AULA 03 - Leis de Kirchhoff

(1)

Circuitos CC

Aula 03

ELETRICIDADE C

Prof. Renan Caron Viero –

[email protected]

Adaptado do Material do prof. Sérgio Haffner

https://sites.google.com/site/rcviero/

(2)

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

• Um circuito série é aquele que permite apenas um caminho para o percurso

da corrente, sendo esta comum a todos os elementos.

• A resistência equivalente da associação série é dada por

(3)

Aula 03 - Leis de Kirchhoff

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

• Um circuito paralelo é aquele que todos os elementos são conectados de modo a serem submetidos a uma única tensão, sendo esta comum a todos os elementos.

• A resistência equivalente da associação série é dada por

1 2

1

e n

R

=

+

+ +

_

1 2 1 2 1 2

LKC

₁

1

e n n n

v

R

v

i

R

=

+ + +

_

₊

_{+ +}

_

₊

_{+ +}

_

Associação em Paralelo

3

(4)

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

dois dois

(5)

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

(6)

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

(7)

TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS

7

• Nó – Ponto de junção de dois ou mais elementos (bipolos)

– Quando um fio ideal conecta dois nós, os dois nós constituem um único nó.

– Nó essencial – Ponto de junção de três ou mais elementos (bipolos)

• Ramo – Representação de um único elemento (bipolo) conectado entre dois nós,

tal como um resistor ou uma fonte de tensão - vide componente 2 na Figura.

– Ramo essencial – quando ligar dois nós essenciais sem passar por outro nó

essencial

• Laço – Caminho fechado formado por um nó de partida, passando por um

conjunto de nós e retornando ao nó de partida, sem passar por qualquer nó mais de uma vez.

– Um percurso fechado é dito independente quando ele contém um ramo que não pertence a nenhum outro caminho fechado

• Malha – Caminho fechado que não contém outro caminho fechado dentro dele.

– Caso especial de laço

• Circuito planar – Pode ser desenhado em um plano sem que dois ramos se

(8)

(9)

TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS

9

Nós

1

2

3

(10)

TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS

Ramos

1

2

3

4

5

(11)

TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS

11

Malhas

1 ₂

3

(12)

TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS

Para um circuito planar, tem-se que:

1 m

=

b

− +

n

m

– número de malhas

b

– número de ramos

n

– número de nós

m

– 3

b

– 5

Determinar:

nós, ramos, malhas e laços verificar a relação

(13)

TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS

(14)

LEIS DE KIRCHHOFF

Gustav Kirchhoff

Lei das Correntes ou

Lei dos Nós

(15)

LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES

LKC

15

• LKC – A soma das correntes que chegam a um nó é

igual à soma das correntes que saem do mesmo nó



considerando-se positivas as correntes que chegam

a um nó e negativas as que saem, a LKC estabelece

que a

soma algébrica das correntes

que chegam a

um nó é

nula

.

• O número de

equações independentes

obtidas com a

aplicação da LKC é sempre igual ao número de nós

(16)

LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES

(17)

LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES

LKC - E

XEMPLO

17

Para o nó 1 → i_A(t) chega no nó e i_B(t) sai do nó:

( )

0

A C E F

i t

−

=

( )

0

A B

i t

−

i t

=

Para o nó 2 → i_B(t) e i_C(t) chegam ao nó e i_D(t) sai do nó:

( )

0

B C D

i t

+

i t

−

i t

=

Para o nó 3 → i_D(t), i_E(t) e i_F(t) chegam ao nó:

( )

0

D E F

i t

+

i t

+

i t

=

Para o nó 4 → i_A(t), i_C(t), i_E(t) e i_F(t) saem do nó: n = 4 → (n-1) = 3 equações de nó.

( )

0 ( )

( )

0 ( )

( )

0 ( )

( )

0

A B B C D D E F A C E F

i t

−

=





₊

₋

₌





₊

₌



−

−

=



(18)

LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES

LKC - E

XEMPLO

n = 4 → (n-1) = 3 equações de nó.

( )

0 ( )

( )

0 ( )

( )

0 ( )

( )

0

A B B C D D E F A C E F

i t

−

=





₊

₋

₌





₊

₌



−

−

=



( )

0

A B

i t

−

i t

=





Note que a última equação é uma combinação linear das outras equações... Portanto, posso desprezá-la.

(19)

LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES

LKT

19

• LKT – A soma das elevações de potencial ao longo de um percurso

fechado qualquer é igual à soma das quedas de potencial no

mesmo percurso fechado.



assumindo-se que as quedas de tensão (sentido de percurso

do terminal + para –) são positivas ao longo do percurso e que

as elevações de tensão (sentido de percurso do terminal

– para +) são negativas, a LKT estabelece que a

soma algébrica

das tensões

em um percurso fechado

é nula



_{a malha é um tipo de percurso fechado → a LTK também vale}

para as malhas

• O número de

equações independentes

obtidas com a aplicação

da LKT é sempre igual ao número de malhas (m).

(20)

LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES

(21)

LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES

LKT - E

XEMPLO

21

1

2

(22)

LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES

LKT - E

XEMPLO

1

2

3

Para a malha 1 → v_A(t) é elevação de tensão ( - para + ), v_B(t) e v_C(t) são quedas de tensão ( + para - ):

Para a malha 2 → Aqui, v_C(t) é elevação de tensão ( - para + ), v_D(t) e v_E(t) são quedas de tensão ( + para - ): Para o nó 3 → i_D(t), i_E(t) e i_F(t) chegam ao nó Aqui v_E(t) é elevação e v_F(t):

( )

0

E F

v t

−

+

=

( )

0

A B C

v t

−

+

=

( )

0

C D E

v t

−

+

=

( )

0

A B C

v t

−

+

=



−

m = 3 → 3 equações de malha.

(23)

LKC + LKT

23

• Número de Equações de Circuito Independentes

 Em todo circuito elétrico composto de b elementos existem 2b incógnitas

• em cada elemento a corrente e a tensão são variáveis a serem determinadas  _{Assim, são inicialmente necessárias 2b equações independentes para a}

determinação completa do circuito.

• Este número pode ser reduzido para b, usando-se as b relações tensão/corrente dos elementos

 Usando-se

• LKC obtém-se (n-1) equações de corrente • LKT obtém-se m=b-n+1 equações de malha

• LKC+LKT obtém-se (n-1)+(b-n+1)=b equações independentes  _{Geralmente a análise é realizada empregando-se}

• LKC – análise nodal

– equaciona-se correntes, para determinar tensões nodais • LKT – análise de malhas

(24)

EXERCÍCIOS – EXEMPLO

(25)

EXERCÍCIOS – EXEMPLO

25

n = 3 → (n-1) = 2 equações de nó independentes.

v

_a

v

_Rin

i

_in

a

b

c

i

_f

(26)

EXERCÍCIOS – EXEMPLO

Para o nó b:

0 in

a

b

i

− − =

i

Veja que a equação do nó c é a soma

Equações de Nó

0 f

in

i

− =

i

(27)

EXERCÍCIOS – EXEMPLO

27

m = 2 → 2 equações de malha.

p = 4 → m = p – n + 1 = 4 – 2 + 1 = 2

v

_a

v

_Rin

i

_in

a

b

c

i

_f

1

2

(28)

EXERCÍCIOS – EXEMPLO

Para a Malha 1:

50 v

_Rin

v

_a

0 − +

+

=

Para a Malha 2:

− +

=

Equações de Malha

(29)

EXERCÍCIOS – EXEMPLO

29

Para a Malha 1:

Para a Malha 2:

Aplicando as Relações Tensão/Corrente

Para o nó b:

0

in a b

i

− − =

i

0

f in

i

− =

i

Para o nó a:

0

50

0

in in a a a a b b in a b f in

R i

i

+

=



 +

−

+

=



 +

−

=



 −

+

=



5 0

v

_Rin

( )

t

v t

_a

( )

0 R i t

_{in in}

( )

R i t

_{a a}

( )

5 0

− +

+

=

→

+

=

0

a o a a b b

v

R i

− +

=

→ −

+

=

(30)

EXERCÍCIOS – EXEMPLO

Solucionando o sistema

0

50

0

in in a a a a b b in a b f in

R i

i

+

=



 +

−

+

=



 +

−

=



 −

+

=



2.5A

2A

0.5A

f in a b

i

=

i

=

i

=

i

=

Solucionando o sistema

4 2.5 10V

(31)

EXERCÍCIOS – EXEMPLO

31

Atente como é possível facilitar a

solução do sistema: apenas as

equações de nós essenciais (aqueles

em que três ou mais ramos estão

conectados) necessitam ser levadas

em consideração na solução, uma vez

que um nó não essencial caracteriza

uma ligação em série dos ramos,

onde a corrente é a mesma em

ambos os ramos. (Veja que a fonte de

tensão e o resistor de 4Ω estão em

série)

0

50

0

in in a a a a b b in a b

R i

i

+

=





₋

₊

₌





₋

₌



(32)

(33)

EXERCÍCIOS