Modelo complexo Alpha-Mu bivariável

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Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

THIAGO ALENCAR MOREIRA DE BAIRROS

MODELO COMPLEXO ALPHA-MU BIVARIÁVEL

CAMPINAS 2017

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MODELO COMPLEXO ALPHA-MU BIVARIÁVEL

Tese apresentada à Faculdade de Engenha-ria Elétrica e de Computação da Universi-dade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do tí-tulo de DOUTOR EM ENGENHARIA ELÉ-TRICA, na ÁREA de TELECOMUNICA-ÇÕES E TELEMÁTICA.

Orientador: PROF. DR. MICHEL DAOUD YACOUB

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À

VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO THIAGO ALENCAR MO-REIRA DE BAIRROS, E ORIENTADA PELO PROF. DR. MICHEL DAOUD YACOUB.

CAMPINAS 2017

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Rose Meire da Silva - CRB 8/5974

Bairros, Thiago Alencar Moreira de,

B164m BaiModelo complexo Alpha-Mu bivariável / Thiago Alencar Moreira de Bairros. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

BaiOrientador: Michel Daoud Yacoub.

BaiTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

Bai1. Sistemas de comunicação sem fio. 2. Rádio - Transmissores e

transmissão - Desvanecimento. 3. Modelos estatísticos. 4. Ajuste de curvas. 5. Aproximações matemáticas. I. Yacoub, Michel Daoud,1955-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: The bivariate Alpha-Mu complex model Palavras-chave em inglês:

Wireless communication systems

Radio - Transmitters and transmission - Fading Statistical models

Curve fitting

Mathematical approaches

Área de concentração: Telecomunicações e Telemática Titulação: Doutor em Engenharia Elétrica

Banca examinadora:

Michel Daoud Yacoub [Orientador] Carlos Héracles Morais de Lima

Gabriel Fernando Pivaro Leite da Conceição Edson Luiz Ursini

Paulo Cardieri

Data de defesa: 20-02-2017

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

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Candidato: Thiago Alencar Moreira de Bairros RA: 134168 Data da Defesa: 20 de fevereiro de 2017

Título da Tese: “Modelo Complexo Alpha-Mu Bivariável”

Prof. Dr. Michel Daoud Yacoub (Presidente, FEEC/UNICAMP)

Prof. Dr. Carlos Héracles Morais de Lima (UNESP/ Câmpus de São João da Boa Vista) Prof. Dr. Gabriel Fernando Pivaro Leite da Conceição (CRR/INATEL)

Prof. Dr. Edson Luiz Ursini (FT/UNICAMP) Prof. Dr. Paulo Cardieri (FEEC/UNICAMP)

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

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Agradeço,

A Deus por me dar ânimo e força para enfrentar as dificuldades ao longo desta jornada.

Aos meus pais Jorge Bairros e Rosane Bairros , minha irmã Ângela Bairros e as minhas avós Lilia Moreira e Eponina Bairros pelo incentivo e apoio nas horas difíceis. Ao meu orientador, professor Michel Daoud Yacoub pela oportunidade conce-dida e o suporte oferecido para a realização deste trabalho.

Aos meus colegas de Laboratório Wisstek em especial a Gabriel Pivaro, Gus-tavo Tejerina e Rubem Toledo Bergamo pelo apoio prestado e pelo convívio durante estes anos dentro e fora do laboratório.

Aos alunos Marcelo Bertolani Loscilia e Diogo Carvalho de Souza e Silva pelas discussões e sugestões, que também ajudaram a melhorar o trabalho proposto.

À FEEC/UNICAMP por nos proporcionar um bom ambiente de ensino e pes-quisa com uma excelente estrutura.

À CAPES, agência financiadora, pelo suporte financeiro durante todo o pro-grama de doutorado e que contribuiu também para a realização deste trabalho.

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ções, passou daí aos conceitos e terminou com ideias.” (Immanuel Kant)

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Esta tese propõe como contribuição fundamental um modelo de canal complexo 𝛼-𝜇 bi-variável. Tendo como premissa o fato de a não linearidade do meio afetar apenas a en-voltória do sinal, conclui-se que a distribuição de fase de um processo 𝛼-𝜇 é o mesmo de um Nakagami-𝑚. Assim, a partir da distribuição conjunta de envoltória Nakagami-𝑚, um novo processo de quadratura é proposto. O desenvolvimento deste novo processo permite obter novas expressões de forma fechada para a função densidade conjunta envolvendo duas envoltórias e duas fases de dois sinais complexos desvanecidos para o modelo 𝛼-𝜇. São objetos de análise as distribuições resultantes do novo processo quadratura obtido e a distribuição conjunta de fase. Diante da impossibilidade da obtenção de uma expressão fechada para a densidade conjunta exata de fase, uma expressão aproximada, mas fechada, é proposta. Outras análises relacionadas à fase consistem do estudo de desempenho de sistemas de comunicação empregando modulação por deslocamento de fase. Além disso, investiga-se a correlação de fase, em que são efetuadas comparações entre os modelos exato e aproximado. Como subproduto das análises relacionadas à fase, novas identidades matemáticas são obtidas. O modelo proposto é inédito na literatura, abrindo um novo horizonte de pesquisa em que comportamento de envoltórias e fases correlacionadas deve ser considerado.

Palavras-chave: Modelo de desvanecimento Nakagami-𝑚; Modelo de desvanecimento

𝛼-𝜇; Modelo de desvanecimento 𝜂-𝜇; Modelo de desvanecimento; Modelo complexo de

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This thesis proposes as fundamental contribution a bivariate 𝛼-𝜇 complex channel model. Assuming that the non-linearity of the medium affects only the envelope of the signal, it is inferred that the phase distribution of an 𝛼-𝜇 process is the same as that of a Nakagami-𝑚. Therefore, from the joint distribution of a bivariate Nakagami-𝑚 envelope, a new qua-drature process is proposed. The development of this new process allows to obtain new closed-form expressions for the joint density function involving two envelopes and two phases of two faded complex signals for the 𝛼-𝜇. The resulting distributions of the new quadrature process obtained and the joint phase distribution are objects of analysis. Faced with the impossibility of obtaining a closed-form expression for the exact joint density of phase, an approximate but closed-form expression is proposed. Other analyzes rela-ted to the phase consist of the performance study of communication systems employing phase shift modulation. In addition, the phase correlation is investigated, in which com-parisons between the exact and approximate models are carried out. As a byproduct of phase-related analyzes, new mathematical identities are obtained. The proposed model is unprecedented in the literature, opening a new horizon of research, in which behavior of correlated envelopes and phases must be considered.

Keywords: Nakagami-𝑚 fading model; 𝛼-𝜇 fading model; 𝜂-𝜇 fading model; fading mo-del; complex fading model.

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Figura 1 – Representação de um ambiente de comunicação sem fio. . . 28

Figura 2 – Desvanecimento de curto e de longo prazo. Extraída de [1] . . . 29

Figura 3 – Relações entre os diversos modelos do canal [2]. . . 31

Figura 4 – Função de distribuição cumulativa. . . 59

Figura 5 – Função densidade de probabilidade. . . 59

Figura 6 – Relação coeficiente de correlação 𝛿 em função do coeficiente de corre-lação entre Gaussianas 𝜆. . . . 64

Figura 7 – Coeficiente de autocorrelação das componentes em fase (ou em quadra-tura) em função de 𝜔𝐷𝜏 . . . . 65

Figura 8 – Espectro de potência (𝜔𝐷𝑆(𝜔)) em função da frequência normalizada (_𝜔𝜔 𝐷). . . 66

Figura 9 – Função densidade de probabilidade conjunta para 𝜇 = 1 e 𝜆 = 0. . . . . 67

Figura 10 – Função densidade de probabilidade conjunta para 𝜇 = 1 e 𝜆 = 0.5. . . . 67

Figura 11 – Função densidade de probabilidade conjunta para 𝜇 = 2 e 𝜆 = 0. . . . . 68

Figura 12 – Função densidade de probabilidade conjunta para 𝜇 = 2 e 𝜆 = 0.5. . . . 68

Figura 13 – Relação entre 𝛿Θ e 𝜆, para 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . . 96

Figura 14 – Relação entre 𝛿Θ e 𝜆, para 𝜑 = 𝜋₄ 𝑟𝑎𝑑. . . . 96

Figura 15 – Correlação de fase para 𝜇 = 1. . . . 98

Figura 16 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (Exata) para 𝜇 = 1, 𝜆 → 0 e 𝜑 = 0 rad. . . 100

Figura 17 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (Exata) para 𝜇 = 1, 𝜆 = 0.5 e 𝜑 = 0 rad. . . 101

Figura 18 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (Exata) para 𝜇 = 2, 𝜆 → 0 e 𝜑 = 0 rad. . . 101

Figura 19 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (Exata) para 𝜇 = 2, 𝜆 = 0.5 e 𝜑 = 0 rad. . . 102

Figura 20 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (Exata) para 𝜇 = 2, 𝜆 = 0.5 e 𝜑 = 0.5𝜋 rad. . . 102

Figura 21 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (aproximada) para 𝜇 = 1, 𝜆 → 0 e 𝜑 = 0 rad. . . 103

Figura 22 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (aproximada) para 𝜇 = 1, 𝜆 = 0.5 e 𝜑 = 0 rad. . . . 103

Figura 23 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (aproximada) para 𝜇 = 2, 𝜆 → 0 e 𝜑 = 0 rad. . . 104

Figura 24 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (aproximada) para 𝜇 = 2, 𝜆 = 0.5 e 𝜑 = 0 rad. . . . 104

(11)

Figura 26 – Coeficiente de correlação de fase em função de Δ𝜔𝑇 . . . 105 Figura 27 – Coeficiente de correlação de fase em função de 𝜔𝐷𝜏 e 𝜇 = 0.75. . . 106

Figura 28 – Coeficiente de correlação de fase em função de Δ𝜔𝑇 para 𝜇 = 0.75. . . 106 Figura 29 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata) para 𝜇 = 1 e 𝜑 = 0. . . 118 Figura 30 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜇 = 1 e 𝜑 = 0. . . 119 Figura 31 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜇 = 2.25 e 𝜑 = 0. . . . 120 Figura 32 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜆 = 0.1 e 𝜑 = 0. . . 120 Figura 33 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 0. . . 121 Figura 34 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜇 = 1 e 𝜑 = 0. . . . 121 Figura 35 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜇 = 2.25 e 𝜑 = 0. . . 122 Figura 36 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase exata (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜆 = 0.1 e 𝜑 = 0. . . 122 Figura 37 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase exata (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 0. . . 123 Figura 38 – Probabilidade de erro de bit do modelo proposto (FDP exata e

apro-ximada) para 𝜇 = 0.5. . . 125 Figura 39 – Probabilidade de erro de bit do modelo proposto (FDP exata e

apro-ximada) para 𝑀 = 2. . . 126 Figura 41 – Probabilidade de erro de bit do modelo proposto (FDP exata e

apro-ximada) para 𝑀 = 4. . . 126 Figura 42 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para 𝜇 = 1.127 Figura 43 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para

𝜇 = 2.25. . . . 127 Figura 44 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para

𝑀 = 2. . . . 128 Figura 45 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para

𝑀 = 4. . . . 128 Figura 46 – Função densidade de probabilidade da fase para valores fixos de 𝜂 = 0.5

(12)

0.6 e 𝜆 = 0.3. . . 141 Figura 48 – Função densidade de probabilidade da fase para valores fixos de 𝜇𝐸 =

0.6 e 𝜂 = 0.5. . . 141 Figura 49 – Função densidade de probabilidade da fase para valores fixos de 𝜇𝐸 =

0.6 e 𝜂 = 0.5. . . 142 Figura 50 – Função densidade de probabilidade das componentes em fase para 𝜇 =

1 e 𝜆 → 0. . . 158 Figura 51 – Função densidade de probabilidade das componentes em fase para 𝜇 =

1 e 𝜆 = 0.5. . . 159 Figura 52 – Função densidade de probabilidade das componentes em fase para 𝜇 =

2 e 𝜆 = −0.3. . . 162 Figura 59 – Função densidade de probabilidade das componentes em fase para 𝜇 =

2 e 𝜆 = −0.5. . . 163 Figura 60 – Função densidade de probabilidade das componentes em fase para 𝜇 =

2 e 𝜆 = −0.7. . . 163 Figura 61 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 1, 𝜆 → 0

e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 164 Figura 62 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 2, 𝜆 → 0

e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 165 Figura 63 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 4.5,

𝜆 → 0 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 165

Figura 64 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 3, 𝜆 → 0 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 166 Figura 65 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 3, 𝜆 = 0.3

e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 166 Figura 66 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 3, 𝜆 = 0.5

(13)

e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 167

Figura 68 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 3, 𝜆 = −0.3 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 168

Figura 71 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 2, 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 0.25𝜋 𝑟𝑎𝑑. . . . 170

Figura 72 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 2, 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 0.5𝜋 𝑟𝑎𝑑. . . 170

Figura 73 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 2, 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 0.5𝜋 𝑟𝑎𝑑. . . 171

Figura 74 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 2, 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 0.75𝜋 𝑟𝑎𝑑. . . . 171

Figura 75 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase para 𝜇 = 2, 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑. . . 172

Figura 76 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (aproximada) para 𝜇 = 3, 𝜆 → 0 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 173

Figura 77 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (aproximada) para 𝜇 = 3, 𝜆 = 0.3 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . . 173

Figura 80 – Função densidade de probabilidade conjunta de fase (aproximada) para 𝜇 = 3, 𝜆 = −0.3 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . . 175

Figura 83 – Coeficiente de correlação de fase em função de 𝜔𝐷𝜏 . . . 177

Figura 86 – Coeficiente de correlação de fase em função de Δ𝜔𝑇 . . . 178

Figura 89 – Coeficiente de correlação de fase em função de 𝜔𝐷𝜏 e 𝜇 = 0.75. . . 180

(14)

Figura 92 – Coeficiente de correlação de fase em função de 𝜔𝐷𝜏 e 𝜇 = 300. . . 181

Figura 93 – Coeficiente de correlação de fase em função de Δ𝜔𝑇 para 𝜇 = 0.75. . . 182 Figura 94 – Coeficiente de correlação de fase em função de Δ𝜔𝑇 para 𝜇 = 1. . . 182 Figura 95 – Coeficiente de correlação de fase em função de Δ𝜔𝑇 para 𝜇 = 1.5. . . . 183 Figura 96 – Coeficiente de correlação de fase em função de Δ𝜔𝑇 para 𝜇 = 3. . . 183 Figura 97 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜇 = 0.5 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 184 Figura 98 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜇 = 1 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 184 Figura 99 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜇 = 2.25 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 185 Figura 100 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜇 = 3 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 185 Figura 101 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜆 = 0.1 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 186 Figura 102 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 186 Figura 103 – Função densidade de probabilidade da diferença de fase do modelo

proposto (FDP exata e aproximada) para 𝜆 = 0.97 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 187 Figura 104 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜇 = 0.5 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 187 Figura 105 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜇 = 1 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 188 Figura 106 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜇 = 2.25 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 188 Figura 107 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜇 = 3 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 189 Figura 108 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜆 = 0.1 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 189 Figura 109 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜆 = 0.7 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 190 Figura 110 – Função densidade de probabilidade exata da diferença de fase (modelo

proposto e (6.7) ) para 𝜆 = 0.97 e 𝜑 = 0 𝑟𝑎𝑑. . . 190 Figura 111 – Probabilidade de erro de bit do modelo proposto (FDP exata e

apro-ximada) para 𝜇 = 1. . . 191 Figura 113 – Probabilidade de erro de bit do modelo proposto (FDP exata e

(15)

ximada) para 𝜇 = 2.25. . . 192 Figura 115 – Probabilidade de erro de bit do modelo proposto (FDP exata e

apro-ximada) para 𝜇 = 3. . . 193 Figura 116 – Probabilidade de erro de bit do modelo proposto (FDP exata e

apro-ximada) para 𝑀 = 8. . . 195 Figura 120 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para

𝜇 = 0.5. . . 195

Figura 121 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para 𝜇 = 1.196 Figura 122 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para

𝜇 = 1.5. . . 196

Figura 123 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para

𝜇 = 2.25. . . . 197 Figura 124 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para 𝜇 = 3.197 Figura 125 – Probabilidade de erro de bit exata (modelo proposto e (6.24)) para

(16)

BER Bit Error Rate - taxa de erro de bit.

BPSK Binary Phase Shifting Keying - modulação por deslocamento de fase binária.

EGC Equal Gain Combining - sistema de ganho equivalente combinado.

FDC Função de Distribuição Cumulativa. FDP Função Densidade de Probabilidade.

MIMO Multiple-Input Multiple Output - sistema com múltiplas-entradas e múltiplas

saídas.

MRC Maximum Ratio Combining - sistema com máxima taxa combinada.

OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing - multiplexação ortogonal de

frequência.

PLL Phased Locked Loop - sistema de laço fechado.

PSK Phase Shifting Keying - modulação por deslocamento de fase.

RFID Radio Frequency IDentification - sistemas de identificação por rádio

frequên-cia.

RMS Root Mean Square - valor médio quadrático.

SER Symbol Error Rate - taxa de erro de símbolo.

SNR Signal Noise Ratio - relação sinal-ruído.

(17)

𝑆(𝑡) Sinal transmitido.

𝑎 Amplitude do sinal transmitido 𝑆(𝑡).

𝑎𝑖 Amplitude do sinal resultante recebido 𝑆𝑅(𝑡) em função do 𝑖-ésimo

caminho (efeito de multipercurso).

𝑡 Tempo.

𝜃𝑖 Fase do sinal resultante em função do 𝑖-ésimo caminho (efeito de

multipercurso).

𝑛 Número de ondas espalhadas.

𝑆𝑅(𝑡) Sinal resultante recebido no receptor, devido ao efeito de

multi-percurso.

𝑅𝑟𝑎𝑦, 𝑅𝑟𝑎𝑦1, 𝑅𝑟𝑎𝑦2 Envoltória (modelo Rayleigh).

Θ𝑟𝑎𝑦, Θ𝑟𝑎𝑦1, Θ𝑟𝑎𝑦2 Fase (modelo Rayleigh).

𝑋𝐺, 𝑌𝐺 Variáveis aleatórias Gaussianas de média zero e variância 𝜎𝑋2𝐺, 𝜎

2 𝑌𝐺 (componentes em fase e em quadratura do sinal desvanecido).

𝜎𝑋𝐺, 𝜎𝑌𝐺 Desvio padrão das componentes em fase e em quadratura do sinal desvanecido.

𝜎2

𝑟𝑎𝑦, 𝜎𝑟𝑎𝑦12 , 𝜎2𝑟𝑎𝑦2 Variância da envoltória (modelo Rayleigh).

𝐽 Operador Jacobiano.

𝐸[.] Operador esperança (valor esperado).

𝐸[𝑅2

𝑟𝑎𝑦] Média quadrática da envoltória (potência média do sinal

desvane-cido, modelo Rayleigh).

Ω𝑟𝑎𝑦, Ω𝑟𝑎𝑦1, Ω𝑟𝑎𝑦2 Média quadrática da envoltória (potência média do sinal

desvane-cido, modelo Rayleigh).

𝑒0 Onda transmitida sobre o ambiente de comunicação sem fio.

𝐸0 Valor máximo de amplitude do sinal transmitido.

𝜔 Frequência angular (rad/s).

𝜆 Coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias Gaussia-nas.

𝜌𝑟 Coeficiente de correlação de potência entre duas Gaussianas (ou

correlação de envoltória, modelo Rayleigh).

𝛽 Fator de fase (rad/m).

𝑍𝑟𝑖 Deslocamento do objeto em movimento (trajeto).

𝑣𝑚 Velocidade de um objeto em movimento.

(18)

Δ𝜔 Separação em frequência de dois sinais de frequências 𝜔1 e 𝜔2 que

chegam ao receptor.

𝑇 Atraso médio do sinal (Delay Spread).

𝜔𝑖 Frequência Doppler.

𝑒𝑖 𝑖-ésimo sinal que chega na estação móvel.

𝜓 Ângulo de azimute de um sinal incidente sobre a estação móvel.

𝜏 Atraso de propagação do sinal.

𝑇𝑖 Atraso de propagação em função do 𝑖-ésimo percurso.

𝑏𝑖 Ganho complexo (amplitude complexa) do canal em função do

𝑖-ésimo percurso, 𝑖-𝑖-ésimo ângulo de incidência 𝜓𝑖e atraso do 𝑖-ésimo

percurso 𝑇𝑖.

𝑋𝐺1, 𝑌𝐺1, 𝑋𝐺2, 𝑌𝐺2 Variável aleatória Gaussiana (componentes em fase ou em

quadra-tura do sinal desvanecido (modelo Rayleigh).

𝜆1 Covariância entre as componentes em quadratura ou fase

Gaussi-anas.

𝜆2 Covariância entre as componentes fase-quadratura ou

quadratura-fase Gaussianas.

𝑒 Sinal resultante que chega ao receptor (modelo de sinal com atra-sos e deslocamento Doppler).

𝐸0 Amplitude do sinal complexo 𝑒.

𝑄𝑗 𝑗-ésima variável aleatória Gaussiana.

|Δ𝑗𝑘| Cofator do elemento 𝜆𝑟𝑗𝑘 do determinante |Δ𝑟|.

Δ𝑟 Matriz de covariância.

𝐸1, 𝐸2 Amplitude dos sinais desvanecidos 𝑠1(𝑡) e 𝑠2(𝑡).

𝑁𝑁 Variável aleatória complexa Nakagami-𝑚 complexa.

𝑋𝑁 1, 𝑌𝑁 1, 𝑋𝑁 1,

𝑌𝑁 1

Componentes em fase e em quadratura (modelo Nakagami-𝑚).

𝑅𝑁 1, 𝑅𝑁 2, Envoltória (modelo Nakagami-𝑚).

Θ𝑁 1, Θ𝑁 2 Fase (modelo Nakagami-𝑚).

𝑋𝐺𝑘−𝑖, 𝑌𝐺𝑘−𝑖 𝑖-ésima variável aleatória Gaussiana de média nula e variância

Ω_{𝑟𝑎𝑦𝑘−𝑖}

2 de 𝑘-ésima variável aléatória 𝑋𝑁 𝑘, 𝑌𝑁 𝑘, 𝑘 = 1, 2 .

Ω𝑟𝑎𝑦1, Ω𝑟𝑎𝑦2 Potência média de uma envoltória Rayleigh (VA’s identicamente distribuídas).

Ω𝑁 1, Ω𝑁 2 Média quadrática da envoltória (Potência média) de uma VA

Nakagami-𝑚.

I𝑚(.), I𝜇(.), I𝜈(.) Funções de Bessel modificada de primeira espécie e ordens 𝑚, 𝜇 e

(19)

Γ(.) Função Gama.

𝑃𝑁 1, 𝑃𝑁 2 Envoltória normalizada (modelo Nakagami-𝑚).

𝑁𝛼 Variável aleatória complexa (modelo 𝛼-𝜇).

𝑋, 𝑌 , 𝑋1, 𝑌1, 𝑋2,

𝑌2

Componentes em fase ou em quadratura (modelo 𝛼-𝜇).

𝑅, 𝑅1, 𝑅2 Envoltória (modelo 𝛼-𝜇).

𝛼, 𝛼1, 𝛼2 Parâmetro de potência (modelo 𝛼-𝜇).

̂︀

𝑟, ̂︁𝑟1,̂︁𝑟2 𝛼-ésima raiz do valor médio, referente as envoltórias 𝑅, 𝑅1 e 𝑅2.

(modelo 𝛼-𝜇). Θ, Θ1, Θ2 Fase (modelo 𝛼-𝜇).

𝑃 , 𝑃1, 𝑃2 Envoltória normalizada (modelo 𝛼-𝜇).

J₀(.) Função de Bessel de primeiro tipo e ordem zero.

𝑚 Número de clusters de multipercurso (modelo Nakagami-𝑚).

𝜇 Número de clusters de multipercurso (modelo 𝛼-𝜇 e Processo em Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado ).

𝑍, 𝑍1, 𝑍2 Variável aleatória (Processo em Quadratura 𝜇 Tipo I

Correlacio-nado).

𝑃𝑍, 𝑃𝑍1, 𝑃𝑍2 Variável aleatória normalizada(Processo em Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado).

Ω, Ω1, Ω2 Fator de forma (Processo em Quadratura 𝜇 Tipo I

Correlacio-nado).

𝑈 (.) Função degrau unitário.

𝛾 Função Gama incompleta.

sgn(.) Função sinal.

𝐴, 𝐴0 Condições de contorno.

𝛿 Coeficiente de correlação entre as componentes em fase-fase, quadratura-quadratura ou quadratura-fase (Processo em Quadra-tura 𝜇 Tipo I Correlacionado).

𝑆(𝜔) Espectro de potência (Processo em Quadratura 𝜇 Tipo I Correla-cionado).

𝜑 Deslocamento de fase em função dos parâmetros 𝜆1 e 𝜆2 (modelo

Rayleigh e modelo 𝛼-𝜇).

𝛿Θ Coeficiente de correlação de fase.

𝑉 𝐴𝑅(.) Operador variância.

𝐿𝑖𝑠(.) Função Polilogarítmica.

ΔΘ Diferença de fase entre duas variáveis aleatórias Θ1 e Θ2 (modelo

(20)

Polprasert and Ritcey (2008)).

𝑃𝑆 Probabilidade de erro de símbolo ( taxa de erro de símbolo).

𝑃𝐴 Probabilidade de acerto de símbolo (taxa de acerto de símbolo).

𝑃𝑏 Probabilidade de erro de bit (taxa de erro de bit).

𝑀 Índice da modulação por deslocamento de fase (𝑀 -PSK).

𝑅𝐸 Envoltória (modelo 𝜂-𝜇).

Θ𝐸 Fase (modelo 𝜂-𝜇).

𝜇𝐸 Número de clusters de multipercurso dividido por 2 (modelo 𝜂-𝜇).

𝜂 Relação entre potências das componentes em fase e em quadratura do sinal desvanecido (modelo 𝜂-𝜇).

̂︁

𝑟𝐸 Raiz da média quadrática de envoltória E[𝑅2𝐸](modelo 𝜂-𝜇).

𝑃𝐸 Envoltória normalizada (modelo 𝜂-𝜇).

𝑊𝐸, 𝑍𝐸 Variáveis aleatórias (modelo 𝜂-𝜇).

𝜂′ Parâmetro 𝜂 do modelo 𝜂-𝜇 com correlação (𝜂-𝜆-𝜇).

Ω𝑋𝐸, Ω𝑌𝐸 Potência média das componentes em fase ou em quadratura (mo-delo 𝜂-𝜇).

Ω𝐸 Média quadrática da envoltória (potência média) do modelo 𝜂-𝜇.

𝜁(.) Função Zeta de Hurwitz.

𝑓𝑋𝐺,𝑌𝐺(𝑥𝐺, 𝑦𝐺) Função densidade de probabilidade conjunta das componentes em fase e em quadratura do sinal desvanecido (Distribuição Gaussi-ana).

𝑓𝑋𝐺(𝑥𝐺), 𝑓𝑌𝐺(𝑦𝐺) Funções densidade de probabilidade marginais da conjunta das componentes em fase e quadratura do sinal desvanecido (Distri-buição Gaussiana).

𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦,Θ𝑟𝑎𝑦(𝑟𝑟𝑎𝑦, 𝜃𝑟𝑎𝑦) Função densidade de probabilidade conjunta de fase e envoltória (modelo Rayleigh).

𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦(𝑟𝑟𝑎𝑦) Função densidade de probabilidade de envoltória (modelo Ray-leigh).

𝑓Θ𝑟𝑎𝑦(𝜃𝑟𝑎𝑦) Função densidade de probabilidade de fase (modelo Rayleigh).

𝑓 (𝑄1, 𝑄2, ..., 𝑄𝑙) Função densidade de probabilidade conjunta Gaussiana

multiva-riável.

Cov(.) Operador Covariância.

𝑀𝑗 𝑗-ésimo valor médio.

𝑠1(𝑡), 𝑠2(𝑡) Parte real dos sinais complexos 𝑒1(𝑡) e 𝑒2(𝑡) .

𝜎𝑟𝑎𝑦1, 𝜎𝑟𝑎𝑦2 Desvio padrão de envoltória (modelo Rayleigh).

(21)

(𝑥𝐺1, 𝑦𝐺1, 𝑥𝐺2, 𝑦𝐺2) Função densidade de probabilidade conjunta das

compo-nentes em fase e em quadratura do sinal desvanecido (Dis-tribuição Gaussiana multivariável).

𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦1,Θ𝑟𝑎𝑦1,𝑅𝑟𝑎𝑦2,Θ𝑟𝑎𝑦2

(𝑟𝑟𝑎𝑦1, 𝜃𝑟𝑎𝑦1, 𝑟𝑟𝑎𝑦2, 𝜃𝑟𝑎𝑦2) Função densidade de probabilidade conjunta de

fase-envoltória bivariável (modelo Rayleigh).

𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦1,𝑅𝑟𝑎𝑦2(𝑟𝑟𝑎𝑦1, 𝑟𝑟𝑎𝑦2) Função densidade conjunta de envoltória (modelo Ray-leigh).

𝑓Θ𝑟𝑎𝑦1,Θ𝑟𝑎𝑦2(𝜃𝑟𝑎𝑦1, 𝜃𝑟𝑎𝑦2) Função densidade de probabilidade conjunta de fase (mo-delo Rayleigh).

exp(.) Função exponencial.

𝑓𝑋𝑁(𝑥𝑁), 𝑓𝑌𝑁(𝑦𝑁) Função densidade de probailidade das componentes em fase e em quadratura(modelo Nakagami-𝑚).

𝑓𝑋𝑁,𝑌𝑁(𝑥𝑁, 𝑦𝑁) Função densidade de probabilidade conjunta das compo-nentes em fase e em quadratura (modelo Nakagami-𝑚).

𝑓𝑅𝑁,Θ𝑁(𝑟𝑁, 𝜃𝑁) Função densidade de probabilidade conjunta de fase-envoltória (modelo Nakagami-𝑚).

𝑓𝑅𝑁(𝑟𝑁) Função densidade de probabilidade de envoltória (modelo Nakagami-𝑚.

𝑓Θ𝑁(𝜃𝑁) Função densidade de probabilidade de envoltória (modelo Nakagami-𝑚).

𝑓𝑃𝑁,Θ𝑁(𝜌𝑁, 𝜃𝑁) Função densidade de probabilidade conjunta de fase-envoltória normalizada (modelo Nakagami-𝑚).

𝑓𝑃𝑁(𝜌𝑁) Função densidade de probabilidade de envoltória norma-lizada (modelo Nakagami-𝑚).

Ψ𝑅𝑁 1,𝑅𝑁 2(𝑗𝜔𝑠1, 𝜔𝑠2) Função característica bidimensional da FDP

Nakagami-𝑚.

Ψ𝑅𝑟𝑎𝑦1,𝑅𝑟𝑎𝑦2(𝑗𝜔𝑠1, 𝑗𝜔𝑠1) Função característica bidimensional da FDP Rayleigh.

𝑓𝑅𝑁 1,𝑅𝑁 2(𝑟𝑁 1, 𝑟𝑁 2) Função densidade de probabilidade conjunta de envoltória (modelo Nakagami-𝑚).

𝑓𝑃𝑁 1,𝑃𝑁 2(𝜌𝑁 1, 𝜌𝑁 2) Função densidade de probabilidade conjunta de envoltória normalizada (modelo Nakagami-𝑚).

𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) Função densidade de probabilidade conjunta das

(22)

fase e em quadratura (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑅,Θ(𝑟, 𝜃) Função densidade de probabilidade conjunta de

fase-envoltória (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑅(𝑟) Função densidade de probabilidade de envoltória (modelo

𝛼-𝜇).

𝑓Θ(𝜃) Função densidade de probabilidade de fase (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑃,Θ(𝜌, 𝜃) Função densidade de probabilidade conjunta de

fase-envoltória normalizada (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑃(𝜌) Função densidade de probabilidade de envoltória

norma-lizada (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑅1,𝑅2(𝑟1, 𝑟2) Função densidade de probabilidade conjunta de envoltória (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑃1,𝑃2(𝜌1, 𝜌2) Função densidade de probabilidade conjunta de fase nor-malizada (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑍(𝑧) Função densidade de probabilidade da componente em

fase ou em quadratura (Processo Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado).

𝐹𝑍(𝑧) Função de distribuição cumulativa da componente em fase

ou em quadratura (Processo Quadratura 𝜇 Tipo I Corre-lacionado).

𝑓|𝑍1|,|𝑍2|(𝑧1, 𝑧2) Função densidade de probabilidade conjunta do módulo das componentes fase, quadratura-quadratura, fase-fase (Processo Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado). E[𝑍1𝑍2] Correlação entre as VAs 𝑍1, 𝑍2 (Processo Quadratura 𝜇

Tipo I Correlacionado).

E[Θ1Θ2] Correlação de fase (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑋1,𝑋2(𝑥1, 𝑥2), 𝑓𝑌1,𝑌2(𝑦1, 𝑦2) Função densidade de probabilidade conjunta das compo-nentes em fase e das compocompo-nentes em quadratura (modelo

𝛼-𝜇).

𝑓𝑋1,𝑌1,𝑋2,𝑌2(𝑥1, 𝑦1, 𝑥2, 𝑦2) Função densidade de probabilidade conjunta das compo-nentes em fase e quadratura bivariável.

𝑓𝑅1,Θ1,𝑅2,Θ2(𝑟1, 𝜃1, 𝑟2, 𝜃2) Função densidade de probabilidade conjunta fase-envoltória bivariável (modelo 𝛼-𝜇).

(23)

envoltória normalizada bivariável (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑋1,𝑌2(𝑥1, 𝑦2), 𝑓𝑋2,𝑌1(𝑥2, 𝑦1) Função densidade de probabilidade conjunta das compo-nentes fase-quadratura (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓Θ1,Θ2(𝜃1, 𝜃2) Função densidade de probabilidade conjunta de fase (mo-delo 𝛼-𝜇).

𝑓Θ1,Θ2(𝜃1, 𝜃2)𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 Função densidade de probabilidade conjunta de fase apro-ximada (modelo 𝛼-𝜇).

𝑝F𝑞(𝑎1, ..., 𝑎𝑝; 𝑏1, ..., 𝑏𝑞; 𝑥) Função hipergeométrica generalizada. 2𝐹1(., .; .; .) Função hipergeométrica Gaussiana.

𝑓ΔΘ(Δ𝜃) Função da diferença de fase (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓ΔΘ𝑝𝑜𝑙(Δ𝜃𝑝𝑜𝑙) Função da diferença de fase (modelo Polprasert and Rit-cey (2008)).

𝑓ΔΘ(Δ𝜃)𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 Função densidade de probabilidade da diferença de fase

aproximada (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓ΔΘ(Δ𝜃)𝐵𝐸𝑅 Função densidade de probabilidade da diferença de fase

simplificada para o cálculo de erro de bit (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓ΔΘ(Δ𝜃)𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥𝐵𝐸𝑅 Função densidade de probabilidade da diferença de fase

aproximada simplificada para o cálculo da probabilidade de erro de bit (modelo 𝛼-𝜇).

𝑓𝑃𝐸,Θ𝐸(𝜌𝐸, 𝜃𝐸) Função densidade de probabilidade conjunta de fase-envoltória normalizada (modelo 𝜂-𝜇).

𝑓𝑃𝐸(𝜌𝐸) Função densidade de probabilidade de envoltória norma-lizada (modelo 𝜂-𝜇).

𝑓Θ𝐸(𝜃𝐸) Função densidade de probabilidade de fase (modelo 𝜂-𝜇). E[𝑋𝐺𝑖𝑌𝐺𝑖] Correlação entre 𝑖-ésimas componentes Gaussianas.

𝑊𝐺𝑖, 𝑍𝐺𝑖 Processos Gaussianos descorrelacionados.

𝑓𝑋𝐸,𝑌𝐸(𝑥𝐸, 𝑦𝐸) Função densidade de probabilidade conjunta das compo-nentes em fase e em quadratura (modelo 𝜂-𝜇 proposto).

𝑓𝑅𝐸,Θ𝐸(𝑟𝐸, 𝜃𝐸) Função densidade de probabilidade conjunta de envoltória-fase (modelo 𝜂-𝜇 proposto).

𝑓Θ(𝜃)𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 Função densidade de probabilidade aproximada (modelo

(24)

1 Introdução . . . 27 1.1 Contextualização do Tema . . . 27 1.1.1 Introdução às Comunicações Sem Fio . . . 27 1.1.2 Canal de Comunicação . . . 27 1.1.3 Caracterização do Canal de Comunicação Sem Fio . . . 30 1.2 Motivação do Trabalho . . . 31 1.3 Proposta e Contribuições do Trabalho . . . 33 1.4 Estrutura do Trabalho . . . 33 2 Revisitando os Modelos Rayleigh, Nakagami-𝑚 e 𝛼-𝜇 . . . 35 2.1 Introdução . . . 35 2.2 Revisitando a Distribuição Rayleigh . . . 35 2.2.1 Descrição do Modelo . . . 36 2.2.2 Modelo de Sinal Recebido Considerando o Efeito de Atrasos e

Des-locamento Doppler . . . 38 2.2.3 Função Densidade de Probabilidade Conjunta . . . 39 2.2.4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Envoltória . . . . 43 2.2.5 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Fase . . . 44 2.3 Revisitando a Distribuição Nakagami-𝑚 . . . 45 2.3.1 Descrição do Modelo . . . 45 2.3.2 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Envoltória . . . . 48 2.4 Revisitando a Distribuição 𝛼-𝜇 . . . 50 2.4.1 Descrição do Modelo . . . 50 2.4.2 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Envoltória . . . . 53 2.4.3 Distribuição 𝛼-𝜇 e Relação com Outros Modelos de Desvanecimento 54 2.5 Conclusão . . . 55 3 Processo Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado . . . 56 3.1 Introdução . . . 56 3.2 Estatísticas Marginais . . . 57 3.3 Função Densidade de Probabilidade Conjunta . . . 59 3.4 Identidade Matemática . . . 63 3.5 Coeficiente de Correlação das Componentes em Fase ou em Quadratura . . 64 3.6 Coeficiente de Autocorrelação das Componentes de Fase ou em Quadratura 65 3.7 Espectro de Potência . . . 65 3.8 Discussão e Gráficos . . . 66 3.8.1 Função Densidade de Probabilidade Conjunta 𝑍1, 𝑍2 . . . 66

(25)

4 Modelo 𝛼-𝜇 Complexo Bivariável . . . 70 4.1 Introdução . . . 70 4.2 Modelo Sem Correlação Cruzada . . . 70

4.2.1 Função Densidade de Probabilidade Conjunta das Componentes em Fase e em Quadratura Bivariável . . . 71 4.2.2 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Envoltória-Fase

Bivariável . . . 73 4.3 Modelo com Correlação Cruzada . . . 75

4.3.1 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Envoltória-Fase Bivariável . . . 76 4.3.2 Função Densidade de Probabilidade Conjunta das Componentes em

Fase e em Quadratura Bivariável . . . 79 4.3.3 Função Densidade de Probabilidade Conjunta das Componentes em

Fase ou em Quadratura ou Fase-Quadratura Correlacionadas . . . . 81 4.4 Contribuições do Capítulo . . . 84 4.5 Conclusão . . . 84 5 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Fase 𝛼-𝜇 . . . 86 5.1 Introdução . . . 86 5.2 Função Densidade de Probabilidade Exata da Conjunta de Fase . . . 86 5.3 Identidade Matemática . . . 88 5.4 Função Densidade de Probabilidade Aproximada . . . 89 5.5 Coeficiente de Correlação de Fase . . . 94 5.6 Discussão e Gráficos . . . 98 5.6.1 Função Densidade de Probabilidade Exata da Conjunta de Fase . . 98 5.6.2 Função Densidade de Probabilidade da Conjunta de Fase Aproximada 99 5.6.3 Coeficiente de Correlação de Fase . . . 99 5.7 Contribuições do Capítulo . . . 107 5.8 Conclusão . . . 107 6 Função Densidade de Probabilidade da Diferença de Fase . . . 108

6.1 Introdução . . . 108 6.2 Função Densidade de Probabilidade Exata da Diferença de Fase . . . 108 6.3 Função Densidade de Probabilidade Aproximada . . . 111 6.4 Análise Assintótica de Desempenho para Modulações 𝑀 -PSK Através da

Função Densidade de Probabilidade da Diferença de Fase . . . 113 6.5 Simplificação da Probabilidade de Erro de Bit . . . 114 6.6 Identidades Matemáticas . . . 116 6.7 Discussão e Gráficos . . . 118 6.7.1 Função Densidade de Probabilidade da Diferença de Fase . . . 118 6.7.2 Probabilidade de Erro de Bit . . . 124

(26)

6.9 Conclusão . . . 129 7 Aproximação de Fase Processo Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado . . . . 131

7.1 Introdução . . . 131 7.2 Modelo 𝜂-𝜇 . . . 132 7.2.1 Descrição do Modelo . . . 132 7.2.2 Função Densidade de Probabilidade do Modelo 𝜂-𝜇 Formato 1 . . . 132 7.3 Modelo 𝜂-𝜇 a Partir do Processo Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado . . 134

7.3.1 Função Densidade de Probabilidade das Componentes em Fase em Quadratura . . . 134 7.4 Desenvolvimento de Identidades Matemáticas . . . 136 7.5 Função Densidade de Probabilidade Aproximada de Fase . . . 137 7.6 Discussão e Gráficos . . . 140 7.6.1 Função Densidade de Probabilidade de Fase Aproximada . . . 140 7.7 Contribuições do Capítulo . . . 143 7.8 Conclusão . . . 143 8 Conclusões . . . 144

Referências Bibliográficas . . . 146

Apêndices

152

APÊNDICE A Outras Contribuições . . . 153 A.1 Determinação da Variância da Fase da 𝛼 − 𝜇 . . . 153 A.2 Representação do Parâmetro 𝜑, segundo o Modelo de Clarke . . . 154 A.3 Função de Densidade de Probabilidade Aproximada da Fase da 𝛼 − 𝜇

uni-variável . . . 155 APÊNDICE B Resultados . . . 158 B.1 Processo Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado . . . 158 B.1.1 Função Densidade de Probabilidade . . . 158 B.2 Modelo 𝛼-𝜇 Complexo Bivariável . . . 164 B.2.1 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Fase Exata . . . . 164 B.2.2 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Fase Exata -

Aná-lise do Parâmetro 𝜑 . . . 170 B.2.3 Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Fase Aproximada 173 B.3 Correlacao de Fase . . . 177 B.4 Função Densidade de Probabilidade da Diferença de Fase . . . 184 B.5 Probabilidade de Erro de Bit . . . 191

(27)

1 Introdução

1.1 Contextualização do Tema

1.1.1 Introdução às Comunicações Sem Fio

A comunicação é parte integral da ciência que sempre possui foco na troca de informações entre duas partes. O início das comunicações sem fio [3] propriamente dita remonta aos trabalhos de Maxwell (1864) e Hertz (1887) que lançaram a base do nosso entendimento sobre transmissão de ondas eletromagnéticas. Com o passar do tempo, Tesla demonstrou a transmissão da informação através desta onda, dando origem aos primeiros sistemas de comunicação sem fio. Em 1898, Marconi fez as suas primeiras transmissões de ondas de rádio entre um barco para a Ilha de Wright (Inglaterra).

Até a segunda Guerra Mundial, a tecnologia dos sistemas de rádio era quase totalmente dominada pelas instituições militares. Em 1947, os Laboratórios Bell, nos Estados Unidos desenvolveram um sistema telefônico de alta capacidade, interligado por diversas antenas. Cada antena era considerada uma célula e possuía a função de dar cobertura a uma determinada área geográfica dando origem ao Sistema Celular. Estes princípios formam a base da maioria dos sistemas de comunicações sem fio existentes atualmente.

Dentro deste contexto, além da telefonia celular (maior segmento do mercado), existem também as redes de computadores que empregam tecnologias sem fio, as quais levaram a uma mudança significativa nos hábitos de trabalho das pessoas, devido a mo-bilidade. Outras aplicações surgiram como, por exemplo, as redes de sensores sem fio que monitoram fábricas, os enlaces sem fio que substituem os cabos entre os computadores e teclados, os sistemas de posicionamento sem fio que são responsáveis por monitorar a localização de caminhões através de etiquetas (tarjas) de Rádiofrequência (RFID-Radio

Frequency IDentification).

As comunicações sem fio revolucionaram as comunicações nas últimas décadas, não apenas do ponto de vista científico, como também em termos de mercado e sociedade, mudando os hábitos, as formas de comunicação e, consequentemente, melhorando a forma de viver das pessoas.

1.1.2 Canal de Comunicação

Um dos principais desafios dos engenheiros de hoje diante do crescente avanço tecnológico na área das comunicações sem fio é o da caracterização do meio de transmissão

(28)

(canal de comunicação), o qual consiste do caminho que o sinal percorre a partir do transmissor até chegar ao receptor.

O canal de comunicação sem fio é bastante complexo, sendo composto de diversos fenômenos tais como reflexão, difração, espalhamento além da propagação por visada direta [4].

Considerando o sistema de comunicação celular, a reflexão ocorre quando o sinal transmitido (onda eletromagnética) incide sobre uma superfície de dimensões muito maiores que o seu respectivo comprimento de onda como por exemplo prédios, montanhas ou até mesmo a superfície da Terra. A difração ocorre quando o sinal passa através de um orifício ou contorno de um objeto de mesma ordem de grandeza do seu comprimento de onda como carros ou casas. O espalhamento ocorre quando uma onda é obstruída por um corpo de dimensões muito menores que o seu respectivo comprimento de onda como folhas de árvores, placas de sinalização ou até mesmo o pedestres caminhando pela rua.

A Figura 1 ilustra estes fenômenos.

Estação Rádio Base Reflexão Difração Espalhamento Espalhamento Reflexão Estação Móvel Visada direta Difração

Figura 1 – Representação de um ambiente de comunicação sem fio.

O sinal resultante [2] que chega ao receptor é a composição de diversas réplicas dos sinais, os quais percorrem diferentes trajetórias, sofrendo diferentes atrasos decorren-tes dos fenômenos de propagação. Estas réplicas combinam-se vetorialmente de forma construtiva ou destrutiva, dependendo da distribuição das fases dentre as componentes do sinal. Movendo o receptor por uma curta distância pode-se ocorrer uma variação de potência de dezenas de decibéis, pois pequenas mudanças alteram a fase das componentes do sinal. A tais variações dá-se o nome de desvanecimento [5]. O fenômeno de desvaneci-mento classifica-se em dois grupos: curto prazo e longo prazo. O desvanecidesvaneci-mento de longo

(29)

prazo afeta a potência média do sinal para uma dada distância entre o transmissor e o receptor, onde leva-se em conta a média das variações de potência do sinal recebido sobre uma grande área (area-mean) ou uma média local (local-mean). A média das variações de potência dentro de uma grande área corresponde à média efetuada dentro de interva-los espaciais de centenas de comprimentos de onda. A média local corresponde à média efetuada dentro de intervalos espaciais de dezenas de comprimentos de onda.

O desvanecimento de curto prazo considera as variações instantâneas dos pa-râmetros relacionados ao sinal recebido (amplitude, atraso, deslocamento de fase etc). Os principais fatores físicos que influenciam o desvanecimento de curto prazo, são: a propa-gação de multipercurso através da presença de objetos espalhadores e refletores, criando uma mudança constante no ambiente e levando a uma dissipação de energia em ampli-tude, fase e tempo. Estes efeitos resultam em múltiplas versões do sinal transmitido que chegam à antena receptora deslocados em relação ao tempo e espaço. A aleatoriedade de fases e amplitudes dos diferentes componentes de multipercurso causam flutuações na potência do sinal e um dos principais problemas decorrentes destes efeitos nos sistemas de comunicações sem fio é a interferência intersimbólica [6].

A velocidade do objeto devido ao movimento relativo entre a estação rádio base e a estação móvel, ou de objetos ao seu redor, resultam em modulações aleatórias em frequência devido ao deslocamento Doppler de cada um dos componentes de multipercurso [4].

A Figura 2, extraída de [1], a qual foi originalmente adaptada de [5], ilustra o sinal que chega ao receptor, bem como os fenômenos de desvanecimento de curto e de longo prazo, os quais atuam simultaneamente sobre o sinal.

P o tê n c ia r e c e b id a , d B m P o tê n c ia r e c e b id a , d B m

(30)

1.1.3 Caracterização do Canal de Comunicação Sem Fio

Para garantir que um sistema de comunicação sem fio seja projetado de forma correta e posteriormente possa ser simulado, um modelo matemático do canal deve ser construído. O modelo obtido é utilizado para analisar o comportamento do canal de forma analítica ou através de simulação. A modelagem do canal [5] é parte essencial do projeto de um sistema de comunicação e pode-se dizer que é um dos primeiros passos do processo rumo à caracterização do canal. Todo modelo de canal está sempre associado a algumas considerações (premissas). Portanto um modelo físico pode ter diferentes modelos matemáticos, dependendo das considerações assumidas. Estas considerações dependem do tipo de aplicação e do grau de simplificações que podem ser alcançadas com o objetivo de obter-se um modelo confiável, tratável e também implementável.

O canal pode ser modelado como empírico, determinístico ou estocástico [5]. Os modelos empíricos são aqueles construídos a partir da observação e medidas dos pa-râmetros dos canais através de técnicas de sondagem [4]. A precisão destes modelos está associada diretamente à precisão dos equipamentos de medição e da quantidade de medi-das, podendo levar a bons resultados. Podem ocorrer mudanças nas condições adotadas para as medidas de um canal para outro, principalmente devido às variações do próprio canal. Os modelos determinísticos fazem uso de uma completa caracterização física do ca-nal para determinar a relação entre a entrada e a saída através de uma precisa (desejada) expressão matemática (Ex: função de transferência). Os modelos estocásticos ou estatís-ticos consideram o comportamento do canal como uma série de fenômenos aleatórios, os quais são escritos através de variáveis aleatórias. Como consequência, as relações entre entrada e saída são determinadas em função de termos estatísticos.

Em muitas situações encontram-se canais físicos que são melhor representados através da combinação destes modelos [5].

Segundo Pätzold [2], o primeiro passo rumo à caracterização do canal é deter-minar o processo estocástico que melhor representa as características temporais, espaciais e em frequência do canal. Neste contexto, o comportamento real do canal é descrito por processos estocásticos ideais (não-realizáveis) e melhor representados através de modelos de referência (modelos estocásticos) ou modelos analíticos (modelos determinísticos ou estocásticos). O segundo passo consiste do projeto de bons métodos de simulação atra-vés de uma boa plataforma de hardware ou software. O modelo de simulação (modelo determinístico ou estocástico) é comumente derivado do modelo de referência (modelos estatísticos) ou diretamente de dados de campo obtidos através de medições (modelos empíricos). A importância e a utilidade dos modelos de referência e dos modelos de simu-lação é de verificar o quanto as suas propriedades estatísticas podem ser correlacionadas (casadas) com as propriedades estatísticas especificadas ou com o modelo obtido através de medidas de campo.

(31)

A Figura 3 [2] ilustra as relações entre os modelos físicos, estatísticos, deter-minísticos e empíricos.

Canal Físico

Modelo Estocástico

(modelo de referência) Modelo Determinístico

Modelo Empírico

(medidas, especificações)

Figura 3 – Relações entre os diversos modelos do canal [2].

1.2 Motivação do Trabalho

A caracterização do canal de comunicação é dada usualmente em função de parâmetros como ganho e fase, os quais são responsáveis por alterarem os sinais que por ele trafegam. Estes parâmetros são tratados de forma estocástica devido à grande quantidade de fatores que influenciam o fluxo de sinal pelo canal.

O ganho do canal de multipercurso nos sistemas de comunicações sem fio, pode ser representado através de processos como Rayleigh [7], Hoyt [8] e Rice [9]. Mais recente-mente a distribuição Nakagami-𝑚 [10] surgiu e ganhou popularidade pela sua facilidade de tratamento matemático e ajuste a medidas de campo. A distribuição Nakagami-𝑚 per-mitiu aproximar as distribuições Rice e Hoyt e representar de forma exata a distribuição Rayleigh.

O modelo Nakagami-𝑚 foi desenvolvido originalmente apenas em função do ganho do canal, ao contrário das distribuições Rayleigh, Hoyt e Rice, em que suas deduções são baseadas no ganho e na fase do canal. Isto permitiu com que um grande número de possibilidades pudesse ser explorado, visando melhor caracterizar o processo Nakagami-𝑚 como um todo.

Um modelo físico foi proposto para Nakagami-𝑚 em [11], onde a derivada do processo e outras estatísticas como taxa de cruzamento de nível e tempo médio de desvanecimento foram obtidas. Outros modelos de desvanecimento surgiram como por exemplo, 𝛼-𝜇 [12], 𝜅-𝜇 [13], e 𝜂-𝜇 [13], onde a distribuição Nakagami-𝑚 corresponde a casos particulares destes modelos. Inicialmente estes canais foram propostos em termos de suas estatísticas de primeira ordem [12],[13] e posteriormente estatísticas de ordem superior foram investigadas [14],[15].

(32)

Outros resultados surgiram, como por exemplo, correlação, tempo de coerência, distância de coerência [16], [17], porém os avanços nestas pesquisas estavam relacionadas apenas à caracterização de ganho do canal. Diferentemente das distribuições Rayleigh, Hoyt, e Rice, em que os modelos de ganho e de fase são obtidos de forma natural a partir de seus respectivos modelos físicos, isto não ocorre na distribuição Nakagami-𝑚, onde nenhuma informação da fase pode ser obtida a partir do modelo original. Devido a este motivo por muito tempo as estatísticas relacionadas à fase para o modelo Nakagami-𝑚, foram consideradas como uniformemente distribuídas.

Em [18], contrariando esta suposição foi apresentado um modelo de fase para a distribuição Nakagami-𝑚, onde apenas para o caso em que 𝑚 = 1 (Rayleigh) esta condição era válida. Posteriormente, este modelo foi aperfeiçoado em [19], incluindo também o desbalanceamento de potência entre as componentes em fase e em quadratura.

Seguindo este conceito de fase não-uniforme, outros modelos de fase surgiram para as distribuições 𝜂-𝜇 [20] e para 𝜅-𝜇 [21] e posteriormente foram validados em situações práticas [22],[23].

O uso dos modelos considerando o comportamento da fase como sendo não-uniforme [18],[19], vêm encontrando diversas aplicações. Por exemplo, em [24], o desem-penho do canal sobre os sistemas que utilizam multiplexação por divisão ortogonal de frequências (OFDM-Orthogonal Frequency Division Multiplexing) foi investigado. Em [25], a capacidade de canais com múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO-Multiple-Input

Multiple-Output) foi obtida. Em [23], as expressões para a função de distribuição

cumu-lativa de fase e de sua inversa são apresentadas. Em [26]−[30], o desenvolvimento de simuladores foi explorado.

O desenvolvimento de um modelo físico para a distribuição Nakagami-𝑚 pos-sibilitou que estatísticas de ordem superior pudessem ser obtidas [11],[15],[16]. Além de estatísticas como taxa de cruzamento, o tempo médio de desvanecimento, tanto para a envoltória quanto para a fase, os modelos de correlação puderam ser explorados. A distri-buição de fase ou da diferença de fase entre dois ganhos correlacionados para a distridistri-buição Nakagami-𝑚 não é clara e também está sujeita a discussão. Em [31]-[34], consideram que as fases dos sinais são uniformes e são desenvolvidas expressões exatas para as Funções de Distribuição Cumulativa (FDCs) e Funções densidade de probabilidade (FDPs) da diferença de fase entre dois sinais uniformes, bem como, as análises de desempenho de sistemas utilizando modulação por deslocamento de fase (PSK-pulse shifting keying).

Os modelos de correlação possibilitam a determinação de parâmetros impor-tantes do canal como por exemplo tempo, distância e banda de coerência. Estes parâ-metros foram obtidos apenas para o ganho (envoltória) do canal. Segundo [11] e [12], ganho e fase em Nakagami-𝑚 constituem processos independentes, ou seja, os resultados aplicados para a envoltória não necessariamente aplicam-se à fase. Além disso, as

(33)

mo-dulações que fazem uso da informação de fase do canal poderão desempenhar de forma diferente dependendo de como o canal correlaciona-se ao longo do tempo, da distância, ou da freqüência.

Tendo em vista o fato de considerar-se que o fenômeno da não-linearidade afeta apenas a envoltória do sinal, todas as características de fase do modelo

Nakagami-𝑚 aplicam-se diretamente àquela da 𝛼-𝜇.

Dentro deste contexto as análises de comportamento do canal com relação ao comportamento da fase tornam-se necessárias.

1.3 Proposta e Contribuições do Trabalho

O presente trabalho objetiva o desenvolvimento de um modelo de dois sinais complexos 𝛼-𝜇 correlacionados, tendo como resultado uma distribuição conjunta de duas envoltórias e de duas fases. A partir do desenvolvimento do modelo um grande número de outras informações relacionadas ao comportamento da fase são obtidas, como por exemplo: a distribuição conjunta da fase e da diferença de fase, correlação de fase e análise assintótica de desempenho em modulações por deslocamento de fase (PSK-Phase

Shift Keying).

Ao longo da obtenção destas estatíticas são desenvolvidas também aproxima-ções e identidades matemáticas conforme poderão ser vistas adiante.

Pelo que consta ao autor, esta é uma proposta inédita que abre um leque de novos conhecimentos e campos a serem explorados relativamente ao sinal 𝛼-𝜇, unindo as características do modelo 𝛼-𝜇 que possui bons ajustes a medidas de campo, com as características do modelo de fase não-uniforme apresentadas em [18].

1.4 Estrutura do Trabalho

O presente trabalho está estruturado como se segue: O Capítulo 1 fez uma breve introdução sobre a história das comunicações sem fio e sobre as formas de caracteri-zar o canal. O Capítulo 2 revisita alguns conceitos relacionados às distribuições Rayleigh, Nakagami-𝑚 e 𝛼-𝜇, os quais são importantes para o bom entendimento do trabalho. O Capítulo 3 mostra o desenvolvimento da distribuição conjunta das componentes fase ou quadratura denominado de Processo Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado. O Capítulo 4 ilustra o desenvolvimento do modelo de dois sinais complexos 𝛼-𝜇 correlacionados de-nominado de Modelo 𝛼-𝜇 Complexo Bivariável. O Capítulo 5 apresenta as análises do modelo proposto no Capítulo 4 relacionadas à distribuição conjunta de fase, bem como o desenvolvimento de uma aproximação para ela. Também são efetuadas análises relaci-onadas à correlação de fase. O Capítulo 6 mostra as análises do modelo relacirelaci-onadas à

(34)

diferença de fase e ao desempenho em sistemas que utilizam modulação por deslocamento de fase (PSK-Phase Shifting Keying). O Capítulo 7 é um capítulo à parte, e é uma contri-buição adicional deste trabalho, mostrando o desenvolvimento de uma aproximação para a distribuição de fase, obtida a partir do processo Quadratura 𝜇 Tipo I Correlacionado. O Capítulo 8 apresenta as conclusões finais e sugestões para trabalhos futuros. O Apêndice A ilustra algumas contribuições obtidas e não demonstradas ao longo da tese e o Apêndice B apresenta os resultados relacionados ao modelo 𝛼-𝜇.

(35)

2 Revisitando

os

Modelos

Rayleigh,

Nakagami-𝑚 e 𝛼-𝜇

2.1 Introdução

Conforme visto no Capítulo 1, o sinal transmitido através do canal de comuni-cação sem fio percorre diferentes trajetórias até chegar ao receptor e o seu comportamento pode ser modelado através de modelos estocásticos (FDPs). Um grande número de distri-buições descreve as estatísticas dos canais de comunicação sem fio. As distridistri-buições que representam os fenômenos de curto prazo, como por exemplo as distribuições Rayleigh [7], Nakagami-𝑚 [10] e 𝛼-𝜇 [35] são exemplos de distribuições que representam um ambiente de multipercurso sem linha de visada (componente dominante) e introduzem o conceito de cluster de multipercurso. A distribuição Rayleigh considera que o sinal é composto de ondas espalhadas com componentes em fase e em quadratura de média nula e mesma variância [7]. A distribuição Nakagami-𝑚 é composta de vários clusters, onde cada cluster segue o comportamento da distribuição Rayleigh. A distribuição 𝛼-𝜇 consiste de uma dis-tribuição de desvanecimento mais generalizada e considera as características não-lineares do meio de propagação, incluindo as distribuições Rayleigh e Nakagami-𝑚 como casos particulares, além de permitir um melhor ajuste aos dados obtidos experimentalmente. O objetivo deste capítulo é fazer uma revisão destes modelos. Os modelos apresentados e o equacionamento desenvolvido são fundamentais para o bom entendimento dos modelos desenvolvidos ao longo desta tese.

2.2 Revisitando a Distribuição Rayleigh

O modelo Rayleigh considera que as fases das ondas espalhadas são uniforme-mente distribuídas dentro do intervalo [−𝜋, 𝜋), onde as amplitudes e as fases dos sinais desvanecidos são estatisticamente independentes. O objetivo desta seção é apresentar as estatísticas do sinal desvanecido Rayleigh, pois os conceitos servem de base para o bom entendimento dos modelos Nakagami-𝑚 e 𝛼-𝜇, os quais serão apresentados nas Seções 2.3 e 2.4.

(36)

2.2.1 Descrição do Modelo

Considere um sinal transmitido 𝑆(𝑡) variável no tempo 𝑡 [36], com frequência angular 𝜔0 e amplitude 𝑎 representado por

𝑆(𝑡) = 𝑎 exp (𝑗𝜔0𝑡) . (2.1)

Devido aos efeitos de multipercurso, o sinal resultante 𝑆𝑅(𝑡) que chega ao

receptor é composto pela soma de 𝑛 ondas espalhadas, tal que

𝑆𝑅(𝑡) = 𝑛

∑︁

𝑖=1

𝑎𝑖exp (𝑗 (𝜔0𝑡 + 𝜃𝑖)) . (2.2)

onde 𝜃𝑖 e 𝑎𝑖 correspondem respectivamente, à fase e à amplitude do sinal em função do

𝑖-ésimo caminho.

Diante disto, (2.2) torna-se

𝑆𝑅(𝑡) = 𝑅𝑟𝑎𝑦exp (𝑗 (𝜔0𝑡 + Θ𝑟𝑎𝑦)) , (2.3)

onde 𝑅𝑟𝑎𝑦 e Θ𝑅𝑎𝑦, correspondem à envoltória e à fase do sinal resultante.

Expandindo 𝑅𝑟𝑎𝑦exp (𝑗Θ𝑟𝑎𝑦) em 𝑅𝑟𝑎𝑦exp (𝑗Θ𝑟𝑎𝑦) = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎𝑖cos (𝜃𝑖) + 𝑗 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎𝑖sin (𝜃𝑖) , 𝑅𝑟𝑎𝑦exp (𝑗Θ𝑟𝑎𝑦) , 𝑋𝐺+ 𝑗𝑌𝐺 , (2.4) onde 𝑋𝐺 , 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎𝑖cos (𝜃𝑖) , 𝑌𝐺 , 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎𝑖sin (𝜃𝑖) . (2.5)

A fase Θ𝑟𝑎𝑦 e a envoltória 𝑅𝑟𝑎𝑦 do sinal desvanecido são dadas por

𝑅𝑟𝑎𝑦 = |𝑋𝐺+ 𝑗𝑌𝐺| , (2.6)

Θ𝑟𝑎𝑦 = arg(𝑋𝐺+ 𝑗𝑌𝐺), (2.7)

onde 𝑋𝐺 e 𝑌𝐺 correspondem às componentes em fase e em quadratura do sinal

(37)

O quadrado da envoltória 𝑅𝑟𝑎𝑦 é dado respectivamente por

𝑅𝑟𝑎𝑦2 = 𝑋𝐺2+ 𝑌𝐺2 . (2.8)

Como o valor de 𝑛 é muito elevado, os valores de amplitude e de fase são alea-tórios e diante disto 𝑋𝐺e 𝑌𝐺 podem ser representados por variáveis aleatórias Gaussianas

de média nula e variância 𝜎2 𝑋𝐺 = 𝜎

2 𝑌𝐺 = 𝜎

2

𝑅𝑟𝑎𝑦, com FDPs dadas por

𝑓𝑋𝐺(𝑥𝐺) = 1 √ 2𝜋𝜎𝑋𝐺 exp (︃ − 𝑥 2 𝐺 2𝜎2 𝑋𝐺 )︃ , − ∞ < 𝑥𝐺< ∞ , (2.9) 𝑓𝑌𝐺(𝑦𝐺) = 1 √ 2𝜋𝜎𝑌𝐺 exp (︃ − 𝑦 2 𝐺 2𝜎2 𝑌𝐺 )︃ , − ∞ < 𝑦𝐺< ∞ . (2.10)

A FDP conjunta das componentes em fase e em quadratura é dada por

𝑓𝑋𝐺,𝑌𝐺(𝑥𝐺, 𝑦𝐺) = 1 2𝜋𝜎2 𝑅𝑟𝑎𝑦 exp (︃ −𝑥 2 𝐺+ 𝑦2𝐺 2𝜎2 𝑅𝑟𝑎𝑦 )︃ , − ∞ < 𝑥𝐺, 𝑦𝐺 < ∞ . (2.11)

Através do processo estatístico de transformação de variáveis aleatórias [37],

𝑋𝐺 = 𝑅𝑟𝑎𝑦cos Θ𝑟𝑎𝑦 e 𝑌𝐺 = 𝑅𝑟𝑎𝑦sin Θ𝑟𝑎𝑦.

A FDP conjunta de fase e envoltória 𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦,Θ𝑟𝑎𝑦(𝑟𝑟𝑎𝑦, 𝜃𝑟𝑎𝑦) = |𝐽 |𝑓𝑋𝐺,𝑌𝐺(𝑥𝐺, 𝑦𝐺), onde |𝐽 | = 𝑅𝑟𝑎𝑦 corresponde ao módulo do operador Jacobiano 𝐽 .

Após o processo de transformação, a seguinte equação é obtida

𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦,Θ𝑟𝑎𝑦(𝑟𝑟𝑎𝑦, 𝜃𝑟𝑎𝑦) = 𝑟𝑟𝑎𝑦 2𝜋𝜎2 𝑅𝑟𝑎𝑦 exp (︃ − 𝑟 2 𝑟𝑎𝑦 2𝜎2 𝑅𝑟𝑎𝑦 )︃ , 0 6 𝑟𝑟𝑎𝑦 < ∞, − 𝜋 6 𝜃𝑟𝑎𝑦 < 𝜋 . (2.12)

A FDP de envoltória e de fase são determinadas por densidades marginais

𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦(𝑟𝑟𝑎𝑦) = ∫︁ 2𝜋 0 𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦,Θ𝑟𝑎𝑦(𝑟𝑟𝑎𝑦, 𝜃𝑟𝑎𝑦)𝑑𝜃𝑟𝑎𝑦 , (2.13) 𝑓Θ𝑟𝑎𝑦(𝜃𝑟𝑎𝑦) = ∫︁ ∞ 0 𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦,Θ𝑟𝑎𝑦(𝑟𝑟𝑎𝑦, 𝜃𝑟𝑎𝑦)𝑑𝑟𝑟𝑎𝑦 . (2.14) Com isto, obtêm-se as seguintes FDPs:

𝑓𝑅𝑟𝑎𝑦(𝑟𝑟𝑎𝑦) = 𝑟𝑟𝑎𝑦 𝜎2 𝑅𝑟𝑎𝑦 exp (︃ − 𝑟 2 𝑟𝑎𝑦 2𝜎2 𝑅𝑟𝑎𝑦 )︃ , 0 6 𝑟𝑟𝑎𝑦 < ∞ , (2.15) 𝑓Θ𝑟𝑎𝑦(𝜃𝑟𝑎𝑦) = 1 2𝜋 , − 𝜋 6 𝜃𝑟𝑎𝑦 < 𝜋 . (2.16)