Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Física Gleb Wataghin
Heitor do Amaral Jurkovich
Vínculos a Extensões do Modelo Padrão das
Partículas Elementares
CAMPINAS 2018
Vínculos a Extensões do Modelo Padrão das
Partículas Elementares
Tese apresentada ao Instituto de Física Gleb Wataghin da Universidade Estadual de Camp-inas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Ciências.
Orientador: Marcelo Moraes Guzzo Este exemplar corresponde à versão final da tese defendida pelo aluno Heitor do Ama-ral Jurkovich, e orientada pelo Prof. Dr. Marcelo Moraes Guzzo.
Campinas 2018
Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 141220/2014-7
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174
Jurkovich, Heitor do Amaral,
J979v JurVínculos a extensões do modelo padrão das partículas elementares / Heitor do Amaral Jurkovich. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.
JurOrientador: Marcelo Moraes Guzzo.
JurTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.
Jur1. Teoria quântica de campos. 2. Violação de CP (Física nuclear). 3. Teorias da grande unificação (Física nuclear). 4. Interações de neutrinos. 5. Oscilações de neutrinos. I. Guzzo, Marcelo Moraes, 1963-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Constraints to extensions of the standard model of particle physics Palavras-chave em inglês:
Quantum field theory
CP violation (Nuclear physics)
Grand unified theories (Nuclear physics) Neutrino interactions
Neutrinos oscillations
Área de concentração: Física Titulação: Doutor em Ciências Banca examinadora:
Marcelo Moraes Guzzo [Orientador] Ettore Segreto
Pedro Cunha de Holanda Alex Eduardo de Bernardini Ricardo Avelino Gomes Data de defesa: 31-08-2018
Programa de Pós-Graduação: Física
DO AMARAL JURKOVICH RA: 86784 APRESENTADA E APROVADA AO INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS, EM 31/08/2018.
COMISSÃO JULGADORA:
- Prof. Dr. Marcelo Moraes Guzzo - (Orientador) - IFGW/UNICAMP - Prof. Dr. Ettore Segreto - IFGW/UNICAMP
- Prof. Dr. Pedro Cunha de Holanda - IFGW/UNICAMP
- Prof. Dr. Alex Eduardo de Bernardini - UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
- Prof. Dr. Ricardo Avelino Gomes - UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no processo de vida acadêmica do aluno.
CAMPINAS 2018
Aos meus pais João Cesar Jurkovich e Marli do Amaral Jurkovich e irmã Victória do Amaral Jurkovich, a quem devo tudo.
À minha namorada, Pábula Fantini de Oliveira Macedo, por seu amor e por ficar ao meu lado todos esses anos.
Aos meus amigos Shadi, João, Pedro, Cesar e Kevin, por esses anos de amizade. Ao meu orietador Marcelo Moraes Guzzo, por ser sempre agradável e paciente.
"A compreensão humana não é um exame desinteressado, mas recebe infusões da vontade e dos afetos; disso se originam ciências que podem ser chamadas “ciências conforme a nossa vontade”. Pois um homem acredita mais facilmente no que gostaria que fosse verdade. Assim, ele rejeita coisas difíceis pela impaciência de pesquisar; coisas sensatas, porque diminuem a esperança; as coisas mais profundas da natureza, por superstição; a luz da experiência, por arrogância e orgulho; coisas que não são comumente aceitas, por deferência à opinião do vulgo. Em suma, inúmeras são as maneiras, e às vezes imperceptíveis, pelas quais os afetos colorem e contaminam o entendimento."
Agradeço à minha família por moldar quem eu sou. Agradeço à minha namorada por seu amor.
Agradeço ao meu orientador por todos esses anos de amizade e conhecimento compartilhado. Agradeço aos meus amigos pelas risadas e discussões.
Agradeço ao CNPq pela bolsa 141220/2014-7 que tornou possível este trabalho.
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil(CAPES) - Código de Financiamento 001
Resumo
Buscando pensar novos modelos que possam melhor explicar a estrutura do universo em sua escala mais fundamental, um estudo detalhado de algumas extensões do Modelo Padrão das Partículas Elementares (SM) é feito nesta tese. Primeiro, é feita uma revisão das ferramentas básicas da teoria quântica de campos. A seguir, um simples diagrama de Feynman é aplicado para estudar possíveis restrições a uma partícula do tipo áxion. Após tais restrições, extensões fenomenológicas do SM que possuem uma Violação da Simetria de Lorentz(LIV) são revisadas e suas consequências na propagação de neutrinos e experimentos de long baseline e resultados são obtidos. Primeiramente, vínculos a esses modelos são encontrados usando três configurações de feixes diferentes para o experimento DUNE e um operador LIV de dimensão 4. Como resultado, encontramos que todos os feixes propostos colocam vínculos da mesma ordem de grandeza do parâmetro 𝛾 que caracteriza LIV: 𝛾 ∼ 10−24. Além disso, um estudo dos efeitos de operadores LIV de dimensão 4, 5 e 6 em DUNE e T2K é feito, colocando os seguintes vínculos a esses operadores: |𝛾(4)|= 8 × 10−24, |𝛾(5)|= 6.7 × 10−34, |𝛾(6)|= 1.2 × 10−44 para o DUNE e
|𝛾(4)|= 4.1 × 10−21, |𝛾(5)|= 4.6 × 10−31, |𝛾(6)|= 3.7 × 10−41 para o T2K. Também é mostrado
como o operador LIV de 𝑑 = 4 poderia mascarar o ordenamento de massa dos neutrinos. No final, são obtidos mapas entre os operadores Nonstandard Interactions (NSI) e extensões do SM, em particular para o modelo 𝑆𝑈 (5) e o modelo 𝑆𝑈 (3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈 (3)𝐿 ⊗ 𝑈 (1). Mostra-se
que os vínculos de experimentos de long baseline (DUNE em particular) para NSI são fracos para restringir as teorias de grande unificação, assim como outras extensões. Encontramos:
𝑀𝑌 ≥ 0.5 𝑇 𝑒𝑉 e 𝑀𝑉0 ≥ 11 𝑒𝑉 , onde 𝑀𝑌 é um bóson intermediário do modelo 𝑆𝑈 (5) e 𝑀𝑉0 é um bóson intermediário do modelo 𝑆𝑈 (3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈 (3)𝐿⊗ 𝑈 (1). Como conclusão, descobrimos
alguns vínculos para teorias LIV melhores do que a literatura atual tem apresentado, e que são muito úteis para vincular modelos que preveem violação da mesma. Além disso, obtemos vínculos para teorias de grande unificação e outras extensões utilizando parâmetros NSI, porém os mesmos não se mostraram melhores que os vínculos existentes na literatura.
Palavras-chave:
Teoria Quântica de Campos, Violação de Lorentz, Teorias de Grande Unificação, Interação de Neutrinos, Oscilação de Neutrinos.
In order to better understand the basic structure of our universe, we seek for models beyond the Standard Model of Particle Physics (SM). A detailed study of some extensions of the SM is done in this thesis. First, a review of basic quantum field theory tools is done. Then, a sim-ple Feynman diagram is applied to study possible constraints to an Axion particle. Moreover, phenomenological extensions of the SM that posses a Lorentz Invariance Violation (LIV) are revised and their consequences into neutrino propagation and long baseline neutrino experi-ments are obtained. First, constraints to these models are found using three different beam configurations for DUNE and a LIV operator of dimension 4, we find the following constraint to the 𝛾 parameter that characterizes LIV: |𝛾|∼ 10−24. Moreover, a study of the effects of LIV operators of dimension 4, 5 and 6 in DUNE and T2K is done, putting the following constraints to these operators: |𝛾(4)|= 8 × 10−24, |𝛾(5)|= 6.7 × 10−34, |𝛾(6)|= 1.2 × 10−44 for DUNE and
|𝛾(4)|= 4.1 × 10−21, |𝛾(5)|= 4.6 × 10−31, |𝛾(6)|= 3.7 × 10−41 for T2K. Also, we show how the
dimension 𝑑 = 4 operator could mask neutrino mass ordering. In the end, a map between Non-standard Interactions (NSI) operators and extensions of the SM is done, in particular for 𝑆𝑈 (5) model and 𝑆𝑈 (3)𝐶⊗ 𝑆𝑈 (3)𝐿⊗ 𝑈 (1) model. It is shown that long baseline neutrino experiments
constraints (DUNE in particular) to NSI are weak to constrain grand unified theories and some extensions of the SM, we find: 𝑀𝑌 ≥ 0.5 𝑇 𝑒𝑉 and 𝑀𝑉0 ≥ 11 𝑒𝑉 , where 𝑀𝑌 is a gauge boson of 𝑆𝑈 (5) and 𝑀𝑉0 is a gauge boson of 𝑆𝑈 (3)𝐶⊗ 𝑆𝑈 (3)𝐿⊗ 𝑈 (1). In conclusion, we discovered constraints to LIV parameters that are better than the current literature and that are useful in constraining models that predict this violation. Moreover, we obtain constraints to grand unified theories and extensions of the SM using NSI parameters although these constraints are no better than the current literature constraints.
Keywords:
Quantum Field Theory, Lorentz Violation, Grand Unified Theories, Neutrino Interaction, Neutrino Oscillation.
Lista de Ilustrações
2.1 Regras de Feynman no espaço de momento para uma QED acoplado a uma Teoria Pseudo Yukawa. Notemos que 𝑢(𝑝) representa a solução de momento para a equação de Dirac, 𝜖𝜇
representa a polarização de fótons, 𝑔𝜇𝜈 a métrica de Minkowski e 𝛾𝜇 as matrizes Gamma tal
que: {𝛾𝜇, 𝛾𝜈} = 2𝑔𝜇𝜈 [1]. . . . . 28
2.2 Diagramas que geram a Função de Vértice do Elétron em primeira ordem em 𝛼 = 4𝜋𝑒2 e 𝛼𝑎= 𝑎
2
4𝜋 [1]. 29
2.3 Contribuição do Axion até a primeira ordem em 𝛼𝑎 = 𝑎
2
4𝜋 [1]. . . . 31 2.4 Regiões permitidas para o acoplamento 𝑔 = 𝑎 e a massa axionada 𝑚𝑎 em função da massa
eletrônica. 𝑚 [6].. . . 36 4.1 Probabilidades de conversão para DUNE usando operadores de dimensão de
massa 4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores para os parâmetros 𝛾 para cada curva [13]. . . . 59 4.2 Probabilidades de Sobrevivência para DUNE usando operadores de dimensão de
massa 4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores para os parâmetros 𝛾 de cada curva [13]. . . . 60 4.3 Probabilidades de conversão para T2K usando operadores de dimensão de massa
4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores para os parâmetros 𝛾 de cada curva [13]. . . . 61 4.4 Probabilidades de Sobrevivência para T2K usando operadores de dimensão de
massa 4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores para os parâmetros 𝛾 de cada curva [13]. . . . 62
4.5 Painel superior (inferior): eventos de elétrons para a hierarquia normal (hie-rarquia invertida). Para todas as curvas, assumimos os best fit mostrados na Tabela 4.1. A curva vermelha representa o best fit para o cenário padrão de três neutrinos (com 𝛿 = 1.4 𝜋) e sua barra de erro. As curvas laranja e cinza são funções do parâmetro LIV com a fase CP 𝛿 = 1.4𝜋. As curvas laranja (𝛾 positivo) que têm a quantidade máxima de eventos representam os maiores parâ-metros LIV, enquanto as próximas ao cenário padrão de três neutrinos com CP máxima representam os menores parâmetros LIV. O passo entre as curvas LIV são 100,5, começam em 𝛾 = 10−23 e terminam em 𝛾 = 10−24. As curvas cinza (𝛾
negativo) têm um passo entre as curvas LIV −10−0.5, iniciam em 𝛾 = −10−23 da quantidade mínima de eventos e terminam em 𝛾 = −10−24, o que se sobrepõe ao cenário padrão de três neutrinos. A curva de variação de CP é o cenário padrão de três neutrinos com o best fit e a fase 𝛿-CP variando em todo o intervalo [13]. 63 4.6 O painel superior (inferior) refere-se a eventos de múon para NH (IH). Da
es-querda para a direita, diferentes cenários de fluxos de neutrinos (LE, ME e HE) são mostrados. As legendas são as mesmas que Fig. (4.5) [13]. . . . 64 4.7 Upper (Lower) Panel: Região de sensibilidade para o parâmetro LIV 𝛾 para um
dado valor de 𝛿 CP, em que corremos de 0 a 2𝜋, para todos os cenários de fluxos de neutrinos, LE, ME e HE com NH (IH) até 2𝜎 de C.L. Na simulação nós mantivemos livre o ângulo de mistura 𝜃23, 𝛿ts, 𝛾 e fixamos os outros parâmetros
do best fit do cenário de três neutrinos [13]. . . . 65 4.8 Curvas com 2𝜎 de C.L. para o parâmetro LIV 𝛾 para um dado valor da fase 𝛿-CP,
que corremos de 0 a 2𝜋 e diferentes fluxos (LE, ME e HE), para a hierarquia normal à esquerda e para hierarquia invertida à direita [11]. . . . 65 4.9 Região de exclusão para o parâmetro LIV 𝛾(𝑑) da dimensão de massa 4, 5 e 6
versus 𝛿 dividido por 𝜋 com 90% C.L., assumindo N.H. Top: T2K e Bottom: DUNE [13]. . . . 66 4.10 Sensibilidade à hierarquia de massa esperada no experimento DUNE. A curva
preta considera apenas os parâmetros de Oscilação Padrão enquanto a curva verde considera o parâmetro de Violação de Lorentz da dimensão 4. Esquerda: A Hierarquia Normal é assumida como o valor verdadeiro Direita: Hierarquia Invertida é esperada como o valor verdadeiro [13]. . . . 67 4.11 Sensibilidade à hierarquia de massa esperada no experimento DUNE. As curvas
vermelhas consideram Hierarquia Invertida enquanto as curvas azuis consideram Hierarquia Normal, com 𝛾 assumindo vários valores [13]. . . . 68 5.1 Tipos de interação que poderiam gerar parâmetros NSI, baseado em [38]. . . . . 77
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
5.2 𝜒2Análise para o parâmetro 𝜀
𝑒𝑒= −5.8×10−24como função de Log(Baseline km).
A linha vermelha pontilhada representa 𝜒2 = 4.0, 2𝜎 C.L. O baseline que contém
1.1 Tabela CPT . . . 26 4.1 Best fit dos parâmetros de oscilação extraídos de [19]. . . . 50 4.2 Restrições para o parâmetro LIV com 𝛿 = 1.4𝜋 e 2𝜎 C.L. para hierarquia normal
e invertida e todos os fluxos [13]. . . . 55 4.3 Vínculos aos operadores LIV de dimensão de massa 4, 5 e 6 com 90% de C.L. e
𝛿𝐶𝑃(true)=1.4𝜋 [13]. . . . 57
5.1 Restrições em parâmetros NSI subtraídos por um termo global 𝜀𝜇𝜇 [50]. . . . 79
Conteúdo
Dedicatória Agradecimentos
1 Introdução 15
1.1 Revisão das Ferramentas Básicas de Teoria Quântica de Campos . . . 16
1.2 Integrais de Caminho . . . 19
1.3 Simetrias Discretas em Teoria Quântica de Campos . . . 20
1.3.1 Paridade . . . 22
1.3.2 Reversão Temporal . . . 23
1.3.3 Conjugação da Carga . . . 25
2 Vinculando Áxions por diagramas de Feynman 27 2.1 Regras de Feynman para QED com uma interação Yukawa Pseudoscalar . . . . 27
2.2 A função vértice do elétron . . . 29
2.3 Calculando a contribuição . . . 31
2.4 Resultados . . . 36
3 Operadores efetivos LIV 37 3.1 Revisão do Modelo SME . . . 38
3.2 Operador de Dimensão 4 . . . 41
3.3 Operador de Dimensão d . . . 42
4 Oscilações de Neutrinos na presença de LIV 45 4.1 Experimentos de long baseline de neutrinos . . . . 45
4.2 Equação de Evolução dos Neutrinos com LIV . . . 46
4.3 Probabilidades Analíticas . . . 47
4.4 Probabilidades Numéricas . . . 50
4.5 Resultados para Multiplos Feixes para o DUNE . . . 51
4.5.2 Eventos tipo 𝜇 . . . 53
4.5.3 Espaço de parâmetros LIV . . . 54
4.6 Resultados para os operadores de dimensão de massa 4, 5 e 6 para o DUNE e T2K 56 4.7 Mascarando a Hierarquia de Massa com Violação de Lorentz . . . 57
5 SME e vínculos NSI 69 5.0.1 O modelo mínimo 𝑆𝑈 (5) . . . . 70
5.0.2 O modelo mínimo 𝑆𝑈 (3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈 (3)𝐿⊗ 𝑈 (1) . . . . 75
5.0.3 Formalismo NSI . . . 77
5.1 Resultados para o DUNE . . . 78
5.1.1 Resultados do DUNE para o 𝑆𝑈 (5) . . . . 79
5.1.2 Experimento Ideal . . . 80
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 15
Capítulo 1
Introdução
O objetivo desta tese é encontrar vínculos para extensões do Modelo Padrão das Partículas Elementares (SM), a teoria mais aceita como a explicação de como o universo funciona em sua escala microscópica. Tais vínculos podem, então, nos guiar para uma teoria mais completa para explicar como a natureza funciona em sua escala mais fundamental.
Esta tese possui três partes:
∙ A primeira parte possui a seguinte estrutura: Na Introdução é feita uma revisão de ferramentas básicas de teoria quântica de campos que será utilizada nos demais capítulos. No Capítulo 1, Vinculando Áxions por diagramas de Feynman, aplicamos um diagrama de Feynman extra para a Função de Vértice do Elétron, que representa a interação extra devido ao Áxion em 1-loop na Função de Vértice do Elétron. Então revisamos as técnicas necessárias para resolvermos a integral obtida a partir das regras de Feynman para esse diagrama. Além disso, encontramos um vínculo entre a massa do Áxion e sua constante de acoplamento.
∙ A segunda parte possui a seguinte estrutura: No Capítulo 2, Operadores efetivos que violam a simetria de Lorentz, fazemos uma rápida revisão do Standard Model Extension (SME), modelo mais utilizado para estudar operadores efetivos que violam a simetria de Lorentz. Também propomos uma Lagrangiana efetiva que viola a simetria de Lorentz para um operador, denotado de operador Lorentz Invariance Violation (LIV), de dimen-são de massa 𝑑. No Capítulo 3, utilizando este operador LIV de dimendimen-são 𝑑, foram obtidos vínculos para o mesmo utilizando uma simulação dos experimentos Deep Underground Neutrino Experiment (DUNE) e Tokai to Kamioka (T2K). Para o DUNE, foram obtidos vínculos para o operador de dimensão 𝑑 = 4 utilizando diversos feixes e estudamos como tais feixes influenciariam a sensibilidade do DUNE aos operadores LIV. Além disso, tam-bém estudamos o vínculo para operadores LIV de dimensão d = 4, 5 e 6 no DUNE e no TK2. Ainda no Capítulo 3, estudamos como o operador LIV de dimensão d = 4 poderia
mascarar a Hierarquia de massas dos neutrinos.
∙ A terceira parte possui a seguinte estrutura: No Capítulo 4, Extensões do SM e os vínculos NSI, estudamos um mapa entre teorias de grande unificação, em especial o modelo mínimo
𝑆𝑈 (5) e o modelo mínimo 𝑆𝑈 (3)𝐶⊗ 𝑆𝑈 (3)𝐿⊗ 𝑈 (1), e os parâmetros NSI. Com tal mapa,
foram obtidos vínculos para a massa de alguns dos novos bósons de calibre que tais modelos propõem.
1.1
Revisão das Ferramentas Básicas de Teoria Quântica
de Campos
Quando lidamos com mecânica quântica não relativística (que denominarei apenas de me-cânica quântica), há um conjunto fixo de postulados que descrevem completamente qualquer problema que esteja dentro da área de atuação da mesma. Tais problemas nem sempre possuem uma solução analítica conhecida, então são empregadas técnicas de resolução através de uma teoria de perturbação, princípio variacional, aproximação WKB, entre outras. Na maioria dos textos, porém, fica claro o que é uma técnica para resolver um problema e o que é, de fato, o essencial da mecânica quântica (parte dos postulados da mesma).
Muitos acreditam que a teoria quântica de campos não é uma teoria finalizada, que ainda há espaço para novas ideias serem introduzidas. Isso faz com que a maioria dos autores de livros sobre a mesma não introduza a teoria quântica de campos como uma teoria axiomática [1, 2], porém muitos deles não conseguem deixar claro o que é essencial na teoria e o que é um ferramental para resolver problemas. Para tentar deixar o texto o mais claro possível, eu focarei apenas na primeira parte o que é essencial para entender a teoria quântica de campos.
Na mecânica quântica, há um vetor de estado que segue uma evolução temporal regido pela equação:
𝑖¯ℎ𝑑
𝑑𝑡|Ψ(𝑡)⟩ = ^𝐻|Ψ(𝑡)⟩. (1.1.1)
Tal equação pode ser resolvida projetando os vetores de estado em uma base que forme um conjunto completo de observáveis comutantes. O que notamos, porém, é que tal equação não admite a descrição de um sistema que viole o número de partículas. Se |Ψ(0)⟩ descreve 𝑛 partículas, |Ψ(𝑡)⟩ descreverá 𝑛 partículas. Isso faz com que a mecânica quântica, usando este formalismo, não seja capaz de estudar uma imensa gama de fenômenos que envolvem a violação do número de partículas. Este é o primeiro sintoma que motiva a busca de uma teoria mais completa que a mecânica quântica.
Mesmo no contexto de uma única partícula, quando se tenta unir essa equação à relatividade especial, usando a relação canônica 𝑝 → −𝑖¯ℎ∇ e 𝐸 → 𝑖¯ℎ𝑑𝑡𝑑 na espressão relativística:
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 17
𝐸2 = 𝑝2+ 𝑚2, (1.1.2)
obtemos, multiplicando por uma função de onda, a seguinte equação de evolução:
(𝜕𝑡2− 𝜕𝑥2+ 𝑚2)𝜑(𝑥, 𝑡) = 0. (1.1.3) Esta é conhecida como equação de Klein-Gordon. A solução dela pode ser obtida aplicando uma transformada de Fourier:
𝜑(𝑥, 𝑡) =
∫︁ 𝑑𝑝
2𝜋√︁2𝐸𝑝
(𝑎𝑝𝑒−𝑖(𝐸𝑝𝑡−𝑝𝑥)+ 𝑎†𝑝𝑒
𝑖(𝐸𝑝𝑡−𝑝𝑥)). (1.1.4)
Tal equação não admite a interpretação padrão da mecânica quântica de que o quadrado da função de onda é integrável e pode ser normalizado a 1. Se interpretado da maneira usual também se obtêm partículas com energia negativa e viola a causalidade [1, 2]. Todas essas propriedades são de fácil verificação. Essas (e outras) patologias nos levam a olhar para a equação de Klein-Gordon não como uma equação de onda, seguindo os postulados básicos de mecânica quântica, mas como algo novo. O que seria esse algo novo?
No tratamento usual de mecânica quântica o tempo tem uma característica especial: ele não é um operador, porém a posição da partícula é. Essa assimetria deve desaparecer quando tentamos unir mecânica quântica e relatividade especial, pois para a relatividade tempo e espaço aparecem em uma mesma estrutura, o espaço-tempo.
Se não podemos interpretar as soluções da equação de Klein-Gordon como a função de onda descrevendo uma única partícula, e rebaixamos o caráter de operador do espaço e do tempo, qual quantidade poderia estar associada à evolução temporal do sistema?
Em mecânica clássica, sabemos que o Hamiltoniano do sistema, que dita sua evolução temporal através das equações de Hamilton, depende de definirmos o momento canônico através da Lagrangiana, que explicitamente exige uma coordenada temporal, pois é definida como uma derivada em relação ao tempo de uma das quantidades básicas do sistema, que no caso da mecânica clássica é a posição generalizada. Uma das maneiras de postularmos a mecânica quântica é pegarmos emprestado da mecânica clássica a estrutura que correlaciona coordenadas generalizadas e momentos canônicos de maneira que preserve a estrutura Hamiltoniana do sistema (invariante por transformações canônicas). Tal estrutura é chamada de parênteses de Poisson: {^𝑥, ^𝑝} = 𝜕 ^𝑥 𝜕𝑥 𝜕 ^𝑝 𝜕𝑝 + 𝜕 ^𝑝 𝜕𝑥 𝜕 ^𝑥 𝜕𝑝 = 1. (1.1.5)
Associando a Eq. (1.1.5) ao postulado de que observáveis físicos são autovalores de operado-res Hermitianos, temos que ^𝑥 e ^𝑝 são operadores Hermitianos cujos autovalores são os possíveis
valores de posição e momento que uma partícula pode assumir. Postulamos que:
[^𝑥, ^𝑝] = 𝑖¯ℎ. (1.1.6)
E tal postulado leva à equação de Schrondiger (e o inverso é válido: se definirmos a equação de Schrondiger, obtemos a relação de comutação).
Mas novamente ressaltamos que as soluções da equação de Klein-Gordon não podem ser interpretadas como função de onda e estamos rebaixando o caráter de operador da posição. Qual quantidade seria então interessante de ser os novos operadores fundamentais, de maneira que haja um sistema Hamiltoniano associado a eles cuja evolução temporal coincida (pelo menos do ponto de vista clássico) com a equação de Klein Gordon? Em analogia à teoria clássica de campos, no exemplo de cordas vibrantes, uma corda com posição y[x,t] obedece à equação de onda da forma:
𝜕2𝑦[𝑥, 𝑡]
𝜕2𝑥 −
𝜕2𝑦[𝑥, 𝑡]
𝑣2𝜕2𝑡 = 0, (1.1.7)
e possui uma densidade Lagraniana (denotaremos apenas por Lagrangiana) da forma:
ℒ𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎 =
1
2𝜕𝜇𝑦[𝑥, 𝑡]𝜕
𝜇𝑦[𝑥, 𝑡]. (1.1.8)
Notemos que a equação de uma corda é idêntica à equação de Klein-Gordon sem massa. Isso nos leva a intuitivamente definir que as novas variáveis fundamentais em teoria quântica de campos sejam as soluções (que representam campos) Φ(𝑥), cuja Lagrangiana é dada por:
ℒ𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 𝜕𝜇Φ†𝜕𝜇Φ − 𝑚20Φ2. (1.1.9)
Para obtermos as equações de movimento (clássicas), precisamos aplicar as equações de Euler-Lagrange: 𝜕ℒ 𝜕Φ − 𝜕𝜇 𝜕ℒ 𝜕(𝜕𝜇ℒ) = 0. (1.1.10)
Com a estrutura Lagrangiana definida, podemos também definir o momento canônico:
Π(𝑥) = 𝜕𝐿
𝜕(𝑑Φ(𝑥)𝑑𝑡 ). (1.1.11)
E vamos impor:
[Φ(𝑥), Π(𝑦]) = 𝑖𝛿(𝑥 − 𝑦), (1.1.12)
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 19 Aplicando essa expressão na estrutura da equação de Klein-Gordon e com algumas mani-pulações, obtemos:
[𝑎𝑝, 𝑎
†
𝑝′] = (2𝜋)2𝛿(𝑝 − 𝑝′). (1.1.13)
Notamos aqui que 𝑎𝑝 e 𝑎†𝑝 são operadores obedecendo uma estrutura muito similar à do
oscilador harmônico quântico. Então, talvez esse campo Φ crie partículas como excitações do mesmo, da mesma maneira que o oscilador harmônico quântico cria estados excitados.
Para vermos que esses operadores de fato criam partículas com energia e momento, podemos calcular a densidade Hamiltoniana do sistema:
ℋ = Π𝑑Φ 𝑑𝑡 − ℒ, (1.1.14) que fica: ℋ = Π 2 2 + (∇𝜑)2 2 + 𝑚 2Φ2. (1.1.15)
Substituindo a solução de Klein-Gordon, obtemos:
ℋ = 𝐸𝑎†𝑎, (1.1.16)
a menos da energia de ponto zero.
1.2
Integrais de Caminho
Com o campo quântico livre em mãos, a próxima pergunta a ser feita é: o que acontece com o mesmo na presença de interações? Já vimos que partículas são excitações desse campo quântico. Logo, na presença de interações, essas partículas devem se comunicar. Valores médios desses campos quânticos, assim como valores médios de energia por partículas fornecem a energia interna em mecânica estatística, devem levar a quantidades mensuráveis. Com essa idéia em mente vamos postular que os campos quânticos, que têm liberdade para criar e destruir partículas, também possuem uma função de partição. Por simplicidade, trataremos apenas o campo escalar:
𝑍[𝐽 ] =
∫︁
𝑑Φ𝑒𝑖∫︀ 𝑑4𝑥𝐿[Φ] = ⟨Ω|Ω⟩. (1.2.1)
Tal função de partição fornece as flutuações do vácuo desse campo quântico. Sendo assim, o valor esperado de qualquer produto de campos quânticos é obtido como:
⟨Ω|𝑇 (Φ(𝑥1)...Φ(𝑥𝑛))|Ω⟩ = ∫︁ 𝑑ΦΦ(𝑥1)...Φ(𝑥𝑛)𝑒𝑖 ∫︀ 𝑑4𝑥𝐿[Φ] . (1.2.2)
Qual é a conexão dessa expressão com o experimento? O que de fato é medido em labo-ratório? A conexão com o experimento vem da fórmula LSZ (Lehmann, Symanzik e Zimmer-mann) [1], que aqui é mostrada apenas para campos escalares:
⟨Ω | 𝑇 (𝜑(𝑥1)...𝜑(𝑥𝑛)) | Ω⟩ = Π𝑖=𝑛,𝑗=𝑚𝑖=1,𝑗=1 𝑖√𝑍 𝑝2 𝑖 − 𝑚2𝜑 𝑖√𝑍 𝑘2 𝑗 − 𝑚2𝜑 ⟨𝑝1...𝑝𝑛| 𝑆 | 𝑘1...𝑘𝑚⟩. (1.2.3)
Tal fórmula associa a função de 𝑛 pontos completa, que é o valor esperado do produto de 𝑛 campos no vácuo interagente com os elementos da matriz S, esta medindo a probabilidade de transição e interação entre estados multiplicada pelos propagadores completos.
Quando lidamos com extensões do SM, uma das práticas mais comuns é a de extensão do grupo de simetria desse modelo para um grupo maior, que contém o SM após uma quebra de simetria. Em particular, quando lidamos com uma teoria geral para operadores efetivos que violam a simetria de Lorentz, uma das simetrias mais importantes é a simetria CPT. Por esse motivo, uma rápida revisão em sua estrutura básica será apresentada na próxima seção, baseada em [1, 2].
1.3
Simetrias Discretas em Teoria Quântica de Campos
Em teoria quântica de campos, há uma classe de simetrias, como as simetrias de Lorentz, que levam a quantidades conservadas. A invariância por translação espaço-temporal leva a con-servação do tensor momento-energia, cujas componentes incluem a energia do sistema quântico e seu momento total. Além das transformações de Lorentz contínuas, os boosts e as rotações, há uma outra classe de simetrias que as Lagrangianas de Teoria Quântica de Campos podem ter, chamadas simetrias discretas. Elas são conjugação de carga, paridade e reversão temporal e terão grande importância na discussão de teorias que violam a simetria de Lorentz e para a física de neutrinos. Porém, para analisá-las, será necessário a solução da equação de Dirac livre. Para isso uma rápida revisão das proprieadades dessa solução é apresentada, já que será muito utilizada em seções futuras.
A Lagrangiana de Dirac possui a seguinte forma:
ℒ = ¯Ψ(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇− 𝑚)Ψ. (1.3.1)
Aplicando as equações de Euler-Lagrange na Lagrangiana de Dirac:
𝜕ℒ 𝜕 ¯Ψ− 𝜕𝜇
𝜕ℒ 𝜕(𝜕𝜇Ψ)¯
= 0, (1.3.2)
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 21
(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇− 𝑚)Ψ = 0. (1.3.3)
Escrevendo Ψ como uma série de Fourier no espaço dos momentos:
Ψ =
∫︁ 𝑑𝑝3 (2𝜋)3√︁2𝐸
𝑝
Σ𝑠(𝑏𝑠(𝑝)𝑢𝑠(𝑝)𝑒−𝑖𝑝𝑥+ 𝑑†𝑠(𝑝)𝑣𝑠(𝑝)𝑒𝑖𝑝𝑥), (1.3.4)
obtemos a equação de Dirac no espaço de momentos:
(𝛾𝜇𝑝𝜇− 𝑚)𝑢𝑠(𝑝) = 0, (1.3.5) onde: 𝑢𝑠(𝑝) = ⎛ ⎝ √ 𝑝 · 𝜎𝜁𝑠 √ 𝑝 · ¯𝜎𝜁𝑠 ⎞ ⎠, (1.3.6)
é a solução da equação de Dirac no espaço de momentos. Tal asserção pode ser verificada notando que: (𝛾𝜇𝑝𝜇− 𝑚)𝑢𝑠(𝑝) = ⎛ ⎝ −𝑚 𝜎 · 𝑝 ¯ 𝜎 · 𝑝 −𝑚 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ √ 𝑝 · 𝜎𝜁𝑠 √ 𝑝 · ¯𝜎𝜁𝑠 ⎞ ⎠. (1.3.7)
O que resulta em:
⎛ ⎝ −𝑚√𝜎 · 𝑝 + 𝜎 · 𝑝√𝜎 · 𝑝¯ ¯ 𝜎 · 𝑝√𝜎 · 𝑝 − 𝑚√¯𝜎 · 𝑝 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 𝜁𝑠 𝜁𝑠 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ √ ¯ 𝜎 · 𝑝(−𝑚√𝜎 · 𝑝√𝜎 · 𝑝 + 𝜎 · 𝑝¯¯ 𝜎 · 𝑝) √ 𝜎 · 𝑝(−𝑚√𝜎 · 𝑝√𝜎 · 𝑝 + 𝜎 · 𝑝¯¯ 𝜎 · 𝑝) ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 𝜁𝑠 𝜁𝑠 ⎞ ⎠. (1.3.8) Para resolver essa equação, notamos que:
𝜎 · 𝑝¯𝜎 · 𝑝 = (𝑝0𝜎0+ 𝑝𝑖𝜎𝑖)(𝑝0𝜎0 − 𝑝𝑖𝜎𝑖). (1.3.9)
Sabemos que 𝜎0 = 1
2×2 e que de {𝛾𝜇, 𝛾𝜈} = 2𝑔𝜇𝜈, o que implica {𝜎𝑖, 𝜎𝑗} = 2𝛿𝑖𝑗. Com tais
resultados, obtemos: 𝜎 · 𝑝¯𝜎 · 𝑝 = (𝑝20− 𝑝𝑖𝑝𝑗𝜎𝑖𝜎𝑗)12×2= (𝑝20− 1 2𝑝𝑖𝑝𝑗𝜎 𝑖𝜎𝑗)1 2×2= (𝑝20− 𝑝 2 𝑖)12×2= 𝑚212×2. (1.3.10)
Substituindo esse resultado na equação de Dirac no espaço de momentos, temos: ⎛ ⎝ √ ¯ 𝜎 · 𝑝(−𝑚212×2+ 𝑚212×2) √ 𝜎 · 𝑝(−𝑚21 2×2+ 𝑚212×2) ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 𝜁𝑠 𝜁𝑠 ⎞ ⎠= 0. (1.3.11)
Notamos que 𝑢𝑠(𝑝) é de fato a solução da equação de Dirac. Com a solução em mãos,
podemos estudar as propriedades da Lagrangiana sobre simetrias discretas. Analogamente, podemos mostrar que a solução de Dirac para 𝑣𝑠(𝑝), solução da antipartícula, é:
𝑣𝑠(𝑝) = ⎛ ⎝ √ 𝑝 · ¯𝜎𝜁𝑠 −√𝑝 · 𝜎𝜁𝑠 ⎞ ⎠. (1.3.12)
1.3.1
Paridade
A transformação de paridade consiste numa reflexão das coordenadas espaciais, isto é, fa-remos que (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑡, −𝑥, −𝑦, −𝑧). Aplicada a um campo fica:
𝑃−1Ψ(𝑥)𝑃 = 𝐷(𝑃 )Ψ(𝑥), (1.3.13)
onde 𝑃 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(1, −1, −1, −1). Qual é a estrutura de 𝐷(𝑃 )?
Para analisarmos essa questão notemos que ao refletirmos as coordenadas espaciais, 𝑥 → −𝑥, também invertemos o momento 𝑝𝑥 → −𝑝𝑥. Porém, o momento angular J = x × p →
J = -x × -p permanece o mesmo. Logo, os operadores de criação 𝑏†𝑠(p) e aniquilação 𝑏𝑠(p)
devem se transformar de acordo a satisfazer:
𝑃−1𝑏†𝑠(p)𝑃 = 𝜂𝑏†𝑠(-p) (1.3.14)
e
𝑃−1𝑑†𝑠(p)𝑃 = 𝜂𝑑†𝑠(-p), (1.3.15)
onde 𝑑†
𝑠(p) e 𝑑𝑠(p) são os operadores de criação e aniquilação da antipartícula criada por 𝑏†𝑠(p).
Com isso em mente, aplicaremos ao campo fermiônico Ψ(𝑥) o operador paridade:
𝑃−1Ψ(𝑥)𝑃 =
∫︁ dp3
(2𝜋)3√︁2𝐸
𝑝
Σ𝑠(𝑃−1𝑏𝑠(p)𝑃 𝑢𝑠(p)𝑒−𝑖𝑝𝑥+ 𝑃−1𝑑†𝑠(p)𝑃 𝑣p(𝑝)𝑒𝑖𝑝𝑥). (1.3.16)
Utilizando as identidades para os operadores criação e destruição, obtemos:
𝑃−1Ψ(𝑥)𝑃 =
∫︁ dp3
(2𝜋)3√︁2𝐸
p
Σ𝑠(𝜂*𝑏𝑠(-p)𝑢𝑠(p)𝑒−𝑖𝑝𝑥+ 𝜂𝑑†𝑠(-p)𝑣𝑠((-p)𝑒𝑖𝑝𝑥), (1.3.17)
onde p se refere apenas à parte espacial do 4−vetor momento-energia. Como 𝐸2
𝑝 = 𝑝2+ 𝑚2,
a reversão do sinal do momento o deixa inalterado, a mesma coisa valendo para a medida 𝑑𝑝3.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 23 𝑃−1Ψ(𝑥)𝑃 = ∫︁ dp3 (2𝜋)3√︁2𝐸 p Σ𝑠(𝜂*𝑏𝑠(p)𝑢𝑠(-p)𝑒−𝑖𝑝𝑃 𝑥+ 𝜂𝑑†𝑠(p)𝑣𝑠(-p)𝑒𝑖𝑝𝑃 𝑥). (1.3.18) Notamos que: 𝑢𝑠(-p) = ⎛ ⎝ √ 𝑝 · ¯𝜎𝜁𝑠 √ 𝑝 · 𝜎𝜁𝑠 ⎞ ⎠. (1.3.19)
Implicando que 𝑢𝑠(-p) tem a seguinte propriedade:
𝑢𝑠(-p) = ⎛ ⎝ 0 12×2 12×2 0 ⎞ ⎠𝑢𝑠(p) = 𝛾0𝑢𝑠(p). (1.3.20)
Analogamente, podemos mostrar que para 𝑣𝑠(-p):
𝑣𝑠(-p) = − ⎛ ⎝ 0 12×2 12×2 0 ⎞ ⎠𝑣𝑠(p) = −𝛾0𝑣𝑠(p). (1.3.21)
Se definirmos 𝜂 = −𝑖 e utilizarmos a relação obtida para 𝑢𝑠(-p) e 𝑣𝑠(-p), obtemos:
𝑃−1Ψ(𝑡, x)𝑃 = 𝑖𝛾0 ∫︁ dp3 (2𝜋)3√︁2𝐸 p Σ𝑠(𝑏𝑠(p)𝑢𝑠(p)𝑒−𝑖𝑝𝑃 𝑥+ 𝑑†𝑠(p)𝑣𝑠(p)𝑒𝑖𝑝𝑃 𝑥) = 𝑖𝛾0Ψ(𝑡, -x). (1.3.22) Logo, aplicar o operator paridade ao campo é análogo à multiplicá-lo por 𝑖𝛾0 e reverter suas
coordenadas espaciais.
1.3.2
Reversão Temporal
Definiremos a operação de reversão temporal:
𝑇−1Ψ(𝑥)𝑇 = 𝐷(𝑇 )Ψ(𝑇 𝑥). (1.3.23)
Neste caso revertemos a direção do tempo. Notamos que tanto o momento p → −p como o momento angular J → -J mudam de sinal. Então:
𝑇−1P𝑇 = -P (1.3.24)
e
𝑇−1J𝑇 = -J. (1.3.25)
𝑇−1𝑏†𝑠(p)𝑇 = 𝜁𝑠𝑏 † −𝑠.(-p) (1.3.26) e 𝑇−1𝑑†𝑠(p)𝑇 = 𝜁𝑠𝑑 † −𝑠.(-p) (1.3.27)
Notemos o seguinte: queremos um operador que transforme 𝑏†𝑠(p) → 𝑏†−𝑠(-p) e Ψ(𝑡, x) →
Ψ(−𝑡, x) multiplicado por uma matriz. Porém, vimos na análise de paridade que 𝑏†𝑠(p) → 𝑏†𝑠(-p) leva a Ψ(𝑡, x) → Ψ(𝑡, -x). Além disso, se adotarmos que não há direção temporal preferencial,
𝑇 deve comutar com a Hamiltoniana 𝐻. Logo:
Ψ(𝑡, x) = 𝑒𝑖𝐻𝑡Ψ(x)𝑒−𝑖𝐻𝑡. (1.3.28)
Portanto:
𝑇−1Ψ(𝑡, x)𝑇 = 𝑒𝑖𝐻𝑡𝑇−1Ψ(x)𝑇 𝑒−𝑖𝐻𝑡. (1.3.29)
O que implica que:
𝑇−1Ψ(𝑡, x)𝑇 |0⟩ = 𝑒𝑖𝐻𝑡𝑇−1Ψ(x)𝑇 |0⟩. (1.3.30)
O lado direito dessa equação possui apenas frequências negativas, porém se T reverte a direção temporal, então teremos:
Ψ(−𝑡, x)|0⟩ = 𝑒−𝑖𝐻𝑡𝑇−1Ψ(𝑡, x)𝑇 |0⟩. (1.3.31)
Que é composto de apenas frequências positivas. Logo, 𝑇 não pode ser um operador linear. A maneira de contornar esse problema é considerar 𝑇 tal que 𝑇† = 𝑇−1 e 𝑇 também agindo em 𝑐-números, tal que:
𝑇 (𝑐 − 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜) = (𝑐 − 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜)*𝑇. (1.3.32)
Assim, mesmo que [𝑇, 𝐻] = 0, a dependência das fases muda. 𝑇 é chamado de operador antiunitário.
Para descobrirmos a forma desse operador pelo método da seção passada é necessário uma série de artimanhas. Uma maneira mais fácil de obtê-la é assumir a sua expressão e verificar se ela satisfaz a equação de Dirac com o tempo invertido:
𝑇−1(𝑖𝛾0𝜕0− 𝑖𝛾𝑖𝜕𝑖− 𝑚)𝑇 𝑇−1Ψ(𝑡, x)𝑇 = (𝑖𝛾0𝜕0+ 𝑖𝛾𝑖*𝜕𝑖− 𝑚)𝑇−1Ψ(𝑡, x)𝑇. (1.3.33)
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 25
𝑇−1Ψ(𝑡, x)𝑇 = 𝛾1𝛾3Ψ(𝑡, x). (1.3.34)
Substituindo esse resultado na equação de Dirac com o tempo invertido e colocando 𝛾1𝛾3
para a esquerda da equação, obtemos:
𝛾1𝛾3[(𝑖𝛾0𝜕0− 𝑖𝛾𝑖𝜕𝑖− 𝑚)Ψ(𝑡, x) = 𝛾1𝛾3[(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇− 𝑚)Ψ(𝑡, x)]. (1.3.35)
Porém, como o termo entre colchetes é a equação de Dirac, temos que :
(𝑖𝛾0𝜕0+ 𝑖𝛾𝑖*𝜕𝑖− 𝑚)𝛾1𝛾3Ψ(𝑡, x) = 𝛾1𝛾3[(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇− 𝑚)Ψ(𝑡, x)] = 0 (1.3.36)
Logo, a suposição estava correta e de fato a Eq. (1.3.34) implementa uma reversão temporal ao campo de Dirac.
1.3.3
Conjugação da Carga
Para finalizarmos a discussão sobre simetrias discretas em teoria quântica de campos, fala-remos da conjugação da carga. Dada a equação de Dirac na presença de um campo eletromag-nético:
(𝑖𝛾𝜇− 𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇− 𝑚)Ψ(𝑥) = 0, (1.3.37)
se aplicarmos a conjugação da carga 𝐶, mudamos o sinal da carga, então a equação de Dirac com o campo conjugado Ψ𝑐= 𝐶−1Ψ𝐶 fica:
(𝑖𝛾𝜇+ 𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇− 𝑚)Ψ𝑐(𝑥) = 0. (1.3.38)
Novamente, o caminho mais rápido para introduzirmos a conjugação da carga é assumirmos a solução e testarmos se ela obedece a equação de Dirac:
𝐶−1Ψ(𝑥)𝐶 = Ψ𝑐(𝑥) = −𝑖𝛾2Ψ*(𝑥). (1.3.39)
Colocando −𝑖𝛾2 para a esquerda da equação, obtemos:
(𝑖𝛾𝜇+𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇−𝑚)(−𝑖𝛾2Ψ*(𝑥)) = −𝑖𝛾2(((𝑖+𝑒𝐴𝜇)(−𝛾0𝜕0+𝛾1𝜕1−𝛾2𝜕2+𝛾3𝜕3)−𝑚)Ψ*(𝑥) (1.3.40)
(𝑖𝛾𝜇+ 𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇− 𝑚)(−𝑖𝛾2Ψ*(𝑥)) = −𝑖𝛾2((𝑖𝛾0𝜕0− 𝑖𝛾1𝜕1− 𝑖𝛾2𝜕2− 𝑖𝛾3𝜕3− 𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇− 𝑚)Ψ(𝑥))* = 0.
(1.3.41) Logo, notamos que a Eq. (1.3.39) de fato implementa a operação de conjugação de carga no campo de Dirac. Sendo assim, as simetrias discretas têm as seguintes propriedades:
𝑃−1Ψ(𝑡, x)𝑃 = 𝛾0Ψ(𝑡, -x), (1.3.42)
𝑇−1Ψ(𝑡, x)𝑇 = 𝛾1𝛾3Ψ(−𝑡, x) (1.3.43)
e
𝐶−1Ψ(𝑡, x)𝐶 = −𝑖𝛾2Ψ(𝑡, x)*. (1.3.44)
Com essas propriedades, podemos montar a tabela 𝐶𝑃 𝑇 , que será muito importante nas discussões futuras. ¯ ΨΨ 𝑖 ¯Ψ𝛾5Ψ Ψ𝛾¯ 𝜇Ψ Ψ𝛾¯ 𝜇𝛾5Ψ Ψ𝜎¯ 𝜇𝜈Ψ 𝜕 𝜇 P 1 −1 (−1)𝜇 −(−1)𝜇 (−1)𝜇(−1)𝜈 (−1)𝜇 T 1 −1 (−1)𝜇 (−1)𝜇 −(−1)𝜇(−1)𝜈 −(−1)𝜇 C 1 1 −1 1 −1 1 CPT 1 1 −1 −1 1 −1 Tabela 1.1: Tabela CPT
A Tabela CPT tem a seguinte interpretação: se aplicarmos o operador paridade ao termo ¯
ΨΨ, por exemplo, ele ganha um sinal positivo. Já se aplicarmos ao termo 𝑖 ¯Ψ𝛾5Ψ, ele ganha
CAPÍTULO 2. VINCULANDO ÁXIONS POR DIAGRAMAS DE FEYNMAN 27
Capítulo 2
Vinculando Áxions por diagramas de
Feynman
O objetivo principal desta tese é de vincular extensões do SM e novas partículas. Como discutido na estrutura da tese, esta é a primeira parte da discussão de vínculos à extensões do SM. Neste capítulos, se é mostrado como um simples diagrama de Feynman pode vincular fortemente a existência de áxions. Um dos maiores triunfos da física do Século XX foi o cálculo extremamente preciso da correção do momento magnético de spin do elétron por Schwinger [3] e sua verificação experimental, também extremamente precisa. O objetivo deste capítulo é dar uma pequena amostra de como uma simples aplicação da teoria quântica de campos e experimentos extremamente precisos podem vincular a massa e o acoplamento de partículas hipotéticas.
2.1
Regras de Feynman para QED com uma interação
Yukawa Pseudoscalar
Todas as partículas que interagem com o elétron podem dar uma contribuição para o mo-mento magnético do spin e como consequência para o fator 𝑔 do momo-mento magnético anômalo. Devido à sua medida extremamente precisa, essas interações podem vincular fortemente pro-priedades de possíveis novas partículas. Para fazer isso, primeiro precisaremos das ferramentas certas. Mostraremos agora as Regras de Feynman para essa teoria.
As regras de Feynman para uma teoria são uma visão esquemática de uma expansão na teoria das perturbações. Existem muitas maneiras de obtê-las [1, 2]. Para calcular o momento magnético anômalo, precisaremos das regras de Feynman para uma Eletrodinâmica Quântica acopladas a uma teoria Pseudoscalar, com uma interação da forma 𝑎 ¯Ψ𝑖𝛾5ΨΦ. As regras para essa teoria são mostradas na Fig. 2.1:
Figura 2.1: Regras de Feynman no espaço de momento para uma QED acoplado a uma Teoria Pseudo Yukawa. Notemos que 𝑢(𝑝) representa a solução de momento para a equação de Dirac, 𝜖𝜇 representa a polarização de
CAPÍTULO 2. VINCULANDO ÁXIONS POR DIAGRAMAS DE FEYNMAN 29
2.2
A função vértice do elétron
Com as regras do Feynman em mãos, podemos agora tentar descobrir qual tipo de diagrama contribuirá mais para o fator 𝑔.
As contribuições para o momento magnético de spin do elétron aparecem em diagramas que geram a Função de Vértice do Elétron. Antes de continuarmos, devemos conhecer algumas propriedades dessa Função e por que ela contribui para o momento magnético de spin. Depois de fazer isso, poderemos extrair as informações necessárias para calcular 𝑔. Os diagramas que definem a Função de Vértice do Elétron estão representados na Fig. 2.2:
Figura 2.2: Diagramas que geram a Função de Vértice do Elétron em primeira ordem em 𝛼 = 4𝜋𝑒2 e 𝛼𝑎= 𝑎
2
4𝜋 [1].
Fisicamente, o diagrama da esquerda representa o elétron sendo espalhado por um potencial de Coulomb (uma partícula muito pesada, por exemplo) para todas as ordens na teoria de perturbação. No lado direito nós mantivemos apenas até as primeiras ordens em 𝛼 = 4𝜋𝑒2 e
𝛼𝑎 = 𝑎
2
4𝜋, que são as contribuições mais importantes.
Aplicando as Regras de Feynman da Fig. 2.1 na primeira metade do diagrama à esquerda da Fig. 2.2, obtemos:
¯
𝑢(𝑝′)(−𝑖𝑒Γ𝜇)𝑢(𝑝), (2.2.1)
onde o Γ𝜇 é o que chamamos de Função de Vértice do Elétron. Não nos preocupamos com a
partícula que espalha o elétron e nem com a estrutura completa do potencial eletromagnético. Antes de calcular qualquer coisa, seria interessante estudar algumas das propriedades dessa função. Primeiro, sabemos que é uma função vetorial, o que significa que pode ser escrita como uma combinação de todos os possíveis vetores envolvidos nesses diagramas. Poderia ser algo como:
Γ𝜇(𝑝′, 𝑝) = 𝐴𝛾𝜇+ 𝐵(𝑝𝜇+ 𝑝′𝜈) + 𝐶(𝑝𝜇− 𝑝′𝜈). (2.2.2)
Os vetores 𝑝𝜇 e 𝑝′𝜇 representam os quadrimomentos do elétron que entra e do elétron que
Todos os diagramas com elétron nas pernas externas devem satisfazer a conservação da carga. Existe uma identidade, chamada de identidade de Ward 𝑞𝜇Γ𝜇 = 0, que expressa a
conservação da carga nos diagramas com elétrons nas pernas externas (pode ser qualquer tipo de diagrama, não apenas a Função de Vértice do Elétron). Não é difícil ver por que essa identidade está relacionada com a conservação da carga. Vamos verificar isso para uma simples parte de um diagrama: o nível árvore da Função de Vértice do Elétron:
𝑞𝜇𝑢(𝑝¯
′
)𝛾𝜇𝑢(𝑝) = ¯𝑢(𝑝′)(𝑝′𝜇− 𝑝𝜇)𝛾𝜇𝑢(𝑝) = 0, (2.2.3) onde, no último passo, usamos 𝛾𝛼𝑝
𝛼𝑢(𝑝) = 𝑚𝑢(𝑝) e ¯𝑢(𝑝
′ )𝛾𝛼𝑝′
𝛼 = ¯𝑢(𝑝
′
)𝑚. Estas são as equações de Dirac no espaço de momento e 𝑢(𝑝) e ¯𝑢(𝑝) representam sua solução, como foi mostrado no
capítulo anterior.
Agora, de volta para a Função de Vértice do Elétron completa. Para satisfazer a identidade de Ward, devemos eliminar o último termo 𝐶 = 0.
Há também outra identidade que é muito útil para ver as contribuições para momentos elétricos e magnéticos. Essa identidade é chamada de identidade de Gordon:
¯
𝑢(𝑝′)𝛾𝜇𝑢(𝑝) = ¯𝑢(𝑝′)[(𝑝𝜇+ 𝑝′𝜇)/2𝑚 + 𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈/2𝑚]𝑢(𝑝). (2.2.4)
Esta identidade não é difícil de ser provada [2], bastando para isso usar as propriedades da Equação de Dirac:
𝛾𝛼𝑝𝛼𝑢(𝑝) = 𝑚𝑢(𝑝). (2.2.5)
Eliminando 𝑝𝜇+ 𝑝′𝜇 em favor de 𝛾𝜇 e 𝜎𝜇𝜈𝑞
𝜈, nós obtemos:
Γ𝜇(𝑝′, 𝑝) = 𝐹1(𝑞2)Γ𝜇+ 𝐹2(𝑞2)𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈/2𝑚. (2.2.6)
Um questionamento que pode ser feito neste momento é por que a função tem como parâ-metro apenas 𝑞2. A resposta é porque qualquer expoente maior do momento que é invariante
de Lorentz pode ser escrito em termos da massa de elétrons, que é constante, e da diferença de momento entre o elétron inicial e final. Também podemos escrever esta expressão como:
Γ𝜇(𝑝′, 𝑝) = 𝐹1(𝑞2)(𝑝𝜇+ 𝑝
′𝜇
)/2𝑚 + (𝐹1(𝑞2) + 𝐹2(𝑞2))𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈/2𝑚. (2.2.7)
Em nível árvore Γ𝜇(𝑝, 𝑝′) = 𝛾𝜇, que significa que 𝐹
1(𝑞2) = 1 e 𝐹2(𝑞2) = 0. Com isso é
possível ver qual termo contribui para o momento magnético do spin.
Espalhar um elétron dá uma medida direta de sua carga. Por exemplo, imaginemos um campo elétrico fraco e estático de tal maneira que ele quase não desvie o elétron em sua trajetória. Neste caso, podemos tomar 𝑞 ≈ 0. Neste limite, apenas 𝐹1(0) contribui para a
CAPÍTULO 2. VINCULANDO ÁXIONS POR DIAGRAMAS DE FEYNMAN 31 carga de elétrons, que nesta unidade é 1. Isso significa que 𝐹1(0) = 1 (e porque no nível árvore
𝐹1(0) = 1, todas as contribuições de ordem superior em 𝐹1(0) devem desaparecer).
Vamos dar uma olhada no segundo termo na Eq. (2.2.7). Se estivéssemos lidando com uma partícula escalar carregada ao invés do elétron, o primeiro termo, que é independente do spin, estaria lá e a discussão acima seria a mesma. Logo, o segundo termo é claramente dependente do spin. Este termo é exatamente o que dá ao elétron um momento magnético de spin. No nível árvore, 𝐹2(𝑞2 = 0) e 𝑔 = 2. Isso significa que, no limite de campo fraco, 𝑔 é dado por
𝑔 = 2(𝐹1(0) + 𝐹2(0)) = 2(1 + 𝐹2(0)). É exatamente essa nova contribuição que precisamos
calcualar. Podemos escrever o fator g da seguinte forma:
𝑔 − 2
2 = 𝐹2(0). (2.2.8)
Onde notamos que ele desvia do valor 𝑔 = 2 por esse novo termo de correção de 1-loop = 𝐹2(0).
Também notamos que qualquer outro tipo de diagramas de primeira ordem em 𝛼 = 4𝜋𝑒2 e
𝛼𝑎 = 𝑎
2
4𝜋, como o diagrama de pernas externas vestidas, daria termos proporcionais ao produto
𝛾𝜇 nos vértices e não contribuiria para o fator 𝑔.
Temos o que precisamos para calcular as contribuições para o momento magnético.
2.3
Calculando a contribuição
O diagrama de 1-loop, que possui a maior contribuição ao fator 𝑔 devido a esse acoplamento com o Axion, é mostrado na Fig. 2.3.
Figura 2.3: Contribuição do Axion até a primeira ordem em 𝛼𝑎 = 𝑎
2
4𝜋 [1].
Com o uso das Regras de Feynman listadas em 2.1, obtemos a seguinte contribuição para a Função de Vértice do Elétron:
∫︁ 𝑑4𝑘 2𝜋4𝑢(𝑝¯ ′ )(𝑎𝛾5 𝑖 𝛾𝜈𝑘′ 𝜈 − 𝑚 𝛾𝜇 𝑖 𝛾𝛼𝑘 𝛼− 𝑚 𝑎𝛾5 𝑖 (𝑝 − 𝑘)2− 𝑚2 𝑎 )𝑢(𝑝). (2.3.1)
Multiplicando acima e abaixo na frente dos propagadores por 𝛾𝜈𝑘′ 𝜈 + 𝑚 e por 𝛾𝛼𝑘𝛼+ 𝑚, respectivamente: −𝑖𝑎2∫︁ 𝑑4𝑘 2𝜋4𝑢(𝑝¯ ′ )(𝛾5𝛾 𝜈𝑘′ 𝜈 + 𝑚 𝑘′2 − 𝑚2 𝛾 𝜇𝛾𝛼𝑘𝛼+ 𝑚 𝑘2− 𝑚 𝛾 5𝑟 1 (𝑝 − 𝑘)2− 𝑚2 𝑎 )𝑢(𝑝). (2.3.2) Esta integral não é uma das mais simples de ser resolvida. Precisaremos de várias ferra-mentas para extrair o resultado desejado, faremos uma rápida visão geral do que será feito.
∙ O objetivo de todas as ferramentas que usaremos é transformar a expressão acima em algo como Γ𝜇(𝑝′, 𝑝) = 𝐹
1(𝑞2)Γ𝜇+ 𝐹2(𝑞2)𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈/2𝑚 para que possamos identificar 𝐹2(𝑞2).
∙ O primeiro passo para fazer isso será colocar o denominador em uma forma quadrática. Para fazer isso, primeiramente precisamos das integrais de Feynman, definidas como:
1 𝑎1...𝑎𝑛 = ∫︀1 0 𝑑𝑥1...𝑑𝑥𝑛 𝛿(Σ𝑖=𝑛 𝑖=1𝑥𝑖−1)(𝑛−1)! (Σ𝑖=𝑛
𝑖=1𝑥𝑖𝑎𝑖)𝑛 . Para nosso problema, 𝑛 = 3.
∙ Para colocar o denominador na forma quadrática vamos definir um parâmetro 𝑙 chamado parâmetro Feynman, que é linear em 𝑘. Com isso, podemos reescrever todas as integrais em 𝑘 como uma integral em 𝑙. Isso provará ser uma expressão muito mais agradável. ∙ Agora, com tal expressão, realizamos uma rotação de Wick 𝑡 → 𝑖𝑡 e aplicamos a
re-gularização dimensional (a ser explicada posteriormente) para calcular as integrais de momento.
∙ Finalmente, extraímos 𝐹2(𝑞2).
Começaremos aplicando o segundo item dos passos acima, colocando o denominador de uma forma mais agradável:
1 𝐷 = 1 (𝑘′2 − 𝑚2)(𝑘2− 𝑚2)((𝑝 − 𝑘)2− 𝑚2 𝑎) = ∫︁ 1 0 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)2 (𝑥(𝑘′2 − 𝑚2) + 𝑦(𝑘2− 𝑚2) + 𝑧((𝑝 − 𝑘)2 − 𝑚2 𝑎))3 . (2.3.3)
Com algumas manipulações, e lembrando que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, e que o momento do elétron está on shell 𝑝2 = 𝑚2, chegamos a:
𝑙 = 𝑘 + 𝑞𝑦 − 𝑝𝑧. (2.3.4)
Δ = −𝑥𝑦𝑞2+ (1 − 𝑧)2𝑚2+ 𝑚2𝑎𝑧, (2.3.5)
CAPÍTULO 2. VINCULANDO ÁXIONS POR DIAGRAMAS DE FEYNMAN 33 Agora, trocando 𝑘 → 𝑙 e observando que a medida de integração 𝑑4𝑘 = 𝑑4𝑙 não muda,
obtemos: −2𝑖𝑎2∫︁ 1 0 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) ∫︁ 𝑑4𝑘 2𝜋4𝑢(𝑝¯ ′ ) 𝑁 𝜇 (𝑙2− Δ)3𝑢(𝑝), (2.3.6) onde 𝑁𝜇, o numerador, é: 𝑁𝜇= ¯𝑢(𝑝′)(𝛾5(𝛾𝛼𝑙𝛼+ 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦) + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 + 𝑚)𝛾𝜇 (𝛾𝛼𝑙𝛼− 𝛾𝛼𝑞𝛼𝑦 + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 + 𝑚)𝛾5)𝑢(𝑝). (2.3.7)
Para simplificar este numerador, precisaremos de algumas identidades 𝛾𝜇:
{︁
𝛾5, 𝛾𝜇}︁= 0. (2.3.8)
{𝛾𝜇, 𝛾𝜈} = 2𝑔𝜇𝜈. (2.3.9)
𝛾𝜇𝑝𝛼𝛾𝛼 = 𝑝𝛼𝛾𝜇𝛾𝛼 = 2𝑝𝜇− 𝑝𝛼𝛾𝛼𝛾𝜇. (2.3.10)
Aplicamos primeiro {𝛾5, 𝛾𝜇} = 0 para eliminar 𝛾5:
𝑁𝜇 = −¯𝑢(𝑝′)(𝛾𝛼𝑙𝛼+ 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦) + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 − 𝑚)𝛾𝜇
(𝛾𝛼𝑙𝛼− 𝛾𝛼𝑞𝛼𝑦 + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 − 𝑚)𝑢(𝑝). (2.3.11)
Já que a integral na Eq. (2.3.6) tem um denominador par (𝑙2 − Δ)3, todos os termos no
numerador que são lineares em 𝑙 devem desaparecer por causa da simetria 𝑙 → −𝑙: Expandindo o numerador, obtemos:
𝑁𝜇= −¯𝑢(𝑝′)(𝛾𝛼𝑙𝛼𝛾𝜇𝛾𝛽𝑙𝛽 − 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑞𝛽𝑦 + 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽𝑧 − 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝑚
−𝛾𝛼𝑝
𝛼𝑧𝛾𝜇𝛾𝛽𝑞𝛽𝑦 + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽𝑧 − 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝛾𝜇𝑚 + 𝑚𝛾𝜇𝛾𝛼𝑞𝛼𝑦 − 𝑚𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 + 𝑚2)𝑢(𝑝).
(2.3.12) O objetivo agora é colocar o momento de entrada do elétron para a direita e o momento de saída para a esquerda. Para isso, podemos usar 𝛾𝛼𝑝
𝛼𝑢(𝑝) = 𝑚𝑢(𝑝) e ¯𝑢(𝑝 ′ )𝛾𝛼𝑝′ 𝛼 = ¯𝑢(𝑝 ′ )𝑚. Há muitos termos neste numerador. A melhor abordagem é calcular cada termo de uma só vez. Note que os termos que são lineares para 𝛾𝜇 não contribuem para 𝐹
2(0) para que possamos
ignorá-los.
−¯𝑢(𝑝′)(𝛾𝛼𝑙𝛼𝛾𝜇𝛾𝛽𝑙𝛽)𝑢(𝑝) → 0. (2.3.13) −¯𝑢(𝑝′) − 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑞𝛽𝑦)𝑢(𝑝) → 0. (2.3.14) −¯𝑢(𝑝′)𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽𝑧)𝑢(𝑝) → ¯𝑢(𝑝 ′ )2𝑚(1 − 𝑦)𝑧𝑝𝜇𝑢(𝑝). (2.3.15) −¯𝑢(𝑝′) − 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝑚)𝑢(𝑝) → ¯𝑢(𝑝 ′ )(−2𝑚(1 − 𝑦)𝑝𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.16) −¯𝑢(𝑝′)(−𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝛾𝜇𝑧𝛾𝛽𝑞𝛽𝑦)𝑢(𝑝) → ¯𝑢(𝑝 ′ )(2𝑦𝑧𝑝′𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.17) −¯𝑢(𝑝′)(𝛾𝛼𝑝𝛼(𝑧2)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽)𝑢(𝑝) → ¯𝑢(𝑝 ′ )(−2𝑚𝑧2𝑝𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.18) −¯𝑢(𝑝′)(−𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝑚)𝑢(𝑝) → ¯𝑢(𝑝 ′ )(2𝑚𝑧𝑝𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.19) −¯𝑢(𝑝′)(𝑚𝑦𝛾𝜇𝛾𝛽𝑞𝛽)𝑢(𝑝) → ¯𝑢(𝑝 ′ )(−2𝑚𝑦𝑝′𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.20) −¯𝑢(𝑝′)(−𝑚𝑧𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽)𝑢(𝑝) → 0. (2.3.21) −¯𝑢(𝑝′)𝑚2𝛾𝜇𝑢(𝑝) → 0. (2.3.22) Agrupando estes termos, obtemos:
𝑁𝜇= −¯𝑢(𝑝′)(2𝑚(𝑝′𝜇− 𝑝𝜇)(𝑦(1 − 𝑧) + (1 − 𝑧)2) + 2𝑚(𝑝′𝜇
+ 𝑝𝜇)(1 + 𝑧)
2
2 ). (2.3.23)
Usando a identidade Ward, obtemos:
𝑁𝜇= ¯𝑢(𝑝′)(2𝑚(𝑝′𝜇+ 𝑝𝜇)(1 + 𝑧)
2
2 ). (2.3.24)
Usando a identidade de Gordon e jogando fora os termos lineares em 𝛾𝜇:
𝑁𝜇 = ¯𝑢(𝑝′)(2𝑚
2𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞
𝜈(1 + 𝑧)2
2𝑚 ). (2.3.25)
CAPÍTULO 2. VINCULANDO ÁXIONS POR DIAGRAMAS DE FEYNMAN 35 𝐹2(𝑞2) = −2𝑖𝑎2 ∫︁ 1 0 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)(−2𝑚2(1 − 𝑧)2) ∫︁ 𝑑4𝑙 2𝜋4 1 (𝑙2− Δ)3. (2.3.26)
Após extraírmos 𝐹2(𝑞2) precisamos calcular esta última integral. Para fazer isso, vamos
executar a rotação de Wick 𝑡 → 𝑖𝑡 na integral: ∫︁ 𝑑4𝑙 2𝜋4 1 (𝑙2 − Δ)3 →𝑤𝑖𝑐𝑘 −𝑖 ∫︁ 𝑑4𝑙 𝐸 2𝜋4 1 (𝑙2 𝐸 + Δ)3 . (2.3.27)
Esta integral é sobre um espaço euclidiano de 4 dimensões. Embora essa integral seja con-vergente, usaremos a regularização dimensional [4], pois é uma técnica que trabalha também para integrais divergentes na teoria quântica de campos e preserva as simetrias, como a Iden-tidade de Ward. Para fazer isso, em vez de trabalhar em 4 dimensões, vamos para dimensões
𝑑 e no final do cálculo, tomamos 𝑑 → 4:
∫︁ −𝑖𝑑 𝑑𝑙 𝐸 2𝜋𝑑 1 (𝑙2 𝐸 + Δ)3 = −2𝑖𝜋 𝑑/2 Γ(𝑑/2) ∫︁ ∞ 0 𝑑𝑙𝐸 2𝜋𝑑 𝑙𝐸𝑑−1 𝑙2 𝐸 + Δ . (2.3.28)
Na última etapa usamos a medida euclidiana dimensional de 𝑑. Vamos realizar a mudança na variável 𝑢 = 𝑙2Δ
𝐸+Δ
. Assim, a Eq. (2.3.28) se torna:
𝑖 (4𝜋𝑑/2)Γ(𝑑/2) 1 Δ3−𝑑/2 ∫︁ 1 0 𝑢2−𝑑/2(1 − 𝑢)𝑑/2−1. (2.3.29)
Notamos que esta integral da Eq. (2.3.29) é a função beta: Γ(𝑥)Γ(𝑦)
Γ(𝑥 + 𝑦) = ∫︁ 1
0
𝑢𝑥−1(1 − 𝑢)𝑦−1. (2.3.30)
Depois de usar a função beta, obtemos: ∫︁ 𝑑𝑑𝑙 𝐸 2𝜋𝑑 1 (𝑙2 𝐸 + Δ)3 = 𝑖Γ(2 − 𝑑/2) (4𝜋𝑑/2)Δ3−𝑑/2Γ(3). (2.3.31) Tomando o limite 𝑑 → 4: ∫︁ 𝑑4𝑙 𝐸 2𝜋4 1 (𝑙2 𝐸 + Δ)3 = 𝑖 2(4𝜋2)Δ. (2.3.32)
𝐹2(𝑞2) = −𝑎2 8𝜋2 ∫︁ 1 0 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) (1 − 𝑧)2 −𝑥𝑦𝑞2+ (1 − 𝑧)2+ 𝑧(𝑚𝑎 𝑚))2 . (2.3.33) Colocando 𝑞2 = 0 na Eq. (2.3.33): 𝐹2(0) = −𝑎2 8𝜋2 ∫︁ 1 0 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) (1 − 𝑧) 2 (1 − 𝑧)2+ 𝑧(𝑚𝑎 𝑚))2 . (2.3.34)
Calculando a integral em 𝑑𝑥 com a função delta e observando que 𝑦 varia de [0, 1 − 𝑧], obtemos: 𝐹2(0) = −𝑎2 8𝜋2 ∫︁ 1 0 𝑑𝑧 (1 − 𝑧) 3 (1 − 𝑧)2 + 𝑧(𝑚𝑎 𝑚 )2) . (2.3.35)
2.4
Resultados
Plotando a função da Eq. (2.3.35) com a restrição que deve ser menor que a diferença entre o valor calculado pela QED e o valor medido com erro experimental 𝑔𝑄𝐸𝐷−2
2 −
𝑔𝑒𝑥𝑝−2
2 < 10 −10
[1], temos o gráfico:
Figura 2.4: Regiões permitidas para o acoplamento 𝑔 = 𝑎 e a massa axionada 𝑚𝑎 em função da massa
eletrônica. 𝑚 [6].
Como pode ser visto na Fig. 2.4, notamos que o áxion em questão tem uma grande restrição na massa e no acoplamento. Se a massa do eixo x for muito menor do que a massa do elétron, o acoplamento tende a 𝑎 < 10−4. Há limites melhores para esse tipo de axion [5], mas mostramos
que, com um pouco da teoria quântica de campos, podemos restringir muito as propriedades de novas partículas.
CAPÍTULO 3. OPERADORES EFETIVOS LIV 37
Capítulo 3
Operadores Efetivos que violam a
Simetria de Lorentz
Nos últimos 40 anos, o SM vem sendo estendido de muitas maneiras. Algumas extensões incluem grupos de calibre que possuem o grupo 𝑆𝑈 (3)⊗𝑆𝑈 (2)⊗𝑈 (1) do SM como um subgrupo. Tal grupo de calibre então é espontâneamente quebrado no grupo do SM [7]. Outras extensões procuram adicionar uma simetria entre férmions e bósons, conhecida como supersimetria [7]. Há ainda a teoria de cordas, que diz que as partículas elementares não são pontuais [8]. Também existe a teoria quântica de campos não comutativa, que supõe que as coordenadas do espaço-tempo não comutam [9]. Essas são algumas entre muitas outras extensões.
Algumas dessas extensões geram novos fenômenos que podem ser medidos apenas a altíssi-mas energias e que atualmente não são acessíveis aos atuais aceleradores de partículas. Outras, possuem previsões verificáveis (como foi o caso do decaimento do próton no modelo SU(5) mínimo).
As extensões do SM que possuem violação da simetria de Lorentz são muito interessantes pelo fato de muitos operadores modificarem a relação de dispersão de energia das partículas. Tais dispersões, se afetam os neutrinos, são muitos sensíveis no fenômeno de oscilação de neutri-nos. Veremos que pesquenos desvios da ordem de 10−23 na dispersão da energia geram um sinal verificável no experimento DUNE (Deep Underground Neutrino Experiment). Há muitas outras extensões que também podem ser testadas utilizando oscilações de neutrinos, como neutrinos estéreis, que geram um sinal de conversão de neutrinos de um sabor em outro em experimentos de short-baseline, e que não existiriam no caso de apenas 3 neutrinos. Há operadores efetivos chamados NSI que podem emergir de grupos de simetria maiores que o SM, permitindo inte-rações do tipo corrente carregada que não existiam no SM. Tais modelos também podem ser vinculados pelo DUNE, como foi realizado durante a elaboração desta tese e que veremos no capítulo final.
a simetria de Lorentz (como teoria de cordas e teorias de campo não comutativas). Usando um modelo isotrópico investigaremos os vínculos que o experimento DUNE pode colocar nesses parâmetros. Colocar esses vínculos a operadores efetivos é fundamental, pois com tais limites podemos verificar se uma teoria, como algum modelo específico de teoria quântica de campos não comutativa, pode ser descartada por tal vínculo.
Começaremos por uma revisão do SME (Standard Model Extention),seguindo a referên-cia [10].
3.1
Revisão do Modelo SME
Faremos a revisão do SME no setor fermiônico, pois este é o setor de interesse para a física de neutrinos. Considere 𝑁 campos fermiônicos Ψ𝑎 com 𝑎 variando de 1 a 𝑁 . Para permitir
acoplamento Majorana é conveniente combinar os 𝑁 campos de espinores com seu conjugado de carga, Ψ𝐶 𝑎 = 𝐶 ¯Ψ𝑇𝑎, num multipleto 2𝑁 : Ψ𝐴= ⎛ ⎜ ⎝ Ψ𝑎 Ψ𝐶 𝑎 ⎞ ⎟ ⎠, (3.1.1) onde definimos: Ψ𝐶 = 𝐶Ψ, (3.1.2) com: 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1𝑁 ×𝑁 1𝑁 ×𝑁 0 ⎞ ⎟ ⎠. (3.1.3)
Podemos escrever uma Lagrangiana geral, que incorpora tanto Lorentz como termos que violam CPT, utilizandos os espinores Ψ𝐴:
ℒ = 1 2
¯
Ψ𝐴(𝛾𝜇𝑖𝜕𝜇𝛿𝐴𝐵− 𝑀𝐴𝐵 + ^𝑄𝐴𝐵)Ψ𝐵+ ℎ.𝑐. (3.1.4)
Notamos que nesta Lagrangiana, a primeira parte gera o termo cinético, a segunda a matriz de masssa e a última parte contém todos os termos que violam a simetria de Lorentz. Como os efeitos de uma possível violação de Lorentz devem ser pequenos, podemos trabalhar ^𝑄𝐴𝐵 como
uma perturbação quando for necessário.
O operador ^𝑄𝐴𝐵 poderia, a princípio, depender das posições do espaço-tempo. Assim,
teríamos um termo de violação de Lorentz que mudaria de ponto a ponto. Se consideramos tais termos, conceitos como energia e momento não seriam conservados, pois a ação não seria invariante por uma translação espaço-temporal. Por simplicidade, analizaremos os casos onde
