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Somas diretas e produtos tensoriais de representações

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Academic year: 2021

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Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas

Programa de Pós Graduação em Matemática

Somas diretas e produtos tensoriais

de representações

Inácio Augusto Rabelo Pinto Grupos e Representações - MAT 889

(2)

Conteúdo

 Notação  Somas diretas  Interlúdio  Produtos tensoriais  Exemplos: G = D4

(3)

Conteúdo

 Notação  Somas diretas  Interlúdio  Produtos tensoriais  Exemplos: G = D4

(4)

Notação

SejaG um grupo finito e F um corpo.

I V 1eV2G-módulos sobre F. I BV 1= {a1, . . . , am} base deV1e BV2 = {b1, . . . , bn} base de V2. I Representações respectivas: ρ : G −→ GL(V1) g 7−→ ρg ρg : V1−→V 1 a 7−→ ag σ : G −→ GL(V2) g 7−→ σg σg : V2−→V2 b 7−→ bg

(5)

Conteúdo

 Notação  Somas diretas  Interlúdio  Produtos tensoriais  Exemplos: G = D4

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Somas diretas

I SejaV := V 1⊕V2. I B V = {(a1, 0), . . . , (am, 0), (0, b1), . . . , (0, bn)}

V é G-módulo

Defina f : V × G −→ V  (a, b), g7−→(ag, bg) Ondea ∈ V1,b ∈ V2eg ∈ G.

(7)

Representação de

V

τ : G −→ GL(V ) g 7−→ τg:= ρgσg

τg: V −→ V

(a, b) 7−→ aρgbσg = (aρg, bσg) Ondea ∈ V1,b ∈ V2eg ∈ G. I τ g é linear e(τg)−1= τg1. Então,τgGL(V ). I τ é homomorfismo. I A ação induzida éf . Denotamosτ = ρ ⊕ σ .

(8)

A matriz deτg na base BV é:              



ρ

g



m×m

0

0



σ

g



n×n

              (m+n)×(m+n)

Temos quetr(τg) = tr(ρg) + tr(σg). Então:

(9)

Conteúdo

 Notação  Somas diretas  Interlúdio  Produtos tensoriais  Exemplos: G = D4

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Produtos tensoriais

Definição

SejamV1eV2F-espaços vetoriais. Um F-espaço vetorial V

munido de uma aplicaçãoξ : V1×V27−→V é o produto tensorial deV1eV2se:

I ξ é bilinear. I O conjunto B

V = {ξ(ai, bj), ai ∈ BV1, bj ∈ BV2} é uma base

deV .

Denotamosξ(a, b) := a ⊗ b e V = V1V 2.

(11)

Propriedades

I Existe e é único a menos de isomorfismo. I dim(V ) = dim(V 1).dim(V2). I V 1⊗V2'V2⊗V1 I V 1⊗F ' V1 I FmFn'Fmn

(12)

Conteúdo

 Notação  Somas diretas  Interlúdio  Produtos tensoriais  Exemplos: G = D4

(13)

Produtos Tensoriais

I SejaV := V 1⊗V2. I B V = {aibj, ai ∈ BV1, bj ∈ BV2}

V é G-módulo

Defina f : V × G −→ V  X i,j αij(aibj), g  7−→X i,j αij(aig ⊗ bjg) Ondeai ∈ B V1,bj ∈ BV2,g ∈ G e αijF.

(14)

Representação de

V

τ : G −→ GL(V ) g 7−→ τg := ρgσg τg : V −→ V X i,j αij(aibj) 7−→ X i,j αij(aiρgbjσg) Ondea ∈ V1,b ∈ V2,g ∈ G e αijF. I τ g é linear e(τg) −1 = τg1. Então,τ gGL(V ). I τ é homomorfismo. I A ação induzida éf .

(15)

A matriz deτg na base BV é:                     

g

)

11



σ

g



· · ·

g

)

1n



σ

g



...

. ..

...

g

)

n1



σ

g



· · ·

g

)

nn



σ

g



                     (mn)×(mn)

Temos quetr(τg) = tr(ρg).tr(σg). Então:

(16)

Proposição

SejaF um corpo e G um grupo finito.

1. Somas deF-caracteres são F-caracteres.

2. Produtos deF-caracteres são F-caracteres.

3. O conjuntoΩ das combinações lineares inteiras de

F-caracteres é um anel comutativo.

Demonstração: 1. χρ+ χσ éF-caracter de τ = ρ ⊕ σ e do módulo V = V1V 2. 2. χρσ éF-caracter de τ = ρ ⊗ σ e do módulo V = V1V 2.

3. É suficiente notar que(F, +) é abeliano, (F, .) é comutativo e associativo e produto de caracteres é caracter.

(17)

Proposição

SejaF um corpo e G um grupo finito.

1. Somas deF-caracteres são F-caracteres.

2. Produtos deF-caracteres são F-caracteres.

3. O conjuntoΩ das combinações lineares inteiras de

F-caracteres é um anel comutativo.

Demonstração: 1. χρ+ χσ éF-caracter de τ = ρ ⊕ σ e do módulo V = V1V 2. 2. χρσ éF-caracter de τ = ρ ⊗ σ e do módulo V = V1V 2.

3. É suficiente notar que(F, +) é abeliano, (F, .) é comutativo e associativo e produto de caracteres é caracter.

(18)

Aplicação

Observação 1: Um elemento deΩ é dito um caracter gene-ralizado.

Observação 2:Assumimos a partir daquiF = C.

Lema

Sejamχ1eχ2caracteres de duas representações irredutíveis não equivalentes. Então< χ1, χ2>= 0 e < χ1, χ1>= 1.

Teorema

Suponha V um G-módulo com caracter f e decomposição V =LjVj, ondeVj é irredutível para todoj. Se Wi é uma re-presentação irredutível com caracter χi, então o número de

(19)

Proposição

Suponha {χi}s

i=1 o conjunto completo de representações ir-redutíveis e não equivalentes de G. Uma função de classe f = Ps

i=1χiki é um F-caracter se, e somente se, ki é um in-teiro não negativo para todoi.

Demonstração:

I Sek

i é inteiro não negativo, pela proposição anterior,f é caracter.

I Suponhaf caracter e V o G-módulo associado. I Pelo teorema de Maschke,V =L

jVj comVj irredutível para todoj.

I SuponhaW

i caracter associado aχi.

I Pelo Teorema anterior,< f , χ

i > é o número de Vj’s isomorfos aWi.

I Entãok

i é um inteiro não negativo.

(20)

Proposição

Suponha {χi}s

i=1 o conjunto completo de representações ir-redutíveis e não equivalentes de G. Uma função de classe f = Ps

i=1χiki é um F-caracter se, e somente se, ki é um in-teiro não negativo para todoi.

Demonstração:

I Sek

i é inteiro não negativo, pela proposição anterior,f é caracter.

I Suponhaf caracter e V o G-módulo associado. I Pelo teorema de Maschke,V =L

jVj comVj irredutível para todoj.

I SuponhaW

i caracter associado aχi.

I Pelo Teorema anterior,< f , χ

i > é o número de Vj’s isomorfos aWi.

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Conteúdo

 Notação  Somas diretas  Interlúdio  Produtos tensoriais  Exemplos: G = D4

(22)

Exemplos:

G = D

4

Considere o grupo diedral:

D4= {r, s : r4= 1, s2= 1, srs = r−1}

I 4 representações irredutíveis de dimensão 1. I Suponhaρ : G −→ Chomomorfismo.

I Temos queρ(s)2= 1 e ρ(s)ρ(r)ρ(s) = ρ(r) = ρ(r)−1. I Entãoρ(r), ρ(s) ∈ {±1}.

(23)

Exemplo 1

Considere as representações: ρ : G −→ Cr 7−→ +1 s 7−→ −1 σ : G −→ Cr 7−→ −1 s 7−→ −1 τ = ρ ⊕ σ é representação de C ⊕ C ' C2. (τr) =            +1 ... 0 · · · · 0 ... −1            2×2 (τs) =            −1 ... 0 · · · · 0 ... −1            2×2

(24)

Exemplo 2

Considere as representações: ρ : G −→ Cr 7−→ −1 s 7−→ −1 σ : G −→ GL(C2) r 7−→ Rot(π/2) s 7−→ Ref (π) τ = ρ ⊕ σ é representação de C ⊕ C2' C3. (τr) =                −1 ... 0 0 · · · · 0 ... 0 −1 ... 1 0                (τs) =                −1 ... 0 0 · · · · 0 ... 1 0 ... 0 −1               

(25)

Exemplo 3

Considere as representações: ρ : G −→ Cr 7−→ +1 s 7−→ +1 σ : G −→ Cr 7−→ −1 s 7−→ +1

τ = ρ ⊗ σ é representação de C ⊗ C ' C. Ou seja, é outra

representação irredutível.

(26)

Exemplo 4

Considere a seguinte representação de dimensão 2:

σ : G −→ GL(C2) r 7−→ Rot(π/2) s 7−→ Ref (π) τ = ρ ⊗ ρ é representação de C2⊗ C2' C2.2= C4. (τr) =                    0 0 ... 0 1 0 0 ... −1 0 · · · · 0 −1 ... 0 0                    (τs) =                    1 0 ... 0 0 0 −1 ... 0 0 · · · · 0 0 ... −1 0                   

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Referências

[1] D. J. S. Robinson, A course in the theory of groups. 2nd ed. Springer, 1996.

Referências

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