Cap16 Sec6 2x4

(1)

Capítulo 16

Cálculo Vetorial

CÁLCULO VETORIAL

Até agora, consideramos tipos especiais de superfícies:

cilindros;

superfícies quádricas;

gráficos de funções de duas variáveis;

superfícies de nível de funções de três variáveis.

Aqui, usaremos funções vetoriais para

descrever superfícies mais gerais, chamadas superfícies parametrizadas, e calcularemos suas áreas.

A seguir, tomaremos a fórmula para a área de superfícies gerais e veremos como se aplica a superfícies especiais.

16.6 Superfícies Parametrizadas

e suas Áreas

Nesta seção, aprenderemos sobre: O vários tipos de superfícies parametrizadas e como

calcular suas áreas usando funções vetoriais. CÁLCULO VETORIAL

INTRODUÇÃO

De modo muito semelhante à nossa descrição de curvas espaciais por uma função vetorial r(t) de um único parâmetro t, podemos descrever uma superfície por uma função vetorial r(u, v) de dois parâmetros u e v.

Suponhamos que

r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z (u, v) k

seja uma função a valores vetoriais definida sobre uma região D do plano uv.

INTRODUÇÃO Equação 1

Então x, y e z, componentes de r, serão funções das duas variáveis u e v com domínio D.

(2)

SUPERFÍCIE PARAMETRIZADA Equação 2

O conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R³ tais que

x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) e (u, v) varie em D, é denominado superfície

parametrizada S, e as Equações 2 são

chamadas equações paramétricas de S.

SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS

Cada escolha de u e v dá um ponto de S; ao fazermos todas as escolhas, obtemos todo o S. Em outras palavras, a superfície S é traçada pela ponta do vetor posição r(u, v) quando (u, v) se move na região D.

Identifique e esboce a superfície com equação vetorial

r(u, v) = 2 cos u i + v j + 2 sen u k

As equações paramétricas para essa superfície são:

x = 2 cos u y = v z = 2 sen u SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS EXEMPLO 1

Para qualquer ponto (x, y, z) da superfície, temos

x2_{+ z}2_{= 4 cos}2_{u + 4 sen}2_{u = 4} Isso significa que todas as seções transversais

paralelas ao plano xz (isto é, com y constante) são circunferências de raio 2.

SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS EXEMPLO 1

Como y = v e não existe restrição ao valor de v, a superfície é um cilindro circular de raio 2 cujo eixo é o eixo y.

SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS EXEMPLO 1

No Exemplo 1 não existiam restrições quanto aos parâmetros u e v e assim obtivemos o cilindro inteiro.

Se, por exemplo, restringíssemos u e v, escrevendo o domínio dos parâmetros como

0 u S/2 0 v 3 então _{x 0} _{z 0 0}_{y 3}

Neste caso, obteríamos o quarto do cilindro de comprimento 3, conforme ilustrado

.

Se uma superfície parametrizada S é dada por uma função vetorial r(u, v), então existem duas famílias de curvas úteis contidas em S, uma família com u constante e outra com v constante.

Essas famílias correspondem a retas verticais e horizontais no plano uv.

(3)

Se mantivermos u constante, impondo u = u0, r(u0, v) se torna uma função vetorial com um único parâmetro v, que define uma curva C1 sobre S.

CURVAS DE GRADE

Da mesma forma, se mantivermos v

constante, tomando v = v0, obteremos a curva

C2dada por r(u, v0) ), que está em S. A essas curvas chamaremos curvas da grade

No Exemplo 1, as curvas da grade obtidas tomando u constante são retas horizontais, enquanto as curvas da grade obtidas com v constante são circunferências.

CURVAS DE GRADE

De fato, quando um computador traça o gráfico de uma superfície parametrizada, ele geralmente retrata a superfície traçando essas curvas da grade, como veremos no próximo exemplo.

CURVAS DE GRADE

Use um sistema de computação algébrica para traçar o gráfico da superfície

r(u, v) = (2 + sen v) cos u,

(2 + sen v) sen u, u + cos v  Quais são as curvas da grade com u constante?  E com v constante?

CURVAS DE GRADE EXEMPLO 2

parâmetros delimitados por 0 u 4S, 0 v 2 S Esse gráfico tem a aparência

de um tubo espiral.

Para identificar as curvas da grade, escrevemos as equações paramétricas correspondentes:

x = (2 + sen v) cos u y = (2 + sen v) sen u

z = u + cos v

Se v é constante, então sen v e cos v são constantes e as equações paramétricas lembram as da hélice do Exemplo 4 da Seção 13.1.

(4)

Deduzimos que as curvas da grade com u constante devem ser aquelas que parecem circunferências.

Maior evidência dessa afirmação é que, se mantivermos u fixo, u = u0, então as equações

z = u0+ cos v

mostram que os valores de z variam de u0– 1 até u0+ 1.

REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA

Nos Exemplos 1 e 2 nos foi dada uma equação vetorial e pedido o gráfico da superfície parametrizada correspondente.

Nos exemplos seguintes, entretanto, teremos o problema mais desafiador de achar a função vetorial que representa uma superfície dada. No restante deste capítulo, teremos de fazer

exatamente isso muitas vezes.

Determine a função vetorial que:

representa o plano que passa pelo pontoP0com

vetor posiçãor0.

 contenha dois vetores não paralelos a e b.

REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA EXEMPLO 3

Se P é um ponto qualquer do plano, podemos ir de P0até P andando uma distância

orientada na direção do vetor a e outra distância orientada na direção do b.

 Portanto, existem escalares u e v tais que

P0P= ua + vb

A figura ilustra como isso funciona, por meio da Regra do Paralelogramo, para o caso em que u e v são positivos.

Veja também o Exercício 38 da Seção 12.2.

Se r é o vetor posição de P, então

r = OP

₀

+ P

0

P = r

0

+ ua + vb

Assim, a equação vetorial do plano pode ser escrita como:

r(u, v) = r0+ ua + vb

onde u e v são números reais.

Se escrevermos

r = <x, y, z> r0= <x0, y0, z0> a = <a1, a2, a3> b = <b1, b2, b3> podemos escrever as equações

paramétricas do plano pelo ponto (x0, y0, z0) como segue:

x = x

0

+ ua

1

+ vb

1

y = y

0

+ ua

2

+ vb

2

z = z

0

+ ua

3

+ vb

3

(5)

Determine uma representação paramétrica da esfera

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= a}2

 A esfera tem uma representação simples = a em coordenadas esféricas.

 Então, vamos escolher os ângulos e das coordenadas esféricas como parâmetros (veja a Seção 15.8).

Tomando = a nas equações para

conversão de coordenadas esféricas para coordenadas retangulares (Equação 15.8.1), obtemos

x = a sen cos y = a sen sen z = a cos

como equações paramétricas da esfera.

A equação vetorial correspondente é

r(, )

= a sen cos i + a sen sen j + a cos k  Temos 0 S e 0 2 S.

De modo que o domínio dos parâmetros é o retângulo

D = [0, S] x [0, 2 S]

constante são as circunferências de latitude constante (incluindo o equador).

constante são os meridianos (semicircunferências), que ligam os polos norte e sul.

¾Um dos usos de superfícies parametrizadas é na computação gráfica.

A figuramostra o resultado de tentar traçar a esfera _x2_{+ y}2_{+ z}2_{= 1:}  isolando z; traçando os hemisférios de cima e de baixo separadamente. COMPUTAÇÃO GRÁFICA

Parte da esfera parece estar faltando, por causa do sistema retangular de grades usado pelo computador.

COMPUTAÇÃO GRÁFICA

Já esta figura, muito melhor, foi produzida por um computador que usa as equações

paramétricas encontradas no Exemplo 4.

COMPUTAÇÃO GRÁFICA

Determine uma representação paramétrica do cilindro

x2_{+ y}2_{= 4 0 z 1}

 O cilindro tem representação r = 2 em coordenadas cilíndricas;

 assim escolhemos como parâmetros e z das coordenadas cilíndricas.

(6)

Então as equações paramétricas do cilindro são

x = 2 cos y = 2 sen z = z

onde:

0 2S  0 z 1

Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico z = x2_{+ 2y}2

 Se olharmos para x e y como parâmetros, as equações paramétricas ficam simplesmente

x = x y = y z = x2_{+ 2y}2

e a equação vetorial é

r(x, y) = x i + y j + (x2_{+ 2y}2_{) k}

Em geral, uma superfície dada como o gráfico de uma função de x e y, ou seja, com equação da forma z = f(x, y), pode sempre ser olhada como uma superfície

parametrizada:

 tomando x e y como parâmetros;

escrevendo as equações paramétricas como

x = x y = y z = f(x, y)

REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA

PARAMETRIZAÇÕES

Representações paramétricas (também chamadas parametrizações) de superfícies não são únicas.

O próximo exemplo mostra dois modos de parametrizar um cone.

Determine uma representação paramétrica para a superfície

ou seja, a metade superior do cone z2_{= 4x}2_{+ 4y}2

2 2

2 z

x

y

PARAMETRIZAÇÕES EXEMPLO 7

Uma possível representação é obtida escolhendo-se x e y como parâmetros:

x = x y = y

Assim, a equação vetorial é

2 2

2 z

x

y

2 2

( , )

x y

x

y

2 x

y

r

i

j

k

PARAMETRIZAÇÕES EX. 7 – Solução 1

Outra representação resulta da escolha das coordenadas polares r e como parâmetros.

 Um ponto (x, y, z) sobre o cone satisfaz:

x = r cos y = r sen z 2 x2y2 2r

PARAMETRIZAÇÕES EX. 7 – Solução 2

Assim uma equação vetorial para o cone é

r(r, ) = r cos i + r sin j + 2r k

onde:

 r 0  0 2S

(7)

Para alguns propósitos, as representações paramétricas das Soluções 1 e 2 são

igualmente boas, mas a Solução 2 pode ser preferível em certas situações.

Se estivermos interessados somente na parte do cone que está abaixo do plano z = 11, por exemplo, tudo que devemos fazer na Solução 2 é mudar o domínio do

parâmetro para

0 r ½ 0 2S

SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

As superfícies de revolução podem ser representadas na forma paramétrica e, portanto, seus gráficos podem ser traçados usando-se um computador.

Por exemplo, vamos considerar a superfície S obtida pela rotação da curva

y = f(x) a x b em torno do eixo x, onde f(x) 0, sendo o ângulo de rotação.

Se (x, y, z) é um ponto de S, então

x = x

y = f(x) cos z = f(x) sen

SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO Equação 3

Portanto, tomamos x e como parâmetros e olhamos as Equações 3 como equações paramétricas de S.

O domínio do parâmetro é dado por

a x b 0 2

S

Determine as equações paramétricas da superfície gerada pela rotação da curva y = sen x, 0 x 2S, em torno do eixo x.

Use essas equações para traçar o gráfico da superfície de revolução.

SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO EXEMPLO 8

Das Equações 3:

as equações paramétricas são

x = x y = sen x cos z = sen x sen o domínio do parâmetro é

0 x 2S 0 2 S SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO EXEMPLO 8

(8)

Usando um computador para traçar essas equações e girar a imagem, obtemos o gráfico:

SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO EXEMPLO 8

Podemos adaptar as Equações 3 para representar uma superfície obtida pela revolução em torno do eixo y ou do eixo z

veja o Exercício 30.

PLANOS TANGENTES

Agora vamos determinar o plano tangente a uma superfície parametrizada S determinada por uma função vetorial

r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k

em um ponto P0com vetor posição r(u0, v0).

Se mantivermos u constante, tomando u = u0, então r(u0, v) se torna uma função vetorial de um único parâmetro v e define uma curva da grade C1sobre S.

O vetor tangente a C1em P0é obtido tomando-se a derivada parcial de r em relação a v: 0 0 0 0 0 0

( , )

v

x

y

z

u v

v

w

r

i

j

k

PLANOS TANGENTES Equação 4

Da mesma forma, se mantivermos v constante tomando v = v0, obteremos a curva da grade

C2dada por r(u, v0) que está sobre S.

E, cujo vetor tangente em

_P

₀

é:

0 0 0 0 0 0

( , )

u

x

y

u v

u

z

u v

u

w

r

i

j

k

PLANOS TANGENTES Equação 5 SUPERFÍCIE LISA

Se r

_u

x r

_v não é 0, então a superfície S é dita lisa (sem “bicos”).

 Para uma superfície lisa, o plano tangente é o que contém os vetores tangentes r_ue r_v, e r_ux r_v é o vetor normal ao plano tangente.

(9)

Determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas

x = u2 _{y = v}2 _{z = u + 2v}

no ponto (1, 1, 3).

PLANOS TANGENTES EXEMPLO 9

Primeiro vamos calcular os vetores tangentes:

2

u v

x

y

z

u

x

y

z

v

w

r

i

j

k

i k

r

i

j

k

j

k

Assim, o vetor normal ao plano tangente é

2

0

1

0

2

4

u v

u

v

u

uv

u

i

j

k

r r

i

j

k

Observe que o ponto (1, 1, 3) corresponde aos valores dos parâmetros_{u = 1 e v = 1.}

Assim o vetor normal ali é –2 i + 4 j + 4 k

Portanto, uma equação do plano tangente em (1, 1, 3) é

–2(x – 1) – 4(y – 1) + 4(z – 3) = 0 ou

x + 2y – 2z + 3 = 0

A figura mostra a superfície que se autointercepta no Exemplo 9 e seu plano tangente em (1, 1, 3).

Definiremos agora a área de uma superfície parametrizada geral dada pela Equação 1.

Para simplificar, vamos considerar

inicialmente uma superfície cujo domínio dos parâmetros D é um retângulo, que

dividiremos em sub-retângulos Rij. ÁREA DA SUPERFÍCIE

Vamos escolher

_(u

_i

_{, v}*

_j

*)

como o canto inferior esquerdo do retângulo

_R

_ij

.

(10)

RETALHO

O pedaço S_ijda superfície S que

corresponde a R_ijé chamado de retalho e tem um ponto P_ijcom vetor posição r(ui*, vj*)

como um de seus cantos.

r_u* = r_u_(u_i_{*, v}_j*) e r_v* = r_v_(u_i_{*, v}_j*) os vetores tangentes em Pijcalculados pelas

Equações 5 e 4.

ÁREA DA SUPERFÍCIE

A figuramostra como os dois lados do retalho que se encontram em_P_ijpodem ser aproximados por vetores.

Esses vetores, por sua vez, podem ser aproximados pelos vetores u ru* e v rv*

porque as derivadas parciais podem ser aproximadas pelos quocientes de diferenças. Assim, aproximamos_S_ijpelo paralelogramo determinado pelos vetoresu r_u* e v r_v*.

Esse paralelogramo está representado

.

 Ele está contido no plano tangente a S emPij. ÁREA DA SUPERFÍCIE

A área desse paralelogramo é

e então uma aproximação da área de S é

* * * *

| (

'

u

r

_u

) (

u '

v

r

_v

) | |

r r

_u

u

_v

|

' '

u v

* * 1 1

|

m n u v i j

u v

u

' '

¦¦

r r

A intuição nos diz que essa aproximação fica melhor à medida que aumentamos o número de sub-retângulos e reconhecemos a soma dupla como a soma de Riemann para a integral dupla

Isso justifica a seguinte definição:

|

u v

|

D

r

u

r du dv

³³

Suponha que uma superfície parametrizada lisa S é dada pela equação

r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k

(u, v) D e S é coberta uma única vez quando (u, v) varre todo o domínio D dos parâmetros.

(11)

Então, a área da superfície S é

onde:

( )

|

u v

|

D

A S

³³

r r

u

dA

u v x y z x y z u u u v v v w w w w w w w w w w w w r i j k r i j k

ÁREA DA SUPERFÍCIE Definição 6

Determine a área da esfera de raio

_a.

No Exemplo 4 encontramos a representação

paramétrica

x = a sen cos , y = a sen sen , z = a cos

onde o domínio dos parâmetros é D = {(, ) | 0 S, 0 2S)

ÁREA DA SUPERFÍCIE EXEMPLO 10

Vamos calcular primeiro o produto vetorial dos vetores tangentes:

uma vez que sen 0 para 0 S.

Portanto, pela Definição 6, a área da esfera é

ÁREA DE SUPERFÍCIE DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Para o caso especial de uma superfície S com equação z = f(x, y), onde (x, y) está em D onde f tem derivadas parciais contínuas, tomamos x e y como parâmetros.

As equações paramétricas são

x = x y = y z = f(x, y)

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Equação 7

Logo, e 1 0 0 1 x y f f f x x y f y w w w u w w w w w i j k r r i j k x y f f x y § · w w § · _¨ _¸ _{¨ ¸} w w © ¹ © ¹ r i k r j k Então, temos: 2 2 2 2

|

1

x y

f

x

y

z

x

y

§

· w

w

§

· u

_¨

_¸

_¨

_¸

w

©

¹ © ¹

§

· w

w

§

· _¨

_¸

_{¨ ¸}

w

©

¹ © ¹

r r

(12)

E a fórmula de área da superfície na Definição 6 fica 2 2

( )

1

D

z

A S

dA

x

y

§

· w

w

§

· _¨

_¸

_{¨ ¸}

w

©

¹ © ¹

³³

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Fórmula 9

Determine a área da parte do paraboloide

z = x

2

_{+ y}

2 _{que está abaixo do Plano}

_{z = 9.}

O plano intercepta o paraboloide na circunferência

x2_{+ y}2_{= 9, z = 9}

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXEMPLO 11

2 2 2 2 2 2

1 1 2

2 1 4(

)

D D D

z

A

dA

x

y

x

y

dA

x

y dA

§

· w

w

§

· _¨

_¸

_{¨ ¸}

w

©

¹ © ¹

³³

Convertendo para coordenadas polares, obtemos

2 3 ₂ 0 0 2 3 ₂ 0 0 3 2 3/ 2 1 2 8 3 ₀

1 4

2 (1 4 )

(37 37 1)

6 A

r r dr d

d

r

r dr

r

S S

T

S

º

_¼

³ ³

³

Precisamos ainda verificar se nossa

definição da área de superfície (6) é coerente com a fórmula da área de superfície obtida no cálculo com uma única variável (8.2.4).

Consideremos a superfície S obtida pela rotação da curva

y = f(x), a x b em torno do eixo x, onde:

 f(x) 0.  f’ é contínua. ÁREA DA SUPERFÍCIE

Da Equação 3, sabemos que as equações paramétricas de S são:

x = x y = f(x) cos z = f(x) sen

a x b 0 2S

(13)

Para calcular a área da superfície S, precisamos dos vetores tangentes

Logo,

porque f(x) 0. Portanto, a área de S é

Isso é precisamente a fórmula que usamos para definir a área de uma superfície de revolução no cálculo com uma única variável (8.2.4).

Cap16 Sec6 2x4

Cálculo Vetorial

16.6

Superfícies Parametrizadas

e suas Áreas

.

r = OP

+ P

P = r

+ ua + vb

x = x

+ ua

+ vb

y = y

+ ua

+ vb

z = z

+ ua

+ vb

2

z

x



y

2

z

x



y

( , )

x y

x



y



2

x



y

r

i

j

k

S

( , )

( , )

( , )

x

y

z

u v

u v

u v

v

v

v

w



w



w

w

w

w

r

i

j

k

P

é:

( , )

( , )

( , )

x

y

u v

u v

u

u

z

_P