Pitágoras e a Aplicação dos Números na
Harmonia
Por Alain-Jacques L. de Burlet (RA 007913)
Trabalho desenvolvido para a disciplina História da Física, lecionada pelo prof. Roberto Martins
Resumo
Pitágoras se destacou por relacionar fenômenos físicos a relações matemáticas. Segundo ele, a natureza é regida por números. Neste trabalho, vamos estudar as suas contribuições especí cas na área da harmonia musical, ao estudar instrumentos de corda.
1 Introdução
Como se deu o início da formalização do conhecimento sobre harmonia? Este é o tema sobre este trabalho, em que iremos explorar os primeiros estudos relacionados a harmonia registrados, feitos ainda na época da Grécia antiga, por fílósofos pitagóricos.
Pitágoras de Samos, que viveu entre 571 e 496 a.C., foi um dos primeiros lósofos que fez uso da matemática para estudar fênomenos sicos. No campo da matématica e geometria, um de seus mais conhecidos trabalhos é o famoso Teorema de Pitágoras, que apesar de levar seu nome não foi criado por ele, e sim demonstrado, pois há registros que egípcios já possuíam este conhec-imento, só que em forma de receita matématica. Alguns dos trabalhos de Pitágoras foi sobre a aplicação dos números à harmonia, estudando instru-mentos de corda.
Figura 1: Pulso em uma corda tensionada.
2 Fundamentos Físicos da Harmonia
O oscilador harmônico aparece inúmeras vezes no estudo da física. A própria luz, objeto freqüente de estudo dos gregos, é descrita pela mecânica quântica como um oscilador harmônico. Aqui nos retringiremos a estudar as ondas.
Seja uma corda tensionada a uma tração τ, conforme mostrada na gura 1. Nesta gura, estamos vendo um pulso, sendo que o observador se en-contra no mesmo referencial do pulso, ou seja, se movendo com velocidade ~
v junto com ele. Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento da corda ∆l, parte de um círculo de raio R, compreendido por um angulo θ. A força de tração ~τ puxa tangencialmente o comprimento em cada ex-tremidade. Como podemos ver, as componentes horizontais se cancelam, restando somente as componentes verticais, que se somam formando a força restauradora ~F . Podemos dizer que:
F = 2(τ sin θ) ≈ τ (2θ) = θ∆l
R (1)
Acima zemos a aproximação sin θ ≈ θ para θ pequeno. Também faz-se necessário observar que 2θ = ∆l/R. Seja a massa do elemento ∆m:
∆m = µ∆l (2)
Figura 2: Exemplo de instrumento de cordas: guitarra. F = ∆mv 2 R = (µ∆l) v2 R (3)
Igualando as duas forças das equações 1 e 3, temos: τ∆l
R = (µ∆l) v2
R (4)
O que nos deixa com:
v =
s
τ
µ (5)
Ou seja: a velocidade com que uma onda se propaga em uma corda de-pende somente da tração e da densidade linear da corda.
Para ilustrar o processo de emissão de sons, vamos utilizar o exemplo da guitarra ( gura 2). Para a emissão de diferentes timbres, a guitarra tem seis cordas com densidades diferentes. Cada corda corresponde a uma nota musi-cal, sendo que a primeira e a sexta (mais na e a mais grossa) correspondem a uma mesma nota.
Notemos também que o braço da guitarra é dividido em trastes. Ao prender uma corda em um determinado trate, teremos uma nota musical. Para enteder isso invocamos a tradicionalíssima equação de ondas v = λf, em que f é a frequência1. Quando prendemos a corda em qualquer traste,
mudamos o comprimento de onda λ dos harmônicos, mudando assim a nota emitida.
3 A História e a Filoso a de Pitágoras
Nascido na pequena ilha de Samos, no mar Egeu, Pitágoras começou seus estudos na juventude sob tutela do lósofo Ferecídio, discipulo de Tales de Mileto. Ainda jovem, partiu em direção ao Egito, onde iniciou seus estudos sobre os antigos mistérios egípcios. Ainda foi até a Babilônia e Caldéia, onde aprimorou seus estudos, e por m recebeu a orientação do lósofo Epimênides, na ilha de Creta. Depois disso, voltou a ilha de Samos.
uma revolução na educação ética na época. Em sua empreitada nesta rev-olução, Pitágoras fez inimigos, e teve que deixar Crotona mudando-se para Metaponto, onde residiu até o nal de sua vida.
A losó a pitagórica se embasa na a rmação de que os números con-stituem a substância una e essencial de todas as coisas. Esta substância seria imutável. A geometria e a música eram peças fundamentais em sua loso a. O fato das relações entre em guras geométricas poderem ser ex-pressas como razões entre números naturais era de grande importância para os pitagóricos. Deus está continuamente medindo a Terra, dizia Pitágo-ras. A palavra geometria vem de geo = Terra e metria = medir. Esta harmonia matemática era a peça fundamental para explicar toda a criação, existência e operação do universo.
Entretanto o fato de a diagonal do quadrado ser √2 vezes o lado causou grande consternação entre os pitagóricos, pois sua visão de perfeição divina estava embasada no fato de medidas de objetos geométricos poderem ser expressas em forma de razões de números inteiros, como mencionado anteri-ormente. Este problema foi a temática do Escândalo dos Irracionais.
A harmonia musical entra no modelo de Pitágoras de forma curiosamente parecida com a concepção da física moderna. Para os pitagóricos, todas as coisas vibram, com seu determinado número especí co de vibrações - har-mônicos. Ele a rmava também que todas as coisas vibram numa grande harmônia universal, assim como as notas numa música: todas as coisas tem relação númerica ou harmônica no universo. Também a relação entre os opos-tos (como quente e frio; duro e macio; par e ímpar; etc...) in uia fortemente na harmonia das coisas. Cada coisa em sua essência é composta de uma combinação de opostos, sendo a harmonia caracterizada quando os opostos estão balanceados.
Os pitagóricos também zeram grandes realizações na área de stração matemática. Além do famoso teorema de Pitágoras, que foi demon-strado por ele, as seguintes realizações podem ser atribuídas aos pitagóricos: • a classi cação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares,
amigos, perfeitos e gurados;
• o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum;
• se um polígono tem n lados, então a soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n − 4) ângulos retos;
Pitágoras também se aplicou muito ao tentar relacionar a matemática, geometria e até a música com a astronomia. Segundo ele, os corpos celestes estariam harmônicamente relacionados, interagindo entre si através de suas vibrações. Com os seus métodos calculou razões entre a distância Terra-Sol e Terra-Lua, entre os diâmetros da Terra e da Lua, assim como entre o da Terra e do Sol.
4 Pitágoras e a Harmonia
Como vimos anteriormente, a Harmonia é uma parte importantíssima da loso a pitagórica, para não dizer essencial. Todas as coisas estariam vi-brando, tendo relações harmônicas umas com as outras.
O trabalho de Pitágoras no que abrange a música está muito relacionado às notas musicais tiradas de um instrumentos. Ele classi cou os harmônicos, julgando quando um som era a nado ou não, e usando a matemática pode fazer uma análise semelhante à feita na geometria: descrever con gurações de instrumentos utilizando razões de números inteiros.
Pitágoras teria feito alguns experimentos com instrumentos de corda de forma a obter as relações entre os sons a nados ou agradáveis com o compri-mento da corda que era posta a vibrar e com a tensão aplicada à ela.
No primeiro experimento, Pitágoras teria posto a vibrar uma corda ten-sionada, produzindo um som a nado. Depois disso, prendeu a corda na metade de seu comprimento e a pôs a vibrar novamente. Obteve a chamada Oitava, que é a mesma nota anterior, só que com o dobro de frequência. Dada a razão entre os comprimentos, ele atribuiu à Oitava a razão de 1
2. Testando
outras razões, ele também chegou à Quarta (3
4) e à Quinta ( 2
3). Ao descobrir
a razão matemática entre as frequências e as notas, Pitagoras estabeleceu a razão pela qual os intervalos são divididos em 12 semitons no ocidente, que são2:
• dó, dó# ,ré, ré# ,mi, fá, fá# ,sol, sol# ,lá ,lá# e si
Em instrumento de cordas atuais como violão ou guitarra, a vibração da corda solta e presa no décimo-segundo traste produz a mesma nota, mas com
a frequência dobrada, o que facilmente comprova que Pitágoras pode mesmo ter feito este experimento.
Figura 3: Relacao entre peso e frequência.
• o 9 é a média aritmética entre 12 e 6; • o 8 é a média harmónica entre 12 e 6; • 12
9 = 8 6.
Como podemos ver na gura 3 corresponde a uma relação linear. Entre-tanto, pela equação 5 podemos tirar facilmente que a frequência varia com a raiz quadrada da tensão. Assim sendo, o experimento relatado por Boécius é inverossímil.
Referências
[1] http://www.matematica.br/historia/pitagoras.html [2] http://www.mundodos losofos.com.br/pitagoras.htm
