ShaMO 20. a < b < c sao cho a b, b c và n = a + b + c. BC, CA, AB sao cho BD = CE = AF và BDF = ĈED = ÂF E. Chứng

(1)

ShaMO 20

Được soạn bởi Nguyễn Trung Tuân

Bài 1. Một số nguyên dương n được gọi là tốt nếu có các số nguyên dương

a < b < c sao cho a|b, b|c và n = a + b + c.

a) Chứng minh rằng hầu hết các số nguyên dương là tốt, nghĩa là chỉ có hữu

hạn các số nguyên dương không tốt;

b) Tính tổng tất cả các số không tốt.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Biết rằng có các điểm D, E, F trên các cạnh

BC, CA, AB sao cho BD = CE = AF và \

BDF = \

CED = [

AF E. Chứng

minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 3. Cho dãy số (x

n

) xác định bởi x

1

= 5 và

x

n+1

=

x

2010_n

+ 3x

n

+ 16

x

2009 n

− x

n

+ 11

∀n ≥ 1.

Tìm lim y

n

với y

n

=

P

n i=1

1 x

2009_i

+ 7

, n = 1, 2, · · · .

Bài 4. Cho tam giác ABC.

a) Nếu 6S = 2a

2

+ bc, tính các góc của tam giác;

b) Chứng minh rằng 3a

2

+ 3b

2

− c

2

_{≥ 4}

√

_3S.

Bài 5. Cho n, k là các số nguyên dương thoả mãn n ≥ k + 3. Chứng minh

rằng các số C

_nk

, C

_nk+1

, C

_nk+2

, C

_nk+3

không thể lập thành một cấp số cộng theo thứ

tự đó.

Bài 6. Hai đường tròn C

1

, C

2

cắt nhau tại A, B. CD là tiếp tuyến chung

của hai đường tròn (C ∈ C

1

, D ∈ C

2

) với B gần CD hơn A. CB cắt AD tại E,

DB cắt CA tại F , EF cắt AB tại N . K là hình chiếu vuông góc của N trên

CD.

a) Chứng minh [

CAB = \

DAK;

b) Gọi O là tâm của (ACD) và H là trực tâm của ∆KEF . Chứng minh rằng

O, B và H thẳng hàng.

(2)

Blog Sharing

http://trungtuan.wordpress.com/

ShaMO 21

Được soạn bằng LA_{TEX bởi Nguyễn Trung Tuân}

Bài 1. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x

2

+ y

2

+ z

2

=

1 − 16xyz

4 . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

S =

x + y + z + 4xyz

1 + 4xy + 4yz + 4zx

.

Bài 2. Kí hiệu P là tập tất cả các số nguyên tố. Giả sử rằng M là một tập con của P

thoả mãn các điều kiện sau

a) M có ít nhất ba phần tử;

b) Với mỗi tập con thực sự, khác rỗng và hữu hạn A của M , các ước nguyên tố của số

Q

p∈A

p − 1 cũng thuộc M .

Chứng minh rằng M = P.

Bài 3. Xét 2002 số hữu tỉ x

1

, x

2

, · · · , x

2002

. Biết rằng với mỗi tập con I gồm 7 phần

tử của tập {1, 2, · · · , 2002} tồn tại tập con J gồm 11 phần tử của tập {1, 2, · · · , 2002}

sao cho

1

7 P

i∈I

x

i

=

1

11 P

j∈J

x

j

. Chứng minh rằng x

1

= x

2

= · · · = x

2002

.

Bài 4. Cho tam giác ABC và các điểm X, Y, Z nằm trong nó sao cho

[

ABZ = \

ZBX = \

XBC =

B

3 , \

BCX = \

XCY = [

Y CA =

C

3 , [

CAY = [

Y AZ = [

ZAB =

A

3 .

Chứng minh rằng XY = 8R sin

A

3 sin

B

3 sin

C

3 , từ đó suy ra tam giác XY Z là tam giác

đều.

Bài 5. Cho đường tròn Γ có tâm Z. Hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại P

với A, B là các tiếp điểm, điểm C được chọn trên cung nhỏ AB mà khác điểm chính

giữa của cung này. Gọi D là giao điểm của AC và P B, E là giao điểm của BC và AP .

Chứng minh rằng các tâm của (ACE), (BCD), (P CZ) thẳng hàng.

Bài 6. Cho x

1

, x

2

, · · · , x

n

; y

1

, y

2

, · · · , y

n

là các số thực dương thỏa mãn

i) x

1

y

1

< x

2

y

2

< · · · < x

n

y

n

, và ii) x

1

+ x

2

+ · · · + x

k

≥ y

1

+ y

2

+ · · · + y

k

∀k = 1, n.

Chứng minh rằng

1 x

1

+

1 x

2

+ · · · +

1 x

n

≤

1 y

1

+

1 y

2

+ · · · +

1 y

n

.

Áp dụng Bài 6 (hoặc cách khác) giải bài toán sau

Bài 7. Cho A = {a

1

, a

2

, · · · , a

n

} là tập gồm n số nguyên dương sao cho với mỗi hai tập

con B, C rời nhau của A ta có

P

(3)

ShaMO 22

Bài 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 2(x + y + z).

Chứng minh rằng

xyz ≤ x + y + z + 2.

Bài 2. Tam giác ABC thỏa mãn cot

2

A

2 + 4 cot

2

B

2 + 9 cot

2

C

2 =

36p

2

49r

2

. Chứng minh rằng

a

13 =

b

40 =

c

45 .

Bài 3. Cho ba số thực dương a, b, c. Giải hệ phương trình











ax + by = (x − y)

2

by + cz = (y − z)

2

cz + ax = (z − x)

2

.

Bài 4. Cho x

1

≥ x

2

≥ · · · ≥ x

n

≥ 0 thoả mãn

P x

j

≤ 400 và

P x

2j

≥ 10

4

. Chứng minh

rằng

√

x

1

+

√

x

2

≥ 10.

Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên không âm x, y, z sao cho

12

x

+ y

4

= 2008

z

.

Bài 6. Có 1985 người trong một căn phòng. Mỗi người biết nhiều nhất 5 ngôn ngữ.

Trong mỗi ba người, có ít nhất hai người cùng biết một ngôn ngữ nào đấy. Chứng minh

rằng có một ngôn ngữ mà trong phòng có ít nhất 200 người cùng biết.

Bài 7. Các dãy (x

n

), (y

n

) xác định bởi x

1

= 2, y

1

= 1 và

x

n+1

= x

2n

+ 1, y

n+1

= x

n

y

n

∀n ≥ 1.

a) Chứng minh rằng

x

n

y

n

< 7 ∀n ≥ 1;

b) Chứng minh rằng dãy số (x

n

/y

n

)

n≥1

hội tụ và giới hạn của nó bé hơn

√

7. Bài 8. Cho tam giác ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D là trung điểm của

AB, và E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD

khi và chỉ khi AB = AC.

Bài 9. Cho n ≥ 1 số nguyên x

1

, x

2

, · · · , x

n

thỏa mãn

x

2₁

+ x

2₂

+ · · · + x

2_n

+ n

3

≤ (2n − 1)(x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

) + n

2

.

Chứng minh rằng

a) Các số x

1

, x

2

, · · · , x

n

là các số tự nhiên;

b) Số x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

+ n + 1 không phải là số chính phương.

(4)

Blog Sharing

ShaMO 23

Bài 1. Tính giới hạn

lim

x→+∞

(

3

p

8x

3

_{− 2x}

2

_{+ 1 −}

p

_4x

2

_{+ 3x + 1).}

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a, b và c ta có

(b + c − a)

2

(b + c)

2

_{+ a}

2

+

(c + a − b)

2

(c + a)

2

_{+ b}

2

+

(a + b − c)

2

(a + b)

2

_{+ c}

2

≥

3

5 .

Bài 3. Cho ∆ABC với trọng tâm G. Gọi P là một điểm trên đoạn BC. Các điểm Q, R

nằm trên các cạnh AC, AB tương ứng sao cho P Q||AB và P R||AC. Chứng minh rằng

khi P thay đổi trên đoạn BC, đường tròn (AQR) luôn đi qua một điểm cố định X thỏa

mãn [

BAG = \

CAX.

Bài 4. Cho dãy các số nguyên dương (a

n

) xác định bởi

a

0

= 1, a

1

= 3, a

n+2

= 1 +

a

2 n+1

a

n

∀n ≥ 0.

(Ở đây [x] là phần nguyên của x.)

Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n ta có a

n+2

a

n

− a

2n+1

= 2

n

.

Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số 2

n+2

· (2

n

_{− 1) − 8 · 3}

n

_{+ 1 là một}

số chính phương.

Bài 6. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Gọi A

1

, B

1

, C

1

là các điểm bất

kì nằm trên các đoạn IA, IB, IC tương ứng. Các đường trung trực của AA

1

, BB

1

, CC

1

cắt nhau tại A

2

, B

2

, C

2

. Chứng minh rằng tâm của (A

2

B

2

C

2

) trùng với tâm của (ABC)

khi và chỉ khi I là trực tâm của A

1

B

1

C

1

.

Bài 7. Cho n là một số nguyên dương, a

1

≤ a

2

≤ · · · ≤ a

n

là các số nguyên dương thoả

mãn a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

= 2n và a

n

6= n + 1. Chứng minh rằng nếu n là số chẵn thì tồn

tại tập con K của {1, 2, · · · , n} thoả mãn

P

_i∈K

a

i

= n. Chứng minh rằng điều này cũng

đúng khi n là số lẻ nếu ta thêm vào giả thiết a

n

6= 2.

Bài 8. Chứng minh rằng nếu α, β là các số vô tỷ dương sao cho

1 α

+

1 β

= 1 thì hai tập

{[nα]|n = 1, 2, · · · } và {[nβ]|n = 1, 2, · · · } là một phân hoạch của tập các số nguyên

dương.

Bài 9. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có

(5)

ShaMO 24

Bài 1. Cho trước các số thực dương u và v.

a) Chứng minh rằng phương trình 2x3_{+ (u + v + 1)x}2_{− uv = 0 có đúng một nghiệm dương, và hơn}

nữa, nghiệm này nằm trong khoảng (0;√uv).

b) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 _{+ uy}2 _{+ vz}2 _{bằng 2t, ở đây t là nghiệm dương của phương}

trình trong phần a).

Bài 2. Cho M là tập gồm 1985 số nguyên dương phân biệt, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng M chứa một tập con gồm 4 phần tử sao cho tích của chúng là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.

Bài 3. AP, AQ, AR và AS là các dây của một đường tròn cho trước sao cho [P AQ = [QAR = [RAS. Chứng minh rằng AR(AP + AR) = AQ(AQ + AS).

Bài 4. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2011 và u1+ u2+ · · · + un= n2un ∀n ≥ 2. Tính u2011.

Bài 5. Chứng minh rằng trong mỗi tam giác ta có OG2 ≤ R(R − 2r). Bài 6. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a, b và c ta có

b + c a + c + a b + a + b c ≥ a b + c+ b c + a + c a + b + 9 2.

Bài 7. Cho a, b là các số nguyên và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng số bn−1_{a(a + b)(a + 2b) · · · (a + (n − 1)b)}

n! là một số nguyên.

Bài 8. Hai đường tròn tâm O, O0 cắt nhau tại A, B sao cho OA⊥O0A. Đường thẳng OO0 cắt các đường tròn tại C, E, D, F sao cho các điểm C, O, E, D, O0, F thẳng hàng theo thứ tự đó. BE cắt lại đường tròn tại K và cắt AC ở M . BD cắt lại đường tròn tại L và cắt AF tại N . Chứng minh rằng

KE KM · LN LD = O0E OD.

Bài 9. Cho ∆ABC là một tam giác đều và D là một điểm nằm trên cạnh BC. Một đường tròn tiếp xúc với BC tại D, cắt đoạn AB tại M và N , cắt đoạn AC tại P và Q. Chứng minh rằng

BD + AM + AN = CD + AP + AQ. Bài 10. S ⊂ Q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

a) 1 2 ∈ S; b) Nếu x ∈ S thì 1 x + 1 ∈ S và x x + 1 ∈ S.

Chứng minh rằng S chứa tất cả số hữu tỷ trong (0; 1).

Bài 11. Cho n > 1 là một số nguyên dương và 1 = d1 < d2 < · · · < dk = n là tất cả các ước dương

của n. Đặt Sn= d1d2+ d2d3+ · · · + dk−1dk. Chứng minh rằng Sn < n2 và tìm n để Sn|n2.

(6)

Bài 13. Cho X = {A1, A2, · · · , An} là một tập chứa các tập con gồm ba phần tử của tập {1, 2, · · · , 36}

sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời a) Ai, Aj có giao khác rỗng với mỗi i, j;

b) Giao của tất cả các tập Ai là tập rỗng.

Chứng minh rằng n ≤ 100. Có bao nhiêu tập X khi n = 100?

Bài 14. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có số (n − 1)! n(n + 1)

là số chẵn.

Bài 15. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x2y + y2_{z + z}2_x.

Bài 16. Cho n là một số nguyên dương sao cho có đúng 2011 cặp (x, y) các số nguyên dương thỏa mãn 1 x+ 1 y = 1 n. Chứng minh rằng n là một số chính phương.

Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n + 2008|n2_{+ 2008 và n + 2009|n}2_{+ 2009.}

Bài 18. Chứng minh rằng cos A+cos B+cos C ≥ 1

4(3+cos(A−B)+cos(B−C)+cos(C−A)) ∀∆ABC. Bài 19. Với mỗi số nguyên dương n, gọi d(n) là số ước dương của nó. Tìm các số nguyên dương n sao cho d3_{(n) = 4n.}

Bài 20. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n có đúng 16 ước dương 1 = d1 < d2 < · · · <

d16= n thoả mãn d6 = 18 và d9− d8 = 17.

Bài 21. Chứng minh rằng trong mỗi tam giác nhọn ABC ta có

(cos A + cos B)2+ (cos B + cos C)2+ (cos C + cos A)2 ≤ 3. Bài 22. Tìm tất cả số nguyên k sao cho có số nguyên dương n thoả mãn d(n

2₎

d(n) = k.

Bài 23. Chứng minh rằng có đúng một dãy số nguyên u1, u2, · · · thoả mãn u1 = 1, u2 > 1 và

u3

n+1+ 1 = unun+2 ∀n ≥ 1.

Bài 24. Cho dãy Fibonacci xác định bởi F (1) = F (2) = 1 và

F (n + 2) = F (n + 1) + F (n) ∀n ≥ 1. Chứng minh rằng

(F (F (1998)))2+ (F (F (1999)))2 = F (F (1997)) · F (F (2000)).

Bài 25. Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương m, n thì số (36m + n)(m + 36n) không phải là một luỹ thừa của 2.

Bài 26. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 và x = a + 1

b, y = b + 1 c, z = c + 1 a thì xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z).

Bài 27. Chứng minh rằng trong mỗi tam giác không cân ta có [GIH > 90◦.

Bài 28. Cho p là một số nguyên tố lẻ và f : {1, 2, · · · , p − 1} → {1, 2, · · · , p − 1} là một song ánh. Chứng minh rằng có i 6= j sao cho p|if (i) − jf (j).

Bài 29. Hai dãy (an), (bn) thỏa mãn a1 = 1, a2 = 7, an+2= 14an+1− an ∀n ≥ 1 và

b1 = 0, b2 = 1, bn+2 = 14bn+1−bn ∀n ≥ 1. Chứng minh rằng các số tự nhiên a, b thỏa mãn a2−48b2 = 1

khi và chỉ khi có số nguyên dương k sao cho a = ak, b = bk.

Bài 30. Với mỗi số nguyên dương n, gọi un là số hoán vị (a1, a2, · · · , an) của tập n số nguyên dương

đầu tiên sao cho kak là số chính phương với mỗi 1 ≤ k ≤ n. Tìm số nguyên dương n bé nhất để

2010|un.

Bài 31. Chứng minh rằng nếu m, n, r là các số nguyên dương thỏa mãn 1 + m + n√3 = (2 +√3)2r−1

(7)

ShaMO 25

Bài luyện cho các học sinh của tôi Người soạn: Nguyễn Trung Tuân

A1. Cho a1, a2, · · · , an là n số thực dương. Đặt M = max1≤i≤nai, m = min1≤i≤nai.

Chứng minh rằng 2nr m M ≤ X 1≤k≤n ak M + X 1≤k≤n m ak ≤ n1 + m M và n2 ≤ X 1≤k≤n ak X 1≤k≤n 1 ak ≤ n2(m + M ) 2 4mM .

A2. Với mỗi số nguyên dương k, ta xét dãy (an)n≥1 xác định bởi

an = r k + q k + · · · +√k (Biểu thức trên có n dấu căn.)

Chứng minh rằng dãy số này hội tụ với mỗi số nguyên dương k. Tìm k để giới hạn của dãy là số nguyên. Chứng minh rằng khi k lẻ thì giới hạn của dãy là số vô tỷ.

A3. Cho tam giác vuông ABC( bA = 900_{) và một điểm D trên cạnh huyền BC. Gọi E là}

điểm đối xứng với D qua AB và G là giao điểm của AB với DE. Từ giao điểm H của AB và CE, hạ đoạn HI vuông góc với BC tại I. Các tia CH và IG cắt nhau tại K. Chứng minh rằng tia KC là tia phân giác của [IKA.

A4. Cho M là tập các điểm trong mặt phẳng có tọa độ (x; y) với x ∈ {1, 2, · · · , 12} và y ∈ {1, 2, · · · , 13}. Chứng minh rằng mỗi tập con gồm 49 phần tử của M chứa bốn đỉnh của một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ. Cho ví dụ một tập con gồm 48 phần tử không có tính chất này của M .

B1. Dãy số a0, a1, · · · xác định bởi

a0 = 0, an+1 = [3

√

an+ n]3 ∀n ≥ 0.

a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy; b) Tìm tất cả n để an = n.

(Ở đây [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.) B2. Giải hệ sau trên R      x3_{+ y = 3x + 4} 2y3_{+ z = 6y + 6} 3z3_{+ x = 9z + 8.}

B3. Tìm tất cả các số thực x ∈ [0; 2π) sao cho tất cả số hạng của dãy an=

1

(8)

Blog Sharing

ShaMO 26

A1. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng s a3 a3_{+ (b + c)}3 + s b3 b3 _{+ (c + a)}3 + s c3 c3_{+ (a + b)}3 ≥ 1.

A2. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho lim

n→+∞(

3

√

1 − n3_{− an − b) = 0.}

A3. Cho tam giác ABC có đường cao, đường phân giác trong, đường trung tuyến chia góc bC thành bốn phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác.

A4. Tìm tất cả các cặp (m, n) các số nguyên dương thỏa mãn m! + n! = mn_.

B1. Cho tứ giác lồi ABCD có AC là phân giác của \DCB. Gọi E là giao điểm của đoạn AB với (ACD), F là giao điểm của đoạn AD với (ABC). Chứng minh rằng AC, DE, BF đồng quy.

B2. Cho n là một số nguyên dương. Có 2n + 2 điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Một đường thẳng l được gọi là tốt nếu nó đi qua hai điểm trong các điểm đã cho và mỗi bên của nó có đúng n điểm trong 2n điểm còn lại. Tìm m lớn nhất để luôn có ít nhất m đường thẳng tốt.

B3. Cho dãy (xn) xác định như sau

(9)

ShaMO 27

A1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho x + y + 1|2xy và x + y − 1|x2_{+ y}2_{− 1.}

A2. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O1, O2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác

ABC, ABD tương ứng. Đường thẳng O1O2 cắt đoạn BC, AD tại E, F tương ứng.

a) Chứng minh rằng có đường tròn Γ tiếp xúc với các đường thẳng BC, AD tại E, F tương ứng;

b) Chứng minh rằng Γ cũng tiếp xúc với (ABCD).

A3. Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 1

3. Chứng minh rằng 1 a2_{− bc + 1} + 1 b2_{− ca + 1} + 1 c2_{− ab + 1} ≤ 3.

B1. ∆ABC nhọn với AB < AC, AD là đường cao của nó. P là một điểm trên đoạn AD. Vẽ P E⊥AC, P F ⊥AB với E ∈ AC, F ∈ AB. Gọi O1 là tâm của (BDF ), O2 là tâm của (CDE).

Chứng minh rằng O1, O2, E, F đồng viên khi và chỉ khi P là trực tâm của ∆ABC.

B2. Tìm tất cả các hàm f : S → S sao cho

f (x) + f (y) + 2xyf (xy) = f (xy)

f (x + y) ∀x, y ∈ S. Ở đây S là tập tất cả các số hữu tỷ dương.

B3. Tìm tất cả các bộ ba (a, b, c) các số nguyên dương sao cho abc + 1|a2 _{+ b}2_.

C1. ∆ABC nhọn với AB > BC, AC > BC. Gọi O, H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC. Giả sử (AHC) giao với đường thẳng AB tại hai điểm khác nhau A, M ; (AHB) giao với đường thẳng AC tại hai điểm khác nhau A, N . Chứng minh rằng tâm của (M N H) nằm trên đường thẳng OH.

C2. Cho (an) là dãy thỏa mãn an+1 = a2n + (an − 1)2 ∀n ≥ 0. Tìm a0 ∈ Q để có bốn chỉ

số phân biệt p, q, r, s sao cho ap− aq = ar− as.

C3. Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A1, A2, · · · , An, và n số thực khác không λ1, λ2, · · · , λn

sao cho AiA2j = λi+ λj∀i 6= j. Chứng minh rằng n ≤ 4 và nếu n = 4 thì

(10)

Blog Sharing

ShaMO 28

A1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ (a + b + c)}2 _{≤ 4. Chứng minh rằng}

ab + 1 (a + b)2 + bc + 1 (b + c)2 + ca + 1 (c + a)2 ≥ 3.

A2. Cho dãy (an)n≥0 xác định bởi

a0 = 5, an = an−1+

1 an−1

∀n ≥ 1. Chứng minh rằng 45 < a1000 < 45, 1.

A3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Giả sử AB ∩ CD = E, BC ∩ DA = F, AC ∩ BD = G. Chứng minh rằng

a) PE/(O)+ PF /(O) = EF2;

b) O là trực tâm của ∆EF G.

A4. Cho m, n là các số nguyên dương. Tìm giá trị bé nhất của |3 · 5m_{− 11 · 13}n_|.

B1. Một bảng ô vuông cỡ 50 × 50 được lát bởi các miếng hình chữ L, T, Z dưới đây

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của số các miếng hình chữ L.

B2. Cho tứ giác nội tiếp ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại E và các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại F . Các trung điểm của AB và CD là G và H, tương ứng. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của EGH.

B3. Cho k là một số nguyên dương. Xét dãy (an) định bởi

a1 = k + 1, an+1 = a2n− kan+ k ∀n ≥ 1.

(11)

ShaMO 29

A1. Cho ∆ABC với các điểm M, N trên các cạnh AB, BC tương ứng sao cho AM + AN = CM + CN.

Các đoạn CM, AN cắt nhau tại O. Chứng minh rằng AO + AB = CO + CB. A2. Xác định tất cả các hàm f, g : R → R sao cho với mỗi x, y ∈ R,

f (x)f (y) = g(x)g(y) + g(x) + g(y). A3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình

x3+ y3+ z3 = n · x2· y2_{· z}2 có nghiệm nguyên dương. B1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = x + y + z. Chứng minh rằng 1 x2_{+ y + 1} + 1 y2_{+ z + 1} + 1 z2_{+ x + 1} ≤ 1.

B2. Cho f là một đa thức monic có hệ số nguyên. Biết rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f (x) = 2n _{có ít nhất một nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng deg f = 1.}

B3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho ta có thể lát nền nhà cỡ n × n bằng các viên gạch cỡ 2 × 2 và 3 × 3. C1. Dãy (an)n≥1 xác định bởi a1 = 0, an+1 = an+ 4n + 3 ∀n ≥ 0. Tính giới hạn lim n→+∞ √ an+ √ a4n+ √ a42_n+ · · · + √ a410_n √ an+ √ a2n+ √ a22_n+ · · · + √ a210_n .

C2. Cho ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Hai tiếp tuyến của ω qua B và C cắt nhau tại P , AP và BC cắt nhau tại D. Các điểm E, F nằm trên AC và AB sao cho DE k BA và DF k CA.

1/. Chứng minh rằng F, B, C, E đồng viên.

2/. Ký hiệu A1 là tâm của đường tròn qua F, B, C, E. B1, C1 được xác định tương tự. Chứng

minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy.

C3. Cho trước số nguyên a. Tìm tất cả các hàm f : Z ∩ [a; +∞) → R sao cho f (x + y) = f (x)f (y)