Cálculo da matriz de rigidez de mísulas com variação parabólica
Calculation of the stiffness matrix of corbels with parabolic variation
Daniele Vanessa Rosenbach1, Maicon José Hilleshein2
Resumo: As mísulas, com variação parabólica, são elementos estruturais com seções não constantes e sua utilização geralmente harmoniza um melhor aproveitamento destes. Por isso, este trabalho apresenta uma formulação para obtenção dos coeficientes da matriz de rigidez a fim de facilitar este processo. Para a obtenção desses coeficientes é empregado o método das forças com deslocamentos prescritos unitários, e seus respectivos coeficientes de flexibilidade são obtidos pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. A referida matriz de rigidez faz parte da formulação do método dos deslocamentos que é bastante difundido devido a sua fácil implementação computacional. A aproximação do formato da mísula foi obtida usando as funções de forma de segundo grau e, desta forma, o cálculo dos coeficientes de flexibilidade resulta em integrais com divisão de polinômio que não possui solução analítica. Para contornar este problema, foi utilizada o método de integração de Gauss. A matriz de rigidez de duas mísulas com variações parabólicas foi calculada usando diferentes quantidades de pontos de Gauss. Uma terceira mísula, com variação linear, foi calculada utilizando a formulação desenvolvida. Seus resultados foram comparados com os valores obtidos através de integração analítica. Concluiu-se que com três pontos de Gauss a matriz obtida apresenta solução com boa precisão. Portanto, a implementação computacional desenvolvida pode ser utilizada.
Palavras-chave: Mísula; matriz de rigidez; método de Gauss-Legendre; método das forças; método dos deslocamentos.
Abstract: Corbels, with parabolic variation, are structural elements with constant sections and their use generally harmonizes better use of these. So, this work presents a formulation for getting the stiffness matrix coefficients in order to facilitate this process. To obtain these coefficients is employed the method of forces with unit, prescribed displacements and their respective flexibility coefficients are obtained by the principle of Virtual Work. This is part of the stiffness matrix formulation of the method of displacements that is very widespread due to its easy implementation. The Corbel format approach was obtained using the functions of high school and, in this way, the calculation of the coefficients of flexibility results in integrals with polynomial Division that has no analytical solution. To work around this problem, was used the method of Gauss integration. The stiffness matrix of two Corbels with parabolic variation was calculated using different amounts of Gauss points. A third, Corbel with linear variation was calculated using the formulation developed. Their results were compared with the values obtained from analytical integration. It was concluded that with three points of Gauss matrix obtained presents solution with good accuracy. Therefore, the computational implementation developed can be used..
Keywords: Corbel; stiffness matrix; Gauss-Legendre method; method of forces; method of displacement. 1 Introdução
As mísulas são elementos estruturais muito comuns em algumas construções, tais como pontes, viadutos, barragens, etc. Definem-se como barras que apresentam variação da seção transversal ao longo do seu comprimento, podendo ser empregadas em estruturas isostática ou hiperestática e com muitos graus de indeterminação. Neste último caso, faz-se necessário um processo automatizado para resolvê-las.
Como a maioria das estruturas possuem uma grande quantidade de reações ou esforços seccionais superabundantes ao equilíbrio estático, faz-se necessário utilizar métodos de análise estrutural para resolução dessas estruturas. Destacam-se o método das forças (MF), o método dos deslocamentos (MD) e o método dos elementos finitos (MEF).
Os métodos implementados computacionalmente facilitam projetos de estruturas, que exigem uma sucessão de análises e modificações nas suas características, com o intuito de garantir uma solução satisfatória, tanto em termos econômicos quanto nos
quesitos funcionais e regulamentares (AZEVEDO, 2003).
Segundo Martha (2010, p.328):
“Realmente, nos dias de hoje, não se concebe mais analisar uma estrutura sem o auxílio de um programa de computador. Entretanto, algumas vezes é necessário analisar manualmente uma estrutura. Isso é feito, em geral, para se adquirir sensibilidade sobre o comportamento da estrutura ou para entender a metodologia de análise do método dos deslocamentos”.
Dentre esses métodos, o MD é o mais empregado devido a sua fácil implementação computacional. Como a matriz de rigidez está presente na formulação, metodologias para sua obtenção são objetos de várias pesquisas, em especial, quando a rigidez EI não é constante.
O método das forças pode ser utilizado para obtenção dos coeficientes de rigidez, que são forças ou momentos presentes nas extremidades das barras, proporcionando o equilíbrio de um sistema estrutural, quando imposto um deslocamento unitário.
No método das forças, o sistema de equações de compatibilidade é construído usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). Devido a variação curva do elemento estrutural, ao se construir o sistema de 1 Graduanda em Engenharia Civil, UNEMAT, Sinop, Brasil,
danielerosenbach@hotmail.com
2 Mestre, Professor, UNEMAT, Sinop, Brasil, maicon@unemat-net.br
equações, surgem integrais com divisão de polinômio, de modo que não há solução analítica para essas integrais. Assim é necessário o emprego de um processo de integração numérica. No presente trabalho é utilizado Gauss-Legendre.
O processo computacional a ser implantado implica em uma sub-rotina, utilizando uma linguagem Fortran, que servirá como ferramenta para o desenvolvimento do mesmo.
2 Referencial Teórico
2.1 Princípio dos Trabalhos Virtuais
Para calcular uma estrutura é necessário analisar, de forma minuciosa, as cargas atuantes. Segundo Hibbeler (2010, p.520) “Quando cargas são aplicadas a um corpo, elas deformam o material. Contanto que nenhuma energia seja perdida sob forma de calor, o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação”.
Com base no conceito de densidade de energia de deformação de um elemento cúbico de volume infinitesimal sujeito a tensões normais e de cisalhamento, é possível relacionar essas tensões com os esforços solicitantes internos e quantificar a energia de deformação interna de um elemento estrutural através da integração ao longo do volume. O princípio da conservação de energia, para o caso de cargas concentradas, pode ser utilizado para equacionar a energia interna de deformação da estrutura com o trabalho externo realizado pela força externa e encontrar o deslocamento no ponto de aplicação da força.
O Princípio da conservação de energia é bastante intuitivo, porém sua aplicação para calcular os deslocamentos nas estruturas é limitada, pois é empregado apenas para o caso de cargas concentradas. O resultado é obtido somente para o ponto de aplicação da carga (MARTHA, 2010). Essa limitação é contornada pelo PTV.
O PTV considera um corpo estático, para isso, as condições de equilíbrio e de compatibilidade devem ser atendidas. As condições de equilíbrio ocorrem quando as cargas internas estão relacionadas às externas de maneira única. Já nas condições de compatibilidade é necessário que os deslocamentos externos estejam relacionados com as deformações internas, também de maneira única (HIBBELER, 2010).
Assim, a Equação (1) é verificada:
P
=
u
i (1) Em que::
P
Cargas externas;:
Deslocamentos externos;:
i
Deslocamentos internos;:
u
Cargas internas.Com base nessas considerações, Hibbeler (2010) aponta que o PTV pode ser aplicado para determinar o deslocamento e sua inclinação em qualquer ponto. A
fim de definir o comportamento de um corpo, aplica-se uma carga virtual, com intensidade unitária, e a mesma resultará em carga virtual interna que estará associada aos deslocamentos internos devido às cargas externas reais.
O método PTV, também pode ser denominado método das forças virtuais, que é utilizado para o cálculo dos deslocamentos externos.
Conforme Soriano e Lima (2006), usando uma força unitária é possível determinar o deslocamento no ponto desejado, utilizando-se a Equação (2):
b x sdx
GJ
tT
GA
vV
f
EI
mM
EA
nN
1
(2) Em que::
,
,
,
m
v
t
n
são os esforços solicitantes na estrutura com força unitária;:
,
,
,
M
V
T
N
são os esforços solicitantes na estrutura com o carregamento original, e a integral é ao longo do comprimento;:
sf
é o fator de forma para cisalhamento;:
I
Momento de inércia;:
J
Momento de inércia transversal;:
E
Módulo de elásticidade;:
G
Módulo de elasticidade transversal.2.2 Análise das Estruturas
A análise das estruturas corresponde à etapa do projeto em que são determinados os esforços atuantes, as tensões, as deformações e os deslocamentos que ocorrem na estrutura. Este estudo deve ser considerado em todas as etapas (MARTHA, 1993). Ainda segundo Martha (1993, p.6) “Todas as estruturas devem ser capazes de alcançar um estado de equilíbrio estável para um determinado carregamento aplicado. Esta condição de equilíbrio deve ser satisfeita pela estrutura como um todo ou por qualquer porção isolada”.
A compatibilidade de deslocamento é a exigência de que durante todo o carregamento as partes da estrutura deformada permaneçam juntas, ou seja, que esses deslocamentos e deformações sejam consistentes (MARTHA, 1993).
Os dois principais métodos de análise estrutural são o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos. 2.2.1 Método das Forças
O MF, também conhecido como método da flexibilidade, é utilizado na análise das estruturas indeterminadas. Este método atende aos requisitos de equilíbrio e compatibilidade, podendo ser observado também a substituição de uma estrutura indeterminada por uma estável e determinada (LEET, UANG e GILBERT, 2009).
“O objetivo do método das forças é determinar um conjunto de reações e/ou esforços seccionais superabundantes ao equilíbrio estático de estruturas hiperestáticas, permitindo que as demais reações e/ou esforços seccionais sejam calculados com as equações da estática”.
Conforme Soriano e Lima (2006, p.76), “Para aplicar o método das forças, seleciona-se um conjunto de redundantes estáticas Xi, cujas restrições são retiradas da estrutura hiperestática, transformando-a em isostática. Esse modelo isostático é denominado sistema principal.”
Segundo Santos (2008), o método da flexibilidade pode ser dividido em seis passos:
Escolher as reações consideradas como ações redundantes e definir um sistema principal estaticamente determinado;
Calcular as deformações causadas no sistema principal pelas ações presentes na estrutura original;
Calcular as deformações causadas no sistema principal pelas ações redundantes nos pontos onde são aplicadas;
Resolver simultaneamente as equações de compatibilidade do problema, de modo que as ações redundantes identificadas transforme a estrutura original em estaticamente determinada;
Montar as equações de compatibilidade associadas ao problema, considerando a superposição das deformações causadas pelas ações e reações;
Calcular a matriz “NxN” de coeficientes de flexibilidade associados ao problema, sendo N o número de redundantes.
A equação de compatibilidade pode ser observada a seguir, conforme mostrada na Equação (3):
0
0
1 1 1 1 1 1 1 0 i j i i j i j i i ij i ij iX
X
X
X
(3) Em que::
iX
Hiperestáticos, sendo i o índice que varia de 1 a g (grau de hiperestaticidade);:
0i
Termo de carga de rotação ou de deslocamento associado ao hiperestático;:
ij
Coeficiente de flexibilidade podendo ser de deslocamento ou de rotação,também está associado ao hiperestático.2.2.2 Coeficiente de Rigidez
Os coeficientes de rigidez são denominados forças ou momentos que atuam nas extremidades das barras, sendo responsável pelo seu equilíbrio, quando é imposto um deslocamento unitário (MARTHA, 2010). A seguinte notação é utilizada, conforme mostrado na Figura 1:
:
'
d
Deslocabilidade de barra no sistema local, ou seja, deslocamento em um dos eixos x ou y, ou rotação em uma extremidade de uma barra isolada;:
'
ijk
Coeficiente de rigidez de barra no sistema local, ou seja, é uma força ou momento que atua na extremidade da barra na direção da deslocabilidade d’i, para equilibrá-la quando a deslocabilidade unitária d’j=1 é imposta em uma das extremidades;:
'
if
Força generalizada de barra no sistema local, isto é uma força ou momento que atua na direção da deslocabilidade d’i de uma barra para equilibrá-la.Figura 1: Superposição de configurações deformadas elementares. Fonte: MARTHA, 2010.
A partir da Figura 1 é possível à superposição das configurações deformadas. Sendo assim, pode ser determinada a seguinte relação matricial para todas as forças e momentos que atuam nas extremidades da barra demonstrada na Equação (4):
6 5 4 3 2 1 66 65 63 62 56 55 53 52 44 41 36 35 33 32 26 25 23 22 14 11 6 5 4 3 2 1 ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 0 0 ' 0 0 ' ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 0 0 ' 0 0 ' ' ' ' ' ' ' d d d d d d k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f f f f f f (4)
2.2.3 Método dos Deslocamentos Conforme Soriano e Lima (2006, p.137):
“O método dos deslocamentos, por ser amplamente utilizado em programações automáticas, é o mais importante método de análise de estruturas. Nele, as incógnitas primárias são deslocamentos em pontos adequadamente escolhidos na estrutura, que são obtidos por meio da resolução de um sistema de equações algébricas lineares de equilíbrio. Esses deslocamentos são denominados graus de liberdade e seu número, grau de indeterminação cinemática”.
O MD e o MF são semelhantes, pois os dois consideram as condições de compatibilidade, as leis constitutivas dos materiais e as condições de equilíbrio. O método dos deslocamentos pode ser definido como sendo as componentes de deslocamento ou rotação livre em um nó na estrutura, na direção de um dos eixos globais (MARTHA, 2010).
Sendo assim, Soriano e Lima (2006) afirmam que o método dos deslocamentos consiste na seguinte sistemática:
Definir um sistema principal em que os deslocamentos considerados como graus de liberdade da estrutura estejam restringido, onde esses deslocamentos são incógnitas primarias a determinar (com sentidos positivos arbitrados);
Cálculo dos esforços de engastamento perfeito e combinação desses esforços, com sinais contrários, com as forças aplicadas nos deslocamentos, para obtenção das forças nodais combinadas;
Cálculo dos coeficientes de rigidez das barras, e assim, obtenção dos coeficientes de rigidez da estrutura;
Definição e cálculo do sistema de equação de equilíbrio para a resolução dos referidos deslocamentos;
Obtenção dos esforços finais.
As estruturas com barras que possuem inércia não constante, ou seja, possuem uma seção que varia ao longo de seu comprimento, podem ser calculadas através do MD (SUSSEKIND, 1987).
2.3 Método de Gauss – Legendre
O processo de integração numérica de Gauss-Legendre tem como objetivo avaliar a integração e pode ser facilmente incluído em programas computacionais destinados a análise de estruturas (AZEVEDO, 1987).
Para entender a metodologia da quadratura de Gauss, considere um domínio já transformado em coordenadas naturais, compreendido entre
x
i
1
e1
f
x
. Em que o integrando é avaliado em cada ponto de GaussP
i e multiplicado pelo seu respectivo pesow
i. O valor da integral é dado pelo somatório do produto de todos os valores da função avaliada em cada ponto de Gauss pelo seu respectivo peso. Os pontosP
i são convenientes e calculados de modo a minimizar o erro, fornecendo valores exatos das integrais de polinômios de ordemp
2
n
1
, onde n é numero de pontos de Gauss utilizado.A Equação (5) mostra o caso particular de dimensão 1:
i nr i i
w
n
f
dr
n
f
(
)
(
)
1 1 1
(5) 3 Metodologia 3.1 Mapeamento da MísulaA necessidade de resolver as integrais inerentes ao método ao longo do comprimento da mísula implica na necessidade de transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas naturais. Assim, a ordenada y e a abscissa x são mapeadas em coordenadas naturais, permitindo a utilização do método integração de Gauss – Legendre.
Para avaliar essas integrais e obter os coeficientes de flexibilidade, a mísula biengastada devidamente referenciada no sistema local com seus respectivos graus de liberdade será discretizada, tendo seu
comprimento subdividido em n segmentos, conforme mostrado na Figura 2.
Figura 2: Mísula. Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
O elemento parabólico será utilizado para fazer a aproximação do contorno da mísula, pois este tem maior capacidade de modelar curvas irregulares. Sendo assim, o elemento é dividido em segmentos, conforme mostrado na Figura 3.
Figura 3: Mísula com segmentos divididos em coordenadas naturas. Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
O sistema de coordenadas locais é transformado em coordenadas naturais por meio das funções de forma, definidas na Equação (6): ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
j C C j B j A A j j C C j B j A A jx
h
x
h
x
h
x
y
h
y
h
y
h
y
B B (6) Onde: jy
: Aturas da seção da mísula;j
x
: Distâncias referentes a essas alturas;As funções de forma de segundo grau são obtidas da seguinte maneira:
)
1
(
2
1
)
(
Ah
)
1
)(
1
(
)
(
Bh
)
1
(
2
1
)
(
Ch
Figura 4: Curvas correspondentes a
h
A,h
B eh
C. Fonte: AZEVEDO, 2003.Para avaliação da integral cada um de seus segmentos tem a sua coordenada local transformada em coordenadas naturais, obtendo os pontos que foram definidos.
O jacobiano da transformação das coordenadas cartesianas para coordenadas naturais para um modelo unidimensional é mostrado na Equação (7):
2 ) (
d dx J j (7) 3.2 Coeficientes de FlexibilidadeOs parâmetros geométricos como a área e o momento de inércia são incógnitas variáveis, devido à variação parabólica das seções das mísulas. Portanto, esses parâmetros serão obtidos através de integrais entre pontos.
Considerando uma estrutura hiperestática, será necessária a determinação de alguns parâmetros principais, o que consiste na análise do elemento e a determinação das forças atuantes.
O método das forças, e em seu contexto, os coeficientes de rigidez, correspondem às reações de apoio do elemento quando é imposto um deslocamento unitário a um dos seus graus de liberdade conforme a Figura 5:
Figura 5: Deslocamentos unitários. Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
A Figura 5 mostra um deslocamento unitário, ou seja, d2=1rad, e os demais deslocamentos são mantidos nulos. Os próximos deslocamentos unitários seriam um delocamento transversal e um deslocamento axial como pode ser observado na Figura 6:
Figura 6: Deslocamento unitário transversal e axial. Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
Na Figura 6, pode-se observar as cargas unitárias aplicadas transversalmente e axialmente. A carga axial leva em consideração apenas a área de atuação, portanto o coeficiente terá uma variação EA ao invés de EI.
A construção das equações de compatibilidade é feita através do cálculo dos coeficientes de flexibilidade e dos termos de carga, que por sua vez são calculados pelo método das forças virtuais.
Após a transformação de coordenadas, o método de Gauss – Legendre é utilizado para calcular os coeficientes de flexibilidade, como mostrado na Equação (8)
nel j npi i i i nel j ijw
j
EI
M
m
EA
N
n
d
EI
M
m
EA
N
n
1 1 1 1 1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(8) 3.3 Coeficientes de RigidezCom os coeficientes de flexibilidade calculados, têm-se as equações de compatibilidade e resolvendo-as, obtém-se os coeficientes de rigidez de um elemento de pórtico plano através do MF.
Os coeficientes de flexibilidade determinam as reações da estrutura, bem como as deformações devido às tensões atuantes. Então, com a estrutura determinada, é possível obter a matriz de rigidez.
A matriz de rigidez será representada da seguinte forma:
66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
3.4 Implementação ComputacionalUma vez que se padroniza o procedimento do cálculo da matriz de rigidez, é possível implementar uma sub-rotina que automatiza todo o processo, bastando o usuário entrar com as dimensões das mesmas e as grandezas de interesse são calculadas.
O processo é iniciado com a implementação de dados, que se complementa com a formulação que será usada para o cálculo. Obtém-se os coeficientes de flexibilidade, usados para calcular os coeficientes de rigidez, que por sua vez resulta na matriz de rigidez. O processo automatizado, facilmente pode ser incorporado a um programa de análise estrutural, podendo resolver estruturas com alguns graus de liberdade.
4 Apresentação e Análise de Resultados 4.1 Mísula Simétrica
A Figura 7 mostra a mísula a ser cálculada pela sub-rotina desenvolvida utlizando os seguintes dados:
Módulo de elasticidade de 200 Gpa; Comprimento de 12 metros; Largura de 0,30 metros;
Mísula dividida em três segmentos;
As alturas podem ser observadas na Figura 7, com seus respectivos pontos.
Tabela 2 mostra a matriz de rígidez analisada com quatro pontos de Gauss. Na Tabela 1 é feita a comparação de um coeficiente de rigidez (k13) nos respectivos pontos de Gauss. A determinação desse coeficiente foi feita de forma aleatória.
Tabela 1: Coeficiente K13 nos pontos de Gauss
Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
A Tabela 1, adota como sendo 100% correto o resultado referente aos 6 pontos, pois o mesmo é o mais exato. Portanto, a partir de três pontos, pode-se obter um resultado de grande precisão.
Observando a Tabela 1, nota-se que os resultados calculados com três, quatro e seis pontos apresentaram valores bastante próximos e o resultado obtido com dois pontos apresentou um erro de aproximadamento 5% em relação ao resultado obtido com seis pontos. O erro do resultado obtido com três pontos é de 0,77% sugerindo que para este experimento três pontos de Gauss já confere bastante precisão.
Assim, para representar a matriz de rigidez foram adotados quatro pontos de Gauss (Tabela 2), uma vez que para quatro pontos, verifica-se uma pequena diferença em relação ao valor considerado exato. 4.2 Mísula não simétrica
Na mísula em que não há simetria, como pode ser observado na Figura 8, os dados adotados para obter a matiz de rigidez foram:
Módulo de elasticidade de 200 Gpa; Comprimento de 14 metros; Largura de 0,40 metros;
Mísula dividida em quatro segmentos;
Coef.
2 Pontos
3 Pontos
4 Pontos
6 Pontos
k13 57.127.602,469 60.590.466,539 60.066.716,579 60.123.841,808
%
95,017
99,224
99,905
100
Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Linha 1 10.011.119,5577 0 60.066.716,5786 -10.011.119,5577 0 -60.066.716,5786 Linha 2 0 411377120,9260 0 0 411377120,9260 0 Linha 3 60.066.716,5786 0 394.228.358,8212 -60.066.716,5786 0 197.114.179,4106 Linha 4 -10.011.119,5577 0 -60.066.716,5786 -10.011.119,5577 0 -60.066.716,5786 Linha 5 0 -411377120,9260 0 0 -411377120,9260 0 Linha 6 -60.066.716,5786 0 197.114.179,4106 -60.066.716,5786 0 394.228.358,8212
Tabela 2: Matriz de Rigidez – Mísula simétrica
Figura 8: Mísula não simétrica. Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
Figura 7: Mísula simétrica. Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Linha 1 4.265.486,9186 0 29.536.182,5738 -4.265.486,9186 0 -29.536.182,5738 Linha 2 0 416717015,0660 0 0 416717015,0660 0 Linha 3 29.536.182,5738 0 263.630.327,4571 -29.536.182,5738 0 131.815.163,7285 Linha 4 -4.265.486,9186 0 -29.536.182,5738 -4.265.486,9186 0 -29.536.182,5738 Linha 5 0 -416717015,0660 0 0 -416717015,0660 0 Linha 6 -29.536.182,5738 0 131.815.163,7285 -29.536.182,5738 0 263.630.327,4571
As alturas podem ser observadas na Figura 8, com seus respectivos pontos.
A mísula apresentada na Figura 8 foi dividida em segmentos de diferentes distâncias e alturas distintas, ou seja, uma mísula não simétrica.
A Tabela 3 apresenta a matriz de rigidez, obtida utilizando-se quatro pontos de Gauss. O coeficiente analizado na Tabela 4 é o K31, escolhido de forma aleatória.
Comparando os pontos de Gauss, a diferença entre os mesmo é pequena, então o resultado obtido usando todos os pontos pode ser considerado.
Tabela 4: Coeficiente K31 nos pontos de Gauss
Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
Conforme a Tabela 4, é possível analisar que o coeficiente obtido em todos os pontos pode ser utilizado, sendo que o erro entre o de seis pontos e o de dois é menor do que 1%. Nesse caso, todos os pontos são bastantes exatos.
4.3 Mísula Reta
A mísula com a seção reta, como pode ser visualizado na Figura 9, é calculada com as seguintes informações:
Módulo de elasticidade de 200 Gpa; Comprimento de 8 metros;
Largura de 0,20 metros;
Mísula dividida em dois segmentos;
As alturas podem ser observadas na Figura 9, com seus respectivos pontos.
A mísula reta servirá de comparação entre a sub-rotina elaborada e o programa matemático Maple. Assim é possível a análise da matriz de rigidez.
Figura 9: Mísula Reta. Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
4.3.1 Fortran
A matriz de rígidez, que pode ser visualizada na Tabela 5, foi desenvolvida atraves da sub-rotina usando quatro pontos de Gauss.
4.3.2 Maple
O cálculo de uma mísula reta foi realizado usando o software Maple, programa esse que possibilita a obtenção de uma solução analítica, visto que a mísula é linear. O intuito desta análise é comparar os resultados reais com a formulação aqui desenvolvida. Para isso foram calculados os coeficientes de flexibilidade, conforme mostrado na Equação (9):
dx x x
8 0 3 2 11 8 , 0 8 ) 8 , 0 4 , 0 ( 12 2 , 0 00 2000000000 1 (9)Assim, calcularam-se os demais coeficientes de flexibilidade e então obtiveram-se coeficientes de rigidez através das equações de compatibilidade. Por fim foi determinada a matriz de rigidez.
A Tabela 5 mostra a matriz de rigidez obtida pelos dois métodos, sendo possível verificar que os coeficientes apresentados são semelhantes.
Observando as tabelas, é possível analisar que os coeficientes obtidos pela sub-rotina desenvolvida podem ser usados, pois quando comparados aos coeficientes calculados de forma analítica, o erro torna-se pequeno. Desta forma, a sub-rotina elaborada é valida.
A Tabela 6 mostra a comparação do percentual de exatidão dos resultados, adotando a forma análitica, resultados obtidos pelo Maple, como sendo 100% de exatidão.
Coef.
2 Pontos
3 Pontos
4 Pontos
6 Pontos
k31 29.826.705,0023 29.541.211,9859 29.536.182,5738 29.535.612,2350
%
99,014
99,981
99,998
100
Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Linha 1 15734978,01 0 83919808,59 -15734978,01 0 -83919808,59 Linha 2 0 647174903,55 0 0 647174903,55 0 Linha 3 83919808,59 0 518683065,85 -83919808,59 0 259341532,92 Linha 4 -15734978,01 0 -83919808,59 -15734978,01 0 -83919808,59 Linha 5 0 -647174903,55 0 0 -647174903,55 0 Linha 6 -83919808,59 0 259341532,92 -83919808,59 0 518683065,85
Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Linha 1 15734840,69 0 83919150,07 -15734840,69 0 -83919150,07 Linha 2 0 647174862,60 0 0 647174862,60 0 Linha 3 83919150,07 0 518679913,10 -83919150,07 0 259339956,55 Linha 4 -15734840,69 0 -83919150,07 -15734840,69 0 -83919150,07 Linha 5 0 -647174862,60 0 0 -647174862,60 0 Linha 6 -83919150,07 0 259339956,55 -83919150,07 0 518679913,10
Sub-rotina utilizando o Fortran
Cálculo pelo Maple
Tabela 5: Conparação entre o Fortan e Maple
Tabela 6: Comparação da exatidão
Fonte: Arquivo Pessoal, 2015.
Na Tabela 6 pode-se visualizar que o percentual de precisão foi admissível, visto que o maior erro encontrado foi de aproximadamente 0,0009%. Desta forma, os resultados obtidos pela sub-rotina são satisfatório.
5 Conclusões
Este trabalho desenvolveu uma sub-rotina para o cálculo da matriz de rigidez, usando a linguagem de programação Fortran.
A programatização da sub-rotina facilita-se a obtenção da matriz de rigidez, tornando-se necessário inserir alguns dados, tais como módulo de elasticidade, comprimento, alturas, dentre outros, e resultando na matriz de rigidez.
A programatização da uma maior autonomia para moldar a curva, possibilitando alterações quando necessário. Na mísula não simétrica, em que as alturas variam e os segmentos em que foi dividida também se diferem, é possível verificar essa maior liberdade e a obtenção da matriz de rigidez demonstrada utilizando quatro pontos de Gauss.
Escolhendo-se um coeficiente de rigidez aleatório, foi possível verificar que o erro máximo entre dois e seis pontos de Gauss é de aproximadamente 5%.
A comparação entre a sub-rotina desenvolvida e o software matemático Maple no cálculo da matriz de rigidez de uma mísula reta foi de suma importância para avaliar a linguagem programatical, visualizando a semelhança de resultados.
Desta forma, a utilização desta sub-rotina para determinar a matiz de rigidez é viável, pois a implementação computacional permite maior liberdade para cálcular a mísula com a seção parabólica que melhor se adeque aos requisitos desejados.
Agradecimentos
Quero agradecer primeiramento a Deus que me concedeu a vida e que é a base de tudo.
Agradeço também imensamente toda minha familia, os quais foram meus primeiros professores, ensinando sempre a ser humilde e honesta.
Aos meus pais, irmãos e ao meu noivo que me incentivaram em toda minha caminhada, permanescendo sempre ao meu lado e sendo meu suporte para chegar até aqui.
Ao meu orientador, Maicon José Hilleshein, pela paciência, confiança, pela disponibilidade de tempo e conhecimento e principalmente pela orientação indispensável para a realização deste trabalho.
À Universidade do Estado de Mato Grosso, por disponibilzar o Laboratório de Engenharia Civil e a biblioteca, que possui uma ampla variedade livros, fornecendo assim, os recursos básicos para a minha graduação. À todos os professores pelo ensinamento. Aos meus amigos pelo apoio durante esses anos, especialmente à Nayanne Ferreira Alves e André Luiz Machado. Ao Thiago Moreira Lima colega de curso, pela troca de experiência o qual facilitou a execução do programa.
Enfim, a todos que de alguma forma colaboraram para a minha formação.
Referências
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