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Caminhos
Decidimos dividir as quest˜oes sobre per´ımetros em dois materiais, pois enten-demos que existem muitos problemas de olimp´ıada sobre este assunto e neste material colocaremos aqueles com um maior grau de dificuldade. Outros problemas envolvendo per´ımetros s˜ao quest˜oes relacionadas `a caminhos per-corridos por algo ou algu´em. Alguns destes dizem respeito ao maior ou menor caminho percorrido. No geral, s˜ao exerc´ıcios que pedem mais ATENC¸ ˜AO! Estes tamb´em s˜ao tipos de problemas que caem frequentemente em provas de olimp´ıada.
Problema 1 (Banco OBMEP - 2010)As quatro cidades A, B, C e D foram constru´ıdas `a beira de uma rodovia reta, conforme a ilustra¸c˜ao. A distˆancia entre A e C ´e de 50 km e a distˆancia entre B e D ´e de 45 km. Al´em disso, sabe-se que a distˆancia entre a primeira e a ´ultima cidade ´e de 80 km. Qual ´
e a distˆancia, em quilˆometros, entre as cidades B e C?
temos que BC = 15Km.
Problema 2 (Banco OBMEP - 2010) Uma formiga sai de um ponto A, anda 7 cm para a esquerda, 5 cm para cima, 3 cm para a direita, 2 cm para baixo, 9 cm para a direita, 2 cm para baixo, 1 cm para a esquerda e 1 cm para baixo, chegando no ponto B. Qual ´e a distˆancia, em cm, entre A e B? Solu¸c˜ao: Desenhando, temos a seguinte figura:
B A 4 cm
Logo, a distˆancia em cm entre os pontos A e B ´e de 4cm.
Problema 3 (Banco OBMEP - 2007) Jorge passeia por um caminho em forma de retˆangulo, onde est˜ao dispostas doze ´arvores com 5 m de distˆancia entre duas consecutivas. Jorge brinca de tocar cada ´arvore durante seu pas-seio. Primeiro ele toca a ´arvore do canto, assinalada com P na figura, e percorre 32 metros num mesmo sentido; a´ı ele volta 18 metros e depois torna a andar para frente mais 22 metros. Em quantas ´arvores ele tocou?
P
Solu¸c˜ao: As figuras ilustram o percurso que Jorge fez:
(i) caminhando 32m no in´ıcio, ele toca em 7 ´arvores e p´ara a 2m da ´ultima que tocou;
(ii) voltando 18m, ele toca em 4 ´arvores e p´ara a 1m da ´ultima que tocou; (iii) ao retornar os 22 m ele toca em 5 ´arvores e p´ara a 1 m da ´ultima que tocou.
P P P
Assim, ele tocou em 7 + 4 + 5 = 16 ´arvores.
Problema 4 (Banco OBMEP - 2012) A figura abaixo representa o tra¸cado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D s˜ao usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distˆancias entre postos vizinhos, em quilˆometros, est˜ao indicadas na figura e as corridas s˜ao realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplo, uma corrida de 17 quilˆometros pode ser realizada com partida em D e chegada em A.
1 2 6 4 A B C D
a) Quais s˜ao os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilˆometros? b) E para uma corrida de 100 quilˆometros, quais s˜ao esses postos?
Solu¸c˜ao: a) Uma volta completa em torno de uma pista tem extens˜ao 1km + 2km + 6km + 4km = 13km. Por isso, para percorrer 14km ´e preciso dar uma volta completa e percorrer mais 1km. A ´unica forma de percorrer 1km respeitando-se o sentido da corrida ´e come¸cando em A e terminando em B. Portanto a corrida deve come¸car em A, dar uma volta completa e terminar em B.
b) Como 100 = 7 × 13 + 9, uma corrida de 100km corresponde a dar 7 voltas completas na pista e percorrer mais 9km. A ´unica forma de percorrer 9km respeitando-se o sentido da corrida ´e come¸cando em A e terminando em D. Portanto a corrida deve come¸car em A, dar 7 voltas completas e terminar em D.
Problemas Propostos I
Problema 5 (Banco OBMEP - 2010) Quatro formigas atravessam o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares, segundo os trajetos indicados na figura. Qual ´e o comprimento do trajeto percorrido por Biloca?
Pipoca = 25 dm
Tonica = 37 dm
Cotinha = 32 dm Biloca =
Problema 6 (Banco OBMEP - 2007) Matias passeia em volta de 4 quar-teir˜oes perto desua casa. O seu passeio consiste em fazer o maior percurso poss´ıvel de bicicleta, respeitando as seguintes condi¸c˜oes: ele pode passar v´arias vezes pelos cruzamentos das ruas, mas ele n˜ao pode passar mais do que uma vez pela mesma quadra. Quando ele n˜ao pode mais respeitar essas condi¸c˜oes, ele tem que saltar da bicicleta e voltar a p´e. Ele parte de P e deve voltar a P. Os quatro quarteir˜oes s˜ao quadrados com 100 metros de lado em cada quadra. Qual o maior percurso que ele pode fazer? A largura das ruas ´
P
Problema 7 (Banco OBMEP - 2010) As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo ch˜ao ´e formado por lajotas retangulares de 4 cm de largura por 6 cm de comprimento, conforme indicado na figura. Maricota parte do ponto M, Nandinha parte do N e, ambas, andam apenas pelos lados das lajotas, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura.
M
N
(a) As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distˆancia. Qual foi essa distˆancia?
(b) Em que ponto elas se encontraram?
Problema 8 (Banco OBMEP - 2010) Dona Joaninha quer atravessar um p´atio ladrilhado com azulejos quadrados numerados, como mostra a figura dada. Ela vai partir do ponto P e quer chegar ao ponto C, andando somente ao longo dos lados dos azulejos. Dona Joaninha n˜ao quer ter n´umeros primos imediatamente `a sua direita ao longo de todo o percurso. Qual ´e o menor percurso que ela pode fazer?
23 213 73 37 17
218 79 65 19 57
37 53 231 87 251
P
C
Problema 9 (Banco OBMEP - 2010) Cururu ´e um sapo estranho, que se desloca apenas com dois tipos de saltos, o de
Tipo I: 10 cm para o Leste e 30 cm para o Norte e o de; Tipo II: 20 cm para Oeste e 40 cm para o Sul.
a) Como Cururu faz para chegar a um ponto situado a 190 cm para o Leste e 950 cm para o Norte de sua casa?
(b) ´E poss´ıvel Cururu chegar a um ponto situado a 180 cm para o Leste e 950 cm para o Norte de sua casa?
5. A figura ´e dividida em retˆangulos pequenos, considere ent˜ao x = diago-nal do retˆangulo, y = comprimento do retˆangulo e z = largura do retˆangulo. Pelo primeiro trajeto, vemos que 5x = 25 ⇒ x = 5dm. Pelo segundo trajeto: 5x + 4z = 37 ⇒ 25 + 4z = 37 ⇒ 4z = 12 ⇒ z = 3dm. Olhando o terceiro trajeto, 4z + 5y = 32 ⇒ 12 + 5y = 32 ⇒ 5y = 20, o que nos d´a y = 4dm. Logo, o trajeto de Biloca ´e 3x + 4z + 2y = 35dm.
6. Primeiro observamos que temos 12 quadras de 100 metros entre os 4 quarteir˜oes. Al´em disso, entre os quatro quarteir˜oes temos 4 esquinas nas quais chegam 3 quadras e que est˜ao marcadas com uma estrela no desenho. Assim, no momento em que chegamos a uma das ditas esquinas temos que sair, logo usamos 2 das quadras em cada passada e, no momento que che-gamos de novo, temos que parar. Portanto, dentre as ditas 4 esquinas, em todo caminho que tracemos tem pelo menos duas esquinas estrelas em que n˜ao usamos todas as quadras que chegam `a esquina mencionada. Assim, o caminho de comprimento m´aximo usa no m´aximo 10 quadras. Na figura desenhamos um dos trajetos m´aximos.
P
7. (a) O trajeto de M a N compreende 14 comprimentos e 12 larguras das lajotas. Logo,seu comprimento ´e 14 × 6 + 12 × 4 = 84 + 48 = 132cm. Como as duas formiguinhas percorrem a mesma distˆancia, cada uma deve andar 132 ÷ 2 = 66cm.
(b) Seja x = comprimento e y = largura. Vamos acompanhar, desde o in´ıcio, o percurso feito por Maricota at´e completar os 66 cm:
2x + y + 3x + 2y + 2x + y + x + 1/2.y = 66cm
O caminho de Maricota at´e o ponto de encontro est´a indicado na figura abaixo.
8. Os n´umeros primos que aparecem na tabela s˜ao 23, 73, 37, 17, 79, 19, 37, 53 e 251. Logo, s´o h´a dois caminhos que Dona Joaninha pode percorrer. Um deles basta prosseguir como uma escada, passando pelo 213, depois entre 213 e 73, seguindo horizontalmente entre o 65 e o 73, descendo entre o 65 e o 19, depois entre o 19 e o 87, descendo entre o 87 e o 251 e contornando o 251 para chegar ao ponto C. O outro ´e idˆentico, exceto que o azulejo 87 fica `
a esquerda, passando entre 87 e 231 e, depois, seguindo horizontalmente. 9. A cada x saltos do tipo I, o sapo se desloca 10x cm para o Leste e 30x cm para o Norte e, a cada y saltos do tipo II, o sapo se desloca 20y cm para o Oeste e 40y cm para o Sul. Assim, ao final de x saltos do tipo I e y do tipo II, o sapo se deslocou 10x − 20y cm para o Leste e 30x − 40y cm para o Norte. (a) Basta resolver:
10x − 20y = 190
30x − 40y = 950 (1)
Da´ı, encontramos x = 57 e y = 19. Logo, o sapo dever´a dar 57 saltos do tipo I e 19 do tipo II, em qualquer ordem, para alcan¸car um ponto situado a 190 cm para o Leste e 950 cm para o Norte de sua casa.
(b) Basta resolver:
10x − 20y = 180
30x − 40y = 950 (2)
Por´em, a solu¸c˜ao do sistema ´e x = 59 e y = 41/2, que n˜ao ´e inteiro. Logo, o sapo cururu teria que andar uma quantidade fracion´aria de movimentos do tipo II, sendo assim, imposs´ıvel. Logo, Cururu n˜ao alcan¸car´a tal ponto.
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Mais problemas sobre per´ımetros
Agora vamos resolver alguns outros tipos de problemas envolvendo per´ımetros. Nesta se¸c˜ao, ´e necess´ario prestar aten¸c˜ao nos encaixes de figuras, cortes e so-breposi¸c˜oes. Lados sobrepostos n˜ao s˜ao contados duas vezes no c´alculo do per´ımetro.
Problema 10 (OBMEP - 2006) Miguilim brinca com dois triˆangulos iguais cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 6 cm. Ele forma figuras planas unindo um lado de um triˆangulo com um lado do outro, sem que um triˆangulo fique sobre o outro. Abaixo vemos duas das figuras que ele fez.
4
6
3 4
I II
(a) Quais os comprimentos dos lados que foram unidos nas figuras I e II? (b) Calcule os per´ımetros das figuras I e II.
(c) Qual o menor per´ımetro de uma figura que Miguilim pode formar? Solu¸c˜ao: (a) Veja que na figura I, o lado que est´a unido ao outro n˜ao tem comprimento 4cm nem 6cm, ent˜ao est˜ao unidos pelos lados de 3cm. Na figura II, os lados uidos s˜ao o menor lado de um dos triˆangulos, ou seja, 3cm e o maior lado do outro, ou seja, 6cm.
(b) O per´ımetro da figura I ´e 4 + 6 + 4 + 4 = 20cm. O per´ımetro da figura II ser´a dado por : 4 + 3 + 4 + 6 = 17cm devido aos lados inteiros e 6 − 3 = 3cm, devido aos lados unidos. Logo, o per´ımetro da figura II ´e 20cm.
poss´ıveis dos triˆangulos, no caso o de 6cm. O menor per´ımetro fica sendo 3 + 4 + 3 + 4 = 14cm.
Problema 11 (OBM - 2009) Carlinhos tem folhas iguais na forma de triˆangulos retˆangulos de lados 6 cm, 8 cm e 10 cm. Em cada triˆangulo, o ˆangulo assinalado op˜oe-se ao menor lado. Fazendo coincidir lados iguais desses triˆangulos sobre uma mesa, sem superpor as folhas, ele desenha o con-torno de cada figura obtida (linha grossa), como nos exemplos ao lado. O per´ımetro de uma figura ´e o comprimento do seu contorno.
(a) Qual ´e a diferen¸ca entre os per´ımetros das figuras 1 e 2 do exemplo? (b) Com figuras de trˆes triˆangulos, qual ´e o maior per´ımetro que pode ser obtido?
fig 1 fig 2
Solu¸c˜ao: (a) Vamos calcular separadamente os per´ımetros das figuras 1 e 2. Figura 1: veja que o menor lado(de 6cm) aparece 3 vezes, o de 10cm aparece uma vez e o de 8 cm uma vez, logo per´ımetro figura 1 = 36cm. Per´ımetro figura 2 = o de 8cm aparece 3 vezes, o de 6cm 1 vez e o de 10cm uma vez, ent˜ao per´ımetro figura 2 = 40cm. Cuja diferen¸ca ´e 4cm.
(b) Para resolver este item, basta perceber que devemos fazer coincidir os lados menores e deixar os maiores lados para somarem mais ao per´ımetro. Assim, o maior per´ımetro ocorre quando temos 3 lados de 10cm, um de 8cm e outro de 6cm, dando um total de 44cm.
Problemas Propostos II
Problema 12 (OBM - 2010) Esmeralda tem muitos triˆangulos retˆangulos iguais aos da figura.
3 cm
4 cm 5 cm
(a) Fazendo coincidir partes dos lados, sem sobrepor triˆangulos, Esmeralda montou a figura a seguir. Qual ´e o per´ımetro dessa figura?
(b) Usando o mesmo processo, Esmeralda montou o menor quadrado poss´ıvel com lado de medida inteira. Qual o lado desse quadrado?
Problema 13 (OBM - 2015) No quadrado abaixo, de per´ımetro 48 cm, M e N s˜ao pontos m´edios dos lados, O ´e o centro e A um v´ertice. Lena cortou o quadrado ao longo das linhas tracejadas e, usando os trˆes peda¸cos, montou um retˆangulo com a mesma ´area do quadrado original, por´em com um per´ımetro diferente. Qual ´e esse per´ımetro?
A
O M
N
Problema 14 (OBMEP - 2014) Lucinha tem duas folhas retangulares, uma azul e outra rosa, ambas com 8 cm de largura e 12 cm de comprimento. Ela cortou as duas folhas ao meio, conforme indicado na figura.
folha azul folha rosa
Lucinha pegou uma metade de cada folha e fez coincidir os lados maiores desses peda¸cos, formando a figura abaixo, parecida com a letra T. Qual ´e o per´ımetro dessa figura?
Problema 15 (OBMEP - 2005) Tia Anast´acia uniu quatro retˆangulos de papel de 3 cm de comprimento por 1 cm de largura, formando a figura ao lado. Qual ´e o per´ımetro da figura?
Problema 16 (OBMEP - 2016) O retˆangulo ABCD foi dividido em nove retˆangulos menores, alguns deles com seus per´ımetros indicados na figura. O per´ımetro do retˆangulo ABCD ´e 54 cm. Qual ´e o per´ımetro do retˆangulo cinza?
14 cm 16 cm 18 cm 26 cm A B C D
Problema 17 (Olimp´ıada Matem´atica ˜Nand´u - 2016) O quadrado ABCD est´a dividido em um retˆangulo R e trˆes quadradinhos pequenos e iguais. O per´ımetro de ABCD ´e 96cm. Qual ´e o per´ımetro de cada quadradinho? Qual ´
e o per´ımetro do retˆangulo R?
R
A B
C D
Problema 18(Olimp´ıada ˜Nandu - 2013) A figura abaixo ´e formada por dois quadrados iguais C, um retˆangulo R e um triˆangulo equil´atero T. Se o per´ımetro de um quadrado C ´e 52 cm, e do tri´angulo T ´e 102 cm. Qual ´e o per´ımetro del retˆangulo R?
T
R
C
C
Problema 19(Olimp´ıada ˜Nandu - 2014) Na figura o triˆangulo BCD ´e is´osceles com BC = CD, ABDE ´e um retˆangulo com AB = BC, o per´ımetro de ABCDE ´
e 62cm e o per´ımetro de BCD ´e 36 cm. Qual ´e o per´ımetro do retˆangulo ABDE?
A B
C D
E
Problema 20(Olimp´ıada ˜Nandu - 2015) Na figura, temos que ABDE ´e um retˆangulo, AF = EF, BC = CD. Al´em disso, per´ımetro de ABDEF = 124cm, per´ımetro de AEF = 88cm, per´ımetro de ABDE = 88cm, per´ımetro de ABC-DEF = 140cm. Quanto mede AF? Qual ´e o per´ımetro de BCD? Qual ´e o per´ımetro de ABCDE?
A B C D E F
Problema 21 (Olimp´ıada Argentina - 2014) Tem-se um retˆangulo dividido em 8 quadrados de lados inteiros, como ´e mostrado na figura. Os quadrados sobre o lado inferior(`a esquerda) s˜ao iguais e os trˆes quadradinhos menores tem lado 1. Calcular os lados de todos os quadrados da subdivis˜ao da figura. Obs: a figura n˜ao ´e proporcional
Solu¸c˜oes dos problemas propostos II
12. (a) O per´ımetro da figura ´e dado pela soma de 6 lados completos: dois de lado 5cm, dois de lado 4cm, dois de lado 3 cm e mais 2 peda¸cos: de 4 − 3 = 1cm. Logo, o per´ımetro ´e 2.5 + 2.3 + 2.4 + 2.1 = 26cm.
(b) Note que com duas pe¸cas podemos formar um retˆangulo de lados 3 e 4(sobrepondo os lados maiores). Assim, o menor quadrado que podemos for-mar ter´a lado igual ao mdc(3, 4) = 12.
13. Sendo 48cm o per´ımetro do quadrado, o seu lado ´e 48 : 4 = 12cm e, assim, temos a seguinte situa¸c˜ao:
A O M N 12 12 6 6 6 6 6 6
Ap´os cortar o quadrado ao longo das linhas tracejadas e usando os trˆes peda¸cos, podemos montar o seguinte retˆangulo, com mesma ´area que o qua-drado original mas per´ımetro (24 + 6).2 = 60cm, diferente do per´ımetro do quadrado.
6 6 6 6 6 6 12 12
14. Veja que a figura azul ´e um rtˆangulo de 6cm de largura e 8cm de com-primento e a figura rosa possui 4cm de largura e 12cm de comcom-primento. Assim, o per´ımetro ser´a dado pela soma dos lados que n˜ao possuem contato 4 + 12 + 4 + 6 + 8 + 6 = 40cm e os segmentos gerados pela uni˜ao dos lados, que ´e 12 − 8 = 4cm. Ent˜ao, o per´ımetro ´e 44cm.
15. Veja que para calcular o per´ımetro, vamos somar 4 lados completos 3 + 3 + 3 + 3 = 12cm e calcular os outros 4 segmentos. Cada um desses segmentos possui 3 − 1 = 2cm. Logo, o per´ımetro ´e 12 + 4.2 = 20cm.
16. Perceba que, ao somarmos os per´ımetros dos retˆangulos da figura, usando que os lados s˜ao paralelos, teremos como resultado o per´ımetro do retˆangulo ABCD somado ao per´ımetro P do retˆangulo cinza. Logo, 16 + 18 + 14 + 26 = 54 + P ⇒ P = 20cm.
17. Como o per´ımetro do quadrado maior ´e 96cm, cada lado mede 96/4 = 24cm. Note que este lado ´e igual ao comprimento do retˆangulo. Al´em disso, perceba que cada quadrado menor ter´a lado igual a 24/3 = 8cm e per´ımetro 4.8 = 32cm. A largura do retˆangulo ser´a 24 − 8 = 16cm. Logo, o per´ımetro do retˆangulo ser´a 2.(16 + 24) = 80cm.
18. Se o per´ımetro do quadrado ´e 52cm, ent˜ao cada lado mede 52/4 = 13cm. Como o per´ımetro do triˆangulo T ´e 102cm, cada lado deve medir 102/3 = 34cm. Pela figura, a largura do retˆangulo ´e dada por 34 − 13 = 21cm e o comprimento ´e 2.13 = 26cm. Logo, o per´ımetro ´e 2(21 + 26) = 94cm.
19. Sejam a = AB = BC = CD e b = AE = BD. Pelas informa¸c˜oes do enunciado, temos as seguintes equa¸c˜oes: 4a + b = 62(1) e 2a + b = 36(2).
de ABDE = 2a + 2b = 26 + 20 = 46.
20. Seja a = AF = EF , b = BC = CD, c = AB = DE e d = BD = AE. Pelo enunciado, podemos montar as aseguintes equa¸c˜oes: 2a+2c+d = 124(1), 2a + d = 88(2), 2c + 2d = 88(3) e 2a + 2b + 2c = 140(4). Somando (2) + (3), temos 2a + 2c + 2d + d = 176, substituindo (1) temos que d = 26. De (2) e (3), temos que d = 2b ⇒ b = 13. Substituindo em (3), te-mos que 2c = 88 − 52 = 36 ⇒ c = 18. Pela equa¸c˜ao (1), vem que 2a + 36 + 26 = 124 ⇒ 2a = 62 e ent˜ao a = 31. Al´em disso, per´ımetro de BCD = 2c + d = 62cm e o per´ımetro de ABCDE = 2c + d + 2b = 78cm. 21. Sejam a, b, c, e d os lados dos quadrados menores, do maior para o menor, com exce¸c˜ao dos quadradinhos de lado 1. Note que, como a figura ´e um retˆangulo, podemos montar equa¸c˜oes com os lados dos quadrados sobre-postos: a = b + 3, b = c + 1 e a = 2d − 1. Olhando agora os lados opostos do retˆangulo, os quais s˜ao iguais, temos as seguintes equa¸c˜oes: b + c = a + d e c + 2d = a + b. Assim, a = 2d − 1 = b + 3 = c + 4, substituindo os valores de b e a em b + c = a + d, chegamos que a = 15, b = 12, c = 11 e d = 8.
