Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas
Programa de Pós Graduação em Matemática
Somas diretas e produtos tensoriais
de representações
Inácio Augusto Rabelo Pinto Grupos e Representações - MAT 889
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Notação Somas diretas Interlúdio Produtos tensoriais Exemplos: G = D4Conteúdo
Notação Somas diretas Interlúdio Produtos tensoriais Exemplos: G = D4Notação
SejaG um grupo finito e F um corpo.
I V 1eV2G-módulos sobre F. I BV 1= {a1, . . . , am} base deV1e BV2 = {b1, . . . , bn} base de V2. I Representações respectivas: ρ : G −→ GL(V1) g 7−→ ρg ρg : V1−→V 1 a 7−→ ag σ : G −→ GL(V2) g 7−→ σg σg : V2−→V2 b 7−→ bg
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Notação Somas diretas Interlúdio Produtos tensoriais Exemplos: G = D4Somas diretas
I SejaV := V 1⊕V2. I B V = {(a1, 0), . . . , (am, 0), (0, b1), . . . , (0, bn)}V é G-módulo
Defina f : V × G −→ V (a, b), g7−→(ag, bg) Ondea ∈ V1,b ∈ V2eg ∈ G.Representação de
V
τ : G −→ GL(V ) g 7−→ τg:= ρg⊕σg
τg: V −→ V
(a, b) 7−→ aρg⊕bσg = (aρg, bσg) Ondea ∈ V1,b ∈ V2eg ∈ G. I τ g é linear e(τg)−1= τg−1. Então,τg∈GL(V ). I τ é homomorfismo. I A ação induzida éf . Denotamosτ = ρ ⊕ σ .
A matriz deτg na base BV é:
ρ
g
m×m
0
0
σ
g
n×n
(m+n)×(m+n)Temos quetr(τg) = tr(ρg) + tr(σg). Então:
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Notação Somas diretas Interlúdio Produtos tensoriais Exemplos: G = D4Produtos tensoriais
Definição
SejamV1eV2F-espaços vetoriais. Um F-espaço vetorial V
munido de uma aplicaçãoξ : V1×V27−→V é o produto tensorial deV1eV2se:
I ξ é bilinear. I O conjunto B
V = {ξ(ai, bj), ai ∈ BV1, bj ∈ BV2} é uma base
deV .
Denotamosξ(a, b) := a ⊗ b e V = V1⊗V 2.
Propriedades
I Existe e é único a menos de isomorfismo. I dim(V ) = dim(V 1).dim(V2). I V 1⊗V2'V2⊗V1 I V 1⊗F ' V1 I Fm⊗Fn'Fmn
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Notação Somas diretas Interlúdio Produtos tensoriais Exemplos: G = D4Produtos Tensoriais
I SejaV := V 1⊗V2. I B V = {ai⊗bj, ai ∈ BV1, bj ∈ BV2}V é G-módulo
Defina f : V × G −→ V X i,j αij(ai⊗bj), g 7−→X i,j αij(aig ⊗ bjg) Ondeai ∈ B V1,bj ∈ BV2,g ∈ G e αij ∈F.Representação de
V
τ : G −→ GL(V ) g 7−→ τg := ρg⊗σg τg : V −→ V X i,j αij(ai⊗bj) 7−→ X i,j αij(aiρg⊗bjσg) Ondea ∈ V1,b ∈ V2,g ∈ G e αij ∈F. I τ g é linear e(τg) −1 = τg−1. Então,τ g∈GL(V ). I τ é homomorfismo. I A ação induzida éf .A matriz deτg na base BV é:
(ρ
g
)
11
σ
g
· · ·
(ρ
g
)
1n
σ
g
...
. ..
...
(ρ
g
)
n1
σ
g
· · ·
(ρ
g
)
nn
σ
g
(mn)×(mn)Temos quetr(τg) = tr(ρg).tr(σg). Então:
Proposição
SejaF um corpo e G um grupo finito.
1. Somas deF-caracteres são F-caracteres.
2. Produtos deF-caracteres são F-caracteres.
3. O conjuntoΩ das combinações lineares inteiras de
F-caracteres é um anel comutativo.
Demonstração: 1. χρ+ χσ éF-caracter de τ = ρ ⊕ σ e do módulo V = V1⊕V 2. 2. χρ.χσ éF-caracter de τ = ρ ⊗ σ e do módulo V = V1⊗V 2.
3. É suficiente notar que(F, +) é abeliano, (F, .) é comutativo e associativo e produto de caracteres é caracter.
Proposição
SejaF um corpo e G um grupo finito.
1. Somas deF-caracteres são F-caracteres.
2. Produtos deF-caracteres são F-caracteres.
3. O conjuntoΩ das combinações lineares inteiras de
F-caracteres é um anel comutativo.
Demonstração: 1. χρ+ χσ éF-caracter de τ = ρ ⊕ σ e do módulo V = V1⊕V 2. 2. χρ.χσ éF-caracter de τ = ρ ⊗ σ e do módulo V = V1⊗V 2.
3. É suficiente notar que(F, +) é abeliano, (F, .) é comutativo e associativo e produto de caracteres é caracter.
Aplicação
Observação 1: Um elemento deΩ é dito um caracter gene-ralizado.
Observação 2:Assumimos a partir daquiF = C.
Lema
Sejamχ1eχ2caracteres de duas representações irredutíveis não equivalentes. Então< χ1, χ2>= 0 e < χ1, χ1>= 1.
Teorema
Suponha V um G-módulo com caracter f e decomposição V =LjVj, ondeVj é irredutível para todoj. Se Wi é uma re-presentação irredutível com caracter χi, então o número de
Proposição
Suponha {χi}s
i=1 o conjunto completo de representações ir-redutíveis e não equivalentes de G. Uma função de classe f = Ps
i=1χiki é um F-caracter se, e somente se, ki é um in-teiro não negativo para todoi.
Demonstração:
I Sek
i é inteiro não negativo, pela proposição anterior,f é caracter.
I Suponhaf caracter e V o G-módulo associado. I Pelo teorema de Maschke,V =L
jVj comVj irredutível para todoj.
I SuponhaW
i caracter associado aχi.
I Pelo Teorema anterior,< f , χ
i > é o número de Vj’s isomorfos aWi.
I Entãok
i é um inteiro não negativo.
Proposição
Suponha {χi}s
i=1 o conjunto completo de representações ir-redutíveis e não equivalentes de G. Uma função de classe f = Ps
i=1χiki é um F-caracter se, e somente se, ki é um in-teiro não negativo para todoi.
Demonstração:
I Sek
i é inteiro não negativo, pela proposição anterior,f é caracter.
I Suponhaf caracter e V o G-módulo associado. I Pelo teorema de Maschke,V =L
jVj comVj irredutível para todoj.
I SuponhaW
i caracter associado aχi.
I Pelo Teorema anterior,< f , χ
i > é o número de Vj’s isomorfos aWi.
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Notação Somas diretas Interlúdio Produtos tensoriais Exemplos: G = D4Exemplos:
G = D
4
Considere o grupo diedral:D4= {r, s : r4= 1, s2= 1, srs = r−1}
I 4 representações irredutíveis de dimensão 1. I Suponhaρ : G −→ C∗homomorfismo.
I Temos queρ(s)2= 1 e ρ(s)ρ(r)ρ(s) = ρ(r) = ρ(r)−1. I Entãoρ(r), ρ(s) ∈ {±1}.
Exemplo 1
Considere as representações: ρ : G −→ C∗ r 7−→ +1 s 7−→ −1 σ : G −→ C∗ r 7−→ −1 s 7−→ −1 τ = ρ ⊕ σ é representação de C ⊕ C ' C2. (τr) = +1 ... 0 · · · · 0 ... −1 2×2 (τs) = −1 ... 0 · · · · 0 ... −1 2×2Exemplo 2
Considere as representações: ρ : G −→ C∗ r 7−→ −1 s 7−→ −1 σ : G −→ GL(C2) r 7−→ Rot(π/2) s 7−→ Ref (π) τ = ρ ⊕ σ é representação de C ⊕ C2' C3. (τr) = −1 ... 0 0 · · · · 0 ... 0 −1 ... 1 0 (τs) = −1 ... 0 0 · · · · 0 ... 1 0 ... 0 −1 Exemplo 3
Considere as representações: ρ : G −→ C∗ r 7−→ +1 s 7−→ +1 σ : G −→ C∗ r 7−→ −1 s 7−→ +1τ = ρ ⊗ σ é representação de C ⊗ C ' C. Ou seja, é outra
representação irredutível.
Exemplo 4
Considere a seguinte representação de dimensão 2:
σ : G −→ GL(C2) r 7−→ Rot(π/2) s 7−→ Ref (π) τ = ρ ⊗ ρ é representação de C2⊗ C2' C2.2= C4. (τr) = 0 0 ... 0 1 0 0 ... −1 0 · · · · 0 −1 ... 0 0 (τs) = 1 0 ... 0 0 0 −1 ... 0 0 · · · · 0 0 ... −1 0
Referências
[1] D. J. S. Robinson, A course in the theory of groups. 2nd ed. Springer, 1996.