Dinâmica em Tempo Contínuo

DINÂMICA EM TEMPO CONTÍNUO

CARLOS PEDRO GONÇALVES

DINÂMICA EM TEMPO CONTÍNUO

 Transversal a múltiplas áreas científicas, desde as ciências da natureza até às ciências sociais, incluindo a economia,

finanças, gestão.

 Fundamental para a Física, Engenharia, Robótica e Inteligência Artificial.

 Área central para as Ciências Aeronáuticas, em múltiplas dimensões incluindo:  Cálculo e previsão de trajectórias de vôo;

 Modelação da turbulência;

 Engenharia aeronáutica e aeroespacial;

AERONÁUTICA

 Ciência envolvida no estudo, desenho e construção de veículos capazes de voo, técnicas de operação de

aeronaves e de outros veículos capazes de voo dentro da atmosfera.

 Tecnologicamente tem intersecção cada vez maior com a astronáutica e as tecnologias aeroespaciais na dimensão

da indústria aeroespacial, incluindo a questão dos sistemas de comunicações.

 Em termos de sectores de actividade económica existe uma relação crescente que é fonte de inovação acelerada

na área da gestão aeronáutica e que envolve a integração com as indústrias ligadas à robótica civil e militar (UAVs) e a qualquer domínio de aplicação de drones.

 Nova constelação de sectores e de empreendedorismo tecnológico na área da aeronáutica vai muito além da

aviação civil e da gestão da aviação civil, assim como do sector militar ou mesmo o sector da intelligence (spy drones).

EXEMPLO: CASO DO SECTOR DOS “DRONES”

 Inclui, entre outras, aplicações a:  Investigação e gestão ecológica;  Protecção civil;

 Operações militares;  Indústria cinematográfica;  Sector logístico;

 Aplicações ao nível industrial (incluindo de segurança);  Sector recreativo (particulares que usam drones);  Sector aeroespacial (sondas no espaço);

AERONÁUTICA

 Dimensões relevantes interdisciplinares da aeronáutica:  Aerodinâmica;

 Mecânica;  Robótica;

 Inteligência Artificial.

Em qualquer uma destas áreas as equações diferenciais e a modelação da dinâmica em tempo contínuo são uma pedra basilar. Uma das dimensões relevantes é a teoria matemática do controlo em tempo contínuo.

ECONOMIA E GESTÃO

 Modelação da dinâmica económica e de gestão: dinâmica económica e modelação financeira são

fundamentalmente baseadas em equações diferenciais.

 Dinâmica de Sistemas (Systems Dynamics Modeling): baseada somente em equações diferenciais

TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

 Equações diferenciais ordinárias (ordinary differential equation (ODE)): equações que envolvem

funções e as suas derivadas. O objectivo não é encontrar o valor de uma variável que resolve uma equação, como ocorre numa equação algébrica mas, sim, encontrar a forma de uma função que resolve a equação.

 Equações diferenciais parciais (partial differential equation (PDE)): diferem das equações diferenciais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Fonte:

https://www.technologyreview.com/2020/10/30/1011435/ai-fourier-neural-network-cracks-navier-

stokes-and-partial-differential-equations/?utm_medium=tr_social&utm_campaign=site_visitor.unpaid.engagement&utm_source=Twitter#E chobox=1604593893

EXEMPLO

Sistema de equações diferenciais de segunda ordem para quadcopter, retirado de artigo:

Lucjan Setlak, Rafał Kowalik (2019). Analysis,

Mathematical Model and Simulation Tests of the Unmanned Aerial Vehicle Control System.

https://www.researchgate.net/publication/33079274 1_Analysis_Mathematical_Model_and_Simulation_ Tests_of_the_Unmanned_Aerial_Vehicle_Control_ System.

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Fluxion#/media/File:The_method_of_fluxions_and_infinite_series_p.20.gif

DINÂMICA EM TEMPO CONTÍNUO COM VELOCIDADE CONSTANTE

 Variável dinâmica 𝑥 𝑡

 Dinâmica com velocidade instantânea constante:

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣

 Como é que 𝑥 varia com o tempo?

TAREFA!

 Encontrar a fórmula para a dinâmica da função 𝑥 𝑡 que resolve a equação diferencial abaixo:

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣

SERÁ QUE ESTAS ALTERNATIVAS SÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO

DIFERENCIAL?

 𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡  𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡 + 1  𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡 − 2  𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡 + 1000  𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡 − 10

 𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡: ሶ𝑥 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑣  𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡 + 1 ሶ𝑥 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 + 1 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑1 𝑑𝑡 = 𝑣 + 0 = 𝑣  𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡 − 2 ሶ𝑥 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 − 2 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑 −2 𝑑𝑡 = 𝑣 + 0 = 𝑣  𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡 + 1000 ሶ𝑥 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 + 1000 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑 1000 𝑑𝑡 = 𝑣 + 0 = 𝑣  𝑥 𝑡 = 𝑣 × 𝑡 − 10 ሶ𝑥 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 + 1000 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 × 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑 −10 𝑑𝑡 = 𝑣 + 0 = 𝑣

QUAL A EQUAÇÃO GERAL?

 Qual a equação geral que resolve a seguinte equação diferencial?

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥

SOLUÇÃO GERAL

 Solução: 𝑥 𝑡 = 𝑣 ∙ 𝑡 + 𝐶  Confirmação da solução: ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 ∙ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝑣 + 0 = 𝑣

PRIMITIVA

 Dada uma 𝑤 uma Primitiva ou antiderivada de uma função 𝑓 𝑤 é uma função 𝐹 𝑤 tal que 𝐹′ 𝑤 = 𝑑𝐹 𝑤

𝑑𝑤 =

𝑓 𝑤 .

 Primitiva ou antiderivada é o inverso da derivada.

QUESTÃO PARA RACIOCÍNIO

 Qual a solução da equação diferencial?

MODELAR O MOVIMENTO DE UAV EM VELOCIDADE CONSTANTE

 Modelar movimento de UAV assumindo que a posição inicial era (0,0,5) e que as equações do movimento são as

seguintes:

ቐ

ሶ𝑥 = 10 m/𝑠 ሶ𝑦 = 0 m/𝑠

SOLUÇÃO: É NECESSÁRIO ESCOLHER AS CONSTANTES

ቐ 𝑥 = 10𝑡 + 𝐶₁ 𝑦 = 𝐶₂ 𝑧 = 𝐶₃ → ቐ 𝑥 = 10𝑡 𝑦 = 0 𝑧 = 5

Constantes definidas para os valores da posição

inicial! 𝐶₁ = 0, 𝐶₂ = 0, 𝐶₃ = 5

Qual a posição da aeronave ao fim de 60 segundos?

(0,0,5)

EXERCÍCIO 1: MODELAR O MOVIMENTO DE UAV EM VELOCIDADE

CONSTANTE

 Modelar movimento de UAV assumindo que a posição inicial era (0,0,5) e que as equações do movimento são as

seguintes:

ቐ

ሶ𝑥 = −10 m/𝑠 ሶ𝑦 = 0 m/𝑠

ሶ𝑧 = 0 m/s

OUTRO MODO DE OLHAR

න 𝐹′ 𝑤 𝑑𝑤 = 𝐹 𝑤 + 𝐶 Função primitiva Constante geral Função derivada Diferencial

O integral indefinido fornece como resultado uma família de funções primitivas todas com a mesma derivada. A escolha da constante depende do problema em questão.

INTEGRAIS INDEFINIDOS

 Qual o resultado geral dos seguintes integrais indefinidos?

න 𝑑𝑥

න 𝑘 𝑑𝑥

SOLUÇÃO

 Fórmula geral: ׬ 𝐹′ 𝑤 𝑑𝑤 = 𝐹 𝑤 + 𝐶

 Solução para os três integrais:

න 𝑑𝑤 = 𝑤 + 𝐶

CASOS GERAIS I

׬ 𝑑𝑤 = 𝑤 + 𝐶

න 𝑘𝑑𝑤 = 𝑘𝑤 + 𝐶

RELAÇÃO ENTRE INTEGRAIS E DERIVADAS

Integral Derivada න 𝑑𝑤 = 𝑤 + 𝐶 𝑑 𝑤 + 𝐶 𝑑𝑤 = 𝑑𝑤 𝑑𝑤 + 𝑑𝐶 𝑑𝑤 = 1 + 0 = 1 න 𝑘𝑑𝑤 = 𝑘𝑤 + 𝐶 𝑑 𝑘𝑤 + 𝐶 𝑑𝑤 = 𝑑 𝑘𝑤 𝑑𝑤 + 𝑑𝐶 𝑑𝑤 = 𝑘 + 0 = 𝑘 න 0𝑑𝑤 = 𝐶 𝑑 𝐶 𝑑𝑤 = 0

REVISITANDO O CASO DE VELOCIDADE CONSTANTE

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 ⇔ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 ⇔ න 𝑑𝑥 = න 𝑣𝑑𝑡 ⟺ 𝑥 𝑡 = 𝑣 ∙ 𝑡 + 𝐶 Equação dinâmica

Definição da constante: 𝑥 0 = 𝑣 × 0 + 𝐶 = 𝐶, logo, 𝐶 corresponde ao valor da coordenada inicial

(coordenada no momento 𝑡 = 0), definindo a coordenada inicial como 𝑥₀, podemos reescrever a

equação como:

CASO DO UAV REVISITADO PARA COORDENADAS INICIAIS GERAIS

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 10 ሶ𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ሶ𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 0 ⟺ න 𝑑𝑥 = න 10𝑑𝑡 න 𝑑𝑦 = න 0𝑑𝑡 න 𝑑𝑧 = න 0𝑑𝑡 ⟺ ൞ 𝑥 𝑡 = 10𝑡 + 𝑥₀ 𝑦 𝑡 = 0𝑡 + 𝑦₀ 𝑧 𝑡 = 0𝑡 + 𝑧₀ ⟺ ൞ 𝑥 𝑡 = 10𝑡 + 𝑥₀ 𝑦 𝑡 = 𝑦₀ 𝑧 𝑡 = 𝑧₀ Sistema de equações diferenciais. Passagem aos integrais Cálculo dos

EXERCÍCIO: CASO DO UAV COM ALTURA CONSTANTE

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣𝑥 ሶ𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣𝑦 ሶ𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 0

CASO DO UAV REVISITADO PARA COORDENADAS INICIAIS GERAIS

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣𝑥 ሶ𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣𝑦 ሶ𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 0 ⟺ න 𝑑𝑥 = න 𝑣_𝑥𝑑𝑡 න 𝑑𝑦 = න 𝑣_𝑦𝑑𝑡 න 𝑑𝑧 = න 0𝑑𝑡 ⟺ ൞ 𝑥 𝑡 = 𝑣_𝑥𝑡 + 𝑥₀ 𝑦 𝑡 = 𝑣_𝑦𝑡 + 𝑦₀ 𝑧 𝑡 = 𝑧₀

POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO

 Posição: 𝑥 𝑡 (Unidade de medida: 𝑚)  Velocidade: 𝑣 𝑡 = ሶ𝑥 𝑡 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡 (Unidade de medida: 𝑚/𝑠)  Aceleração: 𝑎 𝑡 = ሶ𝑣 𝑡 = ሷ𝑥 𝑡 = 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 (Unidade de medida: 𝑚/𝑠 2₎

ACELERAÇÃO CONSTANTE, EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA

ORDEM

 Aceleração constante: ሷ𝑥 = 𝑎 ⟺ 𝑑 2_𝑥 𝑑𝑡2 = 𝑎 ⟺ 𝑑 ሶ𝑥 𝑑𝑡 = 𝑎

 Definindo a velocidade como 𝑣 = ሶ𝑥 podemos reescrever a última equação do seguinte modo:

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑎 ⟺ 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 ⟺ න 𝑑𝑣 = න 𝑎𝑑𝑡 ⟺ 𝑣 𝑡 = 𝑎 ∙ 𝑡 + 𝑣0

 Definindo a velocidade como 𝑣 = ሶ𝑥 podemos reescrever a última equação do seguinte modo:

ሶ𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡 + 𝑣₀

 Calculando integrais temos de resolver a seguinte equação:

CASOS GERAIS I

׬ 𝑤

𝑛

𝑑𝑤 =

𝑤

𝑛+1

𝑛+1

+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1

׬ 𝑘𝑓 𝑤 𝑑𝑤 = 𝑘 ׬ 𝑓 𝑤 𝑑𝑤

RESOLUÇÃO DO CASO DE ACELERAÇÃO CONSTANTE

න 𝑑𝑥 = න 𝑎 ∙ 𝑡 + 𝑣₀ 𝑑𝑡 ⟺ ⟺ න 𝑑𝑥 = න 𝑎 ∙ 𝑡𝑑𝑡 + න 𝑣₀𝑑𝑡 ⟺ ⟺ න 𝑑𝑥 = 𝑎 න 𝑡𝑑𝑡 + න 𝑣₀𝑑𝑡 ⟺ ⟺ 𝑥 = 𝑎𝑡 2 2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0

TRAJECTÓRIA GERAL DE UAV COM ACELERAÇÃO

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣𝑥 ሶ𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣𝑦 ሷ𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝑎

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem Equação diferencial ordinária de segunda ordem

EQUAÇÃO GERAL PARA A POSIÇÃO

ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣𝑥 ሶ𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣𝑦 ሷ𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝑎 ⟺ 𝑥 = 𝑣_𝑥𝑡 + 𝑥₀ 𝑦 = 𝑣_𝑦𝑡 + 𝑦₀ 𝑧 = 𝑎∙𝑡2 2 + 𝑣𝑧𝑡 + 𝑧0

DINÂMICA PARA CASO ESPECÍFICO

 Posição inicial: 0,0,5  Velocidade inicial: 0,0,0

 Velocidades constantes: 𝑣_𝑥 = 2, 𝑣_𝑦 = 1.5,

 Parâmetros para a altura: 𝑎 = −3, 𝑧₀ = 5

 Questões:

 Qual a trajectória do drone?

 Quando é que o drone aterra? (Assume-se a origem do eixo como o chão!)  Onde é que o drone aterra? (Assume-se a origem do eixo como o chão!)

EQUAÇÕES DINÂMICAS PARA A POSIÇÃO

𝑥 = 𝑣_𝑥𝑡 + 𝑥₀ 𝑦 = 𝑣_𝑦𝑡 + 𝑦₀ 𝑧 = 𝑎 ∙ 𝑡 2 2 + 𝑣𝑧𝑡 + 𝑧0 ⟶ 𝑥 = 2𝑡 𝑦 = 1.5𝑡 𝑧 = −3𝑡 2 2 + 5

QUANDO É QUE O DRONE ATERRA?

𝑧 = 0 ⟺ −3𝑡 2 2 + 5 = 0 ⟺ −3𝑡 2 _{+ 10 = 0 ⟺ −3𝑡}2 _{= −10 ⟺ 3𝑡}2 _{= 10 ⟺ 𝑡 =} 10 3

ONDE É QUE O DRONE ATERRA?

𝑥 = 2𝑡 𝑦 = 1.5𝑡 𝑧 = −3𝑡 2 2 + 5 𝑡 = 10 3 ⟶ 𝑥 = 2 × 10 3 𝑦 = 1.5 × 10 3 𝑧 = − 3 10₃ 2 2 + 5 = − 3 × 10₃ 2 + 5 = − 10 2 + 5 = −5 + 5 = 0

DINÂMICA EXPONENCIAL

 Considere-se a seguinte equação diferencial de primeira ordem:

ሶ𝑥 = 𝑒𝑡

 Qual é a equação dinâmica para a aceleração?

DINÂMICA EXPONENCIAL

 Velocidade: ሶ𝑥 = 𝑒𝑡  Aceleração: ሷ𝑥 = 𝑑 ሶ𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑒𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡  Posição: ሶ𝑥 = 𝑒𝑡 ⟺ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 _{⟺ 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑡_{𝑑𝑡 ⟺ න 𝑑𝑥 = න 𝑒}𝑡_{𝑑𝑡 ⟺ 𝑥 = 𝑒}𝑡 _{+ 𝐶}

Questão: qual o valor de 𝐶 face ao problema dinâmico?

SUBSTITUIÇÃO DA CONSTANTE E REFORMULAÇÃO DA EQUAÇÃO

DINÂMICA

 Equação dinâmica: 𝑥 𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝐶  Quando 𝑡 = 0: 𝑥 0 = 𝑒0 + 𝐶 = 1 + 𝐶

 logo, 𝐶 = 𝑥 0 − 1, denotando a coordenada inicial por 𝑥₀ então podemos escrever 𝐶 = 𝑥₀ − 1, substituindo na

equação inicial obtemos a forma final com a constante completamente definida pelo problema dinâmico: 𝑥 𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑥₀ − 1

DINÂMICA EXPONENCIAL

 Considere-se a seguinte equação diferencial de primeira ordem, com 𝑘 ≠ 0:

ሶ𝑥 = 𝑒𝑘𝑡

 Qual é a equação dinâmica para a aceleração?

ACELERAÇÃO

 Equação diferencial para a velocidade:

ሶ𝑥 = 𝑒𝑘𝑡

 Equação diferencial para a aceleração:

ሷ𝑥 = 𝑑 ሶ𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑒𝑘𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑘𝑡 _∙𝑑 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑘𝑡 _{∙ 𝑘 = 𝑘𝑒}𝑘𝑡

 No caso acima aplicou-se a regra da cadeia que determina que:

𝑑𝑒𝑓 𝑤

𝑑𝑤 = 𝑒

POSIÇÃO

ሶ𝑥 = 𝑒𝑘𝑡 ⟺ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑒

VIA MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR MUDANÇA DE VARIÁVEL

 Precisamos de calcular: ׬ 𝑒𝑘𝑡 𝑑𝑡  Nova variável: 𝑢 = 𝑘𝑡 ⟺ 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑘 ⟺ 𝑑𝑢 = 𝑘𝑑𝑡 ⟺ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝑘 , 𝑘 ≠ 0

 Substituindo no integral, resolvemos a equação diferencial:

න 𝑑𝑥 = න 𝑒𝑘𝑡𝑑𝑡 ⟺ න 𝑑𝑥 = න 𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑘 ⟺ 𝑥 = 𝑒𝑢 𝑘 + 𝐶 ⟺ 𝑥 = 𝑒𝑘𝑡 𝑘 + 𝐶

QUAL É A COORDENADA INICIAL

(COORDENADA NO MOMENTO 0)

𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑘𝑡 𝑘 + 𝐶 𝑥 0 = 𝑒 𝑘×0 𝑘 + 𝐶 = 𝑒0 𝑘 + 𝐶 = 1 𝑘 + 𝐶

Esta não é a coordenada inicial

Esta é a coordenada inicial

Logo, tal como anteriormente, a

constante arbitrária deve ser definida tal que a correspondência com a coordenada inicial seja estabelecida, ou seja, dada a coordenada inicial 𝑥 0 temos de definir um valor para a constante

SUBSTITUIÇÃO DA CONSTANTE

 Denotando por 𝑥₀ como o valor da coordenada inicial:

𝑥₀ = 1

𝑘 + 𝐶 ⟺ 𝑥0 − 1

𝑘 = 𝐶

 Logo, a equação dinâmica com a constante substituída é dada por:

𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑘𝑡 𝑘 + 𝑥0 − 1 𝑘 = 𝑒𝑘𝑡 − 1 𝑘 + 𝑥0

TRÊS SOLUÇÕES

 Velocidade: ሶ𝑥 = 𝑒𝑘𝑡  Aceleração: ሷ𝑥 = 𝑘𝑒𝑘𝑡  Posição: 𝑥 = 𝑒 𝑘𝑡 _{− 1} 𝑘 + 𝑥0

QUAL A DINÂMICA DO UAV?

 Posição inicial (0,0,0), equações dinâmicas (k=-0.5)

൞

ሶ𝑥 = 𝑒−0.5𝑡 ሶ𝑦 = 𝑒−0.5𝑡 ሶ𝑧 = 𝑒−0.5𝑡

ACELERAÇÃO E VELOCIDADE

-0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0 5 10 15 20 25 30 35 A cele ra çã o t -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 5 10 15 20 25 30 35 Veloci da de t

POSIÇÃO

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 Posição final: (2,2,2)

CÁLCULO DOS LIMITES

lim 𝑡→+∞𝑥 𝑡 = lim𝑡→+∞ 𝑒−0.5𝑡 − 1 −0.5 = 0 − 1 −0.5 = −1 −0.5 = 2 lim 𝑡→+∞𝑦 𝑡 = lim𝑡→+∞ 𝑒−0.5𝑡 − 1 −0.5 = 0 − 1 −0.5 = −1 −0.5 = 2 lim 𝑡→+∞𝑧 𝑡 = lim𝑡→+∞ 𝑒−0.5𝑡 − 1 −0.5 = 0 − 1 −0.5 = −1 −0.5 = 2

DINÂMICA LOGARÍTMICA

 Considere-se a seguinte equação diferencial:

ሶ𝑥 = 1

DINÂMICA LOGARÍTMICA

 Primeira derivada: ሶ𝑥 = 1 𝑡 , 𝑡 ≠ 0  Segunda derivada: ሷ𝑥 = 𝑑 ሶ𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 1_𝑡 𝑑𝑡 = − 1 𝑡2  Dinâmica: ሶ𝑥 = 1 𝑡 ⟺ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 1 𝑡 ⟺ 𝑑𝑥 = 1 𝑡 𝑑𝑡 ⟺ න 𝑑𝑥 = න 1 𝑡 𝑑𝑡 ⟺ 𝑥 = ln 𝑡 + 𝐶

 A que valor corresponde a constante?

𝑥 1 = ln 1 + 𝐶 = 0 + 𝐶 = 𝐶

Integrais Trabalhados na Sua Forma Geral න 𝑑𝑤 = 𝑤 + 𝐶 න 𝑤𝑛𝑑𝑤 = 𝑤 𝑛+1 𝑛 + 1 + 𝐶, 𝑛 ≠ −1 න 𝑘𝑑𝑤 = 𝑘𝑤 + 𝐶 න 𝑒𝑤 𝑑𝑤 = 𝑒𝑤 + 𝐶 න 0𝑑𝑤 = 𝐶 න 𝑒𝑘𝑤 𝑑𝑤 = 𝑒 𝑘𝑡 𝑘 + 𝐶 න 𝑤 𝑑𝑤 = 𝑤 2 2 + 𝐶 න 1 𝑤𝑑𝑤 = ln 𝑤 + 𝐶 RegrasTrabalhadas න 𝑘𝑓 𝑤 𝑑𝑤 = 𝑘 න 𝑓 𝑤 𝑑𝑤 න 𝑓 𝑤 + 𝑔 𝑤 𝑑𝑤 = න 𝑓 𝑤 𝑑𝑤 + න 𝑔 𝑤 𝑑𝑤

RESOLVER A EQUAÇÃO DIFERENCIAL

 ሶ𝑥 = 𝑘𝑥  ሶ𝑥 = 𝑘𝑥 ⟺ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑘𝑥 ⟺ 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑘𝑑𝑡 ⟺ ׬ 𝑑𝑥 𝑥 = ׬ 𝑘 𝑑𝑡 ⟺ ln 𝑥 = 𝑘𝑡 + 𝐶

CASO ESPECIAL

 𝑥 > 0

 ln 𝑥 𝑡 = 𝑘𝑡 + 𝐶

 Colocando 𝑡 = 0, obtemos para a constante 𝐶 = ln 𝑥 0 , logo, podemos substituir e simplificar o resultado do

seguinte modo: ln 𝑥 𝑡 = 𝑘𝑡 + ln 𝑥 0 ⟺ ⟺ ln 𝑥 𝑡 − ln 𝑥 0 = 𝑘𝑡 ⟺ ⟺ ln 𝑥 𝑡 𝑥 0 = 𝑘𝑡 ⟺ ⟺ 𝑒ln 𝑥 𝑡 𝑥 0 _{= 𝑒}𝑘𝑡 _⟺ ⟺ 𝑥 𝑡 𝑥 0 = 𝑒 𝑘𝑡 _{⟺ 𝑥 𝑡 = 𝑥 0 𝑒}𝑘𝑡

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

𝜃 sen 𝜃 cos 𝜃 Círculo de raio 1 1

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Fonte: adaptado de “PAR - Own work, CC0,

VALORES DE (COSENO, SENO) PARA DIFERENTES ÂNGULOS

Fonte:“Jim.belk - Own work, Public Domain,

https://commons.wikimedia.org/w/index .php?curid=12062595”

RECURSOS SOBRE TRIGONOMETRIA

 Funções trigonométricas:  https://matematicabasica.net/funcoes-trigonometricas/  Identidades trigonométricas:  https://trigidentities.info  Trigonometria:  https://pt-pt.khanacademy.org/math/trigonometry

DRONE EM ROTAÇÃO EM TORNO DE ALVO (ORBIT FLYING)

 Vídeos:

 https://www.youtube.com/watch?v=NlgI_f45mrs  https://www.youtube.com/watch?v=IP86X7ecrT8  https://www.youtube.com/watch?v=_wEoSKM8-hs

CASO BIDIMENSIONAL UGV

 Movimento circular em torno de círculo de raio unitário.  𝑥, 𝑦 = cos 𝜃 , sen 𝜃

DINÂMICA CIRCULAR 1

 𝜃 = 𝑡

 𝑥, 𝑦 = cos 𝑡 , sen 𝑡

 Questão 1: qual é a dinâmica para a velocidade?  Questão II: qual é a dinâmica para a aceleração?

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 -1,5y(t -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 ) x(t)

DERIVADAS GERAIS E INTEGRAIS PARA AS FUNÇÕES SENO E

COSENO

 𝑑sen 𝑥 𝑑𝑥 = cos 𝑥  𝑑 cos 𝑥 𝑑𝑥 = −sen 𝑥  _{׬sen 𝑥 𝑑𝑥 =?}  _{׬ cos 𝑥 𝑑𝑥 =?}

DERIVADAS E INTEGRAIS DAS FUNÇÕES SENO E COSENO

Função Derivada Integral

sen 𝑥 𝑑sen 𝑥

𝑑𝑥 = cos 𝑥 න sen 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

cos 𝑥 𝑑 cos 𝑥

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

 𝜃 = 𝑡  𝑥, 𝑦 = cos 𝑡 , sen 𝑡  ሶ𝜃 = 1 ሶ𝑥 = 𝑑 cos 𝑡 𝑑𝑡 = −sen 𝑡 ሶ𝑦 = 𝑑sen 𝑡 𝑑𝑡 = cos 𝑡  ሷ𝜃 = 0 ሷ𝑥 = 𝑑2cos 𝑡 𝑑𝑡2 = 𝑑 −sen 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑑 sen 𝑡 𝑑𝑡 = − cos 𝑡 ሷ𝑦 = 𝑑 cos 𝑡 𝑑𝑡 = −sen 𝑡

GENERALIZAÇÃO DOS PARÂMETROS

 Círculo de raio 𝑟 e velocidade angular 𝑘.

 Necessário derivada de função composta, pela regra da cadeia, temos:  sen 𝑢 𝑥 ′ = 𝑢′ 𝑥 cos 𝑢 𝑥

EQUAÇÕES DINÂMICAS

 𝑥, 𝑦 = 𝑟 cos 𝑘𝑡 , 𝑟 sen 𝑘𝑡  𝑑 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = 𝑘  ሶ𝜃 = 𝑘 ሶ𝑥 = 𝑑 𝑟cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑟 ∙ 𝑘 sen 𝑘𝑡 ሶ𝑦 = 𝑑 𝑟sen 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = 𝑟 ∙ 𝑘 cos 𝑘𝑡  ሷ 𝜃 = 0 ሷ𝑥 = 𝑑2 𝑟cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡2 = 𝑑 − 𝑟∙𝑘 sen 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑟 ∙ 𝑘 𝑑 sen 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑟 ∙ 𝑘 2 _{cos 𝑘𝑡} ሷ𝑦 = − 𝑟 ∙ 𝑘2 sen 𝑘𝑡

RELAÇÃO ENTRE MAGNITUDE DA VELOCIDADE DO CORPO, A

VELOCIDADE ANGULAR E O RAIO DO CÍRCULO

ሶ

𝜃 = 𝑣 𝑟

 Substituindo na fórmula do sistema de equações diferenciais obtemos:



ሶ𝜃 = 𝑘 = 𝑣

𝑟

ሶ𝑥 = − 𝑟 ∙ 𝑘 sen 𝑘𝑡 = − 𝑟 ∙ 𝑣

𝑟 sen 𝑘𝑡 = −𝑣 sen 𝑘𝑡 = −𝑣 sen 𝜃 𝑡

ሶ𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑘 cos 𝑘𝑡 = 𝑟 ∙ 𝑣

𝑟 cos 𝑘𝑡 = 𝑣 cos 𝑘𝑡 = 𝑣 cos 𝜃 𝑡

 ሶ𝑥2 _{+ ሶ𝑦}2 _{= −𝑣 sen 𝜃 𝑡} 2 _{+ 𝑣 cos 𝜃 𝑡} 2 _{= 𝑣}2_sen2 _{𝜃 𝑡 + 𝑣}2 _cos2 _{𝜃 𝑡 =}

𝑣2 _sen2 _{𝜃 𝑡 + cos}2 _{𝜃 𝑡 = 𝑣}2 _{= |𝑣| (magnitude da velocidade (speed))}

Velocidade do corpo Raio

ACELERAÇÃO

 ሷ 𝜃 = 0 ሷ𝑥 = − 𝑟 ∙ 𝑘2 cos 𝑘𝑡 = − 𝑟𝑣2 𝑟2 cos 𝑘𝑡 = − 𝑣2 𝑟 cos 𝑘𝑡 = − 𝑣2 𝑟 cos 𝜃 𝑡 ሷ𝑦 = − 𝑟 ∙ 𝑘2 sen 𝑘𝑡 = − 𝑟𝑣2 𝑟2 sen 𝑘𝑡 = − 𝑣2 𝑟 sen 𝑘𝑡 = − 𝑣2 𝑟 sen 𝜃 𝑡  Magnitude da aceleração: ሷ𝑥2 + ሷ𝑦2 = 𝑣4 𝑟2 = 𝑣2 𝑟 (aceleração centrípeta)

MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

 Como realizar integração de produto de funções? Depende do problema!

CASO 1

න 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 =?  _{׬ 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − ׬ 𝑓 𝑥 𝑔}′ 𝑥 𝑑𝑥  𝑔 𝑥 = 𝑥  𝑔′ 𝑥 = 1  𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥  ׬ 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = ׬ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶₀

 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 (toma-se 𝐶₀ = 0, utiliza-se a primitiva)

CASO 2

න 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 =?  ׬ 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − ׬ 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥  𝑔 𝑥 = 𝑥  𝑔′ 𝑥 = 1  𝑓′ 𝑥 = sen 𝑥

 𝑓 𝑥 = − cos 𝑥 (calculando a primitiva)

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E DINÂMICAS OSCILATÓRIAS

 Qual é a solução da equação diferencial?

ሶ𝑥 = 2𝑘sen 𝑘𝑡 cos 𝑘𝑡

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL

 ሶ𝑥 = 2𝑘sen 𝑘𝑡 cos 𝑘𝑡 ⟺ 𝑑𝑥 = 2sen 𝑘𝑡 × 𝑘cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡 ⟺ ׬ 𝑑𝑥 = ׬ 2sen 𝑘𝑡 × 𝑘cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡

 Mudança de variável 𝑢 = sen 𝑘𝑡 ⟺ 𝑑𝑢

𝑑𝑡 = 𝑘 cos 𝑘𝑡 ⟺ 𝑑𝑢 = 𝑘 cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡, substituindo no integral:  ׬ 2sen 𝑘𝑡 × 𝑘cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = ׬ 2𝑢 𝑑𝑢 = 2 ׬ 𝑢𝑑𝑢 = 2 𝑢2 2 + 𝐶 = 𝑢 2 _{+ 2𝐶 = 𝑢}2 _{+ 𝐶} 1 = sen2 𝑘𝑡 + 𝐶1 Aplicando a regra: න 𝑤 𝑑𝑤 = 𝑤 2 2 + 𝐶

CÁLCULO DA CONSTANTE

 𝑥 𝑡 = sen2 𝑘𝑡 + 𝐶₁  𝑥 0 = 0 + 𝐶₁  Logo: 𝑥 𝑡 = sen2 𝑘𝑡 + 𝑥 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 5 10 15 20 25 30 x( t) t Simulação para 𝑥 0 = 0, 𝑘 = 2.