LISTA 1 DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA I
Prof. Rodrigo Neves1) Determine se é Verdadeiro ou Falso: a) x {x, y, z}; b) x {x, y, z}; c) x {{x}}; d) {1, 2, 3} ℤ; e) {a, a, b, c} = {a, b, c}; f) 0,5 ℚ; g) {a} {a, {a}}; h) {}; i) {} {{}};
j) {{1}, {2}} {1, 2, 3, 4, 5}; k) {} = {, {}};
2) Determine como falso ou verdadeiro as seguintes afirmações sobre conjuntos:
i) {1, 2, 3} ℝ ii) {{1, 2, 3}} ℝ iii) 3 ⋴ {1, 2, 3} iv) {3} ⋴ {1, 2, 3} v) {2} {1, 2, 3} vi) {1, 3} {1, 2, 3}
vii) {{1}, {{3}} {1, 2, 3} viii) {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} ix) {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3} x) {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3} xi) {1, 2, 3}
xii) ⋴ {1, 2, 3}
xiii) ⋴ {, {1}, {2}} xiv) {1} ⋴ {1, 2, {3}} xv) 1 ⋴ {1, {2}, {3}} xvi) {2} {{2}}
3) Quais dentre estes conjuntos são iguais: {r,s,t}, {s,t,r,t,s}, {t,s,t,r} {s,r,s,t,r,t,t}?
4) Liste os elementos dos seguintes conjuntos; a) A = {x: x N, 3 < x <12}
b) B = {x: x N, x é par, x < 15} c) C = {x: x N, 4 + x = 3 }
7) Considere os seguintes conjuntos: , A={1}, B={1,3}, C={1,5,9}, D={1,2,3,4,5}, E={1,3,5,7,9}, U={1,2,...,8,9}. Insira o símbolo correto, ou em cada par de conjuntos:
e) C ____ D f) C ____ E g) D ____ E h) B ____ U i) A ____ D j) C ____ U k) D ____ A
8) Argumente que A={2, 3, 4, 5} não é um subconjunto de B={x/xN, x é par}
9) O que se pode concluir de A e B se for verdadeira cada afirmação abaixo:
a) A B = B b) A B = B c) A B = A B d) A B =
e) A B =
10) Determinar o conjunto X tal que {a, b, c, d} X = {a, b, c, d, e}; {c, d} X = {a, c, d, e} e {b, c, d} X = {c}.
a)
{a, b}b)
{a, c, e}c)
{b, d, e}d)
{c, d, e}e)
11) Os problemas abaixo se referem ao conjunto universo U={1, 2 ,... ,9} e aos conjuntos A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7}, C={5, 6, 7, 8, 9}, D={1, 3, 5, 7, 9}, E={2, 4, 6, 8} e F={1, 5, 9}. Determine:
a) A B = b) A B = c) B D = d) B D = e) A C = f) A E C =
f) (B F) U (C E) =
12) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então:
a)
A B tem no máximo 1 elementob)
A C tem no máximo 5 elementosc)
(A B) C tem no máximo 2 elementosd)
(A B) C tem no máximo 2 elementose)
A Ø tem pelo menos dois elementos13) Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, 0, 4, 3, 5} e B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7} assinale a afirmação verdadeira:
c)
A ∩ B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7, 3}d)
(A U B) ∩ A = {-1, 0}14) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o conjunto (A – C) U (C – B) U (A ∩ B ∩ C) é:
a) {a, b, c, e} b) {a, c, e} c) A
d) {b, d, e} e) {b, c, d, e}
15) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é:
a) 128 b) 64 c) 32 d) 256
16) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é:
a) 127 b) 125 c) 124 d) 120 e) 110
17) (Professor - Pedro II) Um conjunto A tem 9 elementos. Se M é um conjunto com 509 elementos, todos eles subconjuntos de A, então:
a) M possui pelo menos 6 elementos que são conjuntos unitários.
b) M não possui nenhum elemento que seja um conjunto unitário.
c) M possui exatamente 6 elementos que são conjuntos unitários.
d) M possui pelo menos 3 elementos que são conjuntos unitários.
18) (UFMG) Dados os conjuntos E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 2, 4, 6, 8 } , calcular (A ∩ E) U B.
a) { 2, 4, 6, 8 } b) { 1, 2, 4, 6, 8 }
c) { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } d) { 1, 2, 3, 4 }
e) { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }
19) (CESGRANRIO) A intersecção do conjunto de todos os inteiros múltiplos de 6 com o conjunto de todos os inteiros múltiplos de 15 é o conjunto de todos os inteiros múltiplos de:
20) (FGV) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ∩ B é 30, o número de elementos de A ∩ C é 20 e o número de elementos de A ∩ B ∩ C é 15. Então, o número de elementos de A ∩ (B U C) é:
a) 35 b) 15 c) 20 d) 45 e) 50
21) (CESGRANRIO) Se X = { a, b, c } e Y é um conjunto tal que X U Y = { a, b, c, e, f } e X ∩ Y = { a, b }, então podemos concluir que:
a) há mais de um Y nas condições acima; b) Y = { a, b, f };
c) Y = { a, b, e }; d) Y = { a, b, c, e, f }; e) Y = { a, b, e, f }.
22) Seja S = {vermelho, verde, azul, amarelo}. Determine quais das seguintes classes de conjuntos são partições de S.
a) P1={{vermelho}, {azul,verde}}
b) P2={ , {vermelho, azul}, {verde, amarelo}}
c) P3={{vermelho, azul,verde, amarelo}}
d) P4={{vermelho,verde, amarelo} {azul}}
23) Ache todas as partições de S={1, 2, 3}, sem o uso do conjunto vazio.
24) Classifique como falsa ou verdadeira as partições descritas a seguir:
a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
F = { {0,1}, {1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5,}, {5,6} } ( )
F = { {0,1,2}, {3}, {4}, {6} } ( )
F = { {0,1}, {2,3}, {4,5,6} } ( )
F = { {0,1,2,3,4,5,6} } ( )
F = { {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} } ( )
25) Sejam A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, B = { a, c, r, s, h, c, g, c}, D = {b, c, d, f, g, ... , y, z}, V = {a, e, i, o, u}, E = {w, x, y, z} e F = {i, j}, todos subconjuntos do universo formado pelas 26 letras do nosso alfabeto U = {a, b, c, d, e, f, ... ,u, v, w, x, y, z}. Efetue e responda:
a) A B = b) D V = c) A B = d) A – B = e) E F = f) P(E) = g) CD =
h) C(EF) =
3, ..., 9} o universo, calcule as operações sobre que conjuntos que se pede
a) A B =
b) (A D) E =
c) B E = d) CA =
e) B – D =
f) (A – B) (B – A) = g) P(A – D) =
h) Exiba 4 partições diferentes para o conjunto E.
27) Sejam A = {x, y, c, g, t, d, p}, B = {a, g, r, u, t, c}, E = {a, t, x, g, x, y, z, w} e U = {a, b, c, …, z}. Efetue as operações dadas:
a) A υ B υ E = b) A – B =
c) (A п B) + E = d) CA υ CB =
e) P(A п B) =
28) Sendo a e b números reais quaisquer, podendo ser iguais ou então diferentes, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:
a) 2 ou 5 b) 3 ou 6 c) 1 ou 5 d) 2 ou 6 e) 4 ou 5
29) Considere os conjuntos A, B e D que satisfazem as condições A B e A D. Simplifique os seguintes conjuntos, justificando suas simplificações:
a) (B D) A
b) (A – B) (A – D) (B – D) c) (A CB) (A D)
d) [(A B) (A D)] A e) [(CB A) (CB D)] – B
f) [A – (A – B)] A g) (CA B) (A – B)
h) A (B (C – D) D A) i) B (A – B) D
j) (A B C D) B
30) Justifique, para quaisquer conjuntos A, B e C, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirma-ções. Caso seja falsa, exiba um contra-exemplo. Caso verdadeira, um exemplo (que não serve como demonstração, somente como ilustração):
a) P(A) P(B) = P(A B)
b) A B P(B – A) = P(B) – P(A)
c) A B P(A) P(B)
31) Prove as seguintes proposições usando as propriedades ou resultados demonstrados em sala, sobre os conjuntos A, B e C quaisquer:
a) A B se e somente se CB CA
b) A B se e somente se A CB =
c) (A B) (A CB) = A
d) C/(A B) = (C/A) (C/B)
e) Se A C e B C então A B C f) Se C A e C B então C A B g) Se A B C então C/B C/A h) C/(A B) = (C/A) (C/B)
i) Se A B = E e A B = então A = CB e B = CA
32) Justifique, para quaisquer conjuntos A, B e C, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações. Caso seja falsa, exiba um contra-exemplo.
a) Se A
B, BC e B
C AC e A
C b) Se A
B e B é finito então A é finito. c) Se B é infinito e A
B então A é infinito. d) Se A
B e A é finito então B é finito.e) (A B) C = A (B C) f) A B = A C B = C
g) A B = A C B = C
h) A
B = A
C B = Ci) A
B P(A)
P(B)j) A
B P(B/A) = P(B)/P(A)33) A seguinte demonstração possui um erro. Encontre-o:
Teorema: Para todo o conjunto A e B, vale que CA CB
CAB.Demonstração: Suponhamos que x
CA CB. Então,por definição de união de conjuntos te-mos que x
CA ou x
CB. Logo, por definição de complementotemos x A ou x B e, por definição de união temos que x A B. Então x
CAB, por definiçãode complemento, de onde concluímos que CA CB
CAB. ■
34) Para seqüências
An
nN*de conjuntos, determine
1
n n
A e
1 n
n
A :
a)An {
n
z
, onde z Z}.b)An
n 1 , n 1
um intervalo real.
c)An
n 1 , n 1
um intervalo real.
d)Ané o conjunto unitário dado pela soma dos
e)An , n 1 n 1
, a união de dois intervalos
reais.
f)An n,n um intervalo real.
g)An n 1 b , n 1
a um intervalo real, onde a e b são
constantes reais que satisfazem b > a.
h)An
, n ) 1 ( n
um intervalo real.
i)Ané o conjunto das raízes reais do polinômio
n 1 i 1 i i x ) 1 (35) Em uma pesquisa com 60 pessoas, verificou-se que:
25 lêem Veja 26 lêem Isto é
26 lêem Época
9 lêem Veja e Época 11 lêem Veja e Isto é 8 lêem Época e Isto é
3 pessoas lêem as 03 revistas
a) O número de pessoas que lê pelo menos uma das 03 revistas.
b) Faça o diagrama de Venn.
c) Quantas pessoas que lêem exatamente uma revista?
36) (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
37) (PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é .... ?
38) As probabilidades dos eventos X, Y e X Y são iguais a 0,6; 0,5 e 0,1, respectivamente. Quanto vale a probabilidade do evento X – Y ?
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
200 eleitores votaram em branco; 320 eleitores não votaram no PD; 330 eleitores não votaram no PE. O número de pesquisadores que votou em ambos os candidatos é:
a) 25 b) 35 c) 50 d) 350
e) 500
40) Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
a) 384 e 52 b) 332 e 31 c) 332 e 83 d) 384 e 83
41) (UF-Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Alemão, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcenta-gem de alunos que estudam ambas as línguas é:
a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e) 30%
42) (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi:
a) 800 b) 720 c) 570 d) 500
43) Numa sala de 40 estudantes constatou-se que 16 estudam francês, 17 estudam espanhol, 14 estudam alemão, 4 estudam francês e espanhol, 3 estudam espanhol e alemão, 5 estudam francês e alemão, e 1 estuda as três línguas. O número de jovens que estudam uma única língua é:
a) 16 b) 20 c) 25 d) 26 e) 31
44) Foi consultado um certo número de pessoas sobre o tipo de internet banda larga que habitualmente assinam. Obteve-se o seguinte resultado:
150 assinam ambos os planos e
80 assinam outros tipos de banda larga ou mão possuem nenhum plano.
Qual o número de pessoas consultadas?
45) Uma cidade de 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Em uma pesquisa feita com a população, constatou-se que 1.200 pessoas não apreciam nenhum dos clubes, 1.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4.500 pessoas apreciam o clube A. Quantas pessoas apreciam:
a) Apenas o clube A ? b) Apenas o clube B ? c) O clube B ?
46) Uma empresa colocou no mercado um produto em duas embalagens diferentes, A e B. Depois de algum tempo, entrevistou 200 pessoas num supermercado sobre a preferência pelas embalagens. Dos entrevistados, 120 declararam preferir o tipo A., 142 o tipo B e 30 declararam desconhecer o produto. Quantas pessoas gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens?
47) Numa classe, 40 alunos têm noções de inglês, 45 de francês, enquanto que 16 têm noções das duas línguas. Se dois disseram não Ter conhecimento algum de línguas estrangeiras, pergunta-se: quantos alunos tem a classe?
48) Fez-se em uma população, uma pesquisa de mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas distintas
A, B e C. Em relação à população consultada e com o auxílio dos resultados da pesquisa tabelados abaixo:
Marcas A B C A e B
A e C
B e C
A, B e C
Nenhum a delas Nº de
Consumidor es
109 203 162 25 28 41 5 115
Determine:
a) O número de pessoas consultadas.
b) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C.
c) O número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas.
50) Foram instaladas 66 lâmpadas para iluminar as ruas A e B, que se cruzam. Na rua A foram colocadas 40 lâmpadas e na rua B 30 lâmpadas. Quantas lâmpadas foram instaladas no cruzamento?
51) Em certa pesquisa, analisou-se a preferência do consumidor sobre três produtos diferentes: A, B ou C. Concluiu-se que 3 consumidores gostam de todas ao mesmo tempo, 8 gostam de A e B, 8 gostam de A e C, 8 gostam de C e B, 23 gostam de A, 25 gostam de B e 27 gostam de C. Sabendo que 30 dos consumidores consultados afirmaram não gostar de nenhuma das marcas, qual o total de pessoas entrevistadas? Faça o esboço do diagrama.
52) Uma pesquisa de mercado foi encomendada sobre o consumo de três marcas genéricas A, B e C de um determinado produto, e apresentou os seguintes resultados:
A - 48% A e B - 18% B - 45% B e C - 25% C - 50% A e C - 15%
nenhuma das 3 - 5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C?
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem apenas uma das três marcas?
c) Quantos foram entrevistados?
