Relatividad y el Espaio-Tiempo:
Una introduion para estudiantes de olegio
(Relativityandspae-time. AnintrodutiontotheSpeialTheoryofRelativityforHighShoolStudents)
AlfonsoVelarde
CarreradeFsia,UniversidadMayordeSanAndres LaPaz, Bolivia
avelardeumsa.edu.bo
Reebidoem1abril,2002. Aeitoem13deabril,2002.
Seintroduenlosoneptosapartirdejemplossimplesyonoidos,prourandoprofundizar
enlasideasdelaRelatividadEspeialdemaneragradualperosiempresenilla.
Coneptsareintroduedstartingfromsimpleandknownexamples,goingdeepintotheideas
of theSpeialRelativityinagradualbutalwayssimplemanner.
I Relatividad del movimiento
Hastaaqu,hemosdadoporsentadoquenuestras
medi-ionesydesripionesdelmovimientosedanrespetoa
undeterminadosistemadereferenia. Sinembargo,no
noshemosplanteadoquepasauandotenemos
diferen-tes sistemasderefereniaen movimientorelativounos
respeto de otros. Las osas se presentande manera
muydiferente enunouotrosistema.
Consideremos, porejemplo, undisoquerueda
so-breunasuperiehorizontal,demaneraque suentro
sedesplazaonmovimientouniformeretilneo.
Dibu-jemosunalneadesdeelentrodeldisoaunpuntodel
borde. Desdeelsistemajoalasuperiesobrelaual
ruedaeldiso,estaseveragirarmasomenosomo se
ilustraenlaseueniadelaFig. 1.
Figura1. Seueniadelmovimientodelradiovetordeun
ruloqueruedasobreunasuperieplana.
Sitomamoselpuntodel borde deldiso,la
traye-toria quedesribe eslaque semuestra enla Fig. 2y
Figura2. Trayetoriadeunpuntodelpermetrodeldiso.
Enambio,respetoaunsistemaderefereniaque
sedesplazaonmovimiento uniformeretilneo
solida-riamentealejedeldiso,unpuntodelbordedelmismo
desribeunsimplemovimientoirularuniforme,omo
semuestraenlaFig. 3.
Vemos pues que la desripion del movimiento de
unuerpo,esdeirsuinematia,esrelativa,depende
del sistema de referenia segun el ual se desribe el
movimiento.
ElmovimientodelosplanetastomandoalSolomo
refereniaseredueaorbitaselptiassimples,en
am-biosisetomalaTierraomoentro,losplanetas
desri-ben trayetorias aprihosas desribiendo rizos. Pero,
noeslasimpliidaddelmovimientodelosplanetas
res-petoalsistemahelioentrioelargumentoparadeidir
quelosplanetasgiranalrededordelSolynoalrededor
de la Tierra, sinolasleyesde ladinamia lasque nos
permitendiluidarelproblema.
Newtonpudoexpliarlosmovimientosdelosastros
alrededor del Sol apliando el onepto de fuerza
so-bre la base de la ley de la gravitaion universal. La
desripiondelmovimientodeunuerpopuede ser
di-ferentesegunelsistemaderefereniadesdeelqueselo
vea,peronolasleyesquedeterminanelmovimiento.
Elprinipio de la relatividad preisamente sostiene
que las leyesde la naturalezadeben ser las mismas
in-dependientementede los sistemasde referenia.
Enesteaptuloanalizaremosestepostulado
funda-mental delafsiaysusimpliaiones.
II Transformaion entre
siste-mas en movimiento relativo.
ConsideremosdossistemasderefereniaOyO'en
mo-vimientorelativounorespetodel otro,omose
mues-tra enlaFig. 4.
Figura4. SistemasderefereniaOyO'enmovimiento
relativo.
Ubiandonos en el sistema de referenia O, el
sis-temaderefereniaO'estaenmovimiento. Desribimos
el movimiento de un uerpoA y nosinteresa
estable-onoer omo seobservael movimiento de A desde el
sistemaO'.
Si en un instante dado t, laposiiondel uerpoA
estadadaporelvetor~r(t)ylaposiiondel origendel
sistemaO'porelvetor~r
o
0(t),laposiiondeluerpoA
respetoalsistemaO'sera:
~r 0
(t)=~r(t) ~r
o 0
(t)
En uninstante posteriort+t, la posiion del
u-erpoAhaambiadoalaposiion
~ r 0
(t+t)=~r(t+t) ~r
o
0(t+t)
Entones, elambio de posiion en el intervalo de
tiempotes:
~r 0
=~r 0
(t+t) ~r 0
(t)=~r(t+t) ~r(t) f~r
o 0
(t+t) ~r
o 0
(t)g
~r 0
=~r ~r
o 0
Laveloidadsera:
~ v 0
= ~r
0
t =
~r
t ~r
o 0
t
~ v 0
=~v ~v
o 0
Queeslaeuaiondetransformaiondeveloidades
delsistemaOalO'.
Un ejemplo: Consideremos dos automoviles que
semueven en una arreteraon veloidades, medidas
desdeelsistemajoatierra,v
1 y v
2
,respetivamente
omoseilustraelaFig. 5.
Figura5. Dosautomovilesmoviendoseensentidos
ontrarios.
>Cual es la veloidad del automovil 2 respeto al
automovil 1? En esteaso elsistema O esel jo ala
arreterayelsistemaO'elautomovil1,entones:
v 0
2 = v
2 v
1
v 0
2 = (v
2 +v
1 )
Esto quieredeir que segun el automovil 1, el
au-tomovil 2 se aera haia el (signo negativo) on una
veloidadque eslasuma delas magnitudesde las
ve-loidadesv
1 yv
2 .
Enformaanaloga,delavariaiondelasveloidades
transfor-~a 0
=~a ~a
o 0
Ejemplo: Un satelitegira enorbitaalrededorde la
Tierra. Desde el sistema O, jo a la Tierra, la
ae-leraion entrpeta que hae que el satelite gire es la
aeleraiongravitatoriadebidaalaatraionterrestre.
(Debido alaalturadel satelite, haemosnotar queen
este aso, laaeleraiongravitatoria gesmenoral
po-pularvalorde9,8m/s 2
).
Sidesignamospor O'elsatelite:
a
o 0 =g
Cualquierobjeto enelsatelite,tambien esta
some-tidoalaatraiongravitatoriadelaTierra, entones:
a=g
Luego,respetoalsatelite,laaeleraiondelos
ob-jetoses:
a 0
=g g=0
Esdeirque,respetoalsatelite,lasosasestanen
estado de ingravidez, no hay aeleraion, los objetos
otanlibremente enelespaio.
Otroejemplo: >Porquealdarunaurvaenbiileta
debemosinlinarnosparamantenerelequilibrio?
Desdeel punto de vista del sistema "O",jo a
ti-erra, para girar la biileta esta sometida una
aele-raionentrpeta: a
=
v 2
R
Sinostrasladamosalsistema O',joalabiileta,
tenemosquea
o 0
=a
. DemaneraqueenelsistemaO'
losobjetos estansometidos aunampo de
aeleraio-nes:
~g 0
=~g ~a
Figura6. Campodeaeleraionenelsistemajoala
Podemosverentonesquepara mantenerel
equili-briodebemosinlinarlabiiletademodoqueoinida
on la direion del ampode aeleraion en este
sis-tema. Al dise~nar una arretera, onoidoel radio de
unaurva,ylaveloidadalaqueseespera que
iru-len los vehulos, podemos alular a
y determinar el
angulodeinlinaionoperaltedelaurva.
III Sistemas ineriales y no
iner-iales.
DelasegundaLeydeNewton:
*
F =m~a
sabemosquesi ~
F =0,entones~a=0quesigniaque
~
v = ste:que eslaley de ineria quenos dieque un
uerpo sobre el que no atua ninguna fuerza, esto es
unuerpolibre,debemoverseenlneareta
uniforme-mente.
Sinembargo, esta ley solo es valida si nuestro
sis-tema dereferenianoestaaelerado. Enefeto, seaO
unsistemanoaeleradoyO'unsistemaonaeleraion
~a
o
0. Entones,unuerpoqueporaiondeunafuerza
~
Fexperimenta una aeleraion~a, desde el sistema de
refereniaaeleradoO'tendraunaaeleraion:
~a 0
=~a ~a
o 0
Apliando lasegunda Leyde Newton aun uerpo
demasamsobreelqueatuaunafuerza ~
F,tendremos:
~
F 0
= ~
F m~a
o 0
donde ~
F 0
=m~a 0
vieneaserlafuerzamedida desde el
sistema aelerado. Aqu aparee una pseudo - fuerza
adiional m~a
o
0 quenoesresultadodeninguntipode
interaionfsia sinoque esonseuenia dela
aele-raiondelsistema.
Si ~
F =0,esdeir,sieluerponoestasometidoala
aiondeningunafuerza,enelsistemaO',sinembargo,
apareerauna pseudo-fuerza
~
F 0
= m~a
o 0
yunaaeleraionasoiada:
~a 0
= ~a
o 0 6=0
lo que implia que no se umple la ley de ineria. El
uerpoesaeleradoensentidoontrarioalaaeleraion
Poreso,lossistemasnoaeleradossellaman
siste-mas ineriales. Quiere deir queen ellos seumple
la ley de ineria. Enambio, lossistemas aelerados,
en los que no se umple la ley de ineria, se llaman
sistemas no ineriales.
Comoseve,esposibledesubrirunsistemano
iner-ialporlaspseudo -fuerzasque lodelatan. Cosaque
noourreentresistemasineriales,esdeir,entre
siste-mas noaeleradosquesemuevenuno respetoalotro
onmovimientouniformeretilneo(~a
o 0
=0).
Porejemplo, si viajamosen unvehulo. Desde el
punto de vista del sistema jo aeste, es la arretera
y todoslos objetos jos aella, lospostes, losarboles,
et. losquesemueven. Hemosdesuponer idealmente
quenohaybahesyquelaarreteraesabsolutamente
reta. Sielvehulosemueveonveloidadonstante,
desdeelpuntodevista delasleyesdelameania, no
hay ninguna difereniaentre el sistema del vehulo y
elsistemajoatierra. Lasleyesdelameaniasonlas
mismas enambossistemas.
~
F 0
= ~
F
Por ejemplo, dos pendulos de la misma longitud,
uno montado en tierra y el otro en el vehulo,
osi-laranonelmismoperiodo.
Ambossistemas sontotalmente equivalentes y
nin-gunodeellostieneelderehodedeiryosoyelsistema
de referenia privilegiado respeto al ual sedene el
movimientodelotro.
En ambio, si el vehulo frena; inematiamente,
desde su sistema lospostes ylos arboles jos a tierra
tambiendisminuiransuveloidadrelativa,sinembargo,
solodentrodelvehulolosobjetosexperimentaranuna
pseudo - aeleraion que los impulsara haia delante,
osa que no ourrira onlos objetos jos a tierra, de
modoqueesposibledarseuentaualdelosdos
siste-mas es elque efetivamente frena, es deiresta
aele-rado.
Igualmente, si el amino es urvo, los oupantes
del vehulo experimentaran una pseudo - aeleraion
entrfugaquenoexperimentaranlosobjetosjosa
ti-erra aunque inematiamente estos giran respeto al
vehulo. Esta es la forma en que la meania puede
detetar laurvaturadelespaio.
Enunsistema aelerado, apareeunampode
ae-leraion ( ~a
o
0)queesel mismoparatodoslos uerpos,
independientemente de su masa inerial y la pseudo
-fuerza asoiada a esta es diretamente proporional a
ella ( ~
F 0
= m~a
o 0
):
Reordemosqueesta misma propiedadtienela
fu-erzadeatraiongravitaional,esdeir,elpesodelos
uerpos. Masadelante disutiremossobre las
implia-iones deestapropiedaddelaatraiongravitatoria.
De heho no existe un sistema estritamente
iner-ial. Todos los uerpos en el espaio estan sujetos a
fuerzasdeinteraionmutuasy,enonseuenia,
some-sistemade referenialaTierra,debido asurotaiony
asutraslaionalrededordelSol,noesunsistema
iner-ial. En experimentos terrestres omo el de una bola
queruedasobreunamesa,latrayetoriadeestaenlibre
movimiento, no es realmente reta, sino un poo
ur-vada. Si estoesapaalamediionsedebeuniamente
alaexiguidadde lasdimensiones usadasenel
experi-mento, en omparaion on las dimensiones del globo
terrestre. Deigualmodo,unsistema derefereniajo
alSolestambienunsistemaaelerado,enonseuenia
noinerial,puesto queelSolgira alrededordel entro
delagalaxia. El Sol,sin embargo, seasemeja mejora
unsistemainerialpuessuorbitaesmuhomayoryen
onseueniasuaeleraionmuhomenor.
Solosilasaeleraionesdelsistemaderefereniaque
utilizamossondespreiables paralapreisionde
nues-trosinstrumentosdemedidapodemosonsiderar,para
nespratios,quenuestrosistemaesinerial.
As, lasleyesde la meania deNewton solo tiene
sentido en referenia a un sistema inerialideal.
Cu-alquiersistema de referenia emprio estableido por
mediodeuerposmateriales,nopuedeserfundamento
deuna ley onel ontenido idealde la leyde ineria.
Estaleyes mas bien el punto de partidade la
postu-laion del espaio eulidiano uyo elemento basio es
la lnea reta y tambien del transurrir uniforme del
tiempoque seexpresaenel movimientouniforme
re-tilneo: espaiosiguales reorridosen tiempos iguales.
As llegoNewton alaonlusionde queexiste un
es-paio absoluto enelquelosuerposmaterialesse
en-uentranysemuevenytambienuntiempoabsoluto.
Segunsus propiaspalabras: "El espaioabsoluto
per-maneesiempreigualeinmovil,meredasunaturaleza
ysinrefereniaaunobjetoexterior."y: "Eltiempo
ab-soluto, verdaderoymatematiotransurreen sy por
sunaturalezauniformemente,ysinrefereniaaningun
objeto exterior."
As, solo unsistema jo al espaio absoluto, esun
sistema verdaderamente inerial pero, aqu surge un
problema grave: ualquier otro sistema que semueva
onmovimientouniformeretilneorespetoalprimero
es tambien inerial y ompletamente equivalente
res-peto a las leyes de la meania. De heho estamos
frente a un prinipio: el prinipio de la
relativi-dad de la meania lasia, que establee que las
leyesdelameaniasonlasmismasparatodoslos
sis-temasineriales,loqueimpliaqueelespaioabsoluto
esindetetable para lasleyes dela meania. Ningun
sistema inerial en el puede deir yo estoy en reposo
enelespaioabsolutoylosinnitos demassistemasen
IV La veloidad de la luz
AnesdelsigloXIX,yasehabadesarrolladola
eletro-dinamia,oseaelestudiodelmovimientodelosampos
eletromagnetios produidos por lasargas eletrias
en movimiento y se haba estableidormemente que
la luz es una onda eletromagnetia. La luz tiene las
mismas propiedadesque, porejemplo, lasondas enel
aguaoel sonidoenel aire. Estas ondasmeania son
elresultado delapropagaionde unaperturbaionen
un medio. Esto llevo a suponer que para las ondas
eletromagnetias debera existir tambien un sustrato
omedioenelquesepropaganestasondas. Aeste
me-diohipotetioselollamoeter :Todoelespaioestara
llenodeeteryonstituiraelsistemadereferenia
privi-legiadorespetoalualpodradistinguirsesiunuerpo
estaenreposoabsolutoomovimientoabsoluto.
Enefeto,siobservamoslapropagaiondelasondas
enelagua,esperfetamenteposibledistinguirentreun
sistemajoalaguayotroquesemuevarespetoalesta
onmovimientouniformeretilneo. Esdeir,entredos
sistemasineriales. Laveloidaddepropagaion""de
una onda depende del medio. De manera que si, por
ejemplo,unboteestaenreposorespetoalaguay
pro-dueunaonda,observaraunfrenteirularquesealeja
on unaveloidadonstante""en todaslas
direio-nes. Enambio,sielboteseestamoviendorespetoal
agua,observaraquelasolasqueproduesealejanon
unaveloidad:
~ v 0
=~ ~v
o 0
~v
o 0
eslaveloidaddelboterespetoalagua.
Mas lentamentepordelante:
v 0
= v
o 0
y,masrapidopordetras:
v 0
= v
o
0 = (+v
o 0)
EnlaFig. 7,seilustran ambassituaiones. Loque
es importante aqu es que se vea que las situaiones
sontotalmente distinguibles,en esteasodiremosque
aquel sistema respeto al ual las ondas se propagan
onveloidad""onstanteentodaslasdireioneses
elsistema joalmedio, asoontrario,elsistemaesta
enmovimiento. As,aunquenovieramoselagua,pero
pudieramos medir la veloidad de propagaion de las
ondasen todas lasdireiones, estaramosen
ondii-ones de distinguir entre unsistema jo al aguayotro
quenoloeste.
Eletererapues,lasoluionalproblemadelespaio
absoluto, indetetable pormedio de la dinamia
new-toniana.
Naturalmente el paso obligado era poder detetar
experimentalmente el eter. Siendo, omo se sabe, la
luzunaondaeletromagnetia,suveloidadde
propa-produesinodelmedioenquesemueve,enesteasoel
eter. Laveloidaddelaluzmedidaexperimentalmente
es:
=2:997910 8
m
s
Si la Tierra se moviera a travesdel eter sin
alte-rarlo, entones la veloidad de propagaion de la luz
onrespetoalaTierradebaserdiferente en
diferen-tes direiones.
En 1881, los fsios norteamerianos Mihelson y
Morleyidearon un experimentoque lespermitiera
de-tetar lasdifereniasen laveloidad delaluz en
dife-rentesdireionesrespetoalaTierra.
EnlaFig.8,serepresentaesquematiamenteel
apa-ratodeMihelsonMorley. Lafuente luminosaS emite
unrayodeluzquealllegaralespejosemitransparente
Msedivideendoshaesquesepropaganpordos
ami-nosperpendiularesentre s. Elhazreejado vahasta
el espejo A y vuelve, en ambio el haz transmitido a
travesde MvahastaelespejoBdondesereejay
re-torna moviendose en el mismo sentidode la Tierra al
iryensentidoontrarioalvolver. Amboshaesse
en-uentrannuevamente enel espejoMy sonobservados
porelinterferometroenO.Un interferometroesapaz
demedir difereniasdetiempomenores a10 9
s. Para
simpliar,suponemosqueladistaniaLaadaespejo
B
Figura7.Propagaiondeunaondaenelagua. (a)Sistema
joalagua. (b)Sistemaenmovimientorespeto alagua.
Figura8. InterferometrodeMihelsonMorley
Comenemosporalulareltiempoquetardaelhaz
perpendiularen iryvolver. Puesto quelaluzse
pro-paga en el eter on veloidad y la Tierra se mueve
respetoaleter on veloidadv (la veloidad de
tras-laion de la Tierra alrededor del Sol es
aproximada-mente310 4m
/
s
),tendremosqueelreorridodelaluz
eneletervieneaserelquesemuestraenlaFig. 9.
Figura9. Trayetoriaeneleterdelhaztransversal.
Sidesignamos por t
1
eltiempoquetardaelhazen
llegardeMaA:
2
t 2
=L 2
+v 2
t 2
luego:
t
1 =
L
/
q
1 v
2 Æ
2
EltiempoquetardaeniryvolveraMseraeldoble,
luego:
T
1 =
2 L
/
q
1 v
2 Æ
2
v<) q
1 v
2 Æ
2
<1
Calulamosahoraeltiempoquetardaelhazquese
mueveparalelamente alatraslaionde laTierraen ir
de M a B. De auerdo a la ley de transformaion de
veloidades,laveloidaddelaluzrespetoalaTierra
sera:
0
= v
luego:
L= 0
t
2
=( v)t
2
dedonde:
t
2 =
L
/
1 v
/
Laveloidaddelaluzrespetoalsistemajoa
Ti-erra,alvolverdeBaMsera:
0
=+v
luego:
L=(+v)t
3
demodoque:
t
3 =
L
/
1+ v
/
Luego,eltiempoempleadoeniryvolversera:
T
2 =t
2 +t
3 =
2 L
/
1 v
2 Æ
2
Como seve,lostiemposT
1 yT
2
no soniguales, el
tiempoT
2
esmayorenunfator:
1
q
1 v
2 Æ
2
queeltiempoT
1
. Dedonde,seesperaunretrasodelhaz
quesemueveparalelamentealatraslaiondelaTierra
respetoalhazquesemueveperpendiularmente.
Con gran sorpresa, el experimento mostro que no
tal retraso, lo que signiaque laveloidad de la luz
eslamisma enambasdireionesyenambossentidos,
enonseuenia igualque si laTierraestuviera en
re-posorespetoaleter,endenitivalamismaparaambos
V La Relatividad Espeial de
Einstein
FueEinsteinquienen1905resolviolaparadojadel
ex-perimentodeMihelsonMorley(aunque,aldesarrollar
lateoradelarelatividadespeialnosepropona
resol-veresteproblema). Einsteinreuperaelprinipiodela
relatividaddelameaniadeNewton.
Elpostulalosiguiente: Todas lasleyesdela
na-turaleza son las mismas, es deir son
invarian-tes, paratodoslossistemasenmovimiento
rela-tivodetraslaionuniformeretilneo. La
veloi-dad de la luz es una onstante fsia invariable
para todos lossistemas ineriales dereferenia.
En realidad el omportamiento onspirador de la
veloidad de la luz ontra la relatividad de Newton,
no estaba haiendo mas que onrmarla solo que en
formamasamplia, enelsentidodequetodoslos
siste-masinerialessontotalmenteequivalentes,nosolopara
losproesosmeanios,sinotambienparalosproesos
eletromagnetiosyoptios.
VI La dilataion del tiempo.
Ti-empo propioy tiempo
impro-pio.
La primera onseuenia es que eltiempo ya no esel
mismo en losdossistemas de referenia. Para
demos-trarloonstruimos dosrelojesidentiosdelasiguiente
manera. ConsistedeunafuenteluminosaSyunespejo
A separadospor una distania L, igualque losbrazos
del aparato de Mihelson Morley. Un destello de luz
quepartedeS, ativaunronometro,sereejaenAy
vuelve. Juntoalafuenteluminosatenemosundetetor
deluzque,uandoreibeelretornodeldestelloregistra
elintervalodetiempoy simultaneamente disparaotro
destello. Uno delos relojes esta enreposoen nuestro
laboratorioyelotrosemueveonveloidadonstante
v,transversalalejeS-A,respetoallaboratorio.
Reriendonosala Fig. 10, en el reloj queestaen
reposo,elintervalo detiemposera:
t=2 L
/
Figura10. Relojenreposo.
Para este reloj, la salida del destello y su llegada
ourrenenunmismo puntodelespaio. Llamaremosa
estetiempo,tiempopropiodelreloj.
Ahora observemos el reloj en movimiento.
Re-riendonos a la Fig. 11 y onforme ya lo hiimos al
desribirelhaztransversaldelexperimentode
Mihel-sonMorley,elintervalodetiempotransurridosera:
t 0
= 2
L
/
q
1 v
2 Æ
2
=
t
q
1 v
2 Æ
2
Figura11. Relojenmovimientorelativouniforme
retilneo.
Enesteasolasalidadeldestelloysullegada
our-ren en dos lugares diferentes del espaio. Poreso
de-imosque eltiempomedido onelrelojjo a nuestro
laboratorioesuntiempoimpropio.
t= q
1 v
2 Æ
2t
0
teseltiempopropiomedidoentrelaourreniade
dos eventosque sedan enel mismo lugar del espaio.
EnlaFig. 11,esetiempolomideelrelojenmovimiento
respetoallaboratorioporque obviamenteesteestaen
reposorespetoalsistemaS-A.Enambioelrelojjo
a nuestro laboratorio, respeto alual el otrorelojse
mueveregistraraeltiempoimpropiot 0
medidoentrela
ourreniadedoseventosquesedanendosdiferentes
lugaresdelespaio.
Como:
v<) q
1 v
2 Æ
2
<1)t<t 0
es deir, el reloj en movimiento relativo se atrasa en
un fator q
1 v
2 Æ
2,
vale deir, el tiempo se
di-lata. Desde el sistema del laboratorio vemosque
to-dos losproesosen elsistema en movimientoson mas
lentos. Estefenomeno ontradie nuestra experienia
otidiana. Enla vida diarianadie observa que un
re-lojenmovimientoseretraserespetoaotroenreposo.
Un postuladodelameaniadeNewton,preisamente
se~nalaqueeltiempotransurreigualyuniformemente
independientemente del sistema de referenia. La
re-latividad espeial de Einstein en ambio muestra que
el tiempo no es el mismo para todos los sistemas de
referenia y que su transurso depende del estado de
movimientodelsistema.
VII Contraion de la longitud
EnlaFig. 12vemosunanavequeviajaentre dos
pla-netasseparadospor unadistaniaonstanteL.
Figura12. Naveespaialenviaje entredosplanetas.
Enelsistemadereferenia delosplanetas,lanave
viaja onuna veloidad v. Lanave, en onseuenia,
reorreladistaniaLenuntiempot 0
= L
/
v
. Este
in-tervalodetiempohasidomedidoporrelojesjosalos
planetas, en onseueniaes untiempoimpropio
por-que la partidade un planeta y la llegada al otro son
dos eventosourridosen dos lugaresdiferentes del
es-paio. Porotraparte,unrelojjoalaastronaveestara
tregistradode laduraiondel viajepor este relojes
eltiempopropio. Comovimos:
t= q
1 v
2 Æ
2t
0
= q
1 v
2 Æ
2
L
v
Enelsistemadelanave,sonlosplanetaslosquese
mueven,elpilotoenontraraqueladistania reorrida
entre losdos planetases igualalproduto desu
velo-idad por el tiempo propio registrado por su reloj, es
deir:
L 0
=vt
L 0
= q
1 v
2 Æ
2L
Aqu,reordemos,Lesladistaniaqueseparaalos
dosplanetasmedidaenelsistemaenelqueambos
pla-netas estan en reposo. En ambio L 0
es la distania
entre losplanetas medida desde lanave, respetoala
ual,losplanetasestanenmovimiento.
>Quesigniaesto? Quelasdimensionesdeun
u-erpo, uando esta en movimiento, se ontraen en la
direion del movimiento relativo uniforme retilneo,
por un fator q
1 v
2 Æ
2.
As, si tenemos dos reglas
identiasque enreposomiden Ly una deellas la
po-nemosenmovimientouniformeretilneoonveloidad
v, omo semuestra enla Fig. 13, resultaque laregla
enmovimiento seontrae,esdeir,esmasorta.
Esteesotrosorprendenteresultadodelarelatividad
espeial onoido omo la ontraion de la
longi-tud.
>Porqueenlaexperieniaotidiananoobservamos
estosefetos? Larazonesquelasveloidadesonquese
muevenlosuerposennuestromundomarosopioson
muypeque~nasomparadasonladelaveloidaddela
luzdemaneraque v
2 Æ
2
!0,entones q
1 v
2 Æ
2
!1,
yenonseuenia: t
= t
0
yL
= L
0
.
Figura13. Contraiondelalongituddelosuerposen
VIII El onepto de
simultanei-dad en la teora de la
rela-tividad espeial
ConsideremosunsistemaderefereniaO,dotadodesu
ronometro en reposo respeto a el. Dos eventos son
simultaneos siourrenalmismo tiemposegunnuestro
reloj. Porejemplo tenemosunaregladeextremosAy
B, enreposo. SeaC elpunto medio delaregla,
equi-distante de ambos extremos. Enel punto C hay una
fuente deluzqueemiteundestello. Obviamentelaluz
llegarasimultaneamenteaambosextremos.
En la Fig. 14 hemos dibujado un diagrama
espa-io - tiempo de lo anteriormente desrito. El eje del
tiempo lo hemos multipliado por la veloidad de la
luzdemaneraquetambientieneunidadesdelongitud.
Estoequivaleamedireltiempoenunidadesdela
velo-idaddelaluz. Enefeto:
v= x
t )
v
=
x
t
Figura14. Representaiongraadeundestellodeluzque
alanzasimultaneamentelosextremosAyBdelareglaen
reposo.
Laslneasa45 o
sonlasgraas delmovimientode
dosrayosdeluz uyaveloidaden unidadesde es1.
Como sevealanza laposiion x
A
de A, enel mismo
instantet
1
enquealanzalaposiionx
B deB.
Analiemosahoraelmismoproblemasilareglaesta
en movimiento uniformeretilneorespetoal sistema
O,onveloidad v
/
,en ladireionlongitudinalde la
regla.
En la Fig. 15 haemos una graa en el espaio
-Figura15. Representaiongraadelos rayosdeluzque,
partiendodelentrodelaregla,alanzansusextremos;
u-andolareglaestaenmovimiento.
El movimiento de los puntos A, B y C, extremos
yentrodelareglarespetivamente,estarepresentado
por las lneas punteadas, las lneas llenas que parten
de C son las graas del movimiento de los rayosde
luz. Como seve, ahoraelrayode luzque llega al
ex-tremo A, lo hae antes que el rayo de luz que llega
al extremo B. Ambos eventos ya no son simultaneos.
Enambio, omo vimos, segunun relojjo ala regla
si son simultaneos. Estamos frente aun nuevo
resul-tadoqueviolentanuestraexperieniadireta. Estamos
aostumbradosa que dososas que ourrenal mismo
tiempo,sonsimultaneasparatodoslossistemasde
refe-reniaindependientementedesuestadodemovimiento.
Nuevamentese~nalamosqueparalasveloidadesdelos
uerposmarosopios,insigniantesrespetoala
ve-loidaddelaluz,lasdifereniassonimpereptibles.
EnlaFig. 15hemosrepresentadoelsistemaO'jo
alaregla. Elejedetiempos: t'esparaleloalaslneas
del movimiento delaregla. Eslalneademovimiento
delrelojjoalaregla. Elejedelespaio: X 0
esparalelo
a la lnea segmentada que une los dos eventos puesto
queestossonsimultaneosenestesistema.
Deaqusederivaqueelsistema enmovimiento O'
enelespaio-tiempo: X-tesrepresentadoporun
sis-temadeoordenadasespaio-tiempo: X'-t' aangulo
agudo, eneluallosdosejesestaninlinadoson
res-petoalosprimitivos. Elangulodeinlinaioneselde
la pendiente del movimiento relativo, esdeir, la
tan-gente delangulodeinlinaionesiguala v
/
.
El heho esque la relatividad espeial de Einstein
muestra queel tiempo esrelativoen elmismo sentido
enque loeselespaio. Eltransursodel tiempoy las
dimensiones del espaiodependen del estadode
movi-mientodelsistemadereferenia. Elproblemadequela
la relatividaddel espaiodeterminaquedososasque
ourrenenelmismolugardelespaiosegununsistema
de referenia, ourren en distintos puntos del espaio
respetoa otro sistema en movimiento relativo. Esto
ultimononosprodueningunasorpresa,eslaroque,si
porejemplo,viajamosenunvagondetrenaveloidad
onstante yhaemos rebotarunapelotavertialmente
ontraelsuelo,respetoalvagonlapelotaaesiempre
enelmismolugardelpiso,enambiorespetoatierra,
la pelota avanza on el vagon y ada vez que ae al
pisolohaeenunlugar diferentedelespaioporqueel
pisodeltrenhaambiadodeposiion. Unaosasimilar
ourreahoraoneltiempo. Loqueourreesque
esta-mos aostumbradosalarelatividaddel espaioynoa
ladeltiempoporeso estaultima nospareetandifil
deasimilar.
IX Euaiones de
transfor-maion
En elespaio- tiempodenimos unsueso omo algo
queourreenuniertolugardelespaiorespetoaun
sistemaderefereniadadoyeniertoinstanterespeto
a unrelojjo aeste sistema dereferenia. Si
onoe-moslaposiionyelinstanteenquesehaproduidoun
suesoenunsistemaderefereniaX -t dado,>omo
podemos saber la posiion y el tiempo respeto otro
sistema X'- t' en movimiento relativo uniforme
re-tilneo? Laseuaiones que nospermiten pasarde un
sistema aotrosonlaseuaionesdetransformaion.
Enla Fig. 16 mostramos dos sistemas de
referen-ia OyO'enmovimientorelativouniformeretilneo.
Hagamos quelosejes espaialesXy X 0
sean paralelos
a ladireiondel movimiento relativo. Enel instante
t=t 0
=0,X =X'= 0,losorgenesdeambossistemas
oinidenylosrelojesdeambossistemasestan
sinro-nizados.
Figura16. Dossistemasderefereniaenmovimiento
rela-tivo uniforme retilneo. (En la Fig. hemos dibujadolos
ejesX yX 0
,ligeramentedesplazados.)
DigamosquenosubiamosenelsistemaO,de
ma-nera que el sistema O' se mueve on veloidad v
res-peto aO. Desde estesistema, el sueso representado
porlaesfera grisseenuentraenlaposiion(x;y;z)y
ourre enelinstante tsegunelrelojjo aestesistema.
Enese instante,el origen del sistema O' seenuentra
en la posiion vt y el objeto a una distania s, en la
direiondelejeespaialX,delorigenO'.
Entones:
s=x vt
Ladistaniashasidomedida desdeelsistemaOy
por tanto esta ontrada onrelaion ala posiion x 0
referidaalsistemaO'.
s=x 0
q
1 v
2 Æ
2
Remplazando estaexpresionen laanterior
obtene-mos:
x 0
=
x vt
q
1 v
2 Æ
2
Queeslaeuaiondetransformaionespaialenla
direiondelejeparaleloaladireiondelmovimiento
relativo. Enladireiondelosejesperpendiularesal
movimiento relativo, las oordenadas en ambos
siste-massoniguales.
y 0
=y
z 0
=z
Ahora bien, omo ambos sistemas son totalmente
equivalentes,desdeelsistemaO'eselsistemaOelque
semueveonveloidad-v,esdeirensentidoontrario,
y laseuaiones de transformaionespaiales inversas
sonlasmismasexeptoporelsignodelaveloidad
re-lativa.
x= x
0
+vt 0
q
1 v
2
/
2
y =y 0
z=z 0
Notese queahora el tiempo esmedido por elreloj
joalsistema O'.
Eliminandox 0
entrelasdoseuaiones de
transfor-maion en la direion del movimiento relativo,
obte-nemosla euaionde transformaiondel tiempot 0
en
funiondex yt.
t 0
= t
vx Æ
2
q
1 v
2 Æ
2
Multipliando esta euaionporlaveloidadde la
luz , damos a la omponente temporal unidades de
longitudylaveloidadseexpresaenunidadesdela
ve-loidadde la luz. La ultima expresion entones, para
laoordenadatemporales:
t 0
= t
v
/
x
q
1 v
2 Æ
Latransformaioninversadelaoordenada
tempo-ral, es deir de O' aO, por laequivalenia de ambos
sistemas,es:
t= t
0
+ v
/
x
0
q
1 v
2 Æ
2
Resumiendo: dadounsistemaderefereniaOon
sureloj,yotrosistemaO'onsupropiorelojen
movi-mientorelativouniformeretilneoalolargodelejeX,
las euaiones de transformaion del espaio - tiempo
(x,y,z;t) referidoaO,alespaio - tiempo (x',y',z';t')
referidoaO'son:
x 0
= x
v
/
t
q
1 v
2
/
2
y 0
=y
z 0
=z
t 0
= t
v
/
x
q
1 v
2
/
2
Queseonoenomolaseuaionesde
transfor-maion de Lorentz.
Laeseniadelateoraespeialdelarelatividad
on-siste en la union inseparable del espaio y el tiempo.
El espaio es una unidad espaio - temporal de
ua-tro dimensiones; su elemento es el "punto" universal:
(x,y,z;t).
Enellmiteenque v
/
!0estaseuaionesse
trans-formanen:
x 0
=x vt
y 0
=y
z 0
=z
t 0
=t
Quesonlaseuaiones de transformaion que
or-respondenalameanianorelativistaonoidasomo
euaiones de transformaion de Galileo.
Comosepuedever,eltiempoeselmismopara
am-bossistemassoloentantolasveloidadesinvoluradas
seandespreiablesrespetoalaveloidaddelaluz.
X La Relatividad General de
Einstein
Lameanialasiadistingue,omovimos,entreel
mo-vimiento de unuerpo libre, no sometido afuerza
al-gunayelmovimientodeunuerpobajolaaiondela
gravitaion,esdeirdeinteraiononotrouerpoon
masa. Elprimeroesunmovimientouniformeretilneo
en unsistema inerial, elsegundoseraunmovimiento
urvilneoynouniforme.
Lafuerza deatraiongravitatoria esde tal
natu-ralezaqueesproporionalalamasa delosuerpos,la
aeleraiongravitatoriaqueprodueeslamisma para
Porotraparte,vimosomolameania puede
dis-tinguir entre sistemas ineriales y no inerialespor la
aeleraion que seobserva sobre los uerpos desde un
sistema aelerado, que no esresultado de ninguntipo
de interaionon otros uerpos, sino un efeto de la
aeleraiondel sistema. Enunsistema no inerial
to-dos losuerpos, independientemente de su masa
iner-ial, sientenun ampode aeleraionqueesel mismo
para todos. La misma propiedad tiene la interaion
gravitaional,laaeleraiondelagravedadeslamisma
para todoslos uerpos. Estaequivalenia entre la
fu-erza de atraion gravitatoria y la pseudo - fuerzaen
unsistemanoinerial,llevoaEinstein aldesarrollode
lateorageneraldelarelatividad.
Paratratardeexpliarlasbasesdeestateora,
on-sideremos,porejemplo,dosajaserradasdemodoque
nohayarefereniaalgunaonelexterior. Unaajaesta
enrepososobrelaTierra. Enellahaemos
experimen-tos y vemos que todos los uerpos estan sometidos a
una misma aeleraionque esladebida ala gravedad
terrestre. Laotraajalaenviamosenunanaveal
espa-io exteriordondelaatraiongravitatoriasea
despre-iable. La naveesaelerada por sus motoresonuna
aeleraionigualaladelagravedad. Dentrodelaaja
observaremosquetodoslosobjetosseomportanigual
queenlaajaenTierra,experimentanunaaeleraion
que eslamisma paratodosindependientemente desu
masa. Ambossistemassonequivalentesynohayforma
dedeidirsilaaeleraionquesemide enelsistemase
debealaatraiongravitatoriaoaqueelsistema esta
aelerado. Laaiondelagravedadnosedistingueen
nadadelaaiondelaaeleraion.
En el ejemplo que dimos de la ingravidez que se
produeenunanaveenorbita,unobjetoalquele
da-mosunimpulsosemueveonmovimientouniforme
re-tilneo respetoala nave, sin embargo,basta que nos
traslademosalsistema joaTierrarespetoalualla
navegira para que omprobemosqueel objeto en
u-estiondesribeunatrayetoriaurvayestasometidoa
laaeleraiondelaatraionterrestre.
Cuandotratamosonsistemanoineriales,Einstein
demuestraque,deheho,lageometraeulidianaes
ina-pliable. Partamosde un espaioen el ual noexiste
ningunampodeaeleraion,eselasodenuestranave
en orbita. Consideremos ahoraundisoque gira
den-tro de lanaveonveloidad angular onstante. En el
sistemaderefereniajoaldisodominaunampo
gra-vitatoriodirigidohaiafueraydadoporlaaeleraion
entrfuga. Desdeelsistemajoaldisosemidesu
ir-unfereniaonuna inta metria,semide tambien el
radio y seomprueba queel permetro es dosvees
porR ; R esel radio. Desde el sistema jo ala nave,
seobservaqueelradio del disoeselmismo esto
por-que el movimiento de giro de ada punto del radio es
perpendiularasudireion,enambioelpermetrose
espa-la direion desu longitud. Resultaraentonesque el
permetro esmenoradosvees por R . Esmas,
mi-entrasonsideremosunrulomasalejado delentro,
mayorseralaontraiondemodoqueel disodejara
deserplanoparaurvarse.
As,losoneptosderetayurvasonrelativizados,
las trayetorias urvas estan relaionadas ala
presen-iadeamposdeaeleraionylasretasasuausenia.
Un observadorenunvagonerradopuedeonluirque
la riel es urva por la aeleraionentrfuga que
apa-ree,eigualmente,lapreseniadelaaeleraion
gravi-taional puede interpretarseomo manifestaionde la
urvaturadelespaio. Podemospuesdaruna
interpre-taion geometria de la gravedad omo un fenomeno
resultante de que el espaiose urva por la presenia
unamasa. Si estoesas,sepuedeesperarqueunrayo
deluzalpasareradeunuerpomasivodesribauna
urvaporqueesaeslaformadelespaioo,vistodesde
elpunto de vista gravitaional,que la luz tambien es
atradagravitatoriamente. Enefeto,experimentos
re-alizados durante elipses solares muestran que la
po-siiondeunaestrellauyaluzpasaeradelborde del
Solantesdellegaralatierraambiadeposiionen
re-fereniaadondelaveramossielSolnoestuvieraera
omoseilustraenlaFig. 17.
Figura17. Laluzseurvaalpasareradeunobjeto,enesteaso elSol.
Sobrelabase delprinipio deequivalenia entre la
atraiongravitaionalylapseudo-fuerzadebidaala
aeleraion delsistema, Einstein pudo ampliar el
on-eptodelarelatividadatodoslossistemasdereferenia
ineriales ono ineriales. Todas lasleyes de la
natu-ralezason lasmismas independientemente del sistema
de referenia. Enla Relatividad Espeial, elespaio
-tiempo de uatro dimensiones es un espaio "plano",
o on mas propiedad: eulidiano y esto es valido en
tantoestemosenunlugardelespaiolejosdeotros
u-erpos masivos de manera que el ampo gravitaional
sea despreiable; en ambio, si tomamos en uenta la
interaiongravitaional,elespaio-tiempoesun
es-paio "urvo" y alagravedad: la manifestaionde la
urvaturadelespaio.
"Los europeos a prinipios de siglo solan reer en
maros dereferenia privilegiados: quela ulturaola
organizaionpoltiaalemana,olafranesaobritania
eramejorqueladeotrospases;queloseuropeoseran
superioresaotrospueblosquehabantenidolafortuna
de ser olonizados.... El joven Einstein se rebelo
on-traeloneptodemarosderefereniaprivilegiadosen
fsiaylopropiohizoenpoltia. Enununiversolleno
deestrellasquesalanproyetadasentodasdireiones
no habalugar alguno que estuviera"en reposo",
nin-guna estrutura desde la ual ontemplar el universo
quefuerasuperioraotraestruturaualquiera. Estees
elsigniadodelapalabrarelatividad. Laideaesmuy
senilla,apesardesusadornosmagios: alobservarel
universoualquierlugar estan buenoomo otro
ual-quiera. Lasleyesdelanaturaleza handeseridentias
onindependeniadequien lasdesriba." [1℄
XI \Relativilandia"
Losefetosrelativistasnosonpereptiblesenelmundo
en que vivimos porque las veloidades a las que nos
movemossondespreiablementepeque~nasomparadas
onla veloidaddelaluz. Consideremos,porejemplo
laveloidaddetraslaiondelaTierraalrededordelSol;
esaproximadamente 310 4m
/
s
, o sea: 10 4
, una
diezmilesimadelaveloidaddelaluz. Eloeientede
ontraion de la longitud o de dilataion del tiempo
es,enesteaso:
= q
1 v
2 Æ
2
= p
1 (10 4
) 2
=0:999999995
ElretrasodeunrelojjoalaTierra,respetoaotro
joalSolseraentones:
Æt=t t=510 9
t
1[℄
Eigualmente,laontraiondelalongitud deuna
reglaenlaTierrarespetoaunareglaenelsistemajo
alSol:
ÆL=510 9
L
Aqu, t yLsonel tiempoy lalongitud
respetiva-mente, medidas on elreloj y laregla jas al sistema
delSol. Representaunretrasode1.8ienmilesimasde
segundoenuna horao5millonesimasdemilmetroen
unmetro.
Loquequeremos mostraresloinsigniante delos
efetos relativistas para las veloidadesde losobjetos
denuestromundo.
Para poder observar los efetos relativistas
tendramos que movernos a veloidades omparables
on laveloidadde la luz o tener relojes tanpreisos
parapodermedirestasdifereniasdetiempopor
ejem-plo, onsatelitesenorbitaterrestre. De hehoexisten
relojes atomios onlasuiente preisionpara poder
detetar estas peque~nsimas diferenias, pero
natural-mentenoestananuestroalane.
Por ello este experimento es un experimento
men-tal. Imaginemos que vivimos en "Relativilandia", un
imaginario lugar donde la veloidad de la luz, en vez
de serde 300.000Km/s=300.000.000m/s,fuera igual
ala veloidad del sonidoen el aire 300 m
/
s
. Enese
aso,unautomovilquedesarrolleunaveloidadde100
Km/hr=27.8m/s,estaramoviendoseaunaveloidad
de 0.09. El fatorde ontraionde lalongitud yde
dilataiondeltiemposeraentones:
=0:9957
>Comoseranuestraexperieniaotidiana?
Else~norXvivea10Kmdesuoina. Suesposa,la
se~noraY,trabajaen laasayasinunasale. Ambos
tienensusrelojespulseraidentiosyomprobadamente
preisos.
Cadadaelse~norXmontaensuautoyauna
velo-idadpromediode100Km/hrvaasu oina.
Desdeel sistema de su asaen la que lase~nora Y
permanee,lasosasaonteendelsiguiente modo:
Lase~noraY estafamiliarizadaonlosefetos
rela-tivistas y sabe que eltiempo transurrido, medido en
su reloj, entre la partida del se~nor X y su llegada a
laoina esuntiempoimpropio porque ourreen dos
lugares diferentes de su espaio, en ambio el tiempo
transurrido en el sistema del se~nor X: su automovil,
esuntiempopropioporqueamboseventosourrenen
elmismo lugarde suespaio. Portanto, sabiendoque
ladistania es de10Km y laveloidad de100Km/hr
sabe que el tiempo transurrido segun su reloj es de
10/100hr=0.1hs=6minypuedealulareltiempo
transurridosegunelrelojdelse~norX.
t 0
=t=0:99576min=5:97min
Elretraso del relojdelse~norXes entonesde:
(6-5.97) min = 0.03 min = 1.8 s. El tiempo de vuelta
eselmismo,lamisma distania, alamismaveloidad
aunque en sentido ontrarioy la partidade la oina
y la llegada ala asason dos eventos que ourrenen
dospuntosdiferentesdelespaiodelase~noraYyenel
mismo delse~norX,de maneraqueentotal, uandoel
se~norX regresaaasa, surelojhabraretrasado 3.6s.
Ahora,nosetratadequesoloelrelojsehaatrasado,en
realidadeltiempoparaelse~norXmientrasviajabade
idayvuelta hatransurridomas lentamente. Else~nor
Xes3.6smenosviejoquelase~noraY.
Veamosahoraelproblemadesdeelsistemadelse~nor
X. Paranosotrosque noestamosaostumbradosalos
fenomenos relativistas aparentemente aqu habrauna
paradoja. Segunelse~norX, osea desdesuautomovil,
eslase~noraYquiensealejaprimeroydespuesvuelvey
entonesserasurelojelqueseatrasa,portantoella
de-beraser3.6segundomasjoven. Sinembargo,else~nor
X,aostumbradoalarelatividad,noseonfundedeesa
manera. El distingue perfetamente que enel proeso
deiryvolverhanhabidouatroeventos: partidadela
asa,llegadaalaoina,partidadelaoina,llegada
alaasa. Alllegaralaoinaelse~norXhatenidoque
parar queesomoabandonar susistema de referenia
quesemueveonveloidadonstantealejandosedesu
asayalpartirdelaoinahatenidoambiarde
sen-tidodemovimientoqueesomosubirseaotrosistema
que se mueve on la misma veloidad onstante pero
ensentidoontrario. Lase~noraY, enambio,siempre
hapermaneidoensumismo sistemadereferenia. Es
deir, quelasituaiondel se~norXy ladelase~noraY
nosonequivalentes.
Para el se~nor X las osas ourren de la siguiente
manera:
La distania que reorre esta ontrada porque la
arretera esta en movimiento, por tanto la distania
quereorrenoesde10Kmsino:
L 0
=L=0:995710Km=9:957Km
quealaveloidadde100km/hrledemandauntiempo
de:
t 0
= L
0
v
=5:97min
Alregresoourrelomismo,demodoque,segunsu
reloj,elviajeredondolehatomadountiempode11.94
min. Ahora, el sabe -la relatividad es algo otidiano
para el- queeste tiempono esun tiempo propiopara
el porque enrealidadhaambiadodesistema de
refe-renia, en ambio si loes para lase~nora Y, yaque la
partidadelesposoylavueltaaasahanourridoenel
mismo lugar de su sistema dereferenia. Portanto el
puede alulareltiempotransurridosegunelrelojde
lase~noraY:
t= 2t
0
= 11:94
Como vemos, ambos estan de auerdo en que el
se~norXes3.6smenosviejo,nohayningunaparadoja.
Enunosdieza~nos,manteniendoestarutina,else~nor
X llegaraaahorrase maso menosdos horas ymedia
devidarespetoasusedentariase~nora.
Unavionmodernoalanzatranquilamenteuna
velo-idadde864Km/hr=240m/sque,enRelativilandia,
signia unaveloidadde: 0.8 . A esta veloidad, el
oeiente deontraiones:
=0:6
DemaneraqueenRelativilandia,venpasarelavion
notablemente ontrado, al 60%de su longitud en
re-posoylosproesosenelavionnotoriamentemaslentos.
Mientras mayorsea la veloidad de un objeto, los
efetos relativistasson mas evidentes. Cuandov !,
! 0. Entones, el tiempo en el reloj en
movimi-ento tiende a detenerse y su longitud a haerse ero.
Si pudieramosviajaralaveloidaddelaluz eltiempo
se detendra para nosotros y el espaio se ontraera
hasta desapareer. La veloidad de la luz esel lmite
develoidadquepuedealanzarunobjeto.Nadapuede
moversemasrapidoquelaluz.
XII Momento lineal y energa
relativistas
Como vimos,enelmundo relativistaespaioytiempo
onstituyen una unidad inseparable. Ambos
depen-den del estado de movimiento del sistema de
referen-ia. Espaio y tiemposon relativos, pero las leyes de
lameaniasonlasmismasindependientementedel
sis-temadereferenia.
Habamos visto que las euaiones de
transfor-maion de las oordenadasdel espaio- tiempo entre
dossistemasinerialesOy O'(O'moviendoseon
ve-loidadvenladireiondelejeX),sonlassiguientes:
x 0 = x v / t q 1 v 2 / 2 y 0 =y z 0 =z t 0 = t v / x q 1 v 2 / 2
Conviene,poromodidad,designarpor = v
/
ala
veloidad relativaexpresada en unidades de la
veloi-dadde laluz. Consideremosademasuna variaionde
laposiionx,y,z enunintervalodetiempot .
Entones,laseuaionesdetransformaionseran:
x 0 = x t p 1 2 y 0 =y z 0 =z t 0 = t x p 1 2
Sitomamoslosuadradosdelasuatrooordenadas
delespaio-tiemporelativistatenemos:
(x 0 ) 2 = 1 1 2 (x t) 2 = 1 1 2 ((x) 2 + 2 2 (t) 2 2xt) (y 0 ) 2 =(y) 2 (z 0 ) 2 =(z) 2 2 (t 0 ) 2 = 1 1 2 (t x) 2 = 1 1 2 ( 2 (t) 2 + 2 (x) 2 2tx)
Yomprobamosque:
(x 0 ) 2 +(y 0 ) 2 +(z 0 ) 2 2 (t 0 ) 2 =(x) 2 +(y) 2 +(z) 2 2 (t) 2 d
Es deirque la suma de los uadrados de las
omponentes espaiales menos el uadrado de
la omponente temporal es una antidad
inva-riante. Es la misma en ualquier sistema de
referenia. Esta propiedad del espaio - tiempo es
equivalentealapropiedaddelavalidez delteoremade
Pitagorasenelespaiofsioeulidiano.
Tenemospues,unaantidadinvariante,esdeir,
in-dependiente delsistema de refereniaquellamamosla
Sionsideramosunapartulamoviendoseon
velo-idadrespetoalsistemaOytomamosomosistema
O' el sistema jo a la partula, es deir, el sistema
propiode lapartularespeto alualestaen reposo,
tendremosquex'=y'=z'=0. Entones:
(x) 2 +(y) 2 +(z) 2 2 (t) 2 = 2 () 2 (r) 2 2 (t) 2 = 2 () 2
(r) 2 =(x) 2 +(y) 2 +(z) 2 :
A partirdeestaexpresion,podemosdeduirel
mo-mentolinealylaenergarelativistas.
Consideremos una partula moviendose on
velo-idad instantanea respeto aun sistema de
referen-ia O. Sin perder generalidad podemos haer que en
ese instante la partula pase por el origen de O y
quelosrelojes delsistema O yelsistema propiode la
partulaesten sinronizados, esdeir quet
0 =
0 = 0.
Despues de un tiempo t muy peque~no, lo
suiente-mente peque~no omo para onsiderar la veloidad
pratiamenteonstante:
x 2 2 t 2 = 2 2
Figura18. Movimientodeunapartularespetoaun
sistemaOenuntiempopeque~not.
Enesteaso: x=x,y=0,z=0,t=ty=.
Dividiendonuestraexpresiondelainvarianzadela
norma,entre eltiempopropio,tenemos:
x 2 2 2 t 2 2 = 2
y,reordandolarelaionentre tiempopropioytiempo
impropio: = p 1 2 t tenemos,entones: 1 1 2 (( x t ) 2 2 )= 2 1 1 2 (v 2 2 )= 2
Ahorabien, lapartulatiene unamasa m
0 que la
podemos pesar en el su sistema propio donde estaen
reposo. Multipliquemoslaultima expresionporel
ua-dradodelamasa andeintroduir elmomento lineal
p=mv delapartula.
m 2 0 1 2 (v 2 2
)= m 2
0
2
Y,aquvemosqueenelsistemaO,esdeiraquel
res-petoaluallapartulaestaen movimiento, lamasa
es: m= m 0 p 1 2 Entones: m 2 v 2 m 2 2 = m 2 0 2 p 2 m 2 2 = m 2 0 2
Como enel asodel uadrivetorespaio- tiempo
vemosquehemosenontradounuadrivetormomento
del espaio - tiempo que umple la misma propiedad
de onservaionde su norma respeto aualquier
sis-tema de referenia. Sus omponentes espaiales son:
~
p=m~v,esdeirelmomentolinealysuuarta
ompo-nente(omponentetemporal)esp
4 =m.
Lo importante aqu es que la masa de la
partula es una funion de su estado de
movi-miento. La masa en movimiento es mayor que
la masa en reposo. [2℄
Paraenontrar laenerga relativistarazonamosde
lasiguiente manera. Nuestra partulade masaen
re-poso m
0
esta siendo aelerada por la aion de una
fuerza. Supongamos que en el instante t
0
= 0, la
partula esta en reposo (v
0
= 0) y se enuentra en
el origen de nuestro sistema de referenia O, es deir
quex 0 =y 0 =z 0
=0:LafuerzaF tieneladireiondel
ejex.
En un intervalo de tiempo t muy peque~no, la
partulahaadquirido unaveloidadv y portanto su
masarespetoalsistemaOseram= m 0 p 1 2 . Entones,
eneseinstante:
m 2 v 2 m 2 2 = m 2 0 2 m 2 v 2 =(m 2 m 2 0 ) 2 2[℄
Estaarmaionesontrovesial.Nosepuedemedirdiretamentelamasadeunapartulaenmovimiento.Solopodemosmedir
susefetosdinamios,atravesdemedirsumomentolinealysuenerga.Dedonde,sisomosestritos,debemosmasbienonsiderarlas
expresionesrelativistasdelmomentolinealydelaenergaomo:
! p = m 0 ! v p 1 2 E= m 0 2 p 1 2
yonsiderarlamasam0 omounapropiedadinvariantedelapartula,esdeir,igualenualquiersistemadereferenia.
Failmente,deestaseuaiones,seobtienelarelaionentrelaenergaymomentorelativistas:
E 2 =p 2 2 +m 2 0 4
AlrespetoreomendamosonsultarelartulodeNivaldoA.Lemos,\E=m 2
Figura19. Trabajorealizado porunafuerza sobreuna
partula.
EltrabajorealizadoporlafuerzaF esigualala
va-riaionde su energainetia. Iniialmente su energa
inetiaeseroydespuesdeltiempot sera:
E
K =
1
2 mv
2
Sielintervalo detiempoteslosuientemente
pe-que~no,laveloidadvserapeque~naym
= m
0
,entones:
m 2
v 2
=(m+m
0
)(m m
0 )
2
m 2
v 2
=2mm
2
1
2 mv
2
=m
2
E =m
2
De donde hemos enontrado que la energa de la
partulaesigualasumasaporeluadradodela
velo-idaddelaluz,lafamosa euaion de Einstein:
E=m 2
Esteesunodelosmasimportantesdesubrimientos
delateoradelarelatividaddesarrolladaporEinstein.
Nosdiequemasayenergapuedentransformarseuna
en laotra. La masdramatiaomprobaiondeelloes
la bomba atomia. Al dividirse los nuleos (sion
nu-lear)lamasadelaspartesresultantesesmenorquela
del nuleo original,ladifereniade masasseha
trans-formadoenenergaliberadaonterriblesonseuenias
destrutivas.
Finalmente diremos que la uarta omponente
(omponente temporal) del uadrivetor momento
li-neales:
p
4 =
E
En el espaio - tiempo, el momento lineal y la
energaformanunaunidad: eluadrivetormomento.
Refer^enias
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