A visualização e a resolução de problemas envolvendo padrões: um estudo no 2º ciclo
Ana Barbosa
Escola Superior de Educação de Viana do Castelo
Isabel Vale
LIBEC, Escola Superior de Educação de Viana do Castelo
Pedro Palhares
LIBEC, Universidade do Minho anabarbosa@ese.ipvc.pt
Resumo
O objectivo desta comunicação é discutir as dificuldades apresentadas, por alunos do 2º ciclo, na resolução de problemas que envolvem a exploração de padrões, analisando também o papel
desempenhado pelas estratégias visuais no seu raciocínio. São apresentados ainda alguns resultados da aplicação de um teste piloto que foi aplicado a alunos deste nível de ensino.
Palavras-chave
Visualização, padrões, generalização.
Introdução
Desde os anos oitenta que a resolução de problemas tem vindo a assumir um papel fundamental no currículo de Matemática. Nas actuais orientações curriculares, nacionais e internacionais, uma das principais finalidades do ensino da matemática é o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. Mas, apesar da valorização desta competência, vários estudos, levados a cabo em diferentes países, têm mostrado que os nossos alunos encaram com grande dificuldade a resolução de actividades problemáticas revelando um fraco desempenho (SIAEP, 1990, 1991; TIMSS, 1994; PISA, 2003). Este insucesso poderá estar relacionado com a sobrevalorização do domínio de procedimentos e algoritmos e a pouca experiência com actividades que envolvem o raciocínio e a resolução de problemas não rotineiros.
As tarefas de exploração de padrões podem contribuir para o desenvolvimento de capacidades próprias da resolução de problemas, já que implicam, por norma, a análise de casos particulares, a organização de informação de forma sistemática, o
estabelecimento de conjecturas e a generalização de resultados. Nos Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000) verificamos que os padrões, sejam
eles de tipo numérico, geométrico ou pictórico, constituem um tema com grande relevância. Este documento defende que os programas de Matemática devem contemplar, desde o ensino pré-escolar até ao ensino secundário, tarefas que envolvam a compreensão de padrões, relações e funções.
Simultaneamente, tem havido, nos últimos anos, uma tendência de revalorização da Geometria no currículo de Matemática um pouco por todo o mundo (Abrantes, 1999;
Veloso, 1998). Há um forte consenso de que esta área é uma fonte de problemas não rotineiros, que podem propiciar o desenvolvimento de capacidades de visualização espacial, de raciocínio e de argumentação. A visualização, em particular, tem sido desde sempre uma componente importante do raciocínio dos matemáticos mas, segundo determinados estudos, nem sempre constitui uma parte fundamental das experiências matemáticas dos alunos (Hadamard, 1973). Segundo Ponte, Matos e Abrantes (1998) no nosso ensino é dada especial importância aos aspectos numéricos e algébricos, remetendo alguns alunos, possuidores de maiores capacidades no domínio visual, para situações de insucesso escolar, e impedindo outros, com menores capacidades nesta área, de se desenvolverem harmoniosamente.
Em síntese, a literatura tem vindo a reforçar a ideia de que a investigação no domínio da resolução de problemas é ainda insuficiente (Ponte, Matos e Abrantes, 1998) e, apesar de se reconhecer a matemática como a ciência dos padrões (Devlin, 2003), tem havido pouco investimento no estudo das potencialidades das actividades de exploração de padrões na aprendizagem.
Problema e questões de investigação
Este estudo tem como finalidade analisar e descrever o modo como alunos do 2º ciclo do ensino básico resolvem problemas que envolvem o reconhecimento e exploração de padrões, em contextos numéricos, pictóricos ou geométricos e de que forma a abordagem visual influencia a o seu desempenho, se, por um lado, constitui um suporte ou se, pelo contrário, cria um entrave ao desenvolvimento do seu raciocínio.
Com o objectivo de reflectir sobre esta problemática foram elaboradas as seguintes questões orientadoras:
- Que dificuldades são identificadas nos alunos aquando da resolução das mesmas?
- Que estratégias de resolução emergem do seu trabalho?
- Qual o papel da visualização como elemento mediador do raciocínio dos alunos?
Enquadramento teórico
Desde sempre, matemáticos e educadores se mostraram entusiásticos no que respeita à importância dos padrões na matemática. A ênfase na identificação de regularidades é cada vez mais frequente nas recentes abordagens ao estudo da álgebra uma vez que a procura de padrões é um passo fundamental para a formação de generalizações que, por sua vez, são a essência desta área da matemática. A procura e exploração de regularidades em diferentes contextos, a utilização de símbolos e variáveis que representam padrões e a generalização constituem componentes importantes do currículo de matemática de vários países. As orientações curriculares nacionais para o ensino básico sublinham a importância do desenvolvimento de competências como a predisposição para procurar e explorar padrões numéricos e geométricos (ME, 2001), no domínio dos Números e Cálculo e da Geometria.
As actividades que envolvem o estudo de padrões podem surgir em diversos contextos (numéricos, geométricos ou pictóricos) e dar lugar a diferentes abordagens, aliás em qualquer actividade matemática é habitual que sujeitos diferentes processem a informação de forma diferente. Krutetskii (1976) efectuou um estudo no qual conseguiu identificar três tipos de abordagem nos alunos observados: lógico-verbal (analítica), visual-pictorial (geométrica) e harmónica (que consistia na capacidade de utilizar em simultâneo as duas formas de pensamento anteriores). Apesar de a maioria dos alunos basearem frequentemente os seus raciocínios em relações numéricas, em parte devido ao tipo de trabalho desenvolvido nas aulas de matemática, alguns estudos indicam que os alunos conseguem obter um melhor desempenho quando utilizam uma abordagem mista, ou seja, uma conjugação entre o pensamento analítico e o geométrico (Moses, 1982; Noss, Healy e Hoyles, 1997; Stacey, 1989).
A relação entre a visualização e o desempenho matemático tem constituído uma área de interesse para vários investigadores. Muitos reconhecem a relevância de encorajar a utilização da abordagem visual de forma a facilitar a resolução das actividades matemáticas (e.g. Presmeg, 1986; Shama & Dreyfus, 1994). Apesar de ser
sublinhada a importância vital da visualização e do raciocínio de natureza visual no pensamento matemático, esta ideia não é defendida universalmente. Alguns autores referem que o pensamento visual per si não é suficiente para se fazer matemática, apesar de ser uma fonte poderosa de ideias, constitui apenas um complemento ao pensamento analítico. Resta saber se na aula de matemática é dada ênfase suficiente à visualização e se é feito o paralelismo entre as abordagens numérica e visual a um mesmo problema. Segundo Presmeg (1986) tanto os professores como o próprio currículo tendem a apresentar o raciocínio visual como estratégia apenas numa fase inicial ou então como uma abordagem complementar à abordagem analítica.
Thornton (2001) aponta três razões para a reavaliação do papel da visualização na matemática escolar: (1) actualmente a matemática é identificada com o estudo dos padrões que aliado à utilização da tecnologia possibilita o desenvolvimento, intuitivo, de regras gerais, acabando por desvalorizar a dificuldade do pensamento algébrico; (2) pode fornecer abordagens simples e poderosas de resultados matemáticos e situações problemáticas; (3) permite estabelecer conexões com diferentes áreas da matemática.
Há a registar alguns estudos no âmbito da análise e desenvolvimento de estratégias de exploração de padrões, desde o ensino pré-escolar até ao ensino secundário (Ishida, 1997; Orton & Orton, 1999; Radford, 2000; Threlfall, 1999). Stacey (1989) focou a sua investigação na generalização de padrões lineares, recorrendo a alunos com idades compreendidas entre os 9 e os 13 anos, e concluiu que um número significativo usou erradamente na sua abordagem o método da proporcionalidade directa. Notou ainda algumas inconsistências nas estratégias utilizadas pelos alunos em actividades de generalização próxima (possíveis de resolver utilizando um desenho ou o método recursivo) e nas de generalização distante (os métodos descritos anteriormente não se adequam à resolução deste tipo de questões) e identificou que o desenho desempenha um papel importante nos métodos usados pelos alunos embora não aprofundasse esta conclusão. Taplin (1995) estudou o processo de generalização, com alunos do 7º ano, utilizando a taxonomia SOLO para classificar as respostas obtidas. As tarefas trabalhadas eram de natureza visual e era permitida a utilização de materiais manipuláveis na sua resolução. Neste estudo a maioria dos alunos privilegiou a modelação e o desenho como principais estratégias. García Cruz e Martinón (1997) desenvolveram uma investigação com alunos de 15-16 anos que tinha como objectivo
perceber se usam uma estratégia visual ou numérica e de que forma validam os seus resultados. Mostraram que o desenho que acompanhava as questões desempenhava um papel duplo no processo de abstracção e generalização. Por um lado representa o contexto utilizado pelos alunos que usam uma estratégia visual para estabelecer a generalização e também uma forma de verificar a validade da utilização de uma estratégia numérica. Destacam ainda a importância das acções realizadas pelo alunos sobre o desenho, como ponto de partida para a generalização. Orton e Orton (1999) debruçaram a sua investigação em padrões lineares e quadráticos, com alunos de 10-13 anos. Sublinharam a preferência dos alunos pela utilização da diferença entre termos consecutivos como estratégia de resolução e a sua aplicação a padrões quadráticos, através da utilização de segundas diferenças, embora em certos casos sem sucesso.
Salientaram como obstáculo ao processo de generalização a incompetência aritmética dos alunos e a fixação pela utilização do método recursivo que, apesar de ser útil na resolução de determinado tipo de questões, impede a visualização da estrutura geral da sequência. Sasman et al. (1999) desenvolveram um estudo, com alunos do 8º ano, que envolvia actividades de generalização com variação das representações. Observaram que os alunos utilizavam quase exclusivamente o contexto numérico, em detrimento das figuras, privilegiavam o método recursivo e cometiam vários erros relacionados com a utilização indevida da proporcionalidade directa.
Fases do Estudo e Procedimentos
Para participar neste estudo, foram seleccionadas, de forma aleatória, três turmas do 2º ciclo do ensino básico cujo acompanhamento se verificará ao longo dos dois anos lectivos que integram este nível de ensino. A investigação será desenvolvida em duas fases. A primeira está a decorrer e é marcada pela implementação de um pré-teste, com questões que envolvem a exploração de padrões, através da continuação de sequências e de problemas que envolvem a generalização próxima e a generalização distante. A segunda fase diz respeito à intervenção didáctica e decorrerá ao longo do ano lectivo de 2006/2007. Pretende-se que os alunos resolvam actividades problemáticas, no âmbito da descoberta de padrões numéricos, geométricos e/ou pictóricos, que integrem conteúdos programáticos do 2º ciclo. Nestas aulas, os alunos terão a oportunidade de trabalhar em díades heterogéneas que serão formadas com base em três pressupostos: a opinião do
professor titular da turma, as observações efectuadas ao longo do corrente ano lectivo e os resultados do teste e do questionário implementados. De forma a avaliar, com profundidade, os conhecimentos e concepções dos alunos e investigar os processos cognitivos por eles utilizados, serão acompanhados de forma mais regular quatro alunos, de duas díades, ao longo das várias aulas e através da realização de entrevistas de tipo clínico. Mas, uma vez que estão inseridos num contexto específico que é a turma, é também relevante estudar a evolução dos restantes alunos ao longo da investigação, através da observação das aulas e dos documentos que produzirem na sequência da resolução das actividades e testes realizados. No final desta fase, será implementado o pós-teste, para que se possa proceder a uma análise do desempenho e das estratégias utilizadas pelos alunos na sua resolução, nas diferentes fases do estudo.
Algumas conclusões com base na pilotagem do teste
O teste inclui actividades que podem ser entendidas como pré-algébricas, envolvendo a continuação de sequências visuais e numéricas e a resolução de problemas de generalização próxima e de generalização distante. Foi submetido à análise de um painel de professores e investigadores em educação matemática e pilotado em turmas de 5º e 6º anos, num total de 46 alunos. Em simultâneo, foi elaborada uma escala de classificação das várias alíneas do teste cuja fiabilidade foi medida através da aplicação do teste Alpha de Cronbach, sendo o resultado 0,845 o que se considera um valor bastante razoável. Com base na aplicação deste teste, foi possível reunir um conjunto de resultados genéricos relacionados com estratégias de resolução adoptadas pelos alunos e erros cometidos frequentemente que a seguir se apresentam.
Análise das estratégias de resolução apresentadas pelos alunos
Na resolução da segunda questão raramente usam o desenho como suporte facilitador do raciocínio. Embora tivessem sido fornecidas as representações dos dois primeiros termos da sequência, privilegiam a abordagem numérica ao problema. Os poucos alunos que resolveram correctamente esta questão optaram por uma abordagem mista, apresentando os cálculos e referindo-se, na sua argumentação, à estrutura das figuras da sequência.
Nenhum aluno chegou à solução pretendida nas duas alíneas da terceira questão.
Alguns detectaram a existência de rectângulos de várias dimensões mas, como não
utilizaram um raciocínio organizado, encontraram menos ou mais casos do que os previstos. Na segunda alínea do problema a figura não era fornecida e, nesta questão em particular, a maioria dos alunos optou pelo recurso ao suporte visual. Mesmo tendo por base a representação visual, não conseguiram, em qualquer uma das duas alíneas, identificar o padrão que permitia determinar o número de rectângulos, o que se deve em grande parte à utilização de estratégias de resolução desadequadas, como foi o caso da contagem directa e de sublinhar na figura os rectângulos de diferentes dimensões tornando-se confuso efectuar a sua identificação.
Análise dos erros cometidos pelos alunos
A primeira questão do teste foi aquela em que os alunos revelaram melhores resultados, possivelmente porque as actividades de continuar ou completar sequências são mais trabalhadas em sala de aula do que os problemas apresentados nas duas questões seguintes. Mesmo assim, houve dificuldades dignas de apontamento.
Registaram-se alguns casos em que o padrão foi entendido como sendo de repetição, tanto em contexto visual como em contexto numérico, embora não sugerisse essa regra.
Em média, os alunos apresentaram melhores resultados nas alíneas que envolviam padrões de tipo numérico e as pontuações mais baixas registaram-se em duas alíneas que consistiam no reconhecimento de padrões cuja estrutura era visual.
Na resolução da questão 2 há uma tendência, quase geral, para a utilização indevida da proporcionalidade directa, o que indica que os alunos não analisaram convenientemente as figuras que representam os termos da sequência. As duas últimas alíneas desta questão apresentam uma taxa de insucesso bastante elevada e pressupõem a utilização de estratégias como o método recursivo ou a procura de uma regra, uma vez que envolvem a generalização próxima e distante. Julgo que o facto de a maioria dos alunos terem adoptado uma abordagem numérica na resolução desta questão pode de alguma forma fundamentar a utilização errada da proporcionalidade directa e a dificuldade em generalizar o padrão.
Na última questão do teste registou-se o pior desempenho dos alunos, sendo a pontuação máxima atingida 2 pontos. A maioria identifica apenas os rectângulos de menor dimensão e o de maior dimensão, possivelmente influenciados pelo exemplo fornecido no enunciado. Há alguns casos, embora em pequena escala, em que os alunos
recorrem à proporcionalidade directa para determinar o número de rectângulos, à semelhança do que tinha acontecido na questão anterior.
Sempre que é solicitada uma justificação do raciocínio utilizado, poucos alunos o fazem de uma forma clara e há muitos que não apresentam qualquer tipo de argumentação, vindo assim reforçar a ideia de que a comunicação matemática deve ser alvo de maior atenção na sala de aula.
Considerações finais
A investigação acerca da visualização e do papel das imagens mentais em matemática tem revelado a importância das representações na correcta formação dos conceitos (Palarea, Socas, 1998).
Os alunos privilegiam uma abordagem analítica convertendo para números mesmo os problemas com estrutura visual, revelam um melhor desempenho nas questões propostas em contexto numérico.
O trabalho com padrões pode ser considerado um tema unificador do ensino da matemática (Orton, 1999), surgindo em diferentes contextos e contribuindo para a construção e desenvolvimento de vários conceitos como o de função (NCTM, 2000).
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