ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS EM 3D

(1)

MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA (Real Academia de Artilharia, Fortificação e Desenho – 1792)

SAMUEL THIMOUNIER FERREIRA

ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS EM 3D

RIO DE JANEIRO 2009

(2)

2

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS EM 3D

Tema Dirigido apresentado ao Curso de Graduação como parte integrante do processo avaliativo do quarto período do Ensino Básico.

Orientador: Jayme Felipe Martins Mendes

Co-orientador: Marcello Goulart Teixeira

(3)

3

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS EM 3D

Tema Dirigido apresentado ao Curso de Graduação como parte integrante do processo avaliativo do quarto período do Ensino Básico.

Orientador: Jayme Felipe Martins Mendes

Aprovada em 17 de novembro de 2009 pela seguinte Banca Examinadora:

____________________________________________________________

Jayme Felipe Martins Mendes, Dr.

____________________________________________________________

Marcello Goulart Teixeira, Dr.

____________________________________________________________

José Renato Moreira da Silva de Oliveira, Maj

(4)

4

Dedico o referido trabalho aos mais que professores Marcello e Jayme, que compartilharam comigo não só o conhecimento, mas também a amizade.

E, principalmente, ao colega Kin Minato pelo enorme incentivo, fornecendo a ajuda necessária para vencer os obstáculos do projeto. Agradeço também ao escritores Sèneca e Spinosa, que se fizeram presentes em cada momento.

Samuel Thimounier Ferreira

(5)

5

“

O descontentamento é o primeiro passo na evolução de um homem ou de uma nação.

”

Oscar Wilde

(6)

6 SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...10

1.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS...10

1.2 OBJETIVOS ...10

2 METODOLOGIA...11

2.1 ALGORITMO DE SOLUÇÃO ...11

2.2 DETECÇÃO DE COLISÃO...11

2.2.1 DIRECT CHECKING ...12

2.2.2 DIRECT MAPPING ...13

2.3 FORÇAS DE CONTATO ...15

2.3.1 CONTATO NORMAL ...15

2.3.2 FORÇA DE CONTATO TANGENCIAL...16

2.4 ENERGIA E MOMENTO...17

2.5 CÁLCULO DAS VELOCIDADES ...18

3 IMPLEMENTAÇÃO...20

3.1 LIMGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO...20

3.2 ARQUIVOS DE E/S ...20

4 EXEMPLOS...21

4.1 SIMULAÇÃO DE CONTATO SIMPLES...21

4.2 SIMULAÇÃO DE CONTATO 4 X 1...21

4.3 SIMULAÇÃO SINUCA ...22

4.4 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO EM PAREDE ...22

4.5 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO ESFERA-ESFERA ...23

6 CONCLUSÃO...24

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...25

(7)

7

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Fig. 2.1 - Cadeia de processos...11

Fig. 2.2 - Algoritmo de checagem direta...12

Fig. 2.3 - Tamanho de uma célula ...13

Fig. 2.4 - Células com possibilidade de haver contatos...14

Fig. 2.5 – Forças de contato...15

Fig. 2.6 – Contato normal...15

Fig. 2.7 - Modelo da interface de contato...16

Fig. 4.1 – Simulação de contato simples...20

Fig. 4.2 – Simulação de contato 4x1...20

Fig. 4.3 – Simulação sinuca...21

Fig. 4.4 – Simulação de rolamento em parede...21

Fig. 4.4 – Simulação de rolamento esfera-esfera...22

(8)

8

LISTA DE SÏMBOLOS

Força normal Força tangencial Rigidez normal Interpenetração normal Amortecimento global Velocidade normal Atrito estático Raio da esfera

(9)

9 RESUMO

Esse trabalho apresenta uma implementação de um algoritmo para análise transiente tridimensional do comportamento mecânico de meios descontínuos pelo Método dos Elementos Discretos, utilizando elementos esféricos com variada distribuição de tamanhos e propriedades físicas em um ambiente 3D.

Implementações computacionais do método necessitam de uma ferramenta para a visualização gráfica dos resultados numéricos obtidos e de uma interface para permitir o usuário construir um modelo do problema estudado. Foram construídos modelos de problemas de dinâmica para demonstrar as capacidades do programa e para analisar os resultados gerados pela implementação do método.

Palavras-chave: Método dos Elementos Discretos, Computação Gráfica, 3D.

(10)

10

1 INTRODUÇÃO

1.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS

O Método dos Elementos Discretos (MED) tem sido empregado para simular o movimento de partículas de materiais granulares e rochosos, mas tem se tornado popular como um método para representar materiais sólidos e para o estudo de problemas de fluxo, pois conduz a uma menor adoção de parâmetros de análise que os métodos em que o meio é considerado como um contínuo.

A partir do entendimento das propriedades mecânicas microscópicas das partículas e o comportamento da interação entre elas, o MED permite avaliar de maneira macroscópica o comportamento físico e mecânico do modelo estudado.

O diferencial do método está em considerar o meio analisado como um conjunto de partículas com propriedades mecânicas particulares e geometrias definidas (meio discretizado). O mais usual é trabalhar com um conjunto de discos ou esferas, mas o método tem sido aplicado também para partículas com outras geometrias.

A associação de um programa que resolva problemas por meio do MED com softwares gráficos permite a visualização do comportamento das partículas dos materiais em estudo, sendo muito útil para a engenharia civil, engenharia mecânica, geotecnia, engenharia química, entre outras áreas do conhecimento, sendo, portanto, bem abrangente.

1.2 OBJETIVOS

O principal objetivo deste trabalho é efetuar um estudo dos conceitos básicos do Método dos Elementos Discretos (MED) em 3D e de sua implementação computacional, particularizando os elementos esféricos. O trabalho culmina com a criação de um programa que realiza os cálculos das variáveis dinâmicas dos elementos e proporciona uma visualização dos mesmos.

(11)

11

2 METODOLOGIA

2.1 ALGORITMO DE SOLUÇÃO

Na formulação clássica do MED, cada elemento é assumido como rígido e permite-se que haja uma sobreposição de partículas, desde que sua ordem de magnitude seja pequena em relação ao tamanho das mesmas.

O algoritmo de solução deve apresentar uma rotina de processos dentre os quais, detecção de colisão entre os elementos, cálculo das forças resultantes dessas colisões e cálculo posterior da velocidade resultante. Depois de estabelecidas essas etapas e as condições iniciais, podem ser simulados o movimento dos elementos. A figura a seguir ilustra a cadeia de processos.

Fig. 2.1 – Cadeia de processos 2.2 DETECÇÃO DE COLISÃO

(12)

12

Serão abordados os dois algoritmos estudados para o desenvolvimento e implementação do programa. Sendo o primeiro deles, Direct Checking, aquele realmente implementado.

2.2.1 DIRECT CHECKING

Esse método de detecção consiste em nada mais do que calcular todas as possíveis colisões entre os elementos (Fig. 2.2). Se é assumido que todos os elementos discretos são esferas de diâmetro constante d, escolhido de forma que nenhum ponto do elemento esteja fora da mesma. Assim, o diâmetro da esfera delimitadora é definido pelo maior elemento presente. Abaixo será descrito o algoritmo do método:

Para I de 1 até N executa {

Para J de I+1 até N executa {

Calculo da colisão entre os elementos I e J }

}

Assim o número de cálculos feitos será assintoticamente proporcional a , o que pode tornar esse cálculo muito pesado para um grande número de elementos.

O algoritmo tem a vantagem de a sua implementação ser extremamente simples. Porém este método tem utilidade apenas para problemas com quantidade pequena de elementos, o que não será o objeto deste trabalho.

(13)

13

Fig. 2.2 – Algoritmo de checagem direta.

2.2.2 DIRECT MAPPING

Este método baseia-se no mapeamento espacial do domínio, dividindo-o em células cúbicas de tamanhos iguais. O lado das células deverá ser escolhido de forma que qualquer elemento possa estar contido em uma célula (MUNJIZA, 2004).

Assim o lado de uma célula cúbica é igual ao diâmetro do círculo que circunscreve o maior elemento discreto, conforme a figura abaixo.

Fig. 2.3 – Tamanho de uma célula.

(14)

14

O algoritmo Munjiza é dividido em duas etapas principais: o mapeamento de cada elemento em sua célula correspondente e a procura dos possíveis elementos que podem estar em contato entre si.

Para encontrar os possíveis contatos com um determinado elemento checam-se somente as células vizinhas à célula desse elemento e a sua própria célula (Fig. 2.4). Para essa consideração ser válida, definimos o tamanho da célula como aquele que pode conter o maior elemento discreto.

Após a constatação da possibilidade de contato entre partículas pertencentes às células vizinhas ou a mesma célula, realiza-se outro teste de detecção entre as partículas para que se confirme o contato, devendo esse segundo teste depender da geometria dos elementos.

Munjiza mostra que esse algoritmo de mapeamento direto para busca de contatos entre partículas é assintoticamente proporcional ao número de elementos, o que torna esse algoritmo muito mais apropriado para problemas com um grande número de elementos.

Fig. 2.4 – Células com possibilidade de haver contatos.

Esse algoritmo apresenta somente duas limitações, a primeira é que para partículas de tamanhos bem variáveis ele deixa de ser assintoticamente proporcional ao número de elementos, e a segunda é que pode apresentar uso excessivo de memória computacional caso

(15)

15

o tipo de problema estudado possua elementos discretos muitos dispersos no domínio estudado.

2.3 FORÇAS DE CONTATO

Uma vez que o contato entre dois elementos foi detectado, a interação entre eles pode ser representada por duas forças: e . De acordo com a Terceira Lei de Newton, temos

Fazendo F1 = F, decompomos nas componentes normal e tangencial Fn e Ft (Fig.

2.5), respectivamente. Assim,

F = Fn + Ft

Fig. 2.5 – Forças de contato.

2.3.1 CONTATO NORMAL

Nesse trabalho consideramos que as colisões entre os objetos geram forças normais aos elementos, aplicadas nas regiões de contato.

É considerado o modelo de amortecimento linear (PÖSCHEL, 2005), que estabelece que a intensidade da força normal atuante ( ) em função dos parâmetros de rigidez normal ( ) e de amortecimento global ( ), além do valor da interpenetração ( ) e da velocidade relativa normal ( ), pode ser dada com boa aproximação por:

(16)

16

Fig. 2.6 – Contato normal.

A interpenetração é dada pela equação:

e é a distância entre os centros das esferas. Se > 0, temos que = 0.

A constante de amortecimento é dada pela fórmula abaixo (ONATE & ROJEK, 2003), experimentalmente desenvolvida afim de minimizar a vibração dos elementos.

2.3.2 FORÇA DE CONTATO TANGENCIAL

A força tangencial F_t será dada, de acordo com a mecânica newtoniana, pela seguinte equação (modelo de Cundall e Strack):

(17)

17

A força de atrito é descrita pela ação de uma mola na direção tangencial do plano de contato (imagine as partículas como engrenagens com dentes flexíveis). Esta mola é inicializada no tempo do primeiro contato entre as partículas e perdura até a separação das superficies. Sua elongação determina a força tangencial restauradora, novamente limitada pela lei de Coulomb para o atrito.

Fig. 2.7 - Modelo da interface de contato.

2.4 ENERGIA E MOMENTO

Se não há perda de energia por atrito (amortecimento = 0) ou durante as colisões (elasticidade = 1), então a energia total do sistema não deve mudar.

Uma colisão entre objetos não deve alterar o momento angular. No entanto, uma colisão com uma parede não irá preservar o momento angular porque paredes super massivas não estão incluídas nos cálculos do movimento dos objetos.

A energia gravitacional é dada por mgh, onde h = altura do centro do objeto de massa acima do piso. A energia translacional é dada por , onde é o vetor velocidade para o centro de massa do objeto. Note que foi usado o produto escalar para a quadratura do vetor velocidade. A energia rotacional é dada por , onde I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular.

(18)

18

O momento linear é dado por . O momento angular de uma partícula é definido pelo produto vetorial do vetor posição da partícula (em relação a um ponto de referência) pelo seu momento linear. Abaixo está a equação representativa:

2.5 CÁLCULO DAS VELOCIDADES

Após ter formulado as equações diferenciais de equilíbrio e estabelecido as condições iniciais, é necessário utilizar algum tipo de técnica para solução dessas equações. Existem diversos métodos de solução, os quais podem ser analíticos ou numéricos, sendo estes mais versáteis e, portanto, utilizado nesse programa.

O método numérico mais simples para resolver equações diferenciais é o de substituir as derivadas por razões entre variações da função e da respectiva variável. No caso presente, teremos

Assim, se quisermos saber as posições e velocidades de um corpo entre um instante inicial e final , poderemos dividir o intervalo ; em N partes iguais e calcular as velocidades nos instantes usando as acelerações no instante anterior

= + = + ...

= +

(19)

19 ...

= + ,

sendo

,

, com = + = .

Do mesmo modo podemos calcular as posições em cada instante usando o valor da velocidade no instante anterior, fazendo

= + = .

As equações e constituem o método de Euler para o cálculo das posições e velocidades de um corpo sujeito a uma força. O método de Euler é chamado um método de 1ª ordem. A razão para isso encontra-se no fato de podermos escrever, usando o desenvolvimento em série de Taylor,

= + + + ...

= + + + ...,

o que significa que, ao aplicar o método de Euler, estamos desprezando termos com potências de iguais ou superiores a 2 - diz-se “termos de 2ª ordem ou superior". Podemos então dizer que o erro cometido em cada iteração (cada cálculo de ou ) é proporcional a , desde que seja suficientemente pequeno. No entanto, como temos que calcular N valores de e , o erro total cometido pode ser estimado como sendo proporcional a

(20)

20

uma vez que = - = . Assim, o erro total é proporcional a , e daí a designação de método de 1ª ordem.

3 IMPLEMENTAÇÃO

3.1 LIMGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO

O programa foi implementado em linguagem C. O código está separado em diversos módulos a fim de facilitar o seu desenvolvimento. Toda a interface gráfica foi criada com o uso das bibliotecas OpenGL e GLUT, de forma a manter o código independente do sistema de janelas e do sistema operacional, podendo ser compilado em qualquer plataforma que possua uma implementação destas bibliotecas.

3.2 ARQUIVOS DE E/S

Dois tipos de arquivo podem ser manipulados pelo programa:

INI: Arquivo de dados iniciais. Trata-se de um arquivo de texto que armazena os dados iniciais do problema, ou seja, o estado inicial do modelo. A partir deste estado o programa calcula os estados subseqüentes e a cada instante de tempo o estado atual pode ser armazenado como um novo arquivo INI. O arquivo pode ser modificado diretamente pelo usuário, respeitando uma sintaxe própria.

TXT: Arquivo de dados processados. É um arquivo texto que armazena os dados processados pelo programa, ou seja, os estados do modelo após o estado inicial. Os estados são gravados em intervalos de tempo determinados pelo usuário. Cada estado gravado no arquivo TXT pode ser convertido em um arquivo INI completo.

(21)

21

4 EXEMPLOS

4.1 SIMULAÇÃO DE CONTATO SIMPLES

Neste exemplo foi simulado um choque entre dois elementos desconsiderando a força gravitacional, para fins de análise do comportamento rotacional ocasionado pelo contato esfera-esfera com atrito.

Fig. 4.1 – Simulação de contato simples.

4.2 SIMULAÇÃO DE CONTATO 4 X 1

Esta simulação consiste-se do choque entre 5 (cinco) elementos, ocasionado inicialmente pela ação da força gravitacional em uma esfera que é deixada cair sobre outras 4 (quatro).

Fig. 4.2 – Simulação de contato 4x1.

(22)

22 4.3 SIMULAÇÃO SINUCA

Neste exemplo foi simulada uma situação semelhante a um jogo de sinuca, em que uma esfera é lançada sobre outras 6 (seis). Foram considerados os atritos esfera-esfera e esfera-parede.

Fig. 4.3 – Simulação sinuca.

4.4 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO EM PAREDE

Este exemplo mostra o rolamento do elemento (esfera) em uma parede com atrito, sob a ação única da força gravitacional. Note que o assoalho possui um coeficiente de restituição, e a esfera sofre um “damping” (amortecimento), até a dissipação total do movimento.

Fig. 4.4 – Simulação de rolamento em parede.

(23)

23

4.5 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO ESFERA-ESFERA

Novamente uma simulação de rolamento, desta vez entre duas esferas. Neste caso, temos uma esfera rotacionando sobre outra, sob ação somente das forças gravitacional e de atrito.

Fig. 4.4 – Simulação de rolamento esfera-esfera.

(24)

24

6 CONCLUSÃO

O trabalho desenvolvido até este momento constitui a transição do Método dos Elementos Discretos da segunda para a terceira dimensão. Foram implementadas o que podemos chamar de forças básicas, ou seja, as componentes normal e tangencial (atrito), levando em consideração o amortecimento. A análise dos resultados pôde ser feita pela visualização de alguns exemplos gerados. Estes se mostram bastante satisfatórios, apresentando elementos com comportamentos coerentes com o esperado na realidade. Isso mostra o potencial do Método de Elementos Discretos em 3D, em particular a ferramenta computacional desenvolvida durante este trabalho, na simulação e visualização de problemas que envolvam meios descontínuos.

Na continuidade deste trabalho, serão implementados outras forças como, por exemplo, as forças de atrito viscoso e aquelas geradas por um campo potencial arbitrário. O método de integração temporal será alterado para outro de maior precisão e será implementado o algoritmo Direct Mapping para a detecção de contato.

(25)

25

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

MUNJIZA, A. The Combined Finite-Discrete Element Method. Londres: John Wiley &

Sons, 2004.

PÖSCHEL, T. & SCHWAGER, T. Computational Granular Dynamics: Models and Algorithms. Berlin: Springer, 2005.

KRYSYL, P. & BELYTSCHKO, T. Object-oriented parallelization of explicit structural dynamics with PVM, Computers & Structures, vol. 66. 1998.

CUNDALL, P.A. & STRACK, O.D.L., 1979. A discrete numerical model for granular assemblies. Geotechnique. vol. 29, No. 1.

ALONSO, M. & FINN, E. Física um curso universitário, vol. 1. Brasil : Edgard Blucher, 1972.

ROJEK, E. & OÑATE, J. Combination of discrete element and finite element methods for dynamic analysis of geomechanics problems. Espanha: Elsevier, 2003.

MINATO, K. K., CANTINI, C., Teixeira, M. G. Estudo e implementação do método dos elementos discretos. 30^o CILAMCE, Buzios, RJ, 2009.