Modal Normal, mostraremos que a estrutura do modelo canônico (ou de um modelo canônico) para cada sistema satisfaz a condi¸cão correspondente.

Teorema 3.6 O sistemaSnnacrescido do axiomaD(T,B,4ou5) é completo em rela¸cão à classe das estruturas hW, Fi que satisfazem D⋆ ₍_T⋆_, _B⋆_, ₄⋆ _ou

5⋆₎

Demonstra¸c˜ao: Seja S o sistema Snn+A, sendo A um dos cinco axiomas acima. DadosW o conjunto dos conjuntos maximalmente S-consistentes eV :

L −→2W _{tal que} _V₍_A_{) =}_{_w_∈_W _:_A_∈_w_}_{, seja}

X_{= 2}Wr{V(A) :A∈ L}.

Pela nossa defini¸cão de modelo canônico, hW, F, Vi será um modelo canônico paraS se e somente seF for tal que, para todow∈W:

(28)

Para os axiomasD,Te4trabalharemos comC=∅.

Considere S = Snn+D. Seja X ∈ F(w). Vamos mostrar −X /∈ F(w). Suponha −X ∈ F(w). Como X ∈ F(w), temos X = V(A), com ✷A ∈ w. De −X = V(¬A) ∈ F(w) conclu´ımos ✷¬A ∈ w, contradizendo o axioma D (trocandopporA, pela regra da Substitui¸c˜ao Uniforme): ✷A→ ¬✷¬A. Isso conclui a completude deSnn+D.

ParaS =Snn+T, suponha X ∈F(w). Temos X =V(A), com ✷A∈ w. PorT,A∈w, de onde seguew∈V(A) =X, como quer´ıamos.

Para o sistema S = Snn+4, suponha X ∈ F(w), isto ´e, X = V(A), com ✷A ∈ w. Pelo axioma 4 temos ✷✷A ∈ w, isto ´e, V(✷A) ∈ F(w). Mas V(✷A) = {w′ _∈ _W _: _V₍_A₎ _∈ _F₍_w′₎_}_{. Como} _V₍_A_{) =} _X_{, conclu´ımos}

{w′ _∈_W _:_X _∈_F₍_w′₎_{} ∈}_F₍_w_).

Para a demonstra¸c˜ao da completude Snn+5, partiremos para o outro ex-tremo, isto ´e, considerarC =X_{. Assim, se}_{X /}_∈_F₍_w_{), em particular}_{X /}_∈X_e,

portanto,X =V(A), para alguma f´ormula A, com✷A /∈w. Logo¬✷A ∈w, isto ´e,✸¬A∈w. Por5temos✷✸¬A∈w, de onde segueV(✸¬A)∈F(w). Mas V(✸¬A) =−V(✷A) ={w′ _∈_W _:_V₍_A₎_∈_/ _F₍_w′₎_}_{. Como}_V₍_A_{) =}_X _{conclu´ımos}

a demonstra¸c˜ao.

Finalmente, para a completude deSnn+B, tomamosF tal que

F(w) ={V(A) :✷A∈w} ∪ {X∈X_:_w∈X}.

Assim, suponhaw∈X. Vamos mostrar{w′ _∈_W _:₋_{X /}_∈_F₍_w′₎_{} ∈}_F₍_w_{). Temos}

dois casos a analisar. Se X = V(A), para uma f´omula A, temos A ∈ w e, por B, ✷✸A ∈ w. Logo V(✸A) ={w′_∈_W _:₋_V₍_A₎_∈_/_F₍_w′₎_{} ∈}_F₍_w_),

como quer´ıamos. Se X não é da forma V(A), isto é, X ∈ X_{, como} _w _∈ _X

temos X∈F(w). Mas, como−X ∈ X_(pois _X _∈ X_), _{_w′_∈_W _:₋_{X /}_∈_F₍_w′₎_}

={w′_∈_W _:_w′_{∈ −}_/ _X_}₌_X _∈_F₍_w_{), como quer´ıamos.}

Axiomas de Normalidade

Apresentaremos alguns axiomas que, acrescentados ao sistemaSnn, recuperam o sistema NormalK. Iniciaremos com dois pequenos lemas.

Lema 3.7 EmSnn+✷⊤vale a regra da Necessita¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao: Se ⊢ A temos ⊢ A ↔ ⊤. Por Congruˆencia, ⊢ ✷A ↔ ✷⊤.

Pelo axioma✷⊤eModus Ponens obtemos⊢✷A.

O próximo lema nos dá uma equivalência ao axiomaK.

Lema 3.8 SeS contémSnn e a regra da Necessita¸cão, então ⊢S ✷(p→q)→ (✷p→✷q)se e somente se⊢S ✷(p∧q)↔(✷p∧✷q).

(29)

⊢✷(p∧q)→(✷p∧✷q). Para a outra dire¸cão, usamos quep→(q→(p∧q)) é tautologia. Portanto, por Necessita¸cão eK (usando Substitui¸cão Uniforme em K), temos⊢✷p→✷(q→(p∧q)). Mas, porKe Substitui¸cão Uniforme, temos

⊢✷(q→(p∧q))→(✷q→✷(p∧q)). Logo,⊢✷p→(✷q→✷(p∧q)), do qual conclu´ımos⊢(✷p∧✷q)→✷(p∧q).

(⇐) Suponha o axiomaA:✷(p∧q)↔(✷p∧✷q) em um sistemaS contendo Snne Necessita¸cão. Mostraremos o axioma K. Observe queK é tautologica-mente equivalente a (✷(p→ q)∧✷p) →✷q. Por Congruência e a tautologia ((p → q)∧p) ↔ (p∧q) temos ⊢ ✷((p → q)∧p) ↔ ✷(p∧q). Por A temos

⊢✷(p∧q)→✷q. Logo⊢✷((p→q)∧p)→✷q. PorAe Substitui¸c˜ao Uniforme,

⊢(✷(p→q)∧✷p)→✷((p→q)∧p). Portanto⊢(✷(p→q)∧✷p)→✷q.

Com esses dois lemas, conclu´ımos que o sistemaK´e equivalente1_{ao sistema} Snnacrescido dos axiomas:

M (✷p∧✷q)→✷(p∧q) C ✷(p∧q)→✷p N ✷⊤

Note que de Cconclu´ımos✷(p∧q)→(✷p∧✷q), usando Congruˆencia em (p∧q)↔(q∧p) e Substitui¸c˜ao Uniforme (para trocarpeq).

A exemplo do que fizemos com os axiomasD,T, B,4e5, aos axiomasM, CeNassociaremos as seguintes condi¸c˜oes sobre uma estrutura hW, Fi: M⋆ _{Para todo}_w_∈_W_{, se}_{X, Y} _∈_F₍_w_{), ent˜}_ao_X_∩_Y _∈_F₍_w_);

C⋆ _{Para todo}_w_∈_W_{, se}_X_∈_F₍_w_{) e}_X_⊆_Y _⊆_W_{, ent˜}_ao_Y _∈_F₍_w_); N⋆ _{Para todo}_w_∈_W_,_W _∈_F₍_w_).

Chamamos essas condi¸cões de, respectivamente, fechado por interseçcões finitas,suplementado (oufechado por superconjuntos) e contém a unidade.

Teorema 3.9 O axioma M (C ouN) ´e v´alido em uma estruturahW, Fi se e somente se esta satisfazM⋆ (C⋆ ouN⋆).

Demonstra¸cão: A condi¸cão paraNé claramente necessária e suficiente, uma vez queV(⊤) =W.

Mostremos que as condi¸c˜oes M⋆ _e_C⋆ _s˜_{ao suficientes para a validade de}_M eC, respectivamente.

AssumamosM⋆_{. Se}_w_∈_V₍_✷_p_∧_✷_q_{), para uma valora¸c˜}_ao_V_{, temos}_V₍_p₎_∈ F(w) eV(q)∈F(w). Por hip´otese,V(p)∩V(q) =V(p∧q)∈F(w). Portanto w∈V(✷(p∧q)), provandoM.

Assumindo C⋆_{, vamos provar a validade de} _C_{. Se}_w_∈ _V₍_✷₍_p_∧_q_{)), temos} V(p∧q) ∈ F(w). Como V(p∧q) ⊆ V(p), por hip´oteseV(p) ∈ F(w). Logo w∈V(✷p), como quer´ıamos.

1

(30)

Reciprocamente, suponha M válido em hW, Fi. Dados X, Y ∈F(w), para algum w ∈ W, considere uma valora¸cão V tal que V(p) = X e V(q) = Y. Como V(p) ∈ F(w) e V(q) ∈ F(w), temos w ∈ V(✷p∧✷q). Logo, por M, w∈V(✷(p∧q)), isto é,V(p)∩V(q) =X∩Y ∈F(w).

Da mesma forma, se C´e v´alido emhW, Fi, dadoX ∈F(w) eY ⊆W com X ⊆Y, tome V tal queV(q) = X eV(p) =Y. Temos V(p∧q) =X∩Y = X∈F(w). PorCconclu´ımos queV(p) =Y ∈F(w). Teorema 3.10 O sistema Snn acrescido de um ou mais dos axiomas M, C

ouN é completo com rela¸cão à classe das estruturas que satisfazem a(s) pro-priedade(s) correspondente(s).

Demonstra¸cão: Seja S um sistema como no enunciado. Se S não contém o axiomaC considerehW, F, Vi um modelo canônico para S em que, para todo w∈W,

F(w) ={V(A) :✷A∈w}.

SeS cont´em o axioma C considere hW, F, Vium modelo canˆonico paraS em que, para todow∈W:

F(w) ={V(A) :✷A∈w} ∪ {X ∈X_{: (}_∃_A_{∈ L}₎_✷_A_∈_{w e V}₍_A₎_⊆_X_}_,

lembrando queX_{= 2}W r_{_V₍_A_{) :} _A_{∈ L}}_{. Argumentos padr˜oes, semelhantes} aos usados at´e agora, mostram que:

1. SeS contémM, entãohW, Fié fechado por interseçcões finitas; 2. SeS contémC, entãohW, Fié suplementado;

3. SeS contémN, entãohW, Ficontém a unidade.

Isso conclui a completude desses sistemas, pois basta, agora, tomarmos um conjunto maximalmente consistente que contenha uma dada f´ormula consistente

A.

Em particular, o sistema K= Snn+M+C+N é correto e completo com rela¸cão à classe de todas as estruturas que são fechadas por interseçcões finitas, suplementadas e que contém a unidade. Ou seja, as estruturas em que cada F(w) é umfiltro (não necessariamente próprio) sobre 2W_.

Na Se¸cão 3.1 comparamos estruturas para Lógica Modal Normal e para Lógica Modal Não-normal. Vimos como cada estrutura Normal pode ser vista como caso particular de não-normal. Essas estruturas Não-normais que repre-sentam as Normais são aquelas em que, para cada w ∈ W, F(w) é da forma

{X ⊆W :Rw⊆X}, para algumRw⊆W.

(31)

3.3.1 Incompletude

Em [HC96] encontramos um exemplo de incompletude em Lógica Modal Normal, isto é, um sistema de Lógica Modal Normal que não é correto e completo com rela¸cão a nenhuma classe de estruturas de Kripke. É o sistema KH, formado pelo sistemaKacrescentado do axiomaH:

✷(✷p↔p)→✷p.

Prova-se a incompletude de KH mostrando que toda estrutura de Kripke que satisfazHtambém satisfaz4, mas4não é um teorema deKH. Portanto, seKH for correto com rela¸cão a uma classe de estruturasK, teremos que4será válido em K, mas não é um teorema de KH. LogoKH será incompleto com rela¸cão aK.

Como vimos que a semântica de vizinhan¸cas é mais forte que a semântica de Kripke, mesmo supondo os axiomas de normalidade, isso não nos dá um exemplo de incompletude em Lógica Modal Não-normal. Poder´ıamos ter a es-peran¸ca de que, com a semântica de vizinhan¸cas, para todo sistema não-normal, pudéssemos encontrar uma classe de estruturas para a qual o sistema fosse cor-reto e completo, e obter´ıamos um resultado geral de completude.

(32)

Cap´ıtulo 4

´

Algebras de Boole na

L´

ogica Modal

As álgebras de Boole se tornaram uma ferramenta extremamente útil para diver-sos ramos da Matemática, especialmente para a Lógica. Em [Kop89] encontra-se uma demonstra¸cão da completude da lógica de primeira ordem usando álgebras de Boole. Em Lógica Modal, diversos resultados foram obtidos com o uso dessas ´

algebras, principalmente no que se refere a constru¸cões de modelos a partir de elementos sintáticos (a linguagem e a axiomatiza¸cão), como ocorre em diversos resultados de completude.

Neste cap´ıtulo estudaremos o tratamento algébrico para Lógica Modal. Con-centraremos no caso não-normal, que é mais geral e, em alguns momentos, mais natural. Veremos a defini¸cão de estruturas gerais para Lógica Modal, e como identificá-las com álgebras de Boole com operadores. Na Se¸cão 4.2 conclu´ımos com um resultado geral de completude, que é a principal vantagem do trata-mento algébrico da Lógica Modal.

Para simplificar a nota¸cão, trabalharemos apenas com operadores modais unários, mas podemos generalizar para operadores de aridade arbitrária. Um estudo geral sobre álgebras de Boole, incluindo a demonstra¸cão detalhada do Teorema de Stone, pode ser visto em [Kop89], no qual se baseia este cap´ıtulo. O tratamento algébrico da Lógica Modal (caso normal) encontra-se em [BdRV01], e também no artigo de Wolter [Wol96]. O caso não-normal, que será tratado aqui, é uma simples adapta¸cão do caso normal.

4.1 Estruturas e Modelos Gerais para L´

ogica

Modal

(33)

uma no¸cão mais geral de semântica, com resultados muito mais fortes. As no¸cões de estruturas gerais são apresentadas em [BdRV01] e adaptadas aqui para o caso não-normal.

Umaestrutura geral para Lógica Modal Não-normal é uma triplahW, F, Pi

ondehW, Fi´e uma estrutura usual eP ⊆2W _{´e uma fam´ılia de subconjuntos de} W satisfazendo:

1. W ∈P;

2. SeX, Y ∈P ent˜aoX∩Y ∈P; 3. SeX ∈P,W r_X _∈_P_;

4. SeX ∈P,{w∈W :X ∈F(w)} ∈P.

Ummodelo geralé uma quádruplahW, F, P, ViondehW, F, Pié uma estrutura geral eV :L −→Pé uma valora¸cão como a usual. As condi¸cões 1, 2, 3 e 4 sobre P garante queV(⊤),V(A∧B),V(¬A) eV(✷A), respectivamente, continuam emP. Ou seja, podemos estender qualquer fun¸cão das fórmulas atômicas emP a uma valora¸cão, sabendo que a imagem permanecerá emP.

Os elementos deF(w) que não estão emP são irrelevantes para a valora¸cão. Por isso, podemos considerar sempreF :W −→2P_.

A defini¸cão de estruturas gerais para Lógica Modal Normal é análoga. No lugar da fun¸cão F temos uma rela¸cão R e, no lugar da condi¸cão 4 sobre P, temos a condi¸cão

X∈P =⇒ {w∈W : (∀w′₎_wRw′_⇒_w′ _∈_X_{} ∈}_P,

que ´e a valora¸c˜ao deV(✷A), quandoV(A) =X.

A rela¸cão |= em modelos e estruturas gerais é definida como nos modelos e estruturas usuais, isto é, hW, F, P, V, wi |= A se e somente se w ∈ V(A), e hW, F, Pi |= A se e somente se hW, F, P, V, wi |= A, para toda valora¸cão V :L −→P e todow∈W.

Retomemos a defini¸cão de modelo canônico para Lógica Modal Não-normal, no Cap´ıtulo 3. Iremos adaptá-la ao contexto de estruturas gerais.

Defini¸cão 4.1 SejaS um sistema para Lógica Modal Não-normal. Definimos omodelo geral canônico para S como o modelo hW, F, P, Viem que

• W ´e o conjunto dos conjuntos maximalmenteS-consistentes;

• V :L −→2W _{´e dada por}_V₍_A_{) =}_{_w_∈_W _:_A_∈_w_}_;

• P ={V(A) :A∈ L};

• F :W −→2P _{´e dada por}_F₍_w_{) =}_{_V₍_A_{) :}_✷_A_∈_w_}_.

(34)

Analogamente ao que foi mostrado em 3.3, podemos verificar que F est´a bem definida e quehW, F, P, Vi´e de fato um modelo geral.

O seguinte resultado, que possui um correspondente para estruturas gerais em Lógica Modal Normal, nos dá um resultado geral de corre¸cão e completude.

Proposi¸cão 4.2 SejaSum sistema de Lógica Modal Não-normal, e sejahW, F, Pi

a estrutura geral canônica paraS. Então, para toda fórmulaA, temoshW, F, Pi |= Ase e somente se ⊢S A.

Demonstra¸cão: (⇒) Suponha6⊢S A, isto é,¬AéS-consistente. ConsidereV a valora¸cão do modelo canônico e tomewtal que¬A∈w. TemoshW, F, P, V, wi |=

¬Ae, portanto,hW, F, Pi 6|=A.

(⇐) Suponha, por absurdo,⊢SAmashW, F, Pi 6|=A. SejaV′uma valora¸c˜ao ew∈W tal que

hW, F, P, V′, wi |=¬A.

Sejamp1, ..., pn as f´ormulas atˆomicas que ocorrem emA. Para cadai= 1, ..., n, considereAi tal que

V′(pi) =V(Ai),

onde V é a valora¸cão do modelo canônico. Note que Ai existe, pois V′ está definida emP, e é neste ponto que usamos o fato de estarmos trabalhando com estruturas gerais. Seja

B=A[p1/A1, ..., pn/An]

a fórmula obtida pela substitui¸cão de pi por Ai, em A, para cadai = 1, ..., n. Uma simples indu¸cão na constru¸cão deB nos dá

hW, F, P, V, wi |=¬B,

isto é, w ∈ V(¬B) e, portanto, ¬B ∈ w. Logo, teriámos ¬B consistente, absurdo, poisBé obtido de Apela regra da Substitui¸cão Uniforme.

4.2 Algebras de Boole

´

Uma álgebra de Boole é uma estrutura A= hA,∧,∨,−,0,1i, onde ∧ e∨ são opera¸cões binárias em A, −é uma opera¸cão unária e 0 e 1 são dois elementos distintos deA, que satisfaz, para todo x, y, z∈A:

B1 x∨(y∨z) = (x∨y)∨z; (associatividade) B1′ _x_∧₍_y_∧_z_{) = (}_x_∧_y₎_∧_z_;

B2 x∨y=y∨x; (comutatividade) B2′ _x_∧_y₌_y_∧_x_;

(35)

B3′ _x_∧₍_x_∨_y_{) =}_x_;

B4 x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z); (distributividade) B4′ _x_∨₍_y_∧_z_{) = (}_x_∨_y₎_∧₍_x_∨_z_);

B5 x∨(−x) = 1; (complementa¸c˜ao) B5′ _x_∧₍₋_x_{) = 0.}

Nota-se que os axiomas de ´algebra de Boole s˜ao apresentados aos pares, sendo o axiomaA′ _{obtido de}_A_{pela substitui¸c˜}_{ao de}_∧_por_∨_e_∨_por_∧_{, e 0 por}

1 e 1 por 0. H´a, portanto, uma dualidade entre∧e∨e 0 e 1.

Dada uma álgebra de BooleA=hA,∧,∨,−,0,1i, chamamos o conjuntoA dedom´ınio deA. Por abuso de nota¸cão, eventualmente denotaremos a álgebra

Apelo seu dom´ınioA.

Defini¸cão 4.3 Dadas duas álgebras de BooleA eB, de dom´ıniosA eB, res-pectivamente, um homomorfismo entre A e B é uma fun¸cão h : A −→ B satisfazendo

h(0) = 0, h(1) = 1

e, para todox, y∈A,

h(x∧y) =h(x)∧h(y), h(x∨y) =h(x)∨h(y), h(−x) =−h(x). Umisomorfismo´e um homomorfismo bijetor. Se existir um isomorfismo entre

AeBdizemos que AeB s˜aoisomorfas, e denotamos porA ∼=B.

Defini¸cão 4.4 Numa álgebra de BooleA, definimos a rela¸cão≤porx≤y se e somente sex=x∨y, para todox, y∈A.

Lembramos que uma rela¸c˜ao ≤ em um conjunto X ´e uma ordem parcial

sobreX se é reflexivo (x≤x), antissimétrico (sex≤y ey≤xentão x=y) e transitivo (sex≤y ey≤z entãox≤z). Denotamos a ordem por (X,≤).

Dadosx, y em uma ordem parcial (X,≤), denotamos porsup{x, y}um ele-mentoz(único, se existir) tal quez≤x, z≤y e, para todow∈X, sew≤xe w≤y entãow≤z (ou seja,zé o maior elemento que é menor quexey). Da mesma forma,z é oinf{x, y} sex≤z,y ≤z e, para todow∈X, sex≤w e y≤wentãoz≤w(zé o menor elemento que é maior quexey). A uma ordem que sempre contém sup{x, y} e inf{x, y} chamamos reticulado. A proposi¸cão seguinte nos diz que a rela¸cão≤, definida acima, é uma ordem parcial que forma um reticulado emA.

Proposi¸cão 4.5 A rela¸cão ≤ da Defini¸cão 4.4 é uma ordem parcial sobre A. Além disso, dados x, y∈A,x∧y=sup{x, y}e x∨y=inf{x, y}.

(36)

´

Algebras de Conjuntos

Uma álgebra de conjuntos sobreX é uma fam´ıliaA ⊆ 2X _{que contém} _X _{e é} fechado por interseçcões finitas e complementos, isto é:

• X ∈ A;

• SeX, Y ∈ A ent˜aoX∩Y ∈ A;

• SeX ∈ Aent˜aoWr_X _{∈ A}_.

Dessas trˆes propriedades, usando leis de Morgan, podemos concluir:

• ∅ ∈ A;

• SeX, Y ∈ A ent˜aoX∪Y ∈ A.

Proposi¸cão 4.6 Uma álgebra de conjuntos sobre X é uma álgebra de Boole, onde 0 =∅,1 =X e as opera¸cões∧,∨ e− são, respectivamente, interseçcão, união e complemento em rela¸cão aX.

Suprimiremos a demonstra¸cão desta proposi¸cão, que é uma simples veri-fica¸cão dos axiomas. Na Se¸cão 4.3, estudaremos uma espécie de rec´ıproca da proposi¸cão: todas álgebras de Boole são, a menos de isomorfismos, álgebras de conjuntos.

Observe que a ordem apresentada na defini¸cão 4.4, quando aplicada a uma álgebra de conjuntos, é a ordem da inclusão: ⊆, uma vez que A∪B =B se e somente seA⊆B.

´

Algebras de Lindenbaum-Tarski

Depois das álgebras de conjuntos, o mais importante exemplo de álgebra de Boole, principalmente no estudo de Lógica, são as álgebras de Lindenbaum-Tarski. Essas fornecem uma das maneiras mais elegantes que se conhecem hoje em dia de provar a completude da Lógica de primeira ordem.

SejaLum sistema de axiomas para uma lógica que estende a lógica clássica. SejaLL a sua linguagem. Definimos a rela¸cão≡L emLL por:

φ≡Lψ ⇔ ⊢Lφ↔ψ. O seguinte fato segue imediatamente da defini¸c˜ao:

Fato 4.7 A rela¸cão ≡L é uma rela¸cão de equivalência.

Dada uma fórmulaφ em L, definimos [φ] como a classe de equivalência de φ, isto é,

[φ] ={ψ∈ L:φ≡Lψ}.