Geometria Analítica e Álgebra
Linear
Sistemas Lineares
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 1
Equação Linear
• Toda equação na forma a1x1 + a2x2 + a3x3+ ...+ anxn = b é
denominada equação linear.
– a1, a2, a3, ... an, são os coeficientes
– x1, x2, x3,... xn, são as incógnitas
– b é o termo independente • Exemplos de equações lineares:
– 4x1– 2x2+ 7x3= 5 Três incógnitas (x1,x2,x3), Três coeficientes (4,-2,7) e 5 é o termo independente.
– x + y – z + t = -1 Quatro Incógnitas (x, y, z, t) Quatro Coeficientes (1, 1, -1, 1). -1 é o termo independente.
• Quando o termo independente b é igual a zero, a equação linear é chamada Equação Linear Homogênea.
Equação Linear
• Uma equação linear possui expoente de suas incógnitas sempre iguais a 1, ou seja, cada termo da equação possui apenas uma incógnita.
• Sendo assim:
– 3x12 + 2x23 = 10 Não é uma equação linear (Tem incógnitas elevadas ao quadrado e ao cubo.
– 2x.y + z = 5 Não é uma equação linear (Tem duas incógnitas para um mesmo termo)
• A solução de uma equação linear é a seqüência de números reais que, ao substituírem respectivamente todas as incógnitas da mesma, satisfazem a igualdade.
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Equação Linear
• Exemplos de soluções de equações lineares:
– O conjunto de números reais (2,0,-6) satisfaz a igualdade 4x – y +z = 2, pois 4.2 – 1.0 +1.(-6) = 2.
– O par ordenado (-1,-4) é solução da equação linear 3x-2y=5 pois 3.(-1) – 2.(-4) = 5.
– O conjunto de números (3, 5, 2, 1) satisfaz a igualdade x1+ 5x2+ x3+ 3x4 = 33 , pois 1.3+5.5+1.2+3.1 = 33
• Uma solução evidente para uma equação linear homogênea é zero para todas as incógnitas:
– 3x + y = 0 (0,0) satisfaz esta igualdade, portanto é solução! – 14x + 9y + 12z + 5t = 0 (0,0,0,0) também satisfaz esta igualdade! – x1 + 3x2 + 9x3 = 0 (0,0,0) é solução para esta equação linear
Sistema Linear
• O conjunto de m equações de n incógnitas é denominado
Sistema Linear e é apresentado na seguinte forma:
em que a11, a12, ... anm, b1,b2,...bn, são números reais.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 5
n n mn m m n n n nb
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11
Sistemas Lineares
• Assim como para equações lineares, denomina-se solução de
um sistema linear o conjunto de números reais que satisfazem todas as equações do sistema simultâneamente.
• Se todos os termos independentes de todas as equações (b1, b2, b3... bn) forem iguais a zero, o sistema linear é denominado
homogêneo e zero é uma solução trivial para o mesmo. Ex:
• Se dois sistemas lineares possuem a mesma solução, estes sistemas são equivalentes.
0
2
5
4
0
0
2
0
5
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Classificação de um Sistema Linear
• Um sistema Linear pode ser classificado de três maneiras:
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Sistema Linear
Possível ou Compatível:
Possui solução
Determinado:
Admite uma única solução Indeterminado: Admite infinitas soluções Impossível ou Incompatível: Não possui solução
Solucionando um Sistema Linear
• Existem algumas formas de se resolver
um sistema linear. Duas delas são:
– Resolução por Escalonamento
– Resolução pela Regra de Cramer
• A
Regra
de
Cramer
também
nos
permite discutir se um sistema é
possível (determinado ou não) ou
impossível.
Sistema Linear Escalonado
• Um sistema linear se apresenta na forma escalonada quando ele passa a ter um coeficiente não nulo a menos a cada equação. Vejamos alguns exemplos:
• A resolução de um sistema escalonado fica bastante simplificada, pois podemos obter o resultado da única incógnita da última equação e substituí-la na anterior, obtendo outro resultado e assim por diante.
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1
0
4
3
y
x
y
x
7
0
0
1
5
0
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Exemplo 1
• Resolver o seguinte sistema escalonado:
• Da última equação temos que • Substituímos z na equação anterior: • Agora substituímos z e y na primeira equação
7
1
5
2
2
z
z
y
z
y
x
6
,
1
8
5
1
)
7
(
5
y
y
y
2
,
8
2
)
7
(
)
6
,
1
.(
2
x
x
7
z
Escalonamento de Sistemas
• Para facilitar a resolução de um sistema linear, podemos
transofrmá-lo em um sistema escalonado equivalente
(com mesma solução) pela aplicação das seguintes
propriedades:
– Trocar posição de duas equações. – Trocar as incógnitas de posição.
– Dividir uma das equações por um número real diferente de zero. – Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o resultado a
outra equação.
• Após transformação do sistema em outro na forma
escalonada, resolve-se o mesmo por substituição como
demonstrado anteriormente.
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O processo de escalonamento
I) Colocamos como 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita seja diferente de zero.
II) Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações (com exceção da 1ª) substituindo cada uma delas pela soma da primeira multiplicada por um número conveniente.
III) Deixamos de lado a 1ª equação e aplicamos o 1º e 2º passos nas restantes.
IV) Deixamos de lado a 1ª e a 2ª equação e aplicamos o 1º e 2º passos nas restantes, e assim por diante, até o sistema ficar escalonado.
Exemplo 2
• Escalonar o seguinte sistema linear:
• Para “eliminar” x na segunda e terceira equações, podemos multiplicar a primeira equação por -2 e -3 e somá-la a cada uma delas:
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7
3
3
8
2
2
5
4
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
7
3
3
8
2
2
5
4
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
- 2 - 3Exemplo 2
• Assim, o sistema fica:
• Dividindo-se a segunda equação por -5, deixamos y com o coeficiente igual a 1:
• Agora multiplicamos a segunda equação por 9 e somamos a mesma à terceira, eliminando y:
• Assim temos:
8
13
9
2
6
5
5
4
2
z
y
z
y
z
y
x
8 13 9 5 2 5 6 5 4 2 z y z y z y x 8 13 9 5 2 5 6 5 4 2 z y z y z y x 9 5 22 5 11 5 2 5 6 5 4 2 z z y z y xExemplo 3
• Resolver o seguinte sistema por escalonamento:
• Agora podemos resolver. Na terceira equação temos:
• Substituindo na segunda:
• Substituindo na terceira:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 15
14
2
3
2
16
4
3
8
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
- 3 - 2
2
8
4
2
8
2
y
z
y
z
y
x
2
y
4
4
8
4
2
.
2
z
z
1
z
5
8
8
1
2
.
2
x
x
3
x
Exemplo 4
• Resolver o seguinte sistema por escalonamento: • O sistema na forma escalonada seré:
24
3
2
5
12
2
4
15
4
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
24
3
2
5
15
4
3
12
2
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x
- 4 - 5
51
17
17
48
17
14
15
4
3
z
y
z
y
z
y
x
- 1
3
3
48
17
14
15
4
3
y
z
y
z
y
x
Exemplo 4
• Agora resolvendo: • Da terceira equação: • Substituindo na segunda equação, temos: • Finalmente, na primeira equação:Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 17
3
3
48
17
14
15
4
3
y
z
y
z
y
x
3
3
y
1
y
34
17
14
48
17
48
17
)
1
.(
14
z
z
z
2
z
8
3
15
15
2
.
4
)
1
.(
3
x
x
4
x
Expressão Matricial de um Sistema Linear
• Seja um sistema linear na forma padrão
• Ele pode ser representado matricialmente na forma
n n mn m m n n n nb
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11
tes Independen Termos dos Matriz Incógnitas das Matriz es Coeficient dos MatrizB
X
A
Expressão Matricial de um Sistema Linear
• Então, o sistema fica da forma
• Conhecendo-se as matrizes A, X e B, podemos resolver sistemas lineares pela Regra de Cramer.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 19
B n X n A mn m m n nb
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11Exemplo 5
• Represente o sistema linear abaixo na forma matricial:
8
2
7
1
6
3
4
0
5
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
8
1
0
.
2
1
7
6
3
4
1
5
2
3 2 1x
x
x
Exemplo 6
• Represente o sistema linear abaixo na forma matricial:
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4
2
7
4
0
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
4
7
0
.
1
1
2
1
1
4
1
3
2
z
y
x
A Regra de Cramer
• A Regra de Cramer é útil para resolvermos sistemas lineares de forma direta.
• Primeiro, representamos o sistema na forma matricial e
identificamos as matrizes A e B.
B n X n A mn m m n nb
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11A Regra de Cramer
• Para cada incógnita, vamos substituir a matriz B na coluna da matriz A que corresponde à incógnita.
• Por exemplo, a incógnita x1corresponde à primeira coluna de
A logo, ao substituirmos B, temos uma nova matriz:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 23
mn m n n na
a
b
a
a
b
a
a
b
A
2 2 22 2 1 12 1 1Para x
1A Regra de Cramer
• Podemos criar novas matrizes para cada incógnita:
mn n m n na
b
a
a
b
a
a
b
a
A
1 2 2 21 1 1 11 2Para x
2
n m m nb
a
a
b
a
a
b
a
a
A
2 1 2 22 21 1 12 11Para x
nA Regra de Cramer
• Finalmente, o valor de cada incógnita será a razão entre os determinantes da matriz gerada pela substituição da coluna correspondente pela matriz B, e o determinante da matriz A:
• Ou seja, para x1,x2e x3por exemplo...
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 25
A
A
x
n ndet
det
A
A
x
det
det
1 1
A
A
x
det
det
2 2
A
A
x
det
det
3 3
Exemplo 7
• Resolva o seguinte sistema por Cramer:
• Identificamos a matriz A e calculamos seu determinante:
• Agora encontramos a matriz correspondente a x (A1) • Assim:
2
5
7
2
y
x
y
x
11
det
5
1
1
2
A
A
33
det
5
2
1
7
1 1
A
A
11
33
det
det
1
A
A
x
x
3
Matriz BExemplo 7
• Da mesma maneira, calcularemos y:
• Este sistema linear, por ser um sistema simples, poderia ser mais facilmente resolvido por outros métodos como
escalonamento e
substituição.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 27
11
det
2
1
7
2
2 2
A
A
Matriz B11
11
det
det
2
A
A
y
y
1
Exemplo 8
• Resolva o seguinte sistema linear pela Regra de Cramer:
1
10
5
4
3
0
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
12
det
1
1
1
5
4
3
1
2
1
A
A
1
10
0
B
24
det
1
1
1
5
4
10
1
2
0
1 1
A
A
12
24
det
det
1 1
A
A
x
x
1
2
Exemplo 8
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 29
12
det
1
1
1
5
10
3
1
0
1
2 2
A
A
0
det
1
1
1
10
4
3
0
2
1
3 3
A
A
12
12
det
det
2 2
A
A
x
x
2
1
12
0
det
det
3 3
A
A
x
x
3
0
Discussão de um Sistema Linear
• Discutir um Sistema Linear é saber se ele é Possível,
Impossível ou Indeterminado.
• Uma maneira simples de se discutir um sistema linear deriva da Regra de Cramer.
• Pela Regra de Cramer, sabemos que:
• Logo, pelas matrizes formadas, podemos estudar o sistema como a seguir.
A
A
x
n ndet
det
Discussão de um Sistema Linear
• A partir das matrizes A e A1, A2..An, definimos a classificação de
um sistema linear pelas seguintes relações:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 31
•Sistema Possível e Determinado (SPD): detA ≠ 0 •Sistema Possível e Indeterminado (SPI): det A = 0
det A1= det A2= ..det An= 0
•Sistema Impossível (SI): det A = 0
pelo menos um det An≠ 0
Exemplo 9
• Determine k para que o sistema seja possível e determinado.
• Para satisfazer esta condição, det A≠ 0. Logo
