Constru¸ c˜ ao do corpo dos n´ umeros reais via cortes de Dedekind

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Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆ encias Exatas e da Natureza Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica

Mestrado em Matem´ atica

Constru¸ c˜ ao do corpo dos n´ umeros reais via cortes de Dedekind

Valmir Her´ aclito Nascimento Xavier

Jo˜ ao Pessoa – PB

Agosto de 2017

(2)

Universidade Federal da Para´ıba Centro de Ciˆ encias Exatas e da Natureza Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica

Mestrado em Matem´ atica

Constru¸ c˜ ao do corpo dos n´ umeros reais via cortes de Dedekind

por

Valmir Her´ aclito Nascimento Xavier

sob a orienta¸c˜ao do

Profa. Dra. Miriam da Silva Pereira

Jo˜ ao Pessoa – PB

Agosto de 2017

(3)

X3c Xavier, Valmir Heráclito Nascimento.

Construção do corpo dos números reais via cortes de Dedekind / Valmir Heráclito Nascimento Xavier. - João Pessoa, 2017.

52 f. : il.

Orientação: Miriam da Silva Pereira.

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Matemática. 2. Cortes de Dedekind. 3. Equação polinomial - Números racionais. I. Pereira, Miriam da Silva. II. Título.

UFPB/BC

Catalogação na publicação Seção de Catalogação e Classificação

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A Deus e aos meus pais

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Agradecimentos

A Deus por me ter dado a oportunidade de ter participado do curso de mestrado na UFPB.

Aos meus pais, por estarem incondicionalmente ao meu lado no inicial de meus estudos.

A minha esposa Walquiria por estar ao meu lado nos momentos mais dif´ıcil desta` jornada.

Aos professores da equipe PROFMAT/UFPB, em especial aos meus orientadores Professor Doutor Flank Bezerra e a Professora Doutora Miriam Pereira, por alem de abra¸carem e orientarem minha pesquisa, deram um curso a parte sobre como digitar no L^ATEX.

Aos meus colegas, pelos momentos agradáveis como o café que o Mailson trazia de Cajazeira e ainda chegava quentinho, como as discussões intermináveis com o “curiti- ano” Rômulo pelas bolachas horr´ıveis que o mesmo trazia e ainda queria que a gente comece, assim como os companheiros de estrada Gustavo, Osvaldo e Adim. entre ou- tros momento e colegas que me falha a memória, porém muito marcante neste jornada da minha vida, abra¸cos a todos.

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Resumo

Neste trabalho, apresentamos a no¸cão de cortes de Dedekind motivados pelo es- tudo da equa¸cão polinomial x² = 2 no corpo dos números racionais. Introduzimos as opera¸cões de adi¸cão, multiplica¸cão entre cortes, bem como, a no¸cão de valor absoluto e uma rela¸cão de ordem entre cortes. Provamos que o conjunto dos cortes de Dedekind munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão possui estrutura de corpo ordenado.

Apresentamos a constru¸cão do corpo dos números reais explorando o fato de que o corpo dos cortes de Dedekind é ordenado e completo.

Palavras-chave: corpo dos números racionais, corpo dos números reais, cortes de Dedeking, corpos algébricos.

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Abstract

In this work, we present the notion of Dedekind cuts motivated by the study of the polynomial equation x² = 2 in the fields of rational numbers. We introduce the operations of addition and multiplication between cuts, as well as the notion of abso- lute value and order relation between cuts. We prove that the set of Dedekind cuts equippaded with the operations of addition and multiplication is an ordered field. We present the construction of the field of the real numbers by exploring the fact that the field of the Dedekind cuts are ordered and complete.

Keywords: field of the ractional numbers, field of the real numbers, Dedekind cuts, algebraic fields.

(9)

Sum´ ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Corpos alg´ebricos abstratos 4

1.1 Preliminares . . . 4 1.2 Planificando o problema do cubo . . . 9

2 Cortes de Dedekind 14

2.1 Defini¸cões básicas . . . 14 2.2 Rela¸cão de ordem . . . 19 2.3 Opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão entre cortes de Dedekind . . . 21

3 O corpo dos n´umeros reais 32

3.1 Corpo ordenado completo . . . 32

Referˆencias Bibliogr´aficas 42

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Nota¸ c˜ oes

A seguir, listamos algumas nota¸c˜oes utilizadas neste trabalho.

• N: Denota o conjunto dos n´umeros naturais; saber, N={1,2,3, . . . , n, . . .};

• Z: Denota o conjunto dos n´umeros inteiros;

• n!: Denota o fatorial de um n´umero inteiro n˜ao negativo n; a saber, 0! := 1 e n! :=n(n−1)(n−2)· · ·2·1;

• Q⁻: Denota o conjunto dos n´umeros racionais n˜ao positivos;

• Q^∗−: Denota o conjunto dos n´umeros racionais negativos;

• Q+: Denota o conjunto dos n´umeros racionais n˜ao negativos;

• Q^∗+: Denota o conjunto dos n´umeros racionais positivos;

• Q: Denota o corpo dos n´umeros racionais;

• R: Denota o corpo dos n´umeros reais;

• K: Denota um corpo alg´ebrico qualquer;

• A+B: Denota o conjunto {a+b;a ∈A, b∈B}, onde A, B ⊂Q;

• A·B: Denota o conjunto {a·b;a∈A, b∈B}, ondeA, B ⊂Q;

• (A·B)+: Denota o conjunto {a·b;a∈A, b∈B, a≥0, b≥0}, onde A, B ⊂Q;

• (A, B): Denota um corte de Dedekind;

• r^∗: Denota o corte de Dedekind (A_r, B_r), onde r ∈ Q, A_r = {x ∈ Q;x < r}

e B_r ={x∈Q;r≤x};

• C : Denota o conjunto de todos os cortes de Dedekind;

• X\Y: Denota o completar do conjunto Y em rela¸c˜ao ao conjunto X.

(11)

Introdu¸ c˜ ao

E sabido que com os axiomas de Peano podemos introduzir na literatura o con-´ junto dos números naturais, e usando rela¸cões de equivalência sobre o conjunto dos números naturais podemos introduzir o conjunto dos números inteiros. Por conseguinte, usando rela¸cões equivalência sobre o conjunto dos números inteiros podemos introduzir o conjunto dos números racionais. Uma vez conhecida a no¸cão de corpo abstrato arquimediano e ordenado, podemos constatar que o conjunto dos números racionais munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão entre números racionais, possui estrutura de corpo arquimediano e ordenado. Para mais detalhes, veja [2] e [4].

Explorando o corpo dos números racionais, estudamos a equa¸cãox²−2 = 0 e somos levados aos conjuntos de aproxima¸cõesF, por falta, eE das aproxima¸cões por excesso da solu¸cão da equa¸cão x²−2 = 0, onde

F ={1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;. . .}e

E ={2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143;. . .}. (1) Provamos que n˜ao existe elemento m´aximo em F, nem elemento m´ınimo em E, e por conseguinte, provaremos que os seguintes conjuntos

X ={x∈Q;x≥0 e x² <2} e

Y =Q\X ={y ∈Q;y >0 ou y² >2}

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são tais que X não possui elemento máximo em Q, nem Y elemento m´ınimo em Q. Estes fatos, nos motivaram a definir os chamados cortes de Dedekind, nome em ho- menagem ao matemático alemão Julius Wilhelm Richard Dedekind (Braunschweig, 6 de outubro de 1831 – Braunschweig, 12 de fevereiro de 1916) aluno de doutorado do matemático também alemão Carl Friedrich Gauss²; a saber, um corte de Dedekind é um par ordenado (A, B) de conjuntos de números racionais satisfazendo as seguintes condi¸cões:

(i) Os conjuntos A e B s˜ao ambos n˜ao vazios tais queA∪B =Q;

2T´ıtulo da tese de doutorado: Uber die Theorie der Eulerschen Integrale¨ (1852), veja [7].

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(ii) Todo elemento deA ´e estritamente menor que todo elemento de B;

(iii) O conjunto A n˜ao possui elemento m´aximo.

Consta na literatura que a motiva¸cão do Dedekind para a introdu¸cão dos cortes se dá pela preocupa¸cão do mesmo em deixar clara a ideia de número irracional, para mais detalhes veja [6]. Por exemplo, a análise sobre os conjuntos E eF em (1), e X eY em (2), nos leva considerar o corte de Dedekind (A, B), onde

A ={x∈Q;x² <2 ou x≤0} e B ={x∈Q;x² >2 e x >0}.

Veremos que (A, B) de fato é um corte de Dedekind no Cap´ıtulo 2 deste trabalho, e este corte nos levará a conceber o que hoje entendemos como o número real √

2. A t´ıtulo de motiva¸c˜ao, adiantamos que o cortes de Dedekind do tipo (A_r, B_r), onde r∈Q, e

A_r ={x∈Q;x < r} e B_r ={x∈Q;x≥r}.

nos levar´a a conceber o que hoje entendemos como o n´umero real do tipo racional. O corte de Dedekind (A, B), onde

A=Q\B e B =n

x∈Q;

n

X

k=0

1

k! < xpara todo n∈N o

nos levar´a a conceber o que hoje entendemos como o n´umero real e. O corte de Dedekind (A, B), onde

A=Q\B e B =n

x∈Q; existe n ∈N tal que 4

m

X

k=1

(−1)^k+1 1

2k−1 < x para todom ∈N, m ≥no nos levar´a a conceber o que hoje entendemos como o n´umero real π para maiores detalhes veja o Cap´ıtulo 2 deste trabalho.

No que decorrer do trabalho daremos exemplos de cortes de Dedekind, definiremos uma opera¸cão adi¸cão e uma opera¸cão entre cortes de Dedekind, e provaremos que o conjunto dos cortes munido destas duas opera¸cões possui estrutura de corpo algébrico.

Em seguida, definiremos uma rela¸c˜ao de ordem total entre os cortes e provaremos que o corpo dos cortes de Dedekind possui estrutura de corpo ordenado, e finalmente provaremos que o corpo dos cortes ´e completo. A partir da´ı, veremos que somos levados

(13)

a existência do que hoje entendemos como o corpo dos números reais e ao apelo intuitivo geométrico que temos sobre este último corpo. Para a execu¸cão deste projeto seguimos [1], [2], [4] e [5].

O nosso trabalho est´a dividido em trˆes cap´ıtulos, a saber:

No Cap´ıtulo 1 iniciamos relembrando a defini¸cão de corpos algébricos abstratos, corpos ordenados e corpos ordenados completos. Também estudamos a equa¸cão algébrica x²−2 = 0 sobre o corpo dos números racionais.

No Cap´ıtulo 2 introduzimos o conceito de cortes de Dedekind, munimos o conjunto dos cortes de Dedekind de uma opera¸cão de adi¸cão e multiplica¸cão, além de uma rela¸cão de ordem total.

Finalmente, no Cap´ıtulo 3 provamos que o conjunto dos cortes de Dedekind munido das opera¸cão de adi¸cão e multiplica¸cão definidas no Cap´ıtulo 2 possui estrutura de corpo algébrico, terminamos este cap´ıtulo provando que o corpo dos cortes de Dedekind possui estrutura de corpo ordenado completo e introduzindo o corpo dos números reais.

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Cap´ıtulo 1

Corpos alg´ ebricos abstratos

Neste cap´ıtulo, introduzimos a no¸cão de corpos algébricos abstratos, corpos ordenados e corpos ordenados completos. Também estudamos a equa¸cãox² = 2 sob a ótica do corpo dos números racionais. As principais referências para a elabora¸cão deste cap´ıtulo do trabalho foram [1] e [3].

1.1 Preliminares

Defini¸cão 1.1. Seja K um conjunto não vazio. Um corpo algébrico é um conjunto não vazio K munido de duas opera¸cões + :K×K → K e · : K×K → K, chamadas respectivamente deadi¸cão e multiplica¸cão, tais que para todosa, b, c∈K, as seguintes propriedades são válidas:

(i) a+b =b+a;

(ii) a+ (b+c) = (a+b) +c;

(iii) Existe um elemento em Kdenotado por 0, tal que 0 +a=a+ 0 = a, para todo a ∈K. O elemento 0 ´e chamado o zero deK;

(iv) Existe −a ∈ K tal que a+ (−a) = −a+a = 0. O elemento −a ´e chamado o sim´etrico aditivo de a;

(v) a·b=b·a;

(vi) (a·b)·c=a·(b·c);

(vii) a·(b+c) = a·b+a·c;

(viii) Existe um elemento em K denotado por 1 tal que 1·a =a para todo a ∈K. O elemento 1 ´e chamado unidade de K;

(15)

1. Corpos alg´ebricos abstratos

(ix) Para todo a 6= 0 em K existe um elemento a⁻¹ ∈ K, denominado inverso multiplicativo de a tal que a·a⁻¹ =a⁻¹·a= 1.

Quando a estrutura matemática constitu´ıda de um conjuntoKmunidos das opera¸cões + :K×K→ K e · :K×K→ K for um corpo algébrico, eventualmente, fazemos re- ferência a este corpo simplesmente por K e o elemento a· b, desde que a, b ∈ K, é denotado, simplesmente porab.

Observa¸cão 1.1. Seja qual for o corpo K, observamos que existe um único elemento emKcom a propriedade do elemento 0 definido no item (iii) da Defini¸cão 1.1. De fato, se existirem 0⁰ e 0⁰⁰ elementos de K com a propriedade do item (iii) da Defini¸cão 1.1, devemos ter

0⁰ = 0⁰+ 0⁰⁰= 0⁰⁰,

onde a primeira igualdade é válida porque 0⁰⁰ satisfaz o item (iii) da Defini¸cão 1.1, e a segunda igualdade é válida porque 0⁰ satisfaz o item (iii) da Defini¸cão 1.1.

Observa¸cão 1.2. Existe um único elemento em K com a propriedade do simétrico aditivo de um elemento a∈K. De fato, sejam (−a) e (−a^∗) dois elementos de Kcom a propriedade do item (iv) da Defini¸cão 1.1, tais que a+ (−a) = 0 e a+ (−a^∗) = 0.

Temos, ent˜ao:

(−a^∗) = (−a^∗) + 0 = (−a^∗) + [a+ (−a)] = [(−a^∗) +a] + (−a) = 0 + (−a) = (−a).

Onde a primeira igualdade é valida, pois satisfaz o item (iii) da Defini¸cão 1.1, na passagem da segunda igualdade para a terceira utilizamos o item (ii) da Defini¸cão 1.1, e a ultima igualdade é válida porque satisfaz o item (iii) da Defini¸cão 1.1. Logo o elemento simétrico aditivo é único, como quer´ıamos mostrar.

Observa¸cão 1.3. Existe um único elemento emKcom a propriedade de ser a unidade deK. De fato, se existirem 1⁰ e 1⁰⁰ elementos deK com a propriedade do item (viii) da Defini¸cão 1.1, devemos ter

1⁰ = 1⁰1⁰⁰ = 1⁰⁰

onde a primeira igualdade é válida porque 1⁰⁰ satisfaz o item (viii) da Defini¸cão 1.1, e a segunda igualdade é válida porque 1⁰ satisfaz o item (viii) da Defini¸cão 1.1.

Observa¸c˜ao 1.4. Para cada a ∈ K diferente de 0 existe um ´unico inverso multiplicativo. De fato, Seja a ∈ K, a 6= 0 e a⁻¹, a⁻¹_∗ ∈ K tais que aa⁻¹ = 1 e aa⁻¹_∗ = 1.

Assim,

aa⁻¹ =aa⁻¹_∗ ⇒(aa⁻¹)a⁻¹ = (aa⁻¹_∗ )a⁻¹ ⇒a⁻¹ = (aa⁻¹)a⁻¹_∗ =a⁻¹_∗ .

(16)

Exemplo 1.1. Sejam K = Q, + e · munido com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão entre números racionais. Nestas condi¸cões Qé um corpo.

No exemplo acima, vimos que o conjunto dos números racionais munido das opera¸cões usuais de adia¸cão e multiplica¸cão entre números racionais constituem um corpo algébrico,

é interessante notar que podemos considerar o conjunto dos números racionais contido em qualquer corpo algébrico K, basta considerarmos a identifica¸cão: a unidade de um corpo K será identificado com o número 1, a soma da unidade do corpo K com ela mesma será identificado com o número 2, a soma da unidade do corpo K com o elemento do corpoKidentificado com número 2 será identificado com o número 3, e se- guindo com este argumento, podemos identificar um subconjunto deKcom o conjunto dos inteiros positivos. Continuando, o elemento chamado o zero deK será identificado com o zero e se considerarmos o simétrico aditivo dos elementos deKidentificamos com os inteiros positivos, podemos concluir que um subconjunto deKpode ser identificado com o conjunto dos inteiros, e portanto, seja qual for o corpoK, temos:

Z⊂K.

Finalmente, considerando o sim´etrico aditivo e inverso multiplicativo de todo elemento a ∈ Z ⊂ K diferente de 0, a soma e multiplica¸c˜ao de dois qualquer destes elementos, bem como os elementos deZ, podemos admitir que, seja qual for o corpo K, temos:

Q⊂K.

Mais precisamos, podemos provar o seguinte resultado. Embora não faremos a prova na integra aqui o argumento acima nos dá uma dire¸cão de como esta deve ser feita.

Teorema 1.1. Existe uma fun¸c˜ao injetora j : Q −→ K tal que para todos r, s ∈ Q temos

(a) j(r+s) =j(r) +j(s);

(b) j(−r) =−j(r);

(c) j(rs) = j(r)j(s).

Exemplo 1.2. SejamK=Q[i] ={a+ib;a, b∈Q, i² =−1}, + e·as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão entre os elementos deQ[i]; a saber, para todosa+ib, c+id∈ Q[i], definimos

(a+ib) + (c+id) :=a+c+i(b+d) e

(a+ib)·(c+id) := (ac−bd) +i(ad+cb).

(17)

Exemplo 1.3. Sejam K=Q[x] ={a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀;a_i ∈Q, n∈N}, + e·as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão entre os elementos deQ[x]; a saber, para todosa_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀, b_mx^m+bm−1x^m−1+· · ·+b₁x+b₀ ∈Q[x]

com m6n, definimos

(a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀) + (b_mx^m+bm−1x^m−1+· · ·+b₁x+b₀)

:= (0 +b_n)xⁿ+· · ·+ (a_m+b_m)x^m+ (am−1+bm−1)x^m−1+· · ·+ (a₁+b₁)x+ (a₀+b₀) e

(a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀)·(b_mx^m+b_m−1x^m−1+· · ·+b₁x+b₀) :=c_m+nx^m+n+cm+n−1x^m+n−1+· · ·+c₁x+c₀,

onde

c₀ =a₀b₀

c₁ =a₀b₁+a₁b₀

c₂ =a₀b₂+a₁b₁+a₂b₀

c₃ =a₀b₃+a₁b₂+a₂b₁+a₃b₀ ...

ck =a0bk+a1bk−1+· · ·+akb0,k = 1,2,3, . . . , m

cm+1 =a1bm+a2bm−1+· · ·+anbm−n+1,cm+2 =a2bm+a3bm−2+· · ·+anbm−n+2,. . . , c_m+n =a_nb_m.

Observamos que para cada termo da soma que gera c_k, a soma do ´ındice de a com o

´ındice de b sempre fornece o mesmo resultado dek.

Defini¸cão 1.2. Seja K um corpo algébrico. Dizemos que K é um corpo ordenado quando existir um conjuntoP ⊂K,chamado o conjunto dos elementos positivos deK, tal que as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

(P₁) A soma e o produto de elementos positivos s˜ao positivos, ou seja, x, y ∈P ⇒x+y∈P e xy∈P.

(P2) Dado x∈K, exatamente uma das trˆes alternativas seguintes ocorre:

ou x= 0, oux∈P, ou −x∈P.

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Assim, se indicarmos com −P o conjunto dos elementos −x, onde x ∈ P, temos K = P ∪(−P)∪ {0}, sendo os conjuntos P,−P e {0} dois a dois disjuntos. Os elementos de−P s˜ao chamados elementos negativos do corpo.

Observa¸cão 1.5. Em um corpo ordenado, se a 6= 0 então a² ∈ P.Com efeito, sendo a 6= 0, ou a ∈ P ou −a ∈ P. No primeiro caso a² = aa ∈ P. No segundo caso a² = (−a)(−a)∈P.Em particular, em um corpo ordenado 1 = 1·1 é sempre positivo.

Assim −1 ∈ −P. portanto, em um corpo ordenado −1 n˜ao ´e quadrado de elemento algum.

Exemplo 1.4. O conjunto dos números racionais munido das opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão entre números racionais é um corpo ordenado, no qual o conjunto P é formado pelos números racionais ^p_q tais que pq ∈N. Intuitivamente, isto significa que os inteiros p eq possuem o mesmo sinal.

No que segue, sempre que o corpoKfor ordenado, o conjunto P ser´a denotado por {x∈K; 0< x},e denotamos

0≤x⇔0< x oux= 0.

Defini¸cão 1.3. Um conjuntoX ⊂Kdizemos queXé limitado superiormente, quando existe algumb∈Ktal quex≤bpara todox∈X.Neste caso, diremos quebé uma cota superior deX, analogamente, diremos que o conjuntoX ⊂Ké limitado inferiormente, quando existe a ∈ K tal que a ≤ x para todo x ∈ X, o número a chamaremos então uma cota inferior deX.

Defini¸c˜ao 1.4. Sejam K um corpo ordenado e X ⊂ K um conjunto limitado superiormente. Um elemento b ∈ K chama-se supremo do conjunto X quando b ´e a menor das cotas superiores de X em K.

Assim, para queb∈Kseja supremo de um conjuntoX ⊂K,é necessário e suficiente que sejam satisfeitas as duas condi¸cões abaixo:

(S₁) Para todo x∈X,tem-se x≤b;

(S₂) Se c∈K ´e tal que c≤x para todo x∈X, ent˜ao c≤b.

Analogamente, um elemento a∈ K chama-se ´ınfimo de um conjunto Y ⊂K, limitado inferiormente, quandoaé a maior das cotas inferiores deK.Para quea ∈Kseja ´ınfimo deY ⊂Ké necessário e suficiente que as condi¸cões abaixo sejam satisfeitas:

(I₁) Para todo y∈Y tem-sey ≤a;

(I₂) Se c∈K ´e tal que c≤y para todo y∈Y, ent˜aoc≤a.

(19)

Resulta da defini¸c˜ao que, em um corpo ordenado completo, todo conjunto n˜ao vazio, limitado inferiormente, X ⊂K, possui ´ınfimo. Com efeito, dado Y seja X =−Y, isto

é, X = {−y;y ∈ Y}. Então, X é não vazio e limitado superiormente; logo existe a=supX. Como se vê facilmente, tem-se −a=inf Y. De fato, seja a =sup X, existe x ∈ X tal que a ≥ x então −a ≤ −x, para todo −x ∈ −X. Então −a é uma cota inferior para o conjunto −X, queremos mostrar que −a é a maior das cotas inferiores de −X, como a = sup X dado > 0 tal que a− > x para todo x ∈ X, temos que

−a+ <−x para todo−x∈ −X. Logo −a=inf(−X), ent˜ao: −sup X =inf Y.

Defini¸cão 1.5. Seja K um corpo ordenado. Dizemos que K é completo quando todo subconjunto não-vazio, limitado superiormente X ⊂K possui supremo em K.

1.2 Planificando o problema do cubo

O seguinte problema nos motivará a definir no próximo cap´ıtulo os cortes de Dede- kind, e estes serão utilizados no futuro para explicarmos a origem dos números reais.

Suponhamos que o corpo dos números racionais seja o maior, no sentido da inclusão, conjunto numérico conhecido. Vamos calcular a medida do lado de um quadrado, cuja

´

area seja o dobro da ´area de um quadrado conhecido.

Consideramos um quadrado de lado a e seja x o lado do quadrado que se deseja determinar. Podemos traduzir matematicamente o problema com a equa¸c˜ao

x² = 2a².

Sem perda de generalidade, suponhamos que a = 1 e fixaremos nossa aten¸c˜ao na equa¸c˜ao

x² = 2. (1.1)

Afirmamos que a equa¸cão (1.1) não possui solu¸cãoxemQ, isto é, não existe racional x solu¸cão de (1.1). De fato, se existisse um racional x = ^p_q com q 6= 0 e o máximo divisor comum dep eq é igual a um, logop eq são primos entre si tal que

p² = 2q².

Então, p² é par, isto é, p = 2m, m ∈ Z. Consequentemente, 4m² = 2q² ou q² = 2m², isto implica que q² é par, isto é, q par. Portanto, p e q são pares o que conduz a uma contradi¸cão pois, por hipótese, eles são primos entre si.

Vamos analisar a (1.1) sob outro ponto de vista. Come¸caremos obtendo aproxima¸c˜oes racionais da solu¸c˜ao x de (1.1). Denominamos raiz quadrada de 2, a menos

(20)

de uma unidade, por falta, ao maior n´umero inteiro n tal que

n² <2<(n+ 1)². (1.2) O númeron+ 1 é denominado de raiz quadrada de 2, a menos de uma unidade, por excesso, é claro que n= 1 em (1.2), implica que a solu¸cão de (1.1) satisfaz: 1 < x <2.

A seguir, fazemos aproxima¸cões decimais da solu¸cão x de (1.1), que se encontra entre 1 e 2. Denominamos raiz quadrada de 2 a menos de ₁₀¹ por falta, ao maior número inteiro de décimos cujo quadrado é menor do que 2, isto equivale a

n 10

2

<2<

n+ 1 10

2

.

O número ⁿ⁺¹₁₀ é a raiz quadrada de 2 por excesso a menos de um décimo. Para o cálculo desta aproxima¸cão dividimos o segmento de reta [1, 2] em 10 partes iguais por meio dos pontos:

1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2.

Obtemos

(1,4)² <2<(1,5)².

Assim, 1,4 é a solu¸cão aproximada de (1.1) a menos de ₁₀¹ por falta e 1,5 por excesso. Logo, a solu¸cãox da Equa¸cão (1.1) encontra-se no segmento de extremos 1,4 e 1,5.

Para obtermos das solu¸c˜oes aproximadas de (1.1) a menos de ₁₀¹2 por falta e por excesso, dividimos o segmento de reta [1,4; 1,5] em dez partes iguais por meio dos pontos:

1,4; 1,41; 1,42; 1,43; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,48; 1,49; 1,5.

Procedemos como no caso anterior e obtemos:

(1,41)² <2<(1,42)².

Isto é, 1,41 é a solu¸cão de (1.1) a menos de ₁₀₀¹ por falta e 1,42 por excesso. Logo, a solu¸cãoxda Equa¸cão (1.1) encontra-se no intervalo da reta de extremos 1,41 e 1,42.

Continuando o processo, de modo an´alogo aos casos acima, encontramos as solu¸c˜oes aproximadas a menos de

1 10³, 1

10⁴, . . . , 1 10ⁿ.

Constru´ımos os conjuntos de aproxima¸c˜oesF, por falta e E, das aproxima¸c˜oes por

(21)

excesso da solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao (1.1). Assim

F ={1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;. . .} (1.3) e

E ={2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143;. . .}. (1.4) Os quadrados dos números deF são menores que 2 e os deE são maiores. De modo geral, os números deF são da forma: 1, a₁a₂. . . a_ne os deE, da forma, 1, a₁a₂. . . a_(n+1), sendoa_i um algarismo de 0 a 9. Portanto,

1, a1a2. . . an. . . < x <1, a1a2. . . a(n+1). . . .

Representamos porx_n os elementos deF e pory_nos elementos de E, temosx_n−y_n=

1

10ⁿ e x_n< y_n para todon = 1,2, . . . .

Proposi¸c˜ao 1.2. Dadoδ= ₁₀¹k, k= 1,2, . . . ,existemx∈F ey∈E tais quey−x < δ.

Demonstra¸c˜ao. De fato, seja n ∈ Z, tal que ₁₀¹n < ₁₀¹k. Logo, quaisquer x_n ∈ F e yn ∈E, e comn > k s˜ao tais queyn−xn< δ

Proposi¸c˜ao 1.3. Para cada δ = ₁₀¹k, k inteiro positivo, existem x ∈ F, y ∈ E , tais que 2x² <2δ ey² < δ.

Demonstra¸c˜ao. Como na Proposi¸c˜ao 1.4, dadoδ= ₁₀¹k existem x∈F ey∈E tais que yx < ^δ₄. Sendo x ey tais que 1< xe y <2, obtemos y+x <4 e

y²−x² = (y−x)(y+x)<4(y−x)< δ.

De x∈F e y∈E resulta que x² <2 e 2< y². Logo, adicionando e subtraindo 2 `a desigualdade acima, encontramos 2y²+ 2x² < δ, isto ´e 2y² < δ e 2x² < δ.

Proposi¸c˜ao 1.4. Consideramos os conjuntos E e F definidos como em (1.3) e (1.4).

Então não existe elemento máximo emF nem elemento m´ınimo emE.

Demonstra¸cão. De fato, para cadax∈F, aproxima¸cão por falta da solu¸cão da equa¸cão x² = 2, existe uma aproxima¸cão x < x₁ ainda por falta. O mesmo acontece com a classe E das aproxima¸cões por excesso da solu¸cão da equa¸cãox² = 2.

Motivado pelos resultados obtidos acima conclu´ımos que não existe solu¸cão racional para a Equa¸cão (1.1). Se consideramos os conjuntos

X ={x∈Q;x≥0 e x² <2}

(22)

e

Y =Q\X ={y∈Q;y >0 ou y² >2}.

Comox >2 o que implicax² >4 e por conseguinte x /∈X, conclu´ımos que X ⊂[0; 2], logo X é um conjunto limitado de números racionais. Por outro lado, Y ⊂ (0,+∞), de modo que Y é limitado inferiormente. Mostraremos agora que não existem sup X nem inf Y em Q. (É claro que existe inf X = 0, pois 0 é o menor elemento de X).

Para isto, estabelecemos os seguintes fatos:

A) O conjunto X n˜ao possui elemento m´aximo. Com efeito, dado x ∈ X (isto,

é dado um número racional não negativo cujo quadrado é inferior a 2), tomamos um número racional r < 1 tal que 0 < r < ^2−x_2x+1². Afirmamos que x+r ainda pertence a X.Com efeito, der <1 segue-ser² < r.da outra desigualdade que rsatisfaz, segue-se r(2x+ 1)<2−x². Então,

(x+ 2)² =x²+ 2rx+r² < x²+ 2rx+r=x²+r(2x+ 1)< x²+ 2−x² = 2.

Assim, dado qualquerx∈X, existe um n´umero maior, x+r∈X.

B) O conjunto Y não possui elemento m´ınimo. De fato, dado qualquer y ∈ Y, temosy >0 ey² >2.Logo podemos obter um número racional rtal que 0< r < ^y²_2y⁻². Então 2ry < y² −2 logo (y−r)² = y²−2ry+r² > y² −2ry > 2. Notemos também que r < ^y₂ − _y¹, donde r < y, isto é, y−r é positivo. Assim, dado y ∈ Y arbitrário, podemos obter y−r∈Y, y−r < y.

C) Se x ∈ X e y ∈ Y, então x < y. com efeito, tem-se x² < 2 < y² e, portanto, x² < y².Comoxeysão ambos positivos, conclui-sex < y.(A rigor, poderia serx= 0, mas, neste caso, a conclusãoa < y é óbvia.)

Usando os fatosA,B e Cmostremos que, entre os n´umeros racionais, n˜ao existem sup X nem inf Y.

Suponhamos, primeiro, que existisse a = sup X. seria for¸cosamente a > 0. Não poderia ser a² < 2 porque isto obrigaria a ∈ X e, então, a seria elemento máximo de X,que não existe, porA tão pouco poderia sera² <2,porque isto fariaa∈Y. Como, em virtude de B, Y não possui elemento m´ınimo, existiria b ∈Y, com b < a. Usando C, concluir´ıamos que x < b < a para todox∈X, o que contradiz ser a=sup X.

Assim, se existira=sup X,entãoa² = 2,mas nenhum número racional existe com esta propriedade, de onde conclu´ımos que emQ o conjunto X não possui supremo.

Um racioc´ınio inteiramente análogo, baseado nos fatos A,B e C, mostraria que o número b =inf Y, se existir, deve satisfazer b² = 2, e portanto, Y não tem ´ınfimo em Q.

Ao mesmo tempo, estes argumentos mostram que, se existir um corpo no qual todo

(23)

conjunto não vazio limitado superiormente possua supremo, existirá, nesse dito corpo, a = sup X, cujo quadrado, não podendo ser menor nem maior do que 2, deverá ser igual a 2, e escrevemosa=√

2.

Observa¸cão 1.6. Note que se p é um número primo, então podemos considerar a equa¸cão

x² =p. (1.5)

Usando um argumento análogo ao aplicado à equa¸cão (1.1) podemos concluir que a equa¸cão (1.5) também não admite solu¸cão no corpo dos números racionais.

(24)

Cap´ıtulo 2

Cortes de Dedekind

Neste cap´ıtulo, introduzimos a no¸cão de cortes de Dedekind, uma rela¸cão de ordem entre cortes de Dedekind e uma opera¸cão de adi¸cão e uma opera¸cão de multiplica¸cão entre cortes de Dedekind.

2.1 Defini¸ c˜ oes b´ asicas

Defini¸cão 2.1. Um corte de Dedekind é um par ordenado (A, B) de conjuntos de números racionais satisfazendo as seguintes condi¸cões:

(D₁) Os conjuntos A e B são ambos não vazios tais queA∪B =Q; (D₂) Todo elemento deA é estritamente menor que todo elemento de B;

(D₃) O conjunto A n˜ao possui elemento m´aximo.

Dado um corte de Dedekind (A, B), o conjunto A é comumente denominado de conjunto minorante do corte e o conjunto B é comumente denominado de conjunto majorante do corte. Os elementos do conjunto minorante de um corte serão chamados de elementos minorante do corte de Dedekind, e os elementos do conjunto majorante de um corte de elementos majorantes do corte de Dedekind.

Defini¸cão 2.2. Sejam (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind. Dizemos que (A, B) é igual (D, E) se, e somente se, o conjunto minorante de (A, B) for igual ao conjunto minorante de (D, E), isto é,

(A, B) = (D, E)⇔A=D.

Defini¸cão 2.3. Um corte (A, B) no qual o conjunto majorante não tem elemento m´ınimo e o conjunto minorante não tem elemento máximo em Q denomina-se um corte irracional.

(25)

2. Cortes de Dedekind

Exemplo 2.1. Consideremos os conjuntos

A={x∈Q;x² <2 ou x≤0}

e

B ={x∈Q;x² >2 e x >0}.

O par ordenado (A, B) é um corte de Dedekind. De fato, A e B são conjuntos não vazios e A∪B =Q, isto é, vale a condi¸cão (D₁) da Defini¸cão 2.1. Agora, provemos a condi¸cão(D₂) da Defini¸cão 2.1, ou seja, todo elemento de A é estritamente menor que todo elemento de B, pois se a ∈ A e b ∈ B, logo a² < 2 ou a ≤ 0, e 2 < b² e 0 < b.

Ent˜ao

a² <2< b² ⇒a² < b² ⇒ |a|< b⇒ −b < a < b,

e portanto, a < b. Finalmente, provemos a condi¸cão (D₃) da Defini¸cão 2.1 note que o conjuntoA não tem elemento máximo, isto é, sex∈A, então existey, y∈A, tal que x < y. De fato, seja x = ^p_q, e considere y = ^np+1_nq ∈ A, onde n é um inteiro positivo com que satisfaz a propriedade definida abaixo:

(np+ 1)²

n²q² <2⇔n²p²+ 2np+ 1<2n²q²

⇔(p²−2q²)n²+ 2np+ 1<0

⇔n= −2p±p

(2p)²−4(p²−2q²)1 2(p²−2q²) <0

⇔n= −2p±p

4p²−4p²+ 8q² 2(p²−2q²) <0

⇔n= −2p±2q√ 2 2(p²−2q²) <0

⇔n= −p±q√ 2 p²−2q² <0.

Notemos que y ∈ A, isto ´e, 0 ≤ y, y ∈ Q e y² < 2. De fato, como x = ^p_q ∈ A, temos, que p² − 2q² < 0. Logo, a desigualdade ´e verificada sempre que tomarmos n > max{^−p+q

√2 p²−2q² ,^−p−q

√2 p²−2q² }.

Proposi¸cão 2.1. A sequência de números racionais cujo termo geral é dado por Pn

k=0 1

k! para n ∈Né convergence. Além disso, seu limite não é número racional.

Demonstra¸cão. A convergência da sequência cujo termo geral é dado porPn k=0

1 k! segue do fato de que para todok ≥4, temos

2^k ≤k!

(26)

para todon ≥4 (isto pode ser provado usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita) e

n

X

k=4

1 k! ≤

n

X

k=4

1 2^k

o que implica, que a sequˆencia cujo termo geral ´e dado por Pn k=4

1

k! para n ∈ N é monótona e limitada, e portanto, convergente, e assim é a sequência cujo termo geral é dado porPn

k=0 1

k!. No que segue, denotaremos o limite desta sequência por e, e assim, podemos usar também a nota¸cão

e=

∞

X

k=0

1 k!.

Para concluir a prova da proposi¸cão, suponha por absurdo que e seja um número racional; a saber, e = ^m_n, onde m e n 6= 0 são números inteiros e o máximo divisor comum entrem e n é igual a 1. Note que

m n =

1 + 1 1! + 1

2!+· · ·+ 1 n!

+ 1

(n+ 1)! +· · · e assim

0< m n −

1 + 1 1!+ 1

2!+· · ·+ 1 n!

= 1

(n+ 1)!+ 1

(n+ 2)! +· · ·=

∞

X

j=n+1

1 j!

Por outro lado,

∞

X

j=n+1

1

j! = 1

(n+ 1)! + 1

(n+ 2)! + 1

(n+ 3)! +· · ·

= 1 n!

1

(n+ 1) + 1

(n+ 1)(n+ 2)

+· · ·

≤ 1 n!

1

(n+ 1) + 1

(n+ 1)² + 1 (n+ 1)³

+· · ·

< 1 n

1 n!

Com isso, obtemos 0< m

n − 1 + 1

1!+ 1

2!+· · ·+ 1 n!

< 1 n

1 n!

e portanto

0< n!m

n −1− 1 1!− 1

2!− · · · − 1 n!

< 1 n ≤1,

(27)

mas isto ´e um absurdo porque n!m

n −1− 1 1!− 1

2!− · · · − 1 n!

= (n−1)!(m−n)!−n!− · · · −1∈Z.

Exemplo 2.2. Consideremos os conjuntos A=Q\B e

B =n x∈Q;

n

X

k=0

1

k! < x para todon ∈N o

.

O par ordenado (A, B) é um corte de Dedekind. De fato, A e B são conjuntos não vazios e A∪B =Q, isto é, vale a condi¸cão (D₁) da Defini¸cão 2.1. Agora, provemos a condi¸cão(D2) da Defini¸cão 2.1, ou seja, todo elemento de A é estritamente menor que todo elemento deB, pois se a ∈A e b ∈A, então para todo n ∈N

a <

n

X

k=0

1 k! < b.

Finalmente, provemos a condi¸cão(D3) da Defini¸cão 2.1. Se o conjunto A possu´ısse elemento máximo este deveria ser o limite da sequência de números racionais cujo termo geral é dado por Pn

k=0 1

k!, mas isto é absurdo porque este limite embora exista não é um número racional como provamos na Proposi¸cão 2.1.

Observa¸cão 2.1. Assumindo que que a sequência de números racionais cujo termo geral é dado por 4Pm

k=1(−1)^k+1_2k−1¹ para n ∈ N é convergente, bem como provar que o limite desta sequência não é um número racional (usando a teoria das séries de números reais e a teoria de integra¸cão a Riemann não é dif´ıcil de provar esta afirma¸cão).

A rigor, seria interessante não fazer estas suposi¸cões e sim demonstrar estes fato, mas até onde sabemos não há provas para a convergência da sequência de números racionais cujo termo geral é dado por 4Pm

k=1(−1)^k+1_2k−1¹ , nem da irracionalidade de seu limite usando argumentos que não dependam da existência de um corpo algébrico que tenha estritamente o corpo dos números racionais. Feito isto, se consideramos os conjuntos

A=Q\B

(28)

e B =n

x∈Q; existe n∈Ntal que 4

m

X

k=1

(−1)^k+1 1

2k−1 < xpara todom∈N, m≥no ent˜ao o par ordenado (A, B) ´e um corte de Dedekind, e isto pode ser constado usando um argumento similar ao usado no Exemplo 2.2.

Observa¸cão 2.2. O corte (A, B) dado no Exemplo 2.1 é um corte irracional. De maneira geral, sepé um número primo, então (D, E), onde

D={x∈Q;x² < p oux≥0}, e

E ={x∈Q;x² > p e x >0}

´e um exemplo de corte irracional.

Defini¸c˜ao 2.4. Um corte (A, B) no qual o conjunto majorante tem elemento m´ınimo denomina-se umcorte racional.

Exemplo 2.3. Seja r um n´umero racional. Consideramos os conjuntos A_r={x∈Q;x < r}

e

B_r ={x∈Q;r ≤x}.

O par ordenado (A_r, B_r) é um corte de Dedekind, o qual será denotado porr^∗. De fato, a condi¸cão (D₁) da Defini¸cão 2.1 é verificada, pois é claro que A_r e B_r são conjuntos não vazios. Dado um número racional arbitrário x, temos x ∈ A_r ou x ∈ B_r, logo A_r∪B_r =Q.

Sejam a ∈ Ar e b ∈ Br, temos a < r e r ≤ b, portanto a < b, logo vemos que a condi¸cão (D₂) da Defini¸cão 2.1 é satisfeita. O mesmo ocorre com a condi¸cão (D₃) da Defini¸cão 2.1 pois o conjunto A_r não tem elemento máximo, onde se a ∈ A_r, então a < â+r₂ < r e â+r₂ ∈A_r.

Observamos que, todo corte racional (A, B) ´e determinado por um n´umero racional.

De fato, seja r = min(B), provaremos r^∗ = (A, B). Conforme a Defini¸cão 2.2, é suficiente mostrar que Ar =A. Seja x∈Ar, entãox∈Q e x < r, já que, (A, B) é um corte de Dedekind, devemos terx∈A.Reciprocamente, se x∈A,uma vez que (A, B)

é um corte de Dedekind, pela condi¸cão (D₂) da defini¸cão 2.1 devemos ter x < r, logo x∈A_r.

(29)

2.2 Rela¸ c˜ ao de ordem

A partir deste momento, denotamos por C o conjunto de todos os cortes de Dede- kind.

Defini¸c˜ao 2.5. Sejam (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind. Dizemos que (A, B) ´e menor do que (D, E) e escrevemos (A, B)<(D, E),quando D\A6=∅.

Exemplo 2.4. Vamos mostrar que o corte de Dedekind 3^∗ ´e menor do que o corte 5^∗. De fato

3^∗ = (A3, B3), onde A3 ={x∈Q;x <3}, e

5^∗ = (A5, B5), onde A5 ={x∈Q;x <5}, o que implica que

A₅\A₃ ={x∈Q;x <5}\{x∈Q;x <3} 6=∅.

Logo, como quer´ıamos demostrar 3^∗ <5^∗.

Exemplo 2.5. Vamos mostrar que o corte 2^∗ ´e menor do que o corte (A, B) dado no Exemplo 2.1. De fato

A₂\A={x∈Q;x <2}\{x∈Q^∗+;x² <2 ou x≤0}={x∈Q; 0< x² <2} 6=∅ Logo, como quer´ıamos demostrar (A, B)<2^∗, onde (A, B) ´e dado no Exemplo 2.1.

Exemplo 2.6. Seja r um n´umero racional positivo. Vamos mostrar que 0^∗ ´e menor do que o corter^∗. De fato,

A_r\A₀ ={x∈Q;x < r}\{x∈Q;x <0}={x∈Q; 0≤x < r} 6=∅ Logo, como quer´ıamos demostrar 0^∗ < r^∗.

Defini¸cão 2.6. Um corte de Dedekind (A, B) é chamado corte positivo se 0^∗ = (A₀, B₀) < (A, B). Agora, se (A, B) ∈ C é tal que (A, B) < 0^∗, o corte (A, B) é chamado corte negativo.

Teorema 2.2. (Tricotomia) Dados (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind. Apenas uma, e somente uma, das afirma¸c˜oes a seguir ´e verdadeira

ou (A, B) = (D, E) ou (A, B)<(D, E) ou (D, E)<(A, B).

(30)

Demonstra¸cão. Note que, se (A, B) = (D, E),então pela Defini¸cão 2.2 A=D, e assim A\D = ∅ e D\A = ∅ o que impossibilita (A, B) < (D, E) e (D, E) < (A, B) de ocorrerem.

Suponhamos agora que as possibilidades (A, B) <(D, E) e (D, E)< (A, B) ocor- ram simultaneamente, ent˜ao D\A = ∅ e A\D, logo existem d ∈ D\A e a ∈ A\D, e consequentemente d∈De a /∈D, o que implica d < a,logo se a∈A e d /∈A, o que ´e absurdo.

Logo, conclu´ımos que no m´aximo uma das trˆes possibilidade ocorre. Finalmente, provaremos agora que uma delas necessariamente ocorre. Sabemos que

ou (A, B) = (D, E) ou (A, B)6= (D, E).

No caso em que (A, B) = (D, E) nada a provar. Agora, se (A, B)6= (D, E),ent˜ao pela Defini¸c˜ao 2.2, devemos ter A6=D, o que implica que ou A\D6=∅ ou D\A6=∅.

SeA\D6=∅ ent˜ao (D, E)<(A, B) e se D\A6=∅ ent˜ao (A, B)<(D, E).

Defini¸c˜ao 2.7. Sejam (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind. Dizemos que (A, B) ´e menor ou igual ao (D, E) e escrevemos (A, B)≤ (D, E), quando (A, B) < (D, E) ou (A, B) = (D, E).

Proposi¸c˜ao 2.3. Sejam (A, B),(D, E) e (F, G) cortes de Dedekind. A rela¸c˜ao ‘menor ou igual a’ satisfaz as seguintes propriedades:

(i) (A, B)≤(A, B);

(ii) Se (A, B)≤(D, E) e (D, E)≤(A, B), ent˜ao (A, B) = (D, E);

(iii) Se (A, B)≤(D, E) e (D, E)≤(F, G),ent˜ao (A, B)≤(F, G).

Demonstra¸c˜ao. (i) Seja (A, B) ∈ C j´a que A = A temos (A, B) = (A, B) e, portanto, (A, B)≤(A, B);

(ii) Sejam(A, B),(D, E) ∈ C com (A, B) ≤ (D, E) e (D, E) ≤ (A, B). Se fosse (A, B)6= (D, E),pelo Teorema 2.2 dever´ıamos ter ou (A, B)<(D, E),ou

(D, E) < (A, B), caso (A, B) < (D, E) fosse a única afirma¸cão verdadeira, concluir´ıamos que (D, E)<(A, B) e (A, B) = (D, E) são falsas, logo, não valeria

(D, E) ≤ (A, B), o que é um absurdo. O mesmo argumento pode ser usado caso ad- mit´ıssemos que (D, E)<(A, B) fosse a única afirma¸cão verdadeira.

Logo, (A, B) = (D, E);

(iii) Sejam (A, B) ≤ (D, E) e (D, E) ≤ (F, G). Se fosse (F, G)< (A, B), ter´ıamos A\F 6= ∅, ou seja, existiria a ∈ A e a /∈ F. Por conseguinte poder´ıamos concluir

(31)

que: se a ∈ D, ent˜ao D\F 6= ∅, logo (F, G) < (D, E), o que contraria o fato de que (D, E)≤(F, G).

Por outro lado, se a /∈D, ent˜ao A\D6=∅, logo (D, E)<(A, B),o que contraria o fato de que (A, B)≤(D, E).Logo, (A, B)≤(F, G).

Teorema 2.4. O conjunto dos cortes de Dedekind da forma (A_n, B_n) com n ∈ N ´e ilimitado superiormente em C.

Demonstra¸cão. De fato, suponha por absurdo que o conjunto dos cortes de Dedekind da forma (A_n, B_n) comn ∈Né limitado superiormente, isto é, existe um corte (A, B)∈ C tal que para todon ∈N

(A_n, B_n)≤(A, B).

Isto implica que,A\An6=∅para todo n∈N, ou seja, existe a∈Q tal que a≥n para todon ∈N, mas isto ´e absurdo.

2.3 Opera¸ c˜ oes de adi¸ c˜ ao e multiplica¸ c˜ ao entre cor- tes de Dedekind

Nesta se¸cão, definimos no conjunto de todos os cortes de Dedekind, opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão, que vão dar ao conjunto C a estrutura de corpo.

Teorema 2.5. Sejam (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind. O par ordenado de subconjuntos de Q definido por

(F, G) = (A, B) + (D, E) := (A+D,(A+D)^c), onde

A+D={a+d;a∈A e d∈D}

e

(A+D)^c=Q\(A+D)

´e um corte de Dedekind.

Demonstra¸cão. Mostraremos que (F, G) satisfaz as três condi¸cões da Defini¸cão 2.1.

J´a queA∪B =D∪E =QeA6=∅, B 6=∅, D 6=∅eE 6=∅,devemos terA+D6=∅.

Sejam b ∈ B e e ∈ E, ent˜ao b+e ∈ B +E. Notemos que para todo a ∈ A e d ∈ D, temosa < bed < e,portanto para todoa+d∈A+D,o que implica ema+d < b+e, logo b+e /∈A+Do que implica que b+e∈(A+D)^c.

(32)

Além disso, (A+D)∪(A+D)^c=Q.E, portanto, a condi¸cão (D₁) da Defini¸cão 2.1

é válida, e o argumento usado acima também garante que a condi¸cão (D₂) da Defini¸cão 2.1 é valida. Finalmente, já que os conjuntos Ae D não possuem elementos máximos, o conjuntoA+D={a+d;a ∈A, d∈D}também não possui elemento máximo, logo satisfazendo a condi¸cão (D₃) da Defini¸cão 2.1.

Defini¸cão 2.8. Sejam (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind não negativos. Definiremos a adi¸cão (A, B) + (D, E) como sendo o corte de Dedekind (F, G) definido no Teorema 2.5.

Exemplo 2.7. Neste exemplo vamos mostrar que a adi¸c˜ao dos cortes de Dedekind 2^∗ e 5^∗ ´e igual ao corte de Dedekind 7^∗. De fato, como

2^∗ = (A₂, B₂) onde A₂ ={x∈Q;x <2}

e

5^∗ = (A₅, B₅) onde A₅ ={x∈Q;x <5}

somando os conjuntos A₂ e A₅, obtemos o conjunto A₇, e j´a que Q\A₇ =B₇ obtemos a igualdade de cortes (A₂, B₂) + (A₅, B₅) = (A₇, B₇) em outras palavras, temos

2^∗+ 5^∗ = (A₇, B₇) = 7^∗, poisA^c_r =B_r.

Mais geralmente, temos

Exemplo 2.8. Dadosr es n´umeros racionais, ent˜ao r^∗+s^∗ =s^∗+r^∗ = (r+s)^∗. De fato,

A_r+A_s ={x∈Q;x < r}+{x∈Q;x < s}={x∈Q;x < r+s}=A_r+s. e

A_s+A_r ={x∈Q;x < s}+{x∈Q;x < r}={x∈Q;x < s+r =r+s}=A_r+s. Em particular, conclu´ımos que o corte 0^∗ = (A₀, B₀) ´e um elemento neutro da adi¸c˜ao.

Teorema 2.6. Sejam (A, B), (D, E) e (F, G) cortes de Dedekind. As seguintes propriedades s˜ao v´alidas.

(33)

(i) (Comutatividade) (A, B) + (D, E) = (D, E) + (A, B);

(ii) (Associatividade) [(A, B) + (D, E)] + (F, G) = (D, E) + [(A, B) + (F, G)].

(iii) (Existência e unicidade do elemento neutro da adi¸cão) O corte 0^∗ = (A₀, B₀) é o único corte tal que

0^∗+ (A, B) = (A, B) + 0^∗ = (A, B).

Demonstra¸c˜ao. Prova do item (i). Basta notar que

(A, B) + (D, E) = ({a+d;a∈A ed∈D},{a+d;a∈A e d∈D}^c)

= ({d+a;a∈A ed∈D},{d+a;a∈A e d∈D}^c)

= (D, E) + (A, B).

Prova do item (ii). Basta notar que

(A, B) + (D, E) = ({a+d;a∈A ed∈D},{a+d;a∈A e d∈D}^c) e

[(A, B) + (D, E)] + (F, G)

= ({(a+d) +f;a∈A, d∈D e f ∈F},{(a+d) +f;a ∈A, d ∈De f ∈F}^c)

= ({a+ (d+f);a∈A, d∈D e f ∈F},{a+ (d+f);a ∈A, d ∈De f ∈F}^c)

= (D, E) + [(A, B) + (F, G)]

e isto encerra a demonstra¸c˜ao.

Prova do item (iii). Basta notar que o elemento neutro da adi¸cão é único, para isto suponha que (O, U) é um elemento da adi¸cão, então usando o Exemplo 2.8 temos

(O, U) = 0^∗+ (O, U) = (O, U) + 0^∗ = 0^∗.

Defini¸cão 2.9. Sejam (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind não negativos. Definiremos a multiplica¸cão entre os cortes (A, B) e (D, E) da seguinte forma

(A, B)·(D, E) = ((A·D)₊∪Q^∗−,[(A·D)₊∪Q^∗−]^c), onde

(A·D)₊ ={ad;a ∈A, d∈D, a≥0, d≥0},

(34)

e

Q^∗−={r∈Q; r <0}.

Exemplo 2.9. Vamos mostrar neste exemplo a seguinte multiplica¸c˜ao entre cortes de Dedekind

2^∗·3^∗ = 6^∗ como 2^∗ = (A₂, B₂) e 3^∗ = (A₃, B₃) temos que:

(A₂·A₃)₊∪Q^∗− ={r ∈Q; r <0 ou r <6}=A₆ ⇒2^∗·3^∗ = (A₆, B₆) = 6^∗. Teorema 2.7. Sejam (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind n˜ao negativos. O par ordenado de subconjuntos de Q definido por

(F, G) = (A, B)·(D, E) := ((A·D)+∪Q^∗−,[(A·D)+∪Q^∗−]^c), onde

(A·D)₊ ={a·d;a∈A, d∈D, a≥0, d≥0} e Q^∗−={r∈Q;r <0}

e

[(A·D)₊∪Q^∗−]^c=Q\[(A·D)₊∪Q^∗−]

´e um corte de Dedekind.

Demonstra¸cão. (i) Primeiramente, provaremos a propriedadeD1 da Defini¸cão 2.1, que F = (A·D)₊∪Q^∗− eG= [(A·D)₊∪Q^∗−]^c são conjuntos não vazios eF ∪G=Q.

Notemos queF 6=∅,porque Q^∗− 6=∅ e al´em disso,

G= [(A·D)₊∪Q^∗−]^c= (A·D)^c₊∩(Q^∗−)^c = (A·D)^c₊∩ {r∈Q; 0≤r}.

Sendo 0^∗ ≤ (A, B) e 0^∗ ≤ (D, E), temos que A\A₀ 6= ∅ ou A = A₀ e D\A₀ 6= ∅ ou D=A₀,logo existema ∈Qcom 0≤aed∈Qcom 0 ≤disto ´e, 0≤ad. SendoB 6=∅ eE 6=∅, tomamos b∈B e c∈E e notemos que bc∈B·E ⊂(A·D)^c.

Al´em disso, se escolhermos b∈B com 0≤a < be 0≤d < e(devido a propriedade D2 da Defini¸c˜ao 2.1) devemos ter 0≤be, e portanto

be∈(A·D)^c₊∩ {r∈Q; 0≤r}=G, e assim G6=∅.

Finalmente F ∪G= [(A·D)₊∪Q^∗−]∪[(A·D)₊∪Q^∗−]^c=Q.

(35)

(ii) provaremos a propriedade D₂ da Defini¸c˜ao 2.1. Sejamf ∈(A·D)₊∪Q^∗− =F eg ∈[(A·D)₊∪Q^∗−]^c=G,devemos provar que para todo f ∈F e g ∈Gdevemos ter f < g.

Notamos que g ∈[(A·D)₊∪Q^∗−]^c = (A·D)^c₊∩ {r ∈Q; r ≥0}. Se f ∈Qe f <0, sendog ∈Q e g ≥0, temos f < g.

Por outro lado, se f ∈ (A·D)₊, então f = ad, onde a ∈ A e d ∈ D, e sendo g ∈ (A·D)^c₊, então g = be, onde b ∈ A^c = B ou e ∈ E^c = D. Da´ı pela defini¸cão 2.1, em um corte de dedekind (A, B) temos que para todo a ∈ A e b ∈ B temos que a < b, o mesmo para o corte de Dedekind (D, E) para todo d ∈ D e e ∈ E, temos que ad < be com ad ∈F e be∈ G para o corte de Dedekind (F, G). Então para todo elementof ∈F é menor que g ∈G, ou seja f < g.

(iii) Agora provaremos a propriedade (D₃) da Defini¸cão 2.1, que o conjunto F = (A·D)₊ ∪Q^∗− não possui elemento máximo. Suponha, por absurdo que o conjunto F tenha um elemento máximo m. Note que o m não pertence a Q^∗− pois qualquer elementox∈Q^∗− é estritamente negativo e, como os elementos deA e Dsão positivos segue que qualquerf ∈(A·D)₊ tambem é positivo e, portanto, x < f.

Logo, se m existir temos que m ∈(A·D)₊. Assim, existem a∈A e d∈D tal que m = ad. Afirma¸cão, a deve ser o elemento máximo de A (caso análogo para d ∈ D).

Suponhamos que existaa⁰ ∈A tal que a < a⁰. Então tomando d ∈D temos ad < a⁰d, isto é, m < a⁰d, o que é uma contradi¸cão com o fato de m ser elemento máximo de (A·D)₊.

Defini¸cão 2.10. Sejam (A, B) e (D, E) cortes de Dedekind não negativos. Definimos a multiplica¸cão (A, B)·(D, E),ou simplesmente (A, B)(D, E),como sendo o corte (F, G) definido no Teorema 2.7.

Exemplo 2.10. Veremos neste exemplo a seguinte multiplica¸c˜ao entre cortes de De- dekind,

2^∗·4^∗ = 8^∗

como 2^∗ = (A₂, B₂) e 4^∗ = (A₄, B₄) pela Defini¸c˜ao 2.9 temos

(A2·A4)+ ={ab; a∈A2, b∈B4, a≥0, b≥0} ∪Q^∗− =A8

e comoB₈ =A^c₈ logo temos que :

2^∗·4^∗ = (A2, B2)(A4, B4) = (A8, B8) = 8^∗.

Observa¸cão 2.3. Para definir multiplica¸cão entre cortes de Dedekind, que contêm

(36)

fatores negativos, introduzimos a no¸cão de valor absoluto de um corte de Dedekind, similar à defini¸cão de módulo de um número inteiro.

Proposi¸c˜ao 2.8. Seja (A, B) um corte de Dedekind. Consideramos equa¸c˜ao

X+ (A, B) = 0^∗, onde 0^∗ = (A0, B0). (2.1) Então, existe um único corte de Dedekind (D, E) que é solu¸cão da equa¸cão (2.1), onde

D:={r∈Q;−r /∈A e −r n˜ao ´e cota superior m´ınima de A}

e

E =D^c.

No que segue, o corte de Dedekind (D, E) ser´a denotado por −(A, B).

Demonstra¸cão. Inicialmente, vamos provar que (D, E) é um corte de Dedekind. De fato, para condi¸cão (D₁) da Defini¸cão 2.1 note que comoAeB são conjuntos não vazios segue que existem racionaisr, stais quer∈Ae s6∈A, isto é−r6∈D e−s∈D. Logo DeE são não vazios e D∪E =Q. Agora, sejam r∈Dee∈E. Então, −r∈B e não

é cota superior m´ınima de A e −e ∈ A. Como (A, B) é um corte obtemos −e < −r, isto é,r < e donde segue a Propriedade (D₂) da Defini¸cão 2.1.

Para a propriedade (D3) da Defini¸cão 2.1 seja d ∈ D vamos mostrar que existe s ∈D tal que d < s. Como −d é cota superior de A mas não é m´ınima, então existe t ∈ Q, −t < −d, tal que −t é cota superior de A e, portanto, −t /∈ A. Seja s = ^r+t₂ , assim −t < −s < −r, de modo que −s é cota superior de A mas não é m´ınima, logo s∈D er < s,.

Vamos provar agora que o corte (D, E) é solu¸cão da equa¸cão (2.1). De fato A+D={r∈Q;r <0}=A₀,

pois−r ∈B para todor∈D e a <−r para todosa ∈A er ∈D. Portanto, (A, B) + (D, E) = (A₀, B₀) = 0^∗.

Finalmente, vamos provar que (D, E) é a única solu¸cão da equa¸cão (2.1). Supo-

(37)

nhamos que (D⁰, E⁰) também é solu¸cão da equa¸cão (2.1), assim (D⁰, E⁰) = (D⁰, E⁰) + 0^∗

= (D⁰, E⁰) + [(D, E) + (A, B)] =

= (D⁰, E⁰) + [(A, B) + (D, E)] =

= [(D⁰, E⁰) + (A, B)] + (D, E) =

= 0^∗+ (D, E)

= (D, E).

e isto encerra a demonstra¸c˜ao.

Lema 2.9. Se (A, B) é um corte de Dedekind negativo, então−(A, B) é um corte de Dedekind positivo, isto é, 0^∗ <−(A, B).

Demonstra¸cão. Seja (D, E) = −(A, B). Se (A, B) é um corte de Dedekind negativo, então A₀\A 6= ∅, ou seja, existe a < 0 com a /∈ A. Para constatar que D\A₀ 6= ∅, basta notar que a = −(−a) ∈ B e que existe em B elemento menor do que a (caso contrário, a seria elemento m´ınimo deB), isto implica que −a ∈ D e −a > 0. Logo, 0^∗ <(D, E).

Observa¸cão 2.4. E s´´ abido que a soma de cortes de Dedekind é um corte de Dedekind, por simplicidade de nota¸cão, se (A, B) e (D, E) forem cortes de Dedekind, denotaremos a soma (A, B) + [−(D, E)] simplesmente por (A, B)−(D, E). Desta forma, usando o Teorema 2.6, temos

−(A, B) + (D, E) = (D, E) + [−(A, B)] = (D, E)−(A, B).

Defini¸c˜ao 2.11. A cada corte de Dedekind (A, B) associamos um corte de Dedekind

|(A, B)| que chamamos valor absoluto de (A, B), definido por

|(A, B)|=







(A, B), se 0^∗ ≤(A, B),

−(A, B), se (A, B)<0^∗.

Com isso, usando o Lemma 2.9 podemos concluir que o corte valor absoluto ´e sempre um corte n˜ao negativo.

Exemplo 2.11. Vejamos que

|2^∗|= 2^∗,

porque 2^∗ = (A2, B2), onde A2 = {x ∈ Q;x < 2} e 0^∗ = (A0, B0), com