Integração numérica de sistemas não lineares semi-implícitos
via teoria de controle geométrico
CELSO BERNARDO NÓBREGA FREITAS
via teoria de controle geométrico
Definição do Problema
( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( ( ) )
,
0 x t f x t u t
y t h x t
=
= =
• DAE
(Equações Diferenciais Algébricas)Γ
• Semi-implícitos
• Conjunto
• Sistemas Completamente Determinados
Γ
dim u = dim y
Γ
Idéia para Obtenção da Solução
( ) ( ( ) ( ) )
( )
,
x t f x t u t
=
{ z t ( ) = τ ( z t ( ) )
Sistema Original Semi-Implícito
Sistema Modificado Explícito
( ) ( ( ) ) 0
y t h x t
= =
( ) ( ( ) )
{
Técnicas Tradicionais de Integração Numérica
Método I
Transformação de Coordenadas Realimentação de Estado Sistema Explícito
( ) x ψ ( ) x z ( )
u x
Estratégias Obtenção dos Sistemas Explícitos
( , ) ( )
z = τ z u ⇒ z = τ x
Sistema Explícito
Método II
Transformação de Coordenadas Sistema Explícito
( x u , ) Ψ ( x u , ) z
( , ) ( )
z = τ z u ⇒ z = τ x
( , )
z = τ x u
Requisitos
• Obter as transformações e
• Obter a realimentação de estado
• Os estados respeitem as restrições
• As soluções sistema modificado sigam as
( ) x
ψ Ψ ( x u , ) ( )
u x
( ) 0
h x ≡
soluções do sistema original
• Métodos Robustos
Estrutura da Apresentação
• Introdução
• Método I
– Teoria, Algoritmo, Simulação (MatLab)
• Método II
• Método II
– Teoria, Algoritmo, Simulação (MatLab)
• Principais resultados das simulações
Invariância
uma saída é invariante em relação à sey uTeoria do Desacoplamento
Por enquanto, vamos considerar sistemas afins e explícitos
( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ( ) )
1 m
i i
i
x t f x t g x t u t y t h x t
=
= +
=
∑
Invariância
uma saída é invariante em relação à se(
1, , j, , m)
u = u … u … u w =
(
u1,…,uj,…,um)
(
0, 0, ,) (
0, 0, ,)
,(
0, , ,) (
0, , ,)
i i
y t x t u = y t x t w ∀ x t u w ∈ X I U U
yi uj
Desacoplado,
um sistema é desacoplado se cada uma das saídas é invariante por uma e apenas uma entrada( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0 0 0
(0) 1
i i i
m
i i i
i i i i
y h x y x
y y y
y x f g u y x
=
∂ ∂ ∂
= = +
∑
Números Característicos
Teoria do Desacoplamento
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 1 1
( 1)
1
,
i i i
i i
i i i
i i i i
i
m
i i i
i i i i
i
y x f g u y x
x x x
y y y
y x f g u y x u
x x x
ρ ρ ρ
ρ ρ
=
− − −
−
=
= = +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= = +
∂ ∂ ∂
∑
∑
i
( )
a x b xi
( )
( )
( ) ( )
y
ρ= a x + b x u
Matriz de
Desacoplamento
0
≠0
Teoria do Desacoplamento
• Realimentação de Estado Estática
( ) ( )
u = α x + β x v
m
( ( ) )
det
β
x ≠ 0( )
u x
( ) ( ) ( )
1 m
i i
i
x t f x g x v
=
= +
∑
( ) ( ) ( )
1 m
i i
i
x t f x g x u
=
= +
∑
u
u =
α β
+ vx
Teoria do Desacoplamento
O Problema de Desacoplamento consiste na obtenção de uma realimentação de estado e estática tal que o
sistema modificado resultante seja desacoplado
Teorema: O Problema de Desacoplamento é solúvel sse:
posto ( ) b x = m , onde m = dim U posto ( ) b x = m , onde m = dim U
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1
1 1
posto ( ) Problema de Desacoplamento é solúvel
Escolhendo ,
b x m
x b a x b
y a x b x u
y a x b x v
y a x b x b a b v v
ρ ρ ρ
α β
α β
− −
− −
⇐
= ⇒
= =
= +
= + +
= + + =
Teoria do Desacoplamento
Seja a aplicação
( 1)
( ) (
1( )0( )
, , 1( 1 1)( )
, , m( )0( )
, , m( m 1)( ) )
Y ρ− x = y x … y ρ − x … y x … y ρ − x
m
ρ ∑ ρ
1 i i
ρ ρ
=
∑
Teorema: A aplicação possui posto
quando a matriz de desacoplamento possui posto pleno
( 1)
:
Y
ρ−X →
ρρ
Teoria do Desacoplamento
( )
(
1)
posto Y ρ− = ρ
τ
: x z
ψ ψ
=(
x Yˆ, (ρ−1))
, dim( )
xˆ = −nρ
Coordenadas Complementares (Independentes)
Teorema: O campo possui propriedades que não
( )
ˆ
( )
( 1) ( 1) ,ˆ
, n n
x x x x
x R
T x x Y R M
x Y
x x
ρ ρ ρ
ψ
−− −
= =
∂
∂ = ∂ = ∂ ∈
∂ ∂ ∂ ∂
dependem da escolha de
x x ˆ ( )
Estrutura do Método I
( ) ( )
( )
1
i 1
k k
i i
i i i
y y
y ρ a b u
+
−
=
= +
( )
( )
( ) ( )
ˆ ˆ, 1 ,
x
η
x Y ρ− v =
z
ψ ( )
x =(
x Yˆ, (p−1))
( ) ( )
{
u =α
x +β
x v+ +
( )
1
ˆ ˆ
m
i i i
x x f g u t
x =
∂
= +
∂
∑
( ) ( )
( )
(
( )) ( ) { ( } { } )
1
1 , 1,.., , 0,..,
i i
k k
i i
i
i i i
y y
i k m
y ρ v y ρ
ρ
+
−
=
∀ ∈
=
( ) , onde ( ) Rx
( 1)z x x
Y
ρτ τ
−
=
Sistemas Implícitos x Explícitos
( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ( ) )
1 m
i i
i
x t f x t g x t u t y t h x t
=
= +
=
∑
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
1
ˆ ˆ, ,
i
k k
i i
i i
x x Y v
y y
y v
ρ
ρ
η −
+
−
=
=
=
( )
( )
( )
1
1
ˆ ˆ, , 0
0
x x Y
Y
ρ
ρ
η
−−
=
=
( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ( ) )
1
0
m
i i
i
x t f x t g x t u t y t h x t
=
= +
= =
∑
Verdadeiro Estado
Realimentação Estabilizante
( )
( )( )
{ x u , X U | Y
ρx u , 0 }
Γ = ∈ × =
( ) ( )
(
Y ρ−1 , y ρ)
( )
( )( )
0 tal que
, 0
tal que
x h x
Y x u
u u
ε
ρε
<
⇒ ≠
<
( )
{ }
( ) ( )
1
0
1
0
, 1,..,
, 0
i
i
i i
j
i ij i
j
j
i ij
j
v y i m
s s s s
ρ
ρ ρ ρ
α
π γ α γ
−
=
−
=
= − ∀ =
= + = + >
∑
∑
Fator de Convergência
{ }
lim i 0 1,..,
t y i m
→∞ = ∀ ∈
( )
0 0
, 0
tal que
Y x u
u u
ε
⇒ ≠
<
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
(
( ))
1
Função ConstróiImplementaçãoI , , , , , Devolve Implementação , , TransformaCoordenadas , , ,
,
f h x u
Y y f h x u
a y b y a
ρ ρ
ρ ρ
γ
− ρ
←
← ← −
Construindo Simulação Método I
Computação Simbólica ( )
(
( ) ( ))
( )
(
( ))
, 0 x t f x t u t
y t h x t
=
= =
( )
(
( ))
( )
0 1
1 1
i
0
,
,
CoeficientesPolinômio , ,
i
u u
i k
a y b y a
b a b
v j
ρ
α β
ρ γ
= =
− −
=
← ← −
← − ← −
← −
∑
( ){ }
( ) ( ) { }
( )
realimentação
1
1
Para cada 1,..,
0,.., 2
Fim do Para cada
i
k i
k k
i i i
i i i i
y i
u v
i m
y y k
y ρ a b u
ρ α β
+ ρ
−
∀ ∈
← +
∈
← ∀ ∈ −
← +
Construindo Simulação Método I
( ) (
ˆ, (p 1))
z
ψ
x = x Y −( )
( ) ( )
1z x
x x
z x x z
x x
ψ
ψ
ψ
−∂ ∂
= ⇒ =
∂ ∂
( )
, ?z =τ x x =
Difeomorfismo ( )
1
1
R Rx
x Y ρ
−
−
=
Simulação T1 Computação Numérica
Difeomorfismo Y
Teoria do Desacoplamento Método II
( x u , ) ( Y
( )ρ, x ˆ ) z
Ψ = ( ) ( )
( )
, ,
, T x u x u
x u
∂Ψ
∂
ˆ ˆ
nx x
− ρ∂ ∂
( , )
( 1) ( 1)n
m
n m
x u
Y Y
T x u
x u
y y
x u
ρ
ρ ρ
ρ
ρ ρ
−
− −
∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
Estrutura Método II
Fator de
Convergência
( ) ( )
( )
( )
ˆ ˆ ,
Y Y
x x f x u x
ρ ρ
= − γ
∂
=
∂
( ) ( )
( )1 ( )1
0 0
1 1
1 1
y y
y ρ y ρ γ
γ
= −
= −
x ˆ ( f x u ( , ) )
= x
∂
( )
( )
( )( )
0 ( 0)Y ρ t =Y ρ t e−γ t t−
lim ( ) 0
t Y ρ
→∞ =
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0 1
ˆ ˆ ,
m m
m m
m m
y y
y y
x x f x u x
ρ ρ
γ γ
= −
= −
∂
=
∂
Construção Simulação Método II
( 1)
Função 2 , Devolve
CoordenadasComplementares
0
T
x
x x
F u u
R Y
x R
ρ−
∂
←
∂
( )
( ) ( )
( )
1
0
x u
x u
T Y
x
y y
x x
Rf Y
ρ
ρ ρ
τ ρ
γ
−
← ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
←−
1
x T
u −τ
←
Simulação e Exemplo Pêndulo
Escolha Numérica das
Coordenadas Complementares
• Propriedades independentes da escolha
• Decomposição QR
( ) ( )
( )
( ) ( )
1, 1 1,
, 1 ,
Função CoordenadasComplementares , Devolve , dim( )
, DecomposiçãoQR
T n
n n n
H R
n R
q r H
q q
R
q q
ρ
ρ
ρ
+
+
←
←
←
