MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

(1)

UM ESTUDO SOBRE EQUAÇÕES:

Identificando Conhecimentos de Alunos de um Curso de Formação

de Professores de Matemática

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PUC/SP

São Paulo

(2)

MARCELO DIAS PEREIRA

UM ESTUDO SOBRE EQUAÇÕES:

Identificando Conhecimentos de Alunos de um Curso de Formação

de Professores de Matemática

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Profª. Drª. Leila Zardo Puga.

PUC/SP

São Paulo

(3)

Banca Examinadora

________________________________________

(4)

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

(5)

Dedico este trabalho à minha avó, Norma

(6)

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar a Deus, pois sem ele eu não existiria...

Aos meus pais, João e Rosemary, pelos cuidados, pela educação e pela confiança...

Aos meus irmãos, Sergio e Raquel, pelo carinho...

À Cristiane que, nos últimos dezessete anos, esteve sempre presente ao meu lado fazendo parte da minha vida e me apoiando, tanto nos momentos bons como nos

ruins...

À minha Orientadora, Profª Drª Leila, que soube, com verdadeiro profissionalismo, orientar os passos a serem dados para a execução deste trabalho...

À Direção da Instituição privada de Ensino Superior que apoiou este trabalho...

Aos Alunos ingressantes em 2005 no Curso de Licenciatura em Matemática da Instituição privada de Ensino Superior, grupo eleito para a pesquisa...

A uma pessoa especial que muito me apoiou quando concluía este trabalho... Márcia...

(7)

LISTA DE SIGLAS

CNE/CES: Conselho Nacional de Educação – Câmara de Educação Superior.

CNE/CP: Conselho Nacional de Educação – Conselho Pleno.

FAI: Faculdades Associadas do Ipiranga.

G5: Grupo de Estudos sobre Educação Algébrica do Programa de Estudos

Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP.

INEP: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

LDB: Lei de Diretrizes e Bases.

MEC: Ministério da Educação.

PCN: Parâmetros Curriculares Nacionais.

PCN+: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares

Nacionais do Ensino Médio.

PróUni: Programa Universidade para Todos.

PUC-SP: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.

SAEB: Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica.

SARESP: Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.

SIPEM: Seminário de Pesquisas em Educação Matemática.

TIC: Tecnologias da Comunicação e Informação.

(8)

LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Relação entre o grupo de questões norteadoras do Estudo de Caso e o grupo de questões elaboradas para o segundo instrumento de

pesquisa... 60

(9)

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Resumo dos resultados da questão 18 do primeiro Vestibular... 38

Tabela 6: Resumo dos resultados da questão 17 do segundo Vestibular... 44

Tabela 9: Número de acertos das questões do primeiro instrumento de pesquisa que contribuíram para este Estudo de Caso... 46

Tabela 10: Quantidade de alunos por grupos de acertos das questões sobre Equações do primeiro instrumento de pesquisa... 47

Tabela 11: Resumo dos resultados da questão 1 do segundo instrumento de pesquisa... 117

Tabela 15: Resumo dos resultados da questão 5 do segundo instrumento de pesquisa (Quantidade de Equações resolvidas)... 131

Tabela 16: Resumo dos resultados da questão 5 do segundo instrumento de pesquisa (Procedimentos utilizados na resolução de uma Equação polinomial de primeiro grau)... 131

Tabela 17: Resumo dos resultados da questão 5 do segundo instrumento de pesquisa (Erros identificados na resolução das Equações)... 132

(10)

Tabela 19: Resumo dos resultados da questão 7 do segundo instrumento

de pesquisa... 137

Tabela 22: Natureza atitudinal... 143

Tabela 23: Respostas satisfatórias ou acertos nas questões do segundo instrumento de pesquisa... 145

Tabela 24: Resultados da questão 17 do primeiro Vestibular... 158

Tabela 36: Resultados da questão 17 do segundo Vestibular... 166

(11)

(12)

RESUMO

O presente trabalho insere-se no Grupo G5, de Estudos sobre Educação Algébrica,

do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, mais especificamente no Projeto Qual a

Álgebra a ser ensinada em Cursos de Formação de Professores de Matemática?

Trata-se de um Estudo de Caso qualitativo desenvolvido através de testes

diagnósticos elaborados a partir de pesquisas documentais e bibliográficas, cujo

objetivo principal é identificar conhecimentos sobre Equações, de alunos que

ingressaram em 2005 num Curso de Licenciatura em Matemática de uma Instituição

particular de Ensino Superior do Estado de São Paulo. Entre outros resultados,

obtidos em analises a partir das categorias de codificação segundo Bogdan e Biklen

(1994), infere-se que para a maioria dos alunos, Equação relaciona-se ao

procedimento que determina um valor desconhecido, sem, contudo, utilizá-la como

ferramenta na resolução de problemas. O grupo de alunos encontra-se no estágio

crítico de construção de competências e desenvolvimento de habilidades, o que

ratifica dados do ensino de Matemática apresentados pelo SAEB de 2003 e os

resultados do SARESP de 1997, caracterizando-se assim a lacuna existente nessa

pequena área da Álgebra no Ensino Básico, questionada no Projeto Qual a Álgebra

a ser ensinada em Cursos de Formação de Professores de Matemática?

Palavras-chave: Educação Matemática, Formação de Professores de Matemática,

(13)

ABSTRACT

This paper is part of the G5 Group of Studies on Algebra Education, included in the

Program of Graduate Studies in Mathematics, from the Pontifícia Universidade

Católica in Sao Paulo, and more specifically, in the “What kind of Algebra should be

taught in Courses for Mathematics Teachers?” Project. It is a qualitative Case Study

based on investigative testing through bibliographic and documentary research. The

study’s main objective is to identify the level of knowledge of Equations among

students who enrolled in the Mathematics Undergraduate Degree Program in a

private Education Institution in the State of Sao Paulo in 2005. Among other results,

obtained from the analysis of codification categories, according to Bogdan & Biklen

(1994), the conclusion is that the majority of the students regard an Equation as a

procedure for determining an unknown value, without, however, using it as a problem

solving tool. This group of students is undergoing the critical stage of building

competencies and developing skills, according to the 2003 SAEB (Brazilian

Elementary Education Evaluation System), which ratifies the 2003 SAEB’s data on

Mathematics Education and the 1997 SARESP (Student Output Evaluation System in

the State of Sao Paulo) results, thus indicating the existence of a gap in this small

area of Algebra in Elementary Education, addressed by the “What kind of Algebra

should be taught in Courses for Mathematics Teachers?” Project.

Keywords: Mathematics Education, Mathematics Teachers Education, Algebra

(14)

SUMÁRIO

Introdução... 15

Capítulo 1 – Problemática e justificativa... 1.1. Introdução... 1.2. Questão de Pesquisa... 1.3. Questões norteadoras da Pesquisa... 1.4. Formulando algumas hipóteses... 21 21 23 28 29 Capítulo 2 – Aspectos metodológicos da Pesquisa... 2.1. Sobre o primeiro instrumento de pesquisa... 2.2. Sobre o perfil do grupo investigado... 2.3. Sobre a pesquisa documental e pesquisa bibliográfica para o assunto Equações... 2.4. Sobre o segundo instrumento de pesquisa... 34 36 48 50 51 Capítulo 3 – Equações: Os Parâmetros Curriculares Nacionais e os livros de Matemática... 3.1. Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN... 3.1. 1. Um pequeno panorama das reformas curriculares ocorridas no Brasil... 3.1.2. Sobre aos Parâmetros Curriculares Nacionais... 3.2. Equações e os livros de Matemática... 3.2.1. Sobre o termo Equação... 3.2.2. Equações em livros de Matemática... 62 63 63 67 79 79 83 Capítulo 4 – Dados do segundo instrumento de pesquisa... 114

4.1. Análises a priori e posteriori... 115

4.2. A natureza atitudinal... 142

Considerações finais... 144

Referências ... 152

Apêndice ... 158

(15)

INTRODUÇÃO

Recém titulado como Especialista em Psicopedagogia, em 1998, pelo Centro

Universitário Assunção (UNIFAI), antigas Faculdades Associadas do Ipiranga (FAI),

e convidado no mesmo ano a fazer parte do quadro de docentes de uma Instituição

particular de Ensino Superior do Estado de São Paulo, surgia meu primeiro contato

com aquela Instituição. Iniciava-se, assim, minha primeira oportunidade para lecionar

no Ensino Superior, um objetivo muito almejado desde o inicio de minhas atividades

no magistério, em 1995, após formar-me no Curso de Ciências com Habilitação em

Matemática, na então FAI.

Como primeira experiência profissional no Ensino Superior, aquele ano foi

considerado muito prazeroso, pois, além de iniciar as atividades profissionais na

área que pretendia, comecei lecionando no quarto, e último, ano do Curso de

Ciências com Habilitação em Matemática que, nesse mesmo ano, representou a

Instituição no primeiro Exame Nacional de Cursos, o extinto Provão, na área de

Matemática e apresentou um desempenho satisfatório.

Em 2000, o Curso foi transformado em Curso de Matemática, deixando,

portanto, de oferecer o Curso de Licenciatura em Ciências com Habilitação em

Matemática, para oferecer o Curso de Licenciatura Plena em Matemática.

Já no ano de 2002, com as mudanças ocorridas na estrutura do Curso, tendo

em vista a transformação mencionada, e em meio à suspensão do mesmo pelo

Ministério da Educação (MEC) alegando desempenho insatisfatório nos Exames

Nacionais dos anos de 1999, 2000 e 2001, fui apresentado pela Direção da

(16)

Após escolha, por meio de consultas aos corpos docente e discente, fui eleito o novo

Coordenador do Curso e assumi em fevereiro, daquele mesmo ano, com a principal

missão de reverter o processo de suspensão do referido Curso.

A partir de então, a preocupação com a formação de alunos, considerada

primordial pela Instituição e seus professores, passou a ser vital, uma vez que

passaríamos por uma visita da Comissão de Avaliadores de Curso do MEC naquele

ano.

Não faltaram esforços de nossa parte – coordenação, corpo docente, corpo

discente e direção da Instituição – para que a avaliação fosse satisfatória. Durante

seis meses, praticamente, nos dedicamos a uma primeira reavaliação da estrutura

do Curso, desde a matriz curricular, passando pelos conteúdos de ensino chegando

até a metodologia utilizada. Graças a esses esforços realizados em conjunto, a

avaliação efetuada pela Comissão de Avaliadores do MEC, em outubro de 2002, foi

considerada satisfatória. Como resultado do trabalho de toda a equipe,

conseguimos, ainda no ano de 2003, elevar a nota do Provão de D obtidas nos anos

de 2001 e 2002, para C. Esses fatores contribuíram direta e decisivamente para o

reconhecimento do Curso, por quatro anos, a partir de 2004.

Contudo, nossa tarefa não estava ainda terminada. Pelo fato de não abrirmos

novas vagas para o Curso nos Vestibulares de 2002 e 2003, não existia turma para

o Curso no ano de 2004. Nesse espaço de tempo, levando em conta as mudanças

propostas para os Cursos de Formação de Professores pelo MEC, aproveitamos

para trabalhar na reestruturação do Curso, de modo a satisfazer as Diretrizes

Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em

nível superior, curso de licenciatura, graduação plena (resolução nº 1 do CNE/CP1,

1

(17)

de 18 de fevereiro de 2002) e as Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de

Matemática, Bacharelado e Licenciatura (parecer CNE/CES2 1302/2001, de 05 de

dezembro de 2001).

Convém destacar que, antes mesmo de exercer a função de Coordenador, já

nas mudanças ocorridas na estrutura do Curso a partir do ano 2000,

preocupavam-nos as questões relacionadas à área de Álgebra e, em particular, os conhecimentos

matemáticos referentes a essa área que trazem os alunos do Ensino Básico. Por

este motivo, ao elaboramos a nova matriz curricular do Curso de Licenciatura em

Matemática que coordeno, propomos um componente curricular denominado

Complementos de Matemática, satisfazendo, assim, antigas sugestões de alguns

docentes do Curso, inclusive as minhas próprias.

Atualmente, como aluno do Curso de Mestrado Profissional em Ensino da

Matemática, do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), participante do Grupo de

Estudos sobre Educação Algébrica (G5), exercendo a função de Coordenador de um

Curso de Licenciatura em Matemática em uma Instituição particular de Ensino

Superior, identificado daqui em diante como Curso de Matemática, e lecionando em

turmas de primeiros anos (ou semestres) daquele e de outros cursos do Ensino

Superior de Instituições particulares, tenho notado que alguns alunos apresentam

dificuldades no trato com a Álgebra, sobretudo no que se refere ao assunto

Equações.

Como professor, uma de minhas preocupações está em querer contribuir com

um ensino, que leve em consideração as pesquisas da área da Educação

Matemática, de forma a minimizar as dificuldades detectadas.

2

(18)

Como Coordenador do Curso de Matemática, um de meus propósitos em

relação ao Curso é a de que possa formar futuros professores de Matemática que,

além de conhecedores dos conteúdos que ministrarão em suas aulas, sejam

também docentes preocupados com sua atuação na educação, exercendo assim as

práticas essenciais inerentes à função de professor como profissional, tais como as

mencionadas por Ponte et al (2000, p. 06):

A prática lectiva corresponde ao aspecto essencial da actividade do professor [...] o professor interage com o aluno com a intenção explícita de favorecer as aprendizagens e promover o desenvolvimento. A prática extra-lectiva inclui todos os restantes momentos da sua actividade profissional em que o professor interage com outros elementos da comunidade educativa [...]. Finalmente, o desenvolvimento profissional corresponde aos momentos em que o professor procura explicitamente melhorar a sua formação na área de especialidade de docência, no domínio educativo, em aspectos de natureza cultural ou pessoal, tendo em vista o exercício de sua actividade profissional.

Relatando todos esses fatos em alguns encontros de orientação com a Profª

Drª Leila Zardo Puga, salientando mais detalhes da experiência que havíamos

passado e as preocupações específicas que tínhamos, chegamos à conclusão de

que poderíamos desenvolver uma pesquisa que pudesse contribuir com informações

para parte de um processo de tomada de decisão, em conjunto com o corpo docente

do Curso de Matemática, a fim de promover mudanças que possam colaborar na

formação de conceitos matemáticos básicos para os futuros professores de

Matemática daquele Curso, surgindo assim a questão de nossa pesquisa. A saber:

Identificar os conhecimentos matemáticos, isto é, conceitos, propriedades,

definições, procedimentos etc. e modos de pensar dos alunos do Curso de

Matemática sobre o tema Equação, ao ingressarem em 2005 no primeiro semestre

(19)

Em outras palavras, isso significa que pretendemos identificar que

procedimentos e estratégias são utilizados para resolver as Equações polinomiais,

bem como os possíveis erros e dificuldades que os alunos do primeiro semestre de

2005 do Curso de Matemática apresentam ao ingressarem no Ensino Superior.

Trata-se, portanto, de um Estudo de Caso, inserido na linha de pesquisa A

Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores, do Curso de

Mestrado Profissional em Ensino de Matemática do Programa de Estudos

Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP.

Nesse contexto, iniciamos a presente pesquisa realizando um estudo que visa

coletar informações e analisar dados que forneçam subsídios para que se possa

delinear uma resposta à questão de pesquisa. Como instrumentos para coletar

informações fizemos uso de pesquisas documental e bibliográfica, bem como

aplicamos dois testes diagnósticos e identificamos o perfil do grupo eleito.

Assim sendo, este trabalho está composto de cinco capítulos descritos no que

se segue:

No Capítulo 1, apresentamos a problematização e a justificativa da pesquisa,

formulando algumas hipóteses, com base em informações obtidas no Sistema

Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) do ano de 2003, e no Sistema

de Avaliação do Rendimento escolar do Estado de São Paulo (SARESP) do ano de

1997.

No segundo Capítulo, tratamos de aspectos metodológicos e dos

instrumentos utilizados para coletar as informações empregadas no desenvolvimento

deste trabalho.

No Capítulo 3, abordamos os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e

(20)

com o intuito de identificar as propostas e verificar se ocorreram mudanças no

ensino de Equações, nos últimos 40 anos.

No Capítulo 4, analisamos e sistematizamos as informações obtidas do

segundo teste diagnóstico.

Finalmente, tecemos em Considerações Finais, as conclusões resultantes desta

pesquisa.

Apresentamos, ainda, em forma de Apêndice, os resultados e objetivos de todas as

questões utilizadas no primeiro teste diagnóstico realizado com o grupo eleito,

visando contribuir, de alguma forma, com as demais pesquisas existentes na área da

Educação Matemática, sobretudo com relação aos conhecimentos de Álgebra

trazidos por alunos egressos do Ensino Básico, uma vez que, no Capítulo 2,

(21)

CAPÍTULO 1

PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

1.1. Introdução:

Nos últimos anos, o ensino e a aprendizagem de Álgebra tornaram-se objetos

de grande interesse em pesquisas, sobretudo pela comunidade de Educação

Matemática nacional e, também, internacional.

Algumas dessas pesquisas evidenciam importantes questionamentos

relacionados à Álgebra, como a de Lemoyne, Conne e Brun (1993) que versa sobre

erros apresentados por alunos no tratamento de Equações Algébricas, a de Bazzini

(2000) que aborda o conceito de equivalência entre Equações e o conceito de

equivalência entre Inequações, e a de Lee (2001) que argumenta sobre as visões da

Álgebra e suas conveniências para o ensino da Pré-Álgebra.

Há, ainda, as pesquisas de Bednarz, Kieran e Lee (1996), que apresentam

como perspectivas de abordagens para a investigação e o estudo da Álgebra, as

seguintes alternativas:

(1) Álgebra como generalização de padrões numéricos e

geométricos e de leis que governam as relações numéricas

(aritmética generalizada);

(2) Álgebra como resolução de problemas específicos ou classe de

problemas;

(3) Álgebra como regras para transformar e resolver Equações;

(4) Álgebra como introdução ao conceito de variáveis e estudo de

(22)

(5) Álgebra como estudo das estruturas algébricas.

No Brasil, há também Projetos de Pesquisa direcionados ao ensino e a

aprendizagem de Álgebra. Dentre eles, citamos o Projeto intitulado Qual a Álgebra a

ser ensinada em Cursos de Formação de Professores de Matemática?, desenvolvido

na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, no Programa de Estudos

Pós-Graduados em Educação Matemática, mais precisamente no Grupo de Estudos

sobre Educação Algébrica (G5) sob a responsabilidade das Professoras

Pesquisadoras Drª Barbara Lutaif Bianchini, Drª Leila Zardo Puga, Drª Maria Cristina

S. A. Maranhão, Drª Silvia Dias Alcântara Machado e Drª Sônia Pitta Coelho. O

referido Projeto procura, colocando em linhas gerais, responder às seguintes

questões principais:

1.Qual a álgebra a ser ensinada em cursos de formação de professores de matemática?

2.Como se configura a “lacuna” entre o ensino básico e o ensino superior, e como examiná-la a partir do currículo de álgebra da Licenciatura em matemática? (COELHO; MACHADO; MARANHÃO, 2003, p. 08)

Vinculado a esse mesmo Projeto, digamos principal, há outros, como o

Projeto O que se entende por Álgebra? que, juntamente com o principal, têm como

foco norteador, a formação de professores de Matemática e visa envolver, além das

professoras participantes do G5, alunos e outros pesquisadores em geral que

investigam temas relacionados à Teoria dos Números e à Álgebra. Contempla,

portanto, estudos relativos ao ensino e à aprendizagem de Números, Equações e

Inequações, entre outros, que possibilitam identificar e sugerir elementos que sirvam

de base para possíveis e necessárias “reformulações” do currículo de Álgebra em

Cursos de Licenciatura em Matemática, contribuindo assim para uma melhor

(23)

Delineando o Projeto de Pesquisa Qual a Álgebra a ser ensinada em Cursos

de Formação de Professores de Matemática?, Coelho, Machado e Maranhão (2003,

p. 16-17), através de um artigo apresentado no Segundo Seminário de Pesquisas

em Educação Matemática (II SIPEM), na cidade de Santos, em São Paulo, indicam:

Esse projeto envolve estudos em três planos paralelos e superpostos, para análise multidimensional de interações entre estudantes, professores e programas curriculares. Propõe-se a formular pesquisa de cunho documental, diagnóstica e interventiva, com o objetivo de examinar as possíveis articulações e desarticulações nesses planos e entre eles.

O estudo no plano do estudante admite pesquisas sobre conhecimentos e modos de pensar de estudantes, inclusive durante intervenções.

O estudo no plano do professor pesquisa conhecimentos e modos de pensar de professores com relação aos assuntos em que ensina, suas escolhas e suas formas de avaliação. Investiga também o desenvolvimento de conhecimento e dos modos de pensar integrados do professor relativos ao tripé aluno - professor - saber matemático, quando toma contacto ou utiliza pesquisas do plano do estudante. Visa-se conhecer como são integrados os saberes e modos de pensar do professor com os saberes psicológicos (sobre aprendizagem, habilidades para a solução de problemas de estudantes, atitudes face à Matemática, entre outros) e com os pedagógicos ou didáticos (sobre abordagens e métodos de ensino, entre outros).

O estudo no plano curricular admite pesquisas de cunho documental sobre o que está proposto em documentos oficiais e institucionais. Contempla também, a partir da análise das pesquisas nos planos anteriores, a investigação de interações entre esses planos.

1.2. Questão de Pesquisa:

Cientes das lacunas existentes na área de Álgebra que a maior parte dos

alunos geralmente apresenta, conforme nos mostram alguns documentos oficiais,

como, por exemplo, o SAEB de 2003 e o SARESP de 2004, e, em particular, das

dificuldades que, constantemente, os ingressantes no Curso de Matemática

demonstram, o componente curricular Complementos de Matemática, com uma

(24)

principal objetivo de proporcionar aos alunos subsídios básicos para um melhor

desempenho no referido Curso, que conta, ao todo, com seis semestres letivos.

Frente às possíveis dificuldades que os alunos possam porventura apresentar

pretende-se, também, instruí-los ou assessorá-los em estudos dirigidos a serem

propostos durante o Curso de Matemática através de atividades complementares.

Em tais situações, esperamos contribuir para a aquisição ou formação de noções,

conceitos e conhecimentos sobre conteúdos básicos de Matemática, em particular,

aqueles relacionados ao assunto Equações.

Em princípio, no componente curricular Complementos de Matemática estão

propostos os seguintes temas:

(a) Conjuntos numéricos: Conjunto dos Números Naturais. Conjunto

dos Números Inteiros. Máximo Divisor Comum. Mínimo Múltiplo

Comum. Números Primos. Conjunto dos Números Racionais.

Dízimas Periódicas. Conjunto dos Números Irracionais. Conjunto dos

Números Reais.

(b) Operações no Conjunto dos Números Reais: Adição.

Multiplicação. Propriedades estruturais. Potenciação e suas

propriedades. Radiciação e suas propriedades. Racionalização.

(c) Cálculo Algébrico: Expressões Algébricas. Produtos Notáveis.

Fatoração.

(d) Polinômios: Adição. Subtração. Multiplicação. Divisão pelo

método da chave.

(e) Equações: Equações polinomiais do primeiro e do segundo

(25)

(f) Noções básicas de Geometria Analítica: Sistema Cartesiano.

Distância entre dois pontos. Coordenadas do Ponto Médio.

É nossa intenção, com base nesse componente curricular, formar professores

capazes de:

(a) Identificar os Conjuntos numéricos e operar no Conjunto dos

Números Reais;

(b) Conceituar Expressões Algébricas e operá-las;

(c) Conceituar Polinômios e operá-los;

(d) Conceituar Equações e resolver Equações polinomiais de

primeiro e segundo graus;

(e) Identificar as Coordenadas de pontos no plano através do

Sistema Cartesiano, determinar a Distância entre dois pontos, assim

como as Coordenadas do Ponto Médio entre eles;

(f) Utilizar o conteúdo estudado na resolução de problemas

diversos;

(g) Identificar, na metodologia utilizada nas aulas de Complementos

de Matemática, exemplos que possam ser aplicados futuramente no

ensino de Álgebra, que possam favorecer a aprendizagem dos

conteúdos relacionados com esta área do saber.3

Como forma de avaliar a necessidade de determinados temas ou tópicos propostos

no componente curricular Complementos de Matemática do novo Curso de

3

(26)

Matemática, principalmente no que se refere à compreensão ou conhecimentos dos

alunos sobre Equações e, também, identificar que procedimentos de resolução

empregam os alunos que ingressaram neste Curso, bem como os possíveis erros e

dificuldades encontradas no trato com Equações, algumas perguntas surgiram e

delinearam a seguinte questão de pesquisa: Quais os conhecimentos matemáticos,

isto é, conceitos, propriedades, definições, procedimentos etc. e modos de pensar,

sobre Equação, que os alunos do Curso de Matemática apresentam ao ingressarem,

em 2005, no primeiro semestre daquele Curso?

A idéia de tratarmos do tema Equações com uma turma de futuros

professores de Matemática de um Curso de Licenciatura em Matemática, origina-se,

principalmente, no Projeto O que se entende por Álgebra?, um dos projetos

vinculados ao Projeto Qual a Álgebra a ser ensinada em Cursos de Formação de

Professores de Matemática? desenvolvido pelo grupo G5 da PUC-SP.

Conforme afirmam Maranhão, Machado e Coelho (2004, p. 12):

[...] é necessário gerar pesquisa sobre ensino e aprendizagem de Teoria Elementar dos Números e de Álgebra. Um dos seus objetivos é prover sugestões para a Educação Básica que façam justiça às potencialidades pedagógicas dos temas. Além disso, pretende-se gerar uma proposta de currículo de Tópicos de Teoria Elementar dos Números e de Álgebra, para cursos de formação de professores, com a finalidade de fornecer sugestões para bom uso desses assuntos em sala de aula.

(27)

pré-universitário, universitário (formação inicial) e pós-universitário (formação continuada).

Julgamos que o presente estudo é pertinente e relevante e que, além de

poder contribuir para uma reflexão sobre as possíveis mudanças necessárias nos

tópicos propostos no componente curricular Complementos de Matemática do Curso

de Matemática, também fornecerá diretrizes para um planejamento futuro de

atividades extracurriculares aos alunos, daquele Curso, que apresentarem

dificuldades quanto ao conteúdo em questão, ou seja, Equações.

Possibilitará, além disso, fornecer respostas para algumas das diversas

questões propostas no Projeto Qual a Álgebra a ser ensinada em Cursos de

Formação de Professores de Matemática? como, por exemplo, a questão sobre

quais os conhecimentos e os modos de pensar dos estudantes ou, ainda, sobre as

propostas de ensino presentes em documentos oficiais, além daquelas contidas em

livros de Matemática, sobretudo no que se refere as Equações em nosso caso

específico.

Tendo em vista a relevância do tema e da pesquisa, cremos que seja

oportuno este Estudo de Caso, pois uma forma apenas mecanizada ou de simples

manipulação algébrica no trato de Equações não contribui para o aprendizado da

Álgebra e, conseqüentemente, para a formação do futuro docente.

Concordamos com Pádua (2004, p. 75) ao indicar:

(28)

1.3. Questões norteadoras da Pesquisa:

Em diversas oportunidades, ao fazer uma revisão de conteúdos ligados aos

assuntos Expressões Algébricas e Equações, em turmas de alunos ingressantes em

cursos superiores, me deparei com aqueles que procuravam encontrar o valor de

uma variável presente numa Expressão Algébrica. Para isso, alguns igualavam a

expressão a zero e aplicavam operações de modo a encontrar o “valor

desconhecido”. Em outros casos, não igualavam as expressões a zero, mas, mesmo

assim, aplicavam operações de modo a determinar o “valor desconhecido”. Quando

a expressão apresentava duas ou mais letras, a pergunta era inevitável: “como fazer

para encontrar o valor das ‘incógnitas’ no caso de duas ou mais aparecerem na

mesma ‘conta’?”.

Preocupado com a noção e, ainda, com os procedimentos de resolução de

Equações que os futuros professores de Matemática têm ou apreenderam e,

conseqüentemente, ensinarão aos seus futuros alunos, formulamos algumas

questões que norteiam a presente pesquisa:

(1) Os futuros professores de Matemática, ingressantes em 2005 no

Curso de Matemática, sabem diferenciar uma Equação de uma

Expressão Algébrica?

(2) O que os futuros professores de Matemática, ingressantes em 2005

no Curso de Matemática, entendem por Equação?

(3) Como, ou quais são os procedimentos, que os futuros professores

de Matemática, ingressantes em 2005 no Curso de Matemática,

empregam para resolver as Equações polinomiais?

(4) Os futuros professores de Matemática, ingressantes em 2005 no

(29)

resolver certos problemas propostos em língua natural envolvendo

um valor desconhecido?

As respostas às questões acima, além do caráter investigativo, próprio do

Projeto em que se insere, constituem-se em fortes indícios de diretrizes a serem

tomadas para que se possam atingir outros objetivos maiores, sendo um deles o de

formar professores responsáveis, conscientes da profissão que exercerão e cientes

das dificuldades conceituais e procedimentais que poderão ter ou causar em seus

futuros alunos.

1.4. Formulando algumas hipóteses:

A cada dois anos, o Governo Federal, através do Instituto Nacional de

Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), autarquia federal

especializada na avaliação e na informação educacional com a principal finalidade

de subsidiar o MEC com informações sobre a educação brasileira (INSTITUTO...,

[200-]a), efetua uma avaliação com alunos da rede pública do Ensino Fundamental e

do Ensino Médio que gera algumas informações para avaliar o Sistema Nacional de

Avaliação da Educação Básica (SAEB).

Segundo o INEP, o SAEB, tem como objetivo principal, coletar informações

sobre alunos, professores, diretores de escolas públicas e privadas em todo Brasil

para apoiar os Municípios, os Estados e a União na formulação de políticas que

(30)

Para atingir seus objetivos, segundo o INEP, a avaliação que contribui com

informações para o SAEB é aplicada junto aos alunos da quarta e oitava séries do

Ensino Fundamental e do terceiro ano do Ensino Médio.

Dados do último SAEB 2003 apontaram, em Matemática, que 7,3% dos

alunos pesquisados, da oitava série, de todo território nacional, estão no estágio

muito crítico; 49,8% dos alunos no estágio crítico; 39,7% no estágio intermediário; e

3,3% dos alunos no estágio adequado de construção de competências e

desenvolvimento de habilidades na resolução de problemas em Matemática.

(BRASIL, 2004)

Como estágios de construção de competências e desenvolvimento de

habilidades na resolução de problemas em Matemática para o aluno concluinte do

Ensino Fundamental, o SAEB classificou:

Estágio muito crítico: foi considerado o aluno que não conseguiu responder a comandos operacionais elementares compatíveis com a 8ª série (resolução de expressões algébricas com uma incógnita; características e elementos das figuras geométricas planas mais conhecidas).

Estágio crítico: foi considerado o aluno que desenvolveu algumas habilidades elementares de interpretação de problemas, mas não conseguiu transpor o que está sendo pedido no enunciado para uma linguagem matemática específica, estando, portanto, muito aquém do exigido para a 8ª série (resolveu expressões com uma incógnita, mas não interpretou os dados de um problema fazendo uso dos símbolos matemáticos específicos. Desconhece as funções trigonométricas para a resolução de problemas).

Estágio intermediário: foi considerado o aluno que adquiriu habilidades matemáticas mais compatível com oito anos de escolarização. Além das habilidades dos estágios anteriores, consolidou habilidades que cabem destacar: identificou lados e ângulos de um quadrilátero (retângulo, losango, quadrado e trapézio); identificou o sistema de equações do 1º grau expressas em uma situação dada; leu tabelas com números positivos e negativos e identifica o gráfico de colunas correspondente.

(31)

específicos e reconhece as funções trigonométricas elementares). Além disso, resolve problemas simples envolvendo frações, porcentagens, equação 2º grau e conceitos de proporcionalidades; resolve expressão envolvendo as quatro operações, potencias e raízes. (BRASIL, 2004, p. 37)

Em relação ao Ensino Médio, em Matemática, 6,5% dos alunos pesquisados,

do terceiro ano, de todo território nacional, estão no estágio muito crítico; 62,3% dos

alunos no estágio crítico; 24,3% no estágio intermediário; e 6,9% dos alunos no

estágio adequado de construção de competências e desenvolvimento de habilidades

na resolução de problemas em Matemática. (BRASIL, 2004)

Como estágios de construção de competências e desenvolvimento de

habilidades na resolução de problemas em Matemática para o aluno concluinte do

Ensino Médio, o SAEB classificou:

Estágio muito crítico: foi considerado o aluno que não conseguiu responder a comandos operacionais elementares compatíveis com a 3ª série do Ensino Médio (construção, leitura e interpretação gráfica; uso de propriedades de figuras geométricas planas e compreensão de outras funções).

Estágio crítico: foi considerado o aluno que desenvolveu algumas habilidades elementares de interpretação de problemas, mas não conseguiu transpor o que está sendo pedido no enunciado para uma linguagem matemática específica, estando, portanto, muito aquém do exigido para a 3ª série do Ensino Médio (construção, leitura e interpretação gráfica; uso de algumas propriedades e características de figuras geométricas planas e resolução de funções logarítmicas e exponenciais). Os alunos, neste estágio, alcançaram os níveis 4 ou 5 da Escala do SAEB.

Estágio intermediário: foi considerado o aluno que adquiriu habilidades de interpretação de problemas. Fez uso de linguagem matemática específica, porém a resolução foi insuficiente ao que é exigido para a 3ª série do Ensino Médio (reconhecer e utilizar alguns elementos de geometria analítica, equações polinomiais, além de algumas operações dos números complexos); utilizou o conceito de progressão geométrica para identificar o termo seguinte de uma seqüência dada; calculou a probabilidade de um evento em problemas simples e identificou em um gráfico de função o comportamento de crescimento/decrescimento.

(32)

correto da linguagem matemática específica; apresentou habilidade compatível com a série em questão. Reconheceu e utilizou elementos de geometria analítica, equações polinomiais e desenvolveu operações com os números complexos. Além disso, foi capaz de resolver problemas distinguindo funções exponenciais crescentes e decrescentes, entre outras habilidades. (BRASIL, 2004, p. 39)

Em uma primeira análise destas informações, podemos constatar que a maior

parte dos alunos investigados da oitava série do Ensino Fundamental apresenta

alguma dificuldade de ordem algébrica, pois, segundo a classificação do SAEB, o

aluno que não interpreta os dados de um problema fazendo uso dos símbolos

matemáticos específicos está no estágio critico da construção de competências e

desenvolvimento de habilidades na resolução de problemas.

O mesmo podemos dizer em relação aos alunos do terceiro ano do Ensino

Médio, pois os alunos desta fase que estão no estágio crítico, não conseguem

transpor o que está sendo pedido no enunciado de um problema para a linguagem

matemática específica e não reconhecem e nem utilizam elementos matemáticos,

entre eles, por exemplo, as Equações polinomiais.

Além do SAEB, o Sistema de Avaliação do Rendimento escolar do Estado de

São Paulo (SARESP), é aplicado anualmente pelo Governo de São Paulo, desde

1996, nas escolas estaduais, municipais e particulares do Estado, sendo que nestas

últimas a aplicação da avaliação é feita através de adesão, visando avaliar

sistematicamente a Educação Básica do Estado de São Paulo para colher

informações a fim de corrigir possíveis distorções no sistema de ensino. (PORTAL...,

[2005])

Em suas primeiras edições, o SARESP avaliou, além das habilidades de

(33)

Em 1997, foram avaliados os alunos das quarta e oitava séries do Ensino

Fundamental e, como resultado em relação às habilidades em Matemática, Ribeiro

(2001, p. 23) comenta o seguinte:

Mesmo nas questões possíveis de resolução por meio de rotinas mecânicas, cujos comandos eram curtos e, facilmente, identificáveis com os já treinados e freqüentes nos livros didáticos mais adotados, os índices de acerto ainda continuaram abaixo do razoável. Pode-se notar isso pelo baixo índice alcançado nas equações de 1º grau, um tema bastante privilegiado pelo professor em sala de aula.

Diante dos resultados obtidos nestas duas avaliações, o SAEB 2003 e o

SARESP 1997, efetuadas pelo Governo Federal e pelo Governo do Estado de São

Paulo, respectivamente, bem como do perfil dos alunos matriculados no primeiro

semestre de 2005 no Curso de Matemática, apresentado no próximo capítulo,

conjecturamos duas hipóteses com relação ao tema Equações e os alunos

ingressantes naquele Curso:

1ª) Grande parte dos alunos do referido Curso, turma 2005,

provavelmente, não sabe diferenciar uma Equação de uma

Expressão Algébrica. Neste caso, questionamos se poderão ter

alguns fragmentos de noção que evidenciem uma concepção sobre

Equação.

2ª) Pelo fato da maior parte dos alunos do Curso de Matemática ter,

provavelmente, uma noção parcial sobre Equação, ou apresentar

uma concepção sobre Equação que não totaliza o conceito

propriamente dito, é possível que eles a resolvam de maneira

mecanizada e, possivelmente, erros procedimentais como, por

exemplo, passa pra lá muda de sinal poderão ser a causa da maior

(34)

CAPÍTULO 2

ASPECTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA

Segundo Lüdke e André (1986), o termo pesquisa é largamente utilizado nos

dias de hoje em diversas áreas, inclusive na área da Educação, para designar uma

simples atividade de consulta.

Cientes de que esse termo vai além de simples consultas, decidimos optar

por uma pesquisa de natureza qualitativa direcionada à Educação, contendo,

portanto, certas características, como as seguintes descritas por Bogdan e Biklen

(1994): ser desenvolvida em uma situação natural; apresentar dados

predominantemente descritivos; e focalizar a realidade de forma complexa e

contextualizada, as quais a diferencia metodologicamente das pesquisas de

natureza quantitativa.

Pelo fato de incluir, ainda, outros aspectos fundamentais, tais como: enfatizar

a interpretação em contexto; utilizar uma variedade de fontes de informação; e

empregar linguagem e forma mais acessíveis na apresentação e análise das

informações para permitir que o leitor associe os dados apresentados com suas

experiências pessoais, produzindo novas idéias ou novos horizontes de pesquisa, de

acordo com Lüdke e André (1986), podemos classificá-la como um Estudo de Caso

que utiliza, como instrumentos de coleta de informações, a pesquisa documental, a

pesquisa bibliográfica, a aplicação de testes diagnósticos e a identificação do perfil

do grupo eleito para a pesquisa.

As pesquisas documental e bibliográfica foram desenvolvidas com o objetivo

(35)

diagnósticos, assim como a respectiva análise a priori. Já a identificação do perfil

dos alunos investigados foi realizada com o intuito de delinear características

básicas do grupo eleito a fim de se obter dados para a formulação de hipóteses da

presente pesquisa.

Reúne, dessa forma, uma série de informações pertinentes que em muito

poderão contribuir, sobretudo, no replanejamento do componente curricular

Complementos de Matemática, e, em particular, atender o propósito de balizar a

elaboração de atividades complementares, com relação ao assunto Equações, no

Curso de Matemática.

Além disso, cremos que tais informações são importantes e oportunas

também para a realização do Projeto de Pesquisa intitulado Qual a Álgebra a ser

ensinada em Cursos de Formação de Professores de Matemática? desenvolvido

pelo G5 e de outros projetos afins.

Este Estudo de Caso, realizado com o grupo eleito, isto é, a turma de alunos

do primeiro semestre do ano de 2005 do Curso de Matemática, identificada daqui em

diante como “futuros professores”, ou simplesmente, “aluno” ou “alunos”, divide-se

em fases cronologicamente desenvolvidas da seguinte forma:

• Análise das questões de Matemática dos dois Exames de Vestibular/2005,

denominado primeiro instrumento de pesquisa, realizados pelos futuros

professores no mês de dezembro de 2004 e no mês de janeiro de 2005. Este

último, para o preenchimento das vagas remanescentes no Curso de

Matemática. No decorrer do presente trabalho, denominaremos estes Exames

(36)

• Identificação do perfil do grupo eleito nesta pesquisa, obtido através das informações de um questionário preenchido pelos vestibulandos da Instituição

particular de Ensino Superior que oferece o Curso de Matemática.

• Pesquisa documental e pesquisa bibliográfica sobre o assunto Equações, efetuadas a partir dos Parâmetros Curriculares Nacionais e de determinados

livros de Matemática.

• Elaboração, aplicação e análise de um teste diagnóstico, contendo questões sobre Expressões Algébricas e Equações, denominado segundo instrumento

de pesquisa, realizado com os alunos em sala de aula no mês de abril de

2005, após o estudo de conteúdos envolvendo Conjuntos Numéricos e

operações no conjunto dos Números Reais e antes do estudo dos conteúdos

sobre Cálculo Algébrico, Polinômios e Equações4, no componente curricular

Complementos de Matemática.

2.1. Sobre o primeiro instrumento de pesquisa:

Os Exames de Vestibular, com duração máxima de 240 minutos, foram

compostos por uma redação com tema pré-determinado e por quarenta questões de

múltipla escolha, das quais 12 eram relativas a conhecimentos de Matemática.

Ambos os Exames de Vestibular foram aplicados no período noturno, a partir

das 19:00h, na própria Instituição particular de Ensino Superior, por seus

professores.

Levando em conta nossa questão de pesquisa qual seja: identificar os

conhecimentos matemáticos, isto é, conceitos, propriedades, definições,

procedimentos etc. e modos de pensar dos alunos do Curso de Matemática, sobre o

4

(37)

tema Equação, ao ingressarem no primeiro semestre de 2005 naquele Curso, foram

selecionadas apenas algumas questões de Matemática dos Exames de Vestibular

que pudessem contribuir validando ou não nossas hipóteses iniciais, delineando

assim uma resposta para a questão da pesquisa.

Contudo, pelo fato de julgarmos que com o presente estudo possamos

contribuir também para as pesquisas na área da Educação Matemática, decidimos

apresentar, em forma de Apêndice, os resultados e objetivos sobre todas as

questões referentes aos conhecimentos de Matemática, propostas nos dois Exames

de Vestibular.

Isso posto, abordamos, a seguir, somente aquelas questões que contribuíram

diretamente para este Estudo de Caso, que são as questões de números 18, 20, 22,

25 e 27 do primeiro Vestibular e de números 17, 18 e 19 do segundo Vestibular5,

resolvidas por 26 alunos aprovados no primeiro Vestibular e dez alunos aprovados

no segundo Vestibular.

1º Vestibular:

Questão 18. Assinale a alternativa que satisfaça a resolução da equação

7 5 2x+ =

− .

5

As questões de Matemática do primeiro Vestibular e do segundo Vestibular constam, respectivamente, no ANEXO B e no ANEXO C.

(38)

Resposta: alternativa (c)

A questão de número 18 teve por objetivo identificar, nos futuros professores,

o possível erro que pode ocorrer no conteúdo de natureza procedimental resolução

de Equações polinomiais de primeiro grau, relacionado à regra passa pra lá muda de

sinal, ainda bastante manuseada no Ensino Básico, conforme relatos de vários

alunos do Ensino Superior, manifestados em sala de aula nestes últimos sete anos

de experiência no magistério. Para tanto, as alternativas (a) e (b) foram elaboradas

de forma a incluir os possíveis erros gerados pela regra acima descrita. As

alternativas (d) e (e), por sua vez, foram incluídas sem ter uma correlação com o

objetivo específico da questão, envolvendo, contudo, outros tipos de erros bastante

freqüentes.

A maior parte dos alunos participantes do primeiro Vestibular não acertou o

exercício ao indicarem os itens (a) ou (b), exatamente aqueles relacionados à regra

passa pra lá muda de sinal.

Tabela 1: Resumo dos resultados da questão 18 do primeiro Vestibular

Alternativa Freqüência_absoluta Freqüência_relativa

(a) 6 23,08%

(b) 11 42,31%

(c) 8 30,77%

(d) 1 3,85%

(e) 0 0%

Total 26 100%

(39)

Questão 20. Se x=6, então o valor de 4x será:

(a) 10 (b) 46 (c) 64 (d) 24 (e) –2

Resposta: alternativa (d)

A questão 20, constante do artigo de Lemoyne, Conne e Brun (1993, p. 337),

visou identificar, principalmente, se os alunos apresentariam um tipo específico de

erro, denominado erro sintático de concatenação, pertencente a uma categoria de

erros escolares criada por Matz (apud LEMOYNE; CONNE; BRUN; 1993), a saber: a

categoria dos erros correspondentes à ausência de mudanças conceituais, que

ocorre na passagem aritmética-álgebra, momento em que, segundo ele, efetua-se a

construção da noção de valor simbólico e a extensão da relação de igualdade.

A grande maioria dos alunos acertou o exercício proposto, em que,

possivelmente, não ocorreu o erro mencionado acima.

(a) 0 0%

(b) 0 0%

(c) 0 0%

(d) 24 92,31%

(e) 2 7,69%

Total 26 100%

Questão 22. No curso de Pós Graduação de uma Universidade, existem 6 alunos

(40)

professores pela letra P, assinale a alternativa que representa a relação entre o

número de alunos e o número de professores:

(a)6A=P (b)A=P (c)A=6P

(d) impossível identificar a relação, pois não foi dado o número de alunos do curso.

(e) impossível identificar a relação, pois não foi dado o número de professores do

curso.

Esta questão, formulada a partir do problema “Estudante-Professor”,

apresentado em Kieran (1992), teve como objetivo, o mesmo proposto na pesquisa

de Clement (apud KIERAN,1992), que é verificar se os alunos consideram as letras

como rótulos e não como números em uma relação de equivalência. Além disso, a

inclusão de questões sobre este assunto justifica-se, também, tendo em vista um

dos objetivos de Matemática para o quarto ciclo do Ensino Fundamental, proposto

nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática de quinta a oitava

séries: “observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a

relação de dependência entre variáveis” (BRASIL, 1998b, p. 72).

Alternativa Freqüência absoluta

Freqüência relativa

(a) 16 61,54%

(b) 0 0%

(c) 3 11,54%

(d) 1 3,85%

(e) 6 23,08%

(41)

A maior parte dos alunos que prestaram o primeiro Vestibular assinalou,

conforme mostra a Tabela 3, a alternativa (a). Segundo Clement (apud

KIERAN,1992), os alunos que, geralmente indicam esta resposta, tendem a

considerar as letras como rótulos e não como valores numéricos numa relação de

equivalência.

Questão 25. A resolução da equação 3x+5x=19 corresponde ao item:

Resposta: alternativa (a)

A questão 25, tal qual a questão 18, visou identificar a possível falha que

pode ocorrer, no conteúdo de natureza procedimental resolução de Equações

polinomiais de primeiro grau, relacionada à regra passa pra lá muda de sinal. Porém,

nesta questão, uma alternativa com um outro erro possível também foi inserida, a

alternativa (d), com o intuito de verificar se os alunos apresentariam um tipo de erro

escolar sintático, identificado por Sleeman (apud LEMOYNE; CONNE; BRUN; 1993),

que provavelmente pode estar relacionado à regra acima mencionada.

Nenhum aluno que prestou o primeiro Vestibular assinalou a alternativa (d) e

(42)

considerável assinalou as alternativas (b), (c) ou (e), elaboradas como vertentes da

regra passa pra lá muda de sinal.

(a) 16 61,54%

(b) 4 15,38%

(c) 4 15,38%

(d) 0 0%

(e) 2 7,69%

Totais 26 100%

Comparando as duas questões, 18 e 25, mais especificamente, o item (b) da

questão 18 e os itens (b) e (c) da questão 25, podemos conjeturar que o tipo de erro

relacionado à regra passa pra lá muda de sinal ocorre com maior freqüência no caso

ax = b, quando a é um número negativo. Provavelmente, isso ocorra pelo fato de

que quando a é um número positivo não é comum utilizar o sinal positivo (+) na

frente da letra a. Em tais situações, é possível que os alunos infiram que na

“mudança de membro”, não há “sinal para trocar”.

Questão 27. A equação de segundo grau x2 ₋49 ₌0

apresenta:

(a) duas respostas diferentes como solução.

(b) duas respostas iguais como solução.

(c) apenas uma resposta como solução.

(d) não tem solução.

(e) solução contendo n4úmeros imaginários puros.

(43)

Na questão 27 buscou-se identificar se os futuros professores possuem

conhecimentos básicos sobre o conteúdo de natureza conceitual raízes de uma

Equação polinomial do segundo grau.

Conforme resultados obtidos, a maior parte dos alunos não indicou a

alternativa (a) como a correta.

(a) 8 30,77%

(b) 2 7,69%

(c) 7 26,92%

(d) 7 26,92%

(e) 2 7,69%

Totais 26 100%

2º Vestibular:

Questão 17. A equação −2x+5 =−1 admite como raiz (ou resultado) o valor:

(a) –4 (b) –8 (c) 3 (d) –3 (e) 2

O objetivo da questão 17 do segundo Vestibular assemelha-se ao da questão

18 do primeiro Vestibular, ou seja, identificar se os alunos apresentariam a falha que

pode ocorrer no conteúdo de natureza procedimental resolução de Equações

polinomiais de primeiro grau, relacionada à regra passa pra lá muda de sinal. Porém,

(44)

aos candidatos, no segundo Vestibular apenas “algumas possíveis raízes” foram

propostas. As alternativas (a) e (d) referiram-se ao erro especificado acima,

enquanto que as alternativas (b) e (e) não envolviam quaisquer relações ou

interesses com o objetivo proposto.

Novamente a grande maioria dos alunos não assinalou a alternativa correta,

alternativa (c), evidenciando mais uma vez o erro proveniente, possivelmente, da

aplicação da regra passa pra lá muda de sinal.

Tabela 6: Resumo dos resultados da questão 17 do segundo Vestibular

(a) 1 10%

(b) 1 10%

(c) 2 20%

(d) 3 30%

(e) 3 30%

Totais 10 100%

Uma possível explicação para que 30% dos alunos tenham assinalado a

alternativa (e) pode estar relacionada ao “erro de sinal” na transposição do termo 5

ao segundo membro e, depois, ao erro passa pra lá muda de sinal. Sendo assim,

então o índice relativo ao erro passa pra lá muda de sinal aumentaria.

Questão 18. A equação x2 −5x+6=0 admite como raiz (ou raízes) o(s) valor(es):

(a) 2 e 3 (b) –2 (c) –3 (d) –2 e –3 (e) 1 e 6

(45)

Com a questão 18 pretendeu-se verificar se os futuros professores

assinalariam corretamente a resposta que especifica as raízes de uma Equação de

segundo grau. Portanto, tratou-se da verificação de um conteúdo de natureza

procedimental.

(a) 5 50%

(b) 3 30%

(c) 0 0%

(d) 1 10%

(e) 1 10%

Totais 10 100%

Neste caso, a metade dos alunos que prestou o segundo Vestibular acertou

ao indicar a alternativa (a) como a correta.

Questão 19. Uma equação de 1º grau admite sempre uma raiz real. Uma equação

do 2º grau:

(a) Admite sempre duas raízes reais iguais.

(b) Admite sempre duas raízes reais diferentes.

(c) Admite sempre uma raiz real.

(d) Pode admitir mais que duas raízes reais.

(e) Pode admitir duas raízes reais iguais.

(46)

Assim como na questão 27 do primeiro Vestibular, na questão 19 o objetivo

foi verificar se os alunos têm conhecimentos básicos sobre o conteúdo de natureza

conceitual raízes de uma Equação polinomial do segundo grau.

(a) 0 0%

(b) 5 50%

(c) 0 0%

(d) 1 10%

(e) 4 40%

Totais 10 100%

A maior parte dos alunos que prestou o segundo Vestibular, igualmente

àqueles que prestaram o primeiro Vestibular, não obteve sucesso na resposta

assinalada.

Concluindo, nas Tabelas 9 e 10 seguintes, apresentamos uma síntese com os

principais resultados das questões, do primeiro instrumento de pesquisa, que

contribuíram para este Estudo de Caso, os quais evidenciam parte de nossas

conjecturas iniciais e reforçam nossa preocupação docente em querer contribuir com

um ensino pautado nas pesquisas da área de Educação Matemática de forma a

minimizar as dificuldades apresentadas pelos alunos.

Tabela 9: Número de acertos das questões do primeiro instrumento de pesquisa que contribuíram para este Estudo de Caso

(47)

Na Tabela 9 temos um panorama da quantidade de alunos que acertou as

questões analisadas neste capítulo. Com exceção das questões 20 e 25 do primeiro

Vestibular e 18 do segundo Vestibular, as questões analisadas não obtiveram, se

quer, o índice de acertos de metade dos candidatos.

A questão com o menor índice de acerto, no primeiro Vestibular, foi a de

número 22 que pedia para que se assinalasse corretamente a relação envolvendo o

número de alunos e o número de professores de um Curso de Pós-Graduação, em

que apenas 11,54% dos 26 alunos acertaram. Já no segundo Vestibular, temos a de

número 17, a qual solicitava a raiz da Equação –2x + 5 = – 1. Apenas 20% da

população de dez alunos indicou corretamente o item (c) como resposta. Neste caso

conjecturamos que, nem a simples substituição das raízes propostas, a fim de

satisfazer a igualdade, um conteúdo de natureza conceitual que deveria ser de

conhecimento dos candidatos, foi efetuada pela grande maioria deles.

Especificamente tratando do assunto Equações (questões 18, 25 e 27 do

primeiro Vestibular e 17, 18 e 19 do segundo Vestibular), através da Tabela 10

abaixo, podemos concluir que a média de acertos por aluno é de 1,19 questões, de

três possíveis (39,67%). Além disso, a quantidade de alunos que não acertou se

quer uma das três questões é, no mínimo, preocupante tendo em vista que o

assunto não deveria ser desconhecido por candidatos ao Ensino Superior.

Tabela 10: Quantidade de alunos por grupos de acertos das questões sobre Equações do primeiro instrumento de pesquisa

Grupos de acertos Quantidade de_alunos Freqüência relativa

Exatamente três questões 5 13,89%

Exatamente duas questões 8 22,22%

Exatamente uma questão 12 33,33%

Não acertaram se quer uma questão 11 30,56%

(48)

A média abordada no parágrafo anterior corresponde a

36

1 _{(um trinta e seis}

avos) da quantidade de alunos, multiplicada pela quantidade de questões por grupos

de acerto (nenhuma questão, exatamente uma questão, exatamente duas questões

e exatamente três questões).

Dessa forma, podemos constatar que os resultados obtidos evidenciam as

dificuldades que os alunos têm com relação ao referido assunto.

Esta realidade corroborou para a realização deste Estudo de Caso e justifica,

em parte, a presença do componente curricular Complementos de Matemática,

reforçando a lista dos conteúdos propostos, em especial, o estudo das Equações,

que, sem dúvida, merece ser trabalhado com os futuros professores do grupo eleito

do Curso de Matemática, apesar de ser um assunto do Ensino Básico.

Os resultados obtidos nesta fase da pesquisa forneceram importantes

subsídios para a elaboração e análise do segundo instrumento de pesquisa que,

oportunamente, apresentaremos.

2.2. Sobre o perfil do grupo investigado:

Estabelecida em uma cidade aproximadamente a 38 km da Cidade de São

Paulo, a Instituição particular de Ensino Superior que oferece o Curso de

Licenciatura em Matemática que coordenamos oferece, ainda, até o presente

momento, os Cursos de Administração, Pedagogia, Licenciatura em Educação

Física, Licenciatura em Letras, Licenciatura em História e Licenciatura em

Matemática, além dos Cursos de Pós Graduação em Língua Portuguesa, Logística

Empresarial, Psicopedagogia e Teoria do Treinamento Desportivo, todos em nível

(49)

No ato da inscrição para o Exame de Vestibular, todos os vestibulandos

recebem um questionário que deve ser devolvido preenchido no dia do Vestibular.

As informações descritas a seguir, que caracterizam o grupo eleito da pesquisa,

foram extraídas deste questionário, conhecido como Perfil do Candidato, os quais

são, após o Vestibular, repassados aos respectivos Coordenadores de Curso para

que possam identificar o perfil do curso que coordenam.

Atualmente, ano de 2005, esta Instituição de Ensino Superior conta com

aproximadamente 950 alunos, dos quais 36 efetivaram sua matrícula no Curso de

Matemática no início do ano letivo, através dos Exames de Vestibular.

Desses 36 alunos, 14 são do sexo masculino e 22 do sexo feminino. A maior

parte dos alunos, 22 no total, reside na cidade local. Os demais alunos residem em

cidades adjacentes.

Com relação à faixa etária, a maior parte dos alunos, 21 no total, tem mais de

30 anos. Na faixa dos 21 a 30 anos, o Curso conta com nove alunos, enquanto que

seis alunos estão entre os 18 e 20 anos.

Dos 36 alunos, a maior parte, isto é, 27, concluiu o Ensino Médio antes do

ano de 2002. Apenas quatro alunos concluíram o Ensino Médio em 2004. A grande

maioria dos alunos, 33 no total, cursou o Ensino Médio em escolas públicas. Dezoito

alunos cursaram o Ensino Médio Comum, cinco alunos cursaram o Ensino

Profissionalizante, 8 alunos cursaram o Magistério e 5 alunos o Ensino Supletivo.

Cinco alunos já concluíram um curso do Ensino Superior e estão fazendo um

segundo curso. Destes, três cursaram Pedagogia, um cursou Estudos Sociais e um

cursou Biologia.

Com relação a exercerem algum tipo de atividade remunerada, apenas oito

(50)

da Educação Básica da Rede Pública de Ensino, sendo que apenas três são

funcionários efetivos.

A maior parte dos alunos é casada, 21 no total. Quanto à renda mensal

familiar, cinco alunos convivem com uma renda de até R$ 390,00, nove alunos

convivem com uma renda acima de R$ 390,00 até R$ 780,00, 14 alunos convivem

com uma renda acima de R$ 780,00 até R$ 1.300,00, e oito alunos convivem com

uma renda mensal familiar superior a R$ 1.300,00. Uma certa parte dos alunos, 14

indivíduos, convive com uma família composta por quatro pessoas. Em média, o

número de pessoas que vivem com a renda familiar apresentada é de 3,6 pessoas.

Dos 24 alunos que declararam ter filhos, dez afirmaram ter um filho e 14 disseram

ter dois filhos.

Quanto à principal fonte de comunicação e informação utilizada, os alunos

indicaram, em primeiro lugar, a televisão e, em segundo lugar, o jornal.

Agregados aos 36 alunos matriculados através dos Exames de Vestibular, o

Curso de Matemática tem ainda mais dois alunos: um matriculado no Curso por

transferência e um matriculado no Curso através do Programa Universidade para

Todos (ProUni), programa do Governo Federal no qual o aluno, mediante alguns

requisitos, é indicado a se matricular nas Faculdades ou Universidades cadastradas

ao Programa, sem a necessidade de prestar o Exame de Vestibular. Portanto, o

Curso de Matemática conta hoje com 38 alunos matriculados.

2.3. Sobre a pesquisa documental e pesquisa bibliográfica para o assunto Equações:

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), elaborados a partir do ano de