Jonathan Mat´ıas Palma Olate
Trade-Off entre norma H-infinito e transmiss˜
oes globais aplicado
a projetos de filtragem atrav´
es da rede.
Campinas 2016
Jonathan Mat´ıas Palma Olate
Trade-Off entre norma H-infinito e transmiss˜
oes globais aplicado
a projetos de filtragem atrav´
es da rede.
Disserta¸c˜ao apresentada `a Faculdade de Engenharia El´etrica
e de Computa¸c˜ao como parte dos requisitos exigidos para a
obten¸c˜ao do t´ıtulo Mestre em Engenharia El´etrica, na ´Area
de Automa¸c˜ao.
Orientador: Prof. Dr. Alim Pedro de Castro Gon¸calves
Este exemplar corresponde `a vers˜ao final da tese defendida pelo aluno Jo-nathan Mat´ıas Palma Olate, e orientada pelo Prof. Dr. Alim Pedro de Castro Gon¸calves
Campinas 2016
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Palma Olate, Jonathan Matias,
P18t PalTrade-Off entre norma H-infinito e transmissões globais aplicado a projetos de filtragem através da rede / Jonathan Matías Palma Olate. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.
PalOrientador: Alim Pedro de Castro Gonçalves.
PalDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Pal1. Teoria de controle. 2. Sistemas lineares. 3. Sistemas estocásticos. 4. Redes de sensores. 5. Arquitetura de redes de computador. I. Gonçalves, Alim Pedro de Castro,1977-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Trade-Off between H-infinity norm and global number of
transmissions applied to filtering design over the network
Palavras-chave em inglês:
Control theory Linear systems Markov processes Wireless sensor network
Architecture of computer networks
Área de concentração: Automação Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica Banca examinadora:
Alim Pedro de Castro Gonçalves [Orientador] André Ricardo Fioravanti
Romis Ribeiro de Faissol Attux
Data de defesa: 12-05-2016
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica
Candidato: Jonathan Mat´ıas Palma Olate RA: 149915 Data da Defesa: 12 de Maio de 2016
T´ıtulo da Tese:“Trade-Off entre norma H-infinito e transmiss˜oes globais aplicado a
pro-jetos de filtragem atrav´es da rede.”.
Prof. Dr. Alim Pedro de Castro Gon¸calves (Presidente, FEEC/UNICAMP)
Prof. Dr. Andr´e Ricardo Fioravanti (FEM/UNICAMP)
Prof. Dr. Romis Ribeiro de Faissol Attux (FEEC/UNICAMP)
A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comiss˜ao Julgadora,
Os agradecimentos do presente trabalho come¸cam muito antes de minha chegada ao Brasil
do Chile. Anos at´e d´ecadas atr´as, a todos os que me apoiaram neste caminho. Os principais
agradecimentos s˜ao para Sara Olate Valdebenito e Bernardita Olate Valdebenito, as pessoas
que mais me ajudaram e forneceram suporte t´ecnico. Ajudando durante toda minha estadia
fora de meu pa´ıs natal. Tamb´em ´e importante mencionar Sergio Mauricio Acu˜na Bravo,
colega, apoderado e amigo, quem durante os anos concedeu incondicional apoio sem nenhum
tipo de questionamento ou pedido de retribui¸c˜ao. De igual forma agrade¸co a C´esar Felipe
Herrera Valenzuela, por mais de uma d´ecada acredita nas coisas que falo.
No desenvolvimento da presente disserta¸c˜ao de mestrado eu agrade¸co pela colabora¸c˜ao
aos coautores dos trabalhos nos quais participei. Em especial a Leonardo de Paula Carvalho,
coautor principal dos trabalhos frutos da presente disserta¸c˜ao, al´em de uma grande amigo.
Da mesma maneira agrade¸co a Christian Eduardo Galarza Morales e Andr´e Marcorin de
Oli-veira, colegas e amigos. Agrade¸co em especial a Cristian Dur´an Fa´undez coautor de v´arios
artigos e orientador de minha gradua¸c˜ao, obrigado pela sua ajuda, e suporte t´ecnico e tempo
desde minha gradua¸c˜ao at´e hoje.
Tamb´em gostaria agradecer a minha fam´ılia pela sua boa acolhida durante as visitas
que realizei no Chile. Colegas com os quais n˜ao trabalhei diretamente nas quest˜oes da
disserta¸c˜ao de mestrado mas ajudaram com dicas e conselhos Gabriela Werner e Matheus
Sousa, companheiros do laborat´orio no per´ıodo em que fiz minha deserta¸c˜ao. Gostaria de
agradecer tamb´em ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico do
Brasil (CNPq) pelo financiamento.
Finalmente, e n˜ao menos importante, agrade¸co a Alim Pedro de Castro Gon¸calves meu
orientador de mestrado. Eu fico muito agradecido por me aceitar como aluno. Al´em de
ori-entar este trabalho durante os dois anos compartilhando de seus conhecimentos em sistemas
O presente trabalho desenvolve em extenso o Trade-Off em sistemas dinˆamicos. Ele
consiste em fazer um intercˆambio entre o desempenho do sistema dinˆamico e uma medida
da utiliza¸c˜ao da rede. O custo a minimizar para a rede corresponde ao valor esperado do
n´umero global de transmiss˜oes, mediante a sele¸c˜ao do n´umero m´aximo de transmiss˜oes por
pacote, em troca da degrada¸c˜ao do rendimento do sistema quantificado pela norma H∞.
Os exemplos apresentados correspondem a projetos de filtros onde os sinais de medidas s˜ao
transmitidos em redes Multi-Hop que implementam o esquema de transporte Hop-by-Hop.
Os filtros utilizados correspondem ao filtro ´otimo H∞ e a filtros baseados em sistemas
su-jeitos a saltos markovianos, os quais fornecem uma solu¸c˜ao otimizada para o problema de
perda de sinais de medida. Finalmente, ´e mostrada uma aplica¸c˜ao do Trade-Off em sistemas
dinˆamicos, na qual s˜ao projetados filtros com maior eficiˆencia energ´etica para a rede.
Abstract
The present work develops a Trade-Off in dynamic systems. It consists of a trade-Off between dynamic system performance and a specific network parameter. The parameter to be minimized in the network is the global expected number of transmissions, which can be reduced by setting the maximum number of packets transmissions, in exchange for a decrease
in the system performance measured by the H∞norm. The presented examples correspond to
a filter project, where the measurements signals are transmitted using a Multi-Hop network,
which implements a Hop-by-Hop transport scheme. The proposed filters are optimal H∞
MJLS, which achieve an optimized performance to the filtering with measurement signal loss. Finally, we consider applications of the proposed techniques to design filters aiming at energy consumption savings.
1. Jonathan M. Palma O, L. D. P. Carvalho, A. P. C. Gon¸calves, C. E. Galarza and A. M. D. Oliveira. “Networked Control Systems Application: Minimization of the global number of interactions, transmissions and receptions in Multi-Hop network using
Discrete-Time Markovian Jump Linear Systems,”. Aceito para publica¸c˜ao na revista
internacional IEEE Latin America Transactions. ISSN: 1548-0992.
2. Jonathan M. Palma O, L. D. P. Carvalho, A. P. C. Gon¸calves, C. E. Galarza and A. M. D. Oliveira. “Application of Control Theory Markov Systems to Minimize the
Number of Transmissions in a Multi-hop Network1,”. Publicado em Computer Aided
System Engineering (APCASE), 2015 Asia-Pacific Conference Em, Quito Equador,
2015. P´aginas 296-301. doi: 10.1109/APCASE.2015.59.
3. Jonathan M. Palma O, L. D. P. Carvalho, A. M. de Oliveira, A. P. C. Gon¸calves, C. Duran-Faundez. “Minimizing the Number of Transmissions in a Multi-Hop Network for the Dynamical System Filtering Problem and the impact on the mean square
er-ror”. Publicado em XII Simp´osio Brasileiro de Automa¸c˜ao Inteligente (SBAI). Em
Natal–RN Brasil, 25 a 28 de outubro de 2015. P´aginas 1484–1489.
4. Jonathan M. Palma O, L. D. P. Carvalho, A. P. C. Gon¸calves. “An Approach to Energy Efficiency in a Multi-Hop Network Control System through a Trade-Off between
H∞ Norm and Global Number of Transmissions”. Apresentado em Oitavo Encontro
dos Alunos e Docentes do Departamento de Engenharia de Computa¸c˜ao e Automa¸c˜ao
Industrial. Em campinas SP Brazil, 10 e 11 de Setembro 2015.
1Artigo eleito entre os 10 melhores trabalhos da conferˆencia Asia-Pacific conference Computer Aided
1 Introdu¸c˜ao 12
1.1 Apresenta¸c˜ao da Disserta¸c˜ao . . . 14
2 Transmiss˜ao de imagens e controle atrav´es da rede 16 2.1 Proposta de Trade-Off em sistemas dinˆamicos. . . 19
3 Marco Te´orico 21 3.1 Sistemas lineares com saltos markovianos . . . 21
3.1.1 Sistema em espa¸co de estados e estabilidade . . . 22
3.1.2 Norma H∞ em MJLS . . . 22
3.1.3 Projeto de filtro em MJLS . . . 23
3.1.4 Filtro ´Otimo H∞ com conhecimento parcial modo . . . 25
3.1.5 Alternativas para cadeias de tipo Bernoulli . . . 26
3.1.6 Filtros Cl´assico e H´ıbrido em sistemas com faia no sinais de medida . 28 3.2 Redes Hop-by-Hop em sistemas com falhas do tipo Bernoulli . . . 32
3.2.1 Modelo estoc´astico Hop-by-Hop . . . 33
3.2.2 Conceitos b´asicos do consumo de energia em unidades WSN . . . 37
4 Problema de filtragem atrav´es da rede 39 4.1 Sistemas de controle em redes Multi-Hop . . . 40
4.2 Projeto de filtro em redes com perda de pacotes e atraso . . . 41
4.2.1 Modelo da falha da rede . . . 44
4.2.2 Estabilidade do erro de estima¸c˜ao . . . 45
4.3 Medidas de desempenho . . . 47
4.3.1 Degrada¸c˜ao da norma H∞ . . . 47
4.3.2 C´alculo da degrada¸c˜ao da norma via simula¸c˜ao . . . 48
4.3.3 Decremento do valor esperado das intera¸c˜oes globais da rede . . . 48
4.3.4 M´etricas para o Trade-Off . . . 49
5 Trade-Off em sistemas dinˆamicos: estabilidade e degrada¸c˜ao da norma 51 5.1 Degrada¸c˜ao da norma para sistemas inst´aveis . . . 53
5.1.1 Degrada¸c˜ao da norma H∞ do erro estima¸c˜ao em sistemas inst´aveis . . 54
5.1.2 Sistemas sem atraso . . . 55
5.1.3 Sistemas com atraso . . . 56
5.2 Degrada¸c˜ao da norma para sistemas est´aveis . . . 57
5.2.1 Degrada¸c˜ao da norma conforme o conhecimento do modo . . . 58
5.2.2 Filtro independente do modo . . . 60
5.3 N´umero m´ınimo de transmiss˜oes . . . 61
5.3.1 M´ınimo valor de transmiss˜oes por pacote LF . . . 61
6.1 Varia¸c˜ao das medidas de desempenho . . . 64
6.1.1 Varia¸c˜ao das medidas em sistemas inst´aveis . . . 65
6.1.2 Varia¸c˜ao das medidas em sistemas est´aveis . . . 66
6.2 Impacto no erro quadr´atico m´edio e desvio padr˜ao pela limita¸c˜ao de L . . . 69
6.2.1 Comportamento do Erro . . . 72
6.2.2 Trade-Off Φ e ϕF B . . . 74
6.3 Resumo do cap´ıtulo . . . 75
7 Trade-Off em sistemas dinˆamicos aplicado a eficiˆencia energ´etica em redes sem fio 77 7.1 Projeto de Filtro com eficiˆencia energ´etica . . . 77
7.1.1 Parˆametros do sistema dinˆamico . . . 78
7.1.2 Parˆametros de Rede . . . 79
7.2 Proposta de modelo te´orico de consumo de energia para WSN . . . 79
7.3 Proposta de solu¸c˜ao . . . 81
7.3.1 Parˆametros gerais dos projetos . . . 82
7.4 Resultados dos projetos . . . 83
7.4.1 Projeto A . . . 83
7.4.2 Projeto B . . . 84
7.4.3 Conclus˜ao geral dos projetos de filtros . . . 86
8 Conclus˜ao e trabalhos futuros 87 8.1 Trabalhos futuros e perspectivas . . . 88
Bibliografia 90
Cap´ıtulo 1
Introdu¸
c˜
ao
Desde o s´eculo passado, um grande conjunto de medidas e sinais utilizados em tarefas de
controle e filtragem de sistemas dinˆamicos ´e transmitido atrav´es de redes digitais, por v´arias
raz˜oes tais como: flexibilidade, custo, robustez, distˆancia entre os elementos, entre outros
fa-tores. Nas primeiras solu¸c˜oes apresentadas pelos fabricantes de dispositivos para automa¸c˜ao
industrial na d´ecada de 70 do s´eculo passado, ´e poss´ıvel encontrar redes com fio simples,
como Modbus por Schneider Electric em 1979 [19] e PROFIBUS por Johan Sartwish
Wil-man em 1987 [57]. Estas primeiras redes digitais s´o administravam um conjunto limitado de
atuadores e sensores, mas foi a primeira mudan¸ca em rela¸c˜ao aos la¸cos de controles
exclusi-vamente anal´ogicos, onde cada unidade, sensor e atuador, possui um cabo para o sinal e um
cabo de terra, para uma rede em bus. No final do s´eculo passado, desde grandes at´e pequenas
ind´ustrias possu´ıam centenas, at´e milhares de la¸cos de controle. Para cumprir estes novos
requisitos, os fabricantes de dispositivos industriais desenvolveram a Ethernet industrial, po-dendo ser citada especificamente a SIMATIC NET descrita em [20], uma rede cabeada de
alto rendimento que ´e capaz de administrar um grande conjunto de controladores, atuadores
e sensores. Este padr˜ao de comunica¸c˜ao solucionou variados problemas da ind´ustria, sendo
uma tecnologia baseada na Ethernet dom´estica, cuja utilidade ficou demonstrada na d´ecada
de 1990 com a massifica¸c˜ao da Internet.
No princ´ıpio do presente s´eculo, uma tecnologia ganhou for¸ca e popularizou-se em aplica¸c˜oes
dom´esticas e comerciais: as redes sem fio, Wireless Networks, que fazem uso do espa¸co
li-vre como canal tendo como vantagens uma maior flexibilidade e baixo custo. N˜ao passou
muito tempo para que os fabricantes de dispositivos industriais vissem poss´ıveis aplica¸c˜oes na
ind´ustria, com as quais forneceriam solu¸c˜oes sem fio para diversos problemas. Essas
primei-ras solu¸c˜oes foram para plantas onde a distˆancia entre os elementos fosse tal que a utiliza¸c˜ao
de canais de comunica¸c˜ao guiados tivesse custo muito elevado ou fosse invi´avel pelo ambiente
(terreno): um exemplo ´e o controle de n´ıvel para tanques distantes. As solu¸c˜oes sem fio para
a ind´ustria, fornecidas pelos diferentes fabricantes, em grande parte s˜ao baseadas em
padr˜oes de comunica¸c˜ao otimizados para tarefas de controle implementados atualmente s˜ao:
WirelessHART [56] e ZigBee/IEEE 802.15.4 [1]. Os padr˜oes de comunica¸c˜ao mencionados
oferecem solu¸c˜oes, desde comunica¸c˜ao ponto a ponto at´e redes complexas com inteligˆencia,
que podem detectar falhas possuindo tamb´em a capacidade de reorganizar-se, gerando novas
rotas, corrigindo os problemas e garantindo a entrega dos dados no destino. Estas
tecnolo-gias e padr˜oes de comunica¸c˜ao fornecem o marco te´orico de WSNs, do inglˆes Wireless Sensor
Networks, redes sem fio de sensores. As primeiras aplica¸c˜oes de WSNs na d´ecada passada
tiveram um grande impacto. Essas redes de sensores sem fio foram eleitas pelo MIT
(Mas-sachusetts Institute of Technology) como uma das dez tecnologias que mudar˜ao o mundo no
futuro [41]. As WSN s˜ao temas atuais de pesquisas de cientistas, engenheiros e pensadores
onde suas poss´ıveis aplica¸c˜oes s˜ao no desenvolvimento de smart dust, p´o inteligente, que
consiste em redes min´usculas de robˆos ou dispositivos, e as solu¸c˜oes propostas na literatura
para comunica¸c˜ao nestas redes s˜ao mediante WSN por suas caracter´ısticas de simplicidade
e consumo de energia [35, 55, 37].
Os dados utilizados em tarefas de controle precisam ser transmitidos por uma rede com
alta qualidade de servi¸co. Mas at´e uma rede com alta qualidade de servi¸co pode ter
proble-mas pelo aumento da quantidade de informa¸c˜ao dos la¸cos de controle que s˜ao gerenciados nos
complexos industriais modernos. Os problemas causados pelo alto tr´afico de dados, como
perda de informa¸c˜ao, congestionamento da rede, atraso nos pacotes, satura¸c˜ao dos Buffers,
entre outros, podem ter um impacto negativo, degradando a qualidade de servi¸co da rede
que transporta os sinais de controle. Os efeitos n˜ao desejados pela utiliza¸c˜ao de redes digitais
para controle de sistemas dinˆamicos devem ser contemplados como parˆametros de projeto,
n˜ao s´o para garantir o desempenho projetado, mas tamb´em para garantir sua estabilidade,
pois esses problemas provocados pelas redes podem levar at´e `a instabilidade dos sistemas.
Isso abriu uma nova ´area de pesquisa, o controle atrav´es de redes de computadores, do inglˆes
Network Control System [34], na qual os pesquisadores desenvolvem novas t´ecnicas de
con-trole procurando obter solu¸c˜oes otimizadas para os problemas de controle embarcados em
redes digitais. Na literatura, ´e poss´ıvel encontrar um conjunto de problemas para os quais se
tem solu¸c˜oes ´otimas. H´a outro grande conjunto de problemas cujas solu¸c˜oes s˜ao sub´otimas
ou cujas restri¸c˜oes s˜ao apenas suficientes. Ademais, tem-se um conjunto de problemas ainda
abertos, `a espera de solu¸c˜oes [27].
O controle atrav´es da rede abriu novas perspetivas na busca por uma melhor adequa¸c˜ao
dos projetos de controle `as limita¸c˜oes das redes. Um exemplo ´e o controle-auto acionado,
em que o instante da execu¸c˜ao da a¸c˜ao de controle ´e selecionado pelos controladores [53].
Especificamente, o controle auto-acionado e outros controladores na literatura de controle
em redes de computadores n˜ao interagem com a rede. Sem intera¸c˜ao entre o controlador e a
limita¸c˜oes pr´aticas podem ser: tempo de acesso ao canal determin´ıstico, intervalo de atraso
m´aximo por pacote ou limite de taxa de perda de pacote, requeridos pelo controlador, que
as redes podem ser capazes de satisfazer, mas com alto consumo de recursos, como excessiva
utiliza¸c˜ao da mem´oria, elevado consumo energ´etico e alta utiliza¸c˜ao do canal. Para redes sem
fio, o alto consumo de recursos ´e particularmente indesejado, pois prejudica sua autonomia.
As propostas do presente trabalho s˜ao um desenvolvimento mais detalhado do problema
de Trade-Off em sistemas dinˆamicos formulado em [43] e [45]. Ele consiste em fazer um
intercˆambio entre o desempenho para o sistema dinˆamico e um parˆametro relacionado com
a utiliza¸c˜ao da rede. O custo a minimizar para a rede corresponde ao valor esperado do
n´umero global de transmiss˜oes, em troca da queda no rendimento do sistema, quantificada
pela norma H∞. Projetos de controle como este Trade-Off em sistemas dinˆamicos podem
ser extremamente importantes para problemas atuais na ind´ustria e nas futuras Cidades
Inteligentes, Smart Cities [5, 51]. Uma Cidade Inteligente ´e um ecossistema onde todos
os recursos: ´agua, energia, calor, entre outros, ser˜ao consumidos da forma mais otimizada
poss´ıvel, al´em de se minimizar a gera¸c˜ao de res´ıduos e garantir seguran¸ca e alta qualidade
de vida para os cidad˜aos. A maneira de realizar tal projeto ´e automatizando os processos,
possivelmente atrav´es de milhares de sensores e atuadores, os quais trabalhar˜ao em uma ´area
geogr´afica reduzida, sendo muitos deles baseados em redes sem fio. Administrar este grande
conjunto de la¸cos de controle em ambientes como uma ind´ustria j´a ´e uma tarefa complexa.
Realizar esse intento em ambientes n˜ao controlados como uma cidade inteligente, onde pode
haver at´e milh˜oes de sensores e atuadores concentrados, pode ser uma tarefa muito complexa
ou at´e invi´avel, com os modelos cl´assicos de controle. Modelos de controle como o Trade-Off
em sistemas dinˆamicos podem ser uma solu¸c˜ao vi´avel para ajudar a gerenciar os la¸cos de
controle nas Smart Cities. O presente trabalho procura ser uma contribui¸c˜ao ao controle em
redes de computador com o desenvolvimento de um novo enfoque baseado no problema de
transmiss˜ao de imagens em redes de sensores sem fio, onde mediante a utiliza¸c˜ao de redes
semi-confi´aveis, do inglˆes semi-reliable, s˜ao minimizados crit´erios de interesse para a rede e
garantido tamb´em um n´ıvel de rendimento aceit´avel para o sistema dinˆamico. Este enfoque
´
e estudado para problemas de filtragem nos quais os sinais de controle s˜ao transmitidos por
uma rede Multi-Hop que implementa como mecanismo de confiabilidade o esquema Hop-by-Hop.
1.1
Apresenta¸
c˜
ao da Disserta¸
c˜
ao
A presente disserta¸c˜ao est´a dividida em oito cap´ıtulos. Este primeiro cap´ıtulo conceituou o
leitor na ´area tem´atica do trabalho. Al´em disso, ele introduz os conceitos de controle atrav´es
de redes de computador e o tema principal desenvolvido no presente trabalho: o Trade-Off
O segundo cap´ıtulo faz uma analogia entre o problema de transmiss˜ao de imagens em
redes de sensores sem fio e o controle de sistemas dinˆamicos atrav´es da rede. ´E feita uma
analogia entre o problema de transmiss˜ao de imagens e os problemas de controle de sistemas
dinˆamicos. Finamente, mostra o problema de Trade-Off em sistemas dinˆamicos, que ´e
inspirado no marco te´orico de transmiss˜ao de imagens atrav´es de redes de sensores.
O terceiro cap´ıtulo, Marco Te´orico, que apresenta as ferramentas te´oricas para o problema
de Trade-Off em sistemas dinˆamicos, ´e dividido em duas partes. A primeira ´e uma revis˜ao
dos sistemas dinˆamicos sujeitos a saltos markovianos, com os quais tem-se a possibilidade
de realizar projetos de controle otimizados para sistemas sujeitos `a perda de informa¸c˜ao das
medidas pela rede. A segunda parte mostra os conceitos de redes de computador
fundamen-tais para o presente trabalho. S˜ao apresentados o esquema de transporte Hop-by-Hop e os
conceitos fundamentais do consumo de energia em redes WSN.
O quarto cap´ıtulo, Filtragem Atrav´es da Rede, formaliza o caso de estudo que corresponde
a projetos de filtros que otimizam a norma H∞ do erro de estima¸c˜ao. Este cap´ıtulo mostra
o modelo de falha da rede al´em da modelagem para o atraso. Tamb´em s˜ao formalizadas as
medidas de desempenho utilizadas para quantificar as melhorias para a rede e a degrada¸c˜ao
do rendimento do filtro.
O quinto cap´ıtulo, Trade-Off em Sistemas Dinˆamicos: Estabilidade e Degrada¸c˜ao da
Norma, mostra as quest˜oes mais importantes da estabilidade e da degrada¸c˜ao da norma H∞
do erro de estima¸c˜ao para filtros projetados por m´etodos cl´assicos e pela teoria de sistemas
com saltos markovianos. Neste cap´ıtulo, define-se o sistema dinˆamico utilizado de exemplo
para os testes, o pˆendulo invertido rotacional, tamb´em chamado pˆendulo de Furuta.
O cap´ıtulo seis aprofunda a an´alise do Trade-Off de sistemas dinˆamicos mostrando em
detalhe as varia¸c˜oes das medidas de desempenho ao limitar o n´umero m´aximo de transmiss˜oes
por pacote em redes que implementam o esquema Hop-by-Hop. Outro resultado importante ´
e o impacto no erro quadr´atico m´edio ao limitar o n´umero m´aximo de transmiss˜oes.
O cap´ıtulo sete formula o problema do Trade-Off em sistemas dinˆamicos como um
pro-blema de otimiza¸c˜ao baseado em trˆes restri¸c˜oes obtidas em fun¸c˜ao das an´alises dos cap´ıtulos
anteriores. S˜ao dados dois exemplos de projetos de filtros que procuram trazer economias
energ´eticas para a rede. Outro resultado importante corresponde ao modelo de energia
proposto para unidades WSN utilizadas nos exemplos.
Por ´ultimo, no cap´ıtulo oito, tem-se as conclus˜oes mais importantes dos resultados
desen-volvidos no presente trabalho e perspectivas para trabalhos futuros enfatizando os problemas ainda em aberto.
Cap´ıtulo 2
Transmiss˜
ao de imagens e controle
atrav´
es da rede
O transporte de informa¸c˜ao em redes digitais apresenta vantagens em termos de
flexibili-dade, custo, escalabiliflexibili-dade, entre outros, mas possui limita¸c˜oes de desempenho intr´ınsecas a
canais reais. Em especial, o transporte de informa¸c˜ao tem um custo em tempo e uma
pro-babilidade de erro que varia conforme a rede. Minimizar a propro-babilidade de erro mediante
retransmiss˜oes pode garantir uma comunica¸c˜ao confi´avel (Full-reliable), mas tem repercuss˜ao
no atraso m´edio por pacote, al´em de poss´ıveis problemas de congestionamento e consumo
excessivo de recursos. As hip´oteses te´oricas cl´assicas em sistemas de controle s˜ao feitas
su-pondo que os canais de comunica¸c˜ao s˜ao ideais, sem perda e sem atraso. Efeitos indesejados,
como o da perda de informa¸c˜ao ou atraso s˜ao desprezados e, dessa forma, suas consequˆencias
em termos de desempenho e at´e mesmo de estabilidade n˜ao podem ser previstas. Por´em, na
atualidade, os sistemas de controle tˆem migrado para redes digitais, muitas das quais s˜ao
redes n˜ao exclusivas de controle. Os efeitos indesejados provocados pela utiliza¸c˜ao de redes
de computadores podem ser considerados como parˆametros de projeto no chamado controle
atrav´es de redes de computador, do inglˆes, Networked Control Systems (NCS), cujo objetivo
´
e considerar tais efeitos, procurando obter solu¸c˜oes otimizadas ao se combinar a teoria de
controle cl´assico com a de telecomunica¸c˜oes. Os fenˆomenos relacionados com controle em
redes de computador podem ser divididos em: atraso, perda de informa¸c˜oes, amostragem
n˜ao peri´odica e projetos de controle atrav´es de redes de computadores [34].
O problema da perda de informa¸c˜ao em redes digitais pode ser solucionado pela camada
de transporte que, atrav´es de um algoritmo de corre¸c˜ao de dados e retransmiss˜oes dos
pa-cotes, garanta a entrega dos dados ao destino em uma comunica¸c˜ao confi´avel (Full-reliable).
Para problemas onde o tempo de atraso de entrega dos dados n˜ao ´e relevante, as
retrans-miss˜oes garantem uma solu¸c˜ao. Para os problemas de controle, entretanto, o tempo de
atraso ´e uma vari´avel de grande interesse. N˜ao garantir uma comunica¸c˜ao confi´avel
de atraso m´edio por pacote e parˆametros de consumo de recursos para a rede, pois a perda de pacotes significa menor fluxo de dados. Estes problemas podem causar instabilidade e/ou
degrada¸c˜ao do desempenho, mas com o uso de redes de alta qualidade de servi¸co ´e poss´ıvel
desprezar tais efeitos para diversos sistemas, especialmente aqueles de dinˆamica lenta.
Re-des de controle exclusivas, como Industrial Ethernet, s˜ao redes com alta qualidade de servi¸co
em que os controladores s˜ao projetados sem contemplar os efeitos da rede. Garantir
comu-nica¸c˜ao sem perda (Full-reliable) pode ser uma tarefa complexa para um grande conjunto
de redes, como as redes sem fio Low Rate Wireless Personal Area Network (LR-WPANs). Estas tecnologias enfatizam a autonomia das unidades e, como exemplo, pode-se citar as
WSNs que s˜ao as redes de sensores sem fio, do inglˆes, Wireless Sensor Networks, baseadas
no padr˜ao IEEE 802.15.4, que tˆem um rendimento menor em rela¸c˜ao a outras redes que
utilizam a mesma banda como IEEE 802.11b (WIFI) e IEEE 802.15.1 (Bluetooth) [2], mas
sua autonomia energ´etica e o n´umero de unidades poss´ıveis nas redes ´e maior que nas demais.
A degrada¸c˜ao do rendimento da aplica¸c˜ao pela perda de informa¸c˜ao no transporte dos
pacotes pelas redes digitais n˜ao ´e exclusiva do controle de sistema dinˆamicos. A transmiss˜ao
de imagens ´e tamb´em problem´atica, pois a falta de garantia de uma comunica¸c˜ao Full-reliable
pode causar grandes problemas da mesma forma que no controle de sistema dinˆamicos. A
transmiss˜ao de imagens consiste em um processo no qual a imagem original ´e subdividida em
fragmentos, permitindo transmitir pacotes menores pela rede sendo que cada pacote cont´em
uma parte da imagem original. Se n˜ao for garantida a entrega de todos os pacotes, a imagem
reconstru´ıda apresentar´a partes sem informa¸c˜ao, na forma de buracos brancos. Os espa¸cos
em branco podem significar a perda da informa¸c˜ao ´util da imagem. Analogamente, para o
caso do controle de sistemas dinˆamicos, a perda de pacotes pode levar `a pior das situa¸c˜oes
para um sistema de controle, que ´e a instabilidade. A Figura 2.1 exemplifica estas situa¸c˜oes:
a Figura 2.1a mostra a imagem reconstru´ıda de maneira ´otima sem perda de informa¸c˜ao;
analogamente, a Figura 2.1b mostra o erro quadr´atico m´edio e seu desvio padr˜ao para um
sistema de controle sem perda de informa¸c˜ao. Os poss´ıveis cen´arios para comunica¸c˜ao n˜ao
confi´avel para os problemas de imagens e controle s˜ao: para os problemas de imagens a
Figura 2.1c exp˜oe a mesma imagem reconstru´ıda mas com perda de pacotes pela rede, para
um problema de reconhecimento de rosto a imagem pode ser in´util. Para o controle de
sistemas, a Figura 2.1d que corresponde ao mesmo sistema dinˆamico, mas com perda de
informa¸c˜ao na rede de comunica¸c˜ao, provocando a divergˆencia do erro quadr´atico m´edio e
de seu desvio padr˜ao tornando o sistema inst´avel.
O maior desempenho, tanto para controle de sistemas dinˆamicos, como para a
trans-miss˜ao de imagens, corresponde a implementa¸c˜oes em comunica¸c˜ao full-reliable. A
trans-miss˜ao de imagens ´e uma tarefa popular em redes de sensores sem fio (WSN), mas garantir
(a) 0 5 10 15 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t(s) error 2 ± σ (b) (c) 0 5 10 15 −1 0 1 2 3 4 t(s) error 2± σ (d)
Figura 2.1: Transmiss˜ao de imagem e Controle de sistemas dinˆamicos poss´ıveis cen´arios.
n´umero excessivo de retransmiss˜oes e pelo limitado poder de computa¸c˜ao e de mem´oria das
unidades. N˜ao garantir comunica¸c˜ao full-reliable, sem perda, na transmiss˜ao de imagens
pode provocar a perda da informa¸c˜ao ´util, como no exemplo anterior. Os efeitos da perda
de pacotes na transmiss˜ao de imagens em WSN s˜ao analisados em detalhe em [16]. Dado
o grande interesse da comunidade de pesquisadores em WSN na ´ultima d´ecada, existe um
marco te´orico em m´etodos de transmiss˜ao de imagens que procuram minimizar custos de
computa¸c˜ao (processamento) e consumo de energia para as unidades WSN. Com esta
finali-dade, foram desenvolvidas variadas t´ecnicas para a transmiss˜ao de imagens em comunica¸c˜ao
semi-reliable obtendo uma reconstru¸c˜ao sem buracos nas imagens.
No estado da arte em multimedia wireless sensor networks [31], redes multim´ıdia de
sensores sem fio, para minimizar custo para a rede, ´e poss´ıvel encontrar as seguintes t´ecnicas:
compress˜ao, seletividade de dados, correla¸c˜ao dos pacotes, entre outras t´ecnicas, para mais
informa¸c˜oes veja [17],[38], [10] e [3]. O custo para a imagem em uma transmiss˜ao que admite
perda de pacotes como na comunica¸c˜ao feita em redes semi-reliable corresponde `a degrada¸c˜ao
da Nitidez (qualidade da imagem). Este fenˆomeno ´e exposto em detalhe na Figura 2.2. A
Figura 2.2 exemplifica o problema de transmiss˜ao de imagens em redes de sensores com
perda de pacotes. Na primeira linha, a Figura 2.2a corresponde `a imagem RAW, bem como
as Figuras 2.2b, 2.2c e 2.2d correspondem a uma reconstru¸c˜ao cl´assica da imagens, sem
mecanismo para completar os buracos perdidos pela utiliza¸c˜ao de redes semi-reliable para
os valores de taxa de perda, Packet loss rate (PLR), de 3%, 28% e 60%, respectivamente. Na segunda linha da Figura 2.2, a Figura 2.2e mostra a Figura RAW e as Figuras 2.2f, 2.2g
e 2.2h correspondem `as imagens reconstru´ıdas utilizando o algoritmo DSJ-AL interleaving
para os valores de perda de 3%, 28% e 60%, respectivamente. Para mais informa¸c˜oes sobre
as t´ecnicas utilizadas para a reconstru¸c˜ao das imagens c.f. [49]. As imagens reconstruidas
usando DSJ-AL interleaving n˜ao tˆem buracos em branco, mas quanto maior ´e a porcentagem
de perda, menor ´e a nitidez da imagem reconstru´ıda. Isso ´e poss´ıvel de ver comparando as
(a) RAW (b) 3%P LR (c) 28%P LR (d) 60%P LR
(e) RAW. (f) 3%P LR (g) 28%P LR (h) 60%P LR
Figura 2.2: Reconstru¸c˜ao cl´assica das imagens e usando DSJ-AL interleaving.
2.1
Proposta de Trade-Off em sistemas dinˆ
amicos.
O tamanho dos dados dos sinais utilizados em tarefas de controle e filtragem de sistemas
dinˆamicos s˜ao pequenos em compara¸c˜ao com outros problemas como a transmiss˜ao de
ima-gens. A maioria dos sinais de controle e filtragem pode ser transportada em um ´unico pacote,
mas as tarefas de controle podem consumir uma alta quantidade de recursos nas redes onde
os sinais s˜ao transmitidos periodicamente segundo a frequˆencia de amostragem do sistema
que ´e fun¸c˜ao da dinˆamica da planta. Para controle cl´assico, estes dados tˆem que ser
forne-cidos sem perda e com atraso m´ınimo ou nulo. Baseado nos trabalhos de transmiss˜ao de
imagens em redes de sensores, onde se degrada a nitidez da imagem procurando melhorias
nos parˆametros da rede [7, 15], tem-se um esquema similar para dados de controle.
Medi-ante a troca de comunica¸c˜ao Full-reliable por Semi-reliable, assim como no transporte dos
fragmentos de imagem, procura-se minimizar o custo para uma rede utilizada em tarefas
de controle. Esta proposta an´aloga, `a Nitidez para imagem, faz um intercˆambio, Trade-off,
entre um crit´erio de rendimento para o sistema dinˆamico e alguma medida de ocupa¸c˜ao da
rede. O crit´erio de desempenho para avaliar o sistema dinˆamico utilizado no presente
tra-balho corresponde `a norma H∞. Esta norma ´e um dos crit´erios cl´assicos de desempenho da
literatura de controle e minimizar esta medida procura garantir um certo grau de robustez
para o sistema. ´E poss´ıvel interpretar essa norma como o grau de influˆencia que a entrada
de perturba¸c˜ao tem na sa´ıda do sistema [58].
A proposta de Trade-off em sistemas dinˆamicos desenvolvida este trabalho corresponde
transmiss˜oes permitidas por pacote. Limitar o n´umero m´aximo de transmiss˜oes por pacote
minimiza o valor esperado do n´umero global de transmiss˜oes da rede. Limitar as
trans-miss˜oes n˜ao garante uma comunica¸c˜ao full-reliable e, al´em disso, diminuir este parˆametro
reduz a taxa de sucesso da rede. Os problemas causados pelas perdas de informa¸c˜ao s˜ao
compensados nas economias para a rede inerentes de uma comunica¸c˜ao semi-reliable. Uma
comunica¸c˜ao que admite perda de dados gera melhorias para a rede tanto em consumo de
energia, quando em recursos de computa¸c˜ao. Admitir perda de pacote ocupa menos recursos
na rede mas ´e degradado o desempenho do controlador, mas ´e poss´ıvel geral solu¸c˜oes em
controle que garantam estabilidade dos sistemas dinˆamicos admitindo perda de informa¸c˜ao
mediante utiliza¸c˜ao dos sistemas lineares com saltos markovianos em tempo discreto, do
inglˆes Markovian jump linear system (MJLS).
Os sistemas dinˆamicos sujeitos a saltos markovianos permitem projetar solu¸c˜oes
otimi-zadas para sistemas com perdas de informa¸c˜ao. Esta propriedade possibilita gerar projetos
que tenham o m´ınimo consumo de recursos para a rede. Esse fenˆomeno foi mostrado em [43],
onde s˜ao expostos filtros implementados em redes Multi-Hop que garantem a estabilidade
do erro de estima¸c˜ao com somente 17% dos pacotes transmitidos comparados ao projeto
cl´assico. A menor quantidade do pacotes na rede significa melhoras no congestionamento,
melhor gerenciamento dos recursos computacionais e, o mais interessante, o aumento da
vida ´util da rede, relacionado com os custos energ´eticos das transmiss˜oes e recep¸c˜oes [18]. O
problema de eficiˆencia energ´etica em redes para tarefas de controle utilizando o Trade-Off
em sistemas dinˆamicos foi formulado em [46] e desenvolvido mais profundamente no presente
Cap´ıtulo 3
Marco Te´
orico
No presente cap´ıtulo, s˜ao apresentados os modelos e as ferramentas matem´aticas para o
desenvolvimento do problema de Trade-Off em sistemas dinˆamicos. Este cap´ıtulo ´e dividido
em duas partes. A primeira se¸c˜ao corresponde a uma revis˜ao dos sistemas lineares com saltos
markovianos a tempo discreto, do inglˆes, Markov Jump Linear Systems (MJLS), mediante os
quais ´e poss´ıvel buscar solu¸c˜oes otimizadas em sistemas com perda de informa¸c˜ao provocada
pela rede. A segunda se¸c˜ao ´e dividida entre a formaliza¸c˜ao do esquema de transporte
Hop-by-Hop utilizado e os conceitos b´asicos de modelagem de consumo de energia para redes
WSN.
3.1
Sistemas lineares com saltos markovianos
Nota¸
c˜
ao
A nota¸c˜ao utilizada nesse trabalho ´e usual, na qual letras mai´usculas indicam matrizes e
min´usculas indicam vetores ou escalares. Para matrizes reais e vetores, o s´ımbolo (0) indica
transposto e (•) representa um bloco sim´etrico que comp˜oe uma matriz estruturada em
blocos. O conjunto de n´umeros naturais ´e indicado por N, e os N primeiros n´umeros naturais
por K = {1, ..., N }. Dados os n´umeros reais n˜ao negativos pij que satisfa¸cam
N P j=1
pij = 1,
a combina¸c˜ao convexa de matrizes sim´etricas Xj com as pondera¸c˜oes pij ´e indicada por
Xpi=
N P j=1
pijXj, ∀ i ∈ K. O s´ımbolo E{·} representa a esperan¸ca matem´atica. Para qualquer
sinal estoc´astico ξ(k), definido no dom´ınio de tempo discreto, k ∈ N, a norma quadr´atica
´ e dada por kξk22 = ∞ P k=0 E{ξ(k)0
ξ(k)}. A classe de sinais ξ(k) ∈ Rr, k ∈ N, tais que kξk22 ´e
finito, ´e indicada pelo espa¸co L2, o qual tem inclu´ıdo os sinais quadraticamente som´aveis em
3.1.1
Sistema em espa¸
co de estados e estabilidade
Os sistemas lineares com saltos markovianos a tempo discreto s˜ao descritos pelos seguinte
sistema de equa¸c˜oes de estado,
G : x(k + 1) = A(θk)x(k) + J (θk)w(k), y(k) = Cy(θk)x(k) + Ey(θk)w(k), z(k) = Cz(θk)x(k) + Ez(θk)w(k), (3.1)
onde x(k) ∈ Rn´e o vetor de estado e w(k) ∈ Rm´e a perturba¸c˜ao. O vetor z(k) ∈ Rr cont´em
as sa´ıdas que se pretende estimar (problema de filtro) a partir dos sinais medidos do sistema
y(k) ∈ Rq. A vari´avel aleat´oria θ
k ∈ K assume valores de acordo com uma cadeia de Markov
discreta com matriz de probabilidade P = [pij], onde pij = Prob(θk+1 = j|θk = i). Os
elementos da matriz pij s˜ao n˜ao negativos, de forma que soma dos elementos em uma linha
de P ´e igual a um. Para simplificar a nota¸c˜ao, sempre que θk = i, escreve-se A(θk) = Ai,
J (θk) = Ji, e assim por diante.
Estabilidade
O primeiro conceito importante sobre o modelo (3.1) ´e a sua estabilidade. Para MJLS a
tempo discreto existem trˆes formas equivalentes de se definir estabilidade. S˜ao elas:
estabi-lidade por m´edia quadr´atica, estabilidade estoc´astica e estabilidade exponencial por m´edia
quadr´atica. Em [36], ´e demonstrado que as trˆes defini¸c˜oes mencionadas s˜ao equivalentes
para os MJLS a tempo discreto. As trˆes defini¸c˜oes s˜ao conhecidas na literatura de controle
estoc´astico como estabilidade pelo segundo momento, do inglˆes, Second Moment Stability
(SMS). Para testar a estabilidade de um sistema, debe-se fazer mediante desigualdades de Lyapunov acopladas, formuladas como um conjunto de desigualdades matriciais lineares [11].
Teorema 1. O sistema (3.1), com entrada de perturba¸c˜ao w nula, ´e est´avel pelo segundo
momento (SMS) se e somente se existirem matrizes Pi sim´etricas e definidas positivas para
todo i ∈ K, tais que as N desigualdades de Lyapunov acopladas sejam simultaneamente satisfeitas:
X
j∈K
pijA0iPjAi− Pi < 0, i ∈ K, (3.2)
A prova deste teorema ´e desenvolvida em [22] detalhadamente.
3.1.2
Norma H
∞em MJLS
O operador norma pode ser interpretado como o tamanho ou a amplitude de uma entidade
matem´atica que est´a contida em um espa¸co linear. A norma H∞ de um sistema dinˆamico
´
z(k). A norma H∞ corresponde a um dos crit´erios cl´assicos de desempenho nos projetos de
controle robusto. Minimizar essa rela¸c˜ao corresponde a minimizar a influˆencia do ru´ıdo de
pior caso entre todos os ru´ıdos w ∈ L2. Dessa forma, com o valor da norma H∞, pode-se
garantir um certo n´ıvel de robustez ao sistema frente `as perturba¸c˜oes [58]. A defini¸c˜ao de
norma H∞ para MJLS discretos ´e formulada em [9], e exposta no seguinte formato em [50].
Teorema 2. Para sistemas est´aveis pelo segundo momento (SMS) na forma (3.1), a norma
H∞ da entrada w para a sa´ıda z ´e dada por
kGk2 ∞ := sup 06=w∈L2,θ0 kzk2 2 kwk2 2 . (3.3)
O c´alculo do valor de norma H∞ segundo a defini¸c˜ao (3.3) pode ser realizado mediante
a resolu¸c˜ao de um problema de otimiza¸c˜ao convexa na forma de desigualdades matriciais
lineares (LMIs).
Teorema 3. Para sistemas est´aveis pelo segundo momento (SMS), na forma (3.1), a norma
H∞ da entrada w para a sa´ıda z ´e tal que ||G||2∞< γ, se e somente se as desigualdades,
Pi • • • 0 γI • • PpiAi PpiJi Ppi • Czi Ezi 0 I > 0, (3.4)
s˜ao satisfeitas para todo i ∈ K.
A prova da necessidade e suficiˆencia pode ser encontrada em [50]. O mesmo artigo
discute que condi¸c˜ao para o c´alculo da norma ´e necess´aria e suficiente se o sistema ´e SMS e
fracamente control´avel, caso contr´ario, a condi¸c˜ao torna-se apenas suficiente.
3.1.3
Projeto de filtro em MJLS
Um filtro tem por objetivo calcular uma estimativa de vari´aveis que n˜ao se podem medir
diretamente. Entre as poss´ıveis maneiras de se implementar um filtro, tem-se os filtros invariantes no tempo de ordem completa, sendo de interesse para o nosso caso em estudo os filtros tipo observador de Luenberger e o filtro de ordem completa. O filtro observador
de Luenberger faz uma c´opia do sistema observado e por isso ´e chamado tamb´em de filtro
baseado no modelo interno. Esta estrutura de filtro permite fazer projetos para sistemas
sem que eles sejam garantidamente est´aveis, por´em dificulta o tratamento de incertezas
param´etricas. O modelo de filtro de ordem completa ´e um filtro no qual o c´alculo das
matrizes de seu modelo de espa¸co de estado n˜ao depende explicitamente das matrizes da
dinˆamica da planta e, por isso, possibilita projetos em plantas que tenham variados tipos
em projetos de filtragem robusta podem ser obtidos em [22]. A seguir, s˜ao mostradas as estruturas dos tipos de filtro a tempo discreto para MJLS,
Filtro Luenberger: O : xf(k + 1) = Aixf(k) + Gf i(y(k) − Cyixf(k)), zf(k) = Czixf(k) + Df i(y(k) − Cyixf(k)). (3.5)
Filtro de ordem completa:
F : xf(k + 1) = Af ixf(k) + Bf iy(k), zf(k) = Cf ixf(k) + Df iy(k). (3.6)
As matrizes dinˆamicas de ambos filtros s˜ao dependentes de θk = i ∈ K, modo da cadeia de
Markov no instante k ∈ N. Na pr´atica, o conhecimento da cadeia pode ser complexo e at´e imposs´ıvel, e por isso, na literatura de filtros em MJLS, tem-se a possibilidade de encontrar
classes de filtros em fun¸c˜ao do conhecimento da cadeia de Markov. Estas classes do filtro
s˜ao: dependente do modo, independente do modo e com agrupamento do modo (Cluster )
[8].
Filtro ´Otimo H∞ com conhecimento do modo
Os filtro markoviano com conhecimento do modo da cadeia θk = i ∈ K corresponde a um
filtro composto de subsistemas nos quais a sele¸c˜ao do subsistema para um instante k depende
de θk. O filtro deve garantir a estabilidade em segundo momento do erro de estima¸c˜ao. Al´em
disso, pode ser otimizada alguma fun¸c˜ao de interesse, que, no presente trabalho, corresponde
`
a norma H∞ do erro de estima¸c˜ao. O filtro que otimiza a norma H∞ do erro de estima¸c˜ao
pode ser obtido atrav´es da resolu¸c˜ao de um problema convexo de otimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes
na forma de desigualdades matriciais lineares para as duas estruturas de filtro mencionadas. Teorema 4. Existe um filtro com conhecimento do modo da cadeia na forma (3.5),
satisfa-zendo a restri¸c˜ao kGok2∞ < γ, se e somente se existirem matrizes sim´etricas Xi e matrizes
Fi, Ki com dimens˜oes compat´ıveis que satisfazem a LMIs,
Xi • • • 0 γI • • XpiAi + FiCyi XpiJi+ FiEyi Xpi • Czi− KiCyi Czi− KiCyi 0 I > 0, (3.7)
para todo i ∈ K. Em caso afirmativo, os ganhos do filtro Luenberger dependente do modo
s˜ao dados por
A prova deste teorema pode ser encontrada em [29, 22]. ´E poss´ıvel observar que, na
realiza¸c˜ao proposta, a matriz da dinˆamica do filtro Af i depende diretamente da Ai. Logo,
se a matriz Ai possui alguma incerteza, a matriz Af i n˜ao ser´a ´unica.
Teorema 5. Existe um filtro com conhecimento do modo da cadeia na forma (3.6)
satisfa-zendo a restri¸c˜ao kGfk2∞< γ se e somente se existirem matrizes sim´etricas Xi, Zi, e matrizes
Mi, Ki, Li e Fi com dimens˜oes compat´ıveis que satisfazem a LMIs,
Zi • • • • • Zi Xi • • • • 0 0 γI • • • ZpiAi ZpiAi ZpiJi Zpi • • XpiAi+ FiCyi+ Mi XpiAi+ FiCyi XpiJi+ FiEyi Zpi Xpi • Czi− KiCyi+ Li Czi− KiCyi Ezi− KiEyi 0 0 I > 0, (3.9)
para todo i ∈ K. Em caso afirmativo, uma realiza¸c˜ao para o filtro ´e dada pelas matrizes
Af i = (Zpi− Xpi)−1Mi, Bf i= (Zpi− Xpi)−1Fi, Cf i= −Li e Df i= Ki.
A prova deste teorema pode ser encontrada em [29, 22]. Na realiza¸c˜ao proposta, a matriz
da dinˆamica do filtro Af i n˜ao depende diretamente da Ai. Um filtro robusto para uma
incerteza do tipo polit´opica na matriz Ai pode ser obtido com uma adapta¸c˜ao do Teorema
5.
3.1.4
Filtro ´
Otimo H
∞com conhecimento parcial modo
O conhecimento exato do modo da cadeia de Markov para cada instante k pode n˜ao ser
poss´ıvel. Para solucionar este problema, ´e poss´ıvel recorrer a duas abordagens. A primeira,
o projeto de filtro independente do modo, corresponde `a solu¸c˜ao mais conservadora. O
se-gundo enfoque ´e agrupar os modos da cadeia em grupos (clusters) [14] segundo a informa¸c˜ao
dispon´ıvel que garanta que, para cada instante k, o modo do sistema perten¸ca a um ´unico
cluster.
Para o caso de conhecimento parcial (cluster ), considera-se que s´o ´e poss´ıvel detectar
o cluster associado a cada um dos modos de Markov, mas n˜ao o pr´oprio modo. Al´em
disso, no caso de disponibilidade do cluster, supomos que os clusters formam um conjunto
disjunto, de modo que a uni˜ao de todos os clusters ´e o conjunto de todos os modos. Se
considerarmos o conjunto de modos como K = {1, 2, · · · , Nn}, os clusters s˜ao conjuntos U`,
` ∈ L = {1, 2, · · · , Nc} tais S`∈LU` = K e U`1
T
U`2 = ∅ para todo `1, `2 ∈ L e `1 6= `2. O
anterior com Nc = 1 e Nc = Nn, respectivamente. Um filtro markoviano que depende da
disponibilidade do cluster θk= i ∈ U` ´e dado pelo Teorema 6.
Teorema 6. Existe um filtro com conhecimento parcial do modo da cadeia, como (3.6),
satisfazendo a restri¸c˜ao kGfk2∞ < γ, se existirem matrizes sim´etricas Xi, Zi, e matrizes M`,
K`, L`, H` e F` com dimens˜oes compat´ıveis que satisfazem a LMIs,
Zi • • • • • Zi Xi • • • • 0 0 γI • • • ZpiAi ZpiAi ZpiJi Zpi • • G`Ai+ F`Cyi+ M` G`Ai+ F`Cyi G`Ji + F`Eyi 0 G`+ G0`+ Zpi− Xpi • Czi− K`Cyi+ L` Czi− K`Cyi Ezi− K`Eyi 0 0 I > 0, (3.10)
para todo i ∈ U` ⊂ K e ` ∈ L. Em caso afirmativo, uma realiza¸c˜ao, para o filtro ´e dada por
Af ` = −G−1` Mf `, Bf `= −G`−1Ff `, Cf ` = −L`, e Df `= K`.
A prova deste teorema pode ser encontrada em [12]. Note-se que a condi¸c˜ao do Teorema
6 ´e s´o suficiente. Se o problema de otimiza¸c˜ao tem como resultado a infactibilidade, isso n˜ao
implica que n˜ao exista um filtro que garanta norma limitada para o erro de estima¸c˜ao. Para
maiores detalhes, s˜ao recomendados para os leitores os seguintes trabalhos [22] e [12].
3.1.5
Alternativas para cadeias de tipo Bernoulli
Os teoremas expostos anteriormente correspondem a condi¸c˜oes de s´ıntese de filtro para MJLS
para sistemas associados a uma cadeia de markov gen´erica. Uma classe de MJLS mais
res-trita corresponde aos sistemas com saltos tipo Bernoulli. Um sistema com saltos Bernoulli ´
e tal que a matriz P tem apenas uma linha linearmente independente: todos os valores das
colunas pj s˜ao os mesmos. Os sistemas dinˆamicos sujeitos a saltos Bernoulli d˜as origem a
um problema mais restrito, mas tˆem a vantagem de apresentar condi¸c˜oes ´otimas, necess´arias
e suficientes, tanto para observa¸c˜ao completa quanto parcial do modo da cadeia, como
de-monstrado em [23]. Nos teoremas a seguir apresentamos os resultados tanto para o Filtro Luenberger quanto para o Filtro de Ordem Completa para um caso particular mas impor-tante, os sistemas sujeitos a saltos Bernoulli.
Teorema 7. Existe um filtro ´otimo na forma (3.5), satisfazendo a restri¸c˜ao kGok2∞ < γ,
compat´ıveis que satisfazem a LMIs, Hi • • • 0 γI • • XA`+ F`Cy`+ M` XJi+ F`Cy` X • Czi− K`Cy` Ezi− K`Eyi 0 I > 0, (3.11) Nn X j pjHj− X < 0, (3.12)
para todo i ∈ U` e ` ∈ L. Em caso afirmativo os ganhos do filtro Luenberger dependente do
cluster s˜ao dados por
Gf ` = −X−1F`, e Df `= K`. (3.13)
Teorema 8. Existe um filtro como (3.6) satisfazendo a restri¸c˜ao kGfk2∞ < γ, se e somente
se existirem matrizes sim´etricas Si, Hi, Z, X, e matrizes Gi, L`, M` K` e F` com dimens˜oes
compat´ıveis que satisfazem a LMIs, Si • • • • • Gi Hi • • • • 0 0 γI • • • 0 ZAi ZJi Z • • XAi+ F`Cyi+ M` XAi+ F`Cyi XJi+ F`Eyi Z X • Czi− K`Cy`+ L` Czi− K`Cyi Ezi− K`Eyi 0 0 I > 0, (3.14) " Sp • Gp Hp # − " Z • Z X # < 0, (3.15)
para todo i ∈ U` e ` ∈ L. Em caso afirmativo, uma realiza¸c˜ao para o filtro ´e dada pelas
matrizes Af `= (Z − X)−1M`, Bf `= (Z − X)−1F`, Cf `= −L` e Df `= K`.
A prova dos Teoremas 7 e 8 podem ser conferidas em [23]. As matrizes Sp, Gp e Hp tem
a mesma estrutura que Xj mostrado na Se¸cao 3.1.
Como as condi¸c˜oes dos Teoremas 7 e 8 s˜ao necess´arias e suficientes, o valor de norma
obtido a partir deles corresponde `a norma ´otima do erro de estima¸c˜ao. Para ambos os
teoremas, fazendo ` = i, s˜ao obtidas as condi¸c˜oes ´otimas para filtro dependente do modo em
sistemas sujeitos a saltos tipo Bernoulli. Outra considera¸c˜ao importante ´e que s´o ´e poss´ıvel
usar o filtro Luenberger com observa¸c˜ao parcial do modo se as matrizes do sistemas Ai, Cyi,
3.1.6
Filtros Cl´
assico e H´ıbrido em sistemas com faia no sinais de
medida
Una tipo particular de ´e aquele no qual corresponde abaixo. Na qual s´o as matrizes que
comp˜oem o sinais de medida y(k) dependem do estado da cadeia de Markov (θk) em cada
instante k ∈ N. Tal MJLS ´e utilizado para representar um planta determin´ıstica com falha no sinais de medida, sendo de interesse modelar as falhas produzidas pelo transporte dos
sinais de medidas em redes digitais [43, 21, 12, 13]. O sistema dinˆamico fica com a seguinte
representa¸c˜ao de estados, G : x(k + 1) = Ax(k) + J w(k), y(k) = Cy(θk)x(k) + Ey(θk)w(k), z(k) = Czx(k) + Ezw(k). (3.16)
Dado o Sistema (3.16) definimos dois modos de opera¸c˜ao para ele. Opera¸c˜ao nominal, na
qual as matrizes que geram o sinal de medida, Cy e Ey, correspondem ao valores nominais
da planta. O segundo modo de opera¸c˜ao corresponde `a opera¸c˜ao com falha, que pode ser
interpretada como erro no sensor ou erro na comunica¸c˜ao, modelo em que as matrizes Cy e
Ey s˜ao substitu´ıdas por matrizes nulas. Para projetos de filtros em sistemas com falha nos
sinais de medida tem-se trˆes abordagens, a primeira ´e n˜ao considerar as falhas do sinais de
medida e utilizar um filtro cl´assico, a segunda abordagem corresponde na utiliza¸c˜ao de filtros
baseados em MJLS e a terceira abordagem corresponde a uma mistura do filtro cl´assico com
uma compensa¸c˜ao da falha, chamado Filtro H´ıbrido formulado em [30]. O filtros baseados
em MJLS foram apresentados anteriormente, mas agora ser˜ao apresentados o filtro cl´assico
em sistemas com perda dos sinais de medida al´em do filtro H´ıbrido.
Filtro Cl´assico em sistemas com erro nos sinais de media
Um filtro cl´assico com falha no sinais de medida provocado pelo transporte de dados em
uma rede digital pode ser modelado por dois conjuntos equa¸c˜oes. O primeiro conjunto de
equa¸c˜oes descreve a dinˆamica do erro de estima¸c˜ao e(k) do filtro para o filtro trabalhando
sem falha na rede,
Sucesso-Cl´assico " x(k + 1) xf(k + 1) # = " A 0 BfCy Af # " x(k) xf(k) # + " J BfEy # w(k) e(k) = h Cz− DfCy −Cf i " x(k) xf(k) # + h Ez − DfEy i w(k) (3.17)
A dinˆamica do erro de estima¸c˜ao para na falha na rede ´e modelada mediante a troca dos
Erro-Cl´assico " x(k + 1) xf(k + 1) # = " A 0 0 Af # " x(k) xf(k) # + " J 0 # w(k) e(k) =hCz −Cf i " x(k) xf(k) # +hEz i w(k) (3.18) Filtro H´ıbrido
Um filtro H´ıbrido formulado em [30], corresponde a um filtro markoviano com dois modos,
falha e acerto da comunica¸c˜ao. Mas os valores do filtro para o modo acerto correspondem
ao projeto de filtro cl´assico. Para o modo com falha, a matriz dinˆamica do filtro permuta
para a matriz da planta original. A sa´ıda do filtro corresponde a uma combina¸c˜ao linear
dos estados do filtro utilizando como Cf a matriz Cz do sistemas original, neste modelagem
pode-se apresentar pelo seguinte conjunto de equa¸c˜oes,
Erro − Hibrido " x(k + 1) xf(k + 1) # = " A 0 0 A # " x(k) xf(k) # + " J 0 # w(k) e(k) =hCz −Cz i " x(k) xf(k) # + Ezw(k) (3.19)
O filtro H´ıbrido faz uma compensa¸c˜ao da falha da rede mediante a troca da matriz
dinˆamica do filtro Af pela matriz da planta original A. Esta estrat´egia ´e baseada no
compor-tamento da solu¸c˜oes dos filtros ´otimos dependentes do modo nos quais diante da ocorrˆencia
de falha, o filtro tenta copiar a dinˆamica da planta, a formula¸c˜ao detalhada do problema de
filtragem hibrida ´e apresentada em [30].
Considera¸c˜oes de projeto para o filtro Cl´assico em sistemas com falha e filtro
H´ıbrido
Os dois tipos de filtros apresentados fornecem sistemas lineares sujeitos a saltos markovianos.
Ambos, tˆem dois modos: um para o sistema nominal e outro para falha na comunica¸c˜ao.
Baseado nos crit´erios mostrados nesta se¸c˜ao podemos analisar tanto o filtro cl´assico como
o filtro H´ıbrido. Uma quest˜ao importante ´e a dependˆencia da matriz dinˆamica do filtro ao
modo da cadeia de Markov. O filtro cl´assico implementado em sistemas com perda do sinais
de medida fornece uma estrutura para a matriz dinˆamica do filtro Independente do Modo.
A independˆencia da matriz dinˆamica do filtro pode ver nas Equa¸c˜oes 3.17 e 3.18, onde os
valores da diagonal da matriz dinˆamica do sistema equivalente, tem os mesmos valores para
os modos de sucesso e erro. Para o filtro H´ıbrido pode-se observar que os valores das matrizes
da diagonal n˜ao s˜ao os mesmos para os modos do sucesso e erro. O filtro H´ıbrido comuta
sua matriz dinˆamica entre Af e A, segundo sucesso ou falha da rede o qual corresponde a
Estabilidade da dinˆamica do erro de estima¸c˜ao
Primeiro consideraremos que filtro cl´assico utilizado corresponde a um filtro de ordem
com-pleta, como mostrado na equa¸c˜ao (3.6). Esta estrutura de filtro ser´a utilizado tanto para
filtro cl´assico implementado em sistemas com erro do sinais de medida quanto para o filtro
h´ıbrido. O c´alculo da estabilidade deve ser feito no sistemas equivalente, para filtro cl´assico
em sistemas com perda utiliza-se as equa¸c˜oes 3.17 e 3.18. Para o filtro H´ıbrido ser˜ao as
equa¸c˜oes 3.17 e 3.19, incluindo as probabilidades de salto entre modos. A estabilidade do
sistema ampliado depende da dinˆamica de cada modo, das probabilidades de transi¸c˜ao e da
estabilidade em malha aberta.
O segundo projeto de filtro corresponde ao filtro Luenberger ou observador com o qual ´
e poss´ıvel isolar a dinˆamica do erro. A estrutura do filtro Luenberger ´e dada pelas equa¸c˜oes
(3.5), nas quais s˜ao utilizados os valores da planta mais dois ganhos. Para projetos cl´assicos
em sistemas com perda e H´ıbridos utilizando filtros de ordem completa, a dinˆamica do
erro estima¸c˜ao ´e definida por um sistema dinˆamicos de ordem igual a 2n, dobro do ordem
da planta. Mas mediante a utiliza¸c˜ao de filtro observador pode-se isolar a dinˆamica do erro
estima¸c˜ao, obtendo um sistema dinˆamico para o erro com a mesma ordem da planta original.
Ent˜ao ´e preciso analisar o filtros cl´assico implementados em sistemas com perda e o filtro
Hibrido na estrutura Luenberger, se para ambos os casos ´e poss´ıvel isolar a dinˆamica do erro
de estima¸c˜ao. O erro de estima¸c˜ao ´e dado por e(k) = z(k) − zf(k), substituindo nas equa¸c˜oes
da planta (3.16) e filtro (3.5), para transmiss˜ao com sucesso 3.17 tem-se,
x(k+1)−xf(k+1) = {Ax(k)+J w(k)}−{Axf(k)+Gf([Cyx(k)+Eyw(k)]−Cyxf(k))}, (3.20)
z(k) − zf(k) = {Czx(k) + Ezw(k)} − {Czxf(k) − Df([Cyx(k) + Eyw(k)] − Cyxf(k))}. (3.21)
Definindo ˆxe(k) como o vetor de estados da dinˆamica do erro de estima¸c˜ao mediante
x(k) − xf(k) e z(k) − zf(k) por e(k), na Equa¸c˜ao 3.20 determina os estados,
ˆ
xe(k + 1) = (A − GfCy) ˆxe(k) + (J − GfEy)w(k), (3.22)
e na Equa¸c˜ao 3.21 para erro de estima¸c˜ao,
e(k) = (Cz− DfCy) ˆxe(k) + (Ez− DfEy)w(k). (3.23)
de estado, os quais s˜ao v´alidos para o sistema nominal, sem falha, tanto o filtros cl´assico implementado em sistemas com perda e para filtro H´ıbrido. Mas para o modo com falha
deve-se comprovar se ´e poss´ıvel isolar ˆxe(k) para ambos filtros. Para o filtro cl´assico em seu
modo de falha na comunica¸c˜ao a dinˆamica do erro ´e dada por 3.18 com o qual apresentamos
x(k + 1) − xf(k + 1) para o modo de falha,
x(k + 1) − xf(k + 1) = {Ax(k) + J w(k)} − {Axf(k) + Gf(−Cyxf(k))}, (3.24)
note-se que [Cyx(k)+Eyw(k)] = 0 onde para o modo de falha da comunica¸c˜ao as matrizes
que comp˜oe o sinas de medida s˜ao nulas. Separando em termos dos estados e sinais de
perturba¸c˜ao tem-se,
x(k + 1) − xf(k + 1) = {Ax(k) − (A − GfCy)xf(k)} + J w(k). (3.25)
Na Equa¸c˜ao 3.25 n˜ao ´e poss´ıvel deixar em termos de ˆxe, sem ter explicitamente os estados
da planta ou do filtro. A parcela GfCyxf(k) ao fazer ˆxe = x(k) − xf(k) ´e mantida, portando
n˜ao ´e poss´ıvel isolar a dinˆamica do erro de estima¸c˜ao para o filtro observador implementado
em sistemas com falha de comunica¸c˜ao. Para teste de estabilidade e c´alculo de norma o
filtros cl´assico Luenberger implementado em sistemas com perda de informa¸c˜ao s´o pode ser
feita da mesma maneira com que ´e feita para filtro do ordem completa, mediante o sistemas
aumentado utilizando as Equa¸c˜oes 3.17 e 3.18.
Para o filtro H´ıbrido implementado utilizando filtro Luenberger a mesma an´alise deve ser
feita. A dinˆamica do erro estima¸c˜ao para o estado nominal da rede corresponde `as Equa¸c˜oes
3.1.6 e 3.1.6. Para o modo do erro na comunica¸c˜ao, da mesmo maneira que para o filtro
cl´assico o sinal de medida ´e anulado. Mas ´e trocada a matriz dinˆamica do filtro pela matriz
da planta, ent˜ao a dinˆamica do erro ´e dada por,
x(k + 1) − xf(k + 1) = {Ax(k) + J w(k)} − {Axf(k)}, (3.26)
z(k) − zf(k) = {Czx(k) + Ezw(k)} − {Czxf(k)}. (3.27)
Substituindo ˆxe pela diferen¸ca dos estados e e(k) pela diferen¸ca da sa´ıda pode-se
apre-sentar a dinˆamica do erro de estima¸c˜ao para o modo de falha no filtro H´ıbrido no seguinte
formato,
ˆ
e para erro de estima¸c˜ao,
e(k) = Czxˆe(k) + Ezw(k). (3.29)
Note-se que para o filtro H´ıbrido utilizando como estrutura o filtro Luenberger a dinˆamica
do erro de estima¸c˜ao pode ser isolada para o modo de acerto e falha. Al´em disso, comparando
as equa¸c˜oes da dinˆamica do erro para comunica¸c˜ao normal, a dinˆamica do erro para falha
pode-se obter anulando os ganhos das, Equa¸c˜oes 3.1.6, e 3.1.6.
3.2
Redes Hop-by-Hop em sistemas com falhas do tipo
Bernoulli
Um processo de Bernoulli ´e um processo estoc´astico no qual a probabilidade de transitar
a um estado futuro n˜ao depende do estado atual. Para nosso caso, corresponde a um caso
em que a probabilidade de sucesso futuro seja independente do estado atual do link de
co-munica¸c˜ao, os quais s˜ao transmiss˜ao com sucesso (T Xok) e transmiss˜ao com falha (T Xer).
A topologia de rede utilizada corresponde `a topologia de cadeia mostrada na Figura 3.1,
na qual a informa¸c˜ao ´e transmitida desde a fonte (Source) at´e o destino (Sink ). Para o
caso em que n˜ao se tem roteadores intermedi´arios, corresponde a uma comunica¸c˜ao Ponto
a Ponto. Sem perda de generalidade, pelo modelo, ´e poss´ıvel formular v´arias topologias de
rede mediante a interconex˜ao de redes menores.
Como mencionado anteriormente, o transporte de informa¸c˜ao em redes de computador
tem uma probabilidade de erro intr´ınseca ao canal de comunica¸c˜ao utilizado. Transporte
de informa¸c˜ao sem algum tipo de mecanismo que minimize a probabilidade de erro
corres-ponde a uma comunica¸c˜ao n˜ao confi´avel. Na literatura s˜ao encontrados diferentes esquemas
de transporte para garantir uma menor perda de informa¸c˜ao. Os esquemas de transporte
comumente utilizados em redes s˜ao o esquema End-to-End, popular pela sua utiliza¸c˜ao em
Ethernet, e o esquema Hop-by-Hop, popular em redes sem fio e utilizado neste trabalho.
Source
Sink
. . .
1
2
N - 1
N
Pacotes
ACK
Retransmissão
Figura 3.1: Topologia de rede Hop by Hop .
Source-Sink corresponde a um esquema Hop-by-Hop. O controle do transporte dos dados ´e
feito pelos sinais de acknowledgement (ACK), os quais s˜ao transmitidos ao longo do caminho.
A Figura 3.1 ilustra o esquema de transporte Hop-by-Hop.
3.2.1
Modelo estoc´
astico Hop-by-Hop
Para o presente trabalho, precisamos de um modelo estoc´astico do esquema de transporte
Hop-by-Hop, das m´etricas de probabilidade de sucesso, do valor esperado do n´umero global
de transmiss˜oes e do valor esperado do n´umero global de recep¸c˜oes. A nota¸c˜ao para o
problema Hop-by-Hop utilizada corresponde a [33, 32], e ´e mostrada na Tabela 3.1.
Tabela 3.1: Nota¸c˜ao para a topologia Hop by Hop para o processo Bernoulli
S´ımbolo Descri¸c˜ao
N : n´umero de hops,
n: n´umero de routers intermedi´arios,
L: n´umero m´aximo de transmiss˜oes por pacote,
p1: probabilidade de acerto da mensagem,
p2: probabilidade de acerto do ACK,
PS: probabilidade de sucesso da transmiss˜ao Hop-by-Hop,
PF: probabilidade de falha da transmiss˜ao Hop-by-Hop,
R: n´umero de recep¸c˜oes,
G: soma de transmiss˜oes e recep¸c˜oes G = M + R ,
M : n´umero global de transmiss˜oes,
P LR: porcentagem de perda do pacote (packet loss rate) (PF),
O modelo estoc´astico utilizado para o problema foi proposto em [43], o qual permite
obter de forma fechada os valores esperados da probabilidade de sucesso da rede PS, valor
esperado do n´umero de transmiss˜oes E (M ) para comunica¸c˜ao Full-reliable, isso ´e sem perda
(PS = 1), e comunica¸c˜ao Semi-reliable, para uma rede Hop-by-Hop .
Teorema 9. Para um sistema de comunica¸c˜ao no esquema de transporte Hop-by-Hop, a
probabilidade de sucesso do envio de um pacote ´e dada por
PS = [1 − (1 − p1)L]N (3.30)
e a esperan¸ca matem´atica do n´umero global de transmiss˜oes da rede em fun¸c˜ao de L, N , p1
e p2 ´e dada por E(M ) = [1−(1−p1p2)L] p1p2(1+p1)−1 h 1−[1−(1−p1)L]N (1−p1)L , i se L < ∞, N (1+p1) p1p2 , se L ilimitado. (3.31)
Uma comunica¸c˜ao Semi-reliable, com perda, ´e devida `a limita¸c˜ao do n´umero m´aximo
de transmiss˜oes por pacote (L): ao se limitar este parˆametro, tem-se que probabilidade
de acerto da rede n˜ao vai chegar ao 100%. Para o caso que n˜ao se tenha limita¸c˜ao do
n´umero de transmiss˜oes por pacote (L), a rede far´a as retransmiss˜oes necess´arias para que
os dados cheguem ao destino garantindo uma comunica¸c˜ao Full-reliable, sem perda (PS = 1).
Baseado no Teorema 9 ´e poss´ıvel obter o valor esperado do n´umero de recep¸c˜oes para
uma rede Hop-by-Hop mostrado no Teorema 10.
Teorema 10. Para um sistema de comunica¸c˜ao no esquema de transporte Hop-by-Hop, a
esperan¸ca matem´atica do n´umero global de recep¸c˜oes da rede em fun¸c˜ao de L, N , p1 e p2 ´e
dada por E(R) = [1−(1−p1p2)L] p2(1+p1)−1 h 1−[1−(1−p1)L]N (1−p1)L , i se L < ∞, N (1+p1) p2 , se L ilimitado. (3.32)
A prova do teorema 9 pode ser encontrada em [43], e ´e desenvolvida a seguir.
Primeira-mente, definimos a probabilidade de sucesso da rede que implementa o esquema de transporte
Hop-by-Hop como PS a partir da equa¸c˜ao (3.30) que ´e um resultado cl´assico. Tem-se que
para um sistema de transmiss˜oes ilimitadas, conhece-se que o pacote ´e enviado com
proba-bilidade um, quando L → ∞. Em particular, para um sistema ilimitado composto por um ´
unico salto (hop) (N = 1), definimos M1 e M2 dado M1, que quais correspondem a um
pro-cesso geom´etrico com probabilidade de sucesso p1p2 e um processo binomial com M1 ensaios
e probabilidade de sucesso p1, respetivamente, i.e., M1 ∼ Geo(p1p2) e M2|M1 ∼ Bin(M1, p1).
Logo, pode-se calcular o valor esperado do n´umero de transmiss˜oes globais composto por,
E[M ] = E[M1] + E [M2], = E [M1] + E [E [M2|M1]], = (1 + p1)E [M1], = 1 + p1 p1p2 , (3.33)
onde usamos a propriedade da esperan¸ca condicional E [X] = E [E [X|Y ]]. Al´em disso, para
o sistema unit´ario L-limitado, M1 segue uma distribui¸c˜ao com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de
probabilidade (pdf) dada por,
P (M1 = m) = p1p2(1 − p1p2)m−1 + (1 − p1p2)Lk {m = L}, (3.34)
para todo m ∈ {1, ..., L} com k {·} representando a fun¸c˜ao indicadora. Dado que M2 | M − 1
corresponde a
E[M ] = (1 − p1)E [M1], (3.35)
mas dado que M1 corresponde a uma distribui¸c˜ao geom´etrica pode-se apresentar da seguinte
forma,
E[M ] = (1 − p1)
1 − (1 − p1p2)L
p1p2
. (3.36)
Note-se que quando L → ∞, a equa¸c˜ao (3.36) tende `a equa¸c˜ao (3.33).
Para uma rede Multi-Hop que implemente o esquema de transporte Hop-by-Hop, temos
que o n´umero global de transmiss˜oes pode ser calculado como a soma de todas as transmiss˜oes
dos N n´os que comp˜oem a rede. Ent˜ao, o n´umero global das transmiss˜oes ´e dado por
M = M(1) + M(2) + . . . + M(N ), onde M(i) representa o n´umero total de transmiss˜oes
enviadas pelo i-´esimo n´o. Seja Fi o evento “o i-´esimo n´o envia o pacote com sucesso”. Para
i = 2, ..., N , ´e facilitado o c´alculo de E [M(i)] se o condicionarmos ao evento Fi−1 conforme,
E[M(i)] = E [M(i)|F
i−1] P (Fi−1) + E [M(i)|Fi−1c ] P (F
c
i−1), (3.37)
esta express˜ao se reduz a E [M(i)] = E [M(1)]P (Fi−1) dado que E [M(i)|Fi−1c ] = 0, pois o
n´umero esperado de transmiss˜oes que envia o i-´esimo n´o, dado que o n´o anterior n˜ao enviou
nenhuma mensagem (pacote) para ele ´e zero. Da parcela restante E [T(i)|F
i−1] = E [T(1)] para todo i = 2, . . . , N . Assim, E[M ] = E[M(1)] + N X i=2 E[M(i)], = E [M(1)] + N X i=2 E[M(1)]P (F i−1), = E [M(1)] N −1 X i=0 P (Fi), (3.38)
onde E [M(1)] coincide com o valor esperado do n´umero de transmiss˜oes para um sistema
unit´ario definido nas equa¸c˜oes (3.33) e (3.36) para um sistema com um s´o Hop. Dado que
o evento Fi ocorre com probabilidade P (Fi) = [1 − (1 − p1)L]i para L para L limitado e
P (Fi) = 1 ilimitado, finalmente pode-se formular o c´alculo do valor esperado do n´umero
global de transmiss˜oes para rede Hop-by-Hop segundo,
E(M ) = [1−(1−p1p2)L] p1p2(1+p1)−1 h 1−[1−(1−p1)L]N (1−p1)L , i se L < ∞, N (1+p1) p1p2 , se L ilimitado. (3.39)
