Folha de Respostas B

MAT 220 — C´ alculo Diferencial e Integral IV

Prof. Paolo Piccione

Prova 1

17 de outubro de 2019 Nome:

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Instru¸c˜oes

• A dura¸c˜ao da prova ´e de duas horas.

• Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que est´a no final da prova. E permitido deixar quest˜´ oes em branco.

• Cada quest˜ao tem apenas uma resposta correta.

• O valor total da prova ´e de 10 pontos; cada quest˜ao correta vale ¹₂ ponto (0.5) ecada quest˜ao errada implica num desconto de ₁₀¹ de ponto (0.10).

• No final da prova, deve ser entregue apenas a folha de respostas (na

´

ultima p´agina).

• Boa Prova!

Terminologia e Nota¸c˜oes Utilizadas na Prova

• O corpo dos n´umero complexos ´e denotado porC. Aunidade imagin´aria

´e denotada por i. Dado um n´umero complexo z ∈ C, a parte real e a parte imagin´aria de z s˜ao denotadas respectivamente por <(z) e =(z).

Assim,z=<(z) +i=(z).

• Para uma fun¸c˜ao holomorfa f:A ⊂C→C e z∈ A, as derivadas da f emz s˜ao denotadasf⁰(z),f⁰⁰(z), f⁰⁰⁰(z), etc.

• O ramo principal do logaritmo se denota Log, e o ramo principal do argumento se denota Arg. Com ln :R⁺ →R denotaremos o logaritmo natural (real).

• Oconjugado do n´umero complexoz´e denotado porz.

N ˜AO ESQUEC¸ A DE POR SEU NOME NA FOLHA DE RESPOSTAS!!!

B

Quest˜ao 1. Quais s˜ao as solu¸c˜oes complexas da equa¸c˜ao abaixo?

e^2z=i (a) ₂ⁱ −^π₂ + 2πk

, com kinteiro;

(b) i ^π₄ +πk

, com kinteiro;

(c) ₂^{i π}₂ +πk

, com k inteiro;

(d) (2i) −^π₂ +πk

, comk inteiro;

(e) (2i) ^π₂ + 2πk

, com kinteiro.

Quest˜ao 2. O conjugado harmˆonico de u(x, y) =y³−3x²y ´e:

(a) x³+ 6xy+c, ondec∈R; (b) −y³+ 3x²y+c, ondec∈R;

(c) y³−3xy²+c, ondec∈R; (d) x³−3xy²+c, ondec∈R; (e) x³−3x²y+c, ondec∈R.

Quest˜ao 3. Calcule o raio de convergˆencia R da s´erie de potˆencias

∞

X

n=0

(−1)ⁿ2ⁿn²zⁿ. (a) R= 1;

(b) R= 2;

(c) R= 1 2n; (d) R= +∞;

(e) R= ¹₂.

Quest˜ao 4. Seja(an)_n∈Numa sequˆencia emC, e assuma que a serie

∞

P

n=0

an

seja convergente. Qual das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira?

(A) Tamb´em a serie

∞

X

n=0

(−1)ⁿan ´e convergente.

(B) A s´erie

∞

X

n=0

a_ne π

n

´

e convergente.

(C) A s´erie

∞

X

n=0

a_n(z−i)ⁿ ´e convergente absolutamente no disco aberto de centro ie raio 1.

(a) Apenas as afirma¸c˜oes (B) e (C) s˜ao verdadeiras;

(b) Nenhuma afirma¸c˜ao ´e verdadeira;

(c) Apenas as afirma¸c˜oes (A) e (B) s˜ao verdadeiras;

(d) Apenas a afirma¸c˜ao (B) ´e verdadeira;

(e) Todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras.

Quest˜ao 5. Qual ´e o conjunto de pontos onde f(z) = |z|² ´e diferenci´avel como fun¸c˜ao complexa?

(a) R; (b) ∅;

(c) {0};

(d) {1};

(e) C.

Quest˜ao 6. Calcule o raio de convergˆencia da s´erie de potˆencias

∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹3ⁿ n²

n+ 1(z−i)ⁿ. (a) R= +∞;

(b) R= 0;

(c) R= 3;

(d) R= 1 3; (e) R= 1.

Quest˜ao 7. Considere o campo vetorialF= y+e^x2, xy(x−1)(y−1) em R². Calcule a integral de linhaI =R

γF, onde γ ´e o bordo do quadrado com v´ertices nos pontos (0,0),(0,1),(1,1)e(1,0)orientado no sentido hor´ario.

(a) I =−1;

(b) I =−2;

(c) I = 0;

(d) I = 1 +i;

(e) I = 1.

Quest˜ao 8. Qual ´e o conjunto dos valores poss´ıveis para log (logi)?

(a) ln

^π₂ + 2πk

+i^π₂ :k∈Z ; (b) n

ln ^π₂ + 2πk

+i ^π₂ + 2π`

:k, `∈Z, k≥0o S n

ln

(2k+ 1)π

+i −^π₂ + 2π`

:k, `∈Z, k <0o

; (c)

n

ln ^π₂ + 2πk

+i ^π₂ + 2π`

:k, `∈Z, k≥0 oS

n ln

^π₂ + 2πk

+i −^π₂ + 2π`

:k, `∈Z, k <0 o

; (d) n

ln

^π₂ + 2πk

+i ^π₂ + 2π`

:k, `∈Zo

; (e)

ln ^π₂

+ik^π₂ :k∈Z .

Quest˜ao 9. Qual ´e o conjunto dos valores poss´ıveis para 1ⁱ? (a)

e^−2πki:k∈Z ; (b)

e^2πk :k∈Z ; (c) {1};

(d)

−2πki:k∈Z ; (e)

e^πk :k∈Z .

Quest˜ao 10. Seja f(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y) uma fun¸c˜ao holomorfa.

Se u(x, y) =x²−y² e v(1,1) = 2, determine v(4,1).

(a) 15;

(b) 8;

(c) 0;

(d) 5;

(e) −4.

Quest˜ao 11. Calcule a s´erie de potˆencias centrada em z₀ = 0 da fun¸c˜ao:

f(z) = (1 +z) Log(1 +z).

(a) z+

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n² zⁿ⁺¹; (b) z+

∞

P

n=1 (−1)ⁿ

n² zⁿ⁺¹; (c)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n² zⁿ⁺¹; (d)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n(n+1)zⁿ⁺¹; (e) z+

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n(n+1)zⁿ⁺¹. Quest˜ao 12. Seja

z=e^25πi Calcule

1 +z+z²+z³+ 5z⁴+ 4z⁵+ 4z⁶+ 4z⁷+ 4z⁸+ 5z⁹ (a) 5e^35πi;

(b) 5;

(c) 5e^85πi; (d) 0;

(e) 1.

Quest˜ao 13. Qual ´e a forma polar de(i−√ 3)⁶? (a) 2⁶;

(b) 2⁶e^iπ2; (c) 2⁶e^iπ3; (d) 2⁶e^iπ6; (e) 2⁶e^iπ.

Quest˜ao 14. Sejaf(x+iy) = (x+ay) +i(bx+cy) uma fun¸c˜ao holomorfa, onde a, b e cs˜ao constantes complexas. Determine a,b e c.

(a) a=b=c= 1;

(b) a=−ce b= 1;

(c) a=−be c= 1;

(d) a=b=c= 0;

(e) a= 1 eb=−c.

Quest˜ao 15. Calcule a derivada terceira f⁰⁰⁰(1−i) da fun¸c˜ao f(z) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿn³(z−1 +i)ⁿ⁺¹. (a) 9;

(b) −54;

(c) 54;

(d) 48;

(e) −9.

Quest˜ao 16. Calcule o valor principal de i²ⁱ. (a) e^−π;

(b) e^π; (c) e^−π2; (d) 1;

(e) e^π2.

Quest˜ao 17. Seu(x, y) =e^axcos(by)´e harmˆonica, coma, b∈R, determine a rela¸c˜ao entre aeb.

(a) a=−b;

(b) a= 1,b=−1;

(c) a=b= 0;

(d) a=±b;

(e) a=b+ 1.

Quest˜ao 18. Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao complexa f(z) = e^z

z²+ 1. (a) C\ {−i,i};

(b) C;

(c) C\ {−1,1};

(d) C\ {−1,−i};

(e) C\ {1,i}.

Quest˜ao 19. Qual s´erie de potˆencias corresponde `a fun¸c˜ao f(z) = 5z

(z−2)² num disco aberto centrado em 0?

(a)

∞

P

n=0

−5n 2ⁿ⁺¹zⁿ; (b)

∞

P

n=1

(−5)(n+1) 2ⁿ⁺¹ zⁿ; (c)

∞

P

n=1 5(n+1)

2ⁿ zⁿ; (d)

∞

P

n=1 5n 2ⁿ⁺¹zⁿ; (e)

∞

P

n=0 (−5n)

2ⁿ zⁿ⁺¹.

Quest˜ao 20. No plano complexo, o conjunto dos pontos zque satisfazem a equa¸c˜ao z² =z² forma:

(a) Duas retas paralelas distintas;

(b) Duas retas concorrentes;

(c) Uma reta;

(d) Uma circunferˆencia;

(e) Um ´unico ponto.

Rascunho

Rascunho

Prof. Paolo Piccione Prova 1

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1 a b c d e 2 a b c d e 3 a b c d e 4 a b c d e 5 a b c d e 6 a b c d e 7 a b c d e 8 a b c d e 9 a b c d e 10 a b c d e 11 a b c d e 12 a b c d e 13 a b c d e 14 a b c d e 15 a b c d e 16 a b c d e 17 a b c d e 18 a b c d e 19 a b c d e 20 a b c d e

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